二次规划
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非线性) (目标函数—非线性) 目标函数 非线性
线性约束优化问题
非线性) (目标函数—非线性) 目标函数 非线性 (约 束—线 性) 线
有约束优化问题 线性优化问题
线性) (目标函数—线性) 目标函数 线性 线性) (约 束—线性) 线性
K-K-T条件的几何意义
(1)K-K-T条件
定义: 定义:
min f ( x) s.t g j (x) ≤ 0 ( j = 1,2, , m)
二次规划: 二次规划:等式约束问题
二次规划: 二次规划:等式约束问题
二次规划: 二次规划:等式约束问题
二次规划: 二次规划:等式约束问题
二次规划: 二次规划:不等式约束问题的有效集法
1 k min( f (x( k +1) ) f (x( k ) )) min T f (x( k ) )d k + d T T f (x( k ) )d k 2
(2) g j (x) ≤ 0
这就是K-K-T条件 这就是 条件, 条件
f (x)
P
α>
π
2
x
*
g1 (x)
g1 (x) = 0
二次规划
一.二次规划的数学模型 二.二次规划的最优性条件 三.等式约束二次规划的解法 四.不等式约束二次规划的有效集解法 五.其它算法简介
二次规划: 二次规划:最优性条件
λ j g j ( x) = 0 λj ≥ 0
g j (x) 线性无关
( j = 1,2, , m)
x ( 0) 处没有起作用的约束(可行域内部 g 处没有起作用的约束( x (k ) 处起作用的约束 g 2 (x) = 0
x2
x*
j
(x) < 0 没有约束限制) 没有约束限制)
处起作用的约束 g1 (x) = 0, g 2 (x) = 0
f (x) = ci
g1 (x) = 0
x
*
f (x(0) ) x (k ) g 2 (x) = 0 x(0)
f (x(k ) )
x1
T 搜索方向满足; 搜索方向满足; f ( x)
P < 0 ,即; f ( x ) T P > 0 π f (x)T 与 P 夹角; α < 夹角;
2
(2-5)
BX B + CXC = b
X B + B -1C = bB -1
(2) 确定被替换基本变量 xr
br′ bi′ ′ = min ( aik > 0) ′ a′ 1≤i ≤ m aik rk
x1 b1′ x b′ r = r ′ xm bm
4.非线性结构优化 非线性结构优化
4.3二次规划 4.3二次规划
Find x min f (x ) s. t . g ( x ) ≤ 0 ( j = 1, 2, , n ) j
非线性约束优化问题
非线性) (目标函数—非线性) 目标函数 非线性 非线性) (约 束—非线性) 非线性
非线性优化问题
(10)基本可行解: 满足非负条件的基本解称为基本可行解. )基本可行解: 满足非负条件的基本解称为基本可行解.
x = (x B ,0)
(x B ≥ 0 )
时这解称为退化基本解. (11)退化基本解:基本解中至少一个分量为 时这解称为退化基本解. )退化基本解:基本解中至少一个分量为0时这解称为退化基本解
二次规划: 二次规划:不等式约束问题的有效集法
二次规划: 二次规划:其它算法简介
�
g 2 (x)
α<
f (x) = ci
f (x) π
2 2 (x) = 0 g
夹角; 夹角; α <
π
2
f (x)
P
g 2 (x)
P
g1 (x) = 0
x*
f (x)
g1 (x)
夹角; 夹角;
f (x)
g 2 ( x) = 0
g 2 (x)
g 2 ( x) = 0
g 2 (x)
f (x)
退化基本解 非退化基本解
退化基本可行解
(三)线性规划问题的性质 性质1: 性质 :
性质2: 性质 :
性质3: 性质 :
0
性质2 性质
性质4 性质
不等式
+
松弛变量
可行域
wenku.baidu.com可行域边界
Ax ≤ b
等式
r (≥ 0)
最优解
Bx B + Nx N ≤ b Ax ≤ b
x* ∈ x B
Bx B = b
单纯形法的小结
(一)线性规划的标准形式: 线性规划的标准形式: (二)基本概念
min z = c T x Ax = b s.t. x ≥ 0 j
T
(1)可行解:满足全部约束条件的决策向量称为可行解. x = ( x1 , x2 , , xn , ) )可行解:满足全部约束条件的决策向量称为可行解. (2)可行域:全部可行解所构成的空间称为可行域. )可行域:全部可行解所构成的空间称为可行域. (3)最优解:使目标函数达到最小的可行解称为最优解. )最优解:使目标函数达到最小的可行解称为最优解. (4)无界解:若目标函数无下界称为无界解. )无界解:若目标函数无下界称为无界解.
(1) f (x) = ∑ λ j g j (x)
(4) λ j ≥ 0
j =1
m
( j = 1,2, , m)
起作用的约束经过最优点 , g j ( x) = 0 , λ j ≥ 0
(3) λ j g j (x) = 0
最优点满足所有的约束条件, 最优点满足所有的约束条件
g 2 (x) = 0
g 2 (x)
i xB = 0 (i > 0 )
(12)非退化基本解:基本解中没有基本变量为0时,这解称为退化基本解. )非退化基本解:基本解中没有基本变量为 时 这解称为退化基本解.
i xB ≠ 0 (i = 1 2, , m) ,
(13)退化基本可行解:基本可行解中至少一个基本变量为0时这解称为 )退化基本可行解:基本可行解中至少一个基本变量为 时这解称为 退化基本可行解. 退化基本可行解. 基本可行解 可行域 可行解
二次规划: 二次规划:不等式约束问题的有效集法
二次规划: 二次规划:不等式约束问题的有效集法
ai x ( k +1) = bi ai ( x ( k ) + α k d ) = bi ∵ ai x ( k ) = bi
ai x ( k +1) ≤ bi
二次规划: 二次规划:不等式约束问题的有效集法
am,m +1 am,m + 2
B = (p1p 2 , , p r , , p m )
f = f 0 + (c k z k ) x k
1 0 0 1 0 0 0 x1 0 x2 + 1 xm
k
B
C
XB x1 a1n b1 a1n xm b2 = xm +1 amn bm XC xn
基本可行解
Ax + r = b
x B = (x1 , x 2 , , x m ,0,0, ,0)
顶点
=
(1) 确定替换基本变量的非基本变量
a11 a12 a21 a22 am1 am 2
a1m a2 m amm
a1m +1 a1m +1
a1m + 2 a1m + 2
σ = (c z ) = min σ
k k i =m+1,n
i
′ a1m +1 ′ a2 m +1
′ a1k a′ k 2
′ am ,m +1 a′ ,k m
0 ′ a1n 0 b1′ ′ ′ a2 n b2 = xk ′ a′ bm mn 0
K-K-T条件
L( x, λ) = f (x) + ∑ λ j g j (x)
j =1
m
(1) (2) (3) (4) (5)
f (x) + ∑ λ j g j (x) = 0 (梯度条件) 梯度条件)
j =1
m
g j ( x) ≤ 0
(约束条件) 约束条件) (松弛互补条件) 松弛互补条件) (非负条件) 非负条件) (正则条件或约束规格) 正则条件或约束规格)
P
α>
π
2
x
*
g1 (x)
P
α< π
2
g1 (x)
g1 (x) = 0
g1 (x) = 0
P
f (x)
之间, 最优点 x* , f (x ) 一定在 g1 (x* )与 g 2 (x* ) 之间, * 非负线性组合表示. 所以 f (x ) 可以起作用的 g j (x* ) 非负线性组合表示.
*
′ a1k ′ ark x ≥ 0 k ′ amk
x B = ( x1 x2 , , xr , , xm ) B = (p1p 2 , , p r , , p m )
x B = ( x1 x2 , , xk , , xm ) B = (p1p 2 , , p k , , p m )
Ax = b Bx B + Nx N = b 称为线性规划的 (5)基本矩阵:若 A m×n 的秩R(A) = m , 则非奇异矩阵 B m×m 称为线性规划的 )基本矩阵:
基本矩阵. 基本矩阵. 称为线性规划的非基本矩阵. 线性规划的非基本矩阵 (6)非基本矩阵: N m×( nm ) 称为线性规划的非基本矩阵. )非基本矩阵: 称为线性规划的基本变量. 线性规划的基本变量 (7)基本变量: x B 称为线性规划的基本变量. )基本变量: 称为线性规划的非基本变量. 线性规划的非基本变量 (8)非基本变量: x N 称为线性规划的非基本变量. )非基本变量: 称为线性规划的基本解. 线性规划的基本解 (9)基本解:x = (x B ,0) 称为线性规划的基本解. )基本解:
线性约束优化问题
非线性) (目标函数—非线性) 目标函数 非线性 (约 束—线 性) 线
有约束优化问题 线性优化问题
线性) (目标函数—线性) 目标函数 线性 线性) (约 束—线性) 线性
K-K-T条件的几何意义
(1)K-K-T条件
定义: 定义:
min f ( x) s.t g j (x) ≤ 0 ( j = 1,2, , m)
二次规划: 二次规划:等式约束问题
二次规划: 二次规划:等式约束问题
二次规划: 二次规划:等式约束问题
二次规划: 二次规划:等式约束问题
二次规划: 二次规划:不等式约束问题的有效集法
1 k min( f (x( k +1) ) f (x( k ) )) min T f (x( k ) )d k + d T T f (x( k ) )d k 2
(2) g j (x) ≤ 0
这就是K-K-T条件 这就是 条件, 条件
f (x)
P
α>
π
2
x
*
g1 (x)
g1 (x) = 0
二次规划
一.二次规划的数学模型 二.二次规划的最优性条件 三.等式约束二次规划的解法 四.不等式约束二次规划的有效集解法 五.其它算法简介
二次规划: 二次规划:最优性条件
λ j g j ( x) = 0 λj ≥ 0
g j (x) 线性无关
( j = 1,2, , m)
x ( 0) 处没有起作用的约束(可行域内部 g 处没有起作用的约束( x (k ) 处起作用的约束 g 2 (x) = 0
x2
x*
j
(x) < 0 没有约束限制) 没有约束限制)
处起作用的约束 g1 (x) = 0, g 2 (x) = 0
f (x) = ci
g1 (x) = 0
x
*
f (x(0) ) x (k ) g 2 (x) = 0 x(0)
f (x(k ) )
x1
T 搜索方向满足; 搜索方向满足; f ( x)
P < 0 ,即; f ( x ) T P > 0 π f (x)T 与 P 夹角; α < 夹角;
2
(2-5)
BX B + CXC = b
X B + B -1C = bB -1
(2) 确定被替换基本变量 xr
br′ bi′ ′ = min ( aik > 0) ′ a′ 1≤i ≤ m aik rk
x1 b1′ x b′ r = r ′ xm bm
4.非线性结构优化 非线性结构优化
4.3二次规划 4.3二次规划
Find x min f (x ) s. t . g ( x ) ≤ 0 ( j = 1, 2, , n ) j
非线性约束优化问题
非线性) (目标函数—非线性) 目标函数 非线性 非线性) (约 束—非线性) 非线性
非线性优化问题
(10)基本可行解: 满足非负条件的基本解称为基本可行解. )基本可行解: 满足非负条件的基本解称为基本可行解.
x = (x B ,0)
(x B ≥ 0 )
时这解称为退化基本解. (11)退化基本解:基本解中至少一个分量为 时这解称为退化基本解. )退化基本解:基本解中至少一个分量为0时这解称为退化基本解
二次规划: 二次规划:不等式约束问题的有效集法
二次规划: 二次规划:其它算法简介
�
g 2 (x)
α<
f (x) = ci
f (x) π
2 2 (x) = 0 g
夹角; 夹角; α <
π
2
f (x)
P
g 2 (x)
P
g1 (x) = 0
x*
f (x)
g1 (x)
夹角; 夹角;
f (x)
g 2 ( x) = 0
g 2 (x)
g 2 ( x) = 0
g 2 (x)
f (x)
退化基本解 非退化基本解
退化基本可行解
(三)线性规划问题的性质 性质1: 性质 :
性质2: 性质 :
性质3: 性质 :
0
性质2 性质
性质4 性质
不等式
+
松弛变量
可行域
wenku.baidu.com可行域边界
Ax ≤ b
等式
r (≥ 0)
最优解
Bx B + Nx N ≤ b Ax ≤ b
x* ∈ x B
Bx B = b
单纯形法的小结
(一)线性规划的标准形式: 线性规划的标准形式: (二)基本概念
min z = c T x Ax = b s.t. x ≥ 0 j
T
(1)可行解:满足全部约束条件的决策向量称为可行解. x = ( x1 , x2 , , xn , ) )可行解:满足全部约束条件的决策向量称为可行解. (2)可行域:全部可行解所构成的空间称为可行域. )可行域:全部可行解所构成的空间称为可行域. (3)最优解:使目标函数达到最小的可行解称为最优解. )最优解:使目标函数达到最小的可行解称为最优解. (4)无界解:若目标函数无下界称为无界解. )无界解:若目标函数无下界称为无界解.
(1) f (x) = ∑ λ j g j (x)
(4) λ j ≥ 0
j =1
m
( j = 1,2, , m)
起作用的约束经过最优点 , g j ( x) = 0 , λ j ≥ 0
(3) λ j g j (x) = 0
最优点满足所有的约束条件, 最优点满足所有的约束条件
g 2 (x) = 0
g 2 (x)
i xB = 0 (i > 0 )
(12)非退化基本解:基本解中没有基本变量为0时,这解称为退化基本解. )非退化基本解:基本解中没有基本变量为 时 这解称为退化基本解.
i xB ≠ 0 (i = 1 2, , m) ,
(13)退化基本可行解:基本可行解中至少一个基本变量为0时这解称为 )退化基本可行解:基本可行解中至少一个基本变量为 时这解称为 退化基本可行解. 退化基本可行解. 基本可行解 可行域 可行解
二次规划: 二次规划:不等式约束问题的有效集法
二次规划: 二次规划:不等式约束问题的有效集法
ai x ( k +1) = bi ai ( x ( k ) + α k d ) = bi ∵ ai x ( k ) = bi
ai x ( k +1) ≤ bi
二次规划: 二次规划:不等式约束问题的有效集法
am,m +1 am,m + 2
B = (p1p 2 , , p r , , p m )
f = f 0 + (c k z k ) x k
1 0 0 1 0 0 0 x1 0 x2 + 1 xm
k
B
C
XB x1 a1n b1 a1n xm b2 = xm +1 amn bm XC xn
基本可行解
Ax + r = b
x B = (x1 , x 2 , , x m ,0,0, ,0)
顶点
=
(1) 确定替换基本变量的非基本变量
a11 a12 a21 a22 am1 am 2
a1m a2 m amm
a1m +1 a1m +1
a1m + 2 a1m + 2
σ = (c z ) = min σ
k k i =m+1,n
i
′ a1m +1 ′ a2 m +1
′ a1k a′ k 2
′ am ,m +1 a′ ,k m
0 ′ a1n 0 b1′ ′ ′ a2 n b2 = xk ′ a′ bm mn 0
K-K-T条件
L( x, λ) = f (x) + ∑ λ j g j (x)
j =1
m
(1) (2) (3) (4) (5)
f (x) + ∑ λ j g j (x) = 0 (梯度条件) 梯度条件)
j =1
m
g j ( x) ≤ 0
(约束条件) 约束条件) (松弛互补条件) 松弛互补条件) (非负条件) 非负条件) (正则条件或约束规格) 正则条件或约束规格)
P
α>
π
2
x
*
g1 (x)
P
α< π
2
g1 (x)
g1 (x) = 0
g1 (x) = 0
P
f (x)
之间, 最优点 x* , f (x ) 一定在 g1 (x* )与 g 2 (x* ) 之间, * 非负线性组合表示. 所以 f (x ) 可以起作用的 g j (x* ) 非负线性组合表示.
*
′ a1k ′ ark x ≥ 0 k ′ amk
x B = ( x1 x2 , , xr , , xm ) B = (p1p 2 , , p r , , p m )
x B = ( x1 x2 , , xk , , xm ) B = (p1p 2 , , p k , , p m )
Ax = b Bx B + Nx N = b 称为线性规划的 (5)基本矩阵:若 A m×n 的秩R(A) = m , 则非奇异矩阵 B m×m 称为线性规划的 )基本矩阵:
基本矩阵. 基本矩阵. 称为线性规划的非基本矩阵. 线性规划的非基本矩阵 (6)非基本矩阵: N m×( nm ) 称为线性规划的非基本矩阵. )非基本矩阵: 称为线性规划的基本变量. 线性规划的基本变量 (7)基本变量: x B 称为线性规划的基本变量. )基本变量: 称为线性规划的非基本变量. 线性规划的非基本变量 (8)非基本变量: x N 称为线性规划的非基本变量. )非基本变量: 称为线性规划的基本解. 线性规划的基本解 (9)基本解:x = (x B ,0) 称为线性规划的基本解. )基本解: