重磅-八种经典线性规划例题最全总结(经典)

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线性规划经典例题

线性规划经典例题一、问题描述某公司生产两种产品A和B，每一个单位产品A的利润为100元，每一个单位产品B的利润为150元。

公司有两个车间可用于生产这两种产品，每一个车间每天的工作时间为8小时。

产品A在车间1生产需要1小时，产品B在车间1生产需要2小时；产品A在车间2生产需要2小时，产品B在车间2生产需要1小时。

每天车间1的生产能力为400个单位产品A或者200个单位产品B，车间2的生产能力为300个单位产品A或者150个单位产品B。

公司的目标是在满足车间生产能力的前提下，最大化利润。

二、数学建模设x1为在车间1生产的产品A的数量，x2为在车间1生产的产品B的数量，x3为在车间2生产的产品A的数量，x4为在车间2生产的产品B的数量。

目标函数：max Z = 100x1 + 150x2 + 100x3 + 150x4约束条件：车间1的生产能力：x1 + x2 ≤ 4002x1 + x2 ≤ 800车间2的生产能力：x3 + x4 ≤ 300x3 + 2x4 ≤ 300非负约束：x1, x2, x3, x4 ≥ 0三、求解过程使用线性规划的求解方法，可以得到最优解。

1. 将目标函数和约束条件转化为标准形式：目标函数：max Z = 100x1 + 150x2 + 100x3 + 150x4约束条件：x1 + x2 + 0x3 + 0x4 ≤ 4002x1 + x2 + 0x3 + 0x4 ≤ 8000x1 + 0x2 + x3 + x4 ≤ 3000x1 + 0x2 + x3 + 2x4 ≤ 300x1, x2, x3, x4 ≥ 02. 使用线性规划求解器求解得到最优解：最优解为：x1 = 200, x2 = 200, x3 = 0, x4 = 100最大利润为：Z = 100(200) + 150(200) + 100(0) + 150(100) = 50000元四、结果分析根据求解结果，最优解是在车间1生产200个单位产品A，200个单位产品B，在车间2生产100个单位产品B，不需要在车间2生产产品A。

线性规划例题和知识点总结

线性规划例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。

在实际生活中，有很多问题都可以通过线性规划来解决，比如资源分配、生产计划、运输调度等。

下面我们通过一些具体的例题来深入理解线性规划，并对相关知识点进行总结。

一、线性规划的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值。

线性规划的数学模型通常可以表示为：目标函数：＄Z ＝ c_1x_1 ＋ c_2x_2 ＋＼cdots ＋ c_nx_n$约束条件：＄＼begin{cases}a_{11}x_1 ＋ a_{12}x_2 ＋＼cdots ＋a_{1n}x_n ＼leq b_1 ＼＼ a_{21}x_1 ＋ a_{22}x_2 ＋＼cdots ＋a_{2n}x_n ＼leq b_2 ＼＼＼cdots ＼＼ a_{m1}x_1 ＋ a_{m2}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{mn}x_n ＼leq b_m ＼＼ x_1, x_2, ＼cdots, x_n ＼geq0\end{cases}＄其中，＄x_1, x_2, ＼cdots, x_n$是决策变量，＄c_1, c_2, ＼cdots, c_n$是目标函数的系数，＄a_{ij}＄是约束条件的系数，＄b_i$是约束条件的右端项。

二、线性规划的解题步骤1、建立数学模型：根据实际问题，确定决策变量、目标函数和约束条件。

2、画出可行域：将约束条件在直角坐标系中表示出来，得到可行域。

3、求出最优解：在可行域内，通过寻找目标函数的等值线与可行域边界的交点，求出最优解。

三、例题分析例 1：某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产 1 单位甲产品需要消耗 A 资源 2 单位，B 资源 3 单位，可获利 5 万元；生产 1 单位乙产品需要消耗 A 资源 3 单位，B 资源 2 单位，可获利 4 万元。

现有 A 资源12 单位，B 资源 10 单位，问如何安排生产，才能使工厂获得最大利润？解：设生产甲产品$x_1$单位，生产乙产品$x_2$单位。

八种经典线性规划例题(超实用)

线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。

一、求线性目标函数的取值范围例1、若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y 的取值范围是（）A 、[2,6]B 、[2,5]C 、[3,6]D 、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值 2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选 A二、求可行域的面积例2、不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（）A 、4B 、1C 、5D 、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选 B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（） A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0)x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为（） A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay (a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选 D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是（）A 、13，1B 、13，2C 、13，45D 、5解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为45，选 C 六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是（） A 、（-3,6） B 、（0,6） C 、（0,3） D 、（-3,3）解：|2x －y ＋m|＜3等价于230230x y m x y m -++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩ ,故0＜m ＜3，选 C七·比值问题当目标函数形如y az x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。

线性规划经典例题

线性规划经典例题一、问题描述假设某公司生产两种产品：A和B。

产品A每单位售价为10元，每单位成本为5元；产品B每单位售价为8元，每单位成本为3元。

公司有两个部门进行生产，分别是部门X和部门Y。

部门X每天生产产品A需要2小时，生产产品B需要1小时；部门Y每天生产产品A需要1小时，生产产品B需要3小时。

公司每天有8小时的生产时间。

现在的问题是，如何安排生产使得公司的利润最大化？二、数学建模1. 定义变量：设部门X生产的产品A的数量为x，部门X生产的产品B的数量为y，部门Y生产的产品A的数量为z，部门Y生产的产品B的数量为w。

2. 建立目标函数：公司的利润为销售收入减去成本，即利润=10x + 8y - 5x - 3y = 5x + 5y。

3. 建立约束条件：a) 部门X每天生产产品A需要2小时，生产产品B需要1小时，部门Y每天生产产品A需要1小时，生产产品B需要3小时，公司每天有8小时的生产时间，因此有约束条件：2x + y ≤ 8，x + 3w ≤ 8。

b) 产品的数量不能为负数，因此有约束条件：x ≥ 0，y ≥ 0，z ≥ 0，w ≥ 0。

三、线性规划模型最大化目标函数：maximize 5x + 5y满足约束条件：2x + y ≤ 8x + 3w ≤ 8x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, w ≥ 0四、求解线性规划问题可以使用线性规划求解器进行求解，例如使用MATLAB的linprog函数或者Python的scipy.optimize.linprog函数。

五、求解结果分析假设求解结果为x = 2，y = 4，z = 1，w = 1。

根据求解结果可知，部门X生产2个产品A和4个产品B，部门Y生产1个产品A和1个产品B，公司的利润最大化为5*2 + 5*4 = 30元。

六、结论通过合理安排生产，部门X生产2个产品A和4个产品B，部门Y生产1个产品A和1个产品B，公司的利润最大化为30元。

以上是关于线性规划经典例题的详细解答，希翼能对您有所匡助。

八种经典线性规划例题最全总结(经典)

一、求线性目标函数的取值范围例1、若x 、y 满足约束条件，则z=x+2y 的取值范围是　（　）A 、[2,6]B 、[2,5]C 、[3,6]D 、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选A二、求可行域的面积例2、不等式组表示的平面区域的面积为（　）A 、4B 、1C 、5D 、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（　） A 、9个　B 、10个　C 、13个　D 、14个解：|x|＋|y|≤2等价于作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0)x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x 、y 满足以下约束条件，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为（　） A 、－3　B 、3　C 、－1　D 、1解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x 、y 满足以下约束条件　，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是（　）A 、13，1B 、13，2C 、13，D 、，解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为，选C 六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是（　）A 、（-3,6）B 、（0,6）C 、（0,3）D 、（-3,3）解：|2x －y ＋m|＜3等价于由右图可知 ,故0＜m ＜3，选C5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩4545230230x y m x y m -++>⎧⎨-+-<⎩3330m m +>⎧⎨-<⎩七、比值问题当目标函数形如时,可把z 看作是动点与定点连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。

线性规划经典例题

线性规划经典例题一、问题描述某工厂生产两种产品A和B，产品A每单位利润为10元，产品B每单位利润为8元。

工厂有两个车间，分别是车间1和车间2。

每天车间1生产A产品需要2小时，B产品需要1小时；车间2生产A产品需要1小时，B产品需要3小时。

每天车间1的工作时间为8小时，车间2的工作时间为10小时。

工厂需要决定每天在两个车间分别生产多少单位的A和B产品，以最大化利润。

二、数学模型设每天在车间1生产的A产品单位数为x1，B产品单位数为y1；车间2生产的A产品单位数为x2，B产品单位数为y2。

根据题目要求，可以得到以下约束条件：车间1的工作时间约束：2x1 + 1y1 ≤ 8车间2的工作时间约束：1x2 + 3y2 ≤ 10产品A的产量约束：x1 + x2 ≤ A总产量产品B的产量约束：y1 + y2 ≤ B总产量非负约束：x1, y1, x2, y2 ≥ 0目标函数为利润的最大化：10x1 + 8y1 + 10x2 + 8y2三、求解过程1. 确定决策变量和目标函数决策变量：x1, y1, x2, y2目标函数：10x1 + 8y1 + 10x2 + 8y22. 确定约束条件车间1的工作时间约束：2x1 + 1y1 ≤ 8车间2的工作时间约束：1x2 + 3y2 ≤ 10产品A的产量约束：x1 + x2 ≤ A总产量产品B的产量约束：y1 + y2 ≤ B总产量非负约束：x1, y1, x2, y2 ≥ 03. 求解最优解利用线性规划求解方法，将目标函数和约束条件输入线性规划求解器，得到最优解。

四、数值计算与结果分析假设A总产量为100单位，B总产量为80单位。

将上述条件带入线性规划求解器，得到最优解如下：x1 = 20，y1 = 0，x2 = 60，y2 = 20根据最优解，工厂每天在车间1生产20单位的A产品，不生产B产品；在车间2生产60单位的A产品和20单位的B产品。

此时，工厂的利润最大化为：10 * 20 + 8 * 0 + 10 * 60 + 8 * 20 = 1160 元。

线性规划经典例题

线性规划经典例题引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于求解线性约束条件下的最优解。

它在实际问题中有着广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。

本文将介绍几个经典的线性规划例题，并详细阐述每个例题的解题思路和步骤。

一、最大化利润问题1.1 目标函数的建立首先，我们需要确定目标函数。

假设有两种产品A和B，每个单位的利润分别为x和y。

令x表示产品A的产量，y表示产品B的产量，我们的目标是最大化总利润。

1.2 约束条件的建立其次，我们需要确定约束条件。

假设产品A和B的生产所需的资源有限，分别为资源1和资源2。

我们需要考虑资源的限制以及产品的需求量。

1.3 求解最优解根据目标函数和约束条件，我们可以建立线性规划模型。

通过线性规划求解器，我们可以得到最优解，即产量x和y的数值，以及最大化的利润。

二、最小化成本问题2.1 目标函数的建立假设有n种原材料，每种原材料的价格为c1、c2、...、cn。

我们需要确定购买每种原材料的数量，以最小化总成本。

2.2 约束条件的建立每种原材料的数量要满足一定的约束条件，如总量限制、质量要求等。

此外，我们还需要考虑生产过程中的限制条件，如生产能力、工时等。

2.3 求解最优解根据目标函数和约束条件，我们可以建立线性规划模型。

通过线性规划求解器，我们可以得到最优解，即每种原材料的购买数量，以及最小化的成本。

三、资源分配问题3.1 目标函数的建立假设有m个任务需要分配给n个人员，每个人员的效率不同。

我们需要确定每个任务分配给哪个人员，以最大化总效率。

3.2 约束条件的建立每个任务只能由一个人员完成，每个人员只能执行一个任务。

此外，我们还需要考虑人员的可用时间、技能匹配等约束条件。

3.3 求解最优解根据目标函数和约束条件，我们可以建立线性规划模型。

通过线性规划求解器，我们可以得到最优解，即每个任务分配给哪个人员，以及最大化的总效率。

四、运输问题4.1 目标函数的建立假设有m个供应地和n个需求地，每个供应地的供应量和每个需求地的需求量已知。

线性规划问题完全归纳整理

线性规划问题完全归纳整理（含答案）【实践理论】1．一元二次不等式(组)表示的平面区域2.满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．3.．线性规划中的基本概念【知识实践】0的( ) A ．右上方 B ．右下方 C ．左上方 D ．左下方【变式实践1】1．(教材习题改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2＜0表示的平面区域是( )2．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A ．(0,0) B ．(－1,1) C ．(－1,3) D ．(2，－3)[类型题通法](1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取点（不过原点取原点，过原点取坐标轴上的点）并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与点同侧的那部分区域；否则就对应与点异侧的平面区域．．(2)当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线【例2】．（1）(2015·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y ＋1≤0，2x －y ＋2≥0，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．（2）．(2016·吉林实验中学)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋5≥0，x －y ≤0，y ≤0，则z ＝2x ＋4y －3的最大值是________．（3）．（2016•安徽模拟）已知x ，y 满足约束条件，则z=﹣x+y 的最小值为（） A ．﹣2B ．﹣C ．0D ．【变式实践2】1.(2014·高考课标全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤03x －y －5≥0，则z ＝2x－y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．22.(2015·长春市第二次调研)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0x －y －2≤0x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为________．3．（2016•贵州校级模拟）不等式组所表示的平面区域的面积为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【例3】变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝y x，求z 的最小值； (2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围．【知识总结】．常见代数式的几何意义：(1)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0，0)的距离；(2)（x －a ）2＋（y －b ）2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；(3)y x表示点(x ，y )与原点(0，0)连线的斜率值；(4)y －b x －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率值．【变式实践3】1.实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，求z ＝y －1x ＋1的取值范围．2.．(2016·开封模拟)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤1，x ＋y ≥2，y ≤2，则目标函数z ＝x 2＋y 2的取值范围为( )A ．[2,8]B ．[4,13]C ．[2,13]D ．⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤52，133．(2015·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则y x的最大值为________．4．（2016•辽宁一模）已知点P （x ，y ）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=x 2+y 2的取值范围是（）A ．[，4] B ．[，5] C ．[，6] D ．[，5]【例4】．(2015·山东高考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3【变式实践4】．1.已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A ．12或－1B ．2或12C ．2或1D ．2或－12．（2016•池州二模）若变量x ，y 满足z=+（a≥b＞0）的最大值2，则有（）A ．ab ﹣3a ﹣b=0B ．ab ﹣a ﹣3b=0C ．ab ﹣a ﹣b=0D ．ab+a ﹣b=03．（2016•揭阳一模）已知不等式组所表示的平面区域为D ，直线l ：y=3x+m不经过区域D ，则实数m 的取值范围是（） A ．[﹣3，1]B ．[﹣3，3]C ．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）【例5】．（2016•宜宾模拟）设实数x，y满足约束条件，已知z=2x+y的最大值是7，最小值是﹣26，则实数a的值为（）A．6 B．﹣6 C．﹣1 D．1【变式实践5】1．（2016•顺义区一模）在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）表示的区域面积等于1，则a的值为（）A．B．C．D．12．（2016•顺义区一模）在平面直角坐标系中，若不等式组，（a为常数）表示的区域面积等于3，则a的值为（）A．﹣5 B．﹣2 C．2 D．5【例6】．（2016•青岛一模）已知x，y∈R，且满足，则z=|x+2y|的最大值为（）A．10 B．8 C．6 D．3【变式实践6】．1（2016•沈阳一模）实数x，y满足，则z=|x﹣y|的最大值是（）A．2 B．4 C．6 D．82．（2016•江门模拟）实数x，y满足，则|x|+|y|的最大值为（）A．6 B．8 C．10 D．14．【例7】(2015·陕西高考)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元【变式实践7】．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【强化练习】1．（2016•成都模拟）已知实数x，y满足，则z=y﹣2x的最大值是（）A．2 B．4 C．5 D．62．（2016•重庆校级模拟）设x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最大值为（）A．4 B．6 C．16 D．263．（2016•泸州模拟）设实数x，y满足，则3x﹣y的最大值是（）A．﹣2 B．0 C．2 D．64．（2016•南开区模拟）当x，y满足条件时，目标函数z=x+3y的最小值是（）A．0 B．1.5 C．4 D．95．（2016•红桥区模拟）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y﹣3的最小值为（）A．﹣2 B．C．﹣1 D．56．（2016•广州模拟）若实数x、y满足约束条件，则的取值范围是（）A．[，2] B．[，] C．[，2] D．[1，2]7．（2016•朔州模拟）已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（）A．﹣3 B．﹣5 C．﹣6 D．﹣14．8．（2016•唐山一模）若x，y满足不等式组，则的最大值是（）A．B．1 C．2 D．39．（2016•重庆校级一模）若实数x，y满足，则的最小值为（）A．B．2 C．D．10．（2016•广安模拟）已知a，y满足，则目标函数z=2x+y的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．911．（2016•陕西模拟）实数x，y满足，则z=的最小值为（）A．﹣B．1 C．﹣1 D．012．（2016•淮南二模）设z=4x•2y中变量x，y满足条件，则z的最小值为（）A．2 B．4 C．8 D．1613．（2016•淮北一模）已知实数x，y满足：，则使等式（t+2）x+（t﹣1）y+2t+4=0成立的t取值范围为（）A．[﹣，）B．（﹣∞，﹣]∪（﹣，+∞）C．[﹣，1）D．[﹣，1）【参考答案】【例1】解析：选C.画出图形如图所示，可知该区域在直线x－2y＋6＝0的左上方．【变式实践1】 1．答案：B 2．答案：C【例2】．（1）解析：画出可行域(如图所示)． ∵z ＝3x ＋y ，∴y ＝－3x ＋z .∴直线y ＝－3x ＋z 在y 轴上截距最大时，即直线过点B 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －2y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即B (1,1)，∴z max ＝3×1＋1＝4.(2)答案：4解析：满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋5≥0，x －y ≤0，y ≤0的区域如图所示，目标函数z ＝2x ＋4y －3在点(0,0)处取得最大值，则z max ＝－3.（3）．解：作出平面区域如图：由z=﹣x+y 得y=x+z ，由图可知当y=x+z 与圆（x ﹣2）2+y 2=4相切时，z 取得最小值．把y=x+z 化成一般式方程为x ﹣3y+3z=0， ∴=2，解得z=﹣2或z=（舍）．故选：A ．【变式实践2】1/画出可行域如图所示．由z ＝2x －y ，得y ＝2x －z ，欲求z 的最大值，可将直线y ＝2x 向下平移，当经过区域内的点，且满足在y 轴上的截距－z 最小时，即得z 的最大值，如图，可知当过点A 时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7＝0，x －3y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，即A (5，2)，则z max ＝2×5－2＝8.2作出可行域如图，令u ＝2x ＋3y ，则y ＝－23x ＋u 3，作出直线y ＝－23x ，经过平移，当经过A 点时，u 取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＝0x －y －2＝0，得A (3，1)，代入得u max ＝9，∴z max ＝10.3．：不等式组对应的平面区域如图：则对应区域为直角三角形ABC ．则三点坐标分别为A （2，3），B （4，3），C （4，5），则AB=2，BC=2，所以三角形的面积为S=×2×2=2．故选：B ．【例3】(1)解：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，225.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1，1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5，2)．(2)∵z ＝y x ＝y －0x －0，∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(3)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29. ∴2≤z ≤29. 【变式实践3】1. 作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．z ＝y －1x ＋1＝y －1x －（－1），所以z的几何意义是动点(x ，y )与定点A (－1，1)所连直线的斜率．结合图可知，z 的最小值为直线l 1的斜率，z 的最大值无限接近于直线l 2的斜率．l 1的斜率k 1＝k AB ，l 2与直线x －y ＝0平行．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x －y －2＝0，得点B 的坐标为(1，0)，k 1＝－12.∴z 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－12，1.2. 解析：选C 作出可行域，如图中阴影部分，将目标函数看作是可行域内的点到原点的距离的平方，从而可得z min ＝|OA |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|0＋0－2|12＋122＝2，z max ＝|OB |2＝32＋22＝13.故z 的取值范围为[2,13]．3．解析：画出可行域如图阴影所示，∵y x表示过点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率，∴点(x ，y )在点A 处时yx 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.∴A (1,3)．∴y x的最大值为3.答案：34．解：画出满足条件的平面区域，如图示：z=x2+y2的几何意义表示平面区域内的点到原点的距离的平方，显然A（2，1）到原点的距离最大，此时z=5，点O到直线BC的距离最小，设原点到直线x+2y﹣2=0的距离是d，则d==，故z的取值范围是：[，5]．故选：B．【例4】解析：选B 画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若z＝ax＋y的最大值为4，则最优解为x＝1，y＝1或x＝2，y＝0，经检验知x＝2，y＝0符合题意，∴2a＋0＝4，此时a＝2，故选B.【变式实践4】．1.解析：选D 由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A(0,2)，B(2,0)，C(－2，－2)，则z A＝2，z B＝－2a，z C＝2a－2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A＝z B>z C或z A＝z C>z B或z B＝z C>z A，解得a＝－1或a＝2.2．解：由z=+得y=﹣x+bz，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y=﹣x+bz，∵a≥b＞0，∴斜率k=﹣∈[﹣1，0），由图象知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由，得，即A（2，6），此时z═+=2，即，即ab﹣3a﹣b=0，故选：A．3．解：由题意作平面区域如下，，当直线l过点A（1，0）时，m=﹣3；当直线l过点B（﹣1，0）时，m=3；结合图象可知，实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞），故选：D．【例5】．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），联立，解得B（），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z分别经过A，B时，直线y=﹣2x+z在y轴上的截距有最小值和最大值，z有最小值和最大值，则，解得a=1．故选：D．【变式实践5】1．解：不等式组所围成的区域如图ABCD所示，∵其面积为1，A（2，2a+1），B（2，0），C（1，），D（1，a+1）∴S ABCD==1，解得a=．故选：B．2．解：不等式组，（a为常数）围成的区域如图所示．∵由于x，y的不等式组所表示的平面区域的面积等于3，∴×|AC|×|x A﹣x B|=3，解得|AC|=6，∴C的坐标为（1，6），由于点C在直线ax﹣y+1=0上，则a﹣6+1=0，解得a=5．故选：D．【例6】．解：作出不等式组，对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=|x+2y|，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x﹣z经过点A时，z取得最大值，此时z最大．即A（﹣2，﹣2），代入目标函数z=|x+2y|得z=2×2+2=6故选：C．【变式实践6】．解：依题画出可行域如图，可见△ABC及内部区域为可行域，令m=y﹣x，则m为直线l：y=x+m在y轴上的截距，由图知在点A（2，6）处m取最大值是4，在C（2，0）处最小值是﹣2，所以m∈[﹣2，4]，而z=|x﹣y|=|m|，所以z的最大值是4，故选：B．2/解：设z=|x|+|y|，即|y|=﹣|x|+z，即y=﹣|x|+z或y=|x|﹣z，作出不等式组对应的平面区域如图：平移y=﹣|x|+z ，当曲线y=﹣|x|+z 经过点A 时，y=﹣|x|+z 对应的截距最大，此时z 最大，由，得，即A （﹣2，8），此时z=|﹣2|+|8|=2+8=10，平移y=|x|﹣z ，当曲线y=|x|﹣z 经过点C 时，y=|x|﹣z 对应的截距最小，此时z 最大，由，得，即C （4，2），此时z=|4|+|2|=2+4=6，综上|x|+|y|的最大值为10，故选：C ．[例7]解析：选D 设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z ＝3x＋4y 经过点A (2,3)时，z 取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.【变式实践7】解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润w ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300.(2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋7y ＋4 100－x －y ≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N.整理得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N.目标函数为w ＝2x ＋3y ＋300.作出可行域．如图所示：初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，w 有最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝50，y ＝50.最优解为A (50,50)，所以w max ＝550元．所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为550元．【强化练习】1/解：画出满足条件的平面区域，如图示：由，解得：A（﹣2，2），由z=y﹣2x得；y=2x+z，由图象得直线y=2x+z过A（﹣2，2）时取到最大值，z的最大值是：6，故选：D．2/解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+3y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（4，6）．此时z的最大值为z=2×4+3×6=26，故选：D．3．解：由约束条件作出可行域如图，令z=3x﹣y，化为y=3x﹣z，由图可知，当直线y=3x﹣z过A（2，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为6．故选：D．4/解：作表示的平面区域如下，，化简z=x+3y=﹣x+z，z是直线的截距，故目标函数z=x+3y的最小值在A（1.5，0）上取得，故z=1.5；故选B．5/解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），化目标函数z=x+y﹣3为y=﹣x+z+3，由图可知，当直线y=﹣x+z+3过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为．故选：B．6/解：作出不等式组对应的平面区域，则由图象知x＞0，则设k=，则z==，则k的几何意义是区域内的点到原点的斜率，由图象知，OA的斜率最大，OC的斜率最小，由得，即A（1，2），由得，即C（，1），则OA的斜率k=2，OC的斜率k==，则≤k≤2，则≤≤，即≤≤，即的取值范围是[，]，故选：B7/解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点B时，直线y=的截距最小，此时z最小，由，得，即B（3，﹣3）此时z=3+2×（﹣3）=3﹣6=﹣3．故选：A．8．解：由题意作平面区域如下，，的几何意义是阴影内的点（x，y）与原点的连线的斜率，结合图象可知，过点A（1，2）时有最大值，此时==2，故选：C．9/解：画出满足条件的平面区域，如图示：A（3，0），C（2，1），z==1+∈[，2]，故选：A．10/解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，3），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2×2+3=7．故选：B．11/解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=的几何意义是区域内的点到定点D（2，0）的斜率，由图象知DO的斜率最小，此时最小值为0，故选：D．12解：作出约束条件表示的可行域如图：。

线性规划经典例题

线性规划经典例题一、问题描述某公司生产两种产品A和B，每个产品的单位利润分别为10元和15元。

公司有两个生产部门，分别为部门X和部门Y。

部门X每天能生产产品A和产品B各100个，部门Y每天能生产产品A和产品B各80个。

公司每天的销售需求是产品A和产品B各120个。

为了最大化公司的利润，应该如何安排生产部门的生产量？二、问题分析该问题可以转化为一个线性规划问题。

线性规划是一种优化问题，目标是在给定的约束条件下，寻找使目标函数达到最大（或最小）值的变量取值。

三、数学建模1. 定义变量：设部门X生产的产品A数量为x1，产品B数量为x2；设部门Y生产的产品A数量为y1，产品B数量为y2。

2. 建立目标函数：目标函数为最大化利润，即max Z = 10x1 + 15x2 + 10y1 + 15y23. 建立约束条件：a) 部门X每天能生产产品A和产品B各100个，部门Y每天能生产产品A 和产品B各80个，即x1 + y1 ≤ 100x2 + y2 ≤ 80b) 公司每天的销售需求是产品A和产品B各120个，即x1 + x2 + y1 + y2 ≥ 120c) 非负约束条件，即x1, x2, y1, y2 ≥ 04. 求解线性规划问题：将目标函数和约束条件代入线性规划模型，使用线性规划求解方法求解得到最优解。

四、数学求解将目标函数和约束条件代入线性规划模型，得到如下数学模型：max Z = 10x1 + 15x2 + 10y1 + 15y2s.t.x1 + y1 ≤ 100x2 + y2 ≤ 80x1 + x2 + y1 + y2 ≥ 120x1, x2, y1, y2 ≥ 0使用线性规划求解方法，例如单纯形法，求解上述线性规划问题，得到最优解为：x1 = 80，x2 = 40，y1 = 20，y2 = 40最大利润为：Z = 10 * 80 + 15 * 40 + 10 * 20 + 15 * 40 = 2900元五、结果分析根据数学求解的结果，为了最大化公司的利润，应该安排部门X生产产品A 80个，产品B 40个，部门Y生产产品A 20个，产品B 40个。

线性规划题型整理与例题(含答案)

积储知识：一． 1.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+By0+C=02. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax0+By0+C>0;当B<0时，Ax0+By0+C<03. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax0+By0+C<0;当B<0时，Ax0+By0+C>0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同, （2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反, 即：1.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax1+By1+C）(Ax2+By2+C)>02.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)<0二.二元一次不等式表示平面区域:①二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不．包括边界;②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线.三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,当C≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。

八种经典线性规划例题

一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A二、求可行域的面积例2、不等式组260302x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件5503x yx yx+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选 D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件220240330x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2C、13，45D、解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为45，选 C六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（）A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2x－y＋m|＜3等价于230 230 x y mx y m-++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330mm+>⎧⎨-<⎩,故0＜m＜3，选 C七·比值问题当目标函数形如y az x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。

八种经典线性规划例题最全总结(经典)

线性规划典型例题和归纳

解：设每天生产甲产品x吨，乙产品y吨，可得产值z千元。
目的函数为：z＝7x＋9y
4x 6 y 180 线性约束条件为： 3x 6 y 150
5x 3y 150
画出可行域如图：
画出直线7x+9y=0 并平移得点P使Z最小。
求出点P 为 (150 ,100)
77
所以每天生产甲产品 150吨，乙产品100 吨时，
效益最大。
7
7
x y 6 0
例4 已知 x , y 满足不等式 x y 0 ,
y
6
x 3
x y 0
4
A
x y6 0
C
求：(1). z y 3 旳范围;
x
2
6
4
2
O
2
4x
(2).
z
y x
2 1
旳范围.
2
Q
B
x3
解: (1) z y 3 表达可行域内任一点与定点Q（0,-3）连线旳斜率,
x ≥ 1.
解：画出可行域如图：
(1)若z线 2x+y=0 并平移得点A使Z最大，点B使Z最小。
由 x 4 y 3 0求出A 为（5,2)。
3x 5y 25 0
x 1 由 x 4 y 3 0 求出B为（1，1)。
Zmax 2 5 2 12, Zmin 2 1 1 3.
足维生素旳需要量，并能取得最大量旳维
• 作出不等式组表达旳平面区域如图所示，
• 作出5x＋2y＝0. • 把直线向右上方平移，直线经过可行域上
旳点M时，z＝5x＋2y取得最大值．
x y ≥ 0,
【6】已知x,
y满足
x
y
≤ 1,

线性规划经典例题及详细解析

一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题1. 设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为。

二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题2. 已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是。

3. 已知变量x ，y 满足约束条件+201-70x y x x y -≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则 yx的取值范围是（）.A. [95，6]B.（－∞，95]∪[6，＋∞）C.（－∞，3]∪[6，＋∞）D. [3，6] 三、研究线性规划中的整点最优解问题4. 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值是。

四、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题5. 已知变量x ，y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩。

若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为。

6. 已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+a y (a >0) 取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为（）A. －3B. 3C. －1D. 1五、求可行域的面积7. 不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（）A. 4B. 1C. 5D. 无穷大图1解析：1.如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z最大值为18。

图22. 如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而22x y +表示可行域内一点到原点的距离的平方。

由图易知A （1，2）是满足条件的最优解。

22x y +的最小值是为5。

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