线性规划经典例题

线性规划常见题型及解法

一、求线性目标函数的取值范围

例1、 若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪

≤⎨⎪+≥⎩

，则z=x+2y 的取值范围是 （ ）

A 、[2,6]

B 、[2,5]

C 、[3,6]

D 、（3,5]

解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将

l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值 2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选A

二、求可行域的面积

例2、不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪

+-≤⎨⎪≤⎩

表示的平面区域的面积为

（ ）

A 、4

B 、1

C 、5

D 、无穷大

解：如图，作出可行域，△ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC

的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选 B

三、求可行域中整点个数

例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个

解：|x|＋|y|≤2等价于2

(0,0)2(0,0)

2(0,0)2

(0,0)

x y x y x y x y x y x y x y x

y

+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪

⎨

-+≤≥⎪⎪--≤⎩

作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D

四、求线性目标函数中参数的取值范围

例4、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪

-+≤⎨⎪≤⎩

，使z=x+a y(a>0)

取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为 （ ）

A 、－3

B 、3

C 、－1

D 、1

解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay (a>0)取得最小值

的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选D

五、求非线性目标函数的最值

例5、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩

，则z=x 2+y 2

的最大值和最小值分别

是（ ）

A 、13，1

B 、13，2

C 、13，4

5

D 、13，255

解：如图，作出可行域,x 2+y 2

是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即

|AO|2

=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为

4

5

，选 C 六、求约束条件中参数的取值范围

例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m 的取值范

围是 （ ）

A 、（-3,6）

B 、（0,6）

C 、（0,3）

D 、（-3,3）

解：|2x －y ＋m|＜3等价于230

230x y m x y m -++>⎧⎨-+-<⎩

由右图可知33

30

m m +>⎧⎨-<⎩ ,故0＜m ＜3，选 C

七·比值问题

当目标函数形如y a

z x b

-=

-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。

例 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，

则 y

x 的取值范围是（ ）.

（A ）[95，6] （B ）（－∞，9

5]∪[6，＋∞）

（C ）（－∞，3]∪[6，＋∞） （D ）[3，6]

解析 y x 是可行域内的点M （x ，y ）与原点O （0，0）连线的斜率，当直线OM 过点（52，92）时，y

x

取得

最小值95；当直线OM 过点（1，6）时，y

x

取得最大值6. 答案A

O

2x – y = 0

y

2x – y + 3 = 0

2x + y - 2= 0

x – 2y + 4 = 0 3x – y – 3 = 0

O

y

x

A