人教版数学高二必修五测试题组 第二章 数列B组
2021年高中数学 第二章 数列章末测试题(B)新人教版必修5

2021年高中数学 第二章 数列章末测试题(B )新人教版必修5一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.等差数列-2,0,2,…的第15项为( ) A .11 2 B .122 C .13 2 D .142答案 C解析 ∵a 1=-2,d =2,∴a n =-2+(n -1)×2=2n -2 2. ∴a 15=152-22=13 2.2.若在数列{a n }中,a 1=1,a n +1=a 2n -1(n ∈N *),则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=( ) A .-1 B .1 C .0 D .2答案 A解析 由递推关系式,得a 2=0,a 3=-1,a 4=0,a 5=-1. ∴a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=-1.3.某种细胞开始有2个,1小时后分裂成4个并死去1个,2小时后分裂成6个并死去1个,3小时后分裂成10个并死去1个,…,按此规律进行下去,6小时后细胞存活的个数是( )A .33个B .65个C .66个D .129个答案 B解析 设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为{a n }.则⎩⎪⎨⎪⎧a 1=2,a n +1=2a n -1,即a n +1-1a n -1=2. ∴a n -1=1·2n -1,∴a n =2n -1+1,∴a 7=65.4.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若S 8=30,S4=7,则a 4的值等于( ) A.14 B.94 C.134 D.174答案 C解析 由题意可知,⎩⎪⎨⎪⎧8a 1+8×8-1d2=30,4a 1+4×4-1d2=7,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=14,d =1.故a 4=a 1+3=134. 5.设f (x )是定义在R 上的恒不为零的函数,且对任意的实数x 、y ∈R ,都有f (x )·f (y )=f (x +y ),若a 1=12,a n =f (n )(n ∈N *),则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围为( )A .[12,2)B .[12,2]C .[12,1)D .[12,1]答案 C解析 依题意得f (n +1)=f (n )·f (1),即a n +1=a n ·a 1=12a n ,所以数列{a n }是以12为首项,12为公比的等比数列,所以S n =121-12n 1-12=1-12n ,所以S n ∈[12,1). 6.小正方形按照如图所示的规律排列:每个图中的小正方形的个数构成一个数列{a n },有以下结论:①a 5=15;②数列{a n }是一个等差数列;③数列{a n }是一个等比数列;④数列的递推公式为:a n +1=a n +n +1(n ∈N *).其中正确的命题序号为( )A .①②B .①③C .①④D .①答案 C解析 当n =1时,a 1=1;当n =2时,a 2=3;当n =3时,a 3=6;当n =4时,a 4=10,…,观察图中规律,有a n +1=a n +n +1,a 5=15.故①④正确.7.已知数列{a n }满足a 1=0,a n +1=a n -33a n +1(n ∈N *),则a 20=( ) A .0 B .- 3 C. 3 D.32答案 B解析 由a 1=0,a n +1=a n -33a n +1(n ∈N *), 得a 2=-3,a 3=3,a 4=0,…,由此可知数列{a n }是周期变化的,周期为3,∴a 20=a 2=- 3.8.数列{a n }满足递推公式a n =3a n -1+3n-1(n ≥2),又a 1=5,则使得{a n +λ3n}为等差数列的实数λ=( )A .2B .5C .-12D.12答案 C解析 a 1=5,a 2=23,a 3=95,令b n =a n +λ3n ,则b 1=5+λ3,b 2=23+λ9,b 3=95+λ27,∵b 1+b 3=2b 2,∴λ=-12.9.在等差数列{a n }中,a 10<0,a 11>0,且a 11>|a 10|,则{a n }的前n 项和S n 中最大的负数为( )A .S 17B .S 18C .S 19D .S 20 答案 C解析 ∵a 10<0,a 11>0,且a 11>|a 10|,∴a 11+a 10>0.S 20=20a 1+a 202=10·(a 11+a 10)>0.S 19=19a 1+a 192=192·2a 10<0. 10.将数列{3n -1}按“第n 组有n 个数”的规则分组如下:(1),(3,9),(27,81,243),…,则第100组中的第一个数是( )A .34 950B .35 000C .35 010D .35 050答案 A解析 在“第n 组有n 个数”的规则分组中,各组数的个数构成一个以1为首项,公差为1的等差数列.因前99组数的个数共有1+99×992=4 950个,故第100组中的第1个数是34 950.11.(xx·新课标)已知{a n }为等比数列,a 4+a 7=2,a 5a 6=-8,则a 1+a 10=( ) A .7 B .5 C .-5 D .-7答案 D解析 ∵{a n }为等比数列,∴a 5a 6=a 4a 7=-8.联立⎩⎪⎨⎪⎧a 4+a 7=2,a 4a 7=-8,可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4=4,a 7=-2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4=-2,a 7=4.当⎩⎪⎨⎪⎧a 4=4a 7=-2时,q 3=-12,故a 1+a 10=a 4q 3+a 7q 3=-7;当⎩⎪⎨⎪⎧a 4=-2a 7=4时,q 3=-2,同理,有a 1+a 10=-7.12.(xx·全国)已知等差数列{a n }的前n 项和为S ,a 5=5,S 5=15,则数列{1a n a n +1}的前100项和为( )A.100101 B.99101 C.99100D.101100答案 A 解析 S 5=5a 1+a 52=5a 1+52=15,∴a 1=1.∴d =a 5-a 15-1=5-15-1=1.∴a n =1+(n -1)×1=n . ∴1a n a n +1=1n n +1.设{1a n a n +1}的前n 项和为T n ,则T 100=11×2+12×3+…+1100×101=1-12+12-13+…+1100-1101=1-1101=100101. 二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中的横线上) 13.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 9=72,则a 2+a 4+a 9=________. 答案 2414.设数列{a n }中,a 1=2,a n +1=a n +n +1,则通项a n =________. 答案n n +12+1解析 ∵a 1=2,a n +1=a n +n +1, ∴a n -a n -1=n ,a n -1-a n -2=n -1,a n -2-a n -3=n -2,…,a 3-a 2=3,a 2-a 1=2,a 1=2.将以上各式的两边分别相加,得a n =[n +(n -1)+(n -2)+(n -3)+…+2+1]+1=n n +12+1.15.若数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S n =32a n -3,则数列{a n }的通项公式是________.答案 a n =2·3n解析 n ≥2时,S n =32a n -3,①S n -1=32a n -1-3,②①-②知a n =32a n -32a n -1,即12a n =32a n -1.∴a n a n -1=3,由S n =32a n -3,得S 1=a 1=32a 1-3. 故a 1=6,∴a n =2·3n.16.某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前按下列方法确定房价:由于首层与顶层均为复式结构,因此首层价格为a 1元/m 2,顶层由于景观好价格为a 2元/m 2,第二层价格为a 元/m 2,从第三层开始每层在前一层价格上加价a100 元/m 2,则该商品房各层的平均价格为________.答案123(a 1+a 2+23.1a ) 元/m 2 解析 设第二层数列到第22层的价格构成数列{b n },则{b n }是等差数列,b 1=a ,公差d =a100,共21项,所以其和为S 21=21a +21×202·a 100=23.1a ,故平均价格为123(a 1+a 2+23.1a ) 元/m 2.三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)等差数列{a n }中,a 4=10,且a 3,a 6,a 10成等比数列.求数列{a n }前20项的和S 20.解析 设公差为d ,则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4=10,a 26=a 3·a 10,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+3d =10,a 1+5d2=a 1+2d ·a 1+9d ,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=10,d =0或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=7,d =1.∴S 20=200或S 20=330.18.(12分)(xx·新课标全国Ⅱ)已知等差数列{a n }的公差不为零,a 1=25,且a 1,a 11,a 13成等比数列.(1)求{a n }的通项公式; (2)求a 1+a 4+a 7+…+a 3n -2. 解析 (1)设{a n }的公差为d .由题意,a 211=a 1a 13,即(a 1+10d )2=a 1(a 1+12d ). 于是d (2a 1+25d )=0.又a 1=25,所以d =0(舍去),d =-2. 故a n =-2n +27.(2)令S n =a 1+a 4+a 7+…+a 3n -2.由(1)知a 3n -2=-6n +31,故{a 3n -2}是首项为25,公差为-6的等差数列. 从而S n =n 2(a 1+a 3n -2)=n2(-6n +56)=-3n 2+28n .19.(12分)已知{a n }为递减的等比数列,且{a 1,a 2,a 3){-4,-3,-2,0,1,2,3,4}.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)当b n =1--1n2a n 时,求证:b 1+b 2+b 3+…+b 2n -1<163.解析 (1)∵{a n }是递减的等比数列, ∴数列{a n }的公比q 是正数.又∵{a 1,a 2,a 3}{-4,-3,-2,0,1,2,3,4},∴a 1=4,a 2=2,a 3=1.∴q =a 2a 1=24=12.∴a n =a 1qn -1=82n . (2)由已知得b n =8[1--1n]2n +1,当n =2k (k ∈N *)时,b n =0,当n =2k -1(k ∈N *)时,b n =a n .即b n =⎩⎪⎨⎪⎧0,n =2k ,k ∈N *,a n ,n =2k -1,k ∈N *.∴b 1+b 2+b 3+…+b 2n -2+b 2n -1 =a 1+a 3+…+a 2n -1 =4[1-14n]1-14=163[1-(14)n ]<163. 20.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n +S n =1(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足b n =3+log 4a n ,设T n =|b 1|+|b 2|+…+|b n |,求T n . 解析 (1)由a n +S n =1,得a n +1+S n +1=1, 两式相减,得a n +1-a n +S n +1-S n =0. ∴2a n +1=a n ,即a n +1=12a n .又n =1时,a 1+S 1=1,∴a 1=12.又a n +1a n =12,∴数列{a n }是首项为12,公比为12的等比数列.∴a n =a 1qn -1=12·(12)n -1=(12)n. (2)b n =3+log 4(12)n =3-n 2=6-n2.当n ≤6时,b n ≥0,T n =b 1+b 2+…+b n =n 11-n4;当n >6时,b n <0,T n =b 1+b 2+…+b 6-(b 7+b 8+…+b n )=6×54-[(n -6)(-12)+n -6n -72·(-12)]=n 2-11n +604.综上,T n=⎩⎪⎨⎪⎧n 11-n 4n ≤6,n 2-11n +604n ≥7.21.(12分)(2011·湖南)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ,M 的价值在使用过程中逐年减少,从第2年到第6年,每年初M 的价值比上年初减少10万元;从第7年开始,每年初M 的价值为上年初的75%.(1)求第n 年初M 的价值a n 的表达式; (2)设A n =a 1+a 2+…+a nn.若A n 大于80万元,则M 继续使用,否则须在第n 年初对M 更新.证明:须在第9年初对M 更新.解析 (1)当n ≤6时,数列{a n }是首项为120,公差为-10的等差数列,此时a n =120-10(n -1)=130-10n ;当n ≥6时,数列{a n }是以a 6为首项,公比为34的等比数列,又a 6=70,所以a n =70×(34)n-6.因此第n 年初,M 的价值a n 的表达式为 a n =⎩⎪⎨⎪⎧130-10n ,n ≤6,70×34n -6,n ≥7.(2)证明 设S n 表示数列{a n }的前n 项和,由等差及等比数列的求和公式,得 当1≤n ≤6时,S n =120n -5n (n -1),A n =120-5(n -1)=125-5n ; 当n ≥7时,由于S 6=570,故S n =S 6+(a 7+a 8+…+a n )=570+70×34×4×[1-(34)n -6]=780-210×(34)n -6.A n =780-210×34n -6n.易知{A n }是递减数列.又A 8=780-210×3428=824764>80,A 9=780-210×3439=767996<80, 所以需在第9年初对M 更新.22.(12分)已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2+a 3+a 4=28,且a 3+2是a 2,a 4的等差中项.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =a n log 12a n ,S n =b 1+b 2+…+b n ,对任意正整数n ,S n +(n +m )a n +1<0恒成立,试求m 的取值范围.解析 (1)设等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q .依题意,有2(a 3+2)=a 2+a 4,代入a 2+a 3+a 4=28,得a 3=8.因此a 2+a 4=20,即有⎩⎪⎨⎪⎧a 1q +a 1q 3=20,a 3=a 1q 2=8.解得⎩⎪⎨⎪⎧q =2,a 1=2或⎩⎪⎨⎪⎧q =12,a 1=32.又数列{a n }单调递增,则⎩⎪⎨⎪⎧q =2,a 1=2.故a n =2n.(2)∵b n =2n·log 122n=-n ·2n ,∴-S n =1×2+2×22+3×23+…+n ×2n,① -2S n =1×22+2×23+3×24+…+(n -1)×2n +n ×2n +1.② ①-②,得S n =2+22+23+…+2n -n ·2n +1=21-2n1-2-n ·2n +1=2n +1-n ·2n +1-2.∵S n +(n +m )a n +1<0,∴2n +1-n ·2n +1-2+n ·2n +1+m ·2n +1<0对任意正整数n 恒成立.∴m ·2n +1<2-2n +1对任意正整数n 恒成立,即m <12n -1恒成立.∵12n -1>-1,∴m ≤-1,即m 的取值范围是(-∞,-1].23200 5AA0 媠0x35618 8B22 謢 31153 79B1 禱 $#36511 8E9F躟35533 8ACD 諍25433 6359 捙q20968 51E8 凨26603 67EB 柫。
人教新课标版数学高二必修5(R-B版)过关测试 第二章 数列

第二章过关测试卷(100分,45分钟)一、选择题(每题6分,共48分)1.等差数列a1,a2,a3,…,a n的公差为d,则数列ca1,ca2,…,ca n(c为常数,且c≠0)是()A.公差为d的等差数列B.公差为cd的等差数列C.非等差数列D.以上都不对2.已知等比数列{a n}的前三项依次为a-1,a+1,a+4,则a n等于( )A.4·2 3n⎛⎫ ⎪⎝⎭B.4·32n⎛⎫⎪⎝⎭C.4·123n-⎛⎫⎪⎝⎭D.4·132n-⎛⎫⎪⎝⎭3.等比数列{a n}的前4项和为240,第2项与第4项的和为180,则数列{a n}的首项为()A.2B.4C.6D.84.〈济南外国语学校考试〉已知等比数列{a n}满足a1=3,且4a1,2a2,a3成等差数列,则数列{a n}的公比等于()A.1B.-1C.-2D.25.〈江西吉安高三模拟〉若{a n}为等差数列,S n是其前n项和,且S13=263π,则tan a7的值为()33-3 D.33 -6.〈郑州模拟〉已知各项均不为0的等差数列{a n}满足2a3-27a+2a11=0,数列{b n}为等比数列,且b7=a7,则b6b8等于( )A.2B.4C.8D.167.〈全国Ⅰ理〉设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,则m等于( )A.3B.4C.5D.68.各项都是实数的等比数列{a n}的前n项和记为S n,若S10=10,S30=70,则S40等于()A.150B.-200C.150或-200D.400或-50二、填空题(每题5分,共15分)9.等比数列{a n}的前n项和为S n,且4a1,2a2,a3成等差数列.若a1=1,则S4= .10.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2=1,S 5=10,则S 7= . 11.〈新定义题〉若数列{a n }满足211n n n na a a a +++-=k (k 为常数),则称{a n }为等比差数列,k 叫做公比差.已知{a n }是以2为公比差的等比差数列,其中a 1=1,a 2=2,则a 5= . 三、解答题(14题13分,其余每题12分,共37分)12.〈全国大纲理〉等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 3=22a ,且S 1,S 2,S 4成等比数列,求{a n }的通项公式.13.〈辽宁五校协作体高二上学期期中考试〉数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,1n a + =2S n +1(n ∈N +),等差数列{b n }满足b 3=3,b 5=9. (1)分别求数列{a n },{b n }的通项公式; (2)设c n =22n n b a ++ (n ∈N +),求证c n +1<c n ≤13.14.〈河南师大附中高二上学期期中考试〉已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n =12(3n +S n )对一切正整数n 均成立.(1)求出数列{a n }的通项公式;(2)设b n =3na n ,求数列{b n }的前n 项和B n .参考答案及点拨一、1.B 点拨:∵a n -a n -1=d ,c ≠0,(n ≥2,n ∈N +)∴ca n -ca n -1=c (a n -a n -1)=cd (常数),∴数列{ca n }是公差为cd 的等差数列.2.D 点拨:由等比数列的性质可得(a +1)2=(a -1)(a +4),解得a =5.∴a 1=5-1=4,公比q =513=42+,∴a n =4·132n -⎛⎫ ⎪⎝⎭.3.C 点拨:由S 4-(a 2+a 4)=60,得a 1+a 3=60,∴q =2413a a a a ++=3,又a 1+a 3=a 1+a 1·q 2=60,∴a 1=6.4.D 点拨:设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0),因为4a 1,2a 2,a 3成等差数列,所以4a 1+a 1q 2=4a 1q .因为a 1≠0,所以q 2-4q +4=0,解得q =2.5.B 点拨:由题意,得S 13=13a 7=263π,则a 7=23π,从而tan a 7=tan 23π6.D 点拨:因为{a n }是等差数列,所以a 3+a 11=2a 7,所以已知等式可化为4a 7-27a =0,解得a 7=4或a 7=0(舍去),又{b n }为等比数列,所以b 6b 8=27b =27a =16.7.C 点拨:∵{a n }是等差数列,S m -1=-2,S m =0,∴a m =S m -S m -1=2.∵S m +1=3,∴a m +1=S m +1-S m =3,∴公差d =a m +1-a m =1.又S m =11()(2)22m m a a m a ++==0,∴a 1=-2,∴a m =-2+(m -1)·1=2,∴m =5.8.A 点拨:方法一:由S m +n =S m +q m S n ,得S 30=S 20+q 20S 10=S 10+q 10S 10 +q 20S 10,从而有q 20+q 10-6=0,∴q 10=2(q 10=-3舍去).∴S 40=S 30+q 30S 10=70+23×10=150.故选A.方法二:由S 40= S 30+q 30S 10, S 30>0,q 30>0, S 10>0,知S 40>0,从而排除B 、C 、D,故选A.二、9.15 点拨:设{a n }的公比为q (q ≠0).∵4a 1,2a 2,a 3成等差数列,∴4a 1+a 3=4a 2,即4a 1+a 1q 2=4a 1q ,∴q 2-4q +4=0,解得q =2,∴S 4=4112⨯-(1-2)=15.10.21 点拨:设{a n }的公差为d ,由题意知1111,1,5(51)0.510,2a d d a a d +=⎧=⎧⎪⎨⎨⨯-=+=⎩⎪⎩解得故S 7=7a 1+72d ⨯(7-1)=21. 11.384 点拨:由32212a a a a -=得,a 3=8,由34322aa a a -=得,a 4=48,由54432a a a a -=得,a 5=384.三、12.解:设{a n }的公差为d . 由S 3=22a ,得3a 2=22a ,故a 2=0或a 2=3.因为S 1=a 2-d ,S 2=2a 2-d ,S 4=4a 2+2d , S 1, S 2, S 4成等比数列, 所以(2a 2-d )2=(a 2-d )(4a 2+2d ).若a 2=0,则d 2=-2d 2,所以d =0,此时S n =0,不符合题意,舍去; 若a 2=3,则(6-d )2=(3-d )(12+2d ),解得d =0或d =2. 因此{a n }的通项公式为a n =3或a n =2n -1.13.(1)解:由1n a +=2S n +1①,得a n =2S n -1+1(n ≥2,n ∈N +)②, ①-②,得a n +1-a n =2(S n -S n -1),∴a n +1=3a n ,∴a n =3n -1; 设{b n }的公差为d ,∵b 5-b 3=2d =6,∴d =3.∴b n =3n -6.(2)证明:∵a n +2=3n +1,b n +2=3n ,∴c n =133n n +=3n n, ∴c n +1-c n =1123n n +-<0,∴c n +1<c n <…<c 1=13,∴c n +1<c n ≤13.14.解:(1)由已知得S n =2a n -3n ,则S n +1=2a n +1-3(n +1), 两式相减并整理得:a n +1=2a n +3,所以3+a n +1=2(3+a n ). 又a 1=S 1=2a 1-3,所以a 1=3,所以3+a 1=6≠0, 所以a n +3≠0,所以133n na a +++ =2,故数列{3+a n}是首项为6,公比为2的等比数列,所以3+a n=6×2n-1,即a n=3(2n-1).(2)b n=n(2n-1)=n2n-n.设T n=1×2+2×22+3×23+…+n×2n,①则2T n=1×22+2×23+…+(n-1)2n+n×2n+1,②②-①,得T n=-(2+22+23+…+2n)+n2n+1=12212n+--+-n2n+1=2+(n-1)2n+1.∴B n=T n-(1+2+3+…+n)=2+(n-1)2n+1-(1)2n n+.。
【测控设计】高二数学人教A版必修5单元测评:第二章数列B含解析.doc

第二章测评B(高考体验卷)(时间:90分钟满分:100分)—、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2014重庆高考)在等差数列{如中,ai=2,a3+a5=10,则a7=()A.5B.8C.10D.14解析:由等差数列的性质,可知4[+如=。
3+。
5・因为。
1=2,。
3+。
5=10,所以617=8.故选B.答案:B2.(2014重庆高考)对任意等比数列{给},下列说法一定正确的是()A・W3,O9成等比数列B.a2,Q3,d6成等比数列C.d2,d4,d8成等比数列D.G3,%a9成等比数列解析:根据等比数列的性质,若加N+),则如弘冷成等比数列,故选D.答案:D3.(2014福建高考)等差数列{冷}的前n项和为必,若6/^2,53=12,则他等于()A.8B.10C.12D.14(・)_________解析:因为S3=3ai+ d=3x2+ d=12,所以d=2.所以6f6=«i+(6-l)J=2+5x2=l2.故选C.答案:c4.(2014天津高考)设{禺}是首项为a】,公差为・1的等差数列,S“为其前“项和若$,S2,S4成等比数列,则如二()A.2B.-2C._D.-_解析:由题意知=S「S4,则a+di・l)2=Qi(4a]・6),解得di=-.故选D.答案:D5.(2014辽宁高考)设等差数列{禺}的公差为d.若数列{}为递减数列,则()A.d>0B.dvOC.d]d>0D.d]dvO解析:・・・{}为递减数列,2«l fl n z、・•・ <1.・・・dMvO.故选D.答案:D6.(2014课标全国II高考)等差数列仏}的公差为2,若如他,购成等比数列,则{如}的前n 项和s=()( ) (・) A・〃(n+1) ) C. D.解析: ':如。
4,。
8成等比数列,•: =。
人教课标版高中数学必修5第二章《数列》章末综合测试B卷

第二章《数列》章末综合测试B 卷(时间:100分钟,满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.一个首项为23,公差为整数的等差数列中,前6项均为正数,从第7项起为负数,则公差d 为( )A .-2B .-3C .-4D .-52.若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ,则公比为( )A .2B .4C .8D .163.已知{a n }为等差数列,a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99,则a 20等于( )A .-1B .1C .3D .74.在等差数列{a n }中,前n 项和为S n ,S 10=90,a 5=8,则a 4=( )A .16B .12C .8D .65.在等比数列{a n }中,若a n >0,且a 2=1-a 1,a 4=9-a 3,则a 4+a 5的值为( )A .16B .81C .36D .276.一个蜂巢里有1只蜜蜂,第1天,它飞出去找回了5个伙伴;第2天,6只蜜蜂飞出去,各自找回了5个伙伴…如果这个找伙伴的过程继续下去,第6天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有蜜蜂( )A .55 986只B .46 656只C .216只D .36只7.等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,S n 为前n 项和,则数列{S n n}是( ) A .首项为a 1,公差为d 的等差数列B .首项为a 1,公比为d 的等比数列C .首项为a 1,公差为d 2的等差数列 D .首项为a 1,公比为d 2的等比数列 8.已知S n =1-2+3-4+…+(-1)n -1n ,则S 17+S 33+S 50等于( )A .0B .1C .-1D .29.已知{a n }为等差数列,a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99,以S n 表示{a n }的前n 项和,则使得S n 达到最大值的n 是( )A .21B .20C .19D .1810.数列{a n }的通项公式a n =n cos n π2,其前n 项和为S n ,则S 2 012等于( ) A .1 006 B .2 012C .503D .0二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在题中的横线上) 11.2-1与2+1的等比中项是________.12.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列,则数列{a n }的公比为________.13.已知数列{a n }为等比数列,S n 是它的前n 项和.若a 2·a 3=2a 1,且a 4与2a 7的等差中项为54,则S 5等于________. 14.在数列{a n }和{b n }中,b n 是a n 和a n +1的等差中项,a 1=2且对任意n ∈N *都有3a n +1-a n =0,则数列{b n }的通项b n =________.15.某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前按下列方法确定房价:由于首层与顶层均为复式结构,因此首层价格为a 1元/m 2,顶层由于景观好价格为a 2元/m 2,第二层价格为a 元/m 2,从第三层开始每层在前一层价格上加价a 100元/m 2,则该商品房各层的平均价格为________元/m 2.三、解答题(本大题共5小题,共50分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(本小题满分10分)数列{a n }的前n 项和记为S n ,点(n ,S n )在曲线f (x )=x 2-4x (x ∈N *)上.求数列{a n }的通项公式.17.(本小题满分10分)已知数列{log 2(a n -1)}(n ∈N *)为等差数列,且a 1=3,a 3=9.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)证明:1a 2-a 1+1a 3-a 2+…+1a n +1-a n<1.18.(本小题满分10分))等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 1,S 3,S 2成等差数列.(1)求数列{a n }的公比q ;(2)若a 1-a 3=3,求S n .19.(本小题满分10分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,a n +1=12S n (n =1,2,3,…). (1)求数列{a n }的通项公式;(2)当b n =log 32(3a n +1)时,求证:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n +1的前n 项和T n =n 1+n .20.(本小题满分10分)甲、乙两超市同时开业,第一年的全年销售额为a 万元,由于经营方式不同,甲超市前n 年的总销售额为a 2(n 2-n +2)万元,乙超市第n 年的销售额比前一年销售额多a ⎝⎛⎭⎫23n -1万元.(1)求甲、乙两超市第n 年销售额的表达式;(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%,则该超市将被另一超市收购,判断哪一超市有可能被收购?如果有这种情况,将会出现在第几年?参考答案一、选择题1.解析:选C.设通项公式为a n =23+(n -1)d ,由题意列不等式组⎩⎪⎨⎪⎧23+(6-1)d >0,23+(7-1)d <0,解得-235<d <-236.∵d 是整数,∴d =-4. 2.解析:选B.由a n a n +1=16n ,知a 1a 2=16,a 2a 3=162,后式除以前式得q 2=16,∴q =±4.∵a 1a 2=a 21q =16>0,∴q >0,∴q =4.3.解析:选B.∵a 1+a 3+a 5=3a 3=105,∴a 3=35,∴a 2+a 4+a 6=3a 4=99,∴a 4=33,∴d =a 4-a 3=33-35=-2,∴a 20=a 3+17d =35+17×(-2)=1.4.解析:选D.设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则⎩⎪⎨⎪⎧10a 1+10×92d =90,a 1+4d =8,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=0,d =2. ∴a 4=a 1+3d =0+3×2=6.5.解析:选D.设等比数列{a n }的公比为q 且q >0,由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 1q =1a 1q 2+a 1q 3=9⇒q 2=9⇒q =3, 所以a 1=14, 所以a 4+a 5=14×33+14×34=33(3+1)4=27. 6.解析:选B.设第n 天所有的蜜蜂都归巢后共有a n 只蜜蜂,则有a n +1=ba n ,a 1=6,则{a n }是公比为6的等比数列,则a 6=a 1q 5=6×65=46 656.7.解析:选C.∵S n =na 1+n (n -1)2d , ∴S n n =a 1+(n -1)·d 2, ∴{S n n }是以a 1为首项,d 2为公差的等差数列. 8.解析:选B.S 17=1-2+3-4+…+17=-8+17=9,S 33=1-2+3-4+…+33=-16+33=17,S 50=1-2+3-4+…-50=-25,∴S 17+S 33+S 50=9+17-25=1.9.解析:选B.设等差数列{a n }的公差为d ,由a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99得,3d =-6,∴d =-2,∴3a 1+6d =105,∴a 1=39,∴a n =39+(n -1)×(-2)=41-2n .又∵a 20>0,a 21<0且d =-2<0,∴当n =20时,S n 最大.10.解析:选A.由题意知,a 1+a 2+a 3+a 4=2,a 5+a 6+a 7+a 8=2,…,a 4k +1+a 4k +2+a 4k +3+a 4k +4=2,k ∈N ,故S 2 012=503×2=1 006.二、填空题11.解析:设2-1与2+1的等比中项为G ,则G 2=(2-1)(2+1)=1,∴G =±1.答案:±112.解析:由题意,知4S 2=S 1+3S 3.①当q =1时,4×2a 1=a 1+3×3a 1.即8a 1=10a 1,a 1=0不符合题意,∴q ≠1;②当q ≠1时,应有4×a 1(1-q 2)1-q =a 1(1-q )1-q +3×a 1(1-q 3)1-q,化简得3q 2=q ,得q =13或q =0(舍去). 答案:1313.解析:设数列{a n }的公比为q ,则a 2·a 3=a 21·q 3=a 1·a 4=2a 1⇒a 4=2, a 4+2a 7=a 4+2a 4q 3=2+4q 3=2×54⇒q =12. 故a 1=a 4q 3=16,S 5=a 1(1-q 5)1-q=31. 答案:3114.解析:∵由3a n +1-a n =0可得a n +1a n =13(n ∈N *), ∴数列{a n }是公比为13的等比数列. 因此a n =2·⎝⎛⎭⎫13n -1.故b n =12(a n +a n +1) =12⎣⎡⎦⎤2·⎝⎛⎭⎫13n -1+2·⎝⎛⎭⎫13n=43⎝⎛⎭⎫13n -1=4·⎝⎛⎭⎫13n . 答案:4·⎝⎛⎭⎫13n15.解析:设第二层到第22层的价格构成数列{b n },则{b n }是等差数列,b 1=a ,公差d =a 100,共21项, 所以其和为S 21=21a +21×202·a 100=23.1a , 故平均价格为123(a 1+a 2+23.1a )元/m 2.答案:123(a 1+a 2+23.1a )三、解答题16.解:由点(n ,S n )在曲线f (x )=x 2-4x (x ∈N *)上知,S n =n 2-4n ,当n ≥2时a n =S n -S n -1=n 2-4n -[(n -1)2-4(n -1)]=2n -5;当n =1时,a 1=S 1=-3,满足上式;∴数列{a n }的通项公式为a n =2n -5.17.解:(1)设等差数列{log 2(a n -1)}的公差为d .由a 1=3,a 3=9,得log 2(9-1)=log 2(3-1)+2d ,则d =1.所以log 2(a n -1)=1+(n -1)×1=n ,即a n =2n +1.(2)证明:因为1a n +1-a n =12n +1-2n =12n , 所以1a 2-a 1+1a 3-a 2+…+1a n +1-a n=121+122+123+…+12n =1-12n <1. 18.解:(1)依题意有2S 3=S 1+S 2;即a 1+(a 1+a 1q )=2(a 1+a 1q +a 1q 2).由于a 1≠0,故2q 2+q =0.又q ≠0.从而q =-12. (2)由(1)及已知可得a 1-a 1·(-12)2=3,得a 1=4, 从而S n =4[1-(-12)n ]1-(-12)=83[1-(-12)n ]. 19.解:(1)由已知⎩⎨⎧a n +1=12S n ,a n =12S n -1,(n ≥2), 得a n +1=32a n (n ≥2). ∴数列{a n }是以a 2为首项,以32为公比的等比数列. 又a 2=12S 1=12a 1=12, ∴a n =a 2×⎝⎛⎭⎫32n -2(n ≥2).∴a n =⎩⎪⎨⎪⎧1,n =1,12×⎝⎛⎭⎫32n -2,n ≥2. (2)证明:b n =log 32(3a n +1)=log 32⎣⎡⎦⎤32×⎝⎛⎭⎫32n -1=n . ∴1b n b n +1=1n (1+n )=1n -11+n , ∴T n =1b 1b 2+1b 2b 3+1b 3b 4+…+1b n b n +1=⎝⎛⎭⎫11-12+⎝⎛⎭⎫12-13+⎝⎛⎭⎫13-14+…+⎝⎛⎭⎫1n -11+n =1-11+n =n 1+n. 20.解:(1)设甲、乙两超市第n 年的销售额分别为a n ,b n .则有a 1=a ,当n ≥2时,a n =a 2(n 2-n +2)-a 2[(n -1)2-(n -1)+2] =(n -1)a ,∴a n =⎩⎪⎨⎪⎧a , n =1,(n -1)a , n ≥2. b n =b 1+(b 2-b 1)+(b 3-b 2)+…+(b n -b n -1)=⎣⎡⎦⎤3-2⎝⎛⎭⎫23n -1a (n ∈N *). (2)易知b n <3a ,所以乙超市将被甲超市收购,由b n <12a n 得:⎣⎡⎦⎤3-2⎝⎛⎭⎫23n -1a <12(n -1)a . ∴n +4⎝⎛⎭⎫23n -1>7,∴n ≥7,即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半,乙超市将被甲超市收购.。
高二数学必修5第二章数列练习题及答案ABC卷

则 =_____________。
5.若等差数列 中; 则
6.一个等比数列各项均为正数;且它的任何一项都等于它的后面两项的和;
则公比 为_______________。
三、解答题
1.已知数列 的前 项和 ;求
2.一个有穷等比数列的首项为 ;项数为偶数;如果其奇数项的和为 ;偶数项的和为 ;求此数列的公比和项数。
[综合训练B组]
一、选择题
1.已知等差数列 的公差为 ;若 成等比数列; 则 ( )
A. B. C. D.
2.设 是等差数列 的前n项和;若 ( )
A. B. C. D.
3.若 成等差数列;则 的值等于( )
A. B. 或 C. D.
4.已知三角形的三边构成等比数列;它们的公比为 ;
则 的取值范围是( )
(数学5必修)第二章:数列
[基础训练A组]
一、选择题
1.在数列 中; 等于( )
A. B. C. D.
2.等差数列 项的和 等于( )
A. B. C. D.
3.等比数列 中; 则 的前 项和为( )
A. B. C. D.
4. 与 ;两数的等比中项是( )
A. B. C. D.
5.已知一等比数列的前三项依次为 ;那么 是此数列的第( )项
∴原式=
3. 解: ;当 时;
当 时;
∴
4. 解:
当 时; ;
当 时; 为偶数;
∴
参考答案(数学5必修)第二章 [提高训而 成等差数列
即
3.D
;当 时; ;
当 时; ;
当 时; ;
4.C ;
5.C
6.B
人教新课标版数学高二必修五练习单元质量评估 第二章 数列(含答案解析)

单元质量评估(二)第二章 数列 (120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 2011是等差数列:1,4,7,10,…的第几项( ) (A )669 (B )670 (C )671 (D )6722.数列{a n }满足a n =4a n-1+3,a 1=0,则此数列的第5项是( ) (A )15 (B )255 (C )20 (D )83.等比数列{a n }中,如果a 6=6,a 9=9,那么a 3为( ) (A )4 (B )23 (C )916(D )2 4.在等差数列{a n }中,a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99,则a 20=( ) (A )-1 (B )1 (C )3 (D )75.在等差数列{a n }中,已知a 1=2,a 2+a 3=13,则a 4+a 5+a 6=( ) (A )40 (B )42 (C )43 (D )456.记等差数列的前n 项和为S n ,若S 2=4,S 4=20,则该数列的公差d=( )(A)2 (B)3 (C)6 (D)77.等差数列{a n }的公差不为零,首项a 1=1,a 2是a 1和a 5的等比中项,则数列的前10项之和是( )(A )90 (B )100 (C )145 (D )190 8.在数列{a n }中,a 1=2,2a n+1-2a n =1,则a 101的值为( ) (A )49 (B )50 (C )51 (D )529.计算机是将信息转化成二进制数进行处理的,二进制即“逢二进一”,如(1101)2表示二进制的数,将它转化成十进制的形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13,那么将二进制数16111 位转换成十进制数的形式是( )(A )217-2 (B )216-1 (C )216-2 (D )215-110.在等差数列{a n }中,若a 1+a 2+a 3=32,a 11+a 12+a 13=118,则a 4+a 10=( ) (A )45 (B )50 (C )75 (D )6011.(2011·江西高考)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足:S n +S m =S n+m ,且a 1=1,那么a 10=( )(A )1 (B )9 (C )10 (D )5512.等比数列{a n }满足a n >0,n=1,2,…,且a 5·a 2n-5=22n (n ≥3),则当n ≥1时,log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n-1=( ) (A )n(2n-1) (B )(n+1)2 (C )n 2 (D )(n-1)2二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把正确的答案填在题中的横线上)13.等差数列{a n }前m 项的和为30,前2m 项的和为100,则它的前3m项的和 为______.14.(2011·广东高考)已知{a n }是递增等比数列,a 2=2,a 4-a 3=4,则此数列的公比q=______. 15.两个等差数列{a n }, {b n },12n 12n a a a 7n 2b b b n 3++⋯++=++⋯++,则55a b =______.16.设数列{a n }中,a 1=2,a n+1=a n +n+1,则通项a n =_____.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知数列{a n }是等差数列,a 2=3,a 5=6,求数列{a n }的通项公式与前n 项的和M n .18.(12分)等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 1,S 3,S 2成等差数列. (1)求{a n }的公比q ; (2)若a 1-a 3=3,求S n .19.(12分)数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{b n }中,b 1=a 1,b n =a n -a n-1(n ≥2),若a n +S n =n ,c n =a n -1. (1)求证:数列{c n }是等比数列; (2)求数列{b n }的通项公式.20.(12分)如果有穷数列a 1,a 2,a 3,…,a m (m 为正整数)满足条件a 1=a m , a 2=a m-1,…,a m =a 1,即a i =a m-i+1(i=1,2,…,m),我们称其为“对称数列”.例如,数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,2,4,8都是“对称数列”.(1)设{b n }是7项的“对称数列”,其中b 1,b 2,b 3,b 4是等差数列,且b 1=2,b 4=11.依次写出{b n }的每一项;(2)设{c n }是49项的“对称数列”,其中c 25,c 26,…,c 49是首项为1,公比为2的等比数列,求{c n }各项的和S.[] 21.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为()nn n 1S ,S 312=-(*n N ∈),等差数列{b n }中,b n >0(*n N ∈),且b 1+b 2+b 3=15,又a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3成等比数列.(1)求数列{a n },{b n }的通项公式; (2)求数列{a n +b n }的前n 项和T n .22.(12分)某商店为了促进商品销售,特定优惠方式,即购买某种家用电器有两种付款方式可供顾客选择,家用电器价格为2 150元.第一种付款方式:购买当天先付150元,以后每月这一天都交付200元,并加付欠款利息,每月利息按复利计算,月利率为1%;第二种付款方式:购买当天先付150元,以后每个月付款一次,10个月付清,每月付款金额相同,每月利息按复利计算,月利率1%.试比较两种付款方法,计算每月所付金额及购买这件家用电器总共所付金额.答案解析1.【解析】选C.∵2011=1+(n-1)×(4-1),∴n=671.2.【解析】选B.由a n =4a n-1+3,a 1=0,依次求得a 2=3,a 3=15,a 4=63,a 5=255.3.【解析】选A.等比数列{a n }中,a 3,a 6,a 9也成等比数列,∴a 62=a 3a 9,∴a 3=4.4.【解析】选B.a 1+a 3+a 5=105,∴a 3=35,同理a 4=33, ∴d=-2,a 1=39,∴a 20=a 1+19d=1.5.【解析】选B.设公差为d,由a 1=2,a 2+a 3=13,得d=3,则a 4+a 5+a 6= (a 1+3d)+(a 2+3d)+(a 3+3d) =(a 1+a 2+a 3)+9d=15+27=42.6.【解析】选B.S 4-S 2=a 3+a 4=20-4=16,∴a 3+a 4-S 2=(a 3-a 1)+(a 4-a 2)=4d=16-4=12,∴d=3.7.【解析】选B.设公差为d,∴(1+d)2=1×(1+4d), ∵d ≠0,∴d=2,从而S 10=100.[] 8.【解题提示】利用等差数列的定义. 【解析】选D.∵2a n+1-2a n =1,∴n 1n 1a a 2+-=, ∴数列{a n }是首项a 1=2,公差1d 2=的等差数列, ∴()1011a 21011522=+-=.9.【解析】选B.形式为:1×215+1×214+1×213+…+1×21+1×20=216-1.10.【解析】选B.由已知a 1+a 2+a 3+a 11+a 12+a 13=150,∴3(a 1+a 13)=150,∴a 1+a 13=50,∴a 4+a 10=a 1+a 13=50.11.【解题提示】结合S n +S m =S n+m ,对m,n 赋值,令n=9,m=1,即得S 9+S 1=S 10,即得a 10=1.【解析】选A.∵S n +S m =S n+m ,∴令n=9,m=1,即得S 9+S 1=S 10,即S 1=S 10-S 9=a 10, 又∵S 1=a 1,∴a 10=1.12.【解题提示】由已知可先求得通项公式,再由对数的性质进行运算.【解析】选C.a 5·a 2n-5=22n (n ≥3), ∴a n 2=22n ,a n >0,∴a n =2n ,log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n-1 =1+3+…+(2n-1)=n 2.13.【解题提示】利用等差数列前n 项和的性质【解析】由题意可知S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 成等差数列,2(S 2m -S m )=S m +S 3m -S 2m∴S 3m =3(S 2m -S m )=3×(100-30)=210. 答案:21014.【解题提示】由等比数列的通项公式,可得关于公比q 的方程,从而求出q.【解析】由a 4-a 3=4得a 2q 2-a 2q=4,即2q 2-2q=4,解得q=2或q=-1(由数列是递增数列,舍去). 答案:215.【解题提示】利用等差数列的前n 项和的有关性质进行运算. 【解析】设两个等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为A n ,B n .则()()195919599a a a A 7926529b b b B 93122+⨯+====++.答案:651216.【解析】∵a 1=2,a n+1=a n +(n+1), ∴a n =a n-1+n,a n-1=a n-2+(n-1),a n-2=a n-3+(n-2),…,a 3=a 2+3,a 2=a 1+2,a 1=2=1+1将以上各式相加得:()()2n n n 1n na [n n 121]111222+=+-+⋯+++=+=++. 答案:2n n122++17.【解析】设{a n }的公差为d, ∵a 2=3,a 5=6,∴11a d 3a 4d 6+=⎧⎨+=⎩,∴a 1=2,d=1, ∴a n =2+(n-1)=n+1.()2n 1n n 1n 3nM na d .22-+=+=18.【解析】(1)依题意有a 1+(a 1+a 1q)=2(a 1+a 1q+a 1q 2)由于a 1≠0,故2q 2+q=0,又q ≠0,从而1q 2=-.(2)由已知得a 1-a 1(12-)2=3,故a 1=4从而n n n 141()812S 113212--==----[][()](). 19.【解析】(1)∵a 1=S 1,a n +S n =n,① ∴a 1+S 1=1,得11a 2=.又a n+1+S n+1=n+1 ②①②两式相减得2(a n+1-1)=a n -1, 即n 1n a 11a 12+-=-,也即n 1n c 1c 2+=, 故数列{c n }是等比数列. (2)∵111c a 12=-=-, ∴n n n n n11c ,a c 1122=-=+=-, n 1n 11a 12--=-.故当n ≥2时,n n n 1n 1n n111b a a 222--=-=-=. 又111b a 2==,即n n 1b 2=. 20.【解题提示】利用等比数列的前n 项和公式进行计算.【解析】(1)设数列{b n }的公差为d ,则b 4=b 1+3d=2+3d=11,解得d=3,∴数列{b n }为2,5,8,11,8,5,2. (2)S=c 1+c 2+…+c 49 =2(c 25+c 26+…+c 49)-c 25 =2(1+2+22+…+224)-1 =2(225-1)-1=226-3.21.【解析】(1)a 1=1,a n =S n -S n-1=3n-1,n>1,∴a n =3n-1(*n N ∈),∴数列{a n }是以1为首项,3为公比的等比数列, ∴a 1=1,a 2=3,a 3=9,在等差数列{b n }中, ∵b 1+b 2+b 3=15,∴b 2=5.又因a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3成等比数列,设等差数列{b n }的公差为d,∴(1+5-d )(9+5+d)=64,解得d=-10或d=2, ∵b n >0(*n N ∈),∴舍去d=-10,取d=2,∴b 1=3. ∴b n =2n+1(*n N ∈). (2)由(1)知∴T n =a 1+b 1+a 2+b 2+…+a n +b n =(a 1+a 2+…+a n )+(b 1+b 2+…+b n )()n n 32n 113132++-=+- n 231n 2n 22=++-. 22.【解题提示】第一种付款方式是等差数列模型,第二种付款方式是等比数列模型,分别计算出实际共付金额,再比较得出结论. 【解析】第一种方式:购买时先付150元,欠2 000元,按要求知10次付清,则第1次付款金额为a 1=200+2 000×0.01=220(元); 第2次付款金额为a 2=200+(2 000-200)×0.01=218(元) ……第n 次付款金额为a n =200+[2 000-(n-1)×200]×0.01=220-(n-1)×2(元).不难看出每次所付款金额顺次构成以220为首项,-2为公差的等差数列,所以10次付款总金额为()10109S 102202 2 1102⨯=⨯+⨯-= (元),实际共付2 260元.第二种方式:购买时先付150元,欠2 000元,则10个月后增值为2000×(1+0.01)10=2 000×(1.01)10(元).设每月付款x 元,则各月所付的款额连同最后一次付款时生成的利息之和分别是(1.01)9x,(1.01)8x,…,x,其构成等比数列,和为()101011.01S x 11.01-=-·. 应有()1010S 2 0001.01=⨯,所以x ≈211.2,每月应付211.2元,10次付款总金额为2 112元,实际共付2 262元,所以第一种方式更省钱. 【方法技巧】分清类型解数列应用题解数列应用题要明确问题是属于哪一种类型,即明确是等差数列问题还是等比数列问题,是求a n 还是求S n ,特别要弄清项数为多少,试题中常见的数列类型有:(1)构造等差、等比数列模型,然后再应用数列的通项公式及求和公式求解;(2)先求出连续的几项,再归纳出a n ,然后用数列知识求解.。
高二数学人教A必修5练习:第二章 数列 章末检测(B) Word版含解析

第二章 章末检测 (B)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.在等差数列{a n }中,a 3=2,则{a n }的前5项和为( ) A .6 B .10 C .16 D .322.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,已知3S 3=a 4-2,3S 2=a 3-2,则公比q 等于( ) A .3 B .4 C .5 D .6 3.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为( ) A .5 B .4 C .3 D .24.在等比数列{a n }中,T n 表示前n 项的积,若T 5=1,则( ) A .a 1=1 B .a 3=1 C .a 4=1 D .a 5=15.等比数列{a n }中,a 1+a 3=10,a 4+a 6=54,则数列{a n }的通项公式为( )A .a n =24-nB .a n =2n -4C .a n =2n -3D .a n =23-n6.已知等比数列{a n }的前n 项和是S n ,S 5=2,S 10=6,则a 16+a 17+a 18+a 19+a 20等于( )A .8B .12C .16D .247.在等差数列{a n }中,若a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120,则a 10-12a 12的值为( )A .10B .11C .12D .13 8.已知数列{a n }为等比数列,S n 是它的前n 项和,若a 2·a 3=2a 1,且a 4与2a 7的等差中项为54,则S 5等于( )A .35B .33C .31D .299.已知等差数列{a n }中,S n 是它的前n 项和.若S 16>0,且S 17<0,则当S n 最大时n 的值为( )A .8B .9C .10D .1610.已知方程(x 2-mx +2)(x 2-nx +2)=0的四个根组成一个首项为12的等比数列,则|m -n |等于( )A .1 B.32 C.52 D.9211.将正偶数集合{2,4,6,…}从小到大按第n 组有2n 个偶数进行分组:{2,4},{6,8,10,12},{14,16,18,20,22,24},….则2 010位于第( )组.A .30B .31C .32D .3312.a 1,a 2,a 3,a 4是各项不为零的等差数列且公差d ≠0,若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列,则a 1d的值为( )13.定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{a n }是等和数列,且 a 1=-1,公和为1,那么这个数列的前2 011项和S 2 011=________.14.等差数列{a n }中,a 10<0,且a 11>|a 10|,S n 为数列{a n }的前n 项和,则使S n >0的n 的最小值为__________.15.某纯净水厂在净化过程中,每增加一次过滤可减少水中杂质的20%,要使水中杂质减少到原来的5%以下,则至少需过滤的次数为________.(lg 2≈0.301 0)16.数列{a n }的前n 项和S n =3n 2-2n +1,则它的通项公式是________. 三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)数列{a n }中,a 1=13,前n 项和S n 满足S n +1-S n =(13)n +1(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式a n 以及前n 项和S n ;(2)若S 1,t (S 1+S 2),3(S 2+S 3)成等差数列,求实数t 的值.18.(12分)已知点(1,2)是函数f (x )=a x (a >0且a ≠1)的图象上一点,数列{a n }的前n 项和S n =f (n )-1.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =log a a n +1,求数列{a n b n }的前n 项和T n .19.(12分)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,已知13S 3,14S 4的等比中项为15S 5;13S 3,14S 4的等差中项为1,求数列{a n }的通项公式.20.(12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S n =na n -2n (n -1). (1)求数列{a n }的通项公式a n ;(2)设数列{1a n a n +1}的前n 项和为T n ,求证:15≤T n <14.21.(12分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,公比是正数的等比数列{b n }的前n 项和为T n ,已知a 1=1,b 1=3,a 2+b 2=8,T 3-S 3=15.(1)求{a n },{b n }的通项公式;(2)若数列{c n }满足a 1c n +a 2c n -1+…+a n -1c 2+a n c 1=2n +1-n -2对任意n ∈N *都成立,求证:数列{c n }是等比数列.22.(12分)甲、乙两大超市同时开业,第一年的全年销售额为a 万元,由于经营方式不同,甲超市前n 年的总销售额为a2(n 2-n +2)万元,乙超市第n 年的销售额比前一年销售额多a ⎝⎛⎭⎫23n -1万元.(1)求甲、乙两超市第n 年销售额的表达式;(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%,则该超市将被另一超市收购,判断哪一超市有可能被收购?如果有这种情况,将会出现在第几年?第二章 数 列 章末检测(B) 答案1.B [S 5=5(a 1+a 5)2=5a 3=10.]2.B [∵3S 3=a 4-2,3S 2=a 3-2. ∴3(S 3-S 2)=a 4-a 3,∴3a 3=a 4-a 3. ∴a 4=4a 3.∴q =4.]3.C [当项数n 为偶数时,由S 偶-S 奇=n2d 知30-15=5d ,∴d =3.]4.B [T 5=a 1a 2a 3a 4a 5=(a 1a 5)(a 2a 4)a 3 =a 53=1.∴a 3=1.]5.A [q 3=a 4+a 6a 1+a 3=18,∴q =12.∵a 1+a 3=a 1(1+q 2)=54a 1=10,∴a 1=8.∴a n =a 1·q n -1=8·(12)n -1=24-n .]6.C [∵S 10=6,S 5=2,S 10=3S 5.∴q ≠1.∴⎩⎪⎨⎪⎧S 5=a 1(1-q 5)1-qS10=a 1(1-q 10)1-q∴S 10S 5=1+q 5=3.q 5=2. ∴a 16+a 17+a 18+a 19+a 20=(a 1+a 2+a 3+a 4+a 5)q 15 =S 5·q 15=2×23=16.]7.C [a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=(a 4+a 12)+(a 6+a 10)+a 8=5a 8=120,a 8=24.∴a 10-12a 12=12(2a 10-a 12)=12[2(a 1+9d )-(a 1+11d )]=12(a 1+7d ) =12a 8=12.] 8.C [设公比为q (q ≠0),则由a 2a 3=2a 1知 a 1q 3=2,∴a 4=2.又a 4+2a 7=52,∴a 7=14.∴a 1=16,q =12.∴S 5=a 1(1-q 5)1-q=16[1-(12)5]1-12=31.]9.A [∵S 16=16(a 1+a 16)2=8(a 8+a 9)>0,∴a 8+a 9>0.∵S 17=17(a 1+a 17)2=17a 9<0.∴a 9<0,∴a 8>0.故当n =8时,S n 最大.]10.B [易知这四个根依次为:12,1,2,4.不妨设12,4为x 2-mx +2=0的根,1,2为x 2-nx +2=0的根.∴m =12+4=92,n =1+2=3,∴|m -n |=|92-3|=32.]11.C [∵前n 组偶数总的个数为:2+4+6+…+2n =(2+2n )n 2=n 2+n .∴第n 组的最后一个偶数为2+[(n 2+n )-1]×2=2n (n +1). 令n =30,则2n (n +1)=1 860; 令n =31,则2n (n +1)=1 984; 令n =32,则2n (n +1)=2 112. ∴2 010位于第32组.]12.A [若删去a 1,则a 2a 4=a 23,即(a 1+d )(a 1+3d )=(a 1+2d )2,化简,得d =0,不合题意; 若删去a 2,则a 1a 4=a 23,即a 1(a 1+3d )=(a 1+2d )2,化简,得a 1d=-4;若删去a 3,则a 1a 4=a 22,即a 1(a 1+3d )=(a 1+d )2,化简,得a 1d=1;若删去a 4,则a 1a 3=a 22,即a 1(a 1+2d )=(a 1+d )2,化简,得d =0,不合题意.故选A.] 13.1 004解析 a 1=-1,a 2=2,a 3=-1,a 4=2,…,∴a 2 011=-1,∴S 2 011=(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+…+(a 2 009+a 2 010)+a 2 011=1 005×1+(-1) =1 004. 14.20解析 ∵S 19=19(a 1+a 19)2=19a 10<0;S 20=20(a 1+a 20)2=10(a 10+a 11)>0.∴当n ≤19时,S n <0;当n ≥20时,S n >0. 故使S n >0的n 的最小值是20. 15.14解析 设原杂质数为1,各次过滤杂质数成等比数列,且a 1=1,公比q =1-20%, ∴a n +1=(1-20%)n ,由题意可知: (1-20%)n <5%,即0.8n <0.05. 两边取对数得n lg 0.8<lg 0.05,∵lg 0.8<0,∴n >lg 0.05lg 0.8,即n >lg 5-2lg 8-1=1-lg 2-23lg 2-1=-lg 2-13lg 2-1≈-0.301 0-13×0.301 0-1≈13.41,取n =14. 16.a n =⎩⎪⎨⎪⎧2 (n =1)6n -5 (n ≥2)解析 当n =1时,a 1=S 1=3-2+1=2. 当n ≥2时, a n =S n -S n -1=3n 2-2n +1-[3(n -1)2-2(n -1)+1]=6n -5.则当n =1时,6×1-5=1≠a 1,∴a n =⎩⎪⎨⎪⎧2 (n =1)6n -5 (n ≥2).17.解 (1)由S n +1-S n =(13)n +1得a n +1=(13)n +1(n ∈N *),又a 1=13,故a n =(13)n (n ∈N *).从而S n =13×[1-(13)n ]1-13=12[1-(13)n ](n ∈N *).(2)由(1)可得S 1=13,S 2=49,S 3=1327.从而由S 1,t (S 1+S 2),3(S 2+S 3)成等差数列得 13+3×(49+1327)=2×(13+49)t ,解得t =2. 18.解 (1)把点(1,2)代入函数f (x )=a x 得a =2, 所以数列{a n }的前n 项和为S n =f (n )-1=2n -1. 当n =1时,a 1=S 1=1;当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n -2n -1=2n -1,对n =1时也适合,∴a n =2n -1.(2)由a =2,b n =log a a n +1得b n =n ,所以a n b n =n ·2n -1.T n =1·20+2·21+3·22+…+n ·2n -1, ①2T n =1·21+2·22+3·23+…+(n -1)·2n -1+n ·2n . ② 由①-②得:-T n =20+21+22+…+2n -1-n ·2n , 所以T n =(n -1)2n +1.19.解 设等差数列{a n }的首项a 1=a ,公差为d ,则S n =na +n (n -1)2d ,依题意,有⎩⎨⎧13⎝⎛⎭⎫3a +3×22d ×14⎝⎛⎭⎫4a +4×32d =125⎝⎛⎭⎫5a +5×42d 2,13⎝⎛⎭⎫3a +3×22d +14⎝⎛⎭⎫4a +4×32d =1×2,整理得⎩⎪⎨⎪⎧3ad +5d 2=0,2a +52d =2,∴a =1,d =0或a =4,d =-125.∴a n =1或a n =325-125n ,经检验,a n =1和a n =325-125n 均合题意.∴所求等差数列的通项公式为a n =1或a n =325-125n .20.(1)解 由S n =na n -2n (n -1)得 a n +1=S n +1-S n =(n +1)a n +1-na n -4n , 即a n +1-a n =4.∴数列{a n }是以1为首项,4为公差的等差数列, ∴a n =4n -3.(2)证明 T n =1a 1a 2+1a 2a 3+…+1a n a n +1=11×5+15×9+19×13+…+1(4n -3)×(4n +1) =14(1-15+15-19+19-113+…+14n -3-14n +1) =14(1-14n +1)<14. 又易知T n 单调递增,故T n ≥T 1=15,得15≤T n <14.21.(1)解 设数列{a n }的公差为d ,数列{b n }的公比为q (q >0).由题意得⎩⎪⎨⎪⎧d +3q =7,q +q 2-d =5, 解得⎩⎪⎨⎪⎧d =1,q =2.∴a n =n .b n =3×2n -1.(2)证明 由c n +2c n -1+…+(n -1)c 2+nc 1=2n +1-n -2,知c n -1+2c n -2+…+(n -2)c 2+(n -1)c 1=2n -(n -1)-2(n ≥2). 两式相减:c n +c n -1+…+c 2+c 1=2n -1(n ≥2),∴c n -1+c n -2+…+c 2+c 1=2n -1-1(n ≥3),∴c n =2n -1(n ≥3).当n =1,2时,c 1=1,c 2=2,适合上式.∴c n =2n -1(n ∈N *), 即{c n }是等比数列.22.解 (1)设甲、乙两超市第n 年的销售额分别为a n ,b n .则有:a 1=a ,n ≥2时:a n =a 2(n 2-n +2)-a2[(n -1)2-(n -1)+2]=(n -1)a .∴a n =⎩⎪⎨⎪⎧a , n =1,(n -1)a , n ≥2.b n =b 1+(b 2-b 1)+(b 3-b 2)+…+(b n -b n -1)=a +a ⎝⎛⎭⎫23+a ⎝⎛⎭⎫232+…+a ⎝⎛⎭⎫23n -1 =⎣⎡⎦⎤3-2⎝⎛⎭⎫23n -1a ,(n ∈N *). (2)易知b n <3a ,所以乙超市将被甲超市收购,由b n <12a n 得:⎣⎡⎦⎤3-2⎝⎛⎭⎫23n -1a <12(n -1)a . ∴n +4⎝⎛⎭⎫23n -1>7,∴n ≥7.即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半,乙超市将被甲超市收购.。
高中数学必修5第二章 数列题组训练题课标试题(共8页)

高中数学必修(bìxiū)5第二章数列题组训练题[根底训练A组]一、选择题〔六个小题,每一小题5分,一共30分〕1.在数列中,等于〔〕A.11 B.12 C.13 D.142.等差数列项的和S等于〔〕9A.66 B.99 C.144 D.2973.等比数列中, 那么{}n a的前4项和为〔〕A. 81 B.120 C.168 D.1924.与,两数的等比中项是〔〕A.1 B.-1 C. D.5.一等比数列的前三项依次为,那么是此数列的第〔〕项A.2 B.4 C.6 D.86.在公比为整数的等比数列{}n a中,假如那么该数列的前8项之和为〔〕A.513 B.512 C.510 D.二、填空题〔五个小题,每一小题6分,一共30分〕1.等差数列{}n a中, 那么{}n a的公差为______________。
2.数列{}是等差数列,=7,那么=_________3.两个等差数列那么=___________.4.在等比数列(děnɡ bǐ shù liè){}n a中, 假设那么-=___________.5.在等比数列{}n a中, 假设是方程的两根,那么=___________.三、解答题〔四个小题,每一小题10分,一共40分〕成等差数列的四个数的和为26,第二数与第三数之积为40,求这四个数。
在等差数列{}n a中, 求的值。
求和:设等比数列{}n a前项和为,假设,求数列的公比。
[综合训练B组]一、选择题〔六个小题,每一小题5分,一共30分〕1.等差数列{}n a的公差为2,假设成等比数列, 那么=〔〕A.– 4 B.-6 C.-8 D.-102.设S是等差数列(děnɡ chā shù liè)的前n项和,假设n〔〕1A.1 B.-1 C.2 D.23.假设成等差数列,那么x的值等于〔〕A.1 B.0或者32 C.32 D.4.三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q,那么q的取值范围是〔〕A. B. C.D.5.在中,是以为第三项,4为第七项的等差数列的公差,是以为第三项,9为第六项的等比数列的公比,那么这个三角形是〔〕A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.等腰直角三角形 D.以上都不对6.在等差数列{}n a中,设,,,那么关系为〔〕A.等差数列 B.等比数列 C.等差数列或者等比数列 D.都不对二、填空题〔五个小题,每一小题6分,一共30分〕1.等差数列{}n a中, 那么a+a为______________。
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数学(必修5)第二章:数列[综合训练B 组]
一、选择题
1.已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =( )
A .4-
B .6-
C .8-
D .10-
2.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若==5
935,95S S a a 则( ) A .1 B .1- C .2 D .
21 3.若)32lg(),12lg(,2lg +-x x 成等差数列,则x 的值等于( )
A .1
B .0或32
C .32
D .5log 2
4.已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q 的取值范围是( )
A .1(0,2
B .1(2
C .
D .)2
51,251(++- 5.在ABC ∆中,tan A 是以4-为第三项, 4为第七项的等差数列的公差,
tan B 是以13
为第三项, 9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是( ) A .钝角三角形 B .锐角三角形
C .等腰直角三角形
D .以上都不对
6.在等差数列{}n a 中,设n a a a S +++=...211,n n n a a a S 2212...+++=++,
n n n a a a S 322123...+++=++,则,,,321S S S 关系为( )
A .等差数列
B .等比数列
C .等差数列或等比数列
D .都不对
7.等比数列{}n a 的各项均为正数,且564718a a a a +=,
则3132310log log ...log a a a +++=( )
A .12
B .10
C .31log 5+
D .32log 5+
二、填空题
1.等差数列{}n a 中, ,33,562==a a 则35a a +=_________。
2.数列7,77,777,7777…的一个通项公式是______________________。
3.在正项等比数列{}n a 中,153537225a a a a a a ++=,则35a a +=_______。
4.等差数列中,若),(n m S S n m ≠=则n m S +=_______。
5.已知数列{}n a 是等差数列,若471017a a a ++=,
45612131477a a a a a a ++++++=且13k a =,则k =_________。
6.等比数列{}n a 前n 项的和为21n -,则数列{}2n a 前n 项的和为______________。
三、解答题
1.三个数成等差数列,其比为3:4:5,如果最小数加上1,则三数成等比数列, 那么原三数为什么?
2.求和:12...321-++++n nx
x x
3.已知数列{}n a 的通项公式112+-=n a n ,如果)(N n a b n n ∈=,
求数列{}n b 的前n 项和。
4.在等比数列{}n a 中,,400,60,364231>=+=n S a a a a 求n 的范围。
第二章 [综合训练B 组]答案
一、选择题
1.B 2214322222,(2)(4)(2),212,6a a a a a a a a =-+=+=-=-
2.A 95539951559
S a S a ==⨯= 3.D 2lg 2lg(23)2lg(21),2(23)(21)x x x x ++=-+=-
22(2)4250,25,log 5x x x x -⋅-===
4.D 设三边为2,,,a aq aq 则222a aq aq a aq aq aq aq a ⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩,即222101010q q q q q q ⎧--<⎪-+>⎨⎪+->⎩
得q q R q q <<⎪⎪∈⎨⎪⎪><⎪⎩
或
,即1122q -++<< 5.B 374,4,2,tan 2,a a d A =-===361,9,3,tan 33
b b q B ==== tan tan()1C A B =-+=,,,A B C 都是锐角
6.A 122332232,,,,,,n n n n n n n n n n S S S S S S S S S S S S S ==-=---成等差数列
7.B 5103132310312103453log log ...log log (...)log ()log (3)10a a a a a a a a +++====
二、填空题
1. 38 352638a a a a +=+=
2.)110(97-=n n a 123479,99,999,9999...101,101,101,101,799
----=⨯ 3.5 22233553535()2()()25,5a a a a a a a a ++=+=+=
4.0 2n S an bn =+该二次函数经过(,0)m n +,即0m n S +=
5.18 77999172317,,1177,7,,(9)73
k a a a a d a a k d ==
===-=- 2137(9),183k k -=-⨯= 6.413
n - 11212111421,21,2,4,1,4,14n n n n n n n n n n S S a a a q S -----=-=-=====- 三、解答题
1. 解:设原三数为3,4,5,(0)t t t t ≠,不妨设0,t >则2
(31)516,5t t t t +==
315,420,525,t t t ===∴原三数为15,20,25。
2. 解:记2112
3...,n n S x x nx -=++++当1x =时,1123...(1)2
n S n n n =++++=
+ 当1x ≠时,23123...(1),n n n xS x x x n x nx -=++++-+ 231(1)1...,n n
n x S x x x x nx --=+++++-11n
n n x S nx x -=-- ∴原式=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≠---)1(2
)1()1(11x n n x nx x x n n
3. 解:112,5211,6
n n n n b a n n -≤⎧==⎨-≥⎩,当5n ≤时,2(9112)102n n S n n n =+-=- 当6n ≥时,255525(1211)10502n n n S S S n n n --=+=+
+-=-+ ∴⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤+-=)
6(,5010)5(,1022n n n n n n S n 4. 解:22213222236,(1)60,0,6,110,3,a a a a q a a q q ==+=>=+==±
当3q =时,12(13)2,400,3401,6,13
n n n a S n n N -==>>≥∈-; 当3q =-时,12[1(3)]2,400,(3)801,8,1(3)
n n n a S n n ---=-=>->≥--为偶数; ∴为偶数且n n ,8≥。