2020届河北省石家庄二中高三(3月份)高考热身数学(文)试题(解析版)

2020届河北省石家庄二中高三（3月份）高考热身数学（文）

试题

一、单选题 1．已知复数21i

z i

=+（i 为虚数单位），则z z ⋅=（ ）

A B ．2

C ．1

D ．

12

【答案】B

【解析】求出复数的模，利用复数的性质即可求解. 【详解】

由题意知21i z i =

==+ 利用性质2

z z z ⋅=，得2z z ⋅=， 故选：B ． 【点睛】

本题考查了复数的模、复数的性质，考查了基本运算能力，属于基础题.

2．已知集合{

|A x Z y =∈=，{B a =，1}，若A B B =，则实数a 的

值为（ ） A ．2 B ．3 C ．1或2或3 D ．2或3

【答案】D

【解析】求出集合A 中的元素，再根据集合的运算结果可得B A ⊆，进而可求出实数a 的值. 【详解】

解：{}2

{|430}{|13}1,2,3A x Z x x x Z x =∈--≥=∈≤≤=，且{},1B a =，

由A B B =，知B A ⊆，则实数a 的值为2或3.

故选：D ． 【点睛】

本题考查根据集合的运算结果求参数值，考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，属于基础题.

3．设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的（ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可． 【详解】

∵a ，b ∈（1，+∞）， ∴a ＞b ⇒log a b ＜1， log a b ＜1⇒a ＞b ，

∴a ＞b 是log a b ＜1的充分必要条件， 故选C ． 【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键． 4．已知0a b >>，1c >，则下列各式成立的是（ ） A ．sin sin a b > B ．a b c c > C ．c c a b <

D ．

11

c c b a

--<

【答案】B

【解析】根据指数函数(1)x

y c c =>为增函数可得. 【详解】

解：因为1c >，x

y c =为增函数，且a b >，所以a b c c >， 故选：B. 【点睛】

本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性，属于基础题. 5．若3

cos()45

π

α-=，则sin 2α=（ ） A ．

7

25

B ．15

C ．15-

D ．7

25

-

【答案】D

【解析】试题分析：2

237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫

-=--=⨯-=-

⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝

⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ， 且cos 2cos 2sin 24

2ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤

-=-=

⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.

【考点】三角恒等变换

【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：

（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．

（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．

6．某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是腰长为2的等腰直角三角形，该几何体的外接球的体积等于（ ）

A ．43π

B ．

323

π C ．4π D ．

82

3

π 【答案】A

【解析】由三视图还原原几何体，可知原几何体为四棱锥，底面是边长为2的三角形. 【详解】

由三视图知该几何体的直观图放在正方体中是如图所示的三棱锥A BCD -， 其外接球就是正方体的外接球．设外接球的半径为R ，

因为正方体的棱长为2，其体对角线为外接球的直径，即223R =，

所以外接球的体积()

3

344

34333

V R ππ

π===．

故选：A ．

【点睛】

思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则.

7．数列{}n a 是等差数列，11a =，公差[1d ∈，2]，且4101615a a a λ++=，则实数λ的最大值为（ ）

A．7

2

B．

53

19

C．

23

19

-D．

1

2

-

【答案】D

【解析】利用等差数列通项公式推导出

1318

19

d

d

λ

-

=

+

，由[1

d∈，2]，能求出实数λ取最大值.

【详解】

数列{}n a是等差数列，11

a=，公差[1

d∈，2]，且

41016

15

a a a

λ

++=，

13(19)11515

d d d

λ

∴+++++=，

解得

1318

19

d

d

λ

-

=

+

，

[1

d∈，2]，

131815

2

1919

d

d d

λ

-

==-+

++

是减函数，

1

d

∴=时，实数λ取最大值为

13181

192

λ

-

==-

+

.

故选：D.

【点睛】

本题考查实数值的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

8．已知x，y满足条件

{

20

x

y x

x y k

≥

≤

++≤

(k为常数)，若目标函数z＝x＋3y的最大值为8，则k＝()

A．－16 B．－6 C．-

8

3

D．6

【答案】B

【解析】【详解】

由z＝x＋3y得y＝－

1

3

x＋

3

z

，先作出

{

x

y x

≥

≤

的图象，如图所示，

因为目标函数z＝x＋3y的最大值为8，所以x＋3y＝8与直线y＝x的交点为C，解得

C(2,2)，代入直线2x＋y＋k＝0，得k＝－6.