初二分式(一)基础讲义
分式讲义(一))
分式讲义（一）一、知识点： 1．分式的概念：（1）分式的定义：一般地A ，B 是两个_______，且_____中含有字母，那么BA 叫分式（2）分式有意义的条件是___________不等于0 （3）分式无意义的条件是___________等于0（4）分式为零的条件是________不等于0，且_________等于0 2．分式的基本性质：（1）分式的分子分母同乘（或除以）一个__________________，分式的值_________ （2）分子，分母的公因式,系数的_________与各______因式的_________的积（3）各分式的最简公分母，各分母系数的___________与_______因式___________的积 3．分式的运算法则：（1）乘法法则________________________________________ （2）除法法则________________________________________ 二、范例讲解：题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：yx y x yx yxba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+xx （3）122-x（4）3||6--x x （5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x （2）42||2--xx （3）653222----x xx x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式x-84为正；（2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.练习：1．当x 取何值时，下列分式有意义：（1）3||61-x （2）1)1(32++-x x （3）x111+2．当x 为何值时，下列分式的值为零：（1）4|1|5+--x x （2）562522+--x x x（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：MB M A MB M A B A ÷÷=⨯⨯=2．分式的变号法则：ba ba ba ba =--=+--=--题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）yx yx 41313221+-（2）ba b a +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）yx y x --+- （2）ba a ---（3）ba ---题型三：化简求值题【例3】已知：511=+y x ，求yxy x y xy x +++-2232的值.【例4】已知：21=-xx ，求221xx +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.练习：1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1）yx y x 5.008.02.003.0+- （2）ba ba 10141534.0-+2．已知：31=+xx ，求1242++x xx 的值. 3．已知：311=-ba，求aab b b ab a ---+232的值.4．若0106222=+-++b b a a ，求ba b a 532+-的值.（三）分式的运算1．确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.题型一：约分【例2】约分： （1）322016xyy x -； （3）nm mn--22； （3）6222---+x xx x题型二：通分【例1】将下列各式分别通分. （1）cb ac a bab c225,3,2--； （2）ab bb a a22,--；（3）22,21,1222--+--x xx x xx x ； （4）aa -+21,2三、作业：⒈当x 时，分式1223+-x x 有意义；当x 时，分式xx --112的值等于零.⒉分式ab c32、bc a3、acb25的最简公分母是 ；化简：242--x x ＝ .⒊xx 231--=32(_____)-x =－32____)-x （⒋当x 、y 满足关系式________时，)(2)(5y x x y --=－255．若使下列各分式值为零，x 的值分别为：（1）2213xx +-，则x = ；（2）1233--x x ，则x = ；（3）)2)(3(2+--x x x ，则x = ；（4）)1)(3(1+--x x x ，则x = ．6、分式xx ---112的结果是________.7、2241ba 与cab x36的最简公分母是__________.8、b a 1,1,31通分后,它们分别是_________, _________,________. 9、acb b ac c b a 107,23,5422的最简公分母是______,通分时,这三个分式的分子分母依次乘以______, ， 。
八年级上册分式专题讲义
八年级上册分式专题讲义一、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式.例1.下列各式aπ，11x +，15x+y ，22a b a b --，-3x 2，0中，是分式的有______个二、 分式有意义的条件是分母不为零：（B ≠0） 分式没有意义的条件是分母等于零.（ B=0 ）分式值为零的条件分子为零且分母不为零.( B ≠0且A=0,即分子零分母不零 )例1.下列分式，当x 取何值时有意义.（1）2132x x ++ （2）2323x x +-练习1．当x______时，分式2134x x +-无意义，当x_______时，分式2212x x x -+-的值为零.练习2.下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ）A ．121x +B ．21x x +C ．231x x + D ．2221x x +中考链接：（2007昆明，10，3分）当x ≠________时，分式13x -有意义. （2014昆明，12，3分）要使分式101-x 有意义，则x 的取值范围是 .三、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变.（C ≠0） （C ≠0）四、分式的通分和约分：关键是因式分解 分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.如果一个分式中没有可约的因式，则为最简分式.步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因式.注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂.②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分.分式的通分定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成同分母分式（分式值不变）.步骤：分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定.最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母.确定最简公分母的一般步骤： ①取各分母系数的最小公倍数；②单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式； ③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的； ④保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取； 注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解.C B CA B A ⋅⋅=C B C A B A ÷÷=例1.分式434y x a +，2411x x --，22x xy y x y -++，2222a abab b +-中是最简分式的有 个.练习1.约分：（1）22699x x x ++- （2）2232m m m m -+-练习2.通分：（1）26x ab ，29y a bc（2）2121a a a -++，261a -例2.已知1x -1y =3，求5352x xy yx xy y+---的值.五、分式的运算分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母.分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方.bcad c d b a d c b a =⋅=÷分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减.c b a c b c a +=± bd bc ad bd bc bd ad d c b a +=±=± 混合运算:运算顺序和以前一样.能用运算率简算的可用运算率简算.bd ac d c b a =⋅n nn ba b a =)(例1.当分式211x --21x +-11x -的值等于零时，则x=_________.练习1．已知a+b=3，ab=1，则a b +ba的值等于_______.例2.计算：222x x x +--2144x x x --+练习2.计算：21x x --x-1练习3.先化简，再求值:3a a --263a a a +-+3a，其中a=32练习4．计算34x x y -+4x y y x +--74yx y-得（ ） A ．-264x y x y +- B ．264x yx y+- C ．-2 D ．2练习5.计算a-b+22b a b+得（ ）A ．22a b b a b -++B ．a+bC ．22a b a b ++D ．a-b中考链接：（2009昆明，17改编，6分)化简，求值：x 6)1x 11x 1(x 3x 3÷+--⋅+，其中x ＝23（2010昆明，12，3分）化简：1(1)1a a -÷=+（2011昆明，13，3分）计算：2()ab a ba ab a b++÷--错误!未找到引用源。
第1讲 分式的概念及性质 讲义 (知识精讲+典题精练)2023-2024学年人教八年级数学上册
第1讲分式的概念及性质【中考考纲】【知识框架】考点课标要求知识与技能目标了解理解掌握灵活应用分式的概念分式的概念√分式有意义的条件√分式值为零的条件√分式值的符号讨论√分式的基本性质分式的基本性质√分式的概念分式的基本性质分式有意义的条件分式值为零的条件分式值的符号讨论分式分式的概念1【知识精讲】一、分式的概念1.一般地，用A ，B 表示两个整式，A B 就可以表示成BA的形式.如果B 中含有字母，式子AB就叫做分式．2.分式有意义的条件：分式的分母不为零；3.分式的值为零的条件：分式的分子为零且分母不为零；4.分式值为正的条件：分式的分子分母符号相同（两种情况）；5.分式值为负的条件：分式的分子分母符号不同（两种情况）．【经典例题】【例1】下列各代数式：1x ，2x ，5xy ，()12a b +，x π，211x -，22a b a b --，13a-,1x y -中，整式有_____________，分式有_____________．【例2】若分式21x -有意义，则x 的取值范围是_____________．【例3】要使式子3234x x x x ++÷--有意义，则x 的取值是_____________．【例4】使分式2211a a -+有意义的a 的取值是__________．【例5】当3x =-时，下列分式中有意义的是（）．A.33x x +- B.33x x -+ C.()()()()3232x x x x +++- D.()()()()3232x x x x -++-【例6】x ,y 满足关系_____________时，分式x yx y-+ 无意义．【例7】当x =_________时，分式33x x -+的值是零．【例8】当x =_________时，分式293x x --的值为零．【例9】若分式223-1244x x x ++的值为0，则x 的值为_________．【例10】x 为何值时，分式2||656x x x ---:（1）值为零；（2）分式无意义？【例11】若分式21-2x x a+无论x 取何值时，分式的值恒为正，则a 的取值范围是_________．【例12】若使分式1-1m 的值为整数，这样的m 有几个？若使分式1-1m m +的值为整数，这样的m 有几个？【例13】若分式1||x a+对任何数x 的都有意义，求a 的取值范围．【例14】要使分式11x x-有意义，则x 的取值范围是_________．【例15】当x 取何值时，分式226x x -+的值恒为负？【例16】当x 取什么值时，分式25xx -值为正？2【知识精讲】一、分式的基本性质1．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变，用式子表示A A CB B C⋅=⋅，A A CB B C÷=÷(0C≠),其中A,B,C为整式．2．注意：（1）利用分式的基本性质进行分式变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式；（2）应用基本性质时要注意0C≠，以及隐含的0B≠；（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以．3．分式的通分和约分：关键是先分解因式．【经典例题】【例17】把分式yx中的x 和y 都扩大3倍，则分式的值______．【例18】如果把分式10xyx y+中的x ，y 都扩大十倍，则分式的值（）．A ．扩大100倍B ．扩大10倍C ．不变D ．缩小到原来的110【例19】对于分式11x -，恒成立的是（）．A.1212x x =--B ．21111x x x +=--C ．()21111x x x -=--D ．1111x x -=-+【例20】下列各式中，正确的是（）．A ．a m ab m b+=+B ．0a ba b+=+C ．1111ab b ac c +-=--D ．221x y x y x y+=--【例21】与分式a ba b-+--相等的是（）．A ．a b a b+-B ．a b a b-+C ．a b a b+--D ．a b a b--+【例22】将分式253x yx y -+的分子和分母中的各项系数都化为整数，得（）．A ．235x y x y -+B ．1515610x y x y -+C ．1530610x y x y -+D ．253x y x y-+【例23】已知23a b =，求a bb+的值？【例24】化简：2323812a b cab c =________________．【例25】化简：22442y xy x x y-+=-________________．【例26】已知一列数1a ,2a ,3a ,4a ,5a ,6a ,7a ,且18a =,75832a =,356124234567a a a a a a a a a a a a =====,则5a 为（）．A ．648B ．832C ．1168D ．1944【例27】如果115x y +=,则2522x xy y x xy y-+=++____________．【例28】已知a b c d b c d a ===，则a b c da b c d-+-+-+的值是__________．【例29】化简：43211x x x x -+++．【例30】已知2215x x =+，求241x x +的值．【随堂练习】【习题1】若分式42121x x x --+的值为0，则x 的值是___________．【习题2】求证：无论x 取什么数，分式223458x x x x ---+一定有意义．【习题3】已知()1xf x x=+,求下列式子的值．111()()()(1)(0)(1)(2)(2011)(2012)201220112f f f f f f f f f ++++++++++ 【习题4】x 取______________值时,112122x +++有意义．【习题5】已知34y x =，求代数式2222352235x xy y x xy y -++-的值．【课后作业】【作业1】已知,,0a b c ≠，且0a b c ++=，则111111a b c b c c a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值是__________．【作业2】已知20y x -=，求代数式()()()()22222222xy x xy y xxy yxy+-+++-的值．【作业3】若实数x ，y 满足0xy ≠，则y xm x y=-的最大值是多少？【作业4】已知a ，b 为实数，且1ab =，设11a b P a b =---，1111Q a b =---，试比较P 和Q 的大小．【作业5】如果整数a (1a ≠)使得关于x 的一元一次方程：232ax a a x -=++的解是整数，则该方程所有整数解的和为__________．【作业6】已知分式()()811x x x -+-的值为零，则x 的值是__________．【作业7】要使分式241312a a a-++有意义，则a 的值满足__________．【作业8】已知210a a --=，且4232232932112a xa a xa a -+=-+-，求x 的值．。
初二数学体系讲义第1讲 分式及其基本性质
一、新课课题1. 分式的概念问题：（1）长方形的面积为S ，长为a ，宽应为 。
（2）把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形容器中，水面高度为 。
（3）一艘轮船在静水中的航速是20千米/时，水流的速度是x 千米/时，那么顺流航行的速度是 千米/时，逆流航行的速度是 千米/时，则： 船顺流航行100千米所用的时间是 ，逆流航行60千米所用时间 是 。
分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，且分母．．B ．中含有字母．．．．．，式子AB就叫做分式。
其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
2. 分式有意义的条件对于分式22231x x x ---，从运算的角度看，我们可以把它看作是整式（223x x --）除以整式（21x -），即22(23)(1)x x x --÷-，由于除数不能为零，因此分式的分母（21x -）不能等于0。
一般地，有： （1）分式有意义的条件：当 时，分式A B 有意义；当 时，分式AB无意义。
（2）分式的值为零的条件：当分子A ，且分母B 时，分式AB的值为0。
3. 分式的基本性质我们知道，分数69可以化简为23，这里实际上是把分数的分子和分母同时除以3得到的，除以3以后，分数的值还是相等的。
对于分式，也具有这样的性质，即分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于．．．0．的整式，分式的值不变。
即：A A C B B C ⋅=⋅，A A CB B C÷=÷(0)C ≠。
4. 分式的约分与通分（1）最简分式：分子与分母没有 的分式叫做最简分式。
（2）约分——利用分式的基本性质，不改变分式的值，分子分母同时约去公因式，这种分式的变形叫分式的约分。
初二数学（新课）班讲义（57期）第一讲 分式及其基本性质分式约分时，一般要约去分子和分母的所有公因式，使所得的结果成为最简分式或整式。
（3）通分——利用分式的基本性质，对分式的分子和分母同时乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个分式化成为分母相同的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
分式讲义
《分式》讲义一．考点解析考点1：分式的运算1．分式：整式A 除以整式B ，可以表示成A B 的形式，如果除式B 中含有字母，那么称A B为分式． 注：（1）若B ≠0，则A B 有意义；（2）若B=0，则A B 无意义；（2）若A=0且B ≠0，则A B =0 2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． 用式子表示为：（其中M≠0）3．约分：把一个分式的分子和分母的公团式约去，这种变形称为分式的约分． 4．通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．5．分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；（2）异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算． 分式的加、减法法则c a ±c b =c b a ±，b a ±d c =bd ad ±bd bc =bdbc ad ±. 6．分式的乘除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘．分式的乘、除法法则b a ·dc =bd ac ，d c b a ÷=b a ·c d =bcad . 7. 分式的乘方法则：分式的乘方就是把分子、分母各自乘方分式的乘方法则nb a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n b a (n 为正整数) 8通分注意事项：（1）通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为各分母系救的最小公倍数与所有相同因式的最高次幂的积；（2）易把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．9分式的混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．10于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值．考点2：分式方程及其应用1．分式方程．分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法：解分式方程的关键是大分母（方程两边都乘以最简公分母人将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题：⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根l 增根；⑵ 验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．4.解可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤：① 去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；② 解这个整式方程；③ 验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.5.列分式方程解应用题的一般步骤：（1） 审：审清题意；（2） 设：设未知数；（3） 找：找出等量关系；（4） 列：列出分式方程；（5） 解：解这个分式方程；（6） 验：既要验证根是否为原分式方程的根，又要检验根是否符合题意；（7） 答：写出答案.二、经典考题剖析：例１ 当x 取何值时，下列分式有意义？(1)51-x ； (2))2)(5(2+-+x x x ； (3)3||92+-x x ； (4)x111+． 解 (1)要使分式51-x 有意义，必须x －5≠0, ∴ x ≠5.∴ 当x ≠5时，分式51-x 有意义． (2)要使分式)2)(5(2+-+x x x 有意义，必须 (x －5)(x ＋2)≠0, ∴ x ≠5且x ≠－2, (3)要使分式3||92+-x x 有意义，必须|x|＋3≠0.∵ |x|＋3＞0, ∴ x 取任意数时，分式3||92+-x x 都有意义． (4)要使分式x 111+有意义，必须1＋x 1≠0, x ≠－1, x ≠0, x ≠0.∴ 当x ≠－1且x ≠0时，分式x111+有意义． 例２ (1)x 为何值时，分式62||2-+-x x x 的值为零；(2)x 为何值时，分式512-+x x 的值为－1. 解 |x|－2＝0, …… ① x 2＋x －6≠0,…… ②解①式得x ＝±2，解②式得(x －2)( x ＋3)≠0,即x ≠2且x ≠－3.∴ x ＝－2.当x ＝－2时，分式62||2-+-x x x 的值为零． 2x ＋1＝－(x －5), …… ① x －5 ≠0, …… ②由①得 2x ＋1＋x ＝5,即x ＝34， 由②得x ≠5，∴ x ＝34时，分式512-+x x 的值为－1. ∴ (2) 由题意得 (1) 由题意得例３ 若分式xx x +-||1||的值为零，求x 的值． 解 ∵ 分式xx x +-||1||的值为零， |x|－1＝0, …… ① |x|＋x ≠0, …… ②由①式得|x|＝1, ∴ x ±1．当x ＝1时，|x|＋x ＝|1|＋1＝2≠0,满足②式；当x ＝－1时，|x|＋x ＝|－1|－1＝0,不满足②式；∴ x ＝1.例４ 若分式xx +-12的值为负数，试确定x 的取值范围． 分析 分式xx +-12值为负数，即分式的分子2－x 与分母1＋x 的符号相反． 解 ∵ xx +-12＜0, ∴ 分子2－x 与分母1＋x 的符号相反，2－x ＞0, 2－x ＜0, 1＋x ＜0， 1＋x ＞0.x ＜2, x ＞2, x ＜－1, x ＞1．∴ x ＜－1或x ＞2,∴ x 的取值范围是x ＜－1或x ＞2．例５ 不改变分式的值，把下列各式中的分子、分母的各项系数都化为整数． (1)x y y x 31413251-+； (2)b a b a +-2.05.03.0． 解 (1)x y y x 31413251-+＝60)3141(60)3251(⨯-⨯+x y y x ＝x y y x 20154012-+； (2)b a b a +-2.05.03.0＝10)2.0(10)5.03.0(⨯+⨯-b a b a ＝ba b a 10253+-. 说明 解决这类问题，一般用下列方法：若分子、分母中各项系数都为分数，则分子、分母都乘以各项系数中分母的最小公倍数；若分子、分母中各项系数都是小数，则分子、分母同时乘以10n ；若分子、分母中各项系数有分数，又有小数，则把小数化为分数，再把分子、分母同时乘以各项系数分母的最小公倍数。
八年级上册数学讲义分式-
（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于__________．
（2）分式无意义的条件：分式的分母等于 0．
【注意】（1）分式有无意义与分母有关，与分子无关．
（2）分式中分母是含字母的式子，它的值随着字母取值的不同而变化，当字母的取值使分母等于 0 时，
分式就没有意义了．
3．分式的值为 0 的条件
分式的值为 0 的条件：当分式的分子等于 0 且__________不等于 0 时，分式的值为 0．
分式的基本性质是分式变形的理论依据．
【注意】①基本性质中的 A，B，C 表示的都是整式，其中 B≠0 是已知条件中隐含着的条件，一般在解
题过程中不另强调；C≠0 是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调
C≠0 这个前提条件．
②应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义：一是要同时做“乘法”或“除法”运算（不是
做“加法”或“减法”运算）；二是“乘”（或“除以”）的对象必须是同一个不等于 0 的整式．
③若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除
以同一个整式 C．
（2）分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变．
用式子表示为：
5．约分、最简分式
1．分式的概念
（1）分式的定义：
A
A
一般地，如果 A，B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 B 叫做分式．分式 B 中，A 叫做分
子，B 叫做__________．
（2）一个式子是分式需满足的三个条件：
A ①是形如 B 的式子；
②A，B 为__________式；
③分母 B 中含有字母．三个条件缺一不可．
八年级上册《分式》知识点归纳与总结上课讲义
八年级上册《分式》知识点归纳与总结主讲 王老师一、分式的定义：一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。
二、与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0（0B ≠）②分式无意义：分母为0（0B =）③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=00B A ） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ）⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><00B A ） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B 0≠）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0,0B ≠）三、分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：C B C ••=A B A ，CB C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即：BB A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。
四、分式的约分1．定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
2．步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因式。
3．注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。
4．最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
◆约分时。
分子分母公因式的确定方法：1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式.五、分式的通分1．定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
分式讲义
分式一、基本知识1、分式定义：形如BA的式子叫分式，其中A 、B 是整式，且B 中含有字母。
（1）分式无意义：B=0时，分式无意义； B ≠0时，分式有意义。
（2）分式的值为0：A=0，B ≠0时，分式的值等于0。
（3）分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。
方法是把分子、分母因式分解，再约去公因式。
（4）最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
分式运算的最终结果若是分式，一定要化为最简分式。
（5）通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式的过程，叫做分式的通分。
（6）最简公分母：各分式的分母所有因式的最高次幂的积。
（7）有理式：整式和分式统称有理式。
2、分式的基本性质： （1）)0(的整式是≠⋅⋅=M M B M A B A ；（2）)0(的整式是≠÷÷=M MB M A B A （3）分式的变号法则：分式的分子，分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
3、分式的运算：（1）加、减：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分成同分母的分式再相加减。
（2）乘：先对各分式的分子、分母因式分解，约分后再分子乘以分子，分母乘以分母。
（3）除：除以一个分式等于乘上它的倒数式。
（4）乘方：分式的乘方就是把分子、分母分别乘方。
二、例题讲析 1、 （2011黑龙江黑河，18，3分）分式方程=--11x x)2)(1(+-x x m 有增根，则m 的值为 （ ）A 0和3B 1C 1和－2D 3 【答案】D2、 （2011年铜仁地区，4，4分）小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km ，可早到10分钟，每小时骑12km 就会迟到5分钟．问他家到学校的路程是多少km?设他家到学校的路程是xkm ，则据题意列出的方程是（ ）A.60512601015-=+x x B.60512601015+=-x x C.60512601015-=-x x D.5121015-=+x x .【答案】A3、（2011内蒙古包头，17，3分）化简122144112222-++÷++-⋅-+a a a a a a a ，其结果是 . 【答案】11-a 4. （2011广西梧州，24，10分）由于受金融危机的影响，某店经销的甲型号手机今年的售价比去年每台降价500元．如果卖出相同数量的手机，那么去年销售额为8万元，今年销售额只有6万元．（1）今年甲型号手机每台售价为多少元？（2）为了提高利润，该店计划购进乙型号手机销售，已知甲型号手机每台进价为1000元，乙型号手机每台进价为800元，预计用不多于1.84万元且不少于1.76万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？（3）若乙型号手机的售价为1400元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金a 元，而甲型号手机仍按今年的售价销售，要使（2）中所有方案获利相同，a 应取何值？【答案】解：（1）设今年甲型号手机每台售价为x 元，由题意得， 80000x+500=60000x ． 解得x =1500． 经检验x =1500是方程的解．故今年甲型号手机每台售价为1500元． （2）设购进甲型号手机m 台，由题意得， 17600≤1000m +800（20-m ）≤18400， 8≤m ≤12．因为m 只能取整数，所以m 取8、9、10、11、12，共有5种进货方案． （3）方法一： 设总获利W 元，则W =（1500-1000）m +（1400-800-a ）（20-m ）， W =（a -100）m +12000-20a ．所以当a =100时，（2）中所有的方案获利相同． 方法二：由（2）知，当m =8时，有20-m =12．此时获利y 1=（1500-1000）×8+（1400-800-a ）×12=4000+（600-a ）×12 当m=9时，有20-m=11此时获利y 2=（1500-1000）×9+（1400-800-a ）×11=4500+（600-a ）×11 由于获利相同，则有y 1= y 2．即4000+（600-a ）×12=4500+（600-a ）×11，解之得a =100 ．所以当a =100时，（2）中所有方案获利相同． 5. （2011贵州黔南，21，10分）为了美化都匀市环境，打造中国优秀旅游城市，现欲将剑江河进行清淤疏通改造，现有两家清淤公司可供选择，这两家公司提供信息如表所示：单位 清淤费用（元/m 3） 清淤处理费（元）甲公司18 5000 乙公司20 0 （1）若剑江河首批需要清除的淤泥面积大约为1.2万平方米，平均厚度约为0.4米，那么请哪个清淤公司进行清淤费用较省，请说明理由。
分式培优讲义(1)
讲 义———分式姓名：分式知识点一：分式的定义一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式，A 为分子，B 为分母。
知识点二：与分式有关的条件 ①分式有意义：分母不为0（B ≠0） ②分式无意义：分母为0（B=0）③分式值为0：分子为0且分母不为0（A=0且B ≠0）④分式值为正或大于0：分子分母同号（或）⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（或）⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 知识点三：分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：，，其中A 、B 、C 是整式，C 0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C 0这个限制条件和隐含条件B0。
知识点四：分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。
最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
知识点五：分式的通分分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
确定最简公分母的一般步骤：Ⅰ取各分母系数的最小公倍数；Ⅱ单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；Ⅲ相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。
Ⅳ保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。
八年级数学分式上册知识点
八年级数学分式上册知识点分式是初中数学的一项重要内容。
对于八年级学生来说，学好分式知识对于后续数学学习和生活应用都有着重要的作用。
本文将分别介绍分式的基本定义、化简分式、分式的乘除以及分式的加减等知识点。
一、分式的基本定义分式是由分子和分母组成的，分母不能为零的式子，常用形式为a/b（a、b为整数，b≠0）。
其中，a为分子，b为分母，两者之间用分数线连接。
分式可以表示整数除法运算和真分数除法运算。
二、化简分式化简分式是在保持分数值不变的情况下，简化分式的形式。
化简分式的基本方法是约分，也就是将分子、分母同时除以它们的公因数。
例如：将4/8化简为最简形式。
由于4和8都可以被2整除，所以4/8可以化简为1/2。
三、分式的乘除乘法运算法则：分式与分式相乘时，把分子与分子、分母与分母分别相乘，然后再将得到的乘积作为新分式的分子和分母。
例如：计算（2/3）×（4/5）。
(2/3)×(4/5)=(2×4)/(3×5)=8/15除法运算法则：分式除以另一个分式时，将前者的分子和后者的分母相乘，再将后者的分子和前者的分母相乘，然后把这两个积相除。
例如：计算（2/3）÷（4/5）。
(2/3)÷(4/5)=(2×5)/(3×4)=5/6四、分式的加减加减的基本原理是通分。
通分后，将分子相加或相减，再将分母保持不变。
例如：计算（1/2）+（3/4）。
通分后，（1/2）和（3/4）分别乘以2和4，得到（2/4）和（3/4）。
（1/2）+（3/4）=（2/4）+（3/4）=（5/4）以上就是八年级上册分式知识点的介绍，希望对同学们学习分式知识有所帮助。
同时也建议同学们多多练习，通过大量的练习掌握这些知识点，为后续的数学学习打下坚实的基础。
分式讲义
3．最简因式：如果一个因式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个因式叫做最简因式。
【学习目标】
1、掌握分式的基本性质
2、会对分式进行恒等变形，会对分式进行约分，将分式化为最简分式。
【典型例题】
1．分式的基本性质的应用
【解答】
【例6】约分：
（1） ，（2） ，（3） .
【解答】
【例7】已知 ，求 的值．
【分析】遇到连等分式，一般采取设系数，然后代入约分。
【解答】
3．最简因式的判断
【例8】判断下列因式那些是最简因式，那些不是最简因式，并说明理由。
【解答】
【点评】最简分式的定义：如果一个因式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个因式叫做最简因式。
【解答】
【例4】 为何值时，分式 有意义？
【分析】分式 有意义的条件是： 。
【解答】
【点评】分式是否有意义，只和分母有关，与分子无关。
【例5】 为何值时，分式 有意义？
【解答】
4．分式值为零的条件
【例6】如果分式 的值为零，那么 、 应满足什么条件？
【分析】分式 的值为零条件是： 且 。
【解答】
5．与分式有关的实际问题
另
【能力提高】
1.根据分式的基本性质，下列各式中，变形不正确的是（）
（A） （B）
（C） （D）
2.下列各式正确的是（）
（A） （B） （C） （D）
3.下列约分错误的是（）
（A） （B）
（C） （D）
4.如果分式 中， 的值都变为原来的2倍，则分式的值（）
（A）不变（B）变为原来的 （C）变为原来的2倍（D）变为原来的4倍
初中八年级数学分式专题辅导讲义.doc
九年级数学分式辅导讲义对分式进行通分的关键是： ___________________________ .最简公分母： _____________________________________________________ . 分母如果是多项式，应该先 __________________ ，再 _________________ ・ 【例】1、如果把分式2xy中的兀和y 都扩大3倍，那么分式的值()x+ yA 、扩大3倍2、填空B 、缩小3倍C 、缩小6倍D 、不变2y _ 2/ 2-m 1 -aa 21 + y ~( 14-m 2()'1-^-()3、约分1+2兀X^r xy 2 2 兀-yX 2-94X 2+4X + 1 ? b-1'3x 2 +6A >, + 3}?29 — 6x + x~4、 一!—,，―^ 的最简公分母是 ______________________________（无+ l ）y 4兀~ 6xy^z 5、 通分【知识点3】分式的加减：1、 同分母的分式相加减：分母 _____________ ,分子 _______________2、 异分母的分式相加减：先 _______________ ,后 _________________1 1 I?2 2h 2【例】计算：（1） —+ —-— （2） -4= ------- —（3） a + b-^-y — x 2y — 2x nV —9 m-3a + b【知识点4］分式的乘除1、 分式乘分式， __________________ 做积的分子， ____________ 做积的分母。
2、 分式除以分式，先 ___________________________ ,再 _____________________ o 【例】计算：（1）（丄-1）子〒：2兀+ 1（2）（ —一三亠x + 2J T-4（J T-4X + 4 x + 2 丿 x-2【知识点5]分式方程1、 分式方程： __________ 中含有未知数的 ___________ 叫做分式方程2、 解分式方程的步骤： ______________________________________________________________ ;3、 在方程的两边同时乘 _________________ ，可以将分式方程转化为一元一次方程求解。
分式讲义
一、 分式何时有意义、值为01. 判断x 1，x 1-1，3b a +-，π2x ，12222,51,,-+++--x x mb a b a x x 中分式的有 函数11-=x y 中自变量x 的取值范围是函数xx y 11++=中自变量x 的取值范围是2. x 取什么值时，分式912--x x（1）无意义； （2）有意义； （3）值为0。
当x 时，分式31-+x x 有意义，当x 时，分式32-x x无意义。
3、当x 取什么值时，下列分式有意义？ （1）212x x - （2）7612-+x x （3）42132--x x4. 如果,0242=+--x x 则x= 当m ＝ 时，分式23)3)(1(2+---m m m m 的值为零当a=2时，是否存在x= ，22xa -+x a 的值为05. 当a _________________时，分式132+-a a 的值是正数 x = 时，分式232-+x x 的值为正数二、分式的基本性质：1. 通分：222123,61,862x x xx x x x -+--++-2. 若11132-++=--x Bx A x x ，求A 、B2、对于分式11x + 的变形永远成立的是( ) A.1212x x =++; B.21111x x x -=+-; C.2111(1)x x x +=++; D.1111x x -=+- 3、下列各式正确的是（ ）A 、11++=++b a x b x aB 、22xy x y =C 、()0,≠=a ma na m n D 、am an m n --= 4、将分式12x-y x 5 +y 3 的分子和分母中的各项系数都化为整数，应为（1）()aba b = （2）b a b a b a 22)(5.0+----=++(3)())0(,10 53≠=a axy xy a (4) ()1422=-+a a 变式训练（1)、不改变分式的值,使分式的首项分子与分式本身都不含“-”号:2a b a b ---=________;(2)2a b a b----=___________.(2)、不改变分式的值,把分式2343251x x x --+- 中分子、分母最高次项系数化为正数为__ __ __.(3)将y x y x 415.02.021-- ，yx yx 544341-+分母中的各项系数化为整数，不改变分式的值 (4) 把322211xx x x -+--最高次项的系数化为正数，不改变分式的值 4、如果把分式yx x+2中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ） A 、扩大3倍 B 、缩小3倍 C 、缩小6倍 D 、不变变式训练y x x +22、2223x y x y++、x y xy + 5、xyzx y xy 61,4,13-的最简公分母是 。
八年级数学分式入门知识点
八年级数学分式入门知识点分式是数学中一个非常重要的概念，涉及到分数、整式、多项式的运算和化简等知识点。
作为八年级数学的学生，学好分式入门知识点是打好数学基础的关键。
本文将针对八年级数学分式入门知识点进行讲解，并详细介绍分式定义、分式化简、分式运算、分式方程等几个主要知识点。
一、分式的定义分式是由分子和分母两部分组成的数式。
分子和分母都是整式，分母不能为零。
例如，a/b，(a+b)/(c-d)都是分式。
分式中的分数线表示分子和分母之间的相除关系，分子上方的横线表示除数，下方的横线表示被除数。
二、分式的化简化简分式是指将分式化为最简形式，即分子和分母互质，不能再约分。
常用的化简方法有约分和通分。
1、约分当分子和分母有公因数时，可以将分子和分母同时除以这个公因数，使分式化为最简形式。
例如，将12/16化为最简形式，可先将12和16都除以它们的最大公因数4，得到3/4。
2、通分通分是将两个或多个分式的分母化为相同的因式，然后将它们的分子相加或相减。
例如，将1/2和3/4通分，可将它们的分母都化为4，即得到2/4和3/4，然后相加得到5/4。
三、分式的运算分式的运算包括加、减、乘、除等。
在进行分式的加减运算时，需要先通分，然后将分子相加或相减，最后化简分式即可。
在进行分式的乘除运算时，需要将分式约分后再进行乘除运算，最后再化简分式。
1、加减运算将两个分式相加或相减，需要先通分，然后将分子相加或相减，最后化简分式。
例如，将1/2和3/4相加，可先将它们通分为2/4和3/4，然后相加得到5/4，最后将5/4化为最简形式5/4。
2、乘除运算将两个分式相乘或相除，需要将它们的分子和分母进行约分，然后再进行乘除运算，最后化简分式。
例如，将1/2和2/3相乘，先约分为1/3，然后相乘得到1/6，最后将1/6化为最简形式1/6。
四、分式方程分式方程是指含有至少一个分式的方程。
解分式方程的方法是通分化简、移项和化为一元方程组等。
初二数学分式讲解
初二数学分式讲解分式是数学中的一个重要概念，是沟通整数与分数的桥梁。
分式既可以在分数形式表示，也可以在分式形式表示，这种表达形式在数学中非常重要。
一、分式的定义分式定义为两个整式相除的商，分母中必须含有字母，分子、分母均为整式。
二、分式的基本性质1. 分式的分子和分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式值不变。
2. 分式的取值范围：分母不等于0。
三、分式的运算1. 约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。
约分的步骤是：（1）如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个单项式的积，则约去分子和分母中相同的因式或因子的幂的最低次幂。
（2）把分子、分母分解因式，并且约去分子和分母中的公因式。
2. 通分：几个异分母的分式通分时，取这几个分母的最小公倍数作为公分母，对各分式的分子、分母同乘相应的倍数。
3. 分式的加减法则：同分母的分式相加减，只把分子相加减，分母不变。
异分母的分式相加减，先通分，然后再加减。
4. 分数乘法法则：用分子乘整式或整式的计算结果做新分子的方法进行约分和化简。
5. 分数除法法则：把除法转化为乘法，再约分。
四、应用举例1. 解方程：如 x + 1/x = 3, x^2 + 1/x^2 = (x + 1/x)^2 - 2 = 3^2 - 2 = 7。
2. 解决实际问题：如已知某地的人口数量为 P，年增长率为 r，求 n 年后的人口数量，可采用复利公式 P(1 + r)^n。
五、注意事项1. 分式的约分和通分的依据是分数的基本性质。
2. 在进行约分和通分的操作时，要确保结果是最简形式。
3. 在解方程时，要注意对增根和假根的判断。
4. 在解决实际问题时，要注意单位的统一。
通过以上讲解，相信你对初二数学中的分式有了更深入的了解。
希望你在数学学习的道路上越走越顺利！。
人教版-数学-八年级上册-《分式》精品讲义
第十五章分式本章小结小结1 本章概述本章在已学过的分数的基础上引入了分式的概述，用类比的方法探究分式的基本性质，在熟练掌握分式的基本性质的基础上，会进行分式的约分、通分和分式的加、减、乘、除、乖方运算，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验分式方程的根．小结2 本章学习重难点【本章重点】了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；会解简单的可化为一元一次方程的分式方程.【本章难点】应用分式方程解决实际问题．小结3 中考透视本章内容在中考中主要考查判断分式有无意义，分式值为零的条件的应用，用分式基本性质进行变形，分式运算及分式的化简求值，常与实际问题结合起来命题，题型以解答题为主．知识网络结构图分式的概念分式的概念 分式的意义、无意义的条件分式的值为0的条件分式的基本性质分式的基本性质 分式的约分 分式的通分 分式的乘法规则分式的除法规则分式 同分母分式的加减法法则分式的运算 分式的加减法法则异分母分式的加减法法则运算性质负正数指数幂科学记数法公式方程的概念 解分式方程的步骤分式方程 分式方程中使最简公分母为0的解列分式方程应用题的步骤专题总结及应用一、识性专题专题1 分式基本性质的应用【专题解读】分式的基本性质是分式的化简、计算的主要依据.只有掌握好分式的基本性质，才能更好地解决问题.例1 化简(1)2610xy x ; (2) 21xy yx --； 解：(1)26233.10255xy x y yx x x x==(2)2(1)1(1)(1)1xy y y x yx x x x --==-+-+. 【解题策略】化简一个分式时，主要是根据分式的基本性质，把分式的分子与分母同时除以它们的公因式，当分式的分子或分母是多项式时，能分解因式的一定要分解因式.例2 计算2312212422a a a a ⎛⎛⎫⎫+÷-⎪⎪---+⎭⎭⎝⎝ 解：2312212422a a a a ⎛⎛⎫⎫+÷-⎪⎪---+⎭⎭⎝⎝3(2)122(2)2(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)3186(2)(2)(2)(2)3.a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤++-=+÷-⎢⎥⎢⎥+-+-+-+-⎣⎦⎣⎦++=÷+-+-= 【解题策略】异分母分式相加减，先根据分式的基本性质进行通分，转化为同分母分式，再进行相加减.在通分时，先确定最简公分母，然后将各分式的分子、分母都乘以分母与最简公分母所差的因式.运算的结果应根据分式的基本性质化为最简形式.专题2 有关求分式值的问题【专题解读】对于一个分式，如果给出其中字母的值，可以先将分式进行化简，然后将字母的值代入，求出分式的值.但对于分式的求值问题,却没有直接给出其中字母的值,而只是给出其中的字母所满足的条件，这样的问题复杂，需根据其转点采用相应的方法.例3 已知13x x+=,求2421x x x -+的值.解: 因为0x ≠，所以用2x 除所求分式的分子、分母. 原式22221111113361()21x x x x====--++--. 例4 已知22230x xy y --=，且x y ≠-，求2x x y x y--的值.解: 因为22230x xy y --=， 所以()(23)0,x y x y +-=所以0x y +=或230x y +=,又因为x y ≠-,所以0x y +≠,所以230x y -=,所以2,3y x = 所以223.2727323333x x x x x x x x x y x x yx x ====------- 例5 已知345,x y y z z x ==+++求()()()xyzx y y z x z +++的值. 解: 设3451,x y y z z x k===+++ 则3,4,5,x y k y z k z x k +=+=+= 解得x =2k ，y =k ，z =3k ，所以332361()()(3456010xyz k k k k x y y z x z k k k k ===+++）.例6 已知,,x z a c y z x y ==++且abc o ≠,求111a b c a b c +++++的值. 解: 由已知得1,y za x+= 所以111,y z x y z a x x ++++=+=即1a x y z a x+++=, 所以1a xa x y z=+++, 同理,,11b y c z b x y z c x y z==++++++ 所以1111a b c x y z x y z a b c x y z x y z x y z x y z++++=++==+++++++++++. 例7 已知1,x y zy z z x x y++=+++且0x y z ++≠,求222x y z y z x z x y +++++的值. 解: 因为0x y z ++≠,所以原等式两边同时乘以x y z ++,得:()(().x x y z y x y z z x y z x y z y z z x x y++++++++=+++++） 即222()()(),x x y z y y z x z z x y x y z y z y z z x z x x y x y ++++++++=++++++++ 所以222(),x y z x y z x y z y z z x x y +++++=+++++ 所以2220.x y z y z z x x y++=+++ 【解读策略】 条件分式的求值，如需把已知条件或所示条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能到事半功倍的效果，条件分式的求值问题体现了整体的数学思想和转化的数学思想.例8 已知,345x y z==求23x y x y z +-+的值. 分析 根据已知条件,可把,,x y z 用含有一个字母的代数式表示出来,再分别代入到所求式子中化简即可.解: 设,345x y zk ===则3,4,5x k y k z k ===. 所以34773324351010x y k k k x zy z k k k k ++===-+-⨯+⨯.【解题策略】 当代数式中的字母的比值是常数时，一般情况下都采用这种方法求分式的值.例9 已知,a b b c a c k c a b +++===求21kk +的值. 分析 只要求出k 的值就可以了,由已知条件可得,,,a b ck b c ak a c bk +=+=+=将这三个等式可加后得到2()()a b c k a b c ++=++,再通过讨论得到k 的值.解: 由已知到,,a b ck b c ak a c bk +=+=+=.三式相加得2()(),a b c k a b c ++=++即(2)()0k a b c -++=, 所以20k -=,或0a b c ++=. 即2k =,或0a b c ++=.当0a b c ++=时,a b c +=-,此时1,a bc+=-即1k =-. 所以2k =,或1k =-. 当2k =时,2222;1215k k ==++ 当1k =-时,22111(1)12k k -==-+-+. 【解题策略】在得到2()(),a b c k a b c ++=++时，因为a b c ++可以等于零，所以两边不能同时除以a b c ++，否则分丢解，应进行整理，用分解因式来解决.例10 已知111,a b a b +=+求b a a b+的值. 分析 观察已知条件和所示的分式,可将它们分别进行整理,从中得到某种关系,然后求值.解: 由111,a b a b +=+得1,a b ab a b+=+ 所以2(),a b ab +=即22a b ab +=-.所以221b a a b aba b ab ab+-+===-. 例11 已知14x x+=,求下列各式的值. (1)221x x+; (2)2421x x x ++. 分析 观察(1)和已知条件可知,将已知等式两边分别平方再整理,即可求出(1)的值;对于(2),直接求值很困难,根据其特点和已知条件,能够求出其倒数的值,这样便可求出(2)的值.解: (1)因为14x x +=,所以2214x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.即221216x x ++=.所以22114x x+=. (2)4242222222111114115x x x x x x x x x x ++=++=++=+=, 所以2421115x x x =++.32430a -⨯+=专题3 与增根有关的问题 例12 如果方程11322xx x-+=--有增根, 那么增根是 . 分析 因为增根是使分式的分母为零的根,由分母20x -=或20x -=可得2x =.所以增根是2x =.答案: 2x =例13 若关于x 的方程2403x x ax -+=-有增根, 则a 的值为 ( ) A.13 B. –11 C. 9 D.3分析 因为所给的关于x 的方程有增根,即有30x -=, 所以增根是3x =.而3x =一定是整式240x x a -+=的根, 将其代入得32430a -⨯+=,所以3x =.答案: D例14 a 何值时,关于x 的方程223242ax x x x +=--+会产生增根? 分析 因为所给方程的增根只能是2x =或2x =-，所以应先解所给的关于x 的分式方程，求出其根，然后求a 的值.解: 方程两边都乘以(2)(2)x x +-,得2(2)3(2).x ax x +=- 整理得(1)10a x -=-. 当a = 1 时,方程无解. 当1a ≠时,101x a =--. 如果方程有增根,那么(2)(2)0x x +-=,即2x =或2x =-.当2x =时,1021a -=-,所以4a =-; 当2x =-时,1021a -=--,所以a = 6 . 所以当4a =-或a = 6原方程会产生增根. 专题4 利用分式方程解应用题【专题探究】 列分式方程解应用题不同于列整式方程解应用题.检验时，不仅要检验所得的解是否为分式方程的解，还要检验此解是否符合题意.例15 在“情系海啸”捐款活动中，某同学对甲、乙两班捐款情况进行统计，得到如下三条信息.信息1：甲班共捐款300 元， 乙班共挡捐款232 元. 信息2: 乙班平均每人捐款钱数是甲班平均每人捐款钱数的45. 信息3 : 甲班比乙班多2人.请根据以上三条信息,求出甲班平均每人捐款多少元. 解: 设甲班平均每人捐款x 元,则乙班平均每人捐款45x 元. 根据题意, 得300232245x x =+,解这个方程得5x =. 经体验,5x =是原方程解.例16 (08·山西) 某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，上市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第二批进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元.（1）求第一批购进书包的单价是多少？（2）若商店销售这两批书包，每个售价都是120元，全部售出生，商店共盈利多少元？ 分析 设第一反批购进书包的单价为x 元，则第二批购进的书包的单价为(4)x +，第一批购进书包2000x 个，第二批购进书包63004x +个.解: 设第一批购进书包的单价为x 元. 依题意,得2000630034x x ⨯=+, 整理,得20(4)21x x +=, 解得80x =. 答: 第一批购进书包的单价为80元. 解法1: (2)20006300(12080)(12084)1000270037008084⨯-+⨯-=+=(元). 答: 商店共盈利3700元. 解法2 :2000(13)120(20006300)120008300370080⨯+⨯-+=-=(元) 答: 商店共盈利3700元. 二、规律方法专题专题5 分式运算的常用讨巧（1）顺序可加法.有些异分母式可加,最简公分母很复杂,如果采用先通分再可加的方法很烦琐.如果先把两个分式相加减,把所提结果与第三个分式可加减,顺序运算下去,极为简便.(2)整体通分法,当整式与分式相加减时,一般情况下,常常把分母为1的整式看做一个整体进行通分,依此方法计算,运算简便.(3)巧用裂项法.对于分子相同、分母是相邻两个连续整数的积的分式相加减，分式的项数是比较多的，无法进行通分，因此，常用分式111(1)1n n n n=-++进行裂项.(4)分组运算法: 当有三个以上的异分母分式相加减时,可考虑分组,原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数,且值相同或为倍数关系,这样才能使运算简便.(5)化简分式法.有些分式的分子.、分母都异常时如果先通分，运算量很大.应先把每一个分别化简，再相加减.(6)倒数法求值（取倒数法）.(7)活用分式变形求值.(8)设k求值法(参数法)(9)整体代换法.(10)消元代入法.例17 化简324 11241111x x x x x x+++-+++解: 原式=33 222422411242241111111 x x x x x x x x x x x x x x+-+++=++-+++-++ 2233322444343474482(1)2(1)444(1)(1)1114(1)4(1)8.(1)(1)1x x x x x x xx x x x xx x x x xx x x++-=+=+-++-+++-==-+-例18 计算422aa-++.解：原式24(2)(2)41222 a a aa a a-+-=+=++++2(2)(2)422a a aa a+-+==++例19 计算3211x x x x +-+-. 解：原式3232(1)(1)1111x x x x x x x x x x -++=++-=---- 331111x x x x --==---.例20 计算1111.(1)(1)(2)(2)(3)(2005)(2006)a a a a a a a a +++++++++++解: 原式111111111122320052006a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--++-⎪ ⎪⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21111111111223200520061120062006(2006)(2006)2006.2006a a a a a a a a a a a a a a a a a a=---+-++-+++++++=-++=-++=+【解题策略】要注意裂项法解分式是，常用分式111(1)1n n n n =-++.例21 计算22221111.23243x x x x x x x x x +--+++++++ 解: 原式22221111322143x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭2222221111(1)(1)(2)(1)(1)(3)(2)(3)(1)(1)(2)(1)(3)22(1)(2)(1)(3)2(1)(3)2(2)(1)(2)(3)2(263).(1)(2)(3)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=-+-⎢⎥⎢⎥++++++⎣⎦⎣⎦+-+-+=+++++=++++++++=+++++=+++ 例22已知x =求2111.242x x x +-+-- 解: 原式222111(2)(2)122444x x x x x x x --+=-+=++---- 222413444x x x --=+=---.当x =原式2== 例23 计算22223652.3256x x x x x x x x ++++-++++ 解: 原式2244113256x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ 2244325644(1)(2)(2)(3)4(3)4(1)(1)(2)(3)(2)(3)(1)816(1)(2)(3)8.(1)(3)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++=+++++++=++++++++=+++=++ 例24 已知271x x x =-+,求2421x x x ++的值. 解: 因为 271x x x =-+,所以0a ≠,所以 2117x x x -+=,即187x x +=, 所以 242222111151149x x x x x x x ++⎛⎫=++=+-= ⎪⎝⎭所以 24215149x x x =++. 【解题策略】在求代数式的值时，有时所给条件或所求代数式不易化简变形，当把代数式的分子、分母颠倒后，变形就容易了，这样的问题通常采用倒数法（把分子、分母倒过来）求值.例25 已知2510x x -+=和0x ≠,求441x x +的值. 解: 由2510x x -+= 和0x ≠ ,提15x x+=, 所以24242112x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭ 2222122(52)2527x x ⎡⎤⎛⎫=+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=--=【解题策略】 若能对分式进行熟练的变形运用，可给解题带来极大的方便.例26 已知,b c c a a b a b c +++==求()()()abc a b b c c a +++的值. 解: 设b c c a a b k a b c+++===, 所以,,b c ak c a bk a b ck +=+=+=所以,b c c a a b ak bk ck +++++=++所以2()(),()(2)0,a b c k a b c a b c k ++=++++-=即2k =或()0,a b c ++=当2k =,所求代数式33118abc abck k ===, 当0a b c ++=,所求代数式1=-.即所求代数式等于18或1-. 【解题策略】当已知条件以此等式出现时，可用设k 法求解.例27 已知111111111,,,6915a b b c a c +=+=+=求abc ab bc ac++的值. 解:因为 111111111,,,6915a b b c a c +=+=+= 各式可加得1111112,6915a b c ⎛⎫++⨯=++⎪⎝⎭ 所以11131180a b c ++=， 所以()1180.111()()31abc abc abc ab bc ac ab bc ac abc c a b÷===++++÷++ 例28 若4360,27,x y z x y z --=+-求232232522310x y z x y z----的值. 分析 消元法首选方法，即把其中一个未知数视为常量.解：以x, y 为主元，将已知两等式化为所以原式222222592413293410z z z z z z⨯+⨯-==-⨯-⨯-. 三、思想方法专题专题6 整体思想【专题解读】在进行分式运算时要重视括号的作用，即在计算时括号内的部分是一个整体，另外在分式的运算以及解方程时要注意符号的作用.例29 (08·宜滨) 请先将下列代数式化简，再选择一个你喜欢又使原式有意义和数代入求值.21111121a a a a a -⎛⎫-÷ ⎪---+⎝⎭分析 先化简，再代入使10a -≠的数a 求值.436,27,x y z x y z -=+=所以3,2,x y y z ==解原式22111(1)(1)111(1)1a a a a a a a a a --⎛⎫-÷=+=- ⎪--+-⎝⎭. 取10a =，则原式= 9 .【解题策略】将1化为11a a --进行减法运算，计算时要注意分子1a -是一个整体.。
八年级上册第1章分式知识点
八年级上册第1章分式知识点在初中数学的学习中，分式是一个非常重要的知识点。
在八年级上册第1章中，我们将深入了解分式。
为了更好地掌握分式的知识点，我们需要理解以下几个方面。
一、分式的定义及基本性质
分式是指两个整数的商式，其中分母不为0。
分式的记法为a/b （a为分子，b为分母）。
分式的基本性质包括：分式的值在分母不为0的条件下唯一确定；分式的约分和通分；分式的加、减、乘、除运算规则等。
二、带分数和假分数的互换
当我们需要加、减、乘、除带分数时，需要将其转化成假分数来进行运算。
将带分数化成假分数首先需要化简整数部分，其次需要进行分式的通分和约分。
三、分式的解法
对于分式的解法，我们需要掌握以下几个方面。
第一是排除分母为0的情况；第二是将分式转化成整式；第三是根据方程式来进行求解，通过化简和通分等方法，得到分式的值。
四、分式的应用
分式在数学中应用广泛，主要涉及到实际问题的计算和解决。
例如在物理学、化学、经济学等学科中，分式是很常见的运算方式。
在实际生活中，计算比例、计算付款、计算折扣等问题都离不开分式的运用。
综上所述，掌握分式的知识点对我们的数学学习至关重要。
通过深入了解分式的定义、基本性质、带分数和假分数的互换、分式的解法和应用等方面，我们可以更好地掌握分式的知识点，从而在数学考试中取得更好的成绩，也能更好地应对实际问题的计算和解决。
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分式练习题（一）一、填空题1. 当x__≠3___时，分式293x x--有意义，当x_=-4__时，2164x x--的值是零。
2. 当a ，b 满足关系__a-b ≠0_____时，分式3()9()a b a b --的值是13。
3. 分式2214a b与36x a b c的最简公分母是__12a 2b 3c__。
4. 约分：2332510x yx y c--=__2yxc __；22121xx x --+=__11xx +-_。
5. 计算22aa -+42a-=____a+2_____；3()a b a-÷2()b a -=___a ba -___。
6. 如果x+1x=3，那么x 2+21x=_____7___。
7. 方程12x -=235x +的解是____x=-9_____。
8. 如果关于x 的方程3x x --23a x -=2无解，则a=__32_____。
9. 当x__<0__时，||3x x -与3xx-互为倒数。
10. 某项工程，甲单独做需a 天，在甲做c 天后（c<a ），剩下的工作由乙独做还需b 天完成，若开始就由甲、乙共同合作，则完成任务需___aba b c +-__天。
11. 已知x=-4是方程1a x -=13x +的解，则a=___5___。
12. 已知23x x +-3与53x +的值互为相反数，则满足条件的x 的值是__-4_____。
二、选择题 13. 使分式||1x x -有意义的条件是（ C ） A ．x ≠1B ．x ≠-1C ．x ≠1且x ≠-1D ．x ≠014. 若分式方程1xx +=1m x +无解，则 m 的值是（ C ） A ．1B ．0C ．-1D ．-215. 若2a =3b =4c ，则2222232a bc c a ab c-+--的值是（ C ）A ．13B ．-13C ．12D-1216. 如果把分式xy x y+中的x ，y 都扩大2倍，那么分式的值是（ A ） A ．扩大2倍B ．缩小2倍C ．不变D ．不确定17. 计算（a -2）3 ·（ab 2）-2，并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式为（ C ） A ．541a bB ．45b aC ．841a bD ．48b a18. 如果关于y 的方程1ay=157y -有负数解，那么a 满足的条件是（ B ） A ．a<5 B ．a>5C ．a ≥5D ．a ≤5三、计算 19.21613962x x x x-----+解：原式=2(3)12(1)(3)2(3)(3)x x x x x +----+-=2692(3)(3)x x x x -+-+-=232(3)(3)x x x --+-（）=32(3)x x -+。
20. （xy-x 2）÷222x xy yxy-+·2x y x-解：原式=x （y-x ）×2xyx y -（）×2x y x - =-y21. 化简求值：2222a b ab b a abab ab---+-，其中a=32-，b=23。
解：原式=22()()()()()()a b a b b a b a b a b a ab b a +----+--=22()()a b a b b aab+-++=2222()a b b aab b a -++-=22aab=-92四、化简 22. （22x xx x --+）÷42x x - 解：原式=2x x -×24x x--2x x +×24x x-=14-242x x -+（）=2(2)42x x x +--+（）=12x +23. （222222326x x x x xx x ++--+-）÷（11246x --）解：原式=（222(23)(2)(23)x x x x x x x ++--+-）÷2312(23)x x ---=2(23)x x x +-×232x x ---(2)(2)(23)x x x x ++-×232x x --=2(2)x x x +--2x x -=-1x x+五、解方程 24.23x x-+=12+13x +解：2（2-x ）=x+3+24-2x=x+5 -3x=1x=-13经检验x=-13是原方程的根。
25.5424m m --=2536m m +--12解：3（5m-4）=2（2m+5）-3（m-2） 15m-12=4m+10-3m+614m=28m=2经检验，m=2是方程增根，原方程无解 26.231x x --=2423x x -++1解：（2x-3）（2x+3）=（2x-4）（x-1）+（x-1）（2x+3）5x=10x=2经检验，x=2是原方程的根。
27.21x x-+232x x-=1(2)(1)x x ---解：2-x+3（x-1）=-x 2-x+3x-3+x=03x=1 x=13经检验，x=13是原方程的根。
六、竞赛题选讲 28. 已知113x y-=，求2322x xy y x xy y+---的值。
解法一：将分子分母同时除以xy ，得：原式=223112y x y x+---=112()311()2x yx y --+---=23332-⨯+--=35。
解法二：由113xy-=，得y x xy-=3，即y-x=3xy 。
代入所求分式得：2322x xy y x xy y+---=2()32x y xy x y xy-+--=6332xy xy xy xy-+--=35xy xy--=35。
小结：本题的两种解法均采用整体换元法，这时代入消元法的一种特殊类型，应用得当会使问题简化。
29. 已知1x y z a b c ++=，0a b c xyz++=，求222222x y z abc++的值。
分析：若从求222222x y z abc++的值入手，可考虑到应把条件1x y z abc++=两边平方，在平方后虽会出现一些交叉项，但能从另一个已知条件给予解决。
解法一：把1x y z abc ++=两边平方，得： 222222x y z ab c+++2（xyyz zx abbcca++）=1。
整理得：222222x y z abc+++2xyz abc（a b c xyz++）=1又∵0a b c xyz++=，从而222222x y z abc++=1.解法二：本题采用换元法亦行，因为这样能减少字母的个数，使问题简单化。
令x a=u ，y b=v ，z c=w 。
于是条件变为u+v+w=1，1110u v w ++=。
由后一个条件通分得0uv vw w uuvw++=，于是得uv+vw+wu=0，把u+v+w=1两边平方得：u 2+v 2+w 2+2（uv+vw+wu ）=1，于是u 2+v 2+w 2=1，即222222x y z abc++=1.30. 若x=a+1，求12x 3-x 2-x+2的值。
分析：若用直接代入的方法计算，显然繁琐，可以由题设x=a+1，得出x-1=a ，再把原式用x-1表示出来，计算就方便了。
解：∵x=a+1，∴x-1=a ， 原式=12[x 3-2x 2-2x+4]=12[（x-1）（x 2-x-3）+1]=12（x-1）[x （x-1）-3]+12=12（x-1）3+12（x-1）2+32（x-1）+12=12a 3+12a 2-32a+12。
31. 已知21x x x ++=14，试求分式2421xx x ++的值。
解：由21x x x ++=14可得21x x x++=4，x+1x+1=4，即x+1x=3，（x+1x）2=9，x 2+21x=7.∴4221x x x ++= x 2+21x+1=7+1=8，∴2421xx x ++=18。
小结：分离变形在解决本题中起着关键作用。
由于本题的分式的分子是单项式，分母是多项式，所以先采取倒数然后分式分离再应用到解题中。
32. 已知三个不全为0的数x 、y 、z 满足4x-3y-6z=0，x+2y-7z=0，求22222223657x y z x y z++++的值。
分析：此题无法直接求值，根据条件也无法直接求出x 、y 、z 的值。
可以用含有其中一个未知数的代数式分别表示另外两个未知数，问题就能解决了。
解：4360270x y z x y z --=⎧⎨+-=⎩，整理得y=2z ，x=3z 。
于是22222223657x y z x y z++++=2222222(3)3(2)6(3)5(2)7z z z z z z++++=1.小结：若已知条件中，含字母的等式比字母个数少一个，就用其中一个字母的代数式分别表示其他字母，从而把含有多个字母的分式变成仅含有一个字母的，然后消元即可。
33. 已知a ≠b ，a ≠0，b ≠0，a+b ≠0，x=4ab a b+，求22x a x a+-+22x b x b+-的值。
分析：若把x=4ab a b+直接代入求值，计算较繁琐，若从所求分式结构的特点，观察、分析将已知等式变形后利用合分比性质解决。
解：由已知等式得：2xa =2ba b+，2xb =2aa b +。
由合分比性质得22x a x a+-=22b a b b a b++--=3b a b a+-，22x b x b+-=22a a b a a b++--=3a b a b+-。
故22x ax a +-+22x bx b +-=3b ab a +-+3a ba b+-=2.34. 若a b c a b c a b c c b a +--+-++==，求()()()a b a c b c abc+++的值。
解：若a+b+c≠0，由等比定理可得a b ca bc a b cb a+--+-++===()()()a b c a b c a b c a b c+--+-++++=a b c a b c++++=1.故a+b-c=c ，a-b+c=b ，-a+b+c=a 。
即a+b=2c ，a+c=2b ，b+c=2a 。
于是()()()a b a c b c abc+++=222c a babc⨯⨯=8.若a+b+c=0，则a+b=-c ，a+c=-b ，b+c=-a 。
()()()a b a c b c abc +++=()()()c a b abc---=-135. 若1x x +=-4，则331x x+=_____-52___36. 若x 2-3x+1=0，则5432225281x x x xx -+-+=_____-1__。
解：x 2-3x=-1，2x 5-6x 4+x 4+2x 3-8x 2=2x 3（x 2-3x ）+ x 2（x 2-3x ）+5 x 3-8x 2=-2 x 3-x 2+5 x 3-8x 2=3x 3-9x 2=3x （x 2-3x ）=-3x ，而-3x=-（x 2+1） ∴5432225281x x x xx -+-+=-1.37. 设有理数x 、y 、z 满足（y-z ）+（z-x ）+（x-y ）=（y+z-2x ）2+（z+x-2y ）2+（x+y-2z ）2，且y 2≠1，求22(1)(1)(1)(1)yz x zx y +-+-的值。