北师大版九年级上册全册数学课件及复习
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北师大版九年级上册 数 学 全册优质课件
菱形的性质与判定（一）
图片中有你熟悉的图形吗？
与左图相比较，这种平行四 边形特殊在哪里？你能给菱形 下定义吗？
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
想一想
菱形是特殊的平行四边形， 它具有一般平行四边形的所有性质。你 能列举一些这样的性质吗？ 菱形的对边平行且相等，对角相等，对角 线互相平分。中心对称图形。
A B D 矩形是轴对称图形 吗？如果是，那么 有几条对称轴？ 轴对称图形
C
∟
两组对边 分别平行
平行 四边形
一个角 是直角
矩形
一、矩形与平形四边形之间的关系
平行四边形 矩形
即：矩形是一种特殊的平行四边形
矩形有哪些性质？
具有平行四边形的所有性质
边：矩形的对边平行且相等
角：矩形对角相等；邻角互补 对角线：矩形对角线互相平分
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形 的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊 性质：
定理 菱形的四条边都相等。
定理
菱形的两条对角线互相垂直。
例1
如图1-2，在菱形ABCD中，对角 线AC与BD相交于点O， ∠BAD=60°，BD=6，求菱形的 边长AB和对角线AC的长。
随堂练习
如图，在菱形ABCD中，对角 线AC与BD 相交于点O. 已知 AB=5cm，AO=4cm ，求 BD的 长.
已知：如图1-1，在菱形ABCD中， AB=AD, 对角线AC与BD相交于点O求证： （1）AB=BC=CD=AD； （2）AC⊥BD.
证明： （1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB = CD，AD= BC（菱形的对边相等）. 又∵AB=AD ∴AB=BC=CD=AD
（2）∵AB=AD ∴△ABD是等腰三角形 又∵四边形ABCD是菱形 ∴OB=OD（菱形的对角线互相平分） 在等腰三角形ABD中， ∵OB=OD ∴AO⊥BD 即AC⊥BD
试一试
对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗? 已知:如图1-3,在□ABCD中,对角线AC与 BD交于点O,AC⊥BD. 求证: □ABCD是菱形
证明:∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC 又∵AC⊥BD ∴BD是线段AC的垂直平分线 ∴BA=BC ∴四边形ABCD是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ形(菱形定义)
定理
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
矩形还有哪些特殊性质？
A
D
矩形的特殊性质：
B C
猜想1、矩形的四个角都是直角． 性质
性质2： 矩形的对角线相等．
已知：如图，矩形ABCD.
求证：AC=BD.
证明： ∵四边形ABCD是矩形, ∴ ∠ABC= ∠DCB，AB=CD. 在△ABC和△DCB中, AB=DC ∵ ∠ABC= ∠DCB BC=CB ∴ △ ABC≌△DCB(SAS) ∴ AC=BD.
课堂小结
1、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形 是菱形。
2、菱形的性质：①菱形是轴对称图形，对称轴 是两条对角线所在的直线；②菱形的四条边都 相等；③菱形的对角线互相垂直平分。 3、菱形具有平行四边形的所有，应用菱形的 性质可以进行计算和推理。
菱形的性质与判定(二）
温故知新
1.菱形的定义? 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2.如图,已知四边形ABCD是一个平行四边形,则只需 AB=BC 补充 就可以判定它是一个菱形 . 3.如图,已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,并 且AC=6cm,BD=8cm,则菱形ABCD的周长为 cm.
做一做
请同学们用菱形纸片折 一折，回答下列问题：
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几 条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
答：菱形是轴对称图形； 有四条对称轴； 两条对角线，两条中位线
结
论
• 菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是菱形领条对角
线所在的直线。两条对称轴互相垂直。
• 菱形的邻边相等，对边相等，四条边都相等。
课堂小结
1. 通过本节课的学习你有哪些收获？在今后的 学习过程中应该怎么做？
矩形的性质与判定
回忆
四边形 两组对边 分别平行 平行 四边形
平行四边形的性质有： 边： 对边平行且相等
角：对角相等；邻角互补 对角线：对角线互相平分
平行四边形是中心对称图形.
四边形
有一个角是直角的平行四边 矩形的定义： 形叫做矩形.
20
展示交流
思考与动手: 1.在一张纸上用尺规作图做出边长为10cm的 菱形; 2.想办法用一张长方形纸剪折出一个菱形; 3.利用长方形纸你还能想到哪些制作菱形的 方法. 请向同学们展示你的作品,全班交流.
探索新知
根据菱形的定义,邻边相等的平行 四边形是菱形.除此之外,你认为还有什 么条件可以判断一个平行四边形是菱形? 先想一想,再与同伴交流.
∵四边形ABCD是平行四边形 又∵AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形
议一议
已知线段AC,你能用尺规作图的方法做一 个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗?
D
A
B
C
议一议
以下是小刚的作法
你是怎么做的?你认为小刚的作法正确吗?与 同伴交流.
请尝试证明下面的定理
四条边相等的四边形是菱形 已知:如图1-5,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA. 求证: 四边形ABCD是菱形 证明:∵AB=CD,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 又∵AB=BC
小明的想法
平行四边形的不少性质定理与判定定理都是互逆 命题.受此启发,我猜想:四边相等的四边形是菱形,对
角线垂直的平行四边形是菱形.
小颖的想法
我觉得,对角线互相垂直的平行四 边形有可能是菱形.但“四边相等的平 行四边形是菱形”嘛……实际上与“邻 边相等的平行四边形是菱形”一样. 你是怎么想的?你认为小明的想法 如何?与同伴交流一下.
∴四边形ABCD是菱形(菱形定义)
定理
四条边相等的四边形是菱形
∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
做一做
你能用折纸等办法得到一个菱形吗?动手试一试.
先将一张长方形的纸对折,再对折,然后沿图中 的虚线剪下,将纸展开,就得到了一个菱形.
想一想这样做的道理!
证明:在△AOB中, ∵ AB= √5,OA=2,OB=1 ∴AB2=OA2+OB2 ∴△AOB是直角三角形,∠AOB是直角. ∴AC⊥BD ∴□ABCD是菱形 (对角线垂直的平行四边形是菱形)
菱形的性质与判定（一）
图片中有你熟悉的图形吗？
与左图相比较，这种平行四 边形特殊在哪里？你能给菱形 下定义吗？
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
想一想
菱形是特殊的平行四边形， 它具有一般平行四边形的所有性质。你 能列举一些这样的性质吗？ 菱形的对边平行且相等，对角相等，对角 线互相平分。中心对称图形。
A B D 矩形是轴对称图形 吗？如果是，那么 有几条对称轴？ 轴对称图形
C
∟
两组对边 分别平行
平行 四边形
一个角 是直角
矩形
一、矩形与平形四边形之间的关系
平行四边形 矩形
即：矩形是一种特殊的平行四边形
矩形有哪些性质？
具有平行四边形的所有性质
边：矩形的对边平行且相等
角：矩形对角相等；邻角互补 对角线：矩形对角线互相平分
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形 的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊 性质：
定理 菱形的四条边都相等。
定理
菱形的两条对角线互相垂直。
例1
如图1-2，在菱形ABCD中，对角 线AC与BD相交于点O， ∠BAD=60°，BD=6，求菱形的 边长AB和对角线AC的长。
随堂练习
如图，在菱形ABCD中，对角 线AC与BD 相交于点O. 已知 AB=5cm，AO=4cm ，求 BD的 长.
已知：如图1-1，在菱形ABCD中， AB=AD, 对角线AC与BD相交于点O求证： （1）AB=BC=CD=AD； （2）AC⊥BD.
证明： （1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB = CD，AD= BC（菱形的对边相等）. 又∵AB=AD ∴AB=BC=CD=AD
（2）∵AB=AD ∴△ABD是等腰三角形 又∵四边形ABCD是菱形 ∴OB=OD（菱形的对角线互相平分） 在等腰三角形ABD中， ∵OB=OD ∴AO⊥BD 即AC⊥BD
试一试
对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗? 已知:如图1-3,在□ABCD中,对角线AC与 BD交于点O,AC⊥BD. 求证: □ABCD是菱形
证明:∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC 又∵AC⊥BD ∴BD是线段AC的垂直平分线 ∴BA=BC ∴四边形ABCD是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ形(菱形定义)
定理
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
矩形还有哪些特殊性质？
A
D
矩形的特殊性质：
B C
猜想1、矩形的四个角都是直角． 性质
性质2： 矩形的对角线相等．
已知：如图，矩形ABCD.
求证：AC=BD.
证明： ∵四边形ABCD是矩形, ∴ ∠ABC= ∠DCB，AB=CD. 在△ABC和△DCB中, AB=DC ∵ ∠ABC= ∠DCB BC=CB ∴ △ ABC≌△DCB(SAS) ∴ AC=BD.
课堂小结
1、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形 是菱形。
2、菱形的性质：①菱形是轴对称图形，对称轴 是两条对角线所在的直线；②菱形的四条边都 相等；③菱形的对角线互相垂直平分。 3、菱形具有平行四边形的所有，应用菱形的 性质可以进行计算和推理。
菱形的性质与判定(二）
温故知新
1.菱形的定义? 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2.如图,已知四边形ABCD是一个平行四边形,则只需 AB=BC 补充 就可以判定它是一个菱形 . 3.如图,已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,并 且AC=6cm,BD=8cm,则菱形ABCD的周长为 cm.
做一做
请同学们用菱形纸片折 一折，回答下列问题：
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几 条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
答：菱形是轴对称图形； 有四条对称轴； 两条对角线，两条中位线
结
论
• 菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是菱形领条对角
线所在的直线。两条对称轴互相垂直。
• 菱形的邻边相等，对边相等，四条边都相等。
课堂小结
1. 通过本节课的学习你有哪些收获？在今后的 学习过程中应该怎么做？
矩形的性质与判定
回忆
四边形 两组对边 分别平行 平行 四边形
平行四边形的性质有： 边： 对边平行且相等
角：对角相等；邻角互补 对角线：对角线互相平分
平行四边形是中心对称图形.
四边形
有一个角是直角的平行四边 矩形的定义： 形叫做矩形.
20
展示交流
思考与动手: 1.在一张纸上用尺规作图做出边长为10cm的 菱形; 2.想办法用一张长方形纸剪折出一个菱形; 3.利用长方形纸你还能想到哪些制作菱形的 方法. 请向同学们展示你的作品,全班交流.
探索新知
根据菱形的定义,邻边相等的平行 四边形是菱形.除此之外,你认为还有什 么条件可以判断一个平行四边形是菱形? 先想一想,再与同伴交流.
∵四边形ABCD是平行四边形 又∵AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形
议一议
已知线段AC,你能用尺规作图的方法做一 个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗?
D
A
B
C
议一议
以下是小刚的作法
你是怎么做的?你认为小刚的作法正确吗?与 同伴交流.
请尝试证明下面的定理
四条边相等的四边形是菱形 已知:如图1-5,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA. 求证: 四边形ABCD是菱形 证明:∵AB=CD,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 又∵AB=BC
小明的想法
平行四边形的不少性质定理与判定定理都是互逆 命题.受此启发,我猜想:四边相等的四边形是菱形,对
角线垂直的平行四边形是菱形.
小颖的想法
我觉得,对角线互相垂直的平行四 边形有可能是菱形.但“四边相等的平 行四边形是菱形”嘛……实际上与“邻 边相等的平行四边形是菱形”一样. 你是怎么想的?你认为小明的想法 如何?与同伴交流一下.
∴四边形ABCD是菱形(菱形定义)
定理
四条边相等的四边形是菱形
∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
做一做
你能用折纸等办法得到一个菱形吗?动手试一试.
先将一张长方形的纸对折,再对折,然后沿图中 的虚线剪下,将纸展开,就得到了一个菱形.
想一想这样做的道理!
证明:在△AOB中, ∵ AB= √5,OA=2,OB=1 ∴AB2=OA2+OB2 ∴△AOB是直角三角形,∠AOB是直角. ∴AC⊥BD ∴□ABCD是菱形 (对角线垂直的平行四边形是菱形)