第二章数据的机器表示

对规格化的浮点数规定如下：
如果尾数是原码表示，尾数的最高有效位一定为1。 如，0.1101×2-2 为规格化的浮点数表示， 0.01101×2-1则不是。
如果尾数用补码表示，尾数的最高有效位一定与符号位相反。 如：0.1x…x和1.0xx…x是规格化的补码表示。
-1/2是个特殊的浮点数，无规格化表示，所以不在浮点数规格 化表示的范围内。
若定点小数的补码形式为x0.x1x2…xn，则补码的定义：
[X]补 =
X 2+X
0 ≤X＜1 - 1≤ X＜ 0
其中，[X]补是机器数，X是真值。
(mod 2)
8位 机器字
例如， x=+0.1011，则[x]补=0.1011 x= -0.1011，则[x]补=1.0101
对于正数x=+0.x1x2…xn，[x]补= 0.x1x2…xn 对于负数x= -0.x1x2…xn，[x]补= 10.0…0-0.x1x2…xn
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4、浮点数的表示方法
把一个数的有效数字和数的范围在计算机的一个存 储单元中分别予以表示，相当于小数点的位置随数 的比例因子不同在一定范围内自由浮动，所以把这 种表示方式称为浮点表示法。
任意一个二进制数可以写成：
2定值,不存储
N=2e×M
M称为浮点数的尾数，纯小数表示，基数为2； e为浮点数的指数,也叫阶码，整数表示，底数为2。
对于0，有两种形式： [+0]原 = 0.00…0， [ -0]原 = 1.00…0
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原码表示（续）
若定点整数的原码形式为xn-1…x2x1x0 ，定点整数的原码定义：
[x]原=
X 2n-1 + |X|
0 ≤X＜2n-1 -2n-1＜X≤0
例如，x=+1011，则[x]原=00001011 x= -1011，则[x]原=10001011
正数补码与原码相同，不需要转换。 负数补码转换为原码时，对补码再求补码，实现逆转换，即对
补码再求补码结果为原码；再由原码转换为真值。
关于补码表示的结论：
补码的最高位为符号位，0为正数、1为负数，符号位是数值的 一部分，可以和数值位一起参与运算，不需要单独处理。
数值0只有一种表示，无+0和-0之分，补码的负数域不含0。 负数补码和原码相比，多出了一个负数-1或-2n-1。以n位整数
对于数据表示，我们最关心两项指标：
第一，表示范围，即在正负两个方向上各能表示多大的数 第二，分辨率，也就是表示数的精细程度
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1、定点表示法——无符号定点数
所谓无符号数定点数，是指整个机器字的二进制位全部 用来表示数值位，没有符号位置；同时约定小数点在最 低数位之后，而且不出现在数码序列中。
真值 -（2n-1-1）
-1 +1 2n-1-1 -2n-1 -1 +1 2n-1-1
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现以8位原码为例，说明带符号定点整数的绝对 值最大负数-（27-1）、最大正数（27-1）。
得到结论：（注意，序列下标和权值的指数一致） 原码定点整数表示范围：-（2n-1-1）~（2n-1-1） 补码定点整数表示范围：-2n ~（2n-1-1） 原码、补码定点整数分辨率：1
对于0，有两种形式：[+0]反 = 0.00…0， [-0]反 = 1.11…1
若定点整数的补码形式为xn-1…x2x1x0，定点整数的补码定义：
[x]反=
X (2n-1 – 1) + X
0 ≤X＜2n-1 - 2n-1＜ X ≤ 0
[x]反=2-2-n+x，[x]补=2+x
[x]补=[x]反+2-n
浮点数在机器中由阶码和尾数来表示。尾数部分给 出浮点数有效数字，决定浮点数的精度；阶码指明 小数点在数据中的位置，决定浮点数的范围。
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（1）浮点数的格式
浮点数的表示格式
Es E1E2…Em
阶符 阶码
Ms
数符
M1M2…Mn
尾数
整数
小数
数符决定浮点数的正负，阶符只决定阶码本身的正负。
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浮点数举例（原码为例）
0的补码只有一种形式：[+0]补=[-0]补 =0
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由真值、原码转换为补码
正数的补码表示与原码相同。 负数原码转换为补码的方法之二：
如：[x]原=0.1010 ，[x]补=0.1010
负数原码转换为补码的方法之一： 符号位保持1不变，数值位按位求 反，末位加1。
符号位保持1不变，在数值位中从 低位向高位找1，第一个1及其右边 的0保持不变，数值位的其余部分 求反。
小数 点
以下分原码和补码进行讨论。
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假设：带符号的定点整数代码序列为xn-1…x2x1x0 ，约定 xn-1为符号位，小数点在最低位之后。其典型值如下：
原码 补码
典型值 绝对值最大负数 绝对值最小负数 最小非零正数 最大正数 绝对值最大负数 绝对值最小负数 最小非零正数 最大正数
代码序列 11…11 10…01 00...01 01…11 10…00 11…11 00…01 01…11
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补码表示（续）
若定点整数的补码形式为xn-1…x2x1x0，定点整数的补码定义：
[x]补=
X 2n + X
0 ≤X＜2n-1 - 2n-1≤ X＜ 0
(mod 2n)
例如， x = +1011，则[x]补 = 0000 1011 x = -1011，则[x]补 = 1111 0101
8位 机器字
设定点整数移码的形式为xm-1…x2x1 x0，则移码定义为： [x]移=2m-1+x -2m-1≤x＜2m-1
[x]移是机器数，x是真值，2m-1是一个固定的偏移量， 它也是xm-1的位权，移码共有m位。
例、某浮点数阶码8位，含一位符号位，移码表示。当阶 码x = -0111 1111，则：
[x]移 = 27 - 0111 1111 = 0000 0001
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移码的特点
最高位为0表示负数，为1表示正数。 移码全0时真值最小，全1时真值最大。 0的移码只有一个，[±0]移=100…0 同一数值的移码和补码，数位相同，而符号相反。 便于阶码大小的比较，便于对阶操作，便于简化机
器中判零电路的实现。
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（3）浮点数的规格化表示
为了提高浮点数的表示精度，当尾数不为0时，尾数域 的最高数位必须是一个有效值。如果最高数位不是有效 值，则通过尾数移位并修改阶码的办法，使其变成有效 值，这称为浮点数的规格化。
有以下结论：反码的末位加1等于对应真值的补码。
反码的符号位也可以作为数值位直接参与运算。
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二、数的定点表示与浮点表示
在现实世界中，我们所遇到的数可能既有整数部分， 又有小数部分，这就存在一个如何表示小数点的问 题，即如何确定小数点的位置。
根据小数点的位置是否固定，数的格式可分为：
定点表示 浮点表示 其中，定点数又分为无符号定点数、带符号定点数。
若定点小数的原码形式为 x0.x1x2…xn，则原码表示的定义：
[X]原= X
0 ≤X＜1
1 + |X| -1＜X≤0
8位
其中，[X]原是机器数，X是真值。
机器字
例如，x=+0.1001，则[x]原=0.1001 x= -0.1001，则[x]原=1.1001
对于正数x=+0.x1x2…xn，[x]原= 0.x1x2…xn 对于负数x= -0.x1x2…xn，[x]原= 1.x1x2…xn
例、N1 = 01001，表示9；N2 = 11001，表示25。
字长为n位的无符号数xn-1…x2x1x0有以下特性：
典型值
真值
代码序列
最大值
2n-1
最小非零正数
1
最小值
0
11…11 00…01 00…00
无符号定点数值的表示范围为:0～2n-1，分辨率为1。
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无符号定点数
例、以8位无符号数为例，说明其最大值为（28-1）。
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3、定点表示法——带符号定点小数
带符号定点小数是纯小数，它约定机器字的最高位为 符号位，小数点在符号位之后、最高数值位之前、且 不出现在数码序列中 ，带符号定点小数可以是原码表 示或补码表示。
格式：
x0
x1 x2 …… xn-2 xn-1 xn
符号位
小数 点
数值 位
以下分原码和补码进行讨论。
真值
-(1-2-n)
-2-n +2-n 1-2-n -1 -2-n +2-n 1-2-n
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现以8位原码为例，说明带符号定点小数的绝对 值最大负数-（1-2-7）、最大正数（1-2-7）。
由此得到：（注意：序列下标和权值的指数一致） 原码定点小数表示范围：-（1-2-n）~（1-2-n） 补码定点小数范围：-1 ~（1-2-n） 原码、补码定点小数分辨率：2-n
第二章 数据的机器表示
主要内容：
真值、机器数的概念 原码、补码、反码、真值，及其相互转换。
定点数与浮点数的表示范围。 字符编码与汉字编码。
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一、带符号数的表示方法
带符号机器数主要有3种编码方式：
原码 补码 反码
带符号数最常用的编码方式有2种：
原码 补码
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1、原码表示
原码表示法规定：一个机器字中，最高位为符号位，符号位 为0表示正数，符号位为1表示负数，数值部分与真值相同。
若纯小数的反码序列为x0.x1x2…xn ，则：
[x]反=
X (2 – 2-n) + X
0 ≤X＜1 - 1＜ X ≤ 0
例如，x = + 0.1101， [x]反 = 0.1101 x = - 0.1101， [x]反 = 1.0010
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反码表示（续）
对于正数 x=+0.x1x2…xn，[x]反= 0.x1x2…xn 对于负数 x= -0.x1x2…xn，[x]反= 1.x1x2…xn
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（4）浮点数的表示范围和精度
设浮点数的阶码m+1位，含一位阶符，补码表示，以 2为底；尾数n+1位，含一位数符，补码表示，规格 化。其典型值如下：
典型值
浮点数代码
真值
绝对值最大负数 绝对值最小负数 非零最小正数 最大正数
01…1，1.00…0 10…0，1.01…1 10…0，0.10…0 01…1，0.1…1
如：
[x]原 = 1.1010
按位求反 1.0101
末位加1 +
1
如： [x]原 = 1. 10 10 不变 求反 不变
[x]补 = 1. 01 10
[x]补 = 1. 0110
以上方法与通过补码定义式计算结果完全一致，但更为简便，是实现 求补电路的重要依据，也是实现求补电路普遍采用的方法。
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由补码表示转换为原码、真值
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假设：带符号的定点小数代码为x0.x1x2…xn ，约定x0为 符号位,小数点在符号位和最高数位之间.其典型值如下：
原码 补码
典型值
绝对值最大负数
绝对值最小负数 最小非零正数 最大正数 绝对值最大负数 绝对值最小负数 最小非零正数 最大正数
代码序列
1.1…11
1.0…01 0.0...01 0.1…11 1.0…00 1.1…11 0.0…01 0.1…11
Es E1E2…Em
阶符 阶码
Ms
数符
M1M2…Mn
尾数
0 0 1 0 1 1100000
E=+2
M=-0.75
N=2E·M=-0.75×22=-0.75×4=-3.0
阶码通常使用移码表示，移码是计算机中又一种机器 数的编码方式。下面先介绍移码。
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（2）移码表示法
பைடு நூலகம் 移码通常用来表示浮点数的阶码，由真值加一个固定的 常数生成，这个固定的常数称为偏移量。
为例，原码绝对值最大的负数为-（2n-1-1），而补码绝对值最 大的负数为-2n-1，其原因是在补码中0只占一个码点。 补码表示可以把减法转化为加法，用一套电路完成加减运算。
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3、反码表示
反码符号位的表示方法与原码相同，数值部分表示如下： 对于正数，数值部分与真值的形式相同；对于负数，将真 值的数值部分按位求反。
其它典型值，最小非零正数和零，可进行同样的分析。
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2、定点表示法——带符号定点整数
带符号定点整数是纯整数，它约定机器字的最高位为 符号位，小数点在最低数位之后、且不出现在数码序 列中，带符号定点整数可以是原码表示或补码表示。
格式为：
Xn-1 xn-2 xn-3 …… x2 x1 x0
符号位
数值 位
关于原码表示的结论：
真值0有两种不同的表示形式（+0、-0）
8位 机器字
小数原码表示范围为：-1<x<1
整数原码表示范围为：-2n-1 <x<2n-1
原码表示简单易懂，缺点是加法运算复杂。因为人为约定0为正
数、1为负数，在运算时，符号和数值要分开处理。
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2、补码表示
补码符号位的表示方法与原码相同，数值部分的表示如下： 对于正数，数值部分与真值的形式相同；对于负数，将真值 的数值部分按位求反，末位加1。