高等数学 习题册解答_11.线面积分(青岛理工大学).

⎫
⎝⎛1, 2π
A的抛物线
x y π
2
2=的弧段
解:因
y
P x Q ∂∂=∂∂故积分与路径无关,取⎪⎭
⎫
⎝⎛0, 2
πB
=
I 4232sin 21021
022πππ=
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=+⎰
⎰
⎰dy y y BA
OB
3.求+-=L
y
x xdy ydx I 2
2
, L为(1((11122=-+-y x (2正方形边界1=+y x的正向
=dydz z y x P , , (
(⎰⎰∑1
, , 2dydz z y x P C. (⎰⎰∑-1
, , 2dydz z y x P D.ABC都不对
2.设(0:2222≥=
++∑z a z y x取上侧,则下述积分不等于零的是( A ⎰⎰∑
dydz x 2∑
xdydz C ⎰⎰∑
ydxdy D ⎰⎰∑
(00=ϕ,计算
((
(
⎰+1, 10
, 02dy x y dx xy ϕ的值解:取路径:沿0=x从(0, 0到(1, 0;再沿1=y从(1, 0到(1, 1则
(2
1
01
1
=
+=
⎰
⎰
xdx dy y I ϕ或
(((2' 00, 2x x x y
P
x Q ===⇒∂∂=∂∂ϕϕϕ得又
§4对面积的曲面积分1、计算曲面积分⎰⎰∑
((112
2
20
1
1112
14
xy
x
D z dxdy x y dxdy dx x y dy -∑
=--=--
=
=⎰⎰⎰⎰⎰⎰解:由轮换对称性原式
2. (x y dydz ∑
+⎰⎰其中∑为锥面22y x z +=被平面1=z所截部分的外侧
(2221
22
2
cos 3
x x y ydydz xdydz x z dxdy d r
x t t , 2
1, 5100=-=z y
§2对坐标的曲线积分一、选择题
1.设L关于x轴对称, 1L表示L在x轴上侧的部分,当(y x P ,关于y是偶函数时, (=⎰L
dx y x P , A.0 B. (⎰1, 2L dx y x P C.(⎰-
, 2L dx y x P都不对
2.设L为1=+y x的正向,则=++L
=++++L
y x
y x dy
e dx y x 2ln 22222
解:将方程代入被积函数在由格林公式得
(=-=+-L
D
y dxdy dy e dx x 0 00(21ln 2
2. ((⎰+-+-L
dy y x x y dx x y xy , 3sin 21cos 23233其中L为点(0, 0O到⎪⎭
22R y x =+解:⎰
⎰⎰⎰
--+=-+
+=R
R
H
D dy y
R dz z
R R dydz y
R y z
R I yz
2
2
2
2
2
2
22
2
1. 1212
=2R
H
R y R z R R
H arctan 2].[arcsin][arctan0π=-
3、求曲面积分⎰⎰∑
++ds zx yz xy ( ,其中∑是锥面22y x z +=
y x dxdy d r r dr ππ
θθ∑
∑
∑
+≤==⎡⎤=--+-=
+-⎣⎦=--=-
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解:由对称性原式
三、用两类曲面积分之间的关系计算
1.求⎰⎰∑
++dS z y x cos cos cos (333γβα其中∑是柱面222a y x =+在h z ≤≤0部分,
γ
βαcos , cos , cos是∑的外法线的方向余弦
x xdy ydx l
L
4、验证((
dy e xy dx ye y
x x +++22
在xoy面上是某函数(y x u ,的全微分,求出(y x u ,
解:
x e y y
P
x Q +=∂∂=∂∂2, (x ye xy y x u +=2, , 5、设曲线积分(⎰+dy x y dx xy ϕ2与路径无关,其中(x ϕ具有连续的导数,且
zdxdz
3.设∑为球面122=++z y x取外侧, 1∑为其上半球面,则有(
A.⎰⎰⎰⎰∑∑
=1
2zds zds ⎰⎰∑∑
=1
2zdxdy zdxdy C.⎰⎰⎰⎰∑∑
=1
222dxdy z dxdy z D. 0
二、计算
1. ∑
++dxdy z dzdx y dydz x 222其中∑由1=++z y x及三个坐标面所围成闭曲面的外侧
解:(1直接用格林公式=0
(2设l为圆周:2
22r y x =+取逆时针方向,其参数方程
π20:, sin , cos →==t t r y t r x
原积分为
⎰⎰+=--
-+l
D
l L
l dxdy 0所以
ππ
2cos sin 20
2
22222
2
2
2
-=--=
+-=
+-⎰
dt r
t
r t r y
x xdy ydx y
+
+ds y x z 3
4
2(,其中∑是平面1432=++z y x在第一卦限的
部分解:⎰⎰
⎰⎰
-==++--
=
xy
D x
dy dx
dxdy y x y
x I 20
2
1(30
6143
61
.
43
61]342 321(4[ 2、求曲面积分⎰⎰
∑++ds z
y x 2
221
,其中∑是界于平面z=0和z=H之间的圆柱面2
, cos 2
==
=
,又adt ds =
原积分=⎰
=π
π20
3222
cos 2a adt t a 8、求均匀弧(0, sin , cos ≤<∞-===t e z t e y t e x t t t的重心坐标
3, 0
==
=⎰
∞
-dt e M dt e ds t
t
, 52cos 10
0=
=
⎰
∞
-dt e t e M
y x ydy
xdx
3. L为222a y x =+的正向, =+--+L
y x dy
y x dx y x 2
2 ( ( A.2π
π C.0 D.π
二、计算
1. ((
dy y x dx y x L
⎰-++2222,其中L由曲线(2011≤≤--=x x y从
(0, 2A到(0, 0O方向
解:(1, 1B 01:, :; 12:, 2:___
d , (d , (s x y x Q x x y x P L d 1( , (2 , (2⎰
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+-
§3格林公式及其应用
一、选择题1.若L是上半椭圆⎩⎨
⎧==,
sin ,
cos t b y t a x取顺时针方向,则
⎰-L
xdy ydx =
A.0 B.ab 2
π
ab π. D ab π2
解:由奇偶对称性
022=+L
dx y x , L :ππ→-==:, sin , cos t t a y t a x
=
I ((=
++⎰-
dt t aHale Waihona Puke Baidut t a dt t t a
cos 1ln cos sin cos sin 3
2
2
4
π
πππ
π
4
cos sin 4
2
2
4
a dt t t a =⎰-
3. (⎰Γ
2.设L为2
2
2
a y x =+的正向,则=+-
y x ydy x dx xy 2
222
A. 2π B.-2ππ
3.设L为曲线922=+y x的正向,则((=-+-dy x x dx y xy L
4222
A . 9π
π C. -9π D.0
二、计算题
1.设L是圆1222=++x y x取逆时针方向,则(
y x
原积分=222
2cos 2a adt t a ==⎰π
7. , 2⎰L
ds x其中L为球面2222a z y x =++与平面0=-y x的交线
解:将y x =代入方程2222a z y x =++得2222a z x =+于是L的参数方程:t
a z t a y t a x sin , sin 2
0222=-+x y x . 0, 2( 0, 0(B O到从
解:, 22x x y -=x x
x x y d 21d 2
--=
x y ds d 12'+=
x x
x d 212
-=
s
x
d d cos =
α, 22x x -=x s
y
-==
1d d cos β,于是=
+⎰
y y x Q x y x P L
四、空间每一点处(z y x P , ,有力(z y x F , , →
,其大小与(z y x P , ,到z轴的距离成反比,方向垂直指向z轴,试求当质点沿圆周t z y t x sin , 1, cos ===从点(0, 1, 1M到
(1, 1, 0N时,力(z y x F , , →
所作的功
解:由已知(}0, ,
解:(
2
2
155121241
1
1
+
-=
+
+⎰
⎰
xdx dy y
y 5. , ds y L
⎰其中L为双纽线0(( (222222>-=+a y x a y x
解:原积分=((
22sin 4sin 4420
2
2' 21
-==+=⎰
⎰⎰a d a
d r r r ds y L χπ
π
θθθθθ
6. ⎰+L
ds y x , 22其中L为(022>=+a ax
第十一章曲线积分与曲面积分§ 1对弧长的曲线积分
1设L关于x轴对称, 1L表示L在x轴上侧的部分,当(y x f ,关于y是偶函数时,
(=⎰L
ds y x f ,
(⎰1
, L ds y x f C. (⎰-1
, 2L ds y x f D.ABC都不对
2、设L是以点((((1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1--D C B A为顶点的正方形边界,
dr ππ
θθ∑
∑
∑
+≤===-=
=
=
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰解:由对称性原式
3. ((⎰⎰∑
-+-+-dxdy x z dzdx z y dydz y x (其中∑为22y x z +=被平面1=z所截部
分,其法向量与z轴成锐角
(((2222
2
21
21
320
22cos 2
x y ydydz zdzdx x y z x dxdy x
0, πA的积分(
(dy y x dx y L
+++⎰213的值最小
解:(([]
30333
44cos sin 2sin 1a a dx x a x a x x a a I +
-=+++=⎰ππ
((
(0811, 014' ' 2
' >=⇒=⇒=-=I a a a I。, 1=a (a I最小,此时x y sin =
-+++dz y x ydy xdx 1其中为从点(1, 1, 1A到(4, 3, 2B的有向线段
解:Γ方程:13, 12, 1+=+=+=t z t y t x ,
=I (136141
=+⎰dt t
三、过(0, 0O和(
0, πA的曲线族(0sin >=a x a y ,求曲线L使沿该曲线从(0, 0O到(
∑为平面1=+-z y x在第四卦限部分的上侧
{1, 1,1}n ∑=-解:的法向量为. 1
cos , 3
1cos , 1cos =-==∴γβα
被柱面
ax y x 222=+所截得的有限部分
解:
dxdy y x y x xy I xy
D 2]
([2
2⎰⎰+++=
=
⎰
⎰-
++2
2
cos 20
2
2]. sin (cossin cos [π
π
θ
θθθθθ
a rdr r r r
d =
4215
64
a
§ 5对坐标的曲面积分一、选择题
1.设∑关于yoz面对称反向, 1∑是∑在yoz面的前侧部分,若(z y x P , ,关于x为偶函数,则(⎰⎰∑
则+L
y
x ds =
24 D. 22
3、有物质沿曲线L :(103
, 2, 3
2≤≤===t t z t y t x分布,其线密度为, 2y =μ,则它
=m
++1
42dt t t t B.⎰++1
422dt t t t C.⎰++1
42dt t t D.⎰++1
42dt t t
4.求, ⎰L
xds其中L为由2, x y x y ==所围区域的整个边界
{
, , 2
2
2
2
y
x ky y
x kx z y x F +-+-=
2ln 2
cos 1
cos
cos 2
2
2
22
2
k
t d t t
k dy y x ky dx y x
kx
W L
=
+-=
+-+
+-=
⎰⎰π
五、将积分y y x Q x y x P L d , (d , (⎰+化为对弧长的积分,其中L沿上半圆周
(
322
3
3
2
2
4
4
40
3224cos 4h
a
a
x dydz y dzdx zdxdy
dxdy x dydz x dydz dz a y
dy ha
tdt a h π
π∑
∑
∑
-=++===-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解:原式由奇偶对称性及=0得
原式
2. ((⎰⎰∑
+++++dxdy z z y x f dzdx y z y z f dydz x z y x f , , ( , , (2 , , ((其中, , (z y x f为连续函数,
____
→=→-=x x y BO x x y AB
=
I =
+
⎰
⎰____
___
BO
AB (((
(
((
3
41220
1
22
1
2
2
2
2
-
=++---+-+⎰⎰dx x x
dx x x dx x x
2. []
d y y x x xy y dx y x L
ln((2222+++++其中L是正向圆周曲线
222a y x =+