模运算

/jojoke/archive/2007/12/17/1003594.html

模运算2009-7-16

很多地方用到模运算，这里说明模运算的一些规律，并加以证明。后续会对这些理论实际的应用加以记录和说明。

1. 模运算是取余运算(记做% 或者mod)，具有周期性的特点。 m%n的意思是n除m后的余数，当m递增时m%n呈现周期性特点，并且n越大，周期越长，周期等于n。

例如

0 % 20 = 0，1 % 20 = 1，2 % 20 = 2，3 % 20 = 3，...，19 % 20 = 19

20 % 20 = 0，21 % 20 = 1，22 % 20 = 2，23 % 20 = 3，...，39 % 20 = 19

2. 如果 m % n = r，那么可以推出如下等式

m = k * n + r (k为大于等于0的整数，r <= m）

3. 同余式，表示正整数a，b对n取模，它们的余数相同，记做a ≡ b mod n或者a = b (mod n)。

根据2的等式可以推出a = kn + b 或者a - b = kn

证明：∵ a = k1 * n + r1

b = k2 * n + r2

∴a - b = (k1 - k2) * n + (r1 - r2)

a = k * n + (r1 - r2) + b

∵a, b对n取模同余，r1 = r2

∴a = k * n + b (k = k1 - k2)

4. 模运算规则，模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下

(a + b) % n = (a % n + b % n) % n （1）

(a - b) % n = (a % n - b % n) % n （2）

(a * b) % n = (a % n) * (b % n) % n （3）

a b % n = ((a % n)b) % n （4）

（《ACM》P237规则有错，已改之）

（1）式证明

∵a = k1*n + r1

b = k2*n + r2

a % n = r1

b % n = r2

∴(a+b) % n = ((k1+k2)*n + (r1+r2)) % n = (r1+r2) % n = (a % n + b % n)% n

得证

（2）式证明同上

（3）式证明

a = k1*n + r1

b = k2*n + r2

(a*b) % n = (k1k2n2 + (k1r2+k2r1)n + r1r2) % n = r1r2 % n = (a %n)*（b %n ) % n{此处已作改正，原为：(a %n * b %n ) % n ，

但，(a %n)*（b %n ) % n不等于(a %n * b %n ) % n 。另需注意：“*、/、div 、mod”为同等级运算}

(4)式证明

设a % n = r

a b %n= (a * a * a * a…*a) %n = (a %n * a %n * a %n * … * a %n) %n = r b % n = ((a % n) b) % n

模运算看起来不是很直观，但是可以用来推导出一些有用的东西。例如（4）式可以用来降幂运算，例如计算6265 % 133,直接计算的话需要算出6265 利用（4）式可以进行降幂运算。

6265 % 133

= 62 * 6264 % 133

= 62 * (622)32 % 133

= 62 * 384432 % 133

= 62 * (3844 % 133)32 % 133

= 62 * 12032 % 133

= 62 * 3616 % 133

= 62 * 998 % 133

= 62 * 924 % 133

= 62 * 852 % 133

= 62 * 43 % 133

= 2666 % 133

= 6

/juliet2366/blog/item/722fd133d4807147ad4b5fc5.html

关于负号取余：

『错：这是异号求余的规则：A%B=C，则C的值为：|A|%|B|的结果，让这个结果与A同号，然后在和B相加。比如：

|-15|%|4|=3,然后-3+4=1

如果是15%（-4），则结果为 3+（-4）=-1

注意一定是两数异号时才是这种规则，同号时跟一般的算法相同』

正确的见：IB_12 《Pascal语言小学版（北京理工大学）》

/chackerempire/39419.html

模运算在数论和程序设计中都有着广泛的应用，从奇偶数的判别到素数的判别，从模幂运算到最大公约数的求法，从孙子问题到凯撒密码问题，无不充斥着模运算的身影。虽然很多数论教材上对模运算都有一定的介绍，但多数都是以纯理论为主，对于模运算在程序设计中的应用涉及不多。本文以c++语言为载体，对基本的模运算应用进行了分析和程序设计，以理论和实际相结合的方法向大家介绍模运算的基本应用。。

一基本理论：

基本概念：

给定一个正整数p，任意一个整数n，一定存在等式 n = kp + r ；

其中k、r是整数，且 0 ≤ r < p，称呼k为n除以p的商，r为n除以p的余数。

对于正整数p和整数a,b，定义如下运算：

取模运算：a % p（或a mod p），表示a除以p的余数。

模p加法：(a + b) % p ，其结果是a+b算术和除以p的余数，也就是说，(a+b) = kp +r，则(a + b) % p = r。模p减法：(a-b) % p ，其结果是a-b算术差除以p的余数。

模p乘法：(a * b) % p，其结果是 a * b算术乘法除以p的余数。

说明：

1. 同余式：正整数a，b对p取模，它们的余数相同，记做 a ≡ b % p或者a ≡ b (mod p)。

2. n % p得到结果的正负由被除数n决定,与p无关。例如：7%4 = 3， -7%4 = -3， 7%-4 = 3， -7%-4 = -3。

基本性质：

（1）若p|(a-b)，则a≡b (% p)。例如11 ≡ 4 (% 7)，18 ≡ 4(% 7)

（2）(a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)

（3）对称性：a≡b (% p)等价于b≡a (% p)

（4）传递性：若a≡b (% p)且b≡c (% p) ，则a≡c (% p)

运算规则：

模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：

(a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）

(a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2）

(a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）

a b % p = ((a % p)b) % p （4）