人教版数学高二必修五测试题组第二章数列B组

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2021年高中数学第二章数列章末测试题(B)新人教版必修5

2021年高中数学第二章数列章末测试题（B ）新人教版必修5一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列－2，0，2，…的第15项为( ) A ．11 2 B ．122 C ．13 2 D ．142答案 C解析 ∵a 1＝－2，d ＝2，∴a n ＝－2＋(n －1)×2＝2n －2 2. ∴a 15＝152－22＝13 2.2．若在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －1(n ∈N *)，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．－1 B ．1 C ．0 D ．2答案 A解析由递推关系式，得a 2＝0，a 3＝－1，a 4＝0，a 5＝－1. ∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－1.3．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是( )A ．33个B ．65个C ．66个D ．129个答案 B解析设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为{a n }．则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＋1＝2a n －1，即a n ＋1－1a n －1＝2. ∴a n －1＝1·2n －1，∴a n ＝2n －1＋1，∴a 7＝65.4．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 8＝30，S4＝7，则a 4的值等于( ) A.14 B.94 C.134 D.174答案 C解析由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧8a 1＋8×8－1d2＝30，4a 1＋4×4－1d2＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，d ＝1.故a 4＝a 1＋3＝134. 5．设f (x )是定义在R 上的恒不为零的函数，且对任意的实数x 、y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围为( )A ．[12，2)B ．[12，2]C ．[12，1)D ．[12，1]答案 C解析依题意得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，即a n ＋1＝a n ·a 1＝12a n ，所以数列{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列，所以S n ＝121－12n 1－12＝1－12n ，所以S n ∈[12，1)． 6．小正方形按照如图所示的规律排列：每个图中的小正方形的个数构成一个数列{a n }，有以下结论：①a 5＝15；②数列{a n }是一个等差数列；③数列{a n }是一个等比数列；④数列的递推公式为：a n ＋1＝a n ＋n ＋1(n ∈N *)．其中正确的命题序号为( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．①答案 C解析当n ＝1时，a 1＝1；当n ＝2时，a 2＝3；当n ＝3时，a 3＝6；当n ＝4时，a 4＝10，…，观察图中规律，有a n ＋1＝a n ＋n ＋1，a 5＝15.故①④正确．7．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，则a 20＝( ) A ．0 B ．－ 3 C. 3 D.32答案 B解析由a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，得a 2＝－3，a 3＝3，a 4＝0，…，由此可知数列{a n }是周期变化的，周期为3，∴a 20＝a 2＝－ 3.8．数列{a n }满足递推公式a n ＝3a n －1＋3n－1(n ≥2)，又a 1＝5，则使得{a n ＋λ3n}为等差数列的实数λ＝( )A ．2B ．5C ．－12D.12答案 C解析 a 1＝5，a 2＝23，a 3＝95，令b n ＝a n ＋λ3n ，则b 1＝5＋λ3，b 2＝23＋λ9，b 3＝95＋λ27，∵b 1＋b 3＝2b 2，∴λ＝－12.9．在等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，则{a n }的前n 项和S n 中最大的负数为( )A ．S 17B ．S 18C ．S 19D ．S 20 答案 C解析 ∵a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，∴a 11＋a 10>0.S 20＝20a 1＋a 202＝10·(a 11＋a 10)>0.S 19＝19a 1＋a 192＝192·2a 10<0. 10．将数列{3n －1}按“第n 组有n 个数”的规则分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100组中的第一个数是( )A ．34 950B ．35 000C ．35 010D ．35 050答案 A解析在“第n 组有n 个数”的规则分组中，各组数的个数构成一个以1为首项，公差为1的等差数列．因前99组数的个数共有1＋99×992＝4 950个，故第100组中的第1个数是34 950.11．(xx·新课标)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7答案 D解析 ∵{a n }为等比数列，∴a 5a 6＝a 4a 7＝－8.联立⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 4a 7＝－8，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4.当⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4a 7＝－2时，q 3＝－12，故a 1＋a 10＝a 4q 3＋a 7q 3＝－7；当⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2a 7＝4时，q 3＝－2，同理，有a 1＋a 10＝－7.12．(xx·全国)已知等差数列{a n }的前n 项和为S ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{1a n a n ＋1}的前100项和为( )A.100101 B.99101 C.99100D.101100答案 A 解析 S 5＝5a 1＋a 52＝5a 1＋52＝15，∴a 1＝1.∴d ＝a 5－a 15－1＝5－15－1＝1.∴a n ＝1＋(n －1)×1＝n . ∴1a n a n ＋1＝1n n ＋1.设{1a n a n ＋1}的前n 项和为T n ，则T 100＝11×2＋12×3＋…＋1100×101＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101. 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9＝________. 答案 2414．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝________. 答案n n ＋12＋1解析 ∵a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1， ∴a n －a n －1＝n ，a n －1－a n －2＝n －1，a n －2－a n －3＝n －2，…，a 3－a 2＝3，a 2－a 1＝2，a 1＝2.将以上各式的两边分别相加，得a n ＝[n ＋(n －1)＋(n －2)＋(n －3)＋…＋2＋1]＋1＝n n ＋12＋1.15．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝32a n －3，则数列{a n }的通项公式是________．答案 a n ＝2·3n解析 n ≥2时，S n ＝32a n －3，①S n －1＝32a n －1－3，②①－②知a n ＝32a n －32a n －1，即12a n ＝32a n －1.∴a n a n －1＝3，由S n ＝32a n －3，得S 1＝a 1＝32a 1－3. 故a 1＝6，∴a n ＝2·3n.16．某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前按下列方法确定房价：由于首层与顶层均为复式结构，因此首层价格为a 1元/m 2，顶层由于景观好价格为a 2元/m 2，第二层价格为a 元/m 2，从第三层开始每层在前一层价格上加价a100 元/m 2，则该商品房各层的平均价格为________．答案123(a 1＋a 2＋23.1a ) 元/m 2 解析设第二层数列到第22层的价格构成数列{b n }，则{b n }是等差数列，b 1＝a ，公差d ＝a100，共21项，所以其和为S 21＝21a ＋21×202·a 100＝23.1a ，故平均价格为123(a 1＋a 2＋23.1a ) 元/m 2.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)等差数列{a n }中，a 4＝10，且a 3，a 6，a 10成等比数列．求数列{a n }前20项的和S 20.解析设公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝10，a 26＝a 3·a 10，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝10，a 1＋5d2＝a 1＋2d ·a 1＋9d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝10，d ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝1.∴S 20＝200或S 20＝330.18．(12分)(xx·新课标全国Ⅱ)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．(1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2. 解析 (1)设{a n }的公差为d .由题意，a 211＝a 1a 13，即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )．于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .19．(12分)已知{a n }为递减的等比数列，且{a 1，a 2，a 3){－4，－3，－2,0，1,2,3,4}．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)当b n ＝1－－1n2a n 时，求证：b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n －1<163.解析 (1)∵{a n }是递减的等比数列， ∴数列{a n }的公比q 是正数．又∵{a 1，a 2，a 3}{－4，－3，－2,0,1,2,3,4}，∴a 1＝4，a 2＝2，a 3＝1.∴q ＝a 2a 1＝24＝12.∴a n ＝a 1qn －1＝82n . (2)由已知得b n ＝8[1－－1n]2n ＋1，当n ＝2k (k ∈N *)时，b n ＝0，当n ＝2k －1(k ∈N *)时，b n ＝a n .即b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n ＝2k ，k ∈N *，a n ，n ＝2k －1，k ∈N *.∴b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n －2＋b 2n －1 ＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1 ＝4[1－14n]1－14＝163[1－(14)n ]<163. 20．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝1(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝3＋log 4a n ，设T n ＝|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |，求T n . 解析 (1)由a n ＋S n ＝1，得a n ＋1＋S n ＋1＝1，两式相减，得a n ＋1－a n ＋S n ＋1－S n ＝0. ∴2a n ＋1＝a n ，即a n ＋1＝12a n .又n ＝1时，a 1＋S 1＝1，∴a 1＝12.又a n ＋1a n ＝12，∴数列{a n }是首项为12，公比为12的等比数列．∴a n ＝a 1qn －1＝12·(12)n －1＝(12)n. (2)b n ＝3＋log 4(12)n ＝3－n 2＝6－n2.当n ≤6时，b n ≥0，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n 11－n4；当n >6时，b n <0，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b 6－(b 7＋b 8＋…＋b n )＝6×54－[(n －6)(－12)＋n －6n －72·(－12)]＝n 2－11n ＋604.综上，T n＝⎩⎪⎨⎪⎧n 11－n 4n ≤6，n 2－11n ＋604n ≥7.21．(12分)(2011·湖南)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%.(1)求第n 年初M 的价值a n 的表达式； (2)设A n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn.若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M 更新．证明：须在第9年初对M 更新．解析 (1)当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列，此时a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；当n ≥6时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为34的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×(34)n－6.因此第n 年初，M 的价值a n 的表达式为 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧130－10n ，n ≤6，70×34n －6，n ≥7.(2)证明设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式，得当1≤n ≤6时，S n ＝120n －5n (n －1)，A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ；当n ≥7时，由于S 6＝570，故S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n )＝570＋70×34×4×[1－(34)n －6]＝780－210×(34)n －6.A n ＝780－210×34n －6n.易知{A n }是递减数列．又A 8＝780－210×3428＝824764>80，A 9＝780－210×3439＝767996<80，所以需在第9年初对M 更新．22．(12分)已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m 的取值范围．解析 (1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q .依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8.因此a 2＋a 4＝20，即有⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 3＝a 1q 2＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32.又数列{a n }单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2.故a n ＝2n.(2)∵b n ＝2n·log 122n＝－n ·2n ，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n，① －2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1.② ①－②，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝21－2n1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－n ·2n ＋1－2.∵S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0，∴2n ＋1－n ·2n ＋1－2＋n ·2n ＋1＋m ·2n ＋1<0对任意正整数n 恒成立．∴m ·2n ＋1<2－2n ＋1对任意正整数n 恒成立，即m <12n －1恒成立．∵12n －1>－1，∴m ≤－1，即m 的取值范围是(－∞，－1]．23200 5AA0 媠0x35618 8B22 謢 31153 79B1 禱 $#36511 8E9F躟35533 8ACD 諍25433 6359 捙q20968 51E8 凨26603 67EB 柫。

人教新课标版数学高二必修5(R-B版)过关测试第二章数列

第二章过关测试卷（100分，45分钟）一、选择题（每题6分，共48分）1.等差数列a1，a2，a3，…，a n的公差为d，则数列ca1，ca2，…，ca n(c为常数，且c≠0)是（）A.公差为d的等差数列B.公差为cd的等差数列C.非等差数列D.以上都不对2.已知等比数列{a n}的前三项依次为a－1，a+1，a+4，则a n等于( )A.4·2 3n⎛⎫ ⎪⎝⎭B.4·32n⎛⎫⎪⎝⎭C.4·123n-⎛⎫⎪⎝⎭D.4·132n-⎛⎫⎪⎝⎭3.等比数列{a n}的前4项和为240，第2项与第4项的和为180，则数列{a n}的首项为（）A.2B.4C.6D.84.〈济南外国语学校考试〉已知等比数列{a n}满足a1=3，且4a1，2a2，a3成等差数列，则数列{a n}的公比等于（）A.1B.-1C.-2D.25.〈江西吉安高三模拟〉若{a n}为等差数列，S n是其前n项和，且S13=263π,则tan a7的值为（）33-3 D.33 -6.〈郑州模拟〉已知各项均不为0的等差数列{a n}满足2a3－27a+2a11=0,数列{b n}为等比数列，且b7=a7,则b6b8等于( )A.2B.4C.8D.167.〈全国Ⅰ理〉设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m－1=－2,S m=0,S m+1=3,则m等于( )A.3B.4C.5D.68.各项都是实数的等比数列{a n}的前n项和记为S n,若S10=10,S30=70,则S40等于（）A.150B.-200C.150或-200D.400或-50二、填空题（每题5分，共15分）9.等比数列{a n}的前n项和为S n,且4a1,2a2,a3成等差数列.若a1=1,则S4= .10.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2=1,S 5=10,则S 7= . 11.〈新定义题〉若数列{a n }满足211n n n na a a a +++-=k (k 为常数)，则称{a n }为等比差数列，k 叫做公比差.已知{a n }是以2为公比差的等比差数列，其中a 1=1,a 2=2,则a 5= . 三、解答题（14题13分，其余每题12分，共37分）12.〈全国大纲理〉等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 3=22a ,且S 1,S 2,S 4成等比数列，求{a n }的通项公式.13.〈辽宁五校协作体高二上学期期中考试〉数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,1n a + =2S n +1(n ∈N +),等差数列{b n }满足b 3=3,b 5=9. （1）分别求数列{a n },{b n }的通项公式；（2）设c n =22n n b a ++ (n ∈N +),求证c n +1＜c n ≤13.14.〈河南师大附中高二上学期期中考试〉已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n =12(3n +S n )对一切正整数n 均成立.（1）求出数列{a n }的通项公式；（2）设b n =3na n ,求数列{b n }的前n 项和B n .参考答案及点拨一、1.B 点拨：∵a n －a n －1=d ,c ≠0,(n ≥2,n ∈N +)∴ca n －ca n －1=c (a n －a n －1)=cd (常数),∴数列{ca n }是公差为cd 的等差数列.2.D 点拨：由等比数列的性质可得(a +1)2=(a －1)(a +4),解得a =5.∴a 1=5－1=4，公比q =513=42+，∴a n =4·132n -⎛⎫ ⎪⎝⎭.3.C 点拨：由S 4-(a 2+a 4)=60，得a 1+a 3=60，∴q =2413a a a a ++=3，又a 1+a 3=a 1+a 1·q 2=60，∴a 1=6.4.D 点拨：设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，因为4a 1，2a 2，a 3成等差数列，所以4a 1+a 1q 2=4a 1q .因为a 1≠0，所以q 2－4q +4=0,解得q =2.5.B 点拨：由题意，得S 13=13a 7=263π,则a 7=23π,从而tan a 7=tan 23π6.D 点拨：因为{a n }是等差数列，所以a 3+a 11=2a 7,所以已知等式可化为4a 7－27a =0,解得a 7=4或a 7=0（舍去），又{b n }为等比数列，所以b 6b 8=27b =27a =16.7.C 点拨：∵{a n }是等差数列,S m －1=－2,S m =0,∴a m =S m －S m －1=2.∵S m +1=3,∴a m +1=S m +1－S m =3,∴公差d =a m +1－a m =1.又S m =11()(2)22m m a a m a ++==0,∴a 1=－2,∴a m =－2+(m －1)·1=2,∴m =5.8.A 点拨：方法一：由S m +n =S m +q m S n ,得S 30=S 20+q 20S 10=S 10+q 10S 10 +q 20S 10，从而有q 20+q 10－6=0,∴q 10=2(q 10=－3舍去).∴S 40=S 30+q 30S 10=70+23×10=150.故选A.方法二：由S 40= S 30+q 30S 10, S 30＞0,q 30＞0, S 10＞0,知S 40＞0,从而排除B 、C 、D,故选A.二、9.15 点拨：设{a n }的公比为q (q ≠0).∵4a 1,2a 2,a 3成等差数列，∴4a 1+a 3=4a 2,即4a 1+a 1q 2=4a 1q ,∴q 2-4q +4=0,解得q =2,∴S 4=4112⨯-（1-2）=15.10.21 点拨：设{a n }的公差为d ,由题意知1111,1,5(51)0.510,2a d d a a d +=⎧=⎧⎪⎨⎨⨯-=+=⎩⎪⎩解得故S 7=7a 1+72d ⨯（7-1）=21. 11.384 点拨：由32212a a a a -=得，a 3=8,由34322aa a a -=得，a 4=48,由54432a a a a -=得，a 5=384.三、12.解：设{a n }的公差为d . 由S 3=22a ,得3a 2=22a ,故a 2=0或a 2=3.因为S 1＝a 2－d ,S 2=2a 2－d ,S 4=4a 2+2d , S 1, S 2, S 4成等比数列，所以(2a 2－d )2=(a 2－d )(4a 2+2d ).若a 2=0,则d 2=－2d 2,所以d =0,此时S n =0,不符合题意，舍去；若a 2=3,则(6-d )2=(3-d )(12+2d ),解得d =0或d =2. 因此{a n }的通项公式为a n =3或a n =2n －1.13.（1）解：由1n a +=2S n +1①，得a n =2S n －1+1（n ≥2,n ∈N +）②, ①-②，得a n +1－a n =2(S n －S n －1),∴a n +1=3a n ,∴a n =3n －1；设{b n }的公差为d ,∵b 5－b 3=2d =6,∴d =3.∴b n =3n －6.（2）证明：∵a n +2=3n +1,b n +2=3n ，∴c n =133n n +=3n n， ∴c n +1－c n =1123n n +-＜0，∴c n +1＜c n ＜…＜c 1=13，∴c n +1＜c n ≤13.14.解：（1）由已知得S n =2a n －3n ,则S n +1=2a n +1－3(n +1), 两式相减并整理得：a n +1=2a n +3,所以3+a n +1=2(3+a n ). 又a 1=S 1=2a 1－3,所以a 1=3，所以3+a 1=6≠0, 所以a n +3≠0,所以133n na a +++ =2,故数列{3+a n}是首项为6，公比为2的等比数列，所以3+a n=6×2n－1,即a n=3(2n－1).（2）b n=n(2n－1)=n2n－n.设T n=1×2+2×22+3×23+…+n×2n,①则2T n=1×22+2×23+…+（n－1）2n+n×2n+1，②②－①，得T n=－(2+22+23+…+2n)+n2n+1=12212n+--+-n2n+1=2+(n－1)2n+1.∴B n=T n－(1+2+3+…+n)=2+(n－1)2n+1－(1)2n n+.。

【测控设计】高二数学人教A版必修5单元测评：第二章数列B含解析.doc

第二章测评B（高考体验卷）（时间:90分钟满分:100分）—、选择题（本大题共10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（2014重庆高考）在等差数列｛如中,ai=2,a3+a5=10,则a7=（）A.5B.8C.10D.14解析:由等差数列的性质，可知4[+如=。

3+。

5・因为。

1=2,。

3+。

5=10,所以617=8.故选B.答案:B2.（2014重庆高考）对任意等比数列｛给｝,下列说法一定正确的是（）A・W3,O9成等比数列B.a2,Q3,d6成等比数列C.d2,d4,d8成等比数列D.G3,%a9成等比数列解析:根据等比数列的性质，若加N+）,则如弘冷成等比数列，故选D.答案:D3.（2014福建高考）等差数列｛冷｝的前n项和为必,若6/^2,53=12,则他等于（）A.8B.10C.12D.14（・）_________解析:因为S3=3ai+ d=3x2+ d=12,所以d=2.所以6f6=«i+（6-l）J=2+5x2=l2.故选C.答案:c4.（2014天津高考）设｛禺｝是首项为a】,公差为・1的等差数列,S“为其前“项和若$,S2,S4成等比数列，则如二（）A.2B.-2C._D.-_解析:由题意知=S「S4,则a+di・l）2=Qi（4a]・6）,解得di=-.故选D.答案:D5.（2014辽宁高考）设等差数列｛禺｝的公差为d.若数列｛｝为递减数列，则（）A.d>0B.dvOC.d]d>0D.d]dvO解析:・・・｛｝为递减数列，2«l fl n z、・•・ <1.・・・dMvO.故选D.答案:D6.（2014课标全国II高考）等差数列仏｝的公差为2,若如他,购成等比数列，则｛如｝的前n 项和s=()( ) (・) A・〃(n+1) ) C. D.解析: '：如。

4,。

8成等比数列，•: =。

人教课标版高中数学必修5第二章《数列》章末综合测试B卷

第二章《数列》章末综合测试B 卷(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．一个首项为23，公差为整数的等差数列中，前6项均为正数，从第7项起为负数，则公差d 为( )A ．－2B ．－3C ．－4D ．－52．若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n ，则公比为( )A ．2B ．4C ．8D ．163．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于( )A ．－1B ．1C ．3D ．74．在等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，S 10＝90，a 5＝8，则a 4＝( )A ．16B ．12C ．8D ．65．在等比数列{a n }中，若a n ＞0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为( )A ．16B ．81C ．36D ．276．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴…如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂( )A ．55 986只B ．46 656只C ．216只D ．36只7．等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，S n 为前n 项和，则数列{S n n}是( ) A ．首项为a 1，公差为d 的等差数列B ．首项为a 1，公比为d 的等比数列C ．首项为a 1，公差为d 2的等差数列 D ．首项为a 1，公比为d 2的等比数列 8．已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1n ，则S 17＋S 33＋S 50等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．29．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．1810．数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 012等于( ) A ．1 006 B ．2 012C ．503D ．0二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上) 11.2－1与2＋1的等比中项是________．12．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，2S 2，3S 3成等差数列，则数列{a n }的公比为________．13．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5等于________． 14．在数列{a n }和{b n }中，b n 是a n 和a n ＋1的等差中项，a 1＝2且对任意n ∈N *都有3a n ＋1－a n ＝0，则数列{b n }的通项b n ＝________．15．某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前按下列方法确定房价：由于首层与顶层均为复式结构，因此首层价格为a 1元/m 2，顶层由于景观好价格为a 2元/m 2，第二层价格为a 元/m 2，从第三层开始每层在前一层价格上加价a 100元/m 2，则该商品房各层的平均价格为________元/m 2.三、解答题(本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分10分)数列{a n }的前n 项和记为S n ，点(n ，S n )在曲线f (x )＝x 2－4x (x ∈N *)上．求数列{a n }的通项公式．17．(本小题满分10分)已知数列{log 2(a n －1)}(n ∈N *)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＜1.18．(本小题满分10分))等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列．(1)求数列{a n }的公比q ；(2)若a 1－a 3＝3，求S n .19．(本小题满分10分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝12S n (n ＝1，2，3，…)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)当b n ＝log 32(3a n ＋1)时，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n ＝n 1＋n .20．(本小题满分10分)甲、乙两超市同时开业，第一年的全年销售额为a 万元，由于经营方式不同，甲超市前n 年的总销售额为a 2(n 2－n ＋2)万元，乙超市第n 年的销售额比前一年销售额多a ⎝⎛⎭⎫23n －1万元．(1)求甲、乙两超市第n 年销售额的表达式；(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？参考答案一、选择题1.解析：选C.设通项公式为a n ＝23＋(n －1)d ，由题意列不等式组⎩⎪⎨⎪⎧23＋（6－1）d ＞0，23＋（7－1）d ＜0，解得－235＜d ＜－236.∵d 是整数，∴d ＝－4. 2.解析：选B.由a n a n ＋1＝16n ，知a 1a 2＝16，a 2a 3＝162，后式除以前式得q 2＝16，∴q ＝±4.∵a 1a 2＝a 21q ＝16＞0，∴q ＞0，∴q ＝4.3.解析：选B.∵a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝105，∴a 3＝35，∴a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝99，∴a 4＝33，∴d ＝a 4－a 3＝33－35＝－2，∴a 20＝a 3＋17d ＝35＋17×(－2)＝1.4.解析：选D.设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝90，a 1＋4d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2. ∴a 4＝a 1＋3d ＝0＋3×2＝6.5.解析：选D.设等比数列{a n }的公比为q 且q ＞0，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝1a 1q 2＋a 1q 3＝9⇒q 2＝9⇒q ＝3，所以a 1＝14，所以a 4＋a 5＝14×33＋14×34＝33（3＋1）4＝27. 6.解析：选B.设第n 天所有的蜜蜂都归巢后共有a n 只蜜蜂，则有a n ＋1＝ba n ，a 1＝6，则{a n }是公比为6的等比数列，则a 6＝a 1q 5＝6×65＝46 656.7.解析：选C.∵S n ＝na 1＋n （n －1）2d ， ∴S n n ＝a 1＋(n －1)·d 2， ∴{S n n }是以a 1为首项，d 2为公差的等差数列． 8.解析：选B.S 17＝1－2＋3－4＋…＋17＝－8＋17＝9，S 33＝1－2＋3－4＋…＋33＝－16＋33＝17，S 50＝1－2＋3－4＋…－50＝－25，∴S 17＋S 33＋S 50＝9＋17－25＝1.9.解析：选B.设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99得，3d ＝－6，∴d ＝－2，∴3a 1＋6d ＝105，∴a 1＝39，∴a n ＝39＋(n －1)×(－2)＝41－2n .又∵a 20＞0，a 21＜0且d ＝－2＜0，∴当n ＝20时，S n 最大．10.解析：选A.由题意知，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，…，a 4k ＋1＋a 4k ＋2＋a 4k ＋3＋a 4k ＋4＝2，k ∈N ，故S 2 012＝503×2＝1 006.二、填空题11.解析：设2－1与2＋1的等比中项为G ，则G 2＝(2－1)(2＋1)＝1，∴G ＝±1.答案：±112.解析：由题意，知4S 2＝S 1＋3S 3.①当q ＝1时，4×2a 1＝a 1＋3×3a 1.即8a 1＝10a 1，a 1＝0不符合题意，∴q ≠1；②当q ≠1时，应有4×a 1（1－q 2）1－q ＝a 1（1－q ）1－q ＋3×a 1（1－q 3）1－q，化简得3q 2＝q ，得q ＝13或q ＝0(舍去)．答案：1313.解析：设数列{a n }的公比为q ，则a 2·a 3＝a 21·q 3＝a 1·a 4＝2a 1⇒a 4＝2， a 4＋2a 7＝a 4＋2a 4q 3＝2＋4q 3＝2×54⇒q ＝12. 故a 1＝a 4q 3＝16，S 5＝a 1（1－q 5）1－q＝31. 答案：3114.解析：∵由3a n ＋1－a n ＝0可得a n ＋1a n ＝13(n ∈N *)， ∴数列{a n }是公比为13的等比数列．因此a n ＝2·⎝⎛⎭⎫13n －1.故b n ＝12(a n ＋a n ＋1) ＝12⎣⎡⎦⎤2·⎝⎛⎭⎫13n －1＋2·⎝⎛⎭⎫13n＝43⎝⎛⎭⎫13n －1＝4·⎝⎛⎭⎫13n . 答案：4·⎝⎛⎭⎫13n15.解析：设第二层到第22层的价格构成数列{b n }，则{b n }是等差数列，b 1＝a ，公差d ＝a 100，共21项，所以其和为S 21＝21a ＋21×202·a 100＝23.1a ，故平均价格为123(a 1＋a 2＋23.1a )元/m 2.答案：123(a 1＋a 2＋23.1a )三、解答题16.解：由点(n ，S n )在曲线f (x )＝x 2－4x (x ∈N *)上知，S n ＝n 2－4n ，当n ≥2时a n ＝S n －S n －1＝n 2－4n －[(n －1)2－4(n －1)]＝2n －5；当n ＝1时，a 1＝S 1＝－3，满足上式；∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －5.17.解：(1)设等差数列{log 2(a n －1)}的公差为d .由a 1＝3，a 3＝9，得log 2(9－1)＝log 2(3－1)＋2d ，则d ＝1.所以log 2(a n －1)＝1＋(n －1)×1＝n ，即a n ＝2n ＋1.(2)证明：因为1a n ＋1－a n ＝12n ＋1－2n ＝12n ，所以1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＝121＋122＋123＋…＋12n ＝1－12n ＜1. 18.解：(1)依题意有2S 3＝S 1＋S 2；即a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)．由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0.又q ≠0.从而q ＝－12. (2)由(1)及已知可得a 1－a 1·(－12)2＝3，得a 1＝4，从而S n ＝4[1－（－12）n ]1－（－12）＝83[1－(－12)n ]． 19.解：(1)由已知⎩⎨⎧a n ＋1＝12S n ，a n ＝12S n －1，(n ≥2)，得a n ＋1＝32a n (n ≥2)． ∴数列{a n }是以a 2为首项，以32为公比的等比数列．又a 2＝12S 1＝12a 1＝12， ∴a n ＝a 2×⎝⎛⎭⎫32n －2(n ≥2)．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，12×⎝⎛⎭⎫32n －2，n ≥2. (2)证明：b n ＝log 32(3a n ＋1)＝log 32⎣⎡⎦⎤32×⎝⎛⎭⎫32n －1＝n . ∴1b n b n ＋1＝1n （1＋n ）＝1n －11＋n ， ∴T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝⎝⎛⎭⎫11－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －11＋n ＝1－11＋n ＝n 1＋n. 20.解：(1)设甲、乙两超市第n 年的销售额分别为a n ，b n .则有a 1＝a ，当n ≥2时，a n ＝a 2(n 2－n ＋2)－a 2[(n －1)2－(n －1)＋2] ＝(n －1)a ，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， n ＝1，（n －1）a ， n ≥2. b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝⎣⎡⎦⎤3－2⎝⎛⎭⎫23n －1a (n ∈N *)． (2)易知b n ＜3a ，所以乙超市将被甲超市收购，由b n ＜12a n 得：⎣⎡⎦⎤3－2⎝⎛⎭⎫23n －1a ＜12(n －1)a . ∴n ＋4⎝⎛⎭⎫23n －1＞7，∴n ≥7，即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．。

高二数学必修5第二章数列练习题及答案ABC卷

4．在等差数列中；公差；前项的和；
则 =_____________。
5．若等差数列中；则
6．一个等比数列各项均为正数；且它的任何一项都等于它的后面两项的和；
则公比为_______________。
三、解答题
1．已知数列的前项和；求
2．一个有穷等比数列的首项为；项数为偶数；如果其奇数项的和为；偶数项的和为；求此数列的公比和项数。
[综合训练B组]
一、选择题
1．已知等差数列的公差为；若成等比数列；则（）
A． B． C． D．
2．设是等差数列的前n项和；若（）
A． B． C． D．
3．若成等差数列；则的值等于（）
A． B．或 C． D．
4．已知三角形的三边构成等比数列；它们的公比为；
则的取值范围是（）
(数学5必修)第二章：数列
[基础训练A组]
一、选择题
1．在数列中；等于（）
A． B． C． D．
2．等差数列项的和等于（）
A． B． C． D．
3．等比数列中；则的前项和为（）
A． B． C． D．
4．与；两数的等比中项是（）
A． B． C． D．
5．已知一等比数列的前三项依次为；那么是此数列的第（）项
∴原式=
3. 解：；当时；
当时；
∴
4. 解：
当时；；
当时；为偶数；
∴
参考答案（数学5必修）第二章 [提高训而成等差数列
即
3.D
；当时；；
当时；；
当时；；
4.C ；
5.C
6.B

人教新课标版数学高二必修五练习单元质量评估第二章数列(含答案解析)

单元质量评估(二)第二章数列 (120分钟 150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2011是等差数列：1，4，7，10,…的第几项( ) （A ）669 （B ）670 （C ）671 （D ）6722.数列{a n }满足a n =4a n-1+3,a 1=0，则此数列的第5项是（）（A ）15 （B ）255 （C ）20 （D ）83.等比数列{a n }中，如果a 6=6,a 9=9,那么a 3为（）（A ）4 （B ）23 （C ）916（D ）2 4.在等差数列{a n }中，a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99,则a 20=( ) （A ）-1 （B ）1 （C ）3 （D ）75.在等差数列{a n }中，已知a 1=2,a 2+a 3=13,则a 4+a 5+a 6=( ) （A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）456.记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2=4，S 4=20，则该数列的公差d=（）(A)2 (B)3 (C)6 (D)77.等差数列{a n }的公差不为零，首项a 1=1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列的前10项之和是（）（A ）90 （B ）100 （C ）145 （D ）190 8.在数列{a n }中，a 1=2,2a n+1-2a n =1,则a 101的值为（）（A ）49 （B ）50 （C ）51 （D ）529.计算机是将信息转化成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”，如（1101）2表示二进制的数，将它转化成十进制的形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么将二进制数16111 位转换成十进制数的形式是（）（A ）217-2 （B ）216-1 （C ）216-2 （D ）215-110.在等差数列{a n }中，若a 1+a 2+a 3=32,a 11+a 12+a 13=118,则a 4+a 10=（）（A ）45 （B ）50 （C ）75 （D ）6011.（2011·江西高考）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n +S m =S n+m ,且a 1=1,那么a 10=（）（A ）1 （B ）9 （C ）10 （D ）5512.等比数列{a n }满足a n >0,n=1,2,…，且a 5·a 2n-5=22n (n ≥3),则当n ≥1时，log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n-1=（）（A ）n(2n-1) （B ）(n+1)2 （C ）n 2 （D ）(n-1)2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上）13.等差数列{a n }前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m项的和为______.14.（2011·广东高考）已知{a n }是递增等比数列，a 2=2,a 4-a 3=4,则此数列的公比q=______. 15.两个等差数列{a n }, {b n },12n 12n a a a 7n 2b b b n 3++⋯++=++⋯++,则55a b =______.16.设数列{a n }中,a 1=2,a n+1=a n +n+1，则通项a n =_____.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）已知数列{a n }是等差数列，a 2=3,a 5=6,求数列{a n }的通项公式与前n 项的和M n .18.（12分）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,S 3,S 2成等差数列. （1）求{a n }的公比q ；（2）若a 1-a 3=3,求S n .19.（12分）数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1=a 1,b n =a n -a n-1（n ≥2），若a n +S n =n ，c n =a n -1. （1）求证：数列{c n }是等比数列；（2）求数列{b n }的通项公式.20.（12分）如果有穷数列a 1,a 2,a 3,…,a m （m 为正整数）满足条件a 1=a m , a 2=a m-1,…,a m =a 1,即a i =a m-i+1(i=1,2,…，m),我们称其为“对称数列”.例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”.（1）设{b n }是7项的“对称数列”，其中b 1,b 2,b 3,b 4是等差数列，且b 1=2,b 4=11.依次写出{b n }的每一项；（2）设{c n }是49项的“对称数列”，其中c 25,c 26,…,c 49是首项为1，公比为2的等比数列，求{c n }各项的和S.[] 21.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为()nn n 1S ,S 312=-(*n N ∈),等差数列{b n }中，b n >0(*n N ∈),且b 1+b 2+b 3=15,又a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3成等比数列.（1）求数列{a n },{b n }的通项公式；（2）求数列{a n +b n }的前n 项和T n .22.（12分）某商店为了促进商品销售,特定优惠方式,即购买某种家用电器有两种付款方式可供顾客选择,家用电器价格为2 150元.第一种付款方式:购买当天先付150元,以后每月这一天都交付200元,并加付欠款利息,每月利息按复利计算,月利率为1%；第二种付款方式：购买当天先付150元，以后每个月付款一次，10个月付清，每月付款金额相同，每月利息按复利计算，月利率1%.试比较两种付款方法,计算每月所付金额及购买这件家用电器总共所付金额.答案解析1.【解析】选C.∵2011=1+（n-1）×(4-1)，∴n=671.2.【解析】选B.由a n =4a n-1+3,a 1=0，依次求得a 2=3,a 3=15,a 4=63,a 5=255.3.【解析】选A.等比数列{a n }中，a 3,a 6,a 9也成等比数列，∴a 62=a 3a 9,∴a 3=4.4.【解析】选B.a 1+a 3+a 5=105,∴a 3=35,同理a 4=33, ∴d=-2,a 1=39,∴a 20=a 1+19d=1.5.【解析】选B.设公差为d,由a 1=2,a 2+a 3=13,得d=3,则a 4+a 5+a 6= (a 1+3d)+(a 2+3d)+(a 3+3d) =(a 1+a 2+a 3)+9d=15+27=42.6.【解析】选B.S 4-S 2=a 3+a 4=20-4=16，∴a 3+a 4-S 2=（a 3-a 1）+(a 4-a 2)=4d=16-4=12，∴d=3.7.【解析】选B.设公差为d,∴(1+d)2=1×(1+4d), ∵d ≠0,∴d=2,从而S 10=100.[] 8.【解题提示】利用等差数列的定义. 【解析】选D.∵2a n+1-2a n =1,∴n 1n 1a a 2+-=, ∴数列{a n }是首项a 1=2,公差1d 2=的等差数列， ∴()1011a 21011522=+-=.9.【解析】选B.形式为：1×215+1×214+1×213+…+1×21+1×20=216-1.10.【解析】选B.由已知a 1+a 2+a 3+a 11+a 12+a 13=150,∴3(a 1+a 13)=150,∴a 1+a 13=50,∴a 4+a 10=a 1+a 13=50.11.【解题提示】结合S n +S m =S n+m ,对m,n 赋值，令n=9,m=1,即得S 9+S 1=S 10,即得a 10=1.【解析】选A.∵S n +S m =S n+m ,∴令n=9,m=1,即得S 9+S 1=S 10,即S 1=S 10-S 9=a 10, 又∵S 1=a 1,∴a 10=1.12.【解题提示】由已知可先求得通项公式，再由对数的性质进行运算.【解析】选C.a 5·a 2n-5=22n (n ≥3), ∴a n 2=22n ,a n >0,∴a n =2n ,log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n-1 =1+3+…+(2n-1)=n 2.13.【解题提示】利用等差数列前n 项和的性质【解析】由题意可知S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 成等差数列，2（S 2m -S m ）=S m +S 3m -S 2m∴S 3m =3(S 2m -S m )=3×(100-30)=210. 答案：21014.【解题提示】由等比数列的通项公式，可得关于公比q 的方程，从而求出q.【解析】由a 4-a 3=4得a 2q 2-a 2q=4,即2q 2-2q=4,解得q=2或q=-1（由数列是递增数列，舍去）. 答案：215.【解题提示】利用等差数列的前n 项和的有关性质进行运算. 【解析】设两个等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为A n ,B n .则()()195919599a a a A 7926529b b b B 93122+⨯+====++.答案：651216.【解析】∵a 1=2,a n+1=a n +(n+1), ∴a n =a n-1+n,a n-1=a n-2+(n-1)，a n-2=a n-3+(n-2),…,a 3=a 2+3，a 2=a 1+2,a 1=2=1+1将以上各式相加得：()()2n n n 1n na [n n 121]111222+=+-+⋯+++=+=++. 答案：2n n122++17.【解析】设{a n }的公差为d, ∵a 2=3,a 5=6,∴11a d 3a 4d 6+=⎧⎨+=⎩,∴a 1=2,d=1, ∴a n =2+(n-1)=n+1.()2n 1n n 1n 3nM na d .22-+=+=18.【解析】（1）依题意有a 1+(a 1+a 1q)=2(a 1+a 1q+a 1q 2)由于a 1≠0，故2q 2+q=0，又q ≠0,从而1q 2=-.（2）由已知得a 1-a 1(12-)2=3,故a 1=4从而n n n 141()812S 113212--==----［］［（）］（）. 19.【解析】（1）∵a 1=S 1,a n +S n =n,① ∴a 1+S 1=1,得11a 2=.又a n+1+S n+1=n+1 ②①②两式相减得2(a n+1-1)=a n -1，即n 1n a 11a 12+-=-,也即n 1n c 1c 2+=, 故数列{c n }是等比数列. （2）∵111c a 12=-=-, ∴n n n n n11c ,a c 1122=-=+=-, n 1n 11a 12--=-.故当n ≥2时，n n n 1n 1n n111b a a 222--=-=-=. 又111b a 2==,即n n 1b 2=. 20.【解题提示】利用等比数列的前n 项和公式进行计算.【解析】（1）设数列{b n }的公差为d ，则b 4=b 1+3d=2+3d=11,解得d=3，∴数列{b n }为2，5，8，11，8，5，2. （2）S=c 1+c 2+…+c 49 =2(c 25+c 26+…+c 49)-c 25 =2(1+2+22+…+224)-1 =2(225-1)-1=226-3.21.【解析】（1）a 1=1,a n =S n -S n-1=3n-1,n>1，∴a n =3n-1(*n N ∈)，∴数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列， ∴a 1=1,a 2=3,a 3=9,在等差数列{b n }中， ∵b 1+b 2+b 3=15,∴b 2=5.又因a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3成等比数列，设等差数列{b n }的公差为d,∴（1+5-d ）(9+5+d)=64，解得d=-10或d=2, ∵b n >0(*n N ∈),∴舍去d=-10,取d=2,∴b 1=3. ∴b n =2n+1(*n N ∈). （2）由（1）知∴T n =a 1+b 1+a 2+b 2+…+a n +b n =(a 1+a 2+…+a n )+(b 1+b 2+…+b n )()n n 32n 113132++-=+- n 231n 2n 22=++-. 22.【解题提示】第一种付款方式是等差数列模型，第二种付款方式是等比数列模型，分别计算出实际共付金额，再比较得出结论. 【解析】第一种方式:购买时先付150元,欠2 000元,按要求知10次付清,则第1次付款金额为a 1=200+2 000×0.01=220(元); 第2次付款金额为a 2=200+(2 000-200)×0.01=218(元) ……第n 次付款金额为a n =200+［2 000-(n-1)×200］×0.01=220-(n-1)×2(元).不难看出每次所付款金额顺次构成以220为首项,-2为公差的等差数列,所以10次付款总金额为()10109S 102202 2 1102⨯=⨯+⨯-= (元)，实际共付2 260元.第二种方式:购买时先付150元,欠2 000元,则10个月后增值为2000×(1+0.01)10=2 000×(1.01)10(元).设每月付款x 元,则各月所付的款额连同最后一次付款时生成的利息之和分别是(1.01)9x,(1.01)8x,…,x,其构成等比数列,和为()101011.01S x 11.01-=-·. 应有()1010S 2 0001.01=⨯,所以x ≈211.2，每月应付211.2元,10次付款总金额为2 112元,实际共付2 262元,所以第一种方式更省钱. 【方法技巧】分清类型解数列应用题解数列应用题要明确问题是属于哪一种类型，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，是求a n 还是求S n ，特别要弄清项数为多少，试题中常见的数列类型有：（1）构造等差、等比数列模型，然后再应用数列的通项公式及求和公式求解；（2）先求出连续的几项，再归纳出a n ，然后用数列知识求解.。

高二数学人教A必修5练习：第二章数列章末检测(B) Word版含解析

第二章章末检测 (B)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．在等差数列{a n }中，a 3＝2，则{a n }的前5项和为( ) A ．6 B ．10 C ．16 D ．322．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，则公比q 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 3．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．24．在等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则( ) A ．a 1＝1 B ．a 3＝1 C ．a 4＝1 D ．a 5＝15．等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝24－nB ．a n ＝2n －4C ．a n ＝2n －3D ．a n ＝23－n6．已知等比数列{a n }的前n 项和是S n ，S 5＝2，S 10＝6，则a 16＋a 17＋a 18＋a 19＋a 20等于( )A ．8B ．12C ．16D ．247．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 10－12a 12的值为( )A ．10B ．11C ．12D ．13 8．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5等于( )A ．35B ．33C ．31D ．299．已知等差数列{a n }中，S n 是它的前n 项和．若S 16>0，且S 17<0，则当S n 最大时n 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．1610．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成一个首项为12的等比数列，则|m －n |等于( )A ．1 B.32 C.52 D.9211．将正偶数集合{2,4,6，…}从小到大按第n 组有2n 个偶数进行分组：{2,4}，{6,8,10,12}，{14,16,18,20,22,24}，….则2 010位于第( )组．A ．30B ．31C ．32D ．3312．a 1，a 2，a 3，a 4是各项不为零的等差数列且公差d ≠0，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列，则a 1d的值为( )13．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且 a 1＝－1，公和为1，那么这个数列的前2 011项和S 2 011＝________.14．等差数列{a n }中，a 10<0，且a 11>|a 10|，S n 为数列{a n }的前n 项和，则使S n >0的n 的最小值为__________．15．某纯净水厂在净化过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质的20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为________．(lg 2≈0.301 0)16．数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则它的通项公式是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)数列{a n }中，a 1＝13，前n 项和S n 满足S n ＋1－S n ＝(13)n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n 以及前n 项和S n ；(2)若S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列，求实数t 的值．18．(12分)已知点(1,2)是函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)的图象上一点，数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )－1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝log a a n ＋1，求数列{a n b n }的前n 项和T n .19．(12分)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知13S 3，14S 4的等比中项为15S 5；13S 3，14S 4的等差中项为1，求数列{a n }的通项公式．20．(12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝na n －2n (n －1)． (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)设数列{1a n a n ＋1}的前n 项和为T n ，求证：15≤T n <14.21．(12分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公比是正数的等比数列{b n }的前n 项和为T n ，已知a 1＝1，b 1＝3，a 2＋b 2＝8，T 3－S 3＝15.(1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足a 1c n ＋a 2c n －1＋…＋a n －1c 2＋a n c 1＝2n ＋1－n －2对任意n ∈N *都成立，求证：数列{c n }是等比数列．22．(12分)甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a 万元，由于经营方式不同，甲超市前n 年的总销售额为a2(n 2－n ＋2)万元，乙超市第n 年的销售额比前一年销售额多a ⎝⎛⎭⎫23n －1万元．(1)求甲、乙两超市第n 年销售额的表达式；(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？第二章数列章末检测(B) 答案1．B [S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝10.]2．B [∵3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2. ∴3(S 3－S 2)＝a 4－a 3，∴3a 3＝a 4－a 3. ∴a 4＝4a 3.∴q ＝4.]3．C [当项数n 为偶数时，由S 偶－S 奇＝n2d 知30－15＝5d ，∴d ＝3.]4．B [T 5＝a 1a 2a 3a 4a 5＝(a 1a 5)(a 2a 4)a 3 ＝a 53＝1.∴a 3＝1.]5．A [q 3＝a 4＋a 6a 1＋a 3＝18，∴q ＝12.∵a 1＋a 3＝a 1(1＋q 2)＝54a 1＝10，∴a 1＝8.∴a n ＝a 1·q n －1＝8·(12)n －1＝24－n .]6．C [∵S 10＝6，S 5＝2，S 10＝3S 5.∴q ≠1.∴⎩⎪⎨⎪⎧S 5＝a 1(1－q 5)1－qS10＝a 1(1－q 10)1－q∴S 10S 5＝1＋q 5＝3.q 5＝2. ∴a 16＋a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)q 15 ＝S 5·q 15＝2×23＝16.]7．C [a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝(a 4＋a 12)＋(a 6＋a 10)＋a 8＝5a 8＝120，a 8＝24.∴a 10－12a 12＝12(2a 10－a 12)＝12[2(a 1＋9d )－(a 1＋11d )]＝12(a 1＋7d ) ＝12a 8＝12.] 8．C [设公比为q (q ≠0)，则由a 2a 3＝2a 1知 a 1q 3＝2，∴a 4＝2.又a 4＋2a 7＝52，∴a 7＝14.∴a 1＝16，q ＝12.∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝16[1－(12)5]1－12＝31.]9．A [∵S 16＝16(a 1＋a 16)2＝8(a 8＋a 9)>0，∴a 8＋a 9>0.∵S 17＝17(a 1＋a 17)2＝17a 9<0.∴a 9<0，∴a 8>0.故当n ＝8时，S n 最大．]10．B [易知这四个根依次为：12，1,2,4.不妨设12，4为x 2－mx ＋2＝0的根，1,2为x 2－nx ＋2＝0的根．∴m ＝12＋4＝92，n ＝1＋2＝3，∴|m －n |＝|92－3|＝32.]11．C [∵前n 组偶数总的个数为：2＋4＋6＋…＋2n ＝(2＋2n )n 2＝n 2＋n .∴第n 组的最后一个偶数为2＋[(n 2＋n )－1]×2＝2n (n ＋1)．令n ＝30，则2n (n ＋1)＝1 860；令n ＝31，则2n (n ＋1)＝1 984；令n ＝32，则2n (n ＋1)＝2 112. ∴2 010位于第32组．]12．A [若删去a 1，则a 2a 4＝a 23，即(a 1＋d )(a 1＋3d )＝(a 1＋2d )2，化简，得d ＝0，不合题意；若删去a 2，则a 1a 4＝a 23，即a 1(a 1＋3d )＝(a 1＋2d )2，化简，得a 1d＝－4；若删去a 3，则a 1a 4＝a 22，即a 1(a 1＋3d )＝(a 1＋d )2，化简，得a 1d＝1；若删去a 4，则a 1a 3＝a 22，即a 1(a 1＋2d )＝(a 1＋d )2，化简，得d ＝0，不合题意．故选A.] 13．1 004解析 a 1＝－1，a 2＝2，a 3＝－1，a 4＝2，…，∴a 2 011＝－1，∴S 2 011＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2 009＋a 2 010)＋a 2 011＝1 005×1＋(－1) ＝1 004. 14．20解析 ∵S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19a 10<0；S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)>0.∴当n ≤19时，S n <0；当n ≥20时，S n >0. 故使S n >0的n 的最小值是20. 15．14解析设原杂质数为1，各次过滤杂质数成等比数列，且a 1＝1，公比q ＝1－20%， ∴a n ＋1＝(1－20%)n ，由题意可知： (1－20%)n <5%，即0.8n <0.05. 两边取对数得n lg 0.8<lg 0.05，∵lg 0.8<0，∴n >lg 0.05lg 0.8，即n >lg 5－2lg 8－1＝1－lg 2－23lg 2－1＝－lg 2－13lg 2－1≈－0.301 0－13×0.301 0－1≈13.41，取n ＝14. 16．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (n ＝1)6n －5 (n ≥2)解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝3－2＋1＝2. 当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5.则当n ＝1时，6×1－5＝1≠a 1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (n ＝1)6n －5 (n ≥2).17．解 (1)由S n ＋1－S n ＝(13)n ＋1得a n ＋1＝(13)n ＋1(n ∈N *)，又a 1＝13，故a n ＝(13)n (n ∈N *)．从而S n ＝13×[1－(13)n ]1－13＝12[1－(13)n ](n ∈N *)．(2)由(1)可得S 1＝13，S 2＝49，S 3＝1327.从而由S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列得 13＋3×(49＋1327)＝2×(13＋49)t ，解得t ＝2. 18．解 (1)把点(1,2)代入函数f (x )＝a x 得a ＝2，所以数列{a n }的前n 项和为S n ＝f (n )－1＝2n －1. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1，对n ＝1时也适合，∴a n ＝2n －1.(2)由a ＝2，b n ＝log a a n ＋1得b n ＝n ，所以a n b n ＝n ·2n －1.T n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1， ①2T n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n . ② 由①－②得：－T n ＝20＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ，所以T n ＝(n －1)2n ＋1.19．解设等差数列{a n }的首项a 1＝a ，公差为d ，则S n ＝na ＋n (n －1)2d ，依题意，有⎩⎨⎧13⎝⎛⎭⎫3a ＋3×22d ×14⎝⎛⎭⎫4a ＋4×32d ＝125⎝⎛⎭⎫5a ＋5×42d 2，13⎝⎛⎭⎫3a ＋3×22d ＋14⎝⎛⎭⎫4a ＋4×32d ＝1×2，整理得⎩⎪⎨⎪⎧3ad ＋5d 2＝0，2a ＋52d ＝2，∴a ＝1，d ＝0或a ＝4，d ＝－125.∴a n ＝1或a n ＝325－125n ，经检验，a n ＝1和a n ＝325－125n 均合题意．∴所求等差数列的通项公式为a n ＝1或a n ＝325－125n .20．(1)解由S n ＝na n －2n (n －1)得 a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(n ＋1)a n ＋1－na n －4n ，即a n ＋1－a n ＝4.∴数列{a n }是以1为首项，4为公差的等差数列， ∴a n ＝4n －3.(2)证明 T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝11×5＋15×9＋19×13＋…＋1(4n －3)×(4n ＋1) ＝14(1－15＋15－19＋19－113＋…＋14n －3－14n ＋1) ＝14(1－14n ＋1)<14. 又易知T n 单调递增，故T n ≥T 1＝15，得15≤T n <14.21．(1)解设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q (q >0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧d ＋3q ＝7，q ＋q 2－d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.∴a n ＝n .b n ＝3×2n －1.(2)证明由c n ＋2c n －1＋…＋(n －1)c 2＋nc 1＝2n ＋1－n －2，知c n －1＋2c n －2＋…＋(n －2)c 2＋(n －1)c 1＝2n －(n －1)－2(n ≥2)．两式相减：c n ＋c n －1＋…＋c 2＋c 1＝2n －1(n ≥2)，∴c n －1＋c n －2＋…＋c 2＋c 1＝2n －1－1(n ≥3)，∴c n ＝2n －1(n ≥3)．当n ＝1,2时，c 1＝1，c 2＝2，适合上式．∴c n ＝2n －1(n ∈N *)，即{c n }是等比数列．22．解 (1)设甲、乙两超市第n 年的销售额分别为a n ，b n .则有：a 1＝a ，n ≥2时：a n ＝a 2(n 2－n ＋2)－a2[(n －1)2－(n －1)＋2]＝(n －1)a .∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， n ＝1，(n －1)a ， n ≥2.b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝a ＋a ⎝⎛⎭⎫23＋a ⎝⎛⎭⎫232＋…＋a ⎝⎛⎭⎫23n －1 ＝⎣⎡⎦⎤3－2⎝⎛⎭⎫23n －1a ，(n ∈N *)． (2)易知b n <3a ，所以乙超市将被甲超市收购，由b n <12a n 得：⎣⎡⎦⎤3－2⎝⎛⎭⎫23n －1a <12(n －1)a . ∴n ＋4⎝⎛⎭⎫23n －1>7，∴n ≥7.即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．。

高中数学必修5第二章数列题组训练题课标试题(共8页)

高中数学必修(bìxiū)5第二章数列题组训练题[根底训练A组]一、选择题〔六个小题，每一小题5分，一共30分〕1．在数列中，等于〔〕A．11 B．12 C．13 D．142．等差数列项的和S等于〔〕9A．66 B．99 C．144 D．2973．等比数列中, 那么{}n a的前4项和为〔〕A． 81 B．120 C．168 D．1924．与，两数的等比中项是〔〕A．1 B．－1 C． D．5．一等比数列的前三项依次为，那么是此数列的第〔〕项A．2 B．4 C．6 D．86．在公比为整数的等比数列{}n a中，假如那么该数列的前8项之和为〔〕A．513 B．512 C．510 D．二、填空题〔五个小题，每一小题6分，一共30分〕1．等差数列{}n a中, 那么{}n a的公差为______________。

2．数列{}是等差数列，=7，那么=_________3．两个等差数列那么=___________.4．在等比数列(děnɡ bǐ shù liè){}n a中, 假设那么-=___________.5．在等比数列{}n a中, 假设是方程的两根，那么=___________.三、解答题〔四个小题，每一小题10分，一共40分〕成等差数列的四个数的和为26，第二数与第三数之积为40，求这四个数。

在等差数列{}n a中, 求的值。

求和：设等比数列{}n a前项和为，假设，求数列的公比。

[综合训练B组]一、选择题〔六个小题，每一小题5分，一共30分〕1．等差数列{}n a的公差为2,假设成等比数列, 那么=〔〕A．– 4 B．－6 C．－8 D．－102．设S是等差数列(děnɡ chā shù liè)的前n项和，假设n〔〕1A．1 B．－1 C．2 D．23．假设成等差数列，那么x的值等于〔〕A．1 B．0或者32 C．32 D．4．三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q,那么q的取值范围是〔〕A． B. C.D.5．在中,是以为第三项,4为第七项的等差数列的公差,是以为第三项,9为第六项的等比数列的公比,那么这个三角形是〔〕A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．以上都不对6．在等差数列{}n a中，设，，，那么关系为〔〕A．等差数列 B．等比数列 C．等差数列或者等比数列 D．都不对二、填空题〔五个小题，每一小题6分，一共30分〕1．等差数列{}n a中, 那么a＋a为______________。

高中数学第二章数列章末测试新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数学试题

第二章数列测评(时间：90分钟，满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在等比数列{a n }中，如果a 6＝6，a 9＝9，那么a 3为( ) A ．4 B ．32 C ．169D ．22．下列可作为数列{a n }：1，2，1，2，1，2，…的通项公式的是( )A ．a n ＝1B ．a n ＝(－1)n ＋12C ．a n ＝2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2 D ．a n ＝(－1)n －1＋323．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N ＋)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．114．已知在等比数列{a n }中，a n >0，a 1，a 99是方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 20a 50a 80的值为( )A ．32B ．64C ．256D ．±64 5．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 4＝10，则S 6等于( ) A ．12 B ．18 C ．24 D ．426．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －17，则其前n 项和S n 在n 为________时取得最小值( )A ．4B ．5C ．6D ．77．计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机价格降低13，现在的价格是8 100元，则15年后，价格降低为( )A ．2 200元B ．900元C ．2 400元D ．3 600元8．在数列{a n }中，对任意自然数n ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n－1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( ) A ．(2n －1)2 B ．13(2n －1)2 C ．4n－1 D ．13(4n －1)9．已知在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a n ＝a n －1＋1a n －2(n ≥3)，则a 5的值为( )A ．5512B ．133C ．4D ．5 10．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2，且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n 等于( )A ．n 24＋7n 4B ．n 23＋5n 3C ．n 22＋3n4D ．n 2＋n二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上) 11．已知数列{a n }的通项a n ＝－5n ＋2，则其前n 项和S n ＝________．12．若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝6，S 3＝21，则公比q ＝__________． 13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12＝21，则a 2＋a 5＋a 8＋a 11＝________． 14．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为__________升． 15．将全体正整数排成一个三角形数阵：根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行的第3个数(从左向右数)是__________．三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． (1)求{a n }的公比q ； (2)若a 1－a 3＝3，求S n ．17．(本小题满分15分)(2013·陕西高考，文17)设S n 表示数列{a n }的前n 项和． (1)若{a n }是等差数列，推导S n 的计算公式；(2)若a 1＝1，q ≠0，且对所有正整数n ，有S n ＝1－q n1－q ．判断{a n }是否为等比数列，并证明你的结论．参考答案一、选择题1．解析：在等比数列{a n }中，a 3，a 6，a 9成等比数列，a 26 ＝ a 3 ·a 9 ，∴a 3＝4．答案：A2．解析：由a n ＝2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2可得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝2，…．答案：C3．解析：由{b n }为等差数列，设其公差为d ，则d ＝b 10－b 310－3＝12－(－2)7＝2．故b n ＝b 3＋(n －3)×2＝－2＋2n －6＝2n －8．又b n ＝a n ＋1－a n ，∴a n ＋1－a n ＝2n －8． ∴a 2－a 1＝－6，a 3－a 2＝－4，…a 8－a 7＝2×7－8＝6，∴a 8－a 1＝－6＋(－4)＋…＋6＝(－6＋6)×72＝0．∴a 8＝a 1＝3．答案：B4．解析：由韦达定理，得a 1·a 99＝16．而a 1·a 99＝a 20·a 80＝a 250＝16，且a n >0， ∴a 50＝4，a 20·a 80＝16． ∴a 20·a 50·a 80＝4×16＝64．答案：B5．解析：∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，∴2(S 4－S 2)＝S 2＋(S 6－S 4)，整理得S 6＝3S 4－3S 2＝3×10－3×2＝24．答案：C6．解析：由通项公式a n ＝3n －17可知{a n }是以3为公差，－14为首项的等差数列，则S n ＝－14n ＋n (n －1)2×3＝32n 2－312n ，所以当n ＝5时，S n 取得最小值．答案：B7．解析：15年后价格降低了3次，则8 100×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝2 400．答案：C8．解析：当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n－1①，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2n －1－1②，①－②得a n ＝2n －1．当n ＝1时，a 1＝1． ∴a n ＝2n －1(n ∈N ＋)．∴a 2n ＝(2n －1)2＝ 4n －1，即{ a 2n } 是以a 21 ＝ 1为首项，4为公比的等比数列． ∴S n ＝1－4n1－4＝13(4n－1)．答案：D9．解析：由题意，得a 3＝a 2＋1a 1＝4，a 4＝a 3＋1a 2＝4＋13＝133，a 5＝a 4＋1a 3＝133＋14＝5512．答案：A10．解析：设其公差为d (d ≠0)，∵a 1，a 3，a 6成等比数列，∴a 23＝a 1·a 6，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋5d )．又∵d ≠0，∴d ＝12．∴S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝2n ＋n (n －1)2·12＝n 24＋7n4．答案：A二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上) 11．解析：∵a n ＝－5n ＋2，∴{a n }为等差数列，且公差d ＝－5，首项a 1＝－3，∴S n ＝n (－3－5n ＋2)2＝－n (5n ＋1)2．答案：－n (5n ＋1)212．解析：本题是等比数列问题，常用方法是以a 1和q 为未知数建立方程组，解出a 1和q ，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝6，a 1＋a 1q 2＝15，解得q ＝2或12．答案：2或1213．解析：∵S 12＝21，∴12(a 1＋a 12)2＝21，解得a 1＋a 12＝72，∴a 2＋a 5＋a 8＋a 11＝2(a 1＋a 12)＝2×72＝7．答案：714．解析：设最上面一节的容积为a 1，容积依次增大d ，由题意，知4a 1＋6d ＝3和3a 1＋21d ＝4，可求得a 1＝1322，d ＝766，故a 5＝6766．答案：676615．解析：该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n 行有n 个数，则第n －1(n ≥3)行的最后一个数为(n －1)(1＋n －1)2＝n 22－n 2，则第n 行的第3个数为n 22－n 2＋3(n ≥3)．答案：n 22－n2＋3(n ≥3)三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．分析：将S n 表示成a 1和q 的表达式，从而求解．解：(1)依题意，有a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)，由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0．又q ≠0，从而q ＝－12．(2)由(1)可得a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝3，故a 1＝4．从而S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝83⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ．17．解：(1)解法一：设{a n }的公差为d ，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋(a 1＋d )＋…＋[a 1＋(n －1)d ]，又S n ＝a n ＋(a n －d )＋…＋[a n －(n －1)d ]， ∴2S n ＝n (a 1＋a n )，∴S n ＝n (a 1＋a n )2．解法二：设{a n }的公差为d ，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋(a 1＋d )＋…＋[a 1＋(n －1)d ]，又S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1＝[a 1＋(n －1)d ]＋[a 1＋(n －2)d ]＋…＋a 1，∴2S n ＝[2a 1＋(n －1)d ]＋[2a 1＋(n －1)d ]＋…＋[2a 1＋(n －1)d ]＝2na 1＋n (n －1)d ， ∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ．(2){a n }是等比数列，证明如下： ∵S n ＝1－q n1－q，∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝1－q n ＋11－q －1－q n1－q ＝q n(1－q )1－q＝q n．∵a 1＝1，q ≠0，∴当n ≥1时，有a n ＋1a n ＝q nq n －1＝q ，因此，{a n }是首项为1且公比为q 的等比数列．。

高中数学必修五第二章《数列》单元测试卷及答案

高中数学必修五第二章《数列》单元测试卷及答案（2套）单元测试题一一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 的公差为（） A ．1B ．2C ．3D ．42．在等比数列{}n a 中，4a 、12a 是方程2310x x +=+的两根，则8a 等于（） A ．1B ．1-C ．1±D ．不能确定3．已知数列{}n a 的通项公式是31,22,n n n a n n +⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，则23a a 等于（）A ．70B ．28C ．20D ．84．已知0a b c <<<，且a ，b ，c 为成等比数列的整数，n 为大于1的整数，则log a n ，log b n ，log c n 成（）A ．等差数列B ．等比数列C ．各项倒数成等差数列D ．以上都不对5．在等比数列{}n a 中，1n n a a +<，且2116a a =，495a a +=，则611a a 等于（） A ．6B ．23C ．16D ．326．在等比数列{}n a 中，11a =，则其前3项的和3S 的取值范围是（） A ．(],1-∞- B ．(),01),(-∞∞+C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)3,+∞7．正项等比数列{}n a 满足241a a =，313S =，3log n n b a =，则数列{}n b 的前10项和是（） A ．65B ．65-C ．25D ．25-8．等差数列{}n a 中，若81335a a =，且10a >，n S 为前n 项和，则n S 中最大的是（） A ．21SB ．20SC ．11SD ．10S9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，1316n n S x -⋅=-，则x 的值为（） A ．13B ．13-C ．12D ．12-10．等差数列{}n a 中，n S 是{}n a 前n 项和，已知62S =，95S =，则15S =（）A ．15B ．30C ．45D ．6011．一个卷筒纸，其内圆直径为4 cm ，外圆直径为12 cm ，一共卷60层，若把各层都视为一个同心圆， 3.14π=，则这个卷筒纸的长度为(精确到个位) （） A ．14 mB ．15 mC ．16 mD ．17 m12．数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1()n n n b a a n ++-∈=N ．若32b =-，1012b =，则8a =（） A ．0B ．3C ．8D ．11二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，52a =-，816a =，则6S 等于________． 14．设S n 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33S =，624S =，则9a =__________． 15．在等差数列{}n a 中，n S 为它的前n 项和，若10a >，160S >，170S <则当n =________时，n S 最大．16．数列{}n x 满足1lg 1lg ()n n x x x *++∈=N ，且12100100x x x +++=，则101102200()lg x x x +++=________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（10分）已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，且公差不为零．而等比数列{}n b 的前三项分别是1a ，2a ，6a ．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若1285k b b b +++=，求正整数k 的值．18．（12分）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22n n b a n =-+，求12310b b b b ++++的值．19．（12分）已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：34117a a ⋅=，2522a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若数列{}n b 是等差数列，且nn b S n c=+，求非零常数c ．20．（12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，113n n a S +=，1n ≥，n +∈N ，求：（1）数列{}n a 的通项公式；（2）2462n a a a a ++++的值．21．（12分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且111a b ==，2332a b b +=，2537a b -=；求：（1）{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =，n *∈N ，求数列{}n c 的前n 项和．22．（12分）如图所示，某市2009年新建住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%．另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积(以2009年累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?答案一、选择题 1．【答案】B【解析】设公差为d ，由题意得11141037a a d a d ++=⎧⎨+=⎩，解得2d =．故选B ．2．【答案】B【解析】由题意得，41230a a +=-<，41210a a ⋅=>， ∴40a <，120a <．∴80a <，又∵812421a a a ⋅==，∴81a =-．故选B ． 3．【答案】C【解析】由通项公式可得22=a ，30=1a ，∴2320=a a ．故选C ． 4．【答案】C【解析】∵a ，b ，c 成等比数列，∴2b ac =．又∵()log log log 2log log log log 112n n c b n n a a c ac b n n n==+=+=，∴log log g 1l 12o c b a n n n=+．故选C ． 5．【答案】B【解析】∵492116a a a a ==⋅，又∵495a a +=，且1n n a a <＋，∴42a =，93a =，∴45932a a q ==，又6151123a q a ==．故选B ． 6．【答案】C【解析】设等比数列的公比为q ，则22313124S q q q ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭==．∴3S 的取值范围是3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．故选C ．7．【答案】D【解析】∵{}n a 为正项等比数列，241a a =， ∴31a =，又∵313S =，∴公比1q ≠．又∵()3311131a q S q-==-，231aa q =，解得13q =． ∴3333133n n n n a a q--⎛⎫= ⎪⎝⎭==－，∴3log 3n n b a n ==-．∴12b =，107b =-．∴()()11010101052522S b b +⨯-===-．故选D ．8．【答案】B【解析】设数列{}n a 的公差为d ，因为81335a a =，所以12390a d +=，即1400a a +=，所以20210a a +=，又10a >，0d <，故200a >，210a <，所以n S 中最大的是20S ．故选B ． 9．【答案】C 【解析】1116a S x ==-， 221113266a S S x x x --+===-，3321136669a S S x x x --+===-， ∵{}n a 为等比数列，∴2213a a a =，∴21466x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得12x =．故选C ．10．【答案】A【解析】解法一：由等差数列的求和公式及6925S S =⎧⎨=⎩知，116562259829a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩，∴1427127a d =-⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴115151415152S a d ⨯=+=．故选A ．解法二：由等差数列性质知，n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列，设其公差为D ，则96522396969S S D -==-=，∴227D =， ∴15952661159927S S D =+=+⨯=，∴1515S =．故选A ． 11．【答案】B【解析】纸的厚度相同，且各层同心圆直径成等差数列，则()126041260480 3.141507.2152l d d d cm m +=ππ+ππ⨯=+⨯6=≈+＝，故选B ． 12．【答案】B【解析】本题主要考查等差数列的性质及累加法求通项，由32b =-，1012b =，∴2d =，16b =-，∴28n b n =-， ∵1n n n b a a =-＋．∴8877665544332211()()()()()()()a a a a a a a a a a a a a a a a =-+-+-+-+-+-+＋－ ()7654321176278332b b b b b b b a -+⨯-++++++=+=+=．故选B ．二、填空题 13．【答案】218【解析】∵{}n a 为等比数列，∴385a a q =， ∴31682q ==--，∴2q =-．又451a a q =，∴121168a -==-， ∴()()666111212181128S a q q⎡⎤----⎣⎦===-+．14．【答案】15【解析】设等差数列公差为d ，则3113233233S a a d d ⨯=+=+=，11a d +=，① 又161656615242d d S a a ⨯=+=+=，即1258a d +=．② 联立①②两式得11a =-，2d =，故91818215a a d =-+⨯==+． 15．【答案】8【解析】∵()()()116168911717916802171702a a S a a a a S a ⎧+==+>⎪⎪⎨+⎪==<⎪⎩，∴80a >而10a >，∴数列{}n a 是一个前8项均为正，从第9项起为负值的等差数列，从而n ＝8时，S n 最大． 16．【答案】102【解析】由题意得110n n x x +=，即数列{}n x 是公比为10的等比数列，所以100102101102200121001010()x x x x x x ++=++=++⋅，故101102200l (g )102x x x ++=+．三、解答题17．（10分）已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，且公差不为零．而等比数列{}n b 的前三项分别是1a ，2a ，6a ．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若1285k b b b +++=，求正整数k 的值．【答案】（1）32n a n =-；（2）4．【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ， ∵1a ，2a ，6a 成等比数列，∴1226a a a =⋅， ∴211()(1)5d d +⨯=+，∴23d d =， ∵0d ≠，∴3d =， ∴11()332n a n n +-⨯=-=．（2）数列{}n b 的首项为1，公比为214a q a ==． ∵121441143k k k b b b -==-+-++， ∴41853k -=，∴4256k =，∴4k =，∴正整数k 的值为4．18．（12分）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22n n b a n =-+，求12310b b b b ++++的值．【答案】（1）2n a n =+；（2）2101．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ．由已知得11143615a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩．所以1)2(1n a a n d n -=++=．（2）由（1）可得2n n b n =+． ∴231012310212()()(223210)()b b b b +++=++++⋯+++++ 231022221210((3))=+++++++++()()1021210110122-⨯+=+-()111122552532101===-++．19．（12分）已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：34117a a ⋅=，2522a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若数列{}n b 是等差数列，且nn b S n c=+，求非零常数c ．【答案】（1）43n a n =-；（2）12-．【解析】（1）{}n a 为等差数列， ∵342522a a a a +=+=，又34117a a ⋅=，∴3a ，4a 是方程2221170x x +=-的两个根．又公差0d >，∴34a a <，∴39a =，413a =． ∴1129313a d a d +=⎧⎨+=⎩，∴114a d =⎧⎨=⎩，∴43n a n =-．（2）由（1）知，()211422n n n S n n n -⋅+⨯=-=，∴22n n S n c n cn nb ==-++， ∴111b c =+，262b c =+，3153b c=+， ∵{}n b 是等差数列，∴2132b b b =+， ∴220c c +=，∴12c =-(0c =舍去)．20．（12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，113n n a S +=，1n ≥，n +∈N ，求：（1）数列{}n a 的通项公式；（2）2462n a a a a ++++的值．【答案】（1）21,114,233n n n n a -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅≥⎪ ⎪⎝⎭⎩；（2）316179n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．【解析】（1）∵11()3n n a S n ++=∈N ，∴11()32,n n a S n n +≥∈=N －，∴两式相减，得113n n n a a a +-=．即()1423n n a a n +=≥．11111333a S ==，211433a a =≠．∴数列{}n a 是从第2项起公比为43的等比数列， ∴21,114,233n n n n a -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅≥⎪ ⎪⎝⎭⎩．（2）由（1）知，数列2a ，4a ，6a ，…，2n a 是首项为13，公比为169的等比数列，∴24621161393161167919nnn a a a a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦+++==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-+．21．（12分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且111a b ==，2332a b b +=，2537a b -=；求：（1）{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =，n *∈N ，求数列{}n c 的前n 项和．【答案】（1）12n n a -=，*n ∈N ，21n b n =-，*n ∈N ；（2）233(2)n n S n -=+，*n ∈N ．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ．由题意0q >，由已知，有24232310q d q d ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，消去d ，得42280q q --=．又因为0q >，解得2q =，2d =．所以{}n a 的通项公式为12n n a -=，*n ∈N ，{}n b 的通项公式为21n b n =-，*n ∈N ．（2）由（1）有1)1(22n n c n =－－，设{}n c 的前n 项和为n S ，则0121123252(212)n n S n -=+⨯⨯⨯+-⨯++， 123(212325222)1n n S n ⨯⨯⨯+=-++⨯+，两式相减，得23()()12222122323n n n n S n n -++-⨯-⨯=++---=．所以233(2)n n S n -=+，*n ∈N ．22．（12分）如图所示，某市2009年新建住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%．另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积(以2009年累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%? 【答案】（1）2018年底；（2）2014年底．【解析】（1）设中低价房面积构成数列{}n a ，由题意知：{}n a 是等差数列，其中1250a =，50d =， ∴()2125050252252n n n S n n n -+⨯+==，令2252254750n n +≥，即291900n n -≥+，解得19n ≤-或10n ≥， ∴10n ≥．故到2018年底，该市历年所建中低价房累计面积首次不少于4750万m 2．（2）设新建住房面积构成等比数列{}n b ．由题意知{}n b 为等比数列，1400b =， 1.08q =．∴1400 1.08()n n b -⨯=，令0.85n n a b >，即1250150400 1.0()()80.85n n -+-⨯>⨯⨯， ∴满足不等式的最小正整数6n =．故到2014年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%．单元测试题二一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在数列{}n a 中，12=a ，1=221n n a a ＋＋，则101a 的值为（） A ．49B ．50C ．51D ．522．已知等差数列{}n a 中，7916a a +=，41a =，则12a 的值是（） A ．15B ．30C ．31D ．643．等比数列{}n a 中，29a =，5243a =，则{}n a 的前4项和为（） A ．81B ．120C ．168D ．1924．等差数列{}n a 中，12324a a a ++=-，18192078a a a ++=，则此数列前20项和等于（） A ．160B ．180C ．200D ．2205．数列{}n a 中，37 ()n a n n +=∈N －，数列{}n b 满足113b =，1(72)2n n b b n n +≥=∈N －且，若log n k n a b +为常数，则满足条件的k 值（） A ．唯一存在，且为13B ．唯一存在，且为3C ．存在且不唯一D ．不一定存在6．等比数列{}n a 中，2a ，6a 是方程234640x x +=-的两根，则4a 等于（）A ．8B ．8-C ．8±D ．以上都不对7．若{}n a 是等比数列，其公比是q ，且5a -，4a ，6a 成等差数列，则q 等于（） A ．1或2B ．1或2-C ．1-或2D ．1-或2-8．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若105:1:2S S =，则155:S S 等于（） A ．3:4B ．2:3C ．1:2D ．1:39．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠且1a ，3a ，9a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++++等于（）A ．1514B ．1213C ．1316D ．151610．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（） A ．21B ．20C ．19D ．1811．设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是（） A ．2X Z Y += B ．()()Y Y X Z Z X =-- C ．2Y XZ =D ．()()Y Y X X Z X =--12．已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则56是数列中的（） A ．第48项 B ．第49项 C ．第50项 D ．第51项二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 1311的等比中项是________．14．已知在等差数列{}n a 中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项，则公差为______．15．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程都增加2 km ，在达到离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是______秒．16．等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，并且满足条件11a >，9910010a a ->，99100101a a -<-．给出下列结论：①01q <<；②9910110a a -<；③100T 的值是n T 中最大的；④使1n T >成立的最大自然数n 等于198．其中正确的结论是________．(填写所有正确的序号)三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（10分）已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若等比数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和公式．18．（12分）已知等差数列{}n a 中，3716a a =-，460a a +=，求{}n a 的前n 项和S n ．19．（12分）已知数列{}2log 1()() n a n *∈N －为等差数列，且13a =，39a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：213211111n na a a a a a ++++<---．20．（12分）在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a =+＋．（1）设12n n n a b -=．证明：数列{}n b 是等差数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和．21．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，11,2,1(,)23n n a S n +==．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）当()132log 3n n b a =＋时，求证：数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和1n T nn =+．22．（12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，对任意n *∈N ，它的前n 项和n S 满足1()()612n n n S a a =++，并且2a ，4a ，9a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11()1n n n n b a a ++=-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T ．答案一、选择题 1．【答案】D【解析】由1=221n n a a ++得11=2n n a a -＋，∴{}n a 是等差数列首项12=a ，公差1=2d ，∴13212)2(n n a n =++-=，∴1011013522a +==．故选D ．2．【答案】A【解析】在等差数列{}n a 中，79412a a a a +=+， ∴1216115a =-=．故选A ． 3．【答案】B【解析】由352a a q =得3q =．∴213a a q==，44411133120113q S a q --=⨯=--＝．故选B ． 4．【答案】B【解析】∵123181920120219318()()()()()a a a a a a a a a a a a +++++=+++++ 120()3247854a a +=+=-=，∴12018a a +=．∴12020201802S a a +==．故选B ． 5．【答案】B【解析】依题意，133213111127333n n n n b b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴32log 37log 11()3373l g 32o n n k n k ka b n n n -⎛⎫+== ⎪⎭+⎝-+-- 1133log 372log 3k k n ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭， ∵log n k n a b +是常数，∴133log 03k +=，即log 31k =，∴3k =．故选B ． 6．【答案】A【解析】∵2634a a +=，2664a a ⋅=，∴2464a =， ∵a 2>0，a 6>0，∴a 4＝a 2q 2>0，∴a 4＝8．故选A ． 7．【答案】C【解析】依题意有4652a a a =-，即24442a a q a q =-，而40a ≠， ∴220q q --=，1)20()(q q +=-．∴1q =-或2q =．故选C ． 8．【答案】A【解析】显然等比数列{}n a 的公比1q ≠，则由105510551111221S q q q S q -==+=⇒=--，故3155315555111132141112S q q S q q ⋅⎛⎫-- ⎪--⎝⎭====⎛⎫---- ⎪⎝⎭．故选A ． 9．【答案】C【解析】因为1239a a a =⋅，所以2111()()28a d a a d +=⋅+．所以1a d =．所以1391241013101331316a a a a d a a a a d +++==+++．故选C ．10．【答案】B【解析】∵214365(())3)(a a a a a a d -+-+-=， ∴991053d -=．∴2d =-．又∵135136105a a a a d ++=+=，∴139a =． ∴()()221140204002n n n d n n na n S -=+=-+=--+．∴当20n =时，n S 有最大值．故选B ． 11．【答案】D【解析】由题意知n S X =，2n S Y =，3n S Z =．又∵{}n a 是等比数列，∴n S ，2n n S S －，32n n S S －为等比数列，即X ，Y X -，Z Y -为等比数列， ∴2()()Y X X Z Y ⋅=--，即222Y XY X ZX XY +-=-， ∴22=Y XY ZX X --，即()()Y Y X X Z X =--．故选D ． 12．【答案】C【解析】将数列分为第1组一个，第2组二个，…，第n 组n 个，即11⎛⎫ ⎪⎝⎭，12,21⎛⎫ ⎪⎝⎭，123,,321⎛⎫ ⎪⎝⎭，…，12,,,11n n n ⎛⎫⎪-⎝⎭，则第n 组中每个数分子分母的和为1n +，则56为第10组中的第5个，其项数为1239)550(++++=+．故选C ．二、填空题 13．【答案】1±【解析】11的等比中项为a ，由等比中项的性质可知，)2111a ==，∴1a =±．14．【答案】4-【解析】由6723502360a d a d =+≥⎧⎨=+<⎩，解得232356d -≤<-，∵d ∈Z ，∴4d =-． 15．【答案】15【解析】设每一秒钟通过的路程依次为1a ，2a ，3a ，…，n a ，则数列{}n a 是首项12a =，公差2d =的等差数列，由求和公式得()112402n na n d -=＋，即(12)240n n n +-=，解得15n =． 16．【答案】①②④【解析】①中，()()9910099100111011a a a a a ⎧--<⎪>⎨⎪>⎩⇒99100101a a >⎧⎨<<⎩100990,1()q a a =∈⇒，∴①正确．②中，29910110010099101011a a a a a a ⎧=⎪⇒⎨<<⎪⎩<，∴②正确． ③中，100991001010090901T T a a T T =⎧⇒⎨<<<⎩，∴③错误． ④中，()()()()99198121981198219799100991001T a a a a a a a a a a a =>＝＝，()()199121981991199991011001T a a a a a a a a a ⋅<==，∴④正确．三、解答题17．【答案】（1）212n a n =-；（2）()413n n S =－．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ． ∵36a =-，60a =，∴112650a d a d +=-⎧⎨+=⎩，解得110a =-，2d =．∴101()2212n a n n =-⨯=-=-．（2）设等比数列{}n b 的公比为q ．∵212324b a a a =++=-，18b =-，∴824q -=-，3q =． ∴数列{}n b 的前n 项和公式为()111413n n nS q b q-==-－． 18．【答案】()9n S n n =-或(9)n S n n -=-．【解析】设{}n a 的公差为d ，则()()11112616350a d a d a d a d ++=-⎧⎪⎨+++=⎪⎩，即22111812164a da d a d ⎧++=-⎪⎨=-⎪⎩，解得182a d =-⎧⎨=⎩，或182a d =⎧⎨=-⎩．因此8()19()n S n n n n n +-=-=-，或81()9()n S n n n n n ==----． 19．【答案】（1）21n n a =+；（2）见解析．【解析】（1）解设等差数列{}2(og )l 1 n a －的公差为d ．由13a =，39a =，得22log 91log 32()(1)d --=+，则1d =．所以2log 1111()()n a n n +-=⨯-=，即21n n a =+．（2）证明因为11111222n n nn n a a ++==--， ∴12321321111111111112221112222212n n n n n a a a a a a +-⨯+++=++++==-<----． 20．【答案】（1）见解析；（2）1()21n n S n -⋅=+．【解析】（1）证明由已知122nn n a a =+＋，得1111122222nn n nn n n nn a b a b a +-++===+=+．∴11n n b b -=＋，又111b a ==．∴{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列．（2）解由（1）知，n b n =，12n n n n a b -==．∴12n n a n ⋅=－．∴121122322n n S n +⋅⋅+=⋅++－，两边乘以2得：()11221222122n n n S n n =++⋅+-⋅+⋅⋅－，两式相减得：12112222(21?221)1n n n n n n S n n n ++-=-=-++⋅---－＝，∴1()21n n S n -⋅=+．21．【答案】（1）21,1132,22n n a n n -⎛⎫≥ =⎧⎪=⨯⎪⎝⎨⎭⎪⎩；（2）见解析．【解析】（1）解由已知()1112,212n nn n a S a Sn +-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩≥，得()1322n n a a n +≥=． ∴数列{}n a 是以2a 为首项，以32为公比的等比数列．又121111222a S a ===，∴()22322n n a a n -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭=⨯．∴21,1132,22n n a n n -⎛⎫≥ =⎧⎪=⨯⎪⎝⎨⎭⎪⎩．（2）证明()11log 3lo 3333=2222g n n n n b a -⎡⎤⎛⎫=⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦＋．∴()1111111n n b b n n n n +==-++． ∴12233411111111111111122334n n n T b b b b n b b b b n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-+ 1111nn n=-=++． 22．【答案】（1）32,n a n n *=-∈N ；（2）22186n T n n -=-．【解析】(1)∵对任意n *∈N ，有1()()612n n n S a a =++，①∴当1n =时，有1111112()()6S a a a ==++，解得11a =或2．当2n ≥时，有1111())62(1n n n S a a ---=++．②①－②并整理得113()()0n n n n a a a a --+--=．而数列{}n a 的各项均为正数，∴13n n a a --=．当11a =时，(1313)2n a n n +-=-=，此时2249=a a a 成立；当12=a 时，23=(3=11)n a n n +--，此时2249=a a a 不成立，舍去． ∴32,n a n n *=-∈N ．（2）212212233445221n n n n T b b b a a a a a a a a a a =++=-+-++-＋ 21343522121()()()n n n a a a a a a a a a =-+-++-－＋242666n a a a --=--242(6)n a a a ++=-+246261862n nn n +-=-⨯-=-。

人教版数学高二B版必修5练习第二章数列章末检测试卷(二)

章末检测试卷(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.等比数列{a n }的公比q ＝－14，a 1＝2，则数列{a n }是( ) A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列答案 D解析因为等比数列{a n }的公比为q ＝－14，a 1＝2，故a 2<0，a 3>0，…，所以数列{a n }是摆动数列.2.等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )A.1B.2C.3D.4答案 B解析 ∵a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5，∴d ＝a 4－a 3＝7－5＝2.3.公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3·a 11＝16，则a 5等于( )A.1B.2C.4D.8答案 A解析 ∵a 3·a 11＝a 27＝16，∴a 7＝4，∴a 5＝a 7q 2＝422＝1. 4.等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，当首项a 1和d 变化时，a 2＋a 8＋a 11是一个定值，则下列各数也为定值的是( )A.S 7B.S 8C.S 13D.S 15答案 C解析 ∵a 2＋a 8＋a 11＝(a 1＋d )＋(a 1＋7d )＋(a 1＋10d )＝3a 1＋18d ＝3(a 1＋6d )为常数， ∴a 1＋6d 为常数.∴S 13＝13a 1＋13×122d ＝13(a 1＋6d )也为常数.5.若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，a 是b ，c 的等比中项，且a ＋3b ＋c ＝10，则a 的值是( )A.1B.－1C.－3D.－4答案 D解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2b ＝a ＋c ，a 2＝bc ，a ＋3b ＋c ＝10，解得a ＝－4或a ＝2(舍去)，b ＝2，c ＝8.6.等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( )A.81B.120C.168D.192答案 B解析由a 5＝a 2q 3，得q ＝3.∴a 1＝a 2q ＝3，S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝3(1－34)1－3＝120.7.数列{(－1)n ·n }的前2017项的和S 2017为( )A.－2015B.－1009C.2015D.1009答案 B解析 S 2017＝－1＋2－3＋4－5＋…＋2016－2017＝(－1)＋(2－3)＋(4－5)＋…＋(2016－2017)＝(－1)＋(－1)×1008＝－1009.8.若{a n }是等比数列，其公比是q ，且－a 5，a 4，a 6成等差数列，则q 等于( )A.1或2B.1或－2C.－1或2D.－1或－2答案 C解析依题意，有2a 4＝a 6－a 5，即2a 4＝a 4q 2－a 4q ，而a 4≠0，∴q 2－q －2＝0，(q －2)(q ＋1)＝0.∴q ＝－1或q ＝2.9.一个首项为23，公差为整数的等差数列，从第7项开始为负数，则它的公差是() A.－2 B.－3C.－4D.－6答案 C解析由题意，知a 6≥0，a 7<0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝23＋5d ≥0，a 1＋6d ＝23＋6d <0，∴－235≤d <－236.∵d ∈Z ，∴d ＝－4.10.设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是() A.d <0 B.a 7＝0C.S 9>S 5D.S 6与S 7均为S n 的最大值答案 C解析由S 5<S 6，得a 6＝S 6－S 5>0.又S 6＝S 7，即a 7＝0，所以d <0.由S 7>S 8，即a 8<0，因此S 9－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2(a 7＋a 8)<0，即S 9<S 5.11.在等比数列{a n }中，a 1＝1，9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158和5B.3116和5C.3116D.158答案 C解析若q ＝1，则9S 3＝27a 1，S 6＝6a 1，∵a 1≠0，∴9S 3≠S 6，矛盾，故q ≠1.由9S 3＝S 6得9×a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－q 6)1－q ，解得q ＝2，故a n ＝a 1q n －1＝2n －1.∴1a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和S 5＝1－⎝⎛⎭⎫1251－12＝3116. 12.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，n 为正奇数，a n ＋1，n 为正偶数，则254是该数列的( ) A.第8项B.第10项C.第12项D.第14项答案 D 解析当n 为正奇数时，a n ＋1＝2a n ，则a 2＝2a 1＝2，当n 为正偶数时，a n ＋1＝a n ＋1，得a 3＝3，依次类推得a 4＝6，a 5＝7，a 6＝14，a 7＝15，…，归纳可得数列{a n }的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ /－1，n 为正奇数，/－2，n 为正偶数，则令12n n +－1＝254，则n 不为正奇数；令122n +－2＝254，得n ＝14，故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.若{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是.答案 2解析设前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，则a －d ＋a ＋a ＋d ＝12且a (a －d )(a ＋d )＝48，解得a ＝4且d ＝±2，又{a n }递增，∴d >0，即d ＝2，∴a 1＝2.14.已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是等比数列{a n }的前n 项和.若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝.答案 63解析 ∵a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两根，且q ＞1，∴a 1＝1，a 3＝4，则公比q ＝2，因此S 6＝1×(1－26)1－2＝63.15.如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，n ∈N ＋，则此数列的通项公式a n ＝.答案 2n －1解析当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)，∴a n ＝2a n －1，∴{a n }是等比数列，∴a n ＝2n －1，n ≥2，经检验n ＝1也符合.∴a n ＝2n －1，n ∈N ＋.16.在等比数列{a n }中，若1，a 2，a 3－1成等差数列，则a 3＋a 4a 5＋a 6＝. 答案 14解析设等比数列的公比为q ，依题意，可得2a 1q ＝1＋a 1q 2－1，又a 1≠0，整理得q 2－2q ＝0，所以q ＝2或q ＝0(舍去)，所以a 3＋a 4a 5＋a 6＝1q 2＝14. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)已知等差数列{a n }中，a 3a 7＝－16，a 4＋a 6＝0，求{a n }的前n 项和S n . 解设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋2d )(a 1＋6d )＝－16，a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 21＋8da 1＋12d 2＝－16，a 1＝－4d . 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－8，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2.因此S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)，n ∈N ＋，或S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9)，n ∈N ＋.18.(12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N ＋，a 3＝5，S 10＝100.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n a＋2n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，10a 1＋10×92d ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1，n ∈N ＋. (2)因为b n ＝2n a ＋2n ＝12×4n ＋2n ，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12(4＋42＋…＋4n )＋2(1＋2＋…＋n ) ＝4n ＋1－46＋n 2＋n ＝23×4n ＋n 2＋n －23. 19.(12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n <a n ＋1，且S 3＝2S 2＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝(2n －1)a n (n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，由a n <a n ＋1，得q >1，又a 1＝1，则a 2＝q ，a 3＝q 2，因为S 3＝2S 2＋1，所以a 1＋a 2＋a 3＝2(a 1＋a 2)＋1，则1＋q ＋q 2＝2(1＋q )＋1，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N ＋).(2)由(1)知，b n ＝(2n －1)a n ＝(2n －1)·2n －1(n ∈N ＋)，则T n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1，2T n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ，两式相减，得－T n ＝1＋2×21＋2×22＋…＋2×2n －1－(2n －1)×2n ，即－T n ＝1＋22＋23＋24＋…＋2n －(2n －1)×2n ，化简得T n ＝(2n －3)×2n ＋3.20.(12分)已知数列{log 2(a n －1)}(n ∈N ＋)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n<1. (1)解设等差数列{log 2(a n －1)}的公差为d .由a 1＝3，a 3＝9，得log 2(9－1)＝log 2(3－1)＋2d ，则d ＝1.又log 2(a 1－1)＝log 22＝1，所以log 2(a n －1)＝1＋(n －1)×1＝n ，即a n ＝2n ＋1，n ∈N ＋.(2)证明因为1a n ＋1－a n ＝12n ＋1－2n ＝12n ，所以1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n ＝121＋122＋123＋…＋12n ＝12－12n ×121－12＝1－12n <1. 21.(12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n ，n ∈N ＋.(1)设b n ＝a n 2n －1，证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .(1)证明由已知a n ＋1＝2a n ＋2n，得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n 2n －1＋1＝b n ＋1. ∴b n ＋1－b n ＝1，又b 1＝a 1＝1.∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列.(2)解由(1)知，b n ＝n ，a n 2n －1＝b n ＝n . ∴a n ＝n ·2n －1.∴S n ＝1＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1，两边同时乘以2得2S n ＝1·21＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ，两式相减得－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )2n －1，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.22.(12分)已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由.解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 31q 3＝125，|a 1q －a 1q 2|＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝53，q ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，q ＝－1. 故a n ＝53·3n －1或a n ＝－5·(－1)n －1，n ∈N ＋. (2)设S m ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a m，若a n ＝53·3n －1，则1a n ＝35·⎝⎛⎭⎫13n －1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为35，公比为13的等比数列. 从而S m ＝35⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13m 1－13＝910·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13m <910<1. 若a n ＝－5·(－1)n －1，则1a n ＝－15·(－1)n －1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为－15，公比为－1的等比数列，从而S m ＝⎩⎪⎨⎪⎧－15，m ＝2k －1(k ∈N ＋)，0，m ＝2k (k ∈N ＋)，故S m <1.综上，对任何正整数m ，总有S m <1.1a1＋1a2＋…＋1a m≥1成立.故不存在正整数m，使得。

人教版数学高二必修5质量检测第二章数列

阶段质量检测(二) 数列(时间90分钟，满分120分)一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)1．数列3,5,9,17,33，…的通项公式a n 等于( )A ．2nB ．2n ＋1C ．2n －1D ．2n ＋1 2．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )A ．1，12，13，14，… B ．－1,2，－3,4，…C ．－1，－12，－14，－18，… D ．1，2，3，…，n3．记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d ＝________.( )A ．2B ．3C ．6D ．74．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101 的值为( )A ．49B ．50C ．51D ．525．等差数列{a n }的公差不为零，首项a 1＝1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列的前10项之和是( )A ．90B ．100C ．145D ．1906．(2012·安徽高考)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则a 5＝( )A ．1B ．2C ．4D ．87．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫11＋a n 是等差数列，则a 11等于( )A ．0 B.12C.23D ．－1 8．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{b n }，那么162是新数列{b n }的( )A．第5项B．第12项C．第13项D．第6项9．设数列{a n}是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1＋ab2＋…＋ab10等于()A．1 033 B．1 034C．2 057 D．2 05810．我们把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如下图所示：则第七个三角形数是()A．27 B．28C．29 D．30二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11．若数列{a n}满足：a1＝1，a n＋1＝2a n(n∈N*)，则a5＝________；前8项的和S8＝________(用数字作答)．12．数列{a n}满足a1＝1，a n＝a n－1＋n(n≥2)，则a5＝________.13．等比数列{a n}中，a2＋a4＋…＋a20＝6，公比q＝3，则前20项和S20＝________.14．在等差数列{a n}中，其前n项的和为S n，且S6＜S7，S7＞S8，有下列四个命题：①此数列的公差d＜0；②S9一定小于S6；③a7是各项中最大的一项；④S7一定是S n中的最大项．其中正确的命题是________．(填入所有正确命题的序号)三、解答题(共4小题，共50分)15．(12分)等比数列{a n}中，已知a1＝2，a4＝16，(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若a3，a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项，试求数列{b n}的通项公式及前n项和S n.16．(12分)数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，若a n ＋S n ＝n ，c n ＝a n －1.(1)求证：数列{c n }是等比数列；(2)求数列{b n }的通项公式．17．(12分)已知{a n }是公差不为零的等差数列，{b n }是各项都是正数的等比数列，(1)若a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列，求数列{a n }的通项公式；(2)若b 1＝1，且b 2，12b 3,2b 1成等差数列，求数列{b n }的通项公式．18．(14分)数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n ＋1a n a n ＋2n (n ∈N *)．(1)证明：数列{2na n}是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式a n ；(3)设b n ＝n (n ＋1)a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .答案阶段质量检测(二) 数列1．选B 由于3＝2＋1,5＝22＋1,9＝23＋1，…，所以通项公式是a n ＝2n ＋1.2．选C A 为递减数列，B 为摆动数列，D 为有穷数列．3．选B S 4－S 2＝a 3＋a 4＝20－4＝16，∴a 3＋a 4－S 2＝(a 3－a 1)＋(a 4－a 2)＝4d ＝16－4＝12，∴d ＝3.4．选D ∵2a n ＋1－2a n ＝1，∴a n ＋1－a n ＝12， ∴数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝12的等差数列， ∴a 101＝2＋12(101－1)＝52. 5．选B 设公差为d ，∴(1＋d )2＝1×(1＋4d )，∵d ≠0,∴d ＝2，从而S 10＝100.6．选A 因为a 3a 11＝a 27，又数列{a n }的各项都是正数，所以解得a 7＝4，由a 7＝a 5·22＝4a 5，求得a 5＝1.7．选B 设数列{b n }的通项b n ＝11＋a n ，因{b n }为等差数列，b 3＝11＋a 3＝13，b 7＝11＋a 7＝12，公差d ＝b 7－b 34＝124， ∴b 11＝b 3＋(11－3)d ＝13＋8×124＝23，即得1＋a 11＝32，a 11＝12. 8．选C 162是数列{a n }的第5项，则它是新数列{b n }的第5＋(5－1)×2＝13项．9．选A 由已知可得a n ＝n ＋1，b n ＝2n －1，于是ab n ＝b n ＋1，因此ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝(b 1＋1)＋(b 2＋1)＋…＋(b 10＋1)＝b 1＋b 2＋…＋b 10＋10＝20＋21＋…＋29＋10＝1－2101－2＋10＝1 033. 10．选B 法一：∵a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，a 5＝15，a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，∴a 6－a 5＝6，a 6＝21，a 7－a 6＝7，a 7＝28.法二：由图可知第n 个三角形数为n (n ＋1)2， ∴a 7＝7×82＝28. 11．解析：由a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)知{a n }是以1为首项，以2为公比的等比数列，由通项公式及前n 项和公式知a 5＝a 1q 4＝16，S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝1·(1－28)1－2＝255. 答案：16 25512．解析：由a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，得a n －a n －1＝n .则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，把各式相加，得a 5－a 1＝2＋3＋4＋5＝14，∴a 5＝14＋a 1＝14＋1＝15.答案：1513．解析：S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 20，S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 19，则S 偶S 奇＝q ， ∴S 奇＝S 偶q ＝63＝2. ∴S 20＝S 偶＋S 奇＝6＋2＝8.答案：814．解析：∵S 7＞S 6，即S 6＜S 6＋a 7， ∴a 7＞0.同理可知a 8＜0.∴d ＝a 8－a 7＜0.又∵S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＜0，∴S 9＜S 6.∵数列{a n }为递减数列，且a 7＞0，a 8＜0，∴可知S 7为S n 中的最大项．答案：①②③15．解：(1)设{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2， ∴a n ＝2n .(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32.设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝8， b 1＋4d ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＝－16，d ＝12. 从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n (－16＋12n －28)2＝6n 2－22n . 16．解：(1)证明：∵a 1＝S 1，a n ＋S n ＝n ①，∴a 1＋S 1＝1，得a 1＝12. 又a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1②，①②两式相减得2(a n ＋1－1)＝a n －1，即a n ＋1－1a n －1＝12，也即c n ＋1c n ＝12，故数列{c n }是等比数列．(2)∵c 1＝a 1－1＝－12， ∴c n ＝－12n ，a n ＝c n ＋1＝1－12n ， a n －1＝1－12n －1. 故当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝12n －1－12n ＝12n . 又b 1＝a 1＝12，即b n ＝12n . 17．解：(1)由题意可设公差为d ，则d ≠0，由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得1＋2d 1＝1＋8d 1＋2d，解得d ＝1或d ＝0(舍去)，故数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)由题意可设公比为q ，则q ＞0，由b 1＝1，且b 2，12b 3,2b 1成等差数列得b 3＝b 2＋2b 1，∴q 2＝2＋q ，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，故数列{b n }的通项公式为b n ＝1×2n －1＝2n －1.18．解：(1)证明：由已知可得a n ＋12n ＋1＝a n a n ＋2n ，即2n ＋1a n ＋1＝2n a n ＋1，即2n ＋1a n ＋1－2n a n＝1. ∴数列{2n a n}是公差为1的等差数列． (2)由(1)知2n a n ＝2a 1＋(n －1)×1＝n ＋1， ∴a n ＝2n n ＋1. (3)由(2)知b n ＝n ·2n .S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ， 2S n ＝1·22＋2·23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1，相减得－S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1 ＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.。

人教新课标版数学高二B版必修5单元检测第二章数列

综合检测(二)第二章数列(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·郑州高二检测)数列－1，43，－95，167，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n n 22n －1 B ．a n ＝(－1)nn (n ＋1)2n －1 C ．a n ＝(－1)n n 22n ＋1 D ．a n ＝(－1)nn 32n －1 【解析】观察各项知符号可用(－1)n 表示，各项绝对值的分母为1,3,5,7…，故可表示为2n －1，分子为1,4,9,16…可表示为n 2，故a n ＝(－1)nn 22n －1. 【答案】 A2．(2013·咸阳高二检测)已知等差数列{a n }中，a 5＋a 9＝2，则S 13＝( )A ．11B ．12C ．13D ．不确定【解析】 S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 5＋a 9)2＝13. 【答案】 C3．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( )A ．15B ．30C ．31D ．64【解析】由a 7＋a 9＝16，得a 8＝8，∴d ＝8－18－4＝74，∴a 12＝1＋8×74＝15.【答案】 A4．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( )A ．81B ．120C ．168D ．192 【解析】 ∵a 5＝a 2q 3，∴q 3＝a 5a 2＝2439＝27，∴q ＝3，∴a 1＝3，∴S 4＝3(1－34)1－3＝120. 【答案】 B5．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则a 3＋a 4＋a 5等于( )A ．33B ．84C ．72D ．189【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，∵4a 1,2a 2，a 3成等差数列，∴4a 2＝4a 1＋a 3，即4×3q ＝4×3＋3q 2，∴q ＝2，∴a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2＋a 1q 3＋a 1q 4＝3(22＋23＋24)＝84.【答案】 B6．(2013·合肥高二检测)若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )A ．15B ．12C ．－12D ．－15【解析】记b n ＝3n －2，则数列{b n }是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝(－b 1)＋b 2＋…＋(－b 9)＋b 10＝(b 2－b 1)＋(b 4－b 3)＋…＋(b 10－b 9)＝5×3＝15.故选A.【答案】 A7．已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，若a 1＝12，则a 2 012等于( ) A.12B ．2C ．－1D ．1【解析】由a 1＝12，a n ＋1＝11－a n 得a 2＝11－a 1＝2，a 3＝11－a 2＝－1，a 4＝11－a 3＝12，a 5＝11－a 4＝2，…，因此a 2 012＝a 3×670＋2＝a 2＝2. 【答案】 B8．设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则等于( ) A ．1 033B ．1 034C ．2 057D ．2 058【解析】由已知可得a n ＝n ＋1，b n ＝2n －1，【答案】 A9．(2013·宜昌高二检测)已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，且点P (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线x －y ＋1＝0上，则1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n等于( ) A.2n n ＋1 B.2n (n ＋1)C.n (n ＋1)2D.n 2(n ＋1)【解析】由题意，a n －a n ＋1＋1＝0.∴a n ＋1－a n ＝1，∴{a n }为等差数列，且a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝1＋(n －1)×1＝n ，∴S n ＝n (n ＋1)2，∴1S n ＝2n (n ＋1)＝2(1n －1n ＋1)， ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝2(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝2n n ＋1. 【答案】 A10．在数列{a n }中，若a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n )，则a n 等于( )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n【解析】依题意可得a 2＝a 1＋ln(1＋11)，a 3＝a 2＋ln(1＋12)， …a n ＝a n －1＋ln(1＋1n －1)，则a n ＝a 1＋ln ＝2＋ln n .【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)11．(2013·烟台高二检测)若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *), 则a 5＝________.【解析】由已知a n ＋1a n＝2，∴{a n }为首项a 1＝1，公比q ＝2的等比数列，∴a 5＝a 1q 4＝1×24＝16.【答案】 1612．(2013·洛阳高二检测)首项为－24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是________．【解析】设a 1＝－24，公差为d ，∴a 10＝－24＋9d >0且a 9＝－24＋8d ≤0，∴83<d ≤3.【答案】 (83，3(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝－2n n ＋1. 所以数列{1b n }的前n 项和为－2n n ＋1. 18．(本小题满分14分)(2013·绵阳高二检测)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若对于任意的正整数n 都有S n ＝2a n －3n .(1)设b n ＝a n ＋3，求证：数列{b n }是等比数列，并求出{a n }的通项公式；(2)求数列{na n }的前n 项和．【解】 (1)∵S n ＝2a n －3n 对于任意的正整数都成立，∴S n ＋1＝2a n ＋1－3(n ＋1)，两式相减，得S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－3(n ＋1)－2a n ＋3n .∴a n ＋1＝2a n ＋1－2a n －3，即a n ＋1＝2a n ＋3，∴a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)，即b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2对一切正整数都成立． ∴数列{b n }是等比数列．由已知得S 1＝2a 1－3，即a 1＝2a 1－3，∴a 1＝3，∴首项b 1＝a 1＋3＝6，公比q ＝2，∴b n ＝6·2n －1.∴a n ＝6·2n －1－3＝3·2n －3.(2)∵na n ＝3×n ·2n －3n ， ∴S n ＝3(1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n )－3(1＋2＋3＋…＋n )， 2S n ＝3(1·22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1)－6(1＋2＋3＋…＋n )，－S n ＝3(2＋22＋23＋…＋2n )－3n ·2n ＋1＋3(1＋2＋3＋…＋n )＝3·2(2n －1)2－1－6n ·2n ＋3n (n ＋1)2， ∴S n ＝(6n －6)·2n＋6－3n (n ＋1)2.。

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数学（必修5）第二章：数列[综合训练B 组]
一、选择题
1．已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =（）
A ．4-
B ．6-
C ．8-
D ．10-
2．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5
935,95S S a a 则（） A ．1 B ．1- C ．2 D ．
21 3．若)32lg(),12lg(,2lg +-x x 成等差数列，则x 的值等于（）
A ．1
B ．0或32
C ．32
D ．5log 2
4．已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q 的取值范围是（）
A ．1(0,2
B ．1(2
C ．
D ．)2
51,251(++- 5．在ABC ∆中,tan A 是以4-为第三项, 4为第七项的等差数列的公差,
tan B 是以13
为第三项, 9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是（） A ．钝角三角形 B ．锐角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．以上都不对
6．在等差数列{}n a 中，设n a a a S +++=...211，n n n a a a S 2212...+++=++，
n n n a a a S 322123...+++=++，则,,,321S S S 关系为（）
A ．等差数列
B ．等比数列
C ．等差数列或等比数列
D ．都不对
7．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，
则3132310log log ...log a a a +++=（）
A ．12
B ．10
C ．31log 5+
D ．32log 5+
二、填空题
1．等差数列{}n a 中, ,33,562==a a 则35a a +=_________。

2．数列7,77,777,7777…的一个通项公式是______________________。

3．在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_______。

4．等差数列中,若),(n m S S n m ≠=则n m S +=_______。

5．已知数列{}n a 是等差数列，若471017a a a ++=,
45612131477a a a a a a ++++++=且13k a =,则k =_________。

6．等比数列{}n a 前n 项的和为21n -，则数列{}2n a 前n 项的和为______________。

三、解答题
1．三个数成等差数列，其比为3:4:5，如果最小数加上1，则三数成等比数列，那么原三数为什么？
2．求和：12...321-++++n nx
x x
3．已知数列{}n a 的通项公式112+-=n a n ，如果)(N n a b n n ∈=，
求数列{}n b 的前n 项和。

4．在等比数列{}n a 中，,400,60,364231>=+=n S a a a a 求n 的范围。

第二章 [综合训练B 组]答案
一、选择题
1.B 2214322222,(2)(4)(2),212,6a a a a a a a a =-+=+=-=-
2.A 95539951559
S a S a ==⨯= 3.D 2lg 2lg(23)2lg(21),2(23)(21)x x x x ++=-+=-
22(2)4250,25,log 5x x x x -⋅-===
4.D 设三边为2,,,a aq aq 则222a aq aq a aq aq aq aq a ⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩，即222101010q q q q q q ⎧--<⎪-+>⎨⎪+->⎩
得q q R q q <<⎪⎪∈⎨⎪⎪><⎪⎩
或
，即1122q -++<< 5.B 374,4,2,tan 2,a a d A =-===361,9,3,tan 33
b b q B ==== tan tan()1C A B =-+=，,,A B C 都是锐角
6.A 122332232,,,,,,n n n n n n n n n n S S S S S S S S S S S S S ==-=---成等差数列
7．B 5103132310312103453log log ...log log (...)log ()log (3)10a a a a a a a a +++====
二、填空题
1. 38 352638a a a a +=+=
2.)110(97-=n n a 123479,99,999,9999...101,101,101,101,799
----=⨯ 3．5 22233553535()2()()25,5a a a a a a a a ++=+=+=
4．0 2n S an bn =+该二次函数经过(,0)m n +，即0m n S +=
5．18 77999172317,,1177,7,,(9)73
k a a a a d a a k d ==
===-=- 2137(9),183k k -=-⨯= 6．413
n - 11212111421,21,2,4,1,4,14n n n n n n n n n n S S a a a q S -----=-=-=====- 三、解答题
1. 解：设原三数为3,4,5,(0)t t t t ≠，不妨设0,t >则2
(31)516,5t t t t +==
315,420,525,t t t ===∴原三数为15,20,25。

2. 解：记2112
3...,n n S x x nx -=++++当1x =时，1123...(1)2
n S n n n =++++=
+ 当1x ≠时，23123...(1),n n n xS x x x n x nx -=++++-+ 231(1)1...,n n
n x S x x x x nx --=+++++-11n
n n x S nx x -=-- ∴原式=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≠---)1(2
)1()1(11x n n x nx x x n n
3. 解：112,5211,6
n n n n b a n n -≤⎧==⎨-≥⎩，当5n ≤时，2(9112)102n n S n n n =+-=- 当6n ≥时，255525(1211)10502n n n S S S n n n --=+=+
+-=-+ ∴⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤+-=)
6(,5010)5(,1022n n n n n n S n 4. 解：22213222236,(1)60,0,6,110,3,a a a a q a a q q ==+=>=+==±
当3q =时，12(13)2,400,3401,6,13
n n n a S n n N -==>>≥∈-；当3q =-时，12[1(3)]2,400,(3)801,8,1(3)
n n n a S n n ---=-=>->≥--为偶数； ∴为偶数且n n ,8≥。

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