2015简单线性规划典型例题

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1、线性规划经典例题

线性规划题型一：已知可行域问题()()()()()20,1218,12.16,14.16,14.52),),2,4(),4,3(),2,1(1-----=--C B A y x z ABCD y x P C B A ABCD 的取值范围是的内部，则行四边形在平（点的三个顶点为、已知平行四边形()的最大值等于则动点，设内（含边界）的为，点且的正方形，是边长为、如图，四边形βαβαβα+∈+=∆=,,212R BCD P OD OABC （注意：P 在三角形ABC 内，实际上描述的就是可行域问题。

）题型二：最优解是否唯一（含参）的取值范围是）取得最小值，则，在点（仅若目标函数满足约束条件已知实数省联考）年、（a ay x z y x y x y x y x 432,1122,2620161+=⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-()1-2.12.212.1-21.,02202202,20152或或或或的值为唯一，则实数取得最大值的最优解不若满足约束条件武汉调研）、（D C B A a ax y z y x y x y x y x -=⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+题型三：目标函数含参=⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-++=k z y x y x y x y x y kx z ，则实数的最大值为若满足，其中实数浙江卷）设、（12,04204202,20131 ()3.2.2.3.4,020,20152--=+=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-D C B A a y ax z y y x y x y x ，则为的最大值若满足约束条件，山东高考）已知、（题型四：可行域含参()()()2.1.21.41.12,331,0.20131D C B A a y x z x a y y x x y x a =+=⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥>，则的最小值是若满足约束条件，已知高等学校全国统一考试、()3.25.2.1.42,02,2015(2D C B A b y x z b x y x y y x y x 的值为，则实数为的最小值且满足实数河南省郑州市二模）若、+=⎪⎩⎪⎨⎧+-≥≥≥- 题型五：一个很容出错的问题（多解检验）()3-5.35.3.5.7,1,,2014(1或或，则的最小值为且满足全国文科卷）设、D C B A a ay x z y x a y x y x --=+=⎩⎨⎧-≤-≥+ 题型六：快速确定可行域()[]()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=++23,21.23,21.3,1.3,1.1321100212D C B A a b b ax x 的取值范围是）上，则，）上，另一个根在（，的一个根在（、已知一元二次方程。

山东省2015高考数学(理)总复习课时限时检测36二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 Word版含解析

课时限时检测(三十六) 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(时间：60分钟满分：80分)命题报告1．不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤3，表示的平面区域是一个三角形，则a 的范围是( )A ．a <5B ．a ≥8C ．5≤a <8D ．a <5或a ≥8【解析】如图，⎩⎨⎧ x －y ＋5＝0，x ＝0的交点为(0,5)，⎩⎨⎧x －y ＋5＝0，x ＝3的交点为(3,8)，∴5≤a <8.【答案】 C2．如果点(1，b )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，则b 应取的整数值为( )A ．2B ．1C ．3D ．0【解析】由题意知(6－8b ＋1)(3－4b ＋5)＜0，即(b －78)(b －2)＜0，∴78＜b ＜2，∴b 应取的整数为1. 【答案】 B3．(2014·郑州模拟)已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是( )A ．(1－3，2)B ．(0,2)C ．(3－1,2)D ．(0,1＋3)【解析】如图，根据题意得C (1＋3，2)．作直线－x ＋y ＝0，并向左上或右下平移，过点B (1,3)和C (1＋3，2)时，z ＝－x ＋y 取范围的边界值，即－(1＋3)＋2<z <－1＋3，∴z ＝－x ＋y 的取值范围是(1－3，2)．【答案】 A4．(2013·课标全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，则z ＝2x －3y 的最小值是( )A ．－7B ．－6C ．－5D ．－3【解析】作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x －3y 过点C 时，z 取得最小值．由⎩⎨⎧ x ＝3，x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝4， ∴z min ＝2×3－3×4＝－6，故选B. 【答案】 B5．(2013·湖北高考)某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元【解析】设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ，则约束条件为⎩⎨⎧36x ＋60y ≥900，x ＋y ≤21，y －x ≤7，x ，y ∈N ，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．【答案】 C6．(2014·三明模拟)已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎨⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( ) A ．[－1,0] B ．[0,1] C ．[0,2]D ．[－1,2]【解析】作出可行域，如图所示，OA →·OM→＝－x ＋y . 设z ＝－x ＋y ，作l 0：x －y ＝0，易知，过点(1,1)时，z 有最小值，z min ＝－1＋1＝0；过点(0,2)时，z 有最大值，z max ＝0＋2＝2，∴OA →·OM →的取值范围是[0,2]．【答案】 C二、填空题(每小题5分，共15分)7．(2014·日照市第一中学月考)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )}⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎧ x ≥12x －y ≤1，集合B ＝{(x ，y )|2x ＋3y －m ＝0}，若A ∩B ≠∅，则实数m 的最小值等于________．【解析】 A ∩B ≠∅说明直线与平面区域有公共点，作出图形可知，问题转化为：求当x ，y 满足约束条件x ≥1,2x －y ≤1时，目标函数m ＝3x ＋2y 的最小值，在平面直角坐标系中画出不等式组表示的可行域．可以求得在点(1,1)处，目标函数m ＝3x ＋2y 取得最小值5.【答案】 58．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a ＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围为________．【解析】由约束条件表示的可行域如图所示，作直线l ：ax ＋y ＝0，过(3,0)点作l 的平行线l ′，则直线l ′介于直线x ＋2y －3＝0与过(3,0)点与x 轴垂直的直线之间，因此，－a ＜－12，即a ＞12.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞9．(2013·北京高考)已知点A (1，－1)，B (3,0)，C (2,1)．若平面区域D 由所有满足AP →＝λAB →＋μAC →(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为________．【解析】设P (x ，y )，则AP →＝(x －1，y ＋1)．由题意知AB →＝(2,1)，AC →＝(1,2)．由AP →＝λAB →＋μAC →知(x －1，y ＋1)＝λ(2,1)＋μ(1,2)，即⎩⎨⎧2λ＋μ＝x －1，λ＋2μ＝y ＋1.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2x －y －33，μ＝2y －x ＋33，∵1≤λ≤2,0≤μ≤1，∴⎩⎨⎧3≤2x －y －3≤6，0≤2y －x ＋3≤3.作出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分)，由图可知平面区域D 为平行四边形，可求出M (4,2)，N (6,3)，故|MN |＝ 5.又x －2y ＝0与x －2y －3＝0之间的距离为d ＝35，故平面区域D 的面积为S ＝5×35＝3. 【答案】 3三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：22(万吨)，求购买铁矿石的最少费用为多少百万元？【解】设购买铁矿石A 为 x 万吨，购买铁矿石B 为y 万吨，总费用为z 百万元．根据题意得⎩⎨⎧0.5x ＋0.7y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，x ≥0，y ≥0.整理为⎩⎨⎧5x ＋7y ≥19，2x ＋y ≤4，x ≥0，y ≥0.线性目标函数为z ＝3x ＋6y画可行域如图所示：当x ＝1，y ＝2时，z 取得最小值， ∴z min ＝3×1＋6×2＝15(百万元)．故购买铁矿石的最少费用为15百万元．11．(12分)(2013·浙江高考改编)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ≥2，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，求实数k 的值．【解】作出可行域如图中阴影所示，由图可知，当0≤－k <12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2(舍去)；当－k ≥12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点N (2,3)时z 最大，所以2k ＋3＝12，解得k ＝92(舍去)；当－k <0时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2，符合．综上可知，k ＝2.12．(13分)(2012·江苏高考改编)已知正数a 、b 、c 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ≤4c ，3a ＋b ≥5c ，b ≥c ·e ac .其中c 为参数，求ba 的取值范围．【解】作不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ≤4c ，3a ＋b ≥5c ，b ≥c ·e ac .表示的平面区域如图所示．又k ＝ba 表示平面区域内的动点P (a ，b )与原点O (0,0)连线的斜率．由⎩⎨⎧a ＋b ＝4c ，3a ＋b ＝5c ，得a ＝c 2且b ＝72c ，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，72c ，∴OA 的斜率最大，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b a max ＝7，设点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，c ·e x 0c 是函数b ＝c ·e a c 图象上任意一点．则曲线b ＝c ·e a c 的切线OB 的斜率最小．又b ′＝c ·e a c ·1c ＝e a c ， ∴k OB ＝b ′|a ＝x 0＝e x 0c ，又k OB ＝c ·e x 0cx 0.∴c ·e x 0c x 0＝e x 0c ，从而x 0＝c ，则点B (c ，ce )．经检验知，点B (c ，c e)在可行域，此时，k OB ＝e x 0c ＝e cc ＝e. 因此⎝ ⎛⎭⎪⎫b a min ＝k OB ＝e.所以ba 的取值范围为[e,7]．。

高一二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题知识点+例题+练习含答案

1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3.(1)画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：①直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；②特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．(2)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于Ax ＋By ＋C >0或Ax ＋By ＋C <0，则有①当B (Ax ＋By ＋C )>0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方； ②当B (Ax ＋By ＋C )<0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方． (3)最优解和可行解的关系：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( × ) (2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( √ )(3)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( × ) (4)不等式x 2－y 2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y 轴的两块区域．( √ )1．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0解析两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0，又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域． 2．(教材改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是________．答案 ③解析用特殊点代入，比如(0,0)，容易判断为③. 3．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则该约束条件所围成的平面区域的面积是________．答案 2解析因为直线x －y ＝－1与x ＋y ＝1互相垂直，所以如图所示的可行域为直角三角形，易得A (0,1)，B (1,0)，C (2,3)，故AB ＝2，AC ＝22，其面积为12×AB ×AC ＝2.4．(2015·北京改编)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为________．答案 2解析可行域如图所示．目标函数化为y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (0,1)时，z 取得最大值2.5．(教材改编)投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________(用x ，y 分别表示生产A ，B 产品的吨数，x 和y 的单位是百吨)．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧200x ＋300y ≤1 400，200x ＋100y ≤900，x ≥0，y ≥0解析用表格列出各数据A B 总数产品吨数 x y 资金 200x 300y 1 400 场地200x100y900所以不难看出，x ≥0，y ≥0,200x ＋300y ≤1 400,200x ＋100y ≤900.题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域命题点1 不含参数的平面区域问题例1 (1)不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的________．(2)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于________．答案 (1)③ (2)43解析 (1)(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出平面区域后，只有③符合题意．(2)由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，A (0，43)，B (1,1)，C (0,4)，则△ABC 的面积为12×1×83＝43.命题点2 含参数的平面区域问题例2 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是____________________________________________________________．答案 73解析不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫12，52. 当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73.思维升华 (1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可．(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解．(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx －1与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为________． (2)已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为________．答案 (1)[3，＋∞) (2)1解析 (1)直线y ＝kx －1过定点M (0，－1)，由图可知，当直线y ＝kx －1经过直线y ＝x ＋1与直线x ＋y ＝3的交点C (1,2)时，k 最小，此时k CM ＝2－(－1)1－0＝3，因此k ≥3，即k ∈[3，＋∞)．(2)由于x ＝1与x ＋y －4＝0不可能垂直，所以只有可能x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直或x ＝1与kx －y ＝0垂直．①当x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直时，k ＝1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求． ②当x ＝1与kx －y ＝0垂直时，k ＝0，检验不符合要求．题型二求目标函数的最值问题命题点1 求线性目标函数的最值例3 (2014·广东)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝________. 答案 6解析画出可行域，如图阴影部分所示．由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，∴A (－1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴B (2，－1)．当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z min ＝2×(－1)－1＝－3＝n .当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z max ＝2×2－1＝3＝m ，故m －n ＝6. 命题点2 求非线性目标函数的最值例4 实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2.(1)若z ＝yx ，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围；(2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围．解由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z ＝yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此yx的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1,2)， ∴k OB ＝21＝2，即z min ＝2，∴z 的取值范围是[2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方．因此x 2＋y 2的值最小为OA 2(取不到)，最大值为OB 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0,1)， ∴OA 2＝(02＋12)2＝1，OB 2＝(12＋22)2＝5，∴z 的取值范围是(1,5]．引申探究1．若z ＝y －1x －1，求z 的取值范围．解 z ＝y －1x －1可以看作过点P (1,1)及(x ，y )两点的直线的斜率．∴z 的取值范围是(－∞，0)．2．若z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3.求z 的最大值、最小值．解 z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3 ＝(x －1)2＋(y －1)2＋1，而(x －1)2＋(y －1)2表示点P (1,1)与Q (x ，y )的距离的平方，(PQ 2)max ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2， (PQ 2)min ＝(|1－1＋1|12＋(－1)2)2＝12，∴z max ＝2＋1＝3，z min ＝12＋1＝32.命题点3 求线性规划的参数例5 已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________.答案 12解析作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a (x －3)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ， ∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12.思维升华 (1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值． (2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有： ①x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离，(x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；②yx 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率，y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． (3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足条件．(1)(2015·无锡一模)在直角坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域的面积为32，则t 的值为________．(2)(2014·安徽改编)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为________．答案 (1)1 (2)2或－1 解析 (1)不等式组⎩⎨⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x ＝t ，解得交点B (t ，t ＋1)，在y ＝x ＋1中，令x ＝0得y ＝1，即直线y ＝x ＋1与y 轴的交点为C (0,1)，由平面区域的面积S ＝(1＋t ＋1)×t 2＝32，得t 2＋2t －3＝0，解得t ＝1或t ＝－3(不合题意，舍去)．(2)如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.题型三线性规划的实际应用例6 某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y .由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上的截距z2 400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小．思维升华解线性规划应用问题的一般步骤： (1)分析题意，设出未知量； (2)列出线性约束条件和目标函数； (3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答．(2015·陕西改编)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为________万元.甲乙原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128答案 18解析设每天甲、乙的产量分别为x 吨，y 吨，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2,3)．则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．8．含参数的线性规划问题的易错点典例已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝________.易错分析题目给出的区域边界“两静一动”，可先画出已知边界表示的区域，分析动直线的位置时容易出错，没有抓住直线x ＋y ＝m 和直线y ＝－x 平行这个特点；另外在寻找最优点时也容易找错区域的顶点．解析显然，当m <2时，不等式组表示的平面区域是空集；当m ＝2时，不等式组表示的平面区域只包含一个点A (1,1)．此时z min ＝1－1＝0≠－1. 显然都不符合题意．故必有m >2，此时不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m所表示的平面区域如图所示，平面区域为一个三角形区域，其顶点为A (1,1)，B (m －1,1)，C (m ＋13，2m －13)．由图可知，当直线y ＝x －z 经过点C 时，z 取得最小值，最小值为m ＋13－2m －13＝2－m3.由题意，得2－m3＝－1，解得m ＝5.答案 5温馨提醒 (1)当约束条件含有参数时，要注意根据题目条件，画出符合条件的可行域．本题因含有变化的参数，可能导致可行域画不出来． (2)应注意直线y ＝x －z 经过的特殊点．[方法与技巧]1．平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线)．2．求最值：求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得．3．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．4．利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题． [失误与防范]1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．2．在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距zb 取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距zb 取最大值时，z 取最小值；截距zb 取最小值时，z 取最大值．A 组专项基础训练(时间：30分钟)1．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有________个．答案 1解析由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)．直线2x ＋y －10＝0恰过点A (5,0)，且其斜率k ＝－2<k AB ＝－43，即直线2x ＋y －10＝0与平面区域仅有一个公共点A (5,0)．2．若点(m,1)在不等式2x ＋3y －5>0所表示的平面区域内，则m 的取值范围是________．答案 m >1解析由2m ＋3－5>0，得m >1.3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为________．答案 3解析由线性约束条件画出可行域(如图所示)．由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，12z 的几何意义是直线y ＝－12x ＋12z 在y 轴上的截距，要使z 最小，需使12z 最小，易知当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (1,1)时，z 最小，最小值为3.4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a ，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是______________．答案 (0,1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ 解析不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图(阴影部分)，求得A ，B 两点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫23，23和(1,0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a 取值范围是0＜a ≤1或a ≥43.5．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是________元．答案 2 800解析设每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，则根据题意得x 、y 的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12.设获利z 元，则z ＝300x ＋400y . 画出可行域如图．画直线l ：300x ＋400y ＝0，即3x ＋4y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线过点M 时，目标函数取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝12，2x ＋y ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，即M 的坐标为(4,4)，∴z max ＝300×4＋400×4＝2 800(元)．6．若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为________．答案 1解析在同一直角坐标系中作出函数y ＝2x的图象及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示．由图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x 的图象上存在点(x ，y )满足约束条件，故m 的最大值为1.7．(2015·枣庄模拟)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x >0，4x ＋3y ≤4，y ≥0，则ω＝y ＋1x的最小值是________．答案 1解析作出不等式组对应的平面区域如图，ω＝y ＋1x 的几何意义是区域内的点P (x ，y )与定点A (0，－1)所在直线的斜率，由图象可知当P 位于点D (1,0)时，直线AP 的斜率最小，此时ω＝y ＋1x 的最小值为－1－00－1＝1.8．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是__________．答案 [－53，5)解析画出不等式组所表示的区域，如图中阴影部分所示，可知2×13－2×23－1≤z <2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是[－53，5)．9．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如表：a b (万吨) c (百万元)A 50% 1 3 B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO 2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．答案 15解析设购买铁矿石A 、B 分别为x 万吨，y 万吨，购买铁矿石的费用为z (百万元)，则⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ＋0.7y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，x ≥0，y ≥0.目标函数z ＝3x ＋6y ，由⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ＋0.7y ＝1.9，x ＋0.5y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.记P (1,2)，画出可行域可知，当目标函数z ＝3x ＋6y 过点P (1,2)时，z 取到最小值15. 10．设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为10，则a 2＋b 2的最小值为________．答案2513解析因为a >0，b >0，所以由可行域得，如图，当目标函数过点(4,6)时z 取最大值，∴4a ＋6b ＝10.a 2＋b 2的几何意义是直线4a ＋6b ＝10上任意一点到点(0,0)的距离的平方，那么其最小值是点(0,0)到直线4a ＋6b ＝10距离的平方，则a 2＋b 2的最小值是2513.B 组专项能力提升(时间：20分钟)11．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥1，x －y ≤1，y －1≤0，若z ＝x －2y 的最大值与最小值分别为a ，b ，且方程x 2－kx ＋1＝0在区间(b ，a )上有两个不同实数解，则实数k 的取值范围是__________．答案 (－103，－2)解析作出可行域，如图所示，则目标函数z ＝x －2y 在点(1,0)处取得最大值1，在点(－1,1)处取得最小值－3， ∴a ＝1，b ＝－3，从而可知方程x 2－kx ＋1＝0在区间(－3,1)上有两个不同实数解．令f (x )＝x 2－kx ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－3)>0，f (1)>0，－3<k2<1，Δ＝k 2－4>0⇒－103<k <－2.12．在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1所确定的平面区域内的动点，Q 是直线2x ＋y ＝0上任意一点，O 为坐标原点，则|OP →＋OQ →|的最小值为________．答案55解析在直线2x ＋y ＝0上取一点Q ′，使得Q ′O →＝OQ →，则|OP →＋OQ →|＝|OP →＋Q ′O →| ＝|Q ′P →|≥|P ′P →|≥|BA →|，其中P ′，B 分别为点P ，A 在直线2x ＋y ＝0上的投影，如图．因为|AB →|＝|0＋1|12＋22＝55，因此|OP →＋OQ →|min ＝55.13．设平面点集A ＝{(x ，y )|(y －x )·(y －1x )≥0}，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤1}，则A ∩B 所表示的平面图形的面积为________．答案 π2解析平面点集A 表示的平面区域就是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ≥0，y －1x ≥0与⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤0，y －1x≤0表示的两块平面区域，而平面点集B 表示的平面区域为以点(1,1)为圆心，以1为半径的圆及圆的内部，作出它们表示的平面区域如图所示，图中的阴影部分就是A ∩B 所表示的平面图形．由于圆和曲线y ＝1x 关于直线y ＝x 对称，因此，阴影部分所表示的图形面积为圆面积的12，即为π2.14．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为________．答案 37解析由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界．∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1. 显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6,1)处时，a max ＝6.∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37.15．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析画出x 、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12.16．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．答案 6解析作出图形可知，△ABF 所围成的区域即为区域D ，其中A (0,1)是z 在D 上取得最小值的点，B ，C ，D ，E ，F 是z 在D 上取得最大值的点，则T 中的点共确定AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BF 共6条不同的直线．。

简单地线性规划典型例题

简单的线性规划典型例题例1画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≤-+-.0330402y x y x y x ，，表示的平面区域．分析：采用“图解法”确定不等式组每一不等式所表示的平面区域，然后求其公共部分．解：把0=x ，0=y 代入2-+-y x 中得0200<-+-∴ 不等式02≤-+-y x 表示直线02=-+-y x 下方的区域（包括边界），即位于原点的一侧，同理可画出其他两部分，不等式组所表示的区域如图所示．说明：“图解法”是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方法．例2 画出332≤<-y x 表示的区域，并求所有的正整数解),(y x ．分析：原不等式等价于⎩⎨⎧≤->.3,32y x y 而求正整数解则意味着x ，y有限制条件，即求⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->∈∈>>.3,32,,,0,0y x y z y z x y x ．解：依照二元一次不等式表示的平面区域，知332≤<-y x 表示的区域如下图：对于332≤<-y x 的正整数解，先画出不等式组．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->∈∈>>.3,32,,,0,0y x y z y z x y x 所表示的平面区域，如图所示．容易求得，在其区域内的整数解为)1,1(、)2,1(、)3,1(、)2,2(、)3,2(．说明：这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来，然后在不等式组所表示的平面区域内找出符合题设要求的整数点来．例3求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-≤-+≥111x y x y 所表示的平面区域的面积．分析：本题的关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来，判断其形状进而求出其面积．而要将平面区域作出来的关键又是能够对不等式组中的两个不等式进行化简和变形，如何变形？需对绝对值加以讨论．解：不等式11-+≥x y 可化为)1(-≥≥x x y 或)1(2-<--≥x x y ；不等式1+-≤x y 可化为)0(1≥+-≤x x y 或)0(1<+≤x x y ．在平面直角坐标系内作出四条射线)1(-≥=x x y AB ：， )1(2-<--=x x y AC ： )0(1≥+-=x x y DE ：，)0(1<+=x x y DF ：则不等式组所表示的平面区域如图由于AB 与AC 、DE 与DF 互相垂直，所以平面区域是一个矩形．根据两条平行线之间的距离公式可得矩形的两条边的长度分别为22和223．所以其面积为23．例4若x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥+-≤-+.0104010230122y x y x y x ，，求y x z 2+=的最大值和最小值．分析：画出可行域，平移直线找最优解．解：作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如图所示．作直线z y x l =+2:，即z x y 2121+-=，它表示斜率为21-，纵截距为2z 的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线l 过点时，z 取得最大值，当l 过点B 时，z 取得最小值． ∴ 18822max =⨯+=z ∴ 2222min =⨯+-=z说明：解决线性规划问题，首先应明确可行域，再将线性目标函数作平移取得最值．例5 用不等式表示以)4,1(A ，)0,3(-B ，)2,2(--C 为顶点的三角形内部的平面区域．分析：首先要将三点中的任意两点所确定的直线方程写出来，然后结合图形考虑三角形内部区域应怎样表示。

线性规划典型例题(老师)

二元一次不等式与简单的线性规划问题典型例题一例1 画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≤-+-.0330402y x y x y x ，，表示的平面区域．分析：采用“图解法”确定不等式组每一不等式所表示的平面区域，然后求其公共部分．解：把0=x ，0=y 代入2-+-y x 中得0200<-+-∴ 不等式02≤-+-y x 表示直线02=-+-y x 下方的区域（包括边界），即位于原点的一侧，同理可画出其他两部分，不等式组所表示的区域如图所示．说明：“图解法”是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方法．典型例题二例2 画出332≤<-y x 表示的区域，并求所有的正整数解),(y x ．分析：原不等式等价于⎩⎨⎧≤->.3,32y x y 而求正整数解则意味着x ，y 还有限制条件，即求⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->∈∈>>.3,32,,,0,0y x y z y z x y x ．解：依照二元一次不等式表示的平面区域，知332≤<-y x 表示的区域如下图：对于332≤<-y x 的正整数解，先画出不等式组．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->∈∈>>.3,32,,,0,0y x y z y z x y x 所表示的平面区域，如图所示．容易求得，在其区域内的整数解为)1,1(、)2,1(、)3,1(、)2,2(、)3,2(．说明：这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来，然后在不等式组所表示的平面区域内找出符合题设要求的整数点来．典型例题三例3 求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-≤-+≥111x y x y 所表示的平面区域的面积．分析：本题的关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来，判断其形状进而求出其面积．而要将平面区域作出来的关键又是能够对不等式组中的两个不等式进行化简和变形，如何变形？需对绝对值加以讨论．解：不等式11-+≥x y 可化为)1(-≥≥x x y 或)1(2-<--≥x x y ；不等式1+-≤x y 可化为)0(1≥+-≤x x y 或)0(1<+≤x x y ．在平面直角坐标系内作出四条射线)1(-≥=x x y AB ：， )1(2-<--=x x y AC ： )0(1≥+-=x x y DE ：，)0(1<+=x x y DF ：则不等式组所表示的平面区域如图由于AB 与AC 、DE 与DF 互相垂直，所以平面区域是一个矩形．根据两条平行线之间的距离公式两平行直线距离公式d=|C1-C2|/根号(A^2+B^2)可得矩形的两条边的长度分别为22和223．所以其面积为23．典型例题四例4 若x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥+-≤-+.0104010230122y x y x y x ，，求y x z 2+=的最大值和最小值．分析：画出可行域，平移直线找最优解．解：作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如图所示．作直线z y x l =+2:，即z x y 2121+-=，它表示斜率为21-，纵截距为2z的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线l 过点时，z 取得最大值，当l 过点B 时，z 取得最小值． ∴ 18822max =⨯+=z ∴ 2222min =⨯+-=z说明：解决线性规划问题，首先应明确可行域，再将线性目标函数作平移取得最值．典型例题五例5 用不等式表示以)4,1(A ，)0,3(-B ，)2,2(--C 为顶点的三角形内部的平面区域．分析：首先要将三点中的任意两点所确定的直线方程写出来，然后结合图形考虑三角形内部区域应怎样表示。

高中数学线性规划问题

高中数学线性规划问题一．选择题共28小题1．2015•马鞍山一模设变量x,y满足约束条件：,则z=x﹣3y的最小值A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣82．2015•山东已知x,y满足约束条件,若z=ax+y的最大值为4,则a=A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣33．2015•重庆若不等式组,表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值为A．﹣3 B．1 C．D．34．2015•福建变量x,y满足约束条件,若z=2x﹣y的最大值为2,则实数m等于A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．25．2015•安徽已知x,y满足约束条件,则z=﹣2x+y的最大值是A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．16．2014•新课标II设x,y满足约束条件,则z=2x﹣y的最大值为A．10 B．8 C．3 D．27．2014•安徽x、y满足约束条件,若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为A．或﹣1 B．2或C．2或1 D．2或﹣18．2015•北京若x,y满足,则z=x+2y的最大值为A．0 B．1 C．D．29．2015•四川设实数x,y满足,则xy的最大值为A．B．C．12 D．1610．2015•广东若变量x,y满足约束条件,则z=3x+2y的最小值为A．4 B．C．6 D．11．2014•新课标II设x,y满足约束条件,则z=x+2y的最大值为A．8 B．7 C．2 D．112．2014•北京若x,y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4,则k的值为A．2 B．﹣2 C．D．﹣13．2015•开封模拟设变量x、y满足约束条件,则目标函数z=x2+y2的取值范围为A．2,8 B．4,13 C．2,13 D．14．2016•荆州一模已知x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为A．3 B．﹣3 C．1 D．15．2015•鄂州三模设变量x,y满足约束条件,则s=的取值范围是A．1,B．,1 C．1,2 D．,216．2015•会宁县校级模拟已知变量x,y满足,则u=的值范围是A．,B．﹣,﹣C．﹣,D．﹣,17．2016•杭州模拟已知不等式组所表示的平面区域的面积为4,则k的值为A．1 B．﹣3 C．1或﹣3 D．018．2016•福州模拟若实数x,y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值为2,则实数a的值是A．﹣2 B．0 C．1 D．219．2016•黔东南州模拟变量x、y满足条件,则x﹣22+y2的最小值为A．B．C．D．520．2016•赤峰模拟已知点,过点P的直线与圆x2+y2=14相交于A,B两点,则|AB|的最小值为A．2 B． C． D．421．2016•九江一模如果实数x,y满足不等式组,目标函数z=kx﹣y的最大值为6,最小值为0,则实数k的值为A．1 B．2 C．3 D．422．2016•三亚校级模拟已知a＞0,x,y满足约束条件,若z=2x+y的最小值为,则a=A．B．C．1 D．223．2016•洛阳二模若x,y满足约束条件,则目标函数z=x+y的最大值为2,则实数a的值为A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣224．2016•太原二模设x,y满足不等式组,若z=ax+y的最大值为2a+4,最小值为a+1,则实数a的取值范围为A．﹣1,2 B．﹣2,1 C．﹣3,﹣2 D．﹣3,125．2016•江门模拟设实数x,y满足：,则z=2x+4y的最小值是A．B．C．1 D．826．2016•漳州二模设x,y满足约束条件,若z=x+3y的最大值与最小值的差为7,则实数m=A．B． C．D．27．2016•河南模拟已知O为坐标原点,A,B两点的坐标均满足不等式组,设与的夹角为θ,则tanθ的最大值为A．B．C．D．28．2016•云南一模已知变量x、y满足条件,则z=2x+y的最小值为A．﹣2 B．3 C．7 D．12二．填空题共2小题29．2016•郴州二模记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=ax+1与D有公共点,则a的取值范围是．30．2015•河北若x,y满足约束条件．则的最大值为．高中数学线性规划问题参考答案与试题解析一．选择题共28小题1．2015•马鞍山一模设变量x,y满足约束条件：,则z=x﹣3y的最小值A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8分析我们先画出满足约束条件：的平面区域,求出平面区域的各角点,然后将角点坐标代入目标函数,比较后,即可得到目标函数z=x﹣3y的最小值．解答解：根据题意,画出可行域与目标函数线如图所示,由图可知目标函数在点﹣2,2取最小值﹣8故选D．点评用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知条件,找出约束条件和目标函数是关键,可先将题目中的量分类、列出表格,理清头绪,然后列出不等式组方程组寻求约束条件,并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入,最后比较,即可得到目标函数的最优解．2．2015•山东已知x,y满足约束条件,若z=ax+y的最大值为4,则a=A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3分析作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定z的最大值．解答解：作出不等式组对应的平面区域如图：阴影部分．则A2,0,B1,1,若z=ax+y过A时取得最大值为4,则2a=4,解得a=2,此时,目标函数为z=2x+y,即y=﹣2x+z,平移直线y=﹣2x+z,当直线经过A2,0时,截距最大,此时z最大为4,满足条件,若z=ax+y过B时取得最大值为4,则a+1=4,解得a=3,此时,目标函数为z=3x+y,即y=﹣3x+z,平移直线y=﹣3x+z,当直线经过A2,0时,截距最大,此时z最大为6,不满足条件,故a=2,故选：B点评本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法,确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．3．2015•重庆若不等式组,表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值为A．﹣3 B．1 C．D．3分析作出不等式组对应的平面区域,求出三角形各顶点的坐标,利用三角形的面积公式进行求解即可．解答解：作出不等式组对应的平面区域如图：若表示的平面区域为三角形,由,得,即A2,0,则A2,0在直线x﹣y+2m=0的下方,即2+2m＞0,则m＞﹣1,则A2,0,D﹣2m,0,由,解得,即B1﹣m,1+m,由,解得,即C,．则三角形ABC的面积S△ABC=S△ADB﹣S△ADC=|AD||y B﹣y C|=2+2m1+m﹣=1+m1+m﹣=,即1+m×=,即1+m2=4解得m=1或m=﹣3舍,故选：B点评本题主要考查线性规划以及三角形面积的计算,求出交点坐标,结合三角形的面积公式是解决本题的关键．4．2015•福建变量x,y满足约束条件,若z=2x﹣y的最大值为2,则实数m等于A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2分析由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数求得m的值．解答解：由约束条件作出可行域如图,联立,解得A,化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z,由图可知,当直线过A时,直线在y轴上的截距最小,z有最大值为,解得：m=1．故选：C．点评本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题．5．2015•安徽已知x,y满足约束条件,则z=﹣2x+y的最大值是A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．1分析首先画出平面区域,z=﹣2x+y的最大值就是y=2x+z在y轴的截距的最大值．解答解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分,当直线y=2x+z经过A时使得z最大,由得到A1,1,所以z的最大值为﹣2×1+1=﹣1；故选：A．点评本题考查了简单线性规划,画出平面区域,分析目标函数取最值时与平面区域的关系是关键．6．2014•新课标II设x,y满足约束条件,则z=2x﹣y的最大值为A．10 B．8 C．3 D．2分析作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定z的最大值．解答解：作出不等式组对应的平面区域如图：阴影部分ABC．由z=2x﹣y得y=2x﹣z,平移直线y=2x﹣z,由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时,直线y=2x﹣z的截距最小,此时z最大．由,解得,即C5,2代入目标函数z=2x﹣y,得z=2×5﹣2=8．故选：B．点评本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．7．2014•安徽x、y满足约束条件,若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为A．或﹣1 B．2或C．2或1 D．2或﹣1分析作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,得到直线y=ax+z斜率的变化,从而求出a的取值．解答解：作出不等式组对应的平面区域如图：阴影部分ABC．由z=y﹣ax得y=ax+z,即直线的截距最大,z也最大．若a=0,此时y=z,此时,目标函数只在A处取得最大值,不满足条件,若a＞0,目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0,要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一,则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行,此时a=2,若a＜0,目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0,要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一,则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0,平行,此时a=﹣1,综上a=﹣1或a=2,故选：D点评本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论,同时需要弄清楚最优解的定义．8．2015•北京若x,y满足,则z=x+2y的最大值为A．0 B．1 C．D．2分析作出题中不等式组表示的平面区域,再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移,即可求出z取得最大值．解答解：作出不等式组表示的平面区域,当l经过点B时,目标函数z达到最大值∴z最大值=0+2×1=2．故选：D．点评本题给出二元一次不等式组,求目标函数z=x+2y的最大值,着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题．9．2015•四川设实数x,y满足,则xy的最大值为A．B．C．12 D．16分析作出不等式组对应的平面区域,利用基本不等式进行求解即可．解答解：作出不等式组对应的平面区域如图；由图象知y≤10﹣2x,则xy≤x10﹣2x=2x5﹣x≤22=,当且仅当x=,y=5时,取等号,经检验,5在可行域内,故xy的最大值为,故选：A点评本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用,利用数形结合是解决本题的关键．10．2015•广东若变量x,y满足约束条件,则z=3x+2y的最小值为A．4 B．C．6 D．分析作出不等式组对应的平面区域,根据z的几何意义,利用数形结合即可得到最小值．解答解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y得y=﹣x+,平移直线y=﹣x+,则由图象可知当直线y=﹣x+,经过点A时直线y=﹣x+的截距最小,此时z最小,由,解得,即A1,,此时z=3×1+2×=,故选：B．点评本题主要考查线性规划的应用,根据z的几何意义,利用数形结合是解决本题的关键．11．2014•新课标II设x,y满足约束条件,则z=x+2y的最大值为A．8 B．7 C．2 D．1分析作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求z的最大值．解答解：作出不等式对应的平面区域,由z=x+2y,得y=﹣,平移直线y=﹣,由图象可知当直线y=﹣经过点A时,直线y=﹣的截距最大,此时z最大．由,得,即A3,2,此时z的最大值为z=3+2×2=7,故选：B．点评本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．12．2014•北京若x,y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4,则k的值为A．2 B．﹣2 C．D．﹣分析对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论,当k≥0时,可行域内没有使目标函数z=y﹣x取得最小值的最优解,k＜0时,若直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的左边,z=y ﹣x的最小值为﹣2,不合题意,由此结合约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,由图得到最优解,联立方程组求出最优解的坐标,代入目标函数得答案．解答解：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论,可知直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的右边,故由约束条件作出可行域如图,由kx﹣y+2=0,得x=,∴B﹣．由z=y﹣x得y=x+z．由图可知,当直线y=x+z过B﹣时直线在y轴上的截距最小,即z最小．此时,解得：k=﹣．故选：D．点评本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题．13．2015•开封模拟设变量x、y满足约束条件,则目标函数z=x2+y2的取值范围为A．2,8 B．4,13 C．2,13 D．分析作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,即可得到结论．．解答解：作出不等式对应的平面区域,则z=x2+y2的几何意义为动点Px,y到原点的距离的平方,则当动点P位于A时,OA的距离最大,当直线x+y=2与圆x2+y2=z相切时,距离最小,即原点到直线x+y=2的距离d=,即z的最小值为z=d2=2,由,解得,即A3,2,此时z=x2+y2=32+22=9+4=13,即z的最大值为13,即2≤z≤13,故选：C点评本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．14．2016•荆州一模已知x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为A．3 B．﹣3 C．1 D．分析先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=2x+y表示直线在y轴上的截距,只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．解答解：作图易知可行域为一个三角形,当直线z=2x+y过点A2,﹣1时,z最大是3,故选A．点评本小题是考查线性规划问题,本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题．15．2015•鄂州三模设变量x,y满足约束条件,则s=的取值范围是A．1,B．,1 C．1,2 D．,2分析先根据已知中,变量x,y满足约束条件,画出满足约束条件的可行域,进而分析s=的几何意义,我们结合图象,利用角点法,即可求出答案．解答解：满足约束条件的可行域如下图所示：根据题意,s=可以看作是可行域中的一点与点﹣1,﹣1连线的斜率,由图分析易得：当x=1,y=O时,其斜率最小,即s=取最小值当x=0,y=1时,其斜率最大,即s=取最大值2故s=的取值范围是,2故选D点评本题考查的知识点是简单线性规划,其中解答的关键是画出满足约束条件的可行域,“角点法”是解答此类问题的常用方法．16．2015•会宁县校级模拟已知变量x,y满足,则u=的值范围是A．,B．﹣,﹣C．﹣,D．﹣,分析化简得u=3+,其中k=表示Px,y、Q﹣1,3两点连线的斜率．画出如图可行域,得到如图所示的△ABC及其内部的区域,运动点P得到PQ斜率的最大、最小值,即可得到u=的值范围．解答解：∵u==3+,∴u=3+k,而k=表示直线P、Q连线的斜率,其中Px,y,Q﹣1,3．作出不等式组表示的平面区域,得到如图所示的△ABC及其内部的区域其中A1,2,B4,2,C3,1设Px,y为区域内的动点,运动点P,可得当P与A点重合时,k PQ=﹣达到最小值；当P与B点重合时,k PQ=﹣达到最大值∴u=3+k的最大值为﹣+3=；最小值为﹣+3=因此,u=的值范围是,故选：A点评本题给出二元一次不等式组,求u=的取值范围．着重考查了直线的斜率公式、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于中档题．17．2016•杭州模拟已知不等式组所表示的平面区域的面积为4,则k的值为A．1 B．﹣3 C．1或﹣3 D．0分析由于直线y=kx+2在y轴上的截距为2,即可作出不等式组表示的平面区域三角形；再由三角形面积公式解之即可．解答解：不等式组表示的平面区域如下图,解得点B的坐标为2,2k+2,所以S△ABC=2k+2×2=4,解得k=1．故选A．点评本题考查二元一次不等式组表示的平面区域的作法．18．2016•福州模拟若实数x,y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值为2,则实数a的值是A．﹣2 B．0 C．1 D．2分析画出约束条件表示的可行域,然后根据目标函数z=x﹣2y的最大值为2,确定约束条件中a 的值即可．解答解：画出约束条件表示的可行域由⇒A2,0是最优解,直线x+2y﹣a=0,过点A2,0,所以a=2,故选D点评本题考查简单的线性规划,考查学生分析问题解决问题的能力,属于中档题．19．2016•黔东南州模拟变量x、y满足条件,则x﹣22+y2的最小值为A．B．C．D．5分析作出不等式组对应的平面区域,设z=x﹣22+y2,利用距离公式进行求解即可．解答解：作出不等式组对应的平面区域,设z=x﹣22+y2,则z的几何意义为区域内的点到定点D2,0的距离的平方,由图象知CD的距离最小,此时z最小．由得,即C0,1,此时z=x﹣22+y2=4+1=5,故选：D．点评本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义以及两点间的距离公式,利用数形结合是解决此类问题的基本方法．20．2016•赤峰模拟已知点,过点P的直线与圆x2+y2=14相交于A,B两点,则|AB|的最小值为A．2 B． C． D．4分析本题主要考查线性规划的基本知识,先画出约束条件的可行域,再求出可行域中各角点的坐标,将各点坐标代入目标函数的解析式,分析后易得直线过在1,3处取得最小值．解答解：约束条件的可行域如下图示：画图得出P点的坐标x,y就是三条直线x+y=4,y﹣x=0和x=1构成的三角形区域,三个交点分别为2,2,1,3,1,1,因为圆c：x2+y2=14的半径r=,得三个交点都在圆内,故过P点的直线l与圆相交的线段AB长度最短,就是过三角形区域内距离原点最远的点的弦的长度．三角形区域内距离原点最远的点就是1,3,可用圆d：x2+y2=10与直线x=y的交点为,验证,过点1,3作垂直于直线y=3x的弦,国灰r2=14,故|AB|=2=4,所以线段AB的最小值为4．故选：D点评在解决线性规划的小题时,我们常用“角点法”,其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证,求出最优解．21．2016•九江一模如果实数x,y满足不等式组,目标函数z=kx﹣y的最大值为6,最小值为0,则实数k的值为A．1 B．2 C．3 D．4分析首先作出其可行域,再由题意讨论目标函数在哪个点上取得最值,解出k．解答解：作出其平面区域如右图：A1,2,B1,﹣1,C3,0,∵目标函数z=kx﹣y的最小值为0,∴目标函数z=kx﹣y的最小值可能在A或B时取得；∴①若在A上取得,则k﹣2=0,则k=2,此时,z=2x﹣y在C点有最大值,z=2×3﹣0=6,成立；②若在B上取得,则k+1=0,则k=﹣1,此时,z=﹣x﹣y,在B点取得的应是最大值,故不成立,故选B．点评本题考查了简单线性规划的应用,要注意分类讨论,属于基础题．22．2016•三亚校级模拟已知a＞0,x,y满足约束条件,若z=2x+y的最小值为,则a=A．B．C．1 D．2分析作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即先确定z的最优解,然后确定a的值即可．解答解：作出不等式对应的平面区域,阴影部分由z=2x+y,得y=﹣2x+z,平移直线y=﹣2x+z,由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时,直线y=﹣2x+z的截距最小,此时z最小．由,解得,即A1,,∵点A也在直线y=ax﹣3上,∴,解得a=．故选：A．点评本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．23．2016•洛阳二模若x,y满足约束条件,则目标函数z=x+y的最大值为2,则实数a的值为A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2分析先作出不等式组的图象,利用目标函数z=x+y的最大值为2,求出交点坐标,代入3x﹣y﹣a=0即可．解答解：先作出不等式组的图象如图,∵目标函数z=x+y的最大值为2,∴z=x+y=2,作出直线x+y=2,由图象知x+y=2如平面区域相交A,由得,即A1,1,同时A1,1也在直线3x﹣y﹣a=0上,∴3﹣1﹣a=0,则a=2,故选：A．点评本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合以及目标函数的意义是解决本题的关键．24．2016•太原二模设x,y满足不等式组,若z=ax+y的最大值为2a+4,最小值为a+1,则实数a的取值范围为A．﹣1,2 B．﹣2,1 C．﹣3,﹣2 D．﹣3,1分析作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合进行求解即可．解答解：由z=ax+y得y=﹣ax+z,直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a,y轴上的截距为z的直线,作出不等式组对应的平面区域如图：则A1,1,B2,4,∵z=ax+y的最大值为2a+4,最小值为a+1,∴直线z=ax+y过点B时,取得最大值为2a+4,经过点A时取得最小值为a+1,若a=0,则y=z,此时满足条件,若a＞0,则目标函数斜率k=﹣a＜0,要使目标函数在A处取得最小值,在B处取得最大值,则目标函数的斜率满足﹣a≥k BC=﹣1,即0＜a≤1,若a＜0,则目标函数斜率k=﹣a＞0,要使目标函数在A处取得最小值,在B处取得最大值,则目标函数的斜率满足﹣a≤k AC=2,即﹣2≤a＜0,综上﹣2≤a≤1,故选：B．点评本题主要考查线性规划的应用,根据条件确定A,B是最优解是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．25．2016•江门模拟设实数x,y满足：,则z=2x+4y的最小值是A．B．C．1 D．8分析先根据约束条件画出可行域,设t=x+2y,把可行域内的角点代入目标函数t=x+2y可求t的最小值,由z=2x+4y=2x+22y,可求z的最小值解答解：z=2x+4y=2x+22y,令t=x+2y先根据约束条件画出可行域,如图所示设z=2x+3y,将最大值转化为y轴上的截距,由可得A﹣2,﹣1由可得C﹣2,3由B4,﹣3把A,B,C的坐标代入分别可求t=﹣4,t=4,t=﹣2Z的最小值为故选B点评本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档题．26．2016•漳州二模设x,y满足约束条件,若z=x+3y的最大值与最小值的差为7,则实数m=A．B． C．D．分析由约束条件画出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,进一步求出最值,结合最大值与最小值的差为7求得实数m的值．解答解：由约束条件作出可行域如图,联立,解得A1,2,联立,解得Bm﹣1,m,化z=x+3y,得．由图可知,当直线过A时,z有最大值为7,当直线过B时,z有最大值为4m﹣1,由题意,7﹣4m﹣1=7,解得：m=．故选：C．点评本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题．27．2016•河南模拟已知O为坐标原点,A,B两点的坐标均满足不等式组,设与的夹角为θ,则tanθ的最大值为A．B．C．D．分析作出不等式组对应的平面区域,利用数形结合求出A,B的位置,利用向量的数量积求出夹角的余弦,即可得到结论．解答解：作出不等式组对应的平面区域,要使tanθ最大,则由,得,即A1,2,由,得,即B2,1,∴此时夹角θ最大,则,则cosθ==,∴sin,此时tan=,故选：C．点评本题主要考查线性规划的应用,以及向量的数量积运算,利用数形结合是解决本题的关键．28．2016•云南一模已知变量x、y满足条件,则z=2x+y的最小值为A．﹣2 B．3 C．7 D．12分析先由约束条件画出可行域,再求出可行域各个角点的坐标,将坐标逐一代入目标函数,验证即得答案．解答解：如图即为满足不等式组的可行域,将交点分别求得为1,1,5,2,1,当x=1,y=1时,2x+y=3当x=1,y=时,2x+y=当x=5,y=2时,2x+y=12∴当x=1,y=1时,2x+y有最小值3．故选：B点评本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档题．二．填空题共2小题29．2016•郴州二模记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=ax+1与D有公共点,则a的取值范围是,4．分析本题考查的知识点是简单线性规划的应用,我们要先画出满足约束条件的平面区域,然后分析平面区域里各个角点,然后将其代入y=ax+1中,求出y=ax+1对应的a的端点值即可．解答解：满足约束条件的平面区域如图示：因为y=ax+1过定点﹣1,0．所以当y=ax+1过点B0,4时,得到a=4,当y=ax+1过点A1,1时,对应a=．又因为直线y=ax+1与平面区域D有公共点．所以≤a≤4．故答案为：,4点评在解决线性规划的小题时,我们常用“角点法”,其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证,求出最优解．30．2015•河北若x,y满足约束条件．则的最大值为3．分析作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定的最大值．解答解：作出不等式组对应的平面区域如图：阴影部分ABC．设k=,则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率,由图象知OA的斜率最大,由,解得,即A1,3,则k OA==3,即的最大值为3．故答案为：3．点评本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义以及直线的斜率,利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．。

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简单的线性规划问题[ 学习目标 ] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念 .2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．知识点一线性规划中的基本概念名称意义约束条件关于变量 x， y 的一次不等式 (组 )线性约束条件关于 x， y 的一次不等式 (组 )目标函数欲求最大值或最小值的关于变量x， y 的函数解析式线性目标函数关于变量 x，y 的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x， y)可行域由所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题知识点二线性规划问题1．目标函数的最值线性目标函数 z＝ ax＋ by (b≠ 0)对应的斜截式直线方程是y＝－a z，在 y 轴上的截距是z，bx＋b b当 z 变化时，方程表示一组互相平行的直线．当 b>0，截距最大时， z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值；当 b<0，截距最大时， z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值．2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界 )便是最优解．(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值．(4)答：写出答案．知识点三简单线性规划问题的实际应用1．线性规划的实际问题的类型(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有：①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的 A、B、C 三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2．解答线性规划实际应用题的步骤(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．题型一求线性目标函数的最值例1 已知变量x， y 满足约束条件y≤ 2，x＋ y≥ 1，x－ y≤1，则 z＝ 3x＋ y 的最大值为( )A ． 12B ．11C．3 D．－ 1答案 B解析首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－ 3x＋z 经y＝2，x＝ 3，过点 A 时， z 取得最大值．由? 此时z＝3x＋ y＝ 11.x－y＝ 1 y＝ 2，x＋y－ 2≤ 0，跟踪训练 1 (1)x，y 满足约束条件x－ 2y－ 2≤ 0，若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，．．．2x－y＋ 2≥ 0，则实数 a 的值为 ()1 1A. 2或－ 1 B ．2 或 2C．2 或 1 D． 2 或－ 1x－y＋ 1≤ 0，(2)若变量 x，y 满足约束条件x＋2y－ 8≤ 0，则 z＝ 3x＋ y 的最小值为 ________ ．x≥0，答案(1)D (2)1解析(1) 如图，由 y＝ax＋ z 知 z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当 a>0 时，要使z＝ y－ ax 取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当 a<0 时，要使 z＝ y－ ax 取得最大值的最优解不唯一，则a＝－ 1.y＝－ 3x＋ z 过点(2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z＝ 3x＋ y，即(0,1)时 z 取最小值 1.题型二非线性目标函数的最值问题x－ y－2≤ 0，例2 设实数 x， y 满足约束条件 x＋ 2y－ 4≥ 0，求2y－ 3≤ 0，(1)x2＋y2的最小值；y(2)x的最大值．解如图，画出不等式组表示的平面区域ABC，(1)令 u＝ x2＋ y2，其几何意义是可行域ABC 内任一点 (x， y)与原点的距离的平方．x＋2y－ 4＝ 0，4，8 过原点向直线 x＋ 2y－ 4＝0 作垂线 y＝ 2x，则垂足为y＝2x 的解，即 5 5 ，x＋ 2y－ 4＝ 0， 3又由2y－ 3＝0，得 C 1，2 ，所以垂足在线段 AC 的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC|＝1＋3 2 213＝2，13所以， x2＋y2的最小值为4 .yABC 内任一点 (x， y)与原点相连的直线l 的斜率为 v，即 v (2)令 v＝x，其几何意义是可行域y－ 0＝x－0.由图形可知，当直线l 经过可行域内点 C 时， v 最大，3由(1) 知 C 1，2，所以 v max＝3 y 3，所以的最大值为.2 x 2x≥ 0，跟踪训练 2 已知 x， y 满足约束条件y≥ 0，则(x＋3) 2＋ y2的最小值为 ________．x＋ y≥ 1，答案10解析画出可行域 ( 如图所示 ) ． (x＋ 3)2＋ y2即点 A(－ 3,0)与可行域内点(x， y)之间距离的平方．显然AC 长度最小，∴AC2＝ (0＋ 3)2＋ (1－ 0)2＝ 10，即 (x＋ 3)2＋y2的最小值为 10.题型三线性规划的实际应用例 3某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、 B 原料 2 千克；生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克、 B 原料 1 千克．每桶甲产品的利润是300 元，每桶乙产品的利润是400 元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A， B 原料都不超过 12 千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？x＋ 2y≤ 12，解设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品 y 桶，相应的利润为2x＋ y≤ 12，z 元，于是有x≥ 0， y≥ 0，x∈ N ， y∈ N ，z＝ 300x＋ 400y，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x＋400y＝ 0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(4,4)时，相应直线在 y 轴上的截距达到最大，此时 z＝ 300x＋ 400y 取得最大值，最大值是 z＝ 300× 4＋ 400× 4＝ 2 800，即该公司可获得的最大利润是 2 800 元．反思与感悟线性规划解决实际问题的步骤：① 分析并根据已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③ 确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数 (直线 )求出最优解；⑥ 实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解．跟踪训练 3 预算用 2 000 元购买单价为 50 元的桌子和 20 元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的 1.5 倍，问桌子、椅子各买多少才行？解设桌子、椅子分别买x 张、 y 把，目标函数z＝ x＋ y，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为50x＋20y≤ 2 000，y≥ x，y≤ 1.5x，x≥ 0，x∈ N*，y≥0， y∈ N* .x＝200，50x＋ 20y＝2 000，7由解得200 y＝ x，y＝，7所以 A 点的坐标为 200，200 .7 750x ＋ 20y ＝2 000，x ＝ 25，由解得75y ＝ 1.5x ，y ＝ 2 ，所以 B 点的坐标为 7525， 2 .200 20075所以满足条件的可行域是以 A 7 ，7 ， B 25， 2 ， O(0,0) 为顶点的三角形区域 (如图 )．75由图形可知，目标函数 z ＝x ＋ y 在可行域内的最优解为 B 25， 2 ，但注意到 x ∈ N * ， y ∈ N * ，x ＝ 25，故取y ＝ 37.故买桌子 25 张，椅子 37 把是最好的选择．x ＋ y － 3≤ 0，1．若直线 y ＝ 2x 上存在点 ( x ， y)满足约束条件 x － 2y － 3≤0，则实数 m 的最大值为 ()x ≥ m ，3A ．－ 1B ． 1C.2D ． 25x － 11y ≥－ 22，2x ＋ 3y ≥ 9， 2．某公司招收男职员x 名，女职员 y 名， x 和 y 需满足约束条件则 z2x ≤ 11，x ∈ N * ， y ∈ N * ，＝ 10x ＋ 10y 的最大值是 ( )A ． 80B ．85C ．90D ． 95y≤1，3．已知实数x，y 满足x≤1，则z＝x2＋y2的最小值为________．x＋y≥ 1，一、选择题1．若点 (x, y)位于曲线 y＝ |x|与 y＝ 2 所围成的封闭区域，则 2x－ y 的最小值为 ( ) A ．－ 6 B．－ 2 C． 0 D． 2x≥ 1，2．设变量 x， y 满足约束条件x＋ y－ 4≤ 0，则目标函数 z＝ 3x－ y 的最大值为 ()x－ 3y＋4≤ 0，4A ．－ 4 B． 0 C.3 D． 4x≥ 1，则 z＝y－1的取值范围是 (3．实数 x， y 满足 y≥ 0，)x－ y≥ 0，xA ． [ － 1,0]B ．( －∞， 0]C．[ －1，＋∞ ) D． [ － 1,1)x－ y≥ 0，4．若满足条件x＋ y－ 2≤ 0，的整点 (x， y)(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有 9 个，y≥ a则整数 a 的值为 ()A ．－ 3 B．－ 2C．－ 1 D． 0x≥ 1，5．已知 x， y 满足x＋ y≤ 4，目标函数z＝ 2x＋ y 的最大值为7，最小值为1，则 b，c x＋ by＋ c≤ 0，的值分别为( )A ．－ 1,4B ．－ 1，－ 3C．－ 2，－ 1 D．－ 1，－ 26．已知x，y 满足约束条件x＋ y≥ 5，x－ y＋ 5≥0，x≤ 3，使 z＝ x＋ ay(a＞ 0)取得最小值的最优解有无数个，则 a 的值为( )A ．－ 3 B． 3 C．－ 1 D． 1二、填空题x≤ 2，7．若 x， y 满足约束条件y≤2，则 z＝ x＋ 2y 的取值范围是 ________．x＋ y≥2，8．已知－ 1≤ x＋y≤ 4 且 2≤ x－y≤ 3，则 z＝ 2x－ 3y 的取值范围是________(答案用区间表示)．0≤ x≤ 2，9．已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组y≤ 2，给定．若 M(x， y)为 Dx≤ 2y上的动点，点 A 的坐标为 (→ →2， 1)，则 z＝ OM ·OA的最大值为 ________．10．满足 |x|＋ |y|≤ 2 的点 (x，y)中整点 (横纵坐标都是整数)有 ________个．x－ y＋ 2≥ 0，11．设实数 x， y 满足不等式组2x－ y－ 5≤ 0，则 z＝ |x＋ 2y－ 4|的最大值为 ________．x＋ y－ 4≥ 0，三、解答题x－ 4y≤－ 3，12．已知x， y 满足约束条件3x＋ 5y≤ 25，目标函数z＝ 2x－ y，求z 的最大值和最小值．x≥ 1，x＋ y－ 11≥ 0，13．设不等式组3x－ y＋ 3≥0，表示的平面区域为 D.若指数函数y＝ a x的图象上存在区域5x－ 3y＋ 9≤0D 上的点，求 a 的取值范围．14．某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板 2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板 1 m2，出售一张方桌可获利润80 元，出售一个书橱可获利润120 元．(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？(3)怎样安排生产可使所得利润最大？当堂检测答案1．答案B解析如图，当 y ＝ 2x 经过且只经过x ＋ y － 3＝0 和 x ＝ m 的交点时， m 取到最大值，此时，即 (m,2m)在直线 x ＋ y － 3＝ 0 上，则 m ＝ 1.2．答案 C解析该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于 x ， y ∈ N * ，计算区域内与11 9 最近的点为 (5,4)，故当 x ＝5， y ＝ 4 时， z 取得最大值为90.2 ，213．答案2解析实数 x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则 z 的最小值为原点到直线 AB 的距离的平方，故 z min ＝ 12＝ 1.2 2课时精练答案一、选择题1．答案 A解析画出可行域，如图所示，解得A(－ 2,2)，设 z＝ 2x－ y，把z＝ 2x－ y 变形为 y＝ 2x－ z，则直线经过点 A 时 z 取得最小值；所以 z min＝2× (－ 2)－ 2＝－ 6，故选 A.2．答案 D解析作出可行域，如图所示．x＋ y－ 4＝0，x＝2，联立解得x－ 3y＋ 4＝ 0，y＝2.当目标函数z＝ 3x－ y 移到 (2,2)时， z＝ 3x－ y 有最大值4.3．答案 D解析作出可行域，如图所示，y－1的几何意义是点 (x， y)与点 (0,1)连线 l 的斜率，当直线l 过 B(1,0) 时 k l最小，最小为－ 1. x又直线 l 不能与直线x－ y＝ 0 平行，∴ k l＜ 1.综上， k∈ [－ 1,1)．解析不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当 a＝0 时，只有 4 个整点 (1,1)，(0,0) ，(1,0)，(2,0)．当 a＝－ 1 时，正好增加 (－ 1，－ 1)，(0，－ 1)，(1 ，－ 1)，(2，－ 1)，(3，－ 1)5 个整点．故选C.5．答案 D解析由题意知，直线x＋by＋ c＝ 0 经过直线2x＋ y＝ 7 与直线x＋ y＝ 4 的交点，且经过直线2x＋ y＝1 和直线x＝ 1 的交点，即经过点(3,1)和点 (1，－ 1)，3＋ b＋ c＝ 0，b＝－ 1，∴解得1－ b＋ c＝ 0，c＝－ 2.6．答案 D解析如图，作出可行域，作直线l：x＋ ay＝0，要使目标函数z＝ x＋ ay(a＞ 0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x＋ y＝ 5 重合，故a＝ 1，选 D.二、填空题7．答案[2,6]解析如图，作出可行域，作直线 l ：x＋ 2y＝ 0，将 l 向右上方平移，过点 A(2,0)时，有最小值 2，过点 B(2,2)时，有最大值 6，故 z 的取值范围为[2,6] ．解析作出不等式组－1≤ x＋ y≤ 4，表示的可行域，如图中阴影部分所示．2≤ x－ y≤ 3在可行域内平移直线 2x－3y＝ 0，当直线经过 x－ y＝ 2 与 x＋y＝ 4 的交点 A(3,1)时，目标函数有最小值z min＝2× 3－ 3× 1＝ 3；当直线经过 x＋ y＝－ 1 与 x－ y＝ 3 的交点 B(1，－ 2) 时，目标函数有最大值z max＝2× 1＋ 3× 2 ＝ 8.所以 z∈[3,8] ．9．答案 4解析由线性约束条件0≤ x≤ 2，y≤ 2，画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数→ →2x＋ y，将其化为z＝OM ·OA＝x≤ 2yy＝－ 2x＋ z，结合图形可知，目标函数的图象过点( 2， 2)时， z 最大，将点 ( 2， 2)代入 z ＝ 2x＋ y，得 z 的最大值为 4.10．答案13解析|x|＋ |y|≤ 2 可化为x＋ y≤ 2 x－ y≤ 2x≥ 0， y≥0x≥ 0， y＜ 0 ，，－x＋ y≤ 2 x＜0， y≥ 0 ，－x－ y≤ 2 x＜0， y＜ 0 ，作出可行域为如图正方形内部(包括边界 )，容易得到整点个数为13 个．11．答案 21解析作出可行域 (如图 )，即△ABC 所围区域 (包括边界 )，其顶点为A(1,3)， B(7,9)，C(3,1)方法一∵可行域内的点都在直线x＋ 2y－ 4＝0 上方，∴x＋ 2y－ 4＞ 0，则目标函数等价于 z＝ x＋ 2y－4，易得当直线 z＝ x＋2y－ 4 在点 B(7,9)处，目标函数取得最大值z max＝ 21.方法二z＝ |x＋ 2y－4|＝|x＋ 2y－ 4|· 5，5令 P( x，y)为可行域内一动点，定直线x＋2y－ 4＝ 0，则z＝ 5d，其中 d 为 P(x， y)到直线 x＋2y－ 4＝ 0 的距离．由图可知，区域内的点 B 与直线的距离最大，故d的最大值为 |7＋ 2× 9－4|＝ 21.5 5故目标函数z max＝ 21 · 5＝ 21.5三、解答题12．解z＝ 2x－ y 可化为y＝ 2x－ z， z 的几何意义是直线在y 轴上的截距的相反数，故当z 取得最大值和最小值时，应是直线在y 轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l0：2x－ y＝0 平行的直线系l，经上下平移，可得：当l 移动到l1，即经过点A(5,2) 时， z max＝ 2× 5 － 2＝ 8.当l 移动到 l 2，即过点 C(1,4.4) 时，z min＝ 2× 1－4.4＝－ 2.4.13．解先画出可行域，如图所示，y＝ a x必须过图中阴影部分或其边界．∵A(2,9) ，∴ 9＝ a2，∴a＝ 3.∵a＞ 1，∴ 1＜ a≤ 3.14．解由题意可画表格如下：方木料 (m3) 五合板 (m2) 利润 (元 ) 书桌 (张 ) 0.1 2 80书橱 (个 ) 0.2 1 120(1)设只生产书桌x 张，可获得利润z 元，0.1x≤ 90，x≤ 900，2x≤ 600，? x≤300，? 0≤ x≤ 300.则z＝ 80x，x≥0x≥ 0所以当 x＝ 300 时， z max＝ 80× 300＝ 24 000(元 ) ，即如果只安排生产书桌，最多可生产300 张书桌，获得利润24 000 元．(2)设只生产书橱y 个，可获得利润z 元，0.2y≤ 90，y≤ 450，1·y≤ 600，? y≤ 600，? 0≤ y≤ 450.则z＝ 120y，y≥ 0y≥ 0所以当 y＝ 450 时， z max＝ 120× 450＝ 54 000(元 )，即如果只安排生产书橱，最多可生产450 个书橱，获得利润54 000 元．(3)设生产书桌 x 张，书橱 y 个，利润总额为z 元，0.1x＋ 0.2y≤ 90，x＋ 2y≤ 900，2x＋ y≤ 600，2x＋ y≤ 600，则?x≥ 0，x≥ 0，y≥ 0 y≥ 0.z＝ 80x＋120y.在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域(如图 )．作直线 l ：80x＋ 120y＝0，即直线 l： 2x＋ 3y＝0.把直线 l 向右上方平移至 l1的位置时，直线经过可行域上的点M，此时 z＝ 80x＋ 120y 取得最大值．x＋ 2y＝ 900，由2x＋ y＝ 600，解得，点M 的坐标为 (100,400) ．所以当 x＝ 100，y＝ 400 时，z max＝ 80×100＋ 120×400＝ 56 000(元 )．因此，生产书桌100 张、书橱400 个，可使所得利润最大．。

线性规划试题及参考答案

习题：一．人类资源分配问题红旗商场为一中心百货商场，它对售货人员需求经过统计分析如表所示。

为保证售货人员的休息（每连续工作五天后，休息两天）问：如何安排售货人员作息，即可满足工作需要，又使配备售货人员数最少？答：设x1为星期一开始上班的人数，x2为星期二开始上班的人数，……，x7星期日开始上班的人数。

我们就可得到如下的数学模型：min x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7x3+x4+x5+x6+x7≥28x4+x5+x6+x7+x1≥15x5+x6+x7+x1+x2≥24x6+x7+x1+x2+x3≥25x7+x1+x2+x3+ x4≥19x1+x2+x3+x4+x5≥31x2+x3+x4+x5+x6≥28x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7≥0该问题的最优解为：x1=8，x2=0，x3=12，x4=0，x5=11，x6=5，x7=0；目标函数的最小值为36。

Lingo中的调试：min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7;x1+x2+x3+x4+x5>28;x2+x3+x4+x5+x6>15;x3+x4+x5+x6+x7>24;x4+x5+x6+x7+x1>25;x5+x6+x7+x1+x2>19;x6+x7+x1+x2+x3>31;x7+x1+x2+x3+x4>28;二．市场应用某公司投资3万元进行媒体广告宣传，希望吸引观众购买本公司产品。

现有五种媒体供选择，相关信息如下表媒体被告知潜在顾客数（人/次）广告费用（元/次）媒体最高使用次数每次宣传质量日间电视1000 1500 15 65夜间电视2000 3000 10 90日报1500 400 25 40周末新闻杂志2500 1000 4 60电台广播300 100 30 20对广告宣传，公司有下列要求：1.至少进行10次电视广告宣传；2.至少有5万名潜在观众被告知；3.电视广告投入不超过18000元。

2015高考数学一轮题组训练：7-3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

第3讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎨⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM→的取值范围是________．解析OA →·OM →＝(－1,1)·(x ，y )＝y －x ，画出线性约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2表示的平面区域，如图所示．可以看出当z ＝y －x 过点D (1,1)时有最小值0，过点C (0,2)时有最大值2，则OA →·OM→的取值范围是[0,2]．答案 [0,2]2．(2014·泰安模拟)不等式组⎩⎨⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为________．解析做出不等式组对应的区域为△BCD ，由题意知x B ＝1，x C ＝2.由⎩⎨⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1，得y D ＝12，所以S △BCD ＝12×(x C －x B )×12＝14.答案 143．(2014·杭州模拟)在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥12x ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋12y 的最大值为________．解析由z ＝x ＋12y ，得y ＝－2x ＋2z .作出可行域如图阴影部分，平移直线y ＝－2x ＋2z ，当直线经过点C 时，直线y ＝－2x ＋2z 在y 轴上的截距最大，此时z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ，x ＋y ＝1，解得C 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13，代入z ＝x ＋12y ，得z ＝23＋12×13＝56.答案 564．(2013·陕西卷改编)若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为________．解析如图，曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分，令z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，作直线y＝2x ，在封闭区域内平行移动直线y ＝2x ，当经过点(－2,2)时，z 取得最小值，此时z ＝2×(－2)－2＝－6. 答案－65．(2013·四川卷改编)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是________．解析画出可行域，如图所示．由图可知，当目标函数过A 点时有最大值；过B 点时有最小值．联立得⎩⎨⎧ x ＋y ＝8，2y －x ＝4⇒⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4，故A (4,4)；对x ＋y ＝8，令y ＝0，则x ＝8，故B (8,0)，所以a ＝5×4－4＝16，b ＝5×0－8＝－8，则a －b ＝16－(－8)＝24.答案 246．(2013·安徽卷)若非负变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥－1，x ＋2y ≤4，则x ＋y 的最大值为________．解析根据题目中的约束条件画出可行域，注意到x ，y 非负，得可行域为如图所示的阴影部分(包括边界)．作直线y ＝－x ，并向上平移，当直线过点A (4,0)时，x ＋y 取得最大值，最大值为4. 答案 47．(2013·山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎨⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________．解析如图所示阴影部分为可行域，数形结合可知，原点O 到直线x ＋y －2＝0的垂线段长是|OM |的最小值， ∴|OM |min ＝|－2|12＋12＝ 2. 答案28．(2014·淮安质检)若不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．解析画出可行域，知当直线y ＝a 在x －y ＋5＝0与y 轴的交点(0,5)和x －y ＋5＝0与x ＝2的交点(2,7)之间移动时平面区域是三角形．故5≤a <7. 答案 [5,7) 二、解答题9．(2014·合肥模拟)画出不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x ，y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？解 (1)不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及其右下方的点的集合，x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及其右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及其左方的点的集合．所以，不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，3，y ∈[－3,8]．(2)由图形及不等式组知⎩⎪⎨⎪⎧－x ≤y ≤x ＋5，－52≤x ≤3，且x ∈Z ，当x ＝3时，－3≤y ≤8，有12个整点；当x ＝2时，－2≤y ≤7，有10个整点；当x ＝1时，－1≤y ≤6，有8个整点；当x ＝0时，0≤y ≤5，有6个整点；当x ＝－1时，1≤y ≤4，有4个整点；当x ＝－2时，2≤y ≤3，有2个整点；∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．10．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解设投资人分别用x 万元，y 万元投资甲、乙两个项目，由题意知⎩⎨⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝x ＋0.5y .上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域．将z ＝x ＋0.5y 变形为y ＝－2x ＋2z ，这是斜率为－2随z 变化的一组平行线，当直线y ＝－2x ＋2z 经过可行域内的点M 时，直线y ＝－2x ＋2z 在y轴上的截距2z 最大，z 也最大．这里M 点是直线x ＋y ＝10和0.3x ＋0.1y ＝1.8的交点．解方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8，得x ＝4，y ＝6，此时z ＝4＋0.5×6＝7(万元)． ∴当x ＝4，y ＝6时，z 取得最大值，所以投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．(2014·昆明模拟)已知x ，y 满足条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝________.解析画出x ，y 满足的可行域如图，联立方程⎩⎨⎧y ＝x ，2x ＋y ＋k ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－k3，y ＝－k 3，即C 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－k3，－k 3，由目标函数z ＝x ＋3y ，得y ＝－13x ＋z 3，平移直线y ＝－13x ＋z 3，可知当直线经过C点时，直线y ＝－13x ＋z3的截距最大，此时z 最大，把C 点代入z ＝x ＋3y ，得8＝－k 3＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 3，解得k ＝－6.经检验，符合题意．答案－62．(2014·临沂一模)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，若目标函数z＝y －ax 取得最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围是________．解析作出不等式对应的平面区域BCD ，由z ＝y －ax ，得y ＝ax ＋z ，要使目标函数y ＝ax ＋z 仅在点(1,3)处取最大值，则只需直线y ＝ax ＋z 仅在点B (1,3)处的截距最大，由图象可知a ＞k BD ，因为k BD ＝1，所以a ＞1，即a 的取值范围是(1，＋∞)．答案 (1，＋∞)3．(2013·北京卷)已知点A (1，－1)，B (3,0)，C (2,1)．若平面区域D 由所有满足AP →＝λAB →＋μAC →(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为________．解析 AB →＝(2,1)，AC →＝(1,2)．设P (x ，y )，由AP →＝λAB →＋μAC →，得⎩⎨⎧x －1＝2λ＋μ，y ＋1＝λ＋2μ，故有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2x －y －33，μ＝－x ＋2y ＋33，又λ∈[1,2]，μ∈[0,1]，故有⎩⎪⎨⎪⎧1≤2x －y －33≤2，0≤2y －x ＋33≤1，即⎩⎨⎧3≤2x －y －3≤6，0≤2y －x ＋3≤3. 则平面区域D 如图中阴影部分所示．由图可知平面区域D 为平行四边形，可求出M (4,2)，N (6，3)，故|MN |＝5，又x －2y ＝0与x －2y －3＝0之间的距离为d ＝35，故平面区域D 的面积为S ＝5×35＝3. 答案 3 二、解答题4．变量x ，y 满足⎩⎨⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx ，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．解由约束条件⎩⎨⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.作出(x ，y )的可行域如图阴影部分所示．由⎩⎨⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，225.由⎩⎨⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)．由⎩⎨⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． (1)∵z ＝y x ＝y －0x －0.∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中， d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29. 故z 的取值范围是[2,29]．(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝(－3－5)2＋(2－2)2＝8. 故z 的取值范围是[16,64].。

线性规划经典例题

线性规划常见题型及解法一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A二、求可行域的面积例2、不等式组260302x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点数为13个，选D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件5503x yx yx+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+a y(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是（）A 、13，1B 、13，2C 、13，45D、解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为45，选 C 六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是（）A 、（-3,6）B 、（0,6）C 、（0,3）D 、（-3,3）解：|2x －y ＋m|＜3等价于230230x y m x y m -++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩,故0＜m ＜3，选 C七·比值问题当目标函数形如y az x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。

2015届高考数学总复习简单的线性规划(公开课)

x
•由 x 4 y 3 0 。
x 1
求出B为（1，1)
zmin 2, zmax 29.
•若z=(x-3)2+(y-1)2,求z的最值.
x 4 y ≤ 3, 例1.已知x、y满足 3 x 5 y ≤ 25. x ≥ 1.
•解：画出可行域如图：
•(4)若 z
二元一次不等式(组)的解与简单的线性规划
2015•高考考纲要求
1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组． 2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组． 3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．
请注意！
从考纲和考题中看，该部分内容难度不大，重点考查目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值问题——线性规划问题，命题形式以选择、填空为主. 新课改后，线性规划理科每年必有 1 题，只有文科 2012 年未考及。但为了避免很多同学解出交点带入的情况，以后高考估计会加大“形’的考察力度,故在线性规划的学习中，要注意加强含参线性规划、非线性目标函数处理方法。
•(6)若目标函数z＝ax＋y取得最大值的最优解有无穷多个，求a的值
y
5
C
x-4y+3=0
A B
O
1 x=1 5
3x+5y-25=0
x
反思总结 1．利用平面区域求目标函数的最值步骤 (1)作出可行域； (2)找到目标函数对应的最优解对应点； (3)代入目标函数求最值． 2．常见的目标函数 (1)形如 z＝ax＋by 的截距型； y－a (2)形如 z＝的斜率型； x－b (3)形如 z＝(x－a)2＋(y－b)2 的距离型． 3．线性目标函数的最值点，一般在可行域的顶点或边界上取得．

2015届高考数学大一轮复习二元一次不等式精品试题文(组)与简单的线性规划精品试题文(含201

精品题库试题文数1.（某某省某某市2014届高三第二次教学质量检测）已知实数满足，如果目标函数的最小值为-2，则实数m的值为A．8 B．4 C．2 D．0[解析] 1.可行域如图所示，由可知当经过的交点，即时，，得.2.(某某省某某市2014届高三第二次教学质量检测) 若实数满足，且使关于的方程与均有实数根，则有（）A. 最小值2B. 最小值3C. 最大值D. 最大值[解析] 2.因为有实根，所以，同理有实根，所以，又，，所以可行域如图所示，又，由图象可知经过时，，经过的交点时，.3.（某某省某某市2014届高三三月高考模拟）“” 是“关于x, y的不等式组表示的平面区域为三角形” 的（）A. 充要不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件[解析] 3.当时，不等式对应的区域为，当时，此时直线经过点，此时对应的区域也为三角形，所以是不等式组表示平面区域为三角形的充分不必要条件.4.（某某市名校联盟2014届高三联合考试）设变量, 满足约束条件: 则的最大值为（）A. 21B. -3C. 15D. -15[解析] 4.不等式式组表示的可行域如图所示，由可知，当经过的交点时，.5.(某某市杨家坪中学2014届高三下学期第一次月考) 设点，，若直线与线段（包括端点）有公共点，则的最小值为 ( )A.B.C.D. 1[解析] 5.若直线与线段（包括端点）有公共点，则点A、B应位于直线的两侧，所以，得或，作出点的可行域，则的最小值应在原点到直线的距离处，于是，即.6.(某某省某某一中、康杰一中、某某一中、某某一中四校2014届高三第三次联考) 实数满足, 若的最大值为13, 则实数( )A. 2B.C.D. 5[解析] 6.由可知当经过的交点时，，所以.7.(某某省某某市2014届高三第一次模拟考试) 设其中实数满足，若的最大值为，则的最小值为A．B．C．D．[解析] 7. 可行域如图所示，由可知当经过的交点时取得最大值即，，经过的交点时，8.(某某省红色六校2014届高三第二次联考) 设变量x，y满足的最大值为（）A．3 B．8 C． D．[解析] 8.可行域如图所示，可得点的坐标分别为，分别代入中得.9.(某某中学2014届高三月考测试题) 设实数满足，则的取值X 围是( )A.B.C.D.[解析] 9.不等式表示的区域如图所示的三角形，而表示是内的一点与原点连线的斜率，又，，所以，即.10.(某某省某某市2014届高三毕业班质检) 已知x, y满足, 且目标函数z=2x+y 的最大值是最小值的8倍, 则实数a的值是( )A. 1B.C.D.[解析] 10.可行域如图所示，由可知当经过的交点时，，经过的交点时，，所以.11.(某某市蓟县邦均中学2014届高三第一次模拟考试) 连续掷两次骰子分别得到的点数为m、n，则点P（m, n）在直线x+y=5左下方的概率为（）A．B．C．D．[解析] 11.因为点在的左下方，所以，满足此条件的点有共6个，所以概率为.12.(某某市蓟县邦均中学2014届高三第一次模拟考试) 已知实数满足条件，那么的最大值是（）A. 1B. 3C. 6D. 8[解析] 12.设，可行域如图所示，由可知当经过时，.13.（某某省某某市高三第一次模拟考试）定义在上的函数满足，，为的导函数，已知的图象如图所示，且有且只有一个零点，若非负实数满足，，则的取值X围是（）A． B． C． D．[解析] 13.由图象可知，当时，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，又因为为非负实数，所以可化为，可得，同理可得，即，作出，所对应的平面区域，得到如图的阴影部分区域，等于可行域内的点与连线的斜率，结合图形可知：当经过时，斜率最小为，当经过时，斜率最大为，故的取值X围为14.(某某省某某市2014届高三1月调研测试) 若实数，满足不等式组则的最大值为A． B． C． D．[解析] 14.可行域如图所示，设，由可知当经过的交点时，.15.(某某市西青区2013-2014学年度高三上学期期末考试) 已知变量满足约束条件，则的最大值为A． B． C． D．[解析] 15.可行域如图所示，由可知当经过的交点时，.16.（某某省政和一中、周宁一中2014届高三第四次联考）若实数满足则的最小值是 ( )A．0 B． C． D．[来[解析] 16.，如图所示，当直线经过可行域中点时，17.（某某某某中学2014届高三上学期第五次调研）已知函数的两个极值点分别为，且，，点表示的平面区域为D，若函数的图像上存在区域D内的点，则实数d的取值X围是（）A.(1,3]B.(1,3)C.[3,正无穷)D.(3,正无穷)[解析] 17.，依题意的两个根为，构造函数，则，即，直线的交点，要使函数的图像上存在区域D上的点，则必须满足，解得，所以18.(某某省七校2014届高三上学期第一次联考) 已知实数满足，则的最大值为（）A．11 B．12 C．13 D．14[解析] 18.由题意知可行域的边界交点为，分别代入中，当时，19.（某某省某某市2014届高三上学期期末考试）已知不等式组则目标函数的最大值是A. 1B.C.D. 4[解析] 19.，可行域如图所示，由图可知当经过的交点，即时，.20.（某某七校联考高三数学（文）学科试卷）设变量满足约束条件则目标函数的最小值为（）A．7 B．8 C．10 D．23[解析] 20. ，可行域如图所示，由图像可知，当经过的交点，即时，.21.(某某省某某中学2014届高三下学期二调) 已知点P的坐标，过点P的直线l与圆相交于A、B两点，则AB的最小值为。

6-3第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划(2015年高考总复习)

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高考这样考 1.考查二元一次不等式组表示的区域面积和目标函数最值(或取值范围)． 2.考查约束条件、目标函数中的参变量的取值范围． 3.利用线性规划方法设计解决实际问题的最优方案.
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x－y≥－1， 2．若实数x，y满足不等式组 x＋y≥1， 3x－y≤3，所围成的平面区域的面积是( A．3 C．2 5 B. 2 D．2 2 )
则该约束条件
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疑点清源 1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化． 2．求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b>0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时， z值最小；当b<0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大．
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4．点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是 ________．
解析 (－2，t)在2x－3y＋6＝0上方，则2×(－2)－3t＋6<0， 2 ∴t>3.
2 答案 t> 3
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【精品】线性规划案例

1。

人力资源分配问题例1.某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员人数如表1所示。

设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班,并连续工作8小时，问该公交线路应怎样安排司机和乘务人员,既能满足工作需要,又使配备司机和乘务人员的人数最少？解：设x i表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数，这样我们建立如下的数学模型。

目标函数：Min x1+x2+x3+x4+x5+x6约束条件:s.t.x1+x6≥60x1+x2≥70x2+x3≥60x3+x4≥50x4+x5≥20x5+x6≥30x1,x2,x3，x4，x5,x6≥0运用lingo求解：Objectivevalue:150。

0000ariableValueReducedCostX160。

000000。

000000X210.000000.000000X350。

000000。

000000X40.0000000.000000X530.000000.000000X60.0000000.000000例2．一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所示。

为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。

问应该如何安排售货人员的作息,既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少?解：设x i(i=1,2，…,7)表示星期一至日开始休息的人数，这样我们建立如下的数学模型。

目标函数：Min x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7约束条件：s.t.x1+x2+x3+x4+x5≥28x2+x3+x4+x5+x6≥15x3+x4+x5+x6+x7≥24x4+x5+x6+x7+x1≥25x5+x6+x7+x1+x2≥19x6+x7+x1+x2+x3≥31x7+x1+x2+x3+x4≥28x1,x2，x3，x4,x5,x6，x7≥0lingo求解Objectivevalue:36。

00000VariableValueReducedCostX112.000000。

2015届高考数学总复习第六章第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时精练试题文(含解析)

第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1．在平面直角坐标系中，若点(－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方，则t 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．(0,1)解析：将x ＝－2代入直线x －2y ＋4＝0中，得y ＝1.因为点(－2，t )在直线上方，∴t >1. 答案：B2．设实数x 和y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，x －y ≤2，x ≥4，则z ＝2x ＋3y 的最小值为( )A ．26B ．24C ．16D ．14答案：D3．在坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥2|x |－1，y ≤x ＋1所表示的平面区域的面积为( )A ．2 2 B.83 C.223D ．2解析：作出不等式组所表示的可行域(如图)通过解方程可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13，B (2,3)，C (0，－1)，E (0,1)，如图可知，S △ABC ＝S △ACE ＋S △BCE ＝12×|CE |×(x B －x A )＝83.答案：B4．(2013·四川卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是( )A ．48B ．30C ．24D ．16解析：画出可行域如图阴影部分(包括边界)易解得A (4,4)，B (8,0)，C (0,2)．对目标函数令z ＝0作出直线l 0，上下平移易知过点A (4,4)，z 最大＝16，过点B (8,0)，z 最小＝－8，即a ＝16，b ＝－8，∴a －b ＝24.选C. 答案：C5．(2013·汕头二模)给出平面区域G ，如图所示，其中A (5,3)，B (2,1)，C (1,5)．若使目标函数P ＝ax ＋y (a ＞0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为()A ．4B ．2 C.12 D.23解析：∵目标函数P ＝ax ＋y ，∴y ＝－ax ＋P .故目标函数值P 是直线y ＝－ax ＋P 的截距，当直线y ＝－ax ＋P 的斜率与边界AC 的斜率相等时，目标函数P ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无数多个，此时，－a ＝5－31－5＝－12，即a ＝12，故选C.答案：C6．(2013·韶关二模)4件A 商品与5件B 商品的价格之和不小于20元，而6件A 商品与3件B 商品的价格之和不大于24元，则买3件A 商品与9件B 商品至少需要( )A ．15元B ．22元C ．36元D ．72元解析：设一件A 商品的价格为x 元，一件B 商品的价格为y 元，买3件A 商品与9件B商品需要z 元，则z ＝3x ＋9y ，其中x 、y 满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥20，6x ＋3y ≤24，作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A (0,4)，B (0, 8)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫103，43.设z ＝F (x ，y )＝3x ＋9y ，将直线l ：z ＝3x ＋9y 进行平移，当l 经过点C 时，目标函数z 达到最小值，∴z 最小值＝F (103，43)＝3×103＋9×43＝22.因此，当一件A 商品的价格为103元，一件B 商品的价格为43元时，可使得买3件A 商品与9件B 商品费用最小，最小费用为22元．故选B.答案：B7．(2013·山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________．解析：由题意知原点O 到直线x ＋y －2＝0的距离为|OM |的最小值．所以|OM |的最小值为：22＝ 2.答案： 28．(2013·大纲全国卷)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域为D .若直线y＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是________．解析：已知不等式组表示的平面区域如图中的三角形ABC 及其内部，直线y ＝a (x ＋1)是过定点(－1,0)斜率为a 的直线，该直线与区域D 有公共点时，a 的最小值为MA 的斜率，最大值为MB 的斜率，其中点A (1,1)，B (0,4)，故MA 的斜率等于1－01－－＝12，MB 的斜率等于4－00－－＝4，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，49．(2012·厦门模拟)某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为________元．解析：设甲种设备需要生产x 天，乙种设备需要生产y 天，该公司所需租赁费为z 元，x ，y 满足的关系式为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋65y ≥10，x ＋2y ≥14，x ≥0，y ≥0.作出不等式表示的平面区域，当对应的直线过两直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＋65y ＝10，x ＋2y ＝14的交点(4,5)时，目标函数z ＝200x ＋300y 取得最小值为2 300元．答案：2 30010．(2012·中山四校联考)某工厂有A ，B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1 h ，每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2 h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天8 h 计算，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，问：如何安排生产才能使利润最大？解析：设甲、乙两种产品分别生产x 件、y 件，工厂获得的利润为z ，由已知条件可得二元一次不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，4x ≤16，4y ≤12，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝2x ＋3y .把z ＝2x ＋3y 变形为y ＝－23x ＋z 3，这是斜率为－23，在y 轴上的截距为z3的直线．当z变化时，可以得到一组互相平行的直线，当截距z3最大时，z 取得最大值．由上图可以看出，当直线y ＝－23x ＋z 3过直线x ＝4与直线x ＋2y －8＝0的交点M (4,2)时，截距z3的值最大，最大值为143，这时2x ＋3y ＝14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元．11．设函数f (θ)＝3sin θ＋cos θ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P (x ，y )，且0≤θ≤π.(1)若点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，求f (θ)的值；(2)若点P (x ，y )为平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x ≤1，y ≤1上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f (θ)的最小值和最大值．解析： (1)由点P 的坐标和三角函数的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12.于是f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝3×32＋12＝2. (2)作出平面区域Ω(即三角形区域ABC )如图所示，其中A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)．于是0≤θ≤π2.又f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6，且π6≤θ＋π6≤2π3，故当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，f (θ)取得最大值，且最大值等于2；当θ＋π6＝π6，即θ＝0时，f (θ)取得最小值，且最小值等于1.。

简单的线性规划典型例题

简单的线性规划典型例题篇一：典型例题：简单的线性规划问题典型例题【例1】求不等式｜某－1｜+｜y－1｜≤2表示的平面区域的面积.【例2】某矿山车队有4辆载重量为10t的甲型卡车和7辆载重量为6t的乙型卡车，有9名驾驶员此车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低参考答案例1：【分析】依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积.【解】｜某－1｜+｜y－1｜≤2可化为或其平面区域如图：或或∴面积S=某4某4=8【点拨】画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界.例2：【分析】弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解.【解】设每天派出甲型车某辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么z=252某+160y，作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图作出直线l0：252某+160y=0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小.观察图形，可见当直线252某+160y=t经过点（2，5）时，满足上述要求.此时，z=252某+160y取得最小值，即某=2，y=5时，zmin=252某2+160某5=1304.答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低.【点拨】用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f（某，y）=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点.篇二：不等式线性规划知识点梳理及经典例题及解析线性规划讲义【考纲说明】（1）了解线性规划的意义、了解可行域的意义；（2）掌握简单的二元线性规划问题的解法．（3）巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；（4）会用画网格的方法求解整数线性规划问题．（5）培养学生的数学应用意识和解决问题的能力．【知识梳理】1.目标函数:Ｐ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变量ｘ和ｙ的函数，称为目标函数．2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.3.整点:坐标为整数的点叫做整点．4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．5.整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．二、疑难知识导析线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若直线不过原点，通常选择原点代入检验．3.平移直线ｙ＝－kｘ＋Ｐ时，直线必须经过可行域．4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.积储知识：一．1.点P(某0,y0)在直线A某+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即A某0+By0+C=02.点P(某0,y0)在直线A某+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，A某0+By0+C>0;当B<0时，A某0+By0+C<03.点P(某0,y0)在直线A某+By+C=0下方（左下或右下），当B>0时，A某0+By0+C<0;当B<0时，A某0+By0+C>0注意：（1）在直线A某+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(某,y)代入A某+By+C,所得实数的符号都相同,（2）在直线A某+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入A某+By+C,所得到实数的符号相反,即：1.点P(某1,y1)和点Q(某2,y2)在直线A某+By+C=0的同侧，则有（A某1+By1+C）(A某2+By2+C)>02.点P(某1,y1)和点Q(某2,y2)在直线A某+By+C=0的两侧，则有（A某1+By1+C）(A某2+By2+C)<0二.二元一次不等式表示平面区域:①二元一次不等式A某+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线A某+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.不．包括边界;②二元一次不等式A某+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线A某+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线.三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:方法一:取特殊点检验;“直线定界、特殊点定域原因:由于对在直线A某+By+C=0的同一侧的所有点(某,y),把它的坐标(某,y)代入A某+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(某0,y0),从A某0+By0+C的正负即可判断A某+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,当C≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。

2015届高考数学一轮总复习 7-3简单的线性规划问题

则目标函数 z＝4x＋y 的最大值为________．
如图，满足条件的可行域为三角形区域(图中阴影部分)，故 z＝4x＋y 在 P(2,3)处取得最大值，最大值为 11. 三、解答题 10．(文)某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资每份由金融投资 20 万元，房地产投资 30 万元组成；进取型组合投资每份由金融投资 40 万元，房地产投资 30 万元组成．已知每份稳健型组合投资每年可获利 10 万元，每份进取型组合投资每年可获利 15 万元．若可作投资用的资金中，金融投资不超过 160 万元，房地产投资不超过 180 万元，那么这两种组合投资各应注入多少份，才能使一年获利总额最多？ [解析] 设稳健型投资 x 份，进取型投资 y 份，利润总额为 z(单位：10 万元，则目标函数为 z 20x＋40y≤160，＝x＋1.5y(单位：10 万元)，线性约束条件为：30x＋30y≤180， x≥0，y≥0x∈N，y∈N，
2 2
→ → 则OM· ON的最大值为(
)
B．2 2
C. 3
D．2 3
[答案] B [解析]
→ → → 如图，点 N 在图中阴影部分区域内，当 O， M， N 共线，且|ON|＝2 时， OM· ON最大，此时 N( 2， → → 2)，OM· ON＝(1,1)· ( 2， 2)＝2 2，故选 B. x＋y－3≤0， 12．(文)(2012· 福建文，10)若直线 y＝2x 上存在点(x，y)满足约束条件x－2y－3≤0， x≥m，
x＋y＝3000，由得 x＝2000，y＝1000，即点 B 的坐标为(2000,1000)，故当甲项目投资 0.24x＋0.36y＝840，
2000 万元，乙项目投资 1000 万元时，GDP 增长得最多. 能力拓展提升一、选择题 11．(2013· 东北师大附中二模)O 为坐标原点，点 M 的坐标为(1,1)，若点 N(x，y)的坐标满足 x ＋y ≤4， 2x－y>0， y>0， A. 2

2015届高三数学(文)第一轮总复习课件第41讲简单的线性规划问题

17
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文数
x－y＋5≥0 所以，不等式组x＋y≥0 x≤3
表示的平面区域如图
所示． 5 结合图中可行域得 x∈[－，3]，y∈[－3,8]． 2
18
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文数
－x≤y≤x＋5 ②由图形及不等式组知 . －2≤x≤3，且x∈Z
当 x＝3 时，－3≤y≤8，有 12 个整点；当 x＝2 时，－2≤y≤7，有 10 个整点；当 x＝1 时，－1≤y≤6，有 8 个整点；当 x＝0 时，0≤y≤5，有 6 个整点；当 x＝－1 时，1≤y≤4，有 4 个整点；当 x＝－2 时，2≤y≤3，有 2 个整点．所以平面区域内的整点共有 2＋4＋6＋8＋10＋12＝ 42(个)． 5 ③由(1)知，x∈[－，3]，y∈[－3,8]， 2 1 5 121 所以 S＝ (3＋ )(3＋8)＝ . 2 2 4
4
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文数
解析：由已知两点在直线的两侧，则(2＋3＋m)(－8－2＋m)<0，即(m＋5)(m－10)<0，所以－5<m<10，选 C.
5
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x≥1 3．已知实数x、y满足 y≤2 x－y≤0
文数
，则此不等式组表示的平
面区域的面积是( A ) 1 A.2 C．1 1 B.4 1 D.8
21
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文数
(2)画出满足约束条件的平面区域，由图可知平面区域图形为边长为 2的正方形，故其周长为 4 2.
22
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文数
二
线性规划下的最值
x－y＋2≥0 【例2】已知x＋y－4≥0 2x－y－5≤0
，求：
(1)z＝x＋2y－4的最大值； (2)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值．

线性规划典型例题和归纳

解：设每天生产甲产品x吨，乙产品y吨，可得产值z千元。
目的函数为：z＝7x＋9y
4x 6 y 180 线性约束条件为： 3x 6 y 150
5x 3y 150
画出可行域如图：
画出直线7x+9y=0 并平移得点P使Z最小。
求出点P 为 (150 ,100)
77
所以每天生产甲产品 150吨，乙产品100 吨时，
效益最大。
7
7
x y 6 0
例4 已知 x , y 满足不等式 x y 0 ,
y
6
x 3
x y 0
4
A
x y6 0
C
求：(1). z y 3 旳范围;
x
2
6
4
2
O
2
4x
(2).
z
y x
2 1
旳范围.
2
Q
B
x3
解: (1) z y 3 表达可行域内任一点与定点Q（0,-3）连线旳斜率,
x ≥ 1.
解：画出可行域如图：
(1)若z线 2x+y=0 并平移得点A使Z最大，点B使Z最小。
由 x 4 y 3 0求出A 为（5,2)。
3x 5y 25 0
x 1 由 x 4 y 3 0 求出B为（1，1)。
Zmax 2 5 2 12, Zmin 2 1 1 3.
足维生素旳需要量，并能取得最大量旳维
• 作出不等式组表达旳平面区域如图所示，
• 作出5x＋2y＝0. • 把直线向右上方平移，直线经过可行域上
旳点M时，z＝5x＋2y取得最大值．
x y ≥ 0,
【6】已知x,
y满足
x
y
≤ 1,

2015届高考数学一轮复习二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题跟踪检测理(含解析)新人教A版

课时跟踪检测(三十八) 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题第Ⅰ组：全员必做题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7) B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)2．已知实数对(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≥1，x －y ≥0，则2x ＋y 取最小值时的最优解是( )A ．6B ．3C ．(2,2)D ．(1,1)3．(2013·湖南五市十校联合检测)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x －y －2≤0，x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为( )A ．11B ．10C ．9D ．8.54．(2013·全国卷Ⅱ)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3).若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14 B.12 C ．1D ．25．(2014·辽宁六校联考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤a x ＋y ≥8，x ≥6且不等式x ＋2y ≤14恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[8,10]B ．[8,9]C ．[6,9]D ．[6,10]6．(2014·安徽“江南十校”联考)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0ax ＋y －2≤0表示y ≥0的平面区域的面积为3，则实数a 的值是________．7．(2013·广东高考)给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．8．(2014·郑州质检)若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＋6≥0，2x ＋3y －15≤0，y ≥0当且仅当x ＝y ＝3时，z ＝ax－y 取得最小值，则实数a 的取值范围是________．9．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，(1)设z ＝4x －3y ，求z 的最大值； (2)设z ＝yx，求z 的最小值．10．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润w (元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？第Ⅱ组：重点选做题1．(2013·北京高考)设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＞0，x ＋m ＜0，y －m ＞0 表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2.求得m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，43 B.⎝⎛⎭⎫－∞，13 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－23 D. ⎝⎛⎭⎫－∞，－53 2．(2014·通化一模)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x 3a ＋y 4a ≤1，若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为32，则a 的值为________．答案第Ⅰ组：全员必做题1．选B 根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )＜0.即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24.2．选D 约束条件表示的可行域如图中阴影三角形，令z ＝2x ＋y ，y ＝－2x ＋z ，作初始直线l 0：y ＝－2x ，作与l 0平行的直线l ，则直线经过点(1,1)时，(2x ＋y )min ＝3.3.选B 由约束条件可画出可行域，平移参照直线2x ＋3y ＋1＝0可知，在可行域的顶点(3,1)处，目标函数z ＝2x ＋3y ＋1取得最大值，z max ＝2×3＋3×1＋1＝10.4.选B 由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC 内部及边界部分，由目标函数z ＝2x ＋y 的几何意义为直线l ：y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，知当直线l 过可行域内的点B (1，－2a )时，目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为1，则2－2a ＝1，a ＝12，故选B.5．选A 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a ≥8，否则可行域无意义．由图可知x ＋2y 在点(6，a －6)处取得最大值2a －6，由2a －6≤14得，a ≤10，故选A.6．解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，区域面积S ＝12×⎝⎛⎭⎫2a ＋2×2＝3，解得a ＝2.答案：27．解析：解决本题的关键是要读懂数学语言，x 0，y 0∈Z ，说明x 0，y 0是整数，作出图形可知，△ABF 所围成的区域即为区域D ，其中A (0,1)是z 在D 上取得最小值的点，B ，C ，D ，E ，F 是z 在D 上取得最大值的点，则T 中的点共确定AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BF 共6条不同的直线．答案：68．解析：画出可行域，如图，直线3x －5y ＋6＝0与2x ＋3y －15＝0交于点M (3,3)，由目标函数z ＝ax －y ，得y ＝ax －z ，纵截距为－z ，当z 最小时，－z 最大．欲使纵截距－z 最大，则－23<a <35.答案：⎝⎛⎭⎫－23，35 9．解：(1)由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图所示．由z ＝4x －3y ，得y ＝43x －z3.求z ＝4x －3y 的最大值，相当于求直线y ＝43x －z 3在y 轴上的截距－z3的最小值．平移直线y ＝43x 知，当直线y ＝43x －z 3过点B 时，－z3最小，z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)．故z max ＝4×5－3×2＝14. (2)∵z ＝y x ＝y －0x －0.∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min ＝k OB ＝25.10．解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润w ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300. (2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .目标函数为w ＝2x ＋3y ＋300. 作出可行域．如图所示：初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，w 有最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.最优解为A (50,50)，所以w max ＝550元．所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最，最大为利润550元．第Ⅱ组：重点选做题1．选C 问题等价于直线x －2y ＝2与不等式组所表示的平面区域存在公共点，由于点(－m ，m )不可能在第一和第三象限，而直线x －2y ＝2经过第一、三、四象限，则点(－m ，m )只能在第四象限，可得m ＜0，不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，要使直线x －2y ＝2与阴影部分有公共点，则点(－m ，m )在直线x －2y －2＝0的下方，由于坐标原点使得x －2y －2＜0，故－m －2m －2＞0，即m ＜－23.2．解析：∵x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2(y ＋1)x ＋1，而y ＋1x ＋1表示过点(x ，y )与(－1，－1)连线的斜率，易知a >0，∴可作出可行域，知y ＋1x ＋1的最小值是14，即⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1x ＋1min ＝0－(－1)3a －(－1)＝13a ＋1＝14⇒a ＝1. 答案：1。