分式方程(第一节).
《分式方程 第一课时》公开课教学PPT课件(终稿)
90 60 30 v 30 v
因为我是分式方程，我分母里含有字母，
0 万一我分母为 ，我岂不是没意义啦！所以，
你们解分式方程时别忘了 检验，检验有两 种方法，今天我们先用以前的方法，在下 节课，老师会重点讲如何检验。
【跟踪训练】
A. 3y-6 C. 3y(3y-6)
B. 3y
DD
火眼金睛
也可称是原分式 方程的根
3. (德化·中考)如图,点A,B在数轴上,它们所对应的数分别
是-3和
且点A,B到原点的距离相等,则x的值为
.
【解析】依题意可知,
①去分母：分式方程两边同乘2-X 得：1-X=3(2-X)
②解整式方程得:
③检验,将
代入原分式方程，左边=右边=3,所以原方程的解是 x=
则x
1、分式方程：分母中 含有未知数的方程叫做分式方 程. 2、解分式方程的一般步骤：
一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h,它沿江以最大航速顺流
航行90 km所用时间,与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等,江
水的流速为多少?
解:设江水的流速为 v km/h，根据题意，得
分析： v+ 轮船顺流速度为 轮船30逆流速度为千米/千时米/时
轮船逆流速度为 30-v 千米/时
轮船顺流时间为 3900+v 时
得 ②解整式方程得
90（30-v）=60（30+v）
v=6
③检验：将v=6代入分式方程左边= 5 ,右边= 5 ，左边=右边，
所以v=6是原分式方程的解. 2
2
在解分式方程的过程中（将分式方程“去分母”后转化为整式方程） 体现了一个非常重要的数学思想方法： 转化的数学思想（化归思想）.
《分式方程》 讲义
《分式方程》讲义一、什么是分式方程在我们学习数学的过程中，方程是一个非常重要的概念。
之前我们接触过一元一次方程、二元一次方程等，今天我们要来认识一种新的方程类型——分式方程。
那到底什么是分式方程呢？分式方程是指方程里含有分式，并且分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程。
比如说，像这样的方程：＄＼frac{x}｛x-1} ＝ 2$ ，＄＼frac{2}｛x} ＋ 3 ＝ 5$ ，它们都是分式方程。
因为在这些方程中，分母中都含有未知数。
二、分式方程的解法接下来，我们重点来学习一下分式方程的解法。
解分式方程的一般步骤可以总结为以下几步：1、去分母这是解分式方程最为关键的一步。
我们要找到所有分式的最简公分母，然后将方程两边同时乘以这个最简公分母，把分式方程化为整式方程。
例如，对于方程＄＼frac{x}｛x-1} ＝ 2$ ，最简公分母是＄x 1$ ，方程两边同时乘以＄x 1$ ，得到＄x ＝ 2(x 1)＄。
2、解整式方程完成去分母后，我们得到了一个整式方程。
接下来，按照解整式方程的方法求解这个方程。
就以上面得到的整式方程＄x ＝ 2(x 1)＄为例，展开得到＄x ＝2x 2$ ，移项可得＄2x x ＝ 2$ ，即＄x ＝ 2$ 。
3、检验这一步非常重要，却很容易被忽略。
我们将求得的解代入原分式方程的分母中，如果分母不为零，那么这个解就是原分式方程的解；如果分母为零，那么这个解就是增根，原分式方程无解。
还是以方程＄＼frac{x}｛x-1} ＝ 2$ 为例，把＄x ＝ 2$ 代入分母＄x 1$ ，＄2 1 ＝ 1$ ，不为零，所以＄x ＝ 2$ 是原方程的解。
三、分式方程的增根在解分式方程的过程中，增根是一个需要特别关注的概念。
增根是分式方程化为整式方程后，产生的使分式方程的分母为零的根。
为什么会产生增根呢？这是因为在去分母的过程中，我们乘以了一个含有未知数的式子，这个式子有可能为零。
而等式两边同乘以零是不符合数学规则的，所以可能会产生额外的根，也就是增根。
八上数学分式方程
八上数学分式方程数学作为一门学科，无处不在，贯穿于我们生活的方方面面。
而在数学的学习中，分式方程是一个非常重要且常见的内容。
在八年级的数学课程中，我们将开始接触和学习关于分式方程的知识。
什么是分式方程呢？简单来说，分式方程就是含有分式的方程。
分式是数的比的形式。
而分式方程则是含有未知数的分式的等式。
解分式方程的过程就是找出未知数的值，使得等式成立。
学习八年级的数学分式方程，需要掌握一些基本的知识。
首先要了解分式的概念，明确分子和分母的含义。
然后要学会如何化简分式，将分式化为最简形式。
接着就是学习如何解分式方程，常见的方法有通分、去分母、因式分解等。
在解题过程中，还需要注意约束条件，确保得到的解符合题目的要求。
在学习过程中，要多做练习，熟练掌握各种解题方法。
可以通过做题册、练习册、习题集等方式进行练习，巩固所学知识。
同时，要注意归纳总结，将不同类型的题目进行分类整理，形成自己的解题思路和方法。
除了理论知识外，实际问题的分析和解决也是学习分式方程的重要内容。
在解决实际问题时，要将问题转化为数学语言，建立分式方程，然后通过求解方程得到问题的答案。
这样可以帮助我们将抽象的数学知识与实际生活相结合，提高解决问题的能力。
此外，学习数学分式方程也需要培养逻辑思维和分析问题的能力。
在解题过程中，要善于观察、分析和推理，找出问题的关键点和解题思路。
通过不断练习和思考，提高自己的数学思维能力，培养解决问题的能力。
总的来说，八年级数学分式方程是一个重要且必要的学习内容。
通过学习分式方程，可以帮助我们提高数学能力，培养逻辑思维，解决实际问题。
希望大家在学习数学的过程中，能够认真对待，多加练习，提高自己的数学水平。
愿大家都能在数学的海洋中畅游，享受数学带来的乐趣！。
分式方程及其解法公开课PPT课件
2021/7/24
12
【分式方程的解】
上面两个分式方程中，为什么
120 20+x
=
80 20-x
x1-去5 分= 母x1后20-2得5 到去的分整母式后方得程到的的解整就式是方它程的的解解，却而不
18
【例题】
解分式方程
x x-1
-1 =
3 (x-1)(x+2)
解 ：方程两边同乘以最简公分母(x－1) (x＋2),得
X(x+2)-(x-1)(x+2)=3
解整式方程,得 x = 1
检验：当x = 1 时，(x－1) (x＋2)＝０，x=１不
是原分式方程的解，原分式方程无解．
解分式方程
(1)
2 x-1
如何去掉分母，化 为整式方程还保持
等式成立?
16
解方程 100 30 x x7
解 方程两边同乘以x(x-7),约去分母,得 100(x-7)=30x
解这个整式方程, 得 X=10
检验:把x=10代入x(x-7), 得
10×(10-7)≠0
所以, 2021/7/24 x=10是原方程的解.
17
(2) xx22x2164xx22
x+5=10
分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使
分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解
2021/7/24
13
【分式方程解的检验】
= 120
20+x
2800-x当两x边=4同时乘,((2200++xx))((2200--xx))≠1020(20-x)=80(20+x)
第一节 一元分式方程的基本概念-学而思培优
第一节一元分式方程的基本概念-学而思
培优
一元分式方程是指方程中只含有一个未知数，并且未知数的指
数为正数的分式方程。
下面将介绍一元分式方程的基本概念。
一元分式方程的形式通常为：$\dfrac{A}{B}=\dfrac{C}{D}$
其中，$A$、$B$、$C$、$D$表示四个整数。
一元分式方程的解是指能够满足该方程的未知数的取值。
解一
元分式方程的过程通常包括以下几个步骤：
1. 清除分母。
首先，需要将方程中的分母进行消除，以简化方
程的形式。
为此，可以对方程两边同时乘以合适的数来使分母消失。
2. 整理方程。
消除分母后，需要整理方程，并合并同类项。
这
一步骤旨在使方程更简洁、清晰。
3. 解方程。
通过代数运算的方法，可以逐步推导出未知数的值，从而求得方程的解。
常用的代数运算包括加减乘除、开方等。
需要注意的是，在解一元分式方程的过程中，可能会遇到一些特殊情况，如方程无解、方程有无穷多解等。
对于这些情况，需要具体分析，不可盲目进行代数运算。
通过研究一元分式方程的基本概念，我们可以更好地理解和解决与分式方程相关的数学问题，提高数学思维能力和解题能力。
参考文献：
- 学而思培优. 一元分式方程的基本概念. [图片教程]. 学而思培优. 互联网资源.
以上是一元分式方程的基本概念的介绍。
八年级上册初中数学《分式方程》教学PPT课件
x
x1
8；⑤
1.其中，分式方程有（B）
2
21 ；
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
新知探究
知识点2分式方程的解法
我们已经熟悉一元一次方程等整式方程的解法，但是
分式方程的分母中含未知数，因此解分式方程是一个
新的问题.
能否将分式方程化为整式方程呢？ 我们可以通过“去分母”实现这种转变.
9060 ①
3030 v-v 解分式方程的基本思路
下列不是整式方程的有哪些？ (1)2x+5=7； (3)6y+1>2y； (5)4x+3y=3； (7) 2 5；
2 x
(2)9x-5；
(4)7-2=5；
(6) 2x (8)x=4.
x5；3源自不是整式方程的有：(2)(3)(4)(7).
学习目标
1.了解分式方程的概念，能判断一个等式是不是分式 方程. 2.掌握解分式方程的步骤. 3.能熟练运用解分式方程的步骤进行计算.
分式方程
去分母 转化
整式方程
分式方程①中各分母的最简公分母是(30+v)(30-v).把方 程①的两边乘最简公分母可化为整式方程，解这个整 式方程可得方程①的解.
将方程①化成整式方程的关键步骤是什么？
解分式方程的关键是去分母，在去分母时，分式 方程两边的每一项都要乘最简公分母，注意不要 漏乘不含分母的项.
解这个整式方程得x=8.
经检验，x=8是原方程的解.
解：方法二（倒数法）：
对原方程两边同时取倒数，得
通分，得
4(x 2)5x
.
20
20
则4(x+2)=5x，解得x=8.
分式方程课件(公开课)
4
课堂作业课本：第29页练习（2）（4）
家庭作业：练习册上相应的练习
(3) x x 5
2
(2) x 2 y 5
x x 1 ( 4) 1 2 3
4. 请解3中的第(4)个方程.
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,
它以最大航速顺流航行100千米所用时间,与以最
大航速逆流航行60千米所用时间相等,海水的流
速为多少?
解:设海水的流速为 v 千米/时，根据题意，得
100 60 20 v 20 v
100 60 20 v 20 v
分母中含未知数
x x 1 1 2 3
思考：
分式方程的特征是什么？
100 60 20 v 20 v
像这样，分母里含有未知数的方程 叫做分式方程。 以前学过的分母里不含有未知数的 方程叫做整式方程。
答：八（1）班每位平均每位同学捐了3本，（2）班每位同学捐 了6本儿童读物。
150( x 3) 300x x 解得： 3 经检验 x 3 是原分式方程的解， 则x 3 6
下列说法中错误的是（ A ） （A）分式方程的解等于0，就说明这个分式方程无解 （B）解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式 方程 （C）检验是解分式方程必不可少的步骤 （D）能使分式方程的最简公分母等于零的未知数的值 不是原分式方程的解．
v5 v 5 代入分式方程，左边=4=右 v 5 是原分式方程的解。
在解分式方程的过程中体现了一个非常重要的数 学思想方法：转化的数学思想（化归思想）。
1 10 解分式方程： 2 x 5 x 25
方程两边同乘以最简公分母 ( x 5)(x 5) ，得：
人教版中学数学八年级上册 分式方程(第1课时) 课件PPT
(1)一元一次方程是 整式
方程。
(2)一元一次方程解法步骤是：
①去分母；②去括号；③移项；
④合并同类项；⑤系数化为1
4
新课导入
一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h,它以最大航速沿江顺流航行
90km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相等，江水的流速
为多少？
设江水的流速为 km/h，我们得到了方程
①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1；
②原方程的解使最简公分母为0，则x＝2或x＝－2，
两种情况：
一是所化成的整式方程
无解；二是解得整式方
程的解使最简公分母为0
当x＝2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×2＝－10，m＝－4；
当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×(－2)＝－10，
去分母
分式方程
整式方程
“去分母” 即方程两边同乘最简公分母.
这也是解分式方程的一般方法.
最关键的
是去分母
知识讲解
例2 解分式方程：
1
10
2
x 5
x 25
解：方程两边同乘(x+5)(x-5)，得
x+5=10，
解得
x=5为什么不是原分
式方程的解呢？
x=5.
检验：将x=5代入原方程中，分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意
解得m＝6，
∴m的值是1，－4或6.
随堂训练
1. 以下是方程
去分母后的结果，其中正确的是(
A. 2-1-x=1
B. 2-1+x=1
C. 2-1-x=2x
D. 2-1+x=2x
2.当m=
八年级上册数学第十五章分式方程
第一节：认识分式方程1.1 分式方程的定义分式方程是指含有分式的方程，其中未知数出现在分式中。
1.2 分式方程的性质分式方程的性质包括有理数的性质、分式的性质、方程的性质。
1.3 分式方程的解分式方程的解是指能满足方程的未知数的数值，求解分式方程的过程就是求方程的解的过程。
第二节：分式方程的基本形式2.1 一元一次分式方程一元一次分式方程的形式是a/x+b=c，其中a、b、c是已知数，x是未知数，x≠0。
2.2 一元一次分式不等式一元一次分式不等式是a/x+b<c，其中a、b、c是已知数，x是未知数，x≠0。
第三节：分式方程的解法3.1 通分法对于分式方程中的分式进行通分，使得方程变得更容易计算。
3.2 消去法通过约去分式中的公因式，使得方程变得更简单，从而更容易求解。
第四节：用分式方程解实际问题4.1 问题拆解将实际问题转化为分式方程，对实际问题进行分析和拆解，得到问题的数学表示形式。
4.2 方程求解将转化得到的分式方程进行求解，得到问题的解。
第五节：应用题5.1 填空题给定一元一次分式方程，要求填写方程的解。
5.2 计算题给定一元一次分式方程，要求解出方程的解并进行计算。
结语：分式方程是数学中常见的一种方程形式，掌握分式方程的基本概念、基本形式、基本解法，能够帮助我们更好地理解数学知识，在实际问题中也能够更加灵活地运用数学知识解决问题。
希望同学们能够认真学习分式方程的知识，掌握分式方程的解题方法，提高自己的数学水平。
在进行进一步的学习中，我们将深入探讨分式方程的解法，包括更复杂的情况和实际问题的应用。
同时也会针对一些常见的困惑和错误进行讲解和解答，以帮助同学们更好地掌握分式方程的知识。
第一节：分式方程的解法1.1 假分式方程假分式方程是指分式方程中含有未知数的分母含有未知数的方程形式。
在解假分式方程时，我们需要通过通分的方法将方程转化为一般的分式方程，然后再按照常规的分式方程解法进行求解。
人教版八年级上册数学《分式方程》分式说课复习(分式方程及其解法)
x+5=10．
解得
x=5．
x=5是原分式方 程的解吗？
将x=5代入原分式方程检验，发现这时分母 x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义．因 此x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式 方程的解，实际上，这个分式方程无解.
巩固练习
练习3 解方程并检验.
1 2 . 2x x 3
解：最简公分母为
巩固练习
练习4
解关于x 的方程
x
a
a
b
1（ b ≠ 1）.
解：方程两边同乘x-a，得
a+b（x-a）= x-a
去括号，得 a+bx-ab =x-a
移项、合并同类项，得
（b-1）x = ab-2a
∴x
ab 2a b 1
检验：当 x
ab b
2a 1
时，∵
b
≠
1，∴b-1
≠0，
x ab 2a
方程① 当v=6时，（30+v）（30-v）≠0，这就是说，去分
母时，方程①两边乘了同一个不为0的式子，因此
方程② 所当得x=整5时式，方（程x的-5）解（与x①+的5）解=相0，同这. 就是说，去分母
时，方程②两边乘了同一个等于0的式子，这时所 得整式方程的解使②出现分母为0的现象，因此这 样的解不是②的解.
解：设该厂原来每天加工x个零件，则采用新技 术后，每天加工2x个零件，
根据完成时间的等量关系，得
100 600 100 7
x
2x
去分母，得200 + 500 =14x，
解得
x = 50.
检验：x = 50时，2x ≠ 0.
所以x = 50是原方程的根.
初中数学分式方程教案
初中数学分式方程教案教案内容：一、教学内容：本节课的教学内容选自人教版初中数学八年级上册第四章第一节《分式方程》。
本节课的主要内容有：分式方程的定义、分式方程的解法以及分式方程的应用。
二、教学目标：1. 理解分式方程的定义，掌握分式方程的解法。
2. 能够运用分式方程解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
三、教学难点与重点：重点：分式方程的定义，分式方程的解法。
难点：分式方程的解法，分式方程的应用。
四、教具与学具准备：教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
学具：课本、练习本、铅笔、橡皮。
五、教学过程：1. 实践情景引入：教师可以通过展示一些实际问题，引导学生发现这些问题可以用分式方程来表示。
例如，某商品的原价是100元，商店进行了一次8折优惠活动，请问优惠后的价格是多少？2. 例题讲解：教师可以通过讲解一些典型的分式方程题目，引导学生掌握分式方程的解法。
例如，解方程：$$\frac{x2}{3}= \frac{4x}{2}$$3. 随堂练习：教师可以布置一些随堂练习题，让学生独立完成，以巩固所学知识。
例如，解方程：$$\frac{2x+1}{5}= \frac{3x}{4}$$4. 分式方程的应用：教师可以通过讲解一些分式方程在实际问题中的应用，让学生体会分式方程的重要性。
例如，某工厂生产A、B两种产品，生产A产品需要2小时，生产B产品需要3小时，如果每天工作8小时，那么一天可以生产A、B产品各多少件？六、板书设计：板书内容主要包括分式方程的定义、解法以及应用。
例如：分式方程：$$\frac{x2}{3}= \frac{4x}{2}$$解法：去分母，得：2(x2)=3(4x)去括号，得：2x4=123x移项，得：2x+3x=12+4合并同类项，得：5x=16系数化为1，得：x=$$ \frac {16}{5}$$七、作业设计：1. 解方程：$$\frac{3x1}{4}= \frac{52x}{3}$$答案：x=$$ \frac {13}{18}$$2. 某商店进行了一次8折优惠活动，原价是100元的商品，优惠后的价格是80元，请问原价是多少？答案：原价是100元。
八年级数学上册第1课时 分式方程及其解法
编号：89385412744576565852344429学校：测查习市复体语镇末上卷学校*教师：强中强*班级：开心伍班*15.3分式方程第1课时分式方程及其解法一、新课导入1.导入课题:前面我们探讨了分式的有关性质及其运算，在分式的研究中，还有一个重要的内容就是分式方程，今天我们一起走进分式方程.2.学习目标：（1）知道分式方程的概念，（2）会解分式方程.3.学习重、难点：重点：分式方程及其解法.难点：分式方程产生增根的原因.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：教材第149页到第150页的内容.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：对照自学提纲，认真阅读课本.重点词句或不理解的地方做上记号.（4）自学参考提纲：①什么样的方程叫分式方程？分母中含有未知数的方程叫分式方程.②解分式方程的基本思路是什么？将分式方程化为整式方程.③将分式方程化成整式方程的关键步骤是什么？去分母，即方程两边乘最简公分母.2.自学：请同学们结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：了解学生是否认识分式方程的特点和分式方程的解法.②差异指导：指导个别学生正确找出最简公分母.（2）生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化：（1）判断分式方程的方法是：看分母是否含有未知数.（2）分式方程的关键步骤是去分母，难点是找最简公分母.（3）下列方程哪些是分式方程？④⑤.（4）指出下列方程中各分母的最简分母，并写出去分母后得到的整式方程.解：①最简公分母2x(x+3),去分母得x+3=4x ； ②最简公分母x 2-1,去分母，得2（x+1）=4； ③最简公分母3x+3，去分母，得3x=2x+3x+3.1.自学指导：（1）自学内容：教材第150页“思考”到第151页的内容. （2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：认真阅读课本，思考去分母后化成的整式方程的解，为什么有的是原分式方程的解，有的不是？对照课本中的例子想想理由.归纳解分式方程的基本步骤.（4）自学参考提纲：①说说为什么解分式方程一定要检验？因为得到的解可能会导致最简公分母为0，即分母为0. ②说说解分式方程的检验方法.将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解③解分式方程的一般有哪些步骤？ 去分母，解整式方程，检验.④某生在解例2时去分母得x(x+2)-1=3，你认为他错在哪里？ 漏乘了最简公分母. ⑤试解方程23511x x =--；解：去分母，得3(x+1)=5 x=53-1=23检验：当x=23时，(x+1)(x-1)≠0， 所以，原分式方程的解为x=23.32122x x x =--- 解：去分母，得2x=3-2(2x-2) 去括号得2x=3-4x+4 移项6x=7 系数化为1，x=76检验：当x=76时，2(x-1)≠0. 所以原分式方程的解为x=762.自学：同学们结合自学指导进行自学.3.助学： （1）师助生：①明了学情：观察学生在解分式方程过程中易产生错误的环节或步骤.②差异指导：对学生出现的错误进行分类指导. （2）生助生：交流提纲④，对⑤互相批改、纠错. 4.强化：(1)解分式方程的一般步骤. （2）分式方程的验根方法.(3)分式方程无解的条件.时，4x2-1=0,检验：当x=12因此x=1不是原分式方程的解.2所以，原分式方程无解.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生代表交流自己的学习收获和学后体验.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：对学生的学习态度、情感、方法、成果及不足进行归纳点评.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:在本课的教学过程中，应从这样的几个方面入手：（1）分式方程和整式方程的区别：分清楚分式方程必须满足的两个条件：①方程式里必须有分式，②分母中含有未知数.这两个条件是判断一个方程是否为分式方程的必要条件.同时，由于分母中含有未知数，所以将其转化为整式方程后求出的解就应使每一个分式有意义，否则，这个根就是原方程的增根.正是由于分式方程与整式方程的区别，在解分式方程时必须进行检验.（2）分式方程和整式方程的联系：分式方程通过方程两边都乘以最简公分母，约去分母，就可以转化为整式方程来解，教学时应充分渗透这种化归思想.（3）解分式方程时，如果分母是多项式，应先写出将分母进行因式分解的步骤，从而让学生准确无误地找出最简公分母.另外，对分式方程可能产生增根的原因，要启发学生认真思考和讨论.一、基础巩固（每题10分，共60分）1.下列式子是分式方程的是（C）2.把分式方程两边同乘(x－1)，约去分母后，得(D)3.分式方程的解是（D）D.无解A.x=1B.x =－1C.x=－14解：（1）去分母，3x-6+4（x+2）=16去括号，合并同类项7x=14系数化为1，x=2检验：当x=2时，(x+2)(x-2)=0,因此x=2不是原分式方程的解.所以，原分式方程无解.（2）去分母得，（x+1）(x+2)=x(x+4)去括号，合并同类项，得3x+2=4x移项，x=2检验：当x=2时，x(2+x)≠0，所以，原分式方程的解为x=2.二、综合应用（20分）7.已知关于x的方程有增根，求该方程的增根和k的值.解：去分母，得3x+3-（x-1）=x2+kx，整理，得x2+（k-2）x-4=0.因为有增根，所以增根为x=0或x=1.当x=0时，代入方程得-4=0，所以x=0不是方程的增根；当x=1时，代入方程，得k=5，所以k=5时方程有增根x=1.三、拓展延伸（20分）8.解方程：。
《分式方程》课件
课堂小结
解分式 方程
基本 思路
步骤
分式 去分母 整式 方程 转化 方程
一去 二解 三验 四写
拓展提升
1.解分式方程： x -1 x - 7 x - 3 x - 5 . x-2 x-8 x-4 x-6
分析： 观察原方程发现每一项分式的分母加1都等于它
的分子，将分子拆成分母与1的和，分别除以分母，消
解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的 式子(最简公分母).方程①两边乘(30+v)(30-v)，得到整式 方程，它的解为v=6.当v=6时，(30+v)(30-v)≠0， 这就是 说，去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子，因此 所得整式方程的解与①的解相同.
为什么在分式方程 90 60 ①中去分母后所得
二解 三验 四写
解这个整式方程.
将整式方程的解代入最简公分母，如果最 简公分母的值不为0，则整式方程的解是 原分式方程的解；否则，这个解不是原分 式方程的解.
写出原分式方程的解.
随堂练习
1.解分式方程：xx-1
-1
2x 3x -
3
.
解：方程两边同乘3(x-1)，得3x-3(x-1)=2x，
解得x=1.5.
新知探究 跟踪训练
例1 解方程： 2 3 .
x-3 x
解：方程两边同乘x(x-3)，得 2x=3x-9. 解得 x=9. 检验：当x=9时，x(x-3)≠0. 所以原分式方程的解为x=9.
新知探究 跟踪训练
例2 解方程:
x -1 3 .
x-1 (x-1)(x+2)
解：方程两边同乘(x-1)(x+2) ，得 x(x+2)- (x-1)(x+2) =3.
分式方程ppt课件
适用于分子、分母均为二次多项式的分 式方程。
因式分解法
将分式方程的分子或分母进行因式分解，从而简化方程。 因式分解法可以方便地找到分式方程的解，特别是当分子或分母含有公因式时。
适用于分子、分母均可因式分解的分式方程。
03
分式方程应用举例
工程问题
工作总量 = 工作时间 × 工作 效率
工作时间 = 工作总量 ÷ 工作 效率
工作效率 = 工作总量 ÷ 工作 时间
举例：一项工程，甲单独做需 要20天完成，乙单独做需要30 天完成。如果两人合作，需要 多少天完成？
行程问题
速度 = 路程 ÷ 时间
举例：甲、乙两地相距360千米，一辆汽车从甲地开 往乙地，每小时行驶60千米。问这辆汽车需要多少小
方程的解。
04
对于第三个练习题，找到公共分母$x^2-1$，两边乘 以公共分母，得到整式方程$(x+1)(x-1)-4=x^2-1$， 解得$x=3$，经检验$x=3$是原方程的解。
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分式方程ppt课件
目 录
• 分式方程基本概念 • 分式方程解法 • 分式方程应用举例 • 分式方程与实际问题结合 • 分式方程求解技巧与注意事项 • 分式方程练习题与答案解析
01
分式方程基本概念
分式方程定义
分式方程是指分母里含有未知数 的有理方程。
分式方程是方程中的一种，且分 母里含有未知数的（有理）方程
之几？
经济问题
利润 = 售价 - 进价
利润率 = 利润 ÷ 进 价 × 100%
售价 = 进价 × (1 + 利润率)
进价 = 售价 ÷ (1 + 利润率)
分式方程(第一节)课件 北师大版八年级下 (2)
480 600 = − 45 x 2x
只要人人都献出一点爱
为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园， 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学 校号召同学们自愿捐款， 校号召同学们自愿捐款，已知第一次捐款总额 为4800元，第二次捐款总额 元 第二次捐款总额5000元，第二次 元 捐款人比第一次多20人 捐款人比第一次多 人，而且两次人均捐款 额正好相等，如果设第一次捐款的人数为x人 额正好相等，如果设第一次捐款的人数为 人， 那么你能列出分式方程吗？ 那么你能列出分式方程吗？
独立作业P88
作业，提升能力之法宝
习题3.6 1、2、3题
祝你成功！
日起调整居民用水价格, ★某市从今年1月1日起调整居民用水价格 某市从今年 月 日起调整居民用水价格 每立方米水费上涨0.4元 小丽家去年 小丽家去年12月的 每立方米水费上涨 元.小丽家去年 月的 水费是15元 而今年 月份的水费是25元 而今年7月份的水费是 水费是 元,而今年 月份的水费是 元. ☆ 如果设去年每立方米水费为 元。那么今 如果设去年每立方米水费为x元 ） 年每立方米水费为（x+0.4）元。 15 ☆ 小丽家去年 月的用水量是 小丽家去年12月的用水量是 立方 x 米。 25 今年7月份的用水量是 ☆ 今年 月份的用水量是 x + 0.4 立方米
比较左右两边的方程, 有什么不同? 比较左右两边的方程 有什么不同
y + 2 1 -2 y = 3 4 y + 2 y - 1 = 2 5 5 6 x -2 = 4 x + 4
9000 15000 = x x + 3000
480 600 = − 45 2x x
谁能试说一下什么是分式方程？ 谁能试说一下什么是分式方程？
初中数学人教版八年级上册《15.分式方程》课件(1)
谢谢大家
解：方程两边同时乘以(x-m)(x-n),
可得(x+m)(x-m)+(x+n)(x-n)=2(x-m)(x-n),
即是 x2 - m2 x2 - n2 2x2 - 2(m n)x 2m,n 整理得：2(m n)x (m n)2 ，
因为 m ≠n，所以m+n≠0，解得：x m n ，
5k
解得k≠-3.
②x存在，则 3 k 有意义，即k≠-5. 5k
所以k的取值范围是k≠-3且k≠-5.
3 k ≠，1 5k
含字母的 分式方程
含字母的分式方程的概念
解含字母的分式方程的 一般步骤
若关于x的分式方程 2 - 1- kx 1 无解，求k的值. x-2 2-x
解析：分式方程无解分为两种情况： ①分式方程化为整式方程后，求出整式方程的解使得最简公分母为0； ②分式方程化为的整式方程无解. 根据两种情况分类讨论，确定 k 的值即可.
分式方程
解关于x的分式方程： x m x n 2(m n.) x-n x-m
解析：原方程是关于x的分式方程，则x表示未知数，m、n表示已 知数，将字母m、n看作是常数，按照解一般分式方程的步骤即可. 注意：原分式方程含有常数项，在去分母的时候要将常数项也乘 以最简公分母.
解关于x的分式方程： x m x n 2(m n.) x-n x-m
x
2
3
.
解：方程两边同时乘以2x(x+3)，得x+3=4x， 解得：x=1. 检验：当x=1时，2x(x+3)=8≠0， 所以原分式方程的解是 x=1.
解分式方程： 2 x -1
4 x2 -1
.
解：方程两边同时乘以(x+1)(x-1)，得2(x+1)=4， 解得：x=1. 检验：当x=1时，(x+1)(x-1)=0， 所以x=1不是原分式方程的解， 则原分式方程无解.
分式方程(一)
第五章分式与分式方程4．分式方程（一）总体说明本节共三个课时,它分为分式方程的认知,分式方程的解答,以及分式方程在实际问题中的应用。
彼此之间由浅入深。
是“实际问题——分式方程建模——求解——解释解的合理性”过程。
本章在前面几节陆续介绍了分式，分式的乘除，分式的加减，为本节解分式方程打下了扎实的基础。
同时应注意对学生实行过程性评价，要延迟评价学生运算的熟练水准，允许学生经过一定时间达到《标准》要求的目标，把评价重点放在对算理的理解上。
一、学生起点分析学生的知识技能基础：能熟练准确地解一元一次方程；已学过度式的定义；理解分式有意义的条件；能利用分式的基本性质实行约分通分；课前预习知晓分式方程的概念。
学生活动经验基础：八年级的学生已经具备了一定的自主探究水平和分析问题的水平，并对发现新问题以及寻求解决办法有相当的兴趣和积极的愿望．二、教学任务分析教学时要有意识地进一步提升学生的阅读理解水平，鼓励学生从多角度思考问题，解释所获得结果的合理性。
对于常用的数量关系，虽然学生以前大都接触过，但在本节的教学中仍要注意复习、总结，并抓住用两个已知量表示第三个量的表达式，引导学生举一反三，进一步提升分析问题与解决问题的水平。
本节课的具体教学目标为：1．理解分式方程的概念；2.能够根据实际问题建立分式方程的数学模型，并能归纳出分式方程的描绘性定义。
3．在建立分式方程的数学模型的过程中培养水平和克服困难的勇气，并从中获得成就感，提升解决问题的水平。
三、教学过程分析本节课设计了5个教学环节：引入新课——探索新知——感悟升华——课堂反馈——自我小结第一环节引入新课活动内容：在这个章的第一节《分式》中，我们曾研究过一个“固沙造林，绿化家园”的问题。
面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成计划任务。
原计划每月固沙造林多少公顷？分析：这个问题中有哪些已知量和未知量？已知量：造林总面积2400公顷实际每月造林面积比原计划多30公顷提前4个月完成原任务未知量：原计划每月固沙造林多少公顷这个问题中有哪些等量关系？实际每月固沙造林的面积=计划每月固沙造林的面积+30公顷原计划完成的时间—完成实际的时间=4个月我们设原计划每月固沙造林x公顷，那么原计划完成一期工程需要＿＿＿个月，实际完成一期工程用了＿＿＿＿个月，根据题意，可得方程＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
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( x + 1 )2－4 = x2－1
解这个整式方程，得 x=1
经检验得： x = 1 是增根 ∴原方程无解.
解方程：
1 2 (1) 2x x 3
x 2 ( 2) 1 x 1 3x 3
随 堂 练 习
5 1 (3) 2 0 2 x x x x
思考题:
x-3 解关于x的方程 x-1 (A)-2 (B)-1 m 产生增根,则常数m的值等于( x-1 (C ) 1 (D) 2
100(20 v) 60(20 v)
解得: v=5
检验:将v=5代入原方程, 左边=4=右边,因些v=5是 分式方程的解.
各分母 的最简 公分母
解分式方程:
பைடு நூலகம்
1 2 x 1 ( x 1)(x 1)
为什么会产生增根?
解分式方程的思路是：
分式 方程 去分母
整式 方程
解分式方程的一般步骤
1、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分 母，化成整式方程.
2、解这个整式方程.
3、 把整式方程的根代入最简公分母，每结果 是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的 增根，必须舍去. 4、写出原方程的根.
例1
x 1 4 2 1 解方程 x 1 x 1
解：方程两边都乘以 (x+1) ( x – 1 ) , 约去分母，得
=
)
一化二解三检验
1、解分式方程的思路是：
分式方程
去分母
整式方程
2、解分式方程的一般步骤：
（1）作业本 （2）课本： P38 习题16.3 第 1题中的 （1）~（4）
石器时代sf / 石器时代sf
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户照进来的月光时而明亮，时而昏暗。耿正的内心随着月光的明暗变化，也时而清晰，时而迷茫兄妹三人已经默默地在大木床上躺了 好一会儿了，但似乎谁也不想先开口说话。良久，耿英轻轻地说：“哥，咱们的日常消费实在是不能再节俭了，但剩的钱不多了，咱 得赶快想办法赚钱啊！”耿直赶快说：“姐姐，我还可以再少吃一点儿！”耿正摸摸弟弟的头，轻轻地说：“又说傻话了不是！赚不 来钱，光知道扎住嘴巴怎么行啊。哥已经有想法了，只是还有些犹豫不决”看到哥哥一直沉吟着没有下文，耿英轻轻地说：“哥，我 知道，你是在打算利用你那一手好二胡来起步了。我没有说错吧！”耿正吃惊地问：“你怎么知道的？”耿英轻轻地叹一口气，说： “唉，这还不明摆着的事情嘛。连着几天了，你在那几家大酒店的门口望着那些个艺人出神，回来了又拿起咱们的那把二胡不说话我 知道，你一直犹豫不决是因为担心我，你不想让我做卖艺的人其实没有什么的，我也会一些呢，弟弟也能说会唱的最重要的是做这个 不需要本钱，最多也就是再买两个笛子而已咱们不是打听过了嘛，那些个在大酒店里献艺的人赚得银子不少呢咱们可以先做做看的。 等赚到的银子够做其他生意了，咱再改行做其他生意”听妹妹如此说，耿正终于下决心了。第二天一早，耿正兄妹三人洗漱收拾停当 以后，都穿上前年儿刚到汉口镇上时爹爹给他们买的另一套从来没有舍得穿过的新衣服。这套衣服比穿过的那一套略微宽大一些，尤 其耿直的那一套更是大了一号。因此，虽然过去一年半了，他们或多或少地都长高长大了一些，但穿起来一看，衣服都非常合适。耿 直难过地说：“爹怎么知道我会长大这么多啊！”耿英叹一口气，轻轻地说：“咳，爹是看着我们长大的啊！”看到弟弟妹妹提起爹 爹来又要难过了，耿正赶快提醒他们：“今儿个咱们是去应试的，要打起精神来才好，必须注意所有的言行举止啊！”耿英点点头， 轻轻地说：“哥你放心，我知道！”耿直也说：“我也知道！”看看再没有什么需要准备的了，耿正带上那把跟随他们转辗而来的心 爱的二胡，和弟弟妹妹一起，先去“梁计小饭店”吃了最简单的早饭。然后，兄妹三人就直接奔离十字大街不远的“盛元酒店”去了。 兄妹仨前几日在街面上转悠着寻找活儿干的时候，耿正就已经注意到了，这“盛元酒店”在景德镇上虽然算不上数一数二的大酒店， 但其生意却特别好，几乎每日里的午餐和晚餐饭点儿上都是桌桌满座，这就表明，这家酒店的人气儿好！而酒店的人气儿好，也就直 接映射出来，该酒店老板的人品应该不会错的。更重要的是，耿正还留意观察，发现这家酒店的伙计们，对那些来这里献艺的艺人们 都很尊重，客客气气迎进送出的。当然，那些经常来此献艺的几个艺
16.3 分式方程（1）
临海中学
初二数学组
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,
它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间,与
以最大航速航行60千米所用时间相等,江水的流
速为多少?
解:设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得
100 60 20 v 20 v
分母中含未知数的 方程叫做分式方程.
下列关于x的方程中,其中哪几个是分式方程?
x 1 x 1 (1) 1, 3 2
( x 1) (3) 1 x 1
2
x2 ( 2) x a2
x2 1 ( 4) x 1 2
你敢应战吗？
100 60 20 v 20 v
将分式方程转化为 整式方程
两边同乘以 (20 v)(20 v) 得: