常微分方程自学练习题

常微分方程自学习题及答案

一 填空题:

1 一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线.

2 二阶线性齐次微分方程的两个解 y 1(x);y 2(x)为方程的基本解组充分必要条件是________.

3 方程0'2''=+-y y y 的基本解组是_________.

4 一个不可延展解的存在区间一定是___________区间.

5 方程

21y dx

dy

-=的常数解是________. 6 方程0')('')(==+-x q x t p x t 一个非零解为 x 1(t) ,经过变换_______

7 若4(t)是线性方程组X t A X )('=的基解矩阵, 则此方程组的任一解4(t)=___________. 8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍,则此曲线方程为________. 9 满足_____________条件的解,称为微分方程的特解.

10 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_________. 11 一阶线性方程)()('x q y x p y =+有积分因子(=μ ). 12 求解方程

y x dx

dy

/-=的解是( ). 13已知(0)()32

2

2

=+++dy x y x dx y x axy 为恰当方程,则a =____________.

14

⎪⎩⎪⎨⎧=+=0

)0(22y y

x dx

dy ,1:≤x R ,1≤y 由存在唯一性定理其解的存在区间是( ). 15方程0652

=+-⎪

⎭⎫ ⎝⎛y dx dy dx dy 的通解是( ). 16方程5

34

y x y dx dy =++⎪⎭

⎫ ⎝⎛的阶数为_______________.

17若向量函数)()();();(321x x x x n Y Y Y Y Λ在区间D 上线性相关,则它们的伏朗斯基行列式w (x)=____________. 18若P(X)是方程组Y =)(x A dx

dy

的基本解方阵则该方程组的通解可表示为_________. 二 单项选择:

1 方程y x dx

dy +=-31

满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是( ). (A)上半平面 (B)xoy 平面 (C)下半平面 (D)除y 轴外的全平面 2 方程

1+=y dx

dy ( ) 奇解.

(A) 有一个 (B) 有两个 (C) 无 (D) 有无数个 3 在下列函数中是微分方程0''=+y y 的解的函数是( ).

(A) 1=y (B)x y = (C) x y sin = (D)x

e y = 4 方程x e y y x

==-''的一个特解*y 形如( ).

(A)b ae x

= (B)bx axe x

+ (C)c bx ae x

++ (D)c bx axe x

++ 5 )(y f 连续可微是保证方程

)(y f dx

dy

=解存在且唯一的( )条件． （A ）必要 （B ）充分 (C) 充分必要 (D)必要非充分 6 二阶线性非齐次微分方程的所有解( ).

(A)构成一个2维线性空间 (B)构成一个3维线性空间 (C)不能构成一个线性空间 (D)构成一个无限维线性空间

7 方程32

3y dx

dy

=过点(0,0)有( ). (A) 无数个解 (B)只有一个解 (C)只有两个解 (D)只有三个解

8 初值问题 ⎝⎛=10'x ⎪⎪⎭⎫01x , ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=11)0(x 在区间,∞<<∞-t 上的解是( ).

(A) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t u t )( (B) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t e u t )( (C) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=e t u t )( (D) ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-=e e u t )( 9 方程

0cos 2=++x y x dx

dy

是( ). (A) 一阶非线性方程 (B)一阶线性方程 （C)超越方程 (D)二阶线性方程

10 方程032

=+⎪⎭

⎫

⎝⎛dx dy dx dy 的通解是( ).

(A)x

e

C C 321+ (B) x

e

C x C 321-+ (C)x

e

C C 321-+ (D)x

e

C 32-

11 方程0442=++⎪⎭

⎫

⎝⎛y dx dy dx dy 的一个基本解组是( ).

(A) x

e

x 2,- (B)x

e

2,1- (C)x

e

x 22,- (D)x x

xe e

22,--

12 若y1和y2是方程0)()(2

=++⎪

⎭

⎫

⎝⎛y x q dx dy x p dx dy 的两个解,则2211y e y e y += （e 1,e 2为任意常数）

(A) 是该方程的通解 (B)是该方程的解

(C) 不一定是该方程的通解 (D)是该方程的特解 13 方程

21y dx

dy

-=过点(0,0)的解为x y sin =,此解存在( ). (A)),(+∞-∞ (B) ]0,(-∞ (C)),0[+∞ (D)]2

,2[π

π- 14 方程x

e y x y -=2

3'是( ) .

(A) 可分离变量方程 (B) 齐次方程 (C)全微分方程 (D) 线性非齐次方程 15 微分方程

01

=-y x dx dy 的通解是( ). (A) x c y = (B) cx y = (C)c x

y +=1

(D)c x y +=

16 在下列函数中是微分方程0''=+y y 的解的函数是( ). (A)1=y (B)x y = (C)x y sin = (D)x

e y = 17 方程x e y y x

+=-''的一个数解x

y 形如( ).

(A) b ae x

+ (B)bx axe x

+ (C)c bx ae x

++ (D)c bx axe x

++ 18 初值问题 ⎝⎛10'x

⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭

⎫

11)0(;01x x 在区间∞<<∞-t 上的解是( ). (A)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t u t )

( (B)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-t e u t t )( (C)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-t t e t u )( (D) ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=--t t t e e u )(

三 求下列方程的解:

1 求下列方程的通解或通积分: (1)

ny y dx

dy

1= (2)

x y x y dx dy +⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=2

1 (3)

5xy y dx

dy

+= (4)0)(22

2

=-+dy y x xydx (5)3

)'(2'y xy y += 2 求方程的解 01

)4()

5(=-x t

x 3 解方程:

x y dx

dy

cos 2=并求出满足初始条件:当x=0时,y=2的特解 4 求方程:

x y tg x y dx dy += 5求方程: 26xy x

y

dx dy -=的通解 6 求0)46()63(3

2

2

2

=+++dy y y x dx xy x 的通解.