基于遗传算法解决附有不等式约束的最小二乘平差问题的研究

收稿 日期: 2005- 07- 08; 修订日期: 2005- 12-28 基金项目: 国家自然科 学基金项 目 ( 40574003) 和 教育 部博
士点基金 ( 20050533057) 联合资助. 作者简介: 朱建 军 ( 1962- ) , 男 ( 汉族 ) , 湖南 双峰 县 人,
教授, 博士生导师.
求解平差模型 ( 3) , 在数学领域其实是优化问
题, 本文引用基于内罚函数的遗传算法求解。相对
其它优 化算法 ( 主 要指数 学规 划法) 具 有操作 简 明、编程简易、舍入误差小、人为操作因素少等优
点, 并且得到的解为全局最优解[ 7] 。
3 基于内罚函数的遗传算法
遗传算法 ( Genetic Algorithm 简称 GA) ; 最早由 美国密执安大学Holland 教授提出来的, 是从生物的 遗传与自然选择的进化中受到启发而演变出的一类
而罚函数又分为内罚函数和外罚函数, 采用外
罚函数法在遗传搜索时, 初始种群设在边界外, 即
由初始种群至约束边界, 这样对于较为严格的约束
只能近似的满足, 致使最终种群的个别个体存在一
定的偏差, 而内罚函数法的最终种群可以很精确的
重合在一点, 即平差结果的最优解, 因此对于附有
不等式约束的平差模型, 用内罚函数将不等式约束 转化为无约束, 其求解结果较之外罚函数要好[ 11] 。
2 附不等式约束的最小二乘平差模型
用群体搜索代替传统优化方法中的个体搜索, 因此 在搜索过程中不容易陷入局部最优, 可以得到全局 最优解, 计算框图见图 1, 其计算步骤为[ 9,10] :
生成初始种群( First generation) , GEN = 1
计算每个个体的适应性
按适应性进行选择 GEN
体。对于模型 ( 3) , 该算法的核心是如何满足约束
( 3b) 。针对附不等式约束的最小二乘平差模型的遗 传算法, 有几种常见的处理约束的方法[5] , 而罚函
数法是遗传算法中将有约束转化为无约束的一种常
用方法。罚函数技术用来在每代的种群中保持部分
不可行解, 使遗传搜索可以从可行域和不可行域两
边来达到最优解。
理约束条件, 传统的方法主要通过约束变尺度 ( SQP) 方法 ( Han and Powell, 1963) 和 Lagrange 乘 子法 ( Powell and Hestenes, 1969) 实 现, 近年 来最 具代表性 的是 椭球 约束 算法 ( Rao and Toutenburg, 1999) 和 Bayesians 估计算法 ( J1Zhu and R. Santerre,
4) 杂交: 杂交操作是遗传算法中的特色操作, 将群体内 的各 个个 体随机 搭配 成对, 对每 一对 个 体, 按杂交概率交换它们之间的部分染色体。通过 杂交可以得到新一代个体, 新个体组合了其父辈个 体的特性;
5) 变异: 变 异首先在群 体中随机 选择一个 个 体, 对选中的个体以一定的概率随机地改变串结构 数据中某个位的值。同生物界一样, GA 中变异 发 生的概率很低, 通常在 01001~ 0101 之间取值;
优化搜索技术, 它是对一个解群按照生物进化的思 想, 依据其解的优劣进行排序, 并按照某一指标选 出一些解来, 通过选择、杂交、变异等遗传算子进 行运算, 产生新一代解群的一个迭代过程[ 8] 。它采
变异( Mat ation)
判断是否停止( Y or N?)
N
Y
终止
图 1 遗传算法计算 框
1) 生成初始种群 ( 初始变量) : 由于 GA 不能 直接处理解空间的数据, 必须通过编码 ( 一般为二 进制) 将 它们表示 成遗传空 间的基 因型 串结构 数 据, 因此编码是连接问题与算法的桥梁; 特别强调 的是因我们测量数据处理结果要求精度较高, 为了 减少编码转换误差方便处理各约束条件, 一般要求 编码采用浮点数编码方法。随机生成 N 个初始串结 构数据, 每个串结构数据称为一个个体 ( 软色体) , 软色体的个数与设计变量的维数相同;
中, N - 1 = A TPA , Qx^ = N - 1 是协因数矩阵。为了平
差计算的需要, 一般将 ( 2a) 等价转化为另外一种
形式[1] :
Min 5 ( x ) =
( x-
x^
)
Q T x^
1(
x
-
x^ )
( 3a)
s. t. : Bx - d [ 0
( 3b)
即方程 ( 3) 的解等价方程 ( 2) 的解。
处理。但如果是不等式约束, 则计算相对困难。Holland 等人提出的遗传算法在最优化计算中取得
了非常好的效果, 本文尝试将遗传算法引入附不等式约束的平差计算中。本文首先介绍了附不等式 约束的最小二乘平差模型, 分析了基于遗传算法解决该问题的理论依据, 进而通过用内罚函法将不
等式约束平差转化为无约束平差, 以方便运用遗传算法, 最终调用 Matlab 遗传工具箱来求解平差结
2) 个体适应性评估检测 ( 目标函数) : GA 在搜 索进化过程中一般不需要其他外部信息, 仅用适应 度来评估个体或解的优劣, 并作为以后遗传操作的 依据;
3) 选择: 选择或复制是为了从当前个体中选出 优良的个体, 使它们有机会作为父辈为下一代繁殖 子孙。个体适应度越高, 被选择的机会就越多;
1 引言
将有效的先验信息转换为不等式约束参与测量 平差, 可较好的改善平差结果, 提高平差精度[1~ 3] 。 但与其它平差方法相比, 附不等式约束条件的平差 计算上非常困难, 目前还没有在工程实践中得到广 泛的应用。因此研究附不等式约束的平差算法, 将 附不等式约束的平差理论运用到工程实践中, 对测 量平差理论和方法的发展具有重要的实际意义[ 4~ 6] 。
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工程勘察 Journal of Geotechnical Investigation & Surveying 61
算机模拟, 人工能根据工程实践实时的进行 干预, 以更接近实际情况, 适用于处理类似观测方程规模 大和约束条件多的平差模型。
本文研究将传统的算法 ) ) ) 内罚函数法同遗传 算法结合, 将有约束转换为无约束, 来解决附不等 式约束的最小二乘平差问题, 同时介绍用 Matlab 遗 传工具箱实现有关算法的方法, 实例表明两者的结 合要优于其它算法, 证明基于内罚函数的遗传算法 是可行性的。
对于模型 ( 3) 其解可行域为 D = { x | Bix - di
< , i = 1, 2, ,} 。为了保证迭代点在可行域内部
的情况下, 可以定义辅助函数
7 ( x , r ( k) ) = 5( x ) - rBaidu Nhomakorabea k) B( x )
( 4)
其中 B ( x ) 是连续函数, 当点 x 趋向D 的边界时,
解决附不等式约束条件的平差的关键是如何处
2005) 。然而随着科学技术和观测仪器的发展, 附不 等式约束的平差理论研究在解决实际问题中呈现观 测方程规模大、约束条件变量多等特点, 因此上述 算法由于对约束条件的依赖性和计算方法本身的复 杂性, 很难在工程实践中广泛推广。而由Holland 教 授根据的一种仿照生物学中进化论思想而衍生出的 优化算法 ) ) ) 遗传算法, 较上述算法可以克服陷入 局部最优解的陷阱, 且具有良好的稳定性和操作简 明性等优点, 特别是直接通过编码技术对参数进行 群体寻优, 使该算法具有较好的计算效率, 依靠计
基于遗传算法解决附有不等式约束的最小二乘平差 问题的研究
朱建军1 , 欧阳文森1 , 文小岳1,2
( 11 中南大学信息物理工程学院, 长沙 410083; 21 长沙市国土资源 局, 长沙 410001)
摘要: 测量数据处理中经常有些先验信息可以利用, 这些先验信息可以总结成等式或不等式。附等
式约束的平差理论目前已经十分成熟, 因而如果是等式约束, 则可用附等式约束的间接平差方法来
6) 判断求解结 果是否满 足要求, 进行循环 迭 代。
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2006 年第 3 期
以上遗传算法的步骤都可以通过计算机模拟进
行, 并且直接由 Matlab 遗传工具箱来完成。
遗传算法对染色体操作通常会产生不可行的群
阵; B 是一个 m @ t 的系数矩阵, d 是 m 维的约束
向量。
根据最小二乘平差原则, 将 ( 1) 式转化为: Min: 5( x ) = ( Ax - y ) TP( Ax - y ) ( 2a)
s. t. : Bx - d [ 0
( 2b)
不考虑约束条件, 根据最小二乘原理, 其解为
x^ = N - 1 ATPy , 且知 x ~ N ( x = E ( x^ ) , R2 Qx^ ) 。其
杂交( Crossover)
考虑到以下一般的模型:
y = Ax + e
( 1a)
Bx - d [ 0( 或者 al [ Bx [ a2) ( 1b)
其中, 方程 ( 1a) 是误差方程, ( 1b) 是不等式约束
代表的先验信息。A 是一个 n @ t 的设计矩阵, x 是
t @ 1 的 未知向 量, e 是随机 误差 向量, 均 值为 0, 协方差分量为 R2 Qe , Q e = P- 1 是协因数阵, P 是权
果。通过实例分析, 该算法同其它常用的算法进行比较, 证明该方法具有快速的收敛性, 求解结果
良好。
关键词: 内罚函数法; 不等式约束; 遗传工具箱
中图分类号: P207+ 12
文献标识码: B
Abstract: In survey data processing, sometimes, there has prior informat ion that can be used. This prior informat ion can be expressed by equality or inequality constraints on the parameters. The equality_constrained adjustment theory has been maturated and comprehended, so if the constraints are equality, the problem can be solved by the equality_constrained indirect adjustment theory. However, if the constraints are linear inequality, the problems become liner inequality constrained adjustment ( LICA) and the computat ion will be very difficult. Genet ic algorithms ( GA, Holland, 1975) has shown a great effect on the field of optimization, so this paper is trying to introduce the GA into LICA theory. It firstly presents the LICA problem. Then it analyzes the combination principle of GA and LICA and transforms the inequality constraints to equality constraints by inner penalty function for GA operation. At the last, the adjustment is carried out with the help of Matlab GA toolbox. Example shows that this algorithm is feasible. Key words: inner_penalty function; linear inequality_constrained adjustment; GAtoolbox