八种经典线性规划例题最全总结[经典]
线性规划问题求解例题和知识点总结
线性规划问题求解例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
在经济管理、交通运输、工农业生产等领域都有着广泛的应用。
下面我们通过一些具体的例题来深入理解线性规划问题，并对相关知识点进行总结。
一、线性规划的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值的问题。
其数学模型一般可以表示为：目标函数：＄Z ＝ c_1x_1 ＋ c_2x_2 ＋＼cdots ＋ c_nx_n$约束条件：＄＼begin{cases}a_{11}x_1 ＋ a_{12}x_2 ＋＼cdots ＋a_{1n}x_n ＼leq b_1 ＼＼ a_{21}x_1 ＋ a_{22}x_2 ＋＼cdots ＋a_{2n}x_n ＼leq b_2 ＼＼＼cdots ＼＼ a_{m1}x_1 ＋ a_{m2}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{mn}x_n ＼leq b_m ＼＼ x_1, x_2, ＼cdots, x_n ＼geq0\end{cases}＄其中，＄x_1, x_2, ＼cdots, x_n$是决策变量，＄c_1, c_2, ＼cdots, c_n$是目标函数的系数，＄a_{ij}＄是约束条件的系数，＄b_1, b_2, ＼cdots, b_m$是约束条件的右端项。
二、线性规划问题的求解方法常见的求解线性规划问题的方法有图解法和单纯形法。
1、图解法适用于只有两个决策变量的线性规划问题。
步骤如下：画出直角坐标系。
画出约束条件所对应的直线。
确定可行域（满足所有约束条件的区域）。
画出目标函数的等值线。
移动等值线，找出最优解。
例如，求解线性规划问题：目标函数：＄Z ＝ 2x ＋ 3y$约束条件：＄＼begin{cases}x ＋ 2y ＼leq 8 ＼＼ 2x ＋ y ＼leq 10 ＼＼ x ＼geq 0, y ＼geq 0\end{cases}＄首先，画出约束条件对应的直线：＄x ＋ 2y ＝ 8$，＄2x ＋ y ＝10$，以及$x ＝ 0$，＄y ＝ 0$。
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述某公司生产两种产品A和B，产品A每单位售价为10元，产品B每单位售价为15元。
公司有两个生产车间，分别称为车间1和车间2。
每天车间1可生产产品A 4个单位或者产品B 6个单位，车间2可生产产品A 3个单位或者产品B 2个单位。
公司每天可提供的生产时间为8小时。
每一个单位产品A的生产时间为1小时，产品B的生产时间为2小时。
每天的总生产成本为生产产品A的数量乘以5元，生产产品B的数量乘以4元。
公司希翼在满足生产能力和时间限制的前提下，最大化每天的总利润。
二、数学建模1. 定义变量设x为每天生产的产品A的数量（单位：个），y为每天生产的产品B的数量（单位：个）。
2. 建立目标函数目标函数为最大化每天的总利润。
总利润等于每天销售产品A的收入减去生产成本，再加之每天销售产品B的收入减去生产成本。
由此可得目标函数：Maximize Z = 10x + 15y - 5x - 4y化简得：Maximize Z = 5x + 11y3. 建立约束条件（1）车间1每天可生产的产品A的数量为4个单位或者产品B的数量为6个单位，即约束条件为：4x + 6y ≤ 8（2）车间2每天可生产的产品A的数量为3个单位或者产品B的数量为2个单位，即约束条件为：3x + 2y ≤ 8（3）每天的生产时间为8小时，每一个单位产品A的生产时间为1小时，产品B的生产时间为2小时，即约束条件为：x + 2y ≤ 8（4）生产数量不能为负数，即约束条件为：x ≥ 0, y ≥ 04. 整理数学模型综合以上信息，得到线性规划的数学模型如下：Maximize Z = 5x + 11ySubject to:4x + 6y ≤ 83x + 2y ≤ 8x + 2y ≤ 8x ≥ 0, y ≥ 0三、求解线性规划问题可以使用线性规划求解方法，如单纯形法或者内点法，求解以上线性规划问题，得到最优解。
根据求解结果，可以得到最大利润为XXX元，此时每天生产产品A的数量为XXX个，每天生产产品B的数量为XXX个。
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述我们考虑一个典型的线性规划问题，假设有一个工厂需要生产两种产品：产品A和产品B。
工厂有两个生产车间：车间1和车间2。
生产产品A需要在车间1和车间2进行加工，而生产产品B只需要在车间2进行加工。
每一个车间的加工时间和加工费用都是不同的。
我们的目标是找到最佳的生产计划，使得总的加工时间和加工费用最小。
二、问题分析1. 定义变量：- x1：在车间1生产产品A的数量- x2：在车间2生产产品A的数量- y：在车间2生产产品B的数量2. 定义目标函数：目标函数是最小化总的加工时间和加工费用。
假设车间1生产产品A的加工时间为t1，车间2生产产品A的加工时间为t2，车间2生产产品B的加工时间为t3，车间1生产产品A的加工费用为c1，车间2生产产品A的加工费用为c2，车间2生产产品B的加工费用为c3，则目标函数可以表示为：Z = t1 * x1 + t2 * x2 + t3 * y + c1 * x1 + c2 * x2 + c3 * y3. 约束条件：- 车间1生产产品A的数量不能超过车间1的生产能力：x1 <= capacity1- 车间2生产产品A的数量不能超过车间2的生产能力：x2 <= capacity2- 车间2生产产品B的数量不能超过车间2的生产能力：y <= capacity2 - 产品A的总需求量必须满足：x1 + x2 >= demandA- 产品B的总需求量必须满足：y >= demandB4. 线性规划模型：综上所述，我们可以建立如下的线性规划模型：最小化 Z = t1 * x1 + t2 * x2 + t3 * y + c1 * x1 + c2 * x2 + c3 * y满足约束条件：- x1 <= capacity1- x2 <= capacity2- y <= capacity2- x1 + x2 >= demandA- y >= demandB- x1, x2, y >= 0三、数据和解决方案为了展示如何求解该线性规划问题，我们假设以下数据：- 车间1的生产能力为100个产品A- 车间2的生产能力为150个产品A和100个产品B- 产品A的总需求量为200个- 产品B的总需求量为80个- 车间1生产产品A的加工时间为2小时，加工费用为10元/个- 车间2生产产品A的加工时间为1小时，加工费用为8元/个- 车间2生产产品B的加工时间为3小时，加工费用为15元/个根据以上数据，我们可以得到线性规划模型如下：最小化 Z = 2 * x1 + 1 * x2 + 3 * y + 10 * x1 + 8 * x2 + 15 * y满足约束条件：- x1 <= 100- x2 <= 150- y <= 100- x1 + x2 >= 200- y >= 80- x1, x2, y >= 0接下来，我们可以使用线性规划求解器来求解该问题。
线性规划例题和知识点总结
线性规划例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛且方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
下面通过一些例题来帮助大家更好地理解线性规划，并对相关知识点进行总结。
一、线性规划的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值问题。
线性约束条件通常是由一组线性等式或不等式组成。
例如：＄2x ＋3y ≤ 12$，＄x y ≥ 1$等。
目标函数一般表示为$Z ＝ ax ＋ by$的形式，其中$a$、＄b$为常数，＄x$、＄y$为决策变量。
可行解是满足所有约束条件的解，可行域是所有可行解构成的集合。
最优解则是使目标函数达到最大值或最小值的可行解。
二、线性规划的例题例 1：某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲产品 1 件需消耗 A原料 3 千克、B 原料 2 千克；生产乙产品 1 件需消耗 A 原料 2 千克、B 原料 4 千克。
A 原料有 12 千克，B 原料有 16 千克。
甲产品每件利润为 5 元，乙产品每件利润为 8 元，问该工厂应如何安排生产，才能使利润最大？设生产甲产品$x$件，生产乙产品$y$件。
则约束条件为：＄＼begin{cases}3x ＋2y ≤ 12 ＼＼ 2x ＋4y ≤ 16 ＼＼x ≥ 0, y ≥0\end{cases}＄目标函数为$Z ＝ 5x ＋ 8y$画出可行域，通过解方程组找到可行域的顶点坐标，分别代入目标函数计算，可得当$x ＝ 2$，＄y ＝ 3$时，利润最大为$34$元。
例 2：某运输公司有两种货车，每辆大型货车可载货 8 吨，每辆小型货车可载货 5 吨。
现要运输 60 吨货物，且大型货车的使用成本为每次 100 元，小型货车的使用成本为每次 60 元，问如何安排车辆才能使运输成本最低？设使用大型货车$x$辆，小型货车$y$辆。
约束条件为：＄＼begin{cases}8x ＋5y ≥ 60 ＼＼x ≥ 0, y ≥ 0\end{cases}＄目标函数为$Z ＝ 100x ＋ 60y$画出可行域，计算顶点坐标代入目标函数，可知当$x ＝ 5$，＄y ＝4$时，成本最低为$740$元。
线性规划例题和知识点总结
线性规划例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
在实际生活中，有很多问题都可以通过线性规划来解决，比如资源分配、生产计划、运输调度等。
下面我们通过一些具体的例题来深入理解线性规划，并对相关知识点进行总结。
一、线性规划的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值。
线性规划的数学模型通常可以表示为：目标函数：＄Z ＝ c_1x_1 ＋ c_2x_2 ＋＼cdots ＋ c_nx_n$约束条件：＄＼begin{cases}a_{11}x_1 ＋ a_{12}x_2 ＋＼cdots ＋a_{1n}x_n ＼leq b_1 ＼＼ a_{21}x_1 ＋ a_{22}x_2 ＋＼cdots ＋a_{2n}x_n ＼leq b_2 ＼＼＼cdots ＼＼ a_{m1}x_1 ＋ a_{m2}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{mn}x_n ＼leq b_m ＼＼ x_1, x_2, ＼cdots, x_n ＼geq0\end{cases}＄其中，＄x_1, x_2, ＼cdots, x_n$是决策变量，＄c_1, c_2, ＼cdots, c_n$是目标函数的系数，＄a_{ij}＄是约束条件的系数，＄b_i$是约束条件的右端项。
二、线性规划的解题步骤1、建立数学模型：根据实际问题，确定决策变量、目标函数和约束条件。
2、画出可行域：将约束条件在直角坐标系中表示出来，得到可行域。
3、求出最优解：在可行域内，通过寻找目标函数的等值线与可行域边界的交点，求出最优解。
三、例题分析例 1：某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产 1 单位甲产品需要消耗 A 资源 2 单位，B 资源 3 单位，可获利 5 万元；生产 1 单位乙产品需要消耗 A 资源 3 单位，B 资源 2 单位，可获利 4 万元。
现有 A 资源12 单位，B 资源 10 单位，问如何安排生产，才能使工厂获得最大利润？解：设生产甲产品$x_1$单位，生产乙产品$x_2$单位。
八种经典线性规划例题(超实用)
线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、 若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y 的取值范围是 （ ）A 、[2,6]B 、[2,5]C 、[3,6]D 、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值 2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选 A二、求可行域的面积例2、不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为 （ ）A 、4B 、1C 、5D 、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选 B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0)x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为 （ ） A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay (a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选 D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是（ ）A 、13，1B 、13，2C 、13，45D 、5解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为45，选 C 六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是 （ ） A 、（-3,6） B 、（0,6） C 、（0,3） D 、（-3,3）解：|2x －y ＋m|＜3等价于230230x y m x y m -++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩ ,故0＜m ＜3，选 C七·比值问题当目标函数形如y az x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
线性规划例题集锦
A
B
O1
5
x=1
2x+y=0
3x+5y-25=0
x
(2)若z=2x-y,求z的最值.
解：画出可行域如图：
画直线2x-y=0并平移得点A使Z最大，点 C使Z最小。
x 4y 3 0
由
可得A为（5,2）
3x 5y 25 0
4
A
2
6
4
2
O
2
4x
R
2
B
x3
此类问题转化为可行域内的点到定点的斜率.
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x y 6 0
例3 已知 x, y 满足不等式 x y 0 ,
y
6
x 3
x y 0
4
A
求：(1). z x2 y2最大值和最小值;
2
(2). z x2 2x y2最大值和最小值;
6
4
2
O
2
解: (1) z x2 y2 表示可行域内任一点
x
因为kQA 2 , kQB 0,
z 所以 的范围为 ( , 2][0, ).
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(2).z y 2 表示可行域内任一点与定点
x 1
R（-1,-2）连线的斜率,
因为
kRA
5 2
,
kRB
1 2
,
z 所以 的范围为( , 5][ 1 , ). 22
点评：
x y6 0
C
y
6
x y 0
（x,y)到原点的距离的由平图方可，得点A使Z
最大，点B 使Z最小。
线性规划经典例题
线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件222xyx y，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A二、求可行域的面积例2、不等式组260302x yx yy表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBCxyO 22x=2y =2x + y =2BA2x + y –6= 0= 5x＋y – 3 = 0OyxABCMy =2的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件5503x yx yx，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1xyOx + y = 5x – y + 5 = 0Oyxx=3解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选 D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件220240330x yx yx y，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2C、13，45D、13，255解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为45，选 C六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（）A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2x－y＋m|＜3等价于230 230 x y mx y m由右图可知3330mm,故0＜m＜3，选 CO2x – y = 0y2x – y + 3 = 02x + y - 2= 0= 5x – 2y + 4 = 03x – y – 3 = 0OyxA七·比值问题当目标函数形如y a zxb时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述某工厂生产两种产品A和B，产品A每单位利润为10元，产品B每单位利润为8元。
工厂有两个车间，分别是车间1和车间2。
每天车间1生产A产品需要2小时，B产品需要1小时；车间2生产A产品需要1小时，B产品需要3小时。
每天车间1的工作时间为8小时，车间2的工作时间为10小时。
工厂需要决定每天在两个车间分别生产多少单位的A和B产品，以最大化利润。
二、数学模型设每天在车间1生产的A产品单位数为x1，B产品单位数为y1；车间2生产的A产品单位数为x2，B产品单位数为y2。
根据题目要求，可以得到以下约束条件：车间1的工作时间约束：2x1 + 1y1 ≤ 8车间2的工作时间约束：1x2 + 3y2 ≤ 10产品A的产量约束：x1 + x2 ≤ A总产量产品B的产量约束：y1 + y2 ≤ B总产量非负约束：x1, y1, x2, y2 ≥ 0目标函数为利润的最大化：10x1 + 8y1 + 10x2 + 8y2三、求解过程1. 确定决策变量和目标函数决策变量：x1, y1, x2, y2目标函数：10x1 + 8y1 + 10x2 + 8y22. 确定约束条件车间1的工作时间约束：2x1 + 1y1 ≤ 8车间2的工作时间约束：1x2 + 3y2 ≤ 10产品A的产量约束：x1 + x2 ≤ A总产量产品B的产量约束：y1 + y2 ≤ B总产量非负约束：x1, y1, x2, y2 ≥ 03. 求解最优解利用线性规划求解方法，将目标函数和约束条件输入线性规划求解器，得到最优解。
四、数值计算与结果分析假设A总产量为100单位，B总产量为80单位。
将上述条件带入线性规划求解器，得到最优解如下：x1 = 20，y1 = 0，x2 = 60，y2 = 20根据最优解，工厂每天在车间1生产20单位的A产品，不生产B产品；在车间2生产60单位的A产品和20单位的B产品。
此时，工厂的利润最大化为：10 * 20 + 8 * 0 + 10 * 60 + 8 * 20 = 1160 元。
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述某公司生产两种产品A和B，每种产品的生产需要消耗不同的资源，且每种产品的利润也不同。
公司希望通过线性规划来确定生产计划，以最大化利润。
二、数据分析1. 资源消耗情况：- 产品A每单位需要消耗3个资源1和2个资源2；- 产品B每单位需要消耗2个资源1和4个资源2。
2. 利润情况：- 产品A每单位利润为10；- 产品B每单位利润为15。
3. 资源限制：- 资源1的总量为30个；- 资源2的总量为40个。
三、数学建模1. 定义变量：- 设生产的产品A数量为x，产品B数量为y。
2. 建立目标函数：- 目标函数为最大化利润，即Maximize Z = 10x + 15y。
3. 建立约束条件：- 资源1的消耗约束：3x + 2y ≤ 30；- 资源2的消耗约束：2x + 4y ≤ 40；- 非负约束：x ≥ 0，y ≥ 0。
四、求解将目标函数和约束条件带入线性规划模型，使用合适的求解方法，例如单纯形法、内点法等，求解得到最优解。
五、结果分析根据求解结果，得到最优解为x = 6，y = 6，此时利润最大为Z = 150。
意味着公司应该生产6个产品A和6个产品B，才能达到最大利润。
六、敏感性分析为了进一步了解模型的稳定性和可行性，可以进行敏感性分析。
通过改变资源数量、利润等参数，观察最优解的变化情况，以评估模型的可行性和鲁棒性。
七、结论根据线性规划模型的求解结果和敏感性分析，可以得出以下结论：- 公司应该生产6个产品A和6个产品B，以达到最大利润。
- 如果资源数量发生变化，最优解可能会有所调整。
- 如果产品利润发生变化，最优解也会相应变化。
综上所述，通过线性规划模型，我们可以帮助公司制定最优的生产计划，以达到最大利润。
同时，敏感性分析可以提供决策者对模型的可行性和鲁棒性的评估，为决策提供参考依据。
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述某工厂生产两种产品A和B，每单位产品A需要2个工时和3个材料单位，每单位产品B需要3个工时和2个材料单位。
已知该工厂每天有40个工时和50个材料单位可用。
产品A的利润为每单位100元，产品B的利润为每单位80元。
问该工厂应该生产多少单位的产品A和产品B才能使利润最大化？二、数学建模1. 假设生产产品A的单位数量为x，生产产品B的单位数量为y。
2. 根据题目要求，可以得到以下约束条件：- 工时约束：2x + 3y ≤ 40- 材料约束：3x + 2y ≤ 50- 非负约束：x ≥ 0，y ≥ 03. 目标函数：利润最大化，即最大化目标函数 Z = 100x + 80y。
三、标准格式的线性规划模型最大化目标函数：Z = 100x + 80y约束条件：2x + 3y ≤ 403x + 2y ≤ 50x ≥ 0，y ≥ 0四、求解方法可以使用线性规划的求解方法，如单纯形法或者求解器进行求解。
以下是使用求解器求解的步骤：1. 打开线性规划求解器，输入目标函数和约束条件。
2. 设置目标为最大化。
3. 添加约束条件：2x + 3y ≤ 40，3x + 2y ≤ 50，x ≥ 0，y ≥ 0。
4. 点击求解按钮，得到最优解及最优值。
5. 解释结果并作出决策。
五、求解结果与决策分析经过求解器计算，得到最优解为x = 10，y = 10，最优值为Z = 1800。
根据最优解，该工厂应该生产10个单位的产品A和10个单位的产品B，才能使利润最大化，最大利润为1800元。
六、敏感性分析对于该线性规划问题，我们可以进行敏感性分析来了解目标函数系数的变化对最优解的影响。
1. 目标函数系数变化：- 如果产品A的利润系数从100变为110，产品B的利润系数从80变为90，重新求解得到新的最优解为x = 10，y = 10，最优值为Z = 2000。
可以看出，利润系数的变化对最优解有一定的影响，但最优解仍然是生产10个单位的产品A和10个单位的产品B。
线性规划经典例题
线性规划经典例题引言概述：线性规划是一种数学优化方法，被广泛应用于经济、管理、工程等领域。
本文将介绍几个经典的线性规划例题，通过这些例题的详细阐述，匡助读者更好地理解线性规划的原理和应用。
一、背包问题1.1 背包问题的定义和目标1.2 线性规划模型的建立1.3 求解背包问题的方法二、产销平衡问题2.1 产销平衡问题的背景和目标2.2 线性规划模型的建立2.3 求解产销平衡问题的方法三、投资组合问题3.1 投资组合问题的定义和目标3.2 线性规划模型的建立3.3 求解投资组合问题的方法四、生产计划问题4.1 生产计划问题的背景和目标4.2 线性规划模型的建立4.3 求解生产计划问题的方法五、运输问题5.1 运输问题的定义和目标5.2 线性规划模型的建立5.3 求解运输问题的方法正文内容：一、背包问题1.1 背包问题是指在给定的一组物品中，选择一些物品放入背包中，使得背包的总分量不超过限定值，同时使得背包中物品的总价值最大化。
1.2 线性规划模型可以通过引入决策变量和约束条件来描述背包问题。
决策变量表示选择放入背包的物品，约束条件包括背包总分量不超过限定值以及每一个物品的数量限制。
1.3 求解背包问题可以使用线性规划的求解算法，如单纯形法或者内点法。
通过对目标函数和约束条件进行线性化处理，可以将背包问题转化为标准的线性规划问题进行求解。
二、产销平衡问题2.1 产销平衡问题是指在给定的一组产品和市场需求的情况下，确定各个产品的生产量和销售量，使得总利润最大化。
2.2 线性规划模型可以通过引入决策变量和约束条件来描述产销平衡问题。
决策变量表示各个产品的生产量和销售量，约束条件包括生产能力限制和市场需求限制。
条件进行线性化处理，可以将产销平衡问题转化为标准的线性规划问题进行求解。
三、投资组合问题3.1 投资组合问题是指在给定的一组投资标的中，确定各个标的的投资金额，使得投资组合的风险最小或者收益最大。
3.2 线性规划模型可以通过引入决策变量和约束条件来描述投资组合问题。
最新八种 经典线性规划例题(超实用)
线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A二、求可行域的面积例2、不等式组260302x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件5503x yx yx+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选 D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件220240330x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2C、13，45D、解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为45，选 C六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（）A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2x－y＋m|＜3等价于230 230x y mx y m-++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩ ,故0＜m ＜3，选 C七·比值问题当目标函数形如y az x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述某公司生产两种产品A和B，每个产品的生产需要消耗不同的资源。
现在公司希望通过线性规划来确定每种产品的生产数量，以最大化利润。
已知产品A每个单位的利润为10元，产品B每个单位的利润为15元。
同时，产品A每个单位需要消耗2个资源X和3个资源Y，产品B每个单位需要消耗4个资源X和1个资源Y。
公司总共有40个资源X和30个资源Y可供使用。
二、数学建模1. 假设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。
2. 目标函数：最大化利润。
利润可以表示为10x + 15y。
3. 约束条件：a) 资源X的约束条件：2x + 4y ≤ 40b) 资源Y的约束条件：3x + y ≤ 30c) 非负约束条件：x ≥ 0，y ≥ 0三、求解过程1. 根据数学建模中的目标函数和约束条件，可以得到如下线性规划模型：最大化：10x + 15y约束条件：2x + 4y ≤ 403x + y ≤ 30x ≥ 0，y ≥ 02. 使用线性规划求解方法，可以得到最优解。
通过计算，得到最优解为x = 6，y = 6，利润最大化为180元。
四、结果分析根据最优解，可以得知最大利润为180元，其中产品A的生产数量为6个，产品B的生产数量为6个。
同时，资源X还剩余28个，资源Y还剩余24个。
五、灵敏度分析对于线性规划问题，灵敏度分析可以帮助我们了解目标函数系数和约束条件右端项的变化对最优解的影响。
1. 目标函数系数的变化：a) 如果产品A的利润提高到12元，产品B的利润保持不变，重新求解线性规划模型可以得到新的最优解。
新的最优解为x = 8，y = 4，利润最大化为168元。
b) 如果产品A的利润保持不变，产品B的利润提高到20元，重新求解线性规划模型可以得到新的最优解。
新的最优解为x = 4，y = 7，利润最大化为190元。
2. 约束条件右端项的变化：a) 如果资源X的数量增加到50个，资源Y的数量保持不变，重新求解线性规划模型可以得到新的最优解。
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述某工厂生产两种产品A和B，每天可用的原料有限，而每种产品的制造需要不同数量的原料。
产品A每单位利润为10元，产品B每单位利润为8元。
产品A每天的制造时间为6小时，产品B每天的制造时间为4小时。
已知制造一个单位的产品A需要2小时，而制造一个单位的产品B需要1小时。
工厂的目标是最大化每天的利润。
二、数学建模1. 定义变量：- x1: 每天制造的产品A的单位数量- x2: 每天制造的产品B的单位数量2. 建立目标函数：目标函数为最大化每天的利润，即：Maximize Z = 10x1 + 8x23. 建立约束条件：- 原料的限制：每天可用的原料有限，产品A每单位需要2单位原料，产品B每单位需要3单位原料。
因此，原料的约束条件为：2x1 + 3x2 ≤ 原料数量- 时间的限制：每天的制造时间有限，产品A每单位需要2小时制造，产品B每单位需要1小时制造。
因此，时间的约束条件为：2x1 + x2 ≤ 制造时间- 非负约束：每天制造的产品数量不能为负数，因此，非负约束条件为：x1 ≥ 0x2 ≥ 0三、求解线性规划问题利用线性规划的求解方法，可以求解出最优解。
1. 图形法：通过绘制约束条件的直线或曲线，找到目标函数的最大值所在的区域。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的方法。
通过迭代计算，找到目标函数的最大值所在的点。
四、数值计算为了方便计算，我们假设原料数量为20单位，制造时间为10小时。
1. 图形法：绘制约束条件的直线或曲线，找到目标函数的最大值所在的区域。
在本例中，约束条件的直线为：2x1 + 3x2 ≤ 202x1 + x2 ≤ 10绘制直线后，找到目标函数的最大值所在的区域。
2. 单纯形法：利用单纯形法，可以求解出最优解。
根据约束条件和目标函数，可以构建如下的单纯形表格：| 基变量 | x1 | x2 | 原料数量 | 制造时间 | 目标函数 ||--------|----|----|----------|----------|---------|| x3 | 0 | 0 | 20 | 10 | 0 || x1 | 1 | 0 | 2 | 2 | 10 || x2 | 0 | 1 | 3 | 1 | 8 |通过迭代计算，可以得到最优解为：x1 = 5x2 = 0最大利润为：50元五、结果分析根据数值计算的结果，最优解为每天制造5个单位的产品A，不制造产品B，可以获得最大利润为50元。
线性规划题型整理与例题(含答案)
积储知识：一． 1.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+By0+C=02. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax0+By0+C>0;当B<0时，Ax0+By0+C<03. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax0+By0+C<0;当B<0时，Ax0+By0+C>0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同, （2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反, 即：1.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax1+By1+C）(Ax2+By2+C)>02.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)<0二.二元一次不等式表示平面区域:①二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不．包括边界;②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线.三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,当C≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。
八种经典线性规划例题
线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A二、求可行域的面积例2、不等式组260302x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件5503x yx yx+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选 D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件220240330x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2C、13，45D、解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为45，选 C六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（）A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2x－y＋m|＜3等价于230 230 x y mx y m-++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330mm+>⎧⎨-<⎩,故0＜m＜3，选 C七·比值问题当目标函数形如y az x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
线性规划题及答案
线性规划题及答案引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于在给定约束条件下寻找使目标函数最大或最小的变量值。
在实际生活和工作中，线性规划经常被应用于资源分配、生产计划、运输问题等方面。
本文将介绍一些常见的线性规划题目，并给出相应的答案。
一、资源分配问题1.1 约束条件：某公司有两种产品A和B，生产一单位产品A需要耗费2个单位的资源X和1个单位的资源Y，生产一单位产品B需要耗费1个单位的资源X和3个单位的资源Y。
公司每天可用资源X和资源Y分别为10个单位和12个单位。
假设产品A的利润为3万元，产品B的利润为4万元，问如何分配资源才能使公司利润最大化？1.2 目标函数：设生产产品A的单位数为x，生产产品B的单位数为y，则目标函数为Maximize 3x + 4y。
1.3 答案：通过线性规划计算，最优解为生产产品A 4个单位，生产产品B 2个单位，公司利润最大化为20万元。
二、生产计划问题2.1 约束条件：某工厂生产两种产品C和D，生产一单位产品C需耗费2个单位的资源M和3个单位的资源N，生产一单位产品D需耗费4个单位的资源M和2个单位的资源N。
工厂每天可用资源M和资源N分别为8个单位和10个单位。
产品C的利润为5万元，产品D的利润为6万元，问如何安排生产计划以最大化利润？2.2 目标函数：设生产产品C的单位数为x，生产产品D的单位数为y，则目标函数为Maximize 5x + 6y。
2.3 答案：经过线性规划计算，最佳生产计划为生产产品C 2个单位，生产产品D 2个单位，工厂利润最大化为22万元。
三、运输问题3.1 约束条件：某公司有三个仓库分别存储产品E、F和G，每个仓库的存储容量分别为100、150和200个单位。
产品E、F和G的单位运输成本分别为2元、3元和4元，需求量分别为80、120和150个单位。
问如何安排运输计划以最小化总成本？3.2 目标函数：设从仓库i运输产品j的单位数为xij，则目标函数为Minimize2x11 + 3x12 + 4x13 + 2x21 + 3x22 + 4x23 + 2x31 + 3x32 + 4x33。
八种经典线性规划例题最全总结(经典)
线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、若x 、y 满足约束条件，则z=x+2y 的取值范围是 （ ）A 、[2,6]B 、[2,5]C 、[3,6]D 、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选A二、求可行域的面积例2、不等式组表示的平面区域的面积为 （ ）A 、4B 、1C 、5D 、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个解：|x|＋|y|≤2等价于作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0)x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x 、y 满足以下约束条件，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为 （ ） A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x 、y 满足以下约束条件 ，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是（ ）A 、13，1B 、13，2C 、13，D 、，解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为，选C 六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是 （ ）A 、（-3,6）B 、（0,6）C 、（0,3）D 、（-3,3）解：|2x －y ＋m|＜3等价于由右图可知 ,故0＜m ＜3，选C5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩4545230230x y m x y m -++>⎧⎨-+-<⎩3330m m +>⎧⎨-<⎩七、比值问题当目标函数形如时,可把z 看作是动点与定点连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
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线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A二、求可行域的面积例2、不等式组260302x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件5503x yx yx+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选 D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件220240330x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2C、13，45D、解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为45，选 C六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（）A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2x－y＋m|＜3等价于230 230x y mx y m-++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330mm+>⎧⎨-<⎩,故0＜m＜3，选C七、比值问题当目标函数形如y az x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
例 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，则 yx 的取值范围是（ ）.（A ）[95，6] （B ）（－∞，95]∪[6，＋∞） （C ）（－∞，3]∪[6，＋∞） （D ）[3，6] 解析 yx是可行域内的点M （x ，y ）与原点O（0，0）连线的斜率，当直线OM 过点（52，92）时，yx 取得 最小值95；当直线OM 过点（1，6）时，yx取得最大值6. 答案A八、线性规划应用例1、某工厂利用两种燃料生产三种不同的产品A 、B 、C ，每消耗一吨燃料与产品A 、B 、C 有下列关系：现知每吨燃料甲与燃料乙的价格之比为3:2，现需要三种产品A 、B 、C 各50吨、63吨、65吨．问如何使用两种燃料，才能使该厂成本最低？分析：由于该厂成本与两种燃料使用量有关，而产品A 、B 、C 又与这两种燃料有关，且这三种产品的产量也有限制，因此这是一道求线性目标函数在线性约束条件下的最小值问题，这类简单的线性规划问题一般都可以利用二元一次不等式求在可行域上的最优解．解：设该厂使用燃料甲x 吨，燃料乙y 吨，甲每吨t 2元，则成本为)32(32y x t ty tx z +=+=．因此只须求y x 32+的最小值即可．又由题意可得x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥+≥+.65135,6397,50510y x y x y x作出不等式组所表示的平面区域（如图）由⎩⎨⎧=+=+.6397,50510y x y x 得)1156,1127(A 由⎩⎨⎧=+=+.65135,6397y x y x 得)2370,23117(B 作直线032=+y x l ：，把直线l 向右上方平移至可行域中的点B 时， 234442370323117232=⨯+⨯=+=y x z ．∴最小成本为t 23444．答：应用燃料甲23117吨，燃料乙2370吨，才能使成本最低．说明：本题中燃料的使用不需要是整数吨，若有些实际应用问题中的解是整数解，又该如何来考虑呢？例2、 咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉9克、咖啡4克、糖3克，乙种饮料每杯含奶粉4克、咖啡5克、糖10克．已知每天原料的使用限额为奶粉3600克、咖啡2000克、糖3000克．如果甲种饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大？分析：这是一道线性规划的应用题，求解的困难在于从实际问题中抽象出不等式组．只要能正确地抽象出不等式组，即可得到正确的答案．解：设每天配制甲各饮料x 杯、乙种饮料y 杯可获得最大利润，利润总额为z 元． 由条件知：y x z 2.17.0==．变量x 、y 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+.0,0,3000103,200054,360049y x y x y x y x作出不等式组所表示的可行域（如图）作直线02.17.0=+y x l ：，把直线l 向右上方平移至经过A 点的位置时，y x z 2.17.0+=取最大值． 由方程组：⎩⎨⎧=-+=-+.0200054,03000103y x y x得A 点坐标)240,200(A ．答：应每天配制甲种饮料200杯，乙种饮料240杯方可获利最大．高考真题练习1.（2010年浙江理7）若实数x ，y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩且x y +的最大值为9，则实数m =（A ）2- （B ）1- （C ）1 （D ）2解析：将最大值转化为y 轴上的截距，将m 等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选C ，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题2.(2009年陕西理11)若x ，y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，目标函数2z ax y =+仅在点（1，0）处取得最小值，则a 的取值范围是(A) （1-，2 ） (B) （4-，2 ） (C) (4,0]- (D) (2,4)- 答案：B 解析：根据图像判断，目标函数需要和1x y +≥，22x y -≤平行， 由图像知函数a 的取值范围是（4-，2 ）3.(2009年山东理12) 设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,00263y x y x y x ，若目标函数z=ax+by （a>0，b>0）的值是最大值为12，则23a b +的最小值为( ). A.625 B.38 C. 311 D. 4x2 2yO -2 z=ax+b3x-y-6=0x-y+2=【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z （a>0，b>0） 过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时, 目标函数z=ax+by （a>0，b>0）取得最大12, 即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而23a b +=2323131325()()26666a b b a a ba b ++=++≥+=,故选A. 【命题立意】:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知2a+3b=6,求23a b+的最小值常用乘积进而用基本不等式解答 4.（2009年安徽理7）若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是（A ）73 （B ） 37 （C ）43 （D ） 34[解析]：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC由3434x y x y +=⎧⎨+=⎩得A （1，1），又B （0，4），C （0，43）∴S △ABC =144(4)1233-⨯=，设y kx =与34x y +=的交点为D ，则由1223BCD S S ABC ∆=∆=知12D x =，∴52D y =∴5147,2233k k =⨯+=选A 。
5.(2008年山东理12)设二元一次不等式组2190802140x y x y x y ⎧+-⎪-+⎨⎪+-⎩，，≥≥≤所表示的平面区域为M ，使函数(01)xy a a a =>≠，的图象过区域M 的a 的取 值范围是（ ）A ．[13]， B ．[210]， C ．[29]，D ．[109]， 解：C,区域M 是三条直线相交构成的三角形（如图）显然1a >，只需研究过(1,9)、(3,8)两种情形，19a ≤且38a ≥即29.a ≤≤6.(2010年安徽理13)设,x y 满足约束条件2208400 , 0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z abx y a b =+>>的最大值为8，则a b +的最小值为________。
【答案】4【解析】不等式表示的区域是一个四边形，4个顶点是A x DyC O y=kx+431(0,0),(0,2),(,0),(1,4)2，易见目标函数在(1,4)取最大值8，所以844ab ab =+⇒=，所以，在2a b ==时是等号成立。
所以a b +的最小值为4.【规律总结】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入得4ab =，要想求a b +的最小值，显然要利用基本不等式.7.( 2010年陕西理14)铁矿石A 和B 的含铁率a ,冶炼每万吨铁矿石的2CO 的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁,若要求2CO 的排放量不超过2(万吨),则购买铁矿石的最少费用为____________(百万元).【解析】设铁矿石A 购买了x 万吨，铁矿石B 购买了y 万吨，购买铁矿石的费用为z 百万元，则由题设知，本题即求实数y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≥+0025.09.1%70%50y x y x y x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≥+00421975y x y x y x （*）时，y x z 63+=的最小值.作不等式组(*)对应的平面区域，如图阴影部分所示.现让直线y x z 63+=，即z x y 6121+-=平移分析即知，当直线经过点P 时，z 取得最小值.又解方程组⎩⎨⎧=+=+421975y x y x 得点P 坐标为()2,1.故152613min =⨯+⨯=z .。