2020全国卷----数学必刷试卷01原卷版
第04练 计数原理、排列组合、二项式定理-2023年新高考数学一轮复习小题必刷(原卷版)
第04练 计数原理、排列组合、二项式定理1．（2020·呼和浩特开来中学高二期末（理））六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ）A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种 2．（2020·广东省高二期末）在()62x +展开式中，二项式系数的最大值为m ，含4x 的系数为n ，则n m=（ ） A ．3 B ．4 C ．13 D ．143．（2020·青铜峡市高级中学高二期末（理））设2220122(1)...n n n x x a a x a x a x ++=++++，则0a 等于（ ）A ．1B ．0C ．3D ．3n4．（2020·宁夏回族自治区宁夏大学附属中学高二月考（理））3个班分别从5个风景点中选择一处游览，不同的选法有（ ）A ．243B ．125C ．128D ．2645．（2020·洮南市第一中学高二月考（理））求346774C C -的值为（ ）A ．0B ．1C ．360D ．120 6．（2020·洮南市第一中学高二月考（理））522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为 A ．10 B ．20C ．40D ．80 7．（2020·山东省高三其他）若62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中6x 的系数为150，则2a =（ ） A ．20 B ．15 C ．10 D ．258．（2020·北京高二期末）5(1)a +展开式中的第2项是（ ）A ．35aB ．310aC ．45aD ．410a 9．（2020·北京高二期末）已知有1B ，2B ，⋯，6B 支篮球队举行单循环赛（单循环赛：所有参赛队均能相遇一次），那么比赛的场次数是（ ）A．15B．18C．24D．3010．（2020·北京高二期末）哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如1257=+，在不超过18的素数2，3，5，7，11，13，17中，随机选取两个不同的数，其和等于18的概率是（）A．142B．121C．221D．1711．（2020·江苏省马坝高中高二期中）9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品，抽出产品中至少有2件一等品的抽法种数为（）A．81B．60C．6D．1112．（2020·江西省南昌十中高三其他（理））在6212xx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中，常数项为__________（用数字作答）.13．（2020·北京高二期末）()621x-的展开式中2x的系数为__________（用具体数据作答）. 14．（2020·福建省厦门一中高三其他（理））2020年初，湖北面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，厦门人民心系湖北，志愿者纷纷驰援，若将甲、乙、丙、丁4名医生志愿者分配到A，B 两家医院（每人去一家，每家医院至少安排1人），且甲医生不安排在A医院，则共有__________种分配方案.15．（2020·苏州市第四中学校高二期中）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢．如果让三位同学选取的礼物都满意，则选法有________种．（用数字作答）16．（2020·上海高二期末）请列举出用0，1，2，3，4这5个数字所组成的无重复数字且比3000大的，且相邻的数字的奇偶性不同的所有四位数奇数，它们分别是______.1．（2020·广东省高三二模（文））在此次抗击新冠肺炎疫情过程中，中医治疗起到了重要作用.中医理论讲究食物相生相克，合理搭配饮食可以增强体质，提高免疫力，但不恰当的搭配也可能引起身体的不适.食物相克是指事物之间存在着相互拮抗､制约的关系，若搭配不当，会引起中毒反应.已知猪肉与菊花，猪肉与百合，螃蟹与茄子相克.现从猪肉､螃蟹､茄子､菊花､百合这五种食物中任意选取两种，则它们相克的概率为（）A ．13B ．23C ．310D ．7102．（2020·江苏省丰县中学高二期中）将4个不同的文件发往3个不同的邮箱地址，则不同的方法种数为（ ）A ．43B ．34C ．34AD ．34C 3．（2020·黑龙江省哈师大附中高二期末（理））为做好社区新冠疫情防控工作，需将四名志愿者分配到甲、乙、丙三个小区开展工作，每个小区至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）种A ．36B ．48C ．60D ．164．（2020·浙江省衢州二中高三其他）将含有甲、乙、丙、丁等共8人的浙江援鄂医疗队平均分成两组安排到武汉的A 、B 两所医院，其中要求甲、乙、丙3人中至少有1人在A 医院，且甲、丁不在同一所医院，则满足要求的不同安排方法共有（ ）A ．36种B ．32种C ．24种D ．20种5．（2020·吉林省松原市实验高级中学高三其他（理））某校将5名插班生甲、乙、丙、丁、戊编入3个班级，每班至少1人，则不同的安排方案共有（ ）A ．150种B ．120种C ．240种D ．540种6．（2020·广东省高二期末）广东省实施“3+1+2”的新高考改革模式，“3”指全国统一高考的语文､数学､外语，“1”指物理､历史2门中选择1门，“2”指思想政治､地理､化学､生物4门中选择2门. 已知甲选择物理，乙选择地理，则甲乙两人有（ ）不同的选择组合方案.A ．12种B ．18种C ．36种D ．48种7．（2020·广东省高二期末）东莞近三年连续被评为“新一线城市”，“东莞制造”也在加速转型升级步伐，现有4个项目由东莞市政府安排到2个地区进行建设，每个地区至少有一个项目，其中项目A 和B 不能安排在同一个地区，则不同的安排方式有（ ）A ．4种B ．8种C ．12 种D ．16种8．（2020·河北省衡水中学高三其他（理））在2020年初抗击新冠肺炎疫情期间，某医院派出了3名医生和包括甲、乙、丙在内的6名护士前往武汉参加救治工作.现从这9人中任意抽取1名医生、3名护士组成一个应急小组，则甲、乙、丙这3名护士至少选中2人的概率为（ ）A ．13B ．12C ．49D ．34 9．（2020·四川省绵阳南山中学高三其他（理））()()()2111n x x x ++++++的展开式的各项系数和是（ ）A ．12n +B ．121n ++C ．121n +-D ．122n +-10．（2020·山西省高三其他（理））5(2)(1)x x -+的展开式中，3x 的系数是（ ）A ．32B ．40C ．32-D ．40-11．（2020·黑龙江省大庆一中高三三模（理））已知()512345601234567121x x a x a a x a x a x a x a x a x x -⎛⎫+--=++-++++ ⎪⎝⎭，则4a =（ ） A ．21 B ．42 C ．35- D ．210-12．（2020·汪清县汪清第六中学高二月考（理））已知(1＋ax )·(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＋ A ．＋4B ．＋3C ．＋2D ．＋113．（2020·汪清县汪清第六中学高二月考（文））不透明的袋中装有8个大小质地相同的小球，其中红色的小球6个，白色的小球2个，从袋中任取2个小球，则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为（ ）A ．314B ．37C ．67D ．132814．（2020·江苏省高二期末）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.则（ ）A ．某学生从中选3门，共有30种选法B ．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法C ．课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法D ．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法15．（2020·江苏省扬中高级中学高二期中）某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（ ）A ．若任意选择三门课程，选法总数为37AB ．若物理和化学至少选一门，选法总数为1225C CC ．若物理和历史不能同时选，选法总数为3175C C -D ．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为121255C C C -16．（2020·三亚华侨学校高二开学考试）已知()n a b +的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10 17．（2020·山东省高二期中）若()2345501234512a a x a x a x a x a x x =+++-++，则下列结论中正确的是（ ）A ．01a =B ．123452a a a a a ++++=C ．50123453a a a a a a -+-+-=D ．0123451a a a a a a三、填空题18．（2020·呼和浩特开来中学高二期末（理））4()(1)a x x ++的展开式中，若x 的奇数次幂的项的系数之和为32，则a =________．19．（2020·全国高三其他（理））“赵爽弦图”是中国古代数学的文化瑰宝，由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成（如图所示），简洁对称、和谐优美.某数学文化研究会以弦图为蓝本设计会徽，其图案是用红、黄2种颜色为弦图的5个区域着色（至少使用一种颜色），则一共可以绘制备选的会徽图案数为__________.20．（2020·山东省高三其他）2019年世界园艺博览会在北京延庆区举办，这届世界园艺博览会的核心建筑景观是“四馆一心”：中国馆、国际馆、植物馆、生活体验馆以及演艺中心.现将含甲在内的5名大学生志愿者安排到北京世界园艺博览会的4个场馆担任服务工作，要求每个场馆至少安排一人，且每人仅参加一个场馆的服务工作，其中甲不安排到国际馆去，则不同的安排方法种数为_________.21．（2020·江西省南昌二中高二期末（理））62341()x x x x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中x 2项的系数为__________.22．（2020·南京市临江高级中学高二期中）将四个不同的小球放入三个分别标有1､2､3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有______种(结果用数字表示).1．（2020•海南）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A．2种B．3种C．6种D．8种2．（2020•北京）在（√x−2）5的展开式中，x2的系数为（）A．﹣5B．5C．﹣10D．103．（2020•山东）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A．120种B．90种C．60种D．30种4．（2020•新课标Ⅰ）（x+y2x）（x+y）5的展开式中x3y3的系数为（）A．5B．10C．15D．205．（2019•全国）（2√x+1）6的展开式中x的系数是（）A．120B．60C．30D．156．（2019•新课标Ⅲ）（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为（）A．12B．16C．20D．24二．填空题（共7小题）7．（2020•上海）从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有种安排情况．8．（2020•浙江）二项展开式（1+2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a4＝，a1+a3+a5＝．9．（2020•新课标Ⅱ）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有种．10．（2020•新课标Ⅲ）（x2+2x）6的展开式中常数项是（用数字作答）．11．（2020•天津）在（x+2x2）5的展开式中，x2的系数是．12．（2019•天津）（2x−18x3）8的展开式中的常数项为．13．（2019•浙江）在二项式（√2+x）9展开式中，常数项是，系数为有理数的项的个数是．．。
2020年高考必刷卷文科数学(解析版)
3 2 2 2 18 ，因为不考虑接触点，故只求上底面的面积即可，上底面的面积为：
1 2 2
3
3 ，故组合体的表面积为18 2 3 π ．
故选 D ．
点睛：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视
相切，则直线 l 的方程是___________________．
5
5
10
10
∴ sin sin[( ( )] sin cos( ) cos sin( )
2 5 3 10 5 ( 10 ) 2 ．
5 10 5
10 2
故选：D．
【点睛】
本题考查两角和的正弦公式，考查同角间的三角函数关系．在用三角公式化简求值时一定要观察已
知角和未知角之间的关系，以确定选用的公式，要注意应用公式时“单角”和“复角”的相对性．
D． 0
7．如图所示，△ABC 中， B D 2 D C ，点 E 是线段 AD 的中点，则 AC （ ）
A．
3
AD
1
BE
C．
4 5
AD
2 1
BE
4
2
【答案】C
【解析】
B．
3
AD
BE
D．
4 5
AD
BE
4
【分析】
利用平面向量的线性运算表示 AC .
【详解】
AC
AD
DC
AD
13．已知函数 f (x) 满足 f (ex ) 2x 3 ，则 f (x) ________.
【答案】 2 ln x 1 x 0
【解析】 【分析】
2020年全国一卷(含答案)
2020年全国一卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（ ） A ．{x |2<x ≤3} B ．{x |2≤x ≤3} C ．{x |1≤x <4} D ．{x |1<x <4}【答案】C【分析】根据集合并集概念求解. 【详解】[1,3](2,4)[1,4)A B == 故选：C【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．2i12i-=+（ ） A ．1 B ．−1 C ．i D ．−i3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A ．120种 B ．90种 C ．60种 D ．30种【答案】C【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解. 【详解】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C ； 然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C ； 最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有126561060C C ⋅=⨯=种.故选：C【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ）A ．20°B ．40°C ．50°D ．90°【答案】B【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点A 处的纬度，计算出晷针与点A 处的水平面所成角.【详解】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知//m CD 、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥.. 由于40,//AOC m CD ∠=︒，所以40OAG AOC ∠=∠=︒， 由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒，所以40BAE OAG ∠=∠=︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒. 故选：B【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题.5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ） A ．62% B ．56% C ．46% D ．42%【答案】C【分析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅，然后根据积事件的概率公式()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+可得结果.【详解】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅， 则()0.6P A =，()0.82P B =，()0.96P A B +=，所以()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+0.60.820.960.46=+-=所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%. 故选：C.【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.6．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ） A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题7．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范围是（ ） A ．()2,6- B ．(6,2)- C ．(2,4)- D ．(4,6)-【答案】A【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-， 结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积， 所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-， 故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.8．若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ） A ．[)1,1][3,-+∞ B ．3,1][,[01]-- C ．[1,0][1,)-⋃+∞ D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <， 所以由(10)xf x -≥可得：0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃， 故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.二、多选题9．已知曲线22:1C mx ny +=.（ ）A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线10．下图是函数y= sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A ．πsin(3x +） B ．πsin(2)3x -C ．πcos(26x +）D ．5πcos(2)6x -11．已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ） A ．2212a b +≥B ．122a b ->C ．22log log 2a b +≥- D12．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1n i i i P X i p i n p ===>==∑，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑.（ ）A ．若n =1，则H (X )=0B ．若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大C ．若1(1,2,,)i p i n n==，则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+=，则H (X )≤H (Y ) )1,2,,n ，则221log log n =的增大而增大，所以C 选项正确，随机变量Y 的所有可能的取值为,2,,m ，且1,2,,m ）.21log ip 212log m p p -++⋅.(m p +++212211m m p p p --++⋅+),2,,2m ，所以211m i p +-，所以21log log i p >1log i i p p >⋅()H Y ，所以 【点睛】本小题主要考查对新定义三、填空题13．C：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．1614．将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．15．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC∪DG，垂足为C，tan∪ODC=35，//BH DG，EF=12 cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．16．已知直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∪BAD =60°．以1D 径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________．1111B C B =为侧面11B C CB 因为球的半径为5所以侧面11B C CB 与球面的交线上的点到四、解答题17．在∪ac ∪sin 3c A =，∪c 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3sin A B ，6C π=，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 3sin AB 22a b =+-若选择条件∪：据此可得：ac =若选择条件∪：3sin AB 33=．由于若选择条件∪：sin c C=，得18．已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m ∈N 中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100S ． 【答案】（1）2n n a =；（2）100480S =.【分析】（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为1,a q 的形式，求解出1,a q ，由此求得数列{}n a 的通项公式.（2）方法一：通过分析数列{}m b 的规律，由此求得数列{}m b 的前100项和100S . 【详解】（1）由于数列{}n a 是公比大于1的等比数列，设首项为1a ，公比为q ，依题意15,,b 对应的区间分别为(0,8],(0,9],,(0,15]，153b ===1731,,b 对应的区间分别为(0,16],(0,17],,(0,31]，17314b b ===；3363,,b 对应的区间分别为(0,32],(0,33],,(0,63]，33635b b ==== 100,,b 对应的区间分别为(0,64],(0,65],,(0,100]651006b ===个6．10012637480=⨯+⨯=［方法二］【最优解】时，10b =．)()()73233636465100b b b b b b b ++++++++++16532637480+⨯+⨯=．)，因此，当1m =时，10b =；[2,4)m ∈时，1m b =；[4,8)m ∈时，3m b =；[16,32)m ∈时，4m b =；[32,64)m ∈时，5m b =；100b ++0(11)(222)(666)=++++++++++0122438416532637480=+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．所以数列{}n b 的前100项和100480S =．【整体点评】（2）方法一：通过数列{}n a 的前几项以及数列{}m b 的规律可以得到12100,,,b b b 的值，从而求出数列{}m b 的前100项和，这是本题的通性通法；方法二：通过解指数不等式可得数列{}m b 的通项公式，从而求出数列{}m b 的前100项和，是本题的最优解；方法三，是方法一的简化版．19．为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度（单位：3μg/m ），得下表：（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率； （2）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，（3）根据22⨯列联表中的数据可得222()100(64101610)()()()()80207426n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯36007.4844 6.635481=≈>，因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中 2.5PM 浓度与2SO 浓度有关.【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了完善22⨯列联表，考查了独立性检验，属于中档题.20．如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PD ∪底面ABCD ．设平面P AD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l∪平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．）方法一：根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点<>的最大的法向量以及向量PB的坐标，,n PB所成角的正弦值的最大值.PBC，BC，，平面PAD l，CD PD D=，所以［方法一］【最优解】DA DC两两垂直，建立空间直角坐标系,,，则有(0,1,0),(,0,1),(1,1,===-DC DQ m PB的法向量为(,,)n x y z =00DC n DQ n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00z =，1=，则z m =-，所以平面QCD 的一个法向量为(1,0,n m =-1,3n PB n PB n PB⋅+<>==根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线PB 与平面所成角的正弦值等于|cos ,|3n PB <>=212m m ++3613=⋅+=，当且仅当所成角的正弦值的最大值为63.PB QC E =．点作PF QD ⊥DC ⊂平面,ADPD D PD =平面PAD ，所以,QDDC D =QDC ，所以PB 与平面QCD PQD 中，易求由PQE 与BEC 相似，得PE EB 所以sin 3FEP ⎛∠= ⎝111）方法一：根据题意建立空间直角坐标系，直线的法向量n 与向量PB 的夹角的余弦值的绝对值，即,n PB <>，再根据基本不等式即可求出，是本题的通性通法，也是最优解；方法二：利用直线与平面所成角的定义，作出直线PB 三角形以及基本不等式即可求出；方法三：巧妙利用，将线转移，再利用等体积法求得点面距，利用直线QCD 所成角的正弦值即为点面距与线段长度的比值的方法，即可求出．21．已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若不等式()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围． ）()x f x e =(1)f e =+，∪切点坐标为∪函数(f 在点(1,f (1)处的切线方程为∴切线与坐标轴交点坐标分别为∪所求三角形面积为()f x ae =设()g x =∪g(x )在(0,当1a =时，（1）求C的方程：⊥，D为垂足．证明：存在定点Q，使（2）点M，N在C上，且AM AN⊥，AD MN得DQ为定值．12k +，所以·0AM AN =，即2kx m +,代入整理可得：)()122x x -++()2km k ⎛-- ⎝由·0AM AN =得：()2121x -+-解得：123x =或此时直线MN 过点4mx ny ．将直线22(y mx +++121k．三点的二次曲线系方程用椭圆及直线)(1k k x y+--，则0AM AN ⋅=，即，解得123x =或1x =的方程为23x =．的斜率存在，设直线12k +所以(1AM AN x ⋅=-2133k --．直线MN 的方程为4mx ny ，求出,m k 的关系，从而求出直线过定点P ，故可知定点Q 即为AP 的中点；方法四：同方法一，只不过中间运算时采用了一元二次方程的零点式赋值，简化了求解()()1222--x x 以及()()1211y y --的计算．。
2024年高考考前信息必刷卷一(新高考新题型)数学及答案
绝密★启用前2024年高考考前信息必刷卷（新高考新题型）01数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）全国新高考卷的题型会有所调整，考试题型为8（单选题）＋3（多选题）＋3（填空题）＋5（解答题），其中最后一道试题是新高考地区新增加的题型，主要涉及整除与算术基本定理、同余与著名数论定理、高阶等差数列与线性递推数列、函数迭代与数列不动点、函数方程、多项式理论与代数基本定理、常用不等式、矩阵与变换、极点极线与射影几何、曲线系模块，以解答题的方式进行考查。
2023年全国新高考地区解答题中，结构中规中矩。
但预测2024年新高考地区将以结构不良型方式整除与算术基本定理、同余与著名数论定理、高阶等差数列与线性递推数列、函数迭代与数列不动点、函数方程、多项式理论与代数基本定理、常用不等式、矩阵与变换、极点极线与射影几何、曲线系模块中的一个，出现在19题的可能性较大，难度中等偏上，例如本卷第19题。
第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．某车间有两条生产线分别生产5号和7号两种型号的电池，总产量为8000个．质检人员采用分层抽样的方法随机抽取了一个样本容量为60的样本进行质量检测，已知样本中5号电池有45个，则估计7号电池的产量为（ ）A ．6000个B ．5000个C ．3000个D ．2000个2．如图所示，四边形ABCD 是正方形，,M N 分别BC ，DC 的中点，若,,AB AM AN λμλμ=+∈R，则2λμ-的值为（ ）A ．43B ．52C ．23-D ．1033．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，4920224a a a ++=，则20S =（ ）A ．60B ．120C ．180D ．2404．设,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，下列命题为假命题的是（ ）A ．若,m m n α⊥⊥，则n α或n ⊂αB ．若,,⊥⊥⊥m n αβαβ，则m n⊥C ．若,,m l n αββγαγ⋂=⋂=⋂=，且n β，则//l m D ．若,,m n m n αβ⊥⊂⊂，则αβ⊥5．第19届亚运会于2023年9月28日至10月8日在杭州举行，本届亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产良渚古城遗址、西湖和京杭大运河．某同学买了6个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2个，现将这6个吉祥物排成一排，且名称相同的两个吉祥物相邻，则排法种数共为（ ）A ．48B ．24C ．12D ．66．已知函数1()e 2x f x x a x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．(4e,)⎛∞ ⎝UC ．2e ⎫⎪⎭D ．(2e,)⎛∞ ⎝U 7．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点()3,4A -的直线l 的一个法向量为()1,2-，则直线l 的点法式方程为：()()()13240x y ⨯++-⨯-=，化简得2110x y -+=.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点()1,2,3M 的平面的一个法向量为()1,4,2m =-，则该平面的方程为（ ）A ．4210x y z -++=B ．4210x y z --+=C ．4210x y z +-+=D ．4210x y z +--=8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与双曲线C 分别在第一、二象限交于,A B 两点，2ABF △内切圆的半径为r ，若1||2BF a =，r =，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()()sin 0,0,22f x A x A ππωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，()f x 的值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度可得函数()sin 2g x x =的图象D ．将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点5π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称10．已知12,z z 是两个虚数，则下列结论中正确的是（ ）A ．若12z z =，则12z z +与12z z 均为实数B ．若12z z +与12z z 均为实数，则12z z =C ．若12,z z 均为纯虚数，则12z z 为实数D ．若12z z 为实数，则12,z z 均为纯虚数11．已知函数()y f x =在R 上可导且(0)2f =-，其导函数()f x '满足：22()21()e xf x f x x -=-'，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 有且仅有两个零点B ．函数2()()2e g x f x =+有且仅有三个零点C ．当02x ≤≤时，不等式4()3e (2)f x x ≥-恒成立D ．()f x 在[1,2]上的值域为22e ,0⎡⎤-⎣⎦第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知集合{}{}2,0,2,4,3A B x x m =-=-≤，若A B A = ，则m 的最小值为．13．已知M ，N 是抛物线()2:20C x py p =>上两点，焦点为F ，抛物线上一点(),1P t 到焦点F 的距离为32，下列说法正确的是 ．（把所有正确结论的编号都填上）①1p =；②若OM ON ⊥，则直线MN 恒过定点()0,1；③若MOF △的外接圆与抛物线C 的准线相切，则该圆的半径为12；④若2MF FN = ，则直线MN 的斜率为14．如图，在正方体1111ABCD A B C D -，中，M ，N 分别为线段11A D ，1BC 上的动点.给出下列四个结论:①存在点M ，存在点N ，满足MN ∥平面11ABB A ；②任意点M ，存在点N ，满足MN ∥平面11ABB A ；③任意点M ，存在点N ，满足1MN BC ⊥；④任意点N ，存在点M ，满足1MN BC ⊥.其中所有正确结论的序号是.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数31()ln 222f x ax x x x=--+.(1)当1a =时，求()f x 的单调区间；(2)对[1,)x ∀∈+∞，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.16．（15分）我国老龄化时代已经到来，老龄人口比例越来越大，出现很多社会问题．2015年10月，中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议公报指出：坚持计划生育基本国策，积极开展应对人口老龄化行动，实施全面二孩政策．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表．非一线一线总计愿生40y 60不愿生x 2240总计5842100(1)求x 和y 的值．(2)分析调查数据，是否有95%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”？(3)在以上二孩生育意愿中按分层抽样的方法，抽取6名育龄妇女，再选取两名参加育儿知识讲座，求至少有一名来自一线城市的概率．参考公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，()2P k χ≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.82817．（15分）在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，22BC AD AB ===90ABC ∠=︒，如图（1）．把ABD△沿BD 翻折，使得平面ABD ⊥平面BCD ．(1)求证：CD AB ⊥；(2)在线段BC 上是否存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60°？若存在，求出BNBC的值；若不存在，说明理由．18．（17分）已知椭圆22:143x y C +=的左右焦点分别为12,F F ，点()00,P x y 为椭圆C 上异于顶点的一动点，12F PF ∠的角平分线分别交x 轴、y 轴于点M N 、．(1)若012x =，求1PF ；(2)求证：PMPN为定值；(3)当1F N P 面积取到最大值时，求点P 的横坐标0x ．19．（17分）已知数列12:,,,n A a a a L 为有穷正整数数列.若数列A 满足如下两个性质，则称数列A 为m 的k减数列：①12n a a a m +++= ；②对于1i j n ≤<≤，使得i j a a >的正整数对(,)i j 有k 个.(1)写出所有4的1减数列；(2)若存在m的6减数列，证明：6m ；(3)若存在2024的k减数列，求k的最大值.绝密★启用前2024年高考考前信息必刷卷（新高考新题型）01数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）全国新高考卷的题型会有所调整，考试题型为8（单选题）＋3（多选题）＋3（填空题）＋5（解答题），其中最后一道试题是新高考地区新增加的题型，主要涉及整除与算术基本定理、同余与著名数论定理、高阶等差数列与线性递推数列、函数迭代与数列不动点、函数方程、多项式理论与代数基本定理、常用不等式、矩阵与变换、极点极线与射影几何、曲线系模块，以解答题的方式进行考查。
百校联考2020年高考考前冲刺必刷卷(五)理数全国I卷(PDF含答案解析)
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八年级下册数学期中好题必刷 专题01 三角形的证明(北师大版)(原卷版)
专题01 三角形的证明一、单选题 1．（广东韶关·八年级期中）若三角形内一点到三边的距离相等,则这个点是（ ） A ．三条边的垂直平分线的交点 B ．三条中线的交点 C ．三条高的交点 D ．三条角平分线的交点 2．（湖北省直辖县级单位·八年级期中）如图,Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AD 平分∠BAC ,交BC 于点D ,AB ＝10,S △ABD ＝15,则CD 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 3．（黑龙江·牡丹江四中八年级期中）等腰三角形底边长为5,一腰上的中线把周长分成两部分的差为3cm,则腰长为（ ）A ．8cm 或2cmB ．2cmC ．8cmD ．8cm 或25cm 4．（山东济宁·八年级期中）如图,已知ABC 是等边三角形,点B ,C ,D ,E 在同一直线上,且CG CD =,DF DE =,则E ∠=（ ）A ．30°B ．20°C ．15°D ．10° 5．（辽宁·沈阳市第四十三中学八年级期中）如图,在△ABC 中,∠C =90°,∠B =15°,AB 的垂直平分线交BC 于D ,交AB 于E ,若DB =10cm,则CD 的长为（ ）A ．5B ．3C ．55D ．106．（重庆市凤鸣山中学八年级期中）如图,在ABC 中,AB AC =,36A ∠=︒,AB 的中垂线DE 交AC 于点D ,交AB 于点E ,下述结论中正确的是（ ）A ．点D 是线段AC 的中点B ．AD BD BC == C ．BDC 的周长等于AB CD + D ．BD 平分EDC ∠ 7．（江苏苏州·八年级期中）如图,四边形ABCD 中,AC 、BD 是对角线,△ABC 是等边三角形,∠ADC ＝30°,AD ＝4,BD ＝6,则CD 的长为（ ）A ．25B ．5C ．2D ．2138．（福建·龙岩二中八年级期中）如图,在Rt ACB 中,90BAC ∠=︒,AD BC ⊥垂足为D ．ABD △与'ADB 关于直线AD 对称,点B 的对称点是点'B ,若'14B AC ∠=︒,则B 的度数为（ ）A ．38︒B ．48︒C ．52︒D ．54︒9．（福建师范大学附属中学初中部八年级期中）如图,直线m 是△ABC 中BC 边的垂直平分线,点P 是直线m 上的一动点,若AB ＝5,AC ＝4,BC ＝6,则△APC 周长的最小值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12.5 10．（2022·全国·八年级期中）如图,等腰ABC 中,AB AC =,120BAC ∠=︒,AD DC ⊥于D ,点O 是线段AD 上一点,点P 是BA 延长线上一点,若OP OC =,则下列结论：①30APO DCO ∠+∠=︒；②APO DCO ∠=∠；③POC △是等边三角形；④AB OA AP =+．其中正确的是（ ）A ．①③④B ．①②③C ．②③④D ．①②③④二、填空题 11．（云南·弥勒市长君实验中学八年级期中）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°,则该等腰三角形的顶角度数为__________．12．（上海市西南位育中学八年级期中）如图在△ABC 中,AB ＝AC ,BF ＝CD ,BD ＝CE ,∠FDE ＝70°,那么∠A ＝_____．13．（山东济宁·八年级期中）如图,AD 是ABC 中BAC ∠的角平分线,DE AB ⊥于点E ,7ABC S =△,2DE =,4AB =,则AC 长是______．14．（北京市师达中学八年级期中）如图,BD 是∠ABC 的平分线,点P 是射线BD 上一点,PE ⊥BA 于点E ,2PE =,点F 是射线BC 上一个动点,则线段PF 的最小值为_________．15．（浙江杭州·八年级期中）如图是单位长度为1的正方形网格,则123∠+∠+∠=______°．16．（江苏·无锡市江南中学八年级期中）已知直角三角形△ABC 的三条边长分别为3,4,5,在△ABC 所在平面内画一条直线,将△ABC 分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画___条． 17．（福建·厦门市湖里中学八年级期中）如图,ABC 中,6AB =,4AC =,AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB 于点E ,BF ⊥AC 于点F ,2DE =,则BF 的长为______．18．（云南·云大附中八年级期中）如图,在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点G ,过点G 作EF //BC 交AB 于E ,交AC 于F ,过点G 作GD AC ⊥于D ,下列五个结论：①EF BE CF =+；②BE CF =；③1902BGC A ∠=︒+∠；④点G 到△ABC 各边的距离相等；⑤设GD m =,AE AF n +=,则AEF S mn =△．其中正确的结论是______（请填写序号）．三、解答题19．（广东·深圳市福田区第二实验学校八年级期中）如图,在△ABC 中,AB ＝4,BC ＝5,点D 在AB 上,且BD ＝1,CD ＝2．(1)求证：CD ⊥AB ； (2)求AC 的长． 20．（天津·八年级期中）如图,AC BC ⊥,BD AD ⊥,AC 与BD 交于点O ,AC BD =．(1)求证：ΔΔADB BCA ≅；(2)求证：OAB ∆是等腰三角形． 21．（重庆·八年级期中）点C 、D 都在线段AB 上,且AD BC =,AE BF =,A B ∠=∠,CE 与DF 相交于点G ．(1)求证：ΔΔACE BDF ≅；(2)若10CE =,4DG =,求EG 的长． 22．（广东·珠海市文园中学八年级期中）如图,已知：E 是∠AOB 的平分线上一点,EC ⊥OB ,ED ⊥OA ,C 、D 是垂足,连接CD ,且交OE 于点F ．(1)求证：OE 是CD 的垂直平分线； (2)若∠AOB =60°,请直接写出OE 与EF 之间的数量关系． 23．（山东·昌乐县教学研究室八年级期中）△ABC 中,AB ＝AC ,BD 平分∠ABC 交AC 于点D ,从点A 作AE ∥BC 交BD 的延长线于点E ．（1）若∠BAC ＝40°,求∠E 的度数； （2）点F 是BE 上一点,且FE ＝BD ．取DF 的中点H ,请问AH ⊥BE 吗？试说明理由． 24．（广西柳州·八年级期中）如图,在△ABC 中,AB =AC ,AB 的垂直平分线交AB 于N ,交AC 于M ．（1）若∠B=70°,则∠NMA的度数是_________．（2）连接MB,若AB=8cm,BC=6cm．①求△MBC的周长；②在直线MN上是否存在点P,使由P,B,C构成的△PBC的周长值最小?若存在,直接写出△PBC的周长最小值；若不存在,说明理由．25．（江苏盐城·八年级期中）如图,AD是△ABC的角平分线,DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．（1）求证：AD垂直平分EF；（2）若AB+AC＝10,S△ABC＝15,求DE的长．26．（湖北武汉·八年级期中）如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,∠A=30°,D为AB上一点,以CD为边在CD右侧作等边△CDE．（1）如图1,当点E在边AC上时,求证：DE＝AE；（2）如图2,当点E在△ABC内部时,猜想ED和EA数量关系；（3）当点E在△ABC外部时,过点E作EH⊥AB点H,EF∥AB,CF＝2,AH＝3．直接写出AB的长为．27．（四川·成都外国语学校八年级期中）如图1,在△ABC中,AD⊥BC于D,CE⊥AB于E,AD与CE交于点F,∠ACE＝45°．(1)求证：△AEF≌△CEB．(2)若G在BC的延长线上,连接GA,若GA＝GB,求证：AC平分∠DAG．(3)如图2,在（2）的条件下,H为AG的中点,连接DH交AC于M,连接EM、ED,若S△EMC＝4,∠BAD ＝15°,求AM的长．。
难关必刷01三角形综合(4种解题模型专练)(原卷版)-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点
难关必刷01三角形综合（4种解题模型专练）【模型梳理】一、“8”字模型三角形三个内角的和等于180°；对顶角相等二、“A”字模型三角形三个内角的和等于180°；三角形的外角等于与它不相邻的两本内角的和.三、“老鹰捉小鸡”（风筝）模型三角形三个内角的和等于180°；三角形的外角等于与它不相邻的两本内角的和.四、（双）角平分线模型1.双内角平分线2.双外角平分线3.内角平分线+外角平分线三角形三个内角的和等于180°；三角形的外角等于与它不相邻的两本内角的和.【题型专练】一、“8”字模型一．填空题（共6小题）1．（2023春•蓬莱区期中）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是．2．（2022春•北林区校级期中）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为3．（2022春•彭山区校级期中）如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为．4．（2022秋•黄石期中）如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是．5．（2022秋•滨海新区校级期中）如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为．6．（2022秋•庆阳期中）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝°．二．解答题（共1小题）7．（2022秋•天门期中）如图，已知∠A＝50°，∠D＝40°（1）求∠1度数；（2）求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．二、“A”字模型一．选择题（共4小题）1．（2022秋•东莞市校级期中）如图所示，在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，并且CD、BE交于点P，若∠A＝60°，则∠BPC等于（）A．90°B．120°C．150°D．160°2．（2022秋•萨尔图区校级期中）如图，△ABC中∠A＝115°，若图中沿虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于（）A．180°B．230°C．290°D．295°3．（2022秋•官渡区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝70°，沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（）A．140°B．180°C．250°D．360°4．（2022秋•宁河区校级期中）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A．90°B．135°C．270°D．315°二．填空题（共3小题）5．（2022秋•富阳区期中）如图，作CE⊥AF于点E，CE与BF相交于点D，若∠F＝45°，∠C＝30°，则∠A＝°，∠DBC＝°．6．（2022秋•南康区期中）如图，△ABC中，∠B＝80°，∠C＝70°，将△ABC沿EF折叠，A点落在形内的A′，则∠1+∠2的度数为．7．（2022秋•梁平区期中）在直角△ABC中，∠C＝90°，沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2＝．三．解答题（共2小题）8．（2022秋•余干县期中）一个三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处．（点A′在△ABC的内部）（1）如图1，若∠A＝45°，则∠1+∠2＝°．（2）利用图1，探索∠1，∠2与∠A之间的数量关系，并说明理由．（3）如图2，把△ABC折叠后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠1+∠2＝108°，利用（2）中得出的结论求∠BA′C的度数．9．（2022秋•赣州期中）如图1，已知∠ACD是△ABC的一个外角，我们容易证明∠ACD＝∠A+∠B，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？尝试探究：（1）如图2，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，则∠DBC+∠ECB∠A+180°（横线上填＞、＜或＝）初步应用：（2）如图3，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1＝135°，则∠2﹣∠C＝．（3）解决问题：如图4，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案．（4）如图5，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，请利用上面的结论探究∠P与∠A、∠D的数量关系．三、“老鹰捉小鸡”（风筝）模型一．选择题（共4小题）1．（2022春•威海期中）如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（）A．40°B．80°C．90°D．140°2．（2022秋•巴南区校级期中）如图，在△ABC中，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，若∠B＝30°，∠2＝25°，则∠1的度数是（）A．55°B．65°C．75°D．85°3．（2022春•无锡期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A．2∠A＝∠1﹣∠2B．3∠A＝2（∠1﹣∠2）C．3∠A＝2∠1﹣∠2D．∠A＝∠1﹣∠24．（2022秋•洛龙区期中）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是（）A．γ＝2α+βB．γ＝α+2βC．γ＝α+βD．γ＝180°﹣α﹣β二．填空题（共1小题）5．（2022秋•静安区校级期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A、∠1、∠2之间的数量关系是．三．解答题（共2小题）6．（2022秋•青云谱区校级期中）放风筝是中国民间的传统游戏之一，风筝又称风琴，纸鹞，鹞子，纸鸢．如图1，小华制作了一个风筝，示意图如图2所示，AB＝AC，DB＝DC，他发现AD不仅平分∠BAC，且平分∠BDC，你觉得他的发现正确吗？请说明理由．7．（2022秋•开州区期中）问题1如图①，一张三角形ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点．研究（1）：如果沿直线DE折叠，使A点落在CE上，则∠BDA′与∠A的数量关系是研究（2）：如果折成图②的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的数量关系是研究（3）：如果折成图③的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的数量关系，并说明理由．猜想：理由问题2研究（4）：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是．四、（双）角平分线模型一．选择题（共3小题）1．（2022秋•黄冈期中）如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A＝50°，则∠BOC 等于（）A．110°B．115°C．120°D．130°2．（2022秋•西陵区校级期中）如图，△ABC的三边AB、BC、AC的长分别是9、12、15．其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1B．1：2：3C．3：4：5D．2：3：43．（2022秋•金乡县期中）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分线BD、CD交于点D．过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，则△AEF的周长为（）A．12B．13C．14D．15二．填空题（共1小题）4．（2022秋•金州区期中）如图，△ABC的角平分线BD，CE交于点O，∠A＝60°，则∠BOC＝°．三．解答题（共2小题）5．（2022秋•瑶海区期中）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，根据下列条件，求∠BPC的度数．（1）若∠A＝68°，则∠BPC＝°；（2）从上述计算中，我们能发现：∠BPC＝（用含∠A的式子表示），并说明理由．6．（2022秋•滨海新区期中）（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求证：∠P＝90°+∠A；（2）如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE，猜想∠P和∠A有何数量关系，并证明你的结论．。
2020年全国卷Ⅰ高考文科数学试题真题及答案(完整版)
2020年全国卷Ⅰ高考文科数学试题真题及答案一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出 四个选项中，只有一项是符合题目要求 .1.已知合集，，则{}2340A x x x =--<{}4,1,3,5B =-A B =I A. {}4,1-B. {}1,5C. {}3,5D. {}1,32.若，则 312z i i =++z =A.0 B.1D. 23. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它 形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥 高为边长 正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形 面积，则其侧面三角形底边上 高与底面正方形 边长 比值为4. 设O 为正方形ABCD 中心，在O, A ,B, C, D 中任取3点，则取到 3点共线 概率为A. 15B.25C.12D.455. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子 发芽率y 和温度x （ 单位:） 关系，在20C o 个不同 温度条件下进行种子 发芽实验，由实验数据1,2,…,20)得到下面 散点,)(i i y i =（x 图:由此散点图，在10至40之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度C o C o x 回归方程类型 是 A. y a bx =+B. 2y a bx =+C. x y a be =+D. ln y a b x =+6. 已知圆，过点（ 1，2） 直线被该圆所截得 弦 长度 最小值为 2260x y x +-=A. 1 B. 2 C. 3D. 47. 设函数在 图像大致如下图，则 最小正周期为()cos(6f x x πω=+[]-ππ，()f xA. 109πB.76πC.43πD.32π8. 设，则3a log 42=-a4A. 116B.19C.18D.169.执行右面 程序框图，则输出 n =A. 17 B. 19 C. 21 D. 2310.设是等比数列，且，，则 {}n a 123+1a a a +=2342a a a ++=678+a a a +=A. 12 B. 24 C. 30 D. 3211. 设，是双曲线 两个焦点，为坐标原点，点在上且|| 1F 2F 22:13y C x -=O P C OP =2，则 面积为∆12PF F A. 72B.3C.52D.212. 已知，，为球 球面上 三个点，为 外接圆. 若 面积为A B C O e 1O △ABC e 1O ，，则球 表面积为4π1AB BC AC OO ===O A ． 64πB ． 48πC ． 36πD ．32π二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若x ，y 满足约束条件，则z=x+7y 最大值为_____.2x -20x -10y 10y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩14.设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4)，若a b ，则m=______.⊥15. 曲线 一条切线 斜率为2，则该切线 方程为____. ln 1y x x =++16. 数列满足，前16项和为540，则=____.{}n a ()2131nn n a a n ++-=-1a三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个考题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （ 一）必考题:共60分 综合题分割17.（ 12分）某厂接受了一项加工业务，加工出来 产品（ 单位:件）按标准分为A,B,C ，D 四个等级，加工业务约定:对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元、50元、20元；对于D 级品，厂家每件赔偿原料损失费50元，该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务，甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件，厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品 等级，整理如下:甲分厂产品等级 频数分布表等级 A B C D 频数40202020乙分厂产品等级 频数分布表等级 A B C D 频数28173421（1） 分别估计甲、乙两分厂加工出来 一件产品为A 级品 概率； （2） 分别求甲、乙两分厂加工出来 100件产品 平均利润，以平均利润 为依据，厂家应该选哪个分厂承接加工业务?18.（ 12分）内角 对边分别为，已知.△ABC ,,A B C ,,a b c 150B =o（ 1）若，，求 面积；a =b =△ABC（ 2）若. sin A C =C19. （ 12分）如图，为圆锥 顶点，是圆锥底面 圆心，是底面 内接正三D O △ABC 角形，为上一点，. P DO 90APC ∠=o （ 1）证明:平面平面； PAB ⊥PAC（ 2）设,圆锥 π，求三棱锥 体积.DO =P ABC -20.(12分)已知函数 ()(2).xf x e a x =-+（1） 当a=1时，讨论 单调性; ()f x （2） 若有两个零点，求 取值范围. ()f x a21.（ 12分）已知A,B 分别为椭圆E: (a>1) 左右顶点，G 为E 上顶点，，P 为直222x +y 1a=线x=6上 动点，PA 与E 另一交点为C ，PB 与E 另一交点为D. （1） 求E 方程；（2） 证明:直线CD 过顶点.（ 二）选考题:共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做 第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程]（ 10分）在直角坐标系中，曲线 参数方程为，（ 为参数)，以坐标原点为极xOy 1C cos sin kkx ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩t 点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 极坐标方程为x 2C .4cos 16cos 30ρθρθ-+=（ 1）当k=1时，是什么曲线?1C （ 2）当k=4时，求与 公共点 直角坐标. 1C 2C23.[选修4—5:不等式选讲]（ 10分） 已知函数=│3+1│-2│-1│.()f x xx（1）画出y= 图像；()f x （2）求不等式> 解集. ()f x (1)f x文科数学参考答案全卷完 1、相信自己吧！坚持就是胜利！祝考试顺利，榜上有名！ 2、愿全国所有的考生都能以平常的心态参加考试，发挥自己的水平，考上理想的学校。
2020全国1卷高考数学试题(解析版+试卷版)
2020全国1卷高考数学试题（试卷版+解析版）1．若1z i =+，则2|2|(z z -= )A ．0B ．1C ．2D ．22．设集合}04|{2≤-=x x A ，}02|{≤+=a x x B 且}12|{≤≤-=x x B A ,则(a = )A ．4-B ．2-C ．2D ．43．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A 51-B 51-C 51+D 51+ 4．已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则(p = )A ．2B ．3C ．6D ．95．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C)︒的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(i x ，)(1i y i =，2，⋯，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10C ︒至40C ︒之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( )A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．xy a be =+D ．y a blnx =+6．函数43()2f x x x =-的图象在点(1，f （1）)处的切线方程为( ) A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+7．设函数()cos()6f x x πω=+在[π-，]π的图象大致如图，则()f x 的最小正周期为( )A ．109πB ．76π C ．43π D ．32π 8．25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为( )A ．5B ．10C ．15D ．209．已知(0,)απ∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin (α= )A 5B ．23C ．13D 510．已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，1O 为ABC ∆的外接圆．若1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为( )A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π11．已知22:2220M x y x y +---=，直线:220l x y ++=，P 为l 上的动点．过点P 作M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，当||||PM AB 最小时，直线AB 的方程为( )A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=12．若242log 42log aba b +=+，则( ) A ．2a b >B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b <二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年11月百校联盟(全国卷I理数)
绝密★启用前2020 届普通高中教育教学质量监测考试全国 I 卷 理科数学注意事项：1. 本试卷分为第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分.2. 本试卷满分 分，测试时间 分钟.3. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置.4. 所有答案写应写在指定的答题区域（选择题答案应填写在选择题答题卡中，填空题答案写在题目后面 的横线上，解答题答案写在相应题目下方的空白处）.5. 考试范围：必修 ；必修 第 , 章；必修 ；必修 ；选修 第 , 章；选修 第 , 章.第 I 卷一、选择题（本大题共 小题，每小题 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合, , ,则 A. B. C. D.2. 已知复数 满足 且 ，则 的值为 A. B. 或 C. D. 或3. 已知实数, ，则“ ”是“ ”的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知函数 满足 , ,则A. B. C. D. 5. 如图，在正方体 中,点 为 中点，则异面直线与 所成角的余弦值为 A. B. C. D.6. 已知函数 为定义在上的增函数且其图像关于点 对称，若 ，则不等式 的解集为I II 1501201212452−1132−213125A ={x |x =3k +1,k ∈N }B ={y |y =4k −1,k ∈N }C ={1,2,3,4,5,6,7,8}(A ∪B )∩C ={7}{1,4,7}{1,3,7}{1,3,4,7}z z =2+m i 1−i (m ∈R )|z |=2m 2−223−33a >0b >0a >b >1e a +2b >e b +2a f (x )f (x +2)=1+f (x )f (x +2)f (0)=2f (2018)+f (2020)=−121−12ABCD −A 1B 1C 1D 1M A 1D 1AM CD 110555101052f (x )R (2,0)g (x )=f (2−x )g (x +3)+g (1−2x )≥0A. B. C. D.7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C.D. 8. 函数 在区间 上的大致图像为9. 已知角 , 满足 ，若 ，则实数 的值为 A. B. C. D.10. 已知函数 ，过点 的直线 与 的图像有三个不同的交点，则直线 斜率的取 值范围为A. B. C. D. 11. 已知函数 的图像向右平移 个单位长度得到函数 的 图像，若函数 的最小正周期为 ， 为函数 的一条对称轴，则函数 的一个增区间为A. B. C. D. 12. 已知数列 , 满足 , , , , ，令 ,则 满足 的 的最小值为 A. B. C. D.[2,+∞)[4,+∞)(−∞,4][2,4]10383273f (x )=x sin x +1x 2−14π2[−2π,2π] sin(2 + )=3sin 1tan −1tan= tan 2346f (x )=3x 3−3x A (−1,0)l f (x )l (−34,6)(−23,6)∪(6,+∞)(−34,6)∪(6,+∞)(−34,+∞)f (x )=sin ( x +ϕ)−cos ( x +ϕ)( >0,|ϕ|<π2)π3g (x )g (x )πx =π3g (x )g (x )(0,π6)(π2,π)(π3,5π6)(π6,π3){a n }{b n }a 1=1.1b 1=0.2a n +1=b n +1+a n2b n +1=13a n +23b n n ∈N *c n =a n −b n c n ≤1104n 9101112A B C D选择题答题卡二、填空题（本大题共 小题，每小题 分）13. 已知函数 的图像在 和 处的切线互相垂直，则 ______；14. 若实数 , 满足不等式组 ，存在可行解 满足 ，则实数 的最小值 为______；15. 已知函数 在 上存在唯一零点 ，则下列说法正确的有______； （请将所有正确的序号填在横格上）① ；② ；③ ；④ . 16. 在三棱锥中，已知 , , ，则三棱锥 外接球的表 面积为______；第 II 卷三、解答题（本大题共 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分 分）已知平面向量 a ，b .（1）若 a // b ，求 的值；（2）若 a b ，求向量 a + b 与 b 夹角的余弦值. 题号123456789101112得分答案45f (x )=ax 3−ax (a >0)x =0x =1a =x y x −y +2≥02x +y −2≥04x −y −4≤0⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪(x ,y )mx −y −6m =0m f (x )=e x −k −1+ln xx−1(k ∈R )(0,+∞)x 0k =2k >2ln x 0=−x 01e <x 0<12P −ABC PA ⊥BC PB ⊥AC PA =PB =2AB =4P −ABC 610=(1,2)=(k ,3)k ⊥18.（本小题满分 分）已知函数 为定义在 上的偶函数，当 时， , .（1）当 时，求函数 的单调区间；（2）若函数 有两个零点，求实数的取值范围.12f (x )R x ≥0f (x )=|e −x −m |m ∈R m =12f (x )g (x )=f (x )−14m已知数列 满足： , , .（1）求证： 为等差数列，并求出 ； （2）设 ，数列 的前 项和为 ，若不等式 成立，求正整数 的最 小值.{a n }a n >0a 1=1a n =a n +1(2a n +1)(n ∈N *){1a n }a n b n =1a n −1(n 2+n )2(n ∈N *){b n }n S n S n ≥9991000n如图，在 中，已知 , , , 为 中点， , 分别为线段 , 上 的动点（不包括端点），记 .（1）当时，求证： ； （2）当 时，求四边形 的面积 关于 的表达式.ΔABC AB =1BC =2∠ABC =60°M BC E F AB AC ∠EMB =θEM ⊥FM EM =3FM ∠EMF =60°AEMF Sθ如图 ，在直角梯形 中， , 分别为 的 三等分点， // , // , , ,若沿着 , 折叠使得点 , 重合，如图 所示，连结 , . （1）求证：平面平面 ； （2）求二面角 的余弦值.1ABCD E F AB FG BC ED BC AB =3BC =2FG ED A B 2GC BD GBD ⊥BCDE B −GC −D已知函数 .（1）若 在 上单调递增，求实数 的取值范围；（2）当 时，若实数 , 满足 ，求证： .f (x )=e x +cos x −ax (a ∈R )f (x )(0,+∞)a a =−1x 1x 2(x 1<x 2)f (x 1)+f (x 2)=4x 1+x 2<0。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题文(全国卷1,含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共5页，满分150分。
考生注意：1 •答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2•回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3 •考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 .已知集合A= x|x2 , B= x|3 2x 0，则3A. AI B= X|X2B. AI B3C. AU B x|x -2D. AU B=R2.为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位：kg)分别为X1, X2，…,X n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是的中心成中心对称•在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是绝密★启用前A. X1 , X2,…，X n 的平均数B. X1,C. X1, X2,…，X n的最大值 D. X1,3 .下列各式的运算结果为纯虚数的是A. i(1+i) 2B. i2(1-i)C.X2,…，X n的标准差X2,…,X n的中位数(1+i) 2 D. i(1+i).正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形A . f (x)在(0,2 )单调递增 B. f(x)在(0,2 )单调递减中，直接AB 与平面MNQT 平行的是x 3y 3,7 .设x ，y 满足约束条件x y 1,则z =x +y 的最大值为 y 0,9.已知函数 f(x) lnx ln(2 x)，则A. 1B . nC. 1D. n4 8 24 5.已知F 是双曲线C ： x 2- 2M=1的右焦点， P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直， 点A 的坐标是(1,3).则厶APF3的面积为A1 f 1 c2 r 3A .B.C.-D.-32326 .如图，在下列四个正方体中, A B 为正方体的两个顶点, M N, Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体A . 0B . 1C. 2D. 38..函数ysi n2 x 1 cosxA- M的部分图像大致为C. y = f (x)的图像关于直线 x =1对称D. y =f(x)的图像关于点(1,0 )对称A. A >1000 和 n =n +1B . A >1000和 n =n +213. 已知向量 a = (- 1, 2), b = (m 1).若向量a +b 与a 垂直，则n= _______________ .21 14. 曲线y x —在点(1 , 2)处的切线方程为 ____________________________________ .X nn15 .已知 a (0,—)，tan a =2，则cos (一)= 。
2020年高考真题——数学(文)(全国卷Ⅰ)+Word版含解析【KS5U+高考】
绝密★启用前2020 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A = {x | x2- 3x - 4 < 0}, B = {-4,1, 3, 5}，则A B =（）A. {-4,1}B. {1, 5}C. {3, 5}D. {1, 3}【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由x2- 3x - 4 < 0 解得-1 <x < 4 ，所以A ={x | -1 <x < 4}，又因为B ={-4,1, 3, 5}，所以A B ={1, 3}，故选：D.【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.2.若z =1 + 2i + i3，则|z | = （）A. 0B. 1212 +12 2 b 2- a2 4b 2 b CD. 2【答案】C【解析】【分析】先根据i 2 = -1将 z 化简，再根据向量的模的计算公式即可求出．【详解】因为 z = 1+2i + i 3 = 1+2i - i = 1+ i ，所以 z = = ．故选：C ．【点睛】本题主要考查向量的模的计算公式的应用，属于容易题．1. 胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A.5 -1 4B.5 -1 2C.5 +1 4D.5 +1 2【答案】D【解析】【分析】设CD = a , PE = b ，利用 PO 2 = 1CD ⋅ PE 得到关于a , b 的方程，解方程即可得到答案.2CD = a , PE = b【详解】如图，设，则 PO=由题意 PO 2= 1 ab ，即b 2- a 2 =1 4( ) -2 ⋅ -1 = 0 ，化简得，ab 24 2aaPE 2 - OE 2解得b=1 + 5 （负值舍去）.a 4故选：C.【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.2.为正方形ABCD 的中心，在O，A，B，C，D 中任取3 点，则取到的3 点共线的概率为（）1 2A. B.5 514C. D.25【答案】A【解析】【分析】列出从5 个点选3 个点的所有情况，再列出3 点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可.【详解】如图，从O,A,B,C,D 5 个点中任取3 个有{O, A, B},{O, A, C},{O, A, D},{O, B, C}{O, B, D},{O,C, D},{A, B,C},{A, B, D}{A,C, D},{B,C, D} 共10 种不同取法，3 点共线只有{A,O, C} 与{B,O, D} 共2 种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到 3 点共线的概率为2= 1 .故选：A10 5【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题.3. 一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x （单位：°C ）的关系，在 20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x i , y i )(i = 1, 2,, 20) 得到下面的散点图：由此散点图，在 10°C 至 40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x的回归方程类型的是（）A. y = a + bxB. y = a + bx 2C. y = a + b e xD. y = a + b ln x【答案】D【解析】【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是y =a +b ln x .故选：D.【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.4.圆x2+y2- 6x = 0 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据直线和圆心与点(1, 2) 连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.【详解】圆x2+y2- 6x = 0 化为(x - 3)2+y2= 9 ，所以圆心C 坐标为C(3, 0) ，半径为3 ，设P(1, 2) ，当过点P 的直线和直线CP 垂直时，圆心到过点P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，根据弦长公式最小值为= 2 = 2 .故选：B.【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.5.数f (x) = cos(ωx +π) 在[-π,π]的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（）610π7πA. B.96 4π3πC. D.32【答案】C9- | CP |29 -8+= -【解析】【分析】由图可得：函数图象过点⎛ - 4π ,0⎫ ，即可得到cos ⎛ - 4π ⋅ω + π ⎫ = 0 ，结合⎛ - 4π ,0⎫是 9 ⎪ 9 6 ⎪ 9 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭函数 f (x ) 图象与 x 轴负半轴的第一个交点即可得到- 4π⋅ω + π = - π ，即可求得ω = 3， 9 6 2 2再利用三角函数周期公式即可得解.【详解】由图可得：函数图象过点⎛ - 4π ,0⎫，9 ⎪ ⎝ ⎭将它代入函数 f (x ) 可得： cos ⎛ - 4π⋅ω + π ⎫ = 0 9 6 ⎪ ⎝ ⎭又⎛ - 4π ,0⎫是函数 f (x ) 图象与 x 轴负半轴的第一个交点， 9 ⎪ ⎝ ⎭所以-4π ⋅ω ππ，解得：ω = 39622T =2π = 2π = 4π所以函数 f (x ) 的最小正周期为故选：Cω 3 32【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.6. l og 3 4 = 2 ，则4- a= （）1 1 1 1 A.B.C.D.16986【答案】B【解析】【分析】首先根据题中所给的式子，结合对数的运算法则，得到log 3 4a= 2 ，即 4a = 9 ，进而求得4-a = 1，得到结果.9【详解】由a log 3 4 = 2 可得log 3 4a= 2 ，所以4a = 9 ，所以有4-a = 1，9故选：B.【点睛】该题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目. 7. 下面的程序框图，则输出的n =（ ）A. 17B. 19C. 21D. 23【答案】C【解析】【分析】根据程序框图的算法功能可知，要计算满足1+ 3 + 5 + + n > 100 的最小正奇数n ，根据等差数列求和公式即可求出．【详解】依据程序框图的算法功能可知，输出的n 是满足1+ 3 + 5 ++ n > 100 的最小正奇数，因为1+ 3 + 5 += 1 (n +1)2 4> 100 ，解得n > 19 ，所以输出的n =21．故选：C【点睛】本题主要考查程序框图的算法功能的理解，以及等差数列前n 项和公式的应用，属于基础题．8.n } 是等比数列，且a 1 + a 2 + a 3 = 1 ，a 2 + a 3 +a 4 = 2 ，则a 6 + a 7 + a 8 = （ ）A. 12B. 24C. 30D. 32(1+ n )⨯⎛ n -1 +1⎫⎪ + n =⎝ 2 2 ⎭1 2 1 2 1 2 n 1 2 3 1 2 3 4 1 1 1 1 6 7 8 1 1 1 1 【答案】D【解析】【分析】根据已知条件求得q 的值，再由a + a + a = q 5(a + a + a ) 可求得结果.678123【详解】设等比数列{a } 的公比为q ，则a + a + a = a (1+ q + q 2)= 1 ， a + a + a = a q + a q 2 + a q 3 = a q (1+ q + q 2) = q = 2 ， 因此， a + a + a = a q 5 + a q 6 + a q 7 = a q 5 (1+ q + q 2 )= q 5 = 32 .故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．F , F2y 2 | OP |= 29. 2 是双曲线C : x-= 1 的两个焦点，O 为坐标原点，点 P 在C 上且 ，3则△PF 1F 2 的面积为（）A.725 B. 3C.2D. 2【答案】B【解析】【分析】由是以 P 为直角直角三角形得到| PF |2 + | PF|2= 16 ，再利用双曲线的定义得到| PF | - | PF | = 2 ，联立即可得到| PF || PF| ，代入 S △= 1 | PF || PF |中计算即可.1212F 1F 2 P 21 2【详解】由已知，不妨设 F 1(-2, 0), F 2 (2, 0) ， 则 a = 1, c = 2 ，因为| OP |= 1 = 1| F F | ，21 2所以点 P 在以 F 1F 2 为直径的圆上，即 F 1F 2 P 是以 P 为直角顶点的直角三角形，故| PF |2 + | PF |2 =| F F |2 ，121 2即| PF |2+ | PF |2 = 16 ，又 | PF | - | PF | = 2a = 2 ，F 1F 2 P3 3 1 2 1 2 所以4 = | PF 1 | - | PF 2 | 2= | PF |2 + | PF |2-2 | PF|| PF |= 16 - 2 | PF 1 || PF 2 | ，解得| PF || PF |= 6 ，所以 S △= 1 | PF || PF|= 3 12故选：BF 1F 2 P 21 2【点晴】本题考查双曲线中焦点三角面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.10. , B , C 为球O 的球面上的三个点，⊙ O 1 为 ABC 的外接圆，若⊙ O 1 的面积为4π ，AB = BC = AC = OO 1 ，则球O 的表面积为（） A. 64π B. 48πC. 36πD. 32π【答案】A【解析】【分析】由已知可得等边 ABC 的外接圆半径，进而求出其边长，得出OO 1 的值，根据球截面性质，求出球的半径，即可得出结论.【详解】设圆O 1 半径为 r ，球的半径为 R ，依题意，得π r 2 = 4π ,∴r = 2 ，由正弦定理可得 AB = 2r sin 60︒ = 2 ，∴OO 1 = AB = 2 ，根据圆截面性质OO 1 ⊥ 平面 ABC ，∴OO ⊥ O A , R = OA === 4 ，1 1∴球O 的表面积 S = 4π R 2 = 64π .故选：AOO 2 + O A 2 1 1 OO 2 + r 2 1⎨⎩⎩ 【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.⎧2x + y - 2 ≤ 0,11. y 满足约束条件⎪x - y -1 ≥ 0, 则z =x +7y 的最大值为 .⎪ y +1 ≥ 0,【答案】1【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数 z = x + 7 y 即： y = - 1 x + 1z ，77其中 z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在 y 轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最大值， 联立直线方程：⎧2x + y - 2 = 0 ，可得点 A 的坐标为： A (1, 0)，⎨x - y -1 = 0据此可知目标函数的最大值为： z max = 1+ 7 ⨯ 0 = 1 . 故答案 ：1．【点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0 时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0 时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.x 12. a = (1, -1), b = (m +1, 2m - 4) ，若a ⊥ b ，则m =.【答案】5【解析】【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.【详解】由a ⊥ b 可得a ⋅ b = 0 ，又因为a = (1, -1), b = (m +1, 2m - 4)，所以a ⋅ b = 1⋅(m +1) + (-1) ⋅ (2m - 4) = 0 ，即 m = 5 ， 故答案为：5.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.13. = ln x + x +1的一条切线的斜率为 2，则该切线的方程为 .【答案】 y = 2x【解析】【分析】设切线的切点坐标为(x 0 , y 0 ) ，对函数求导，利用 y ' |x = 2 ，求出 x 0 ，代入曲线方程求出 y 0 ，得到切线的点斜式方程，化简即可.【详解】设切线的切点坐标为( x , y ), y = ln x + x + 1, y ' = 1+ 1 ，y ' |=1 + 1 = 2, x = 1, y 0 0x= 2，所以切点坐标为(1, 2) ，x = x 00 0所求的切线方程为 y - 2 = 2(x -1) ，即 y = 2x . 故答案为： y = 2x .【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.14. a } 满足a+ (-1)n a = 3n -1，前 16 项和为 540，则a =.nn +2n1【答案】7n +2 n 【解析】【分析】对 n 为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用a 1 表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立a 1 方程，求解即可得出结论.【详解】a + (-1)n a = 3n -1，当 n 为奇数时， a n +2 = a n + 3n - 1 ；当n 为偶数时， a n +2 + a n = 3n - 1 . 设数列{a n } 的前n 项和为 S n ，S 16 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 += a 1 + a 3 + a 5= a 1 + (a 1 + 2) + (a 1 + 10) + (a 1 + 24) + (a 1 + 44) + (a 1 + 70)+(a 1 + 102) + (a 1 + 140) + (5 + 17 + 29 + 41)= 8a 1 + 392 + 92 = 8a 1 + 484 = 540 ，∴a 1 = 7 .故答案为： 7 .【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为 必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分.15. 受了一项加工业务，加工出来 产品(单位：件)按标准分为 A ，B ，C ，D 四个等级.加工业务约定：对于 A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费 90 元，50 元，20 元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费 50 元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25 元/件，乙分厂加工成本费为20 元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务， 在两个分厂各试加工了 100 件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表 + a 16+ a 15 + (a 2 + a 4 ) +(a 14 + a 16 )等级ABCD乙分厂产品等级的频数分布表（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来一件产品为A 级品的概率；（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100 件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?【答案】（1）甲分厂加工出来的A 级品的概率为0.4 ，乙分厂加工出来的A 级品的概率为0.28 ；（2）选甲分厂，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据两个频数分布表即可求出；（2）根据题意分别求出甲乙两厂加工100 件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选择．40【详解】（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为A 级品的概率为= 0.4 ，乙厂加工出10028= 0.28 ；来的一件产品为A 级品的概率为100（2）甲分厂加工100 件产品的总利润为40⨯(90 - 25)+ 20⨯(50 - 25)+ 20⨯(20 - 25)- 20⨯(50 + 25)= 1500 元，所以甲分厂加工100 件产品的平均利润为15 元每件；乙分厂加工100 件产品的总利润为28⨯(90 - 20)+17 ⨯(50 - 20)+ 34⨯(20 - 20)- 21⨯(50 + 20)= 1000 元，所以乙分厂加工100 件产品的平均利润为10 元每件．故厂家选择甲分厂承接加工任务．【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出3 A + C = 决策，属于基础题．16. 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c .已知 B =150°.（1）若 a = c ，b =2 ，求 ABC 的面积；（2）若 sin A +【答案】（1） sin C =2 ，求 C .2；（2）15︒ .【解析】【分析】（1） 已知角 B 和b 边，结合 a , c 关系，由余弦定理建立c 的方程，求解得出 a , c ，利用面积公式，即可得出结论；（2） 将 A = 30︒ - C 代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关C 角的三角函数值，结合C 的范围，即可求解.【详解】（1）由余弦定理可得b 2 = 28 = a 2 + c 2 - 2ac ⋅ cos150︒ = 7c 2 ，∴c = 2, a = 2 3,∴△ABC 的面积S = 1ac sin B = ； 2（2） 30︒ ，∴sin A + 3 sin C = sin(30︒ - C ) + 3 sin C= 1 cos C + 3 sin C = sin(C + 30︒) =2， 2 2 20︒ < C < 30︒,∴30︒ < C + 30︒ < 60︒ ， ∴C + 30︒ = 45︒,∴C = 15︒ .【点睛】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.17. D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心， ABC 是底面的内接正三角形，P 为 DO上一点，∠APC =90°．3 7 3 33 3= 3（1） 证明：平面 PAB ⊥平面 PAC ；（2） 设 DO =，圆锥的侧面积为 3π ，求三棱锥 P −ABC 的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）6 .8【解析】【分析】（1） 根据已知可得 PA = PB = PC ，进而有△PAC ≅ △PBC ，可得∠APC = ∠BPC = 90，即PB ⊥ PC ，从而证得 PC ⊥ 平面 PAB ，即可证得结论； （2） 将已知条件转化为母线l 和底面半径r 的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形 ABC 边长，在等腰直角三角形 APC 中求出 AP ，在 Rt APO 中，求出 PO ，即可求出结论.【详解】（1） Q D 为圆锥顶点， O 为底面圆心，∴OD ⊥ 平面 ABC ，P 在 DO 上， OA = OB = OC ,∴ PA = PB = PC ，ABC 是圆内接正三角形，∴ AC = BC ， △PAC ≅ △PBC ，∴∠APC = ∠BPC = 90︒ ，即PB ⊥ PC , PA ⊥ PC ， PA PB = P ,∴ PC ⊥ 平面 PAB , PC ⊂ 平面 PAC ，∴平面 PAB ⊥ 平面 PAC ；（2）设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，圆锥的侧面积为π rl =3π , rl = ，OD 2 = l 2 - r 2 = 2 ，解得r = 1, l = ， AC = 2r sin 60 ，在等腰直角三角形 APC 中， AP =2 AC =6 ，22在 Rt PAO 中， PO ==2 ，22 AP 2 - OA 26 - 1 4∴三棱锥 P - ABC 的体积为V= 1PO ⋅ S= 1 ⨯ 2 ⨯ 3 ⨯ 3 = 6 . P - ABC 3 △ABC3 24 8【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题.18. 数 f (x ) = e x - a (x + 2) .（1） 当a = 1 时，讨论 f (x ) 的单调性； （2） 若 f (x ) 有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）减区间为(-∞, 0) ，增区间为(0, +∞) ；（2）(1, +∞) . e 【解析】【分析】（1） 将a = 1 代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；（2） 若 f (x ) 有两个零点，即e x- a (x + 2) = 0 有两个解，将其转化为a = ex x + 2有两个解，令h (x ) = e xx + 2(x ≠ -2) ，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.【详解】（1）当a = 1 时， f (x ) = e x - (x + 2) ， f ' (x ) = ex -1，令f ' (x ) < 0 ，解得 x < 0 ，令 f ' (x ) > 0 ，解得 x > 0 ，所以 f (x ) 的减区间为(-∞, 0) ，增区间为(0, +∞) ；（2）若 f (x ) 有两个零点，即e x - a (x + 2) = 0 有两个解，1+2从方程可知， x = 2 不成立，即a = e x x + 2有两个解，ex'e x (x + 2) - e x e x (x +1) 令 h (x ) =(x ≠ -2) ，则有h (x ) =x + 2(x + 2)2=(x + 2)2，令 h ' (x ) > 0，解得 x > -1 ，令h ' (x ) < 0 ，解得 x < -2 或-2 < x < -1 ，所以函数h (x ) 在(-∞, -2) 和(-2, -1) 上单调递减，在(-1, +∞) 上单调递增，且当 x < -2 时， h (x ) < 0 ，而 x → -2+ 时， h (x ) → +∞ ，当 x → +∞时， h (x ) → +∞ ，所以当a =e x x + 2有两个解时，有a > h (-1) = 1 ，e所以满足条件的a 的取值范围是： ( , +∞) .e【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线 y = e x 和直线 y = a ( x + 2) 有两个交点，利用过点(-2, 0) 的曲线 y = e x 的切线 斜率，结合图形求得结果.19. 、B 分别为椭圆 E ：x 2a 2y= 1（a >1）的左、右顶点，G 为 E 的上顶点，AG ⋅ GB = 8 ，P 为直线 x =6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C ，PB 与 E 的另一交点为 D ．（1） 求 E 的方程；（2） 证明：直线 CD 过定点.x 2 2【答案】（1）+ y 9= 1；（2）证明详见解析.【解析】 【分析】（1）由已知可得： A (-a ,0) ， B (a ,0) ， G (0,1) ，即可求得 AG ⋅ G B = a 2 -1 ，结合已知 即可求得： a 2 = 9 ，问题得解.AG ⋅ G B = a 2 x 0 ⎝ ⎭y （2）设 P (6, y 0 ) ，可得直线 AP 的方程为： y = y(x + 3) ，联立直线 AP 的方程与椭圆方 9⎛ -3y 2 + 27 6 y ⎫ 程即可求得点C 的坐标为 0 , 0 ⎪ ，同理可得点D 的坐标为 y 2 + 9 y 2 + 9 ⎝ 0 0 ⎭⎛ 3y 2 - 3 -2 y ⎫ 0 , 0 ⎪ ，即可表示出直线CD 的方程，整理直线CD 的方程可得： y 2 +1 y 2 +1⎝ 0 0 y =4 y 0⎭⎛ x - 3 ⎫，命题得证. 3(3 - y 2 )2 ⎪【详解】（1）依据题意作出如下图象：2由椭圆方程 E : + a2 y 2 = 1(a > 1) 可得： A (-a ,0) ， B (a ,0) ， G (0,1)∴ AG = (a ,1) ， GB = (a , -1)∴ -1 = 8 ，∴ a 2 = 9∴ x 2 2椭圆方程为： + y = 19（2）证明：设 P (6, y 0 ) ，则直线 AP 的方程为： y =y 0 - 0 6 - (-3) ( x + 3) ，即： y = y 0 ( x + 3) 9 ⎧ x 2+ 2 = ⎪ 9联立直线 AP 的方程与椭圆方程可得： ⎨ y ，整理得： ⎪ y = 0 ( x + 3)⎪⎩9 1-3y 2 + 27 0 0 0 0⎝ 0 0 0 0 6 (3 - y )0 ⎩ 0 ⎭ ⎝ 2 0 ⎭ ( y 2 + 9) x 2 + 6 y 2 x + 9 y 2 - 81 = 0 ，解得： x = -3 或 x = 0-3y 2 + 27 y6 y 0y 2 + 9将x =代入直线y = 0 ( x + 3) 可得： y = 2y 2+ 99⎛ -3y 2 + 27 6 y ⎫ y 0 + 9所以点C 的坐标为 0 , 0 ⎪ .y 2 + 9 y 2 + 9 ⎝ 0 0 ⎭⎛ 3y 2- 3 -2 y ⎫ 同理可得：点 D 的坐标为 0 , 0 ⎪ y 2 +1 y 2 +1 ⎝ 0 0 ⎭6 y 0 - ⎛ -2 y 0 ⎫ ⎛ -2 y ⎫y 2 + 9 y 2 +1 ⎪ ⎛ 3y 2 - 3 ⎫ ∴直线CD 的方程为： y - 0 ⎪ = 0 ⎝ 0 ⎭ x - 0 ⎪ ， ⎝ y 2 +1 ⎭ -3y 2 + 27 3y 2- 3 - y 2 +1 ⎭ y 2 + 9 y 2 +12 y 8 y (y 2+ 3)⎛ 03y 2 - 3 ⎫ 8 y⎛ 3y 2 - 3 ⎫ 整理可得： y + 0= y 2 +1 0 0 6 (9 - y 4)x - ⎝ y 2 +1 ⎪ = 0 x - 0 y 2 +1 ⎪ 整理得： y =4 y 0 x + 2 y 0= 4 y 0 ⎛ x - 3 ⎫ 3(3 - y 2) y 2 - 3 3(3 - y 2 )2 ⎪ 00 故直线CD 过定点⎛ 3 ,0 ⎫ 0 ⎝ ⎭ 2 ⎪ ⎝ ⎭【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.（二）选考题：共 10 分。
2020年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ卷)文白卷(一)数学试题(解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）文白卷（一）数学试题一、单选题1．已知集合{}2,0,2,3,4,5A =-，{}2,3,5B =，则集合A B 中元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】直接根据交集的运算得出{}2,3,5A B =，即可得出答案.【详解】解：由题可知，{}2,0,2,3,4,5A =-，{}2,3,5B =， 则{}2,3,5AB =，所以集合A B 中元素的个数为3.故选：B . 【点睛】本题考查集合的交集的概念和运算，属于基础题.2．复平面内表示复数()()131z i i =--的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【解析】由复数的乘法运算求出24i z =--，即可得复数对应的点，从而可知正确答案. 【详解】解：()()213113324z i i i i i i =--=--+=--，则对应点坐标为()2,4--在第三象限， 故选:C. 【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了复数对应点的求解.本题的关键是将复数进行整理成标准形式.3．已知{}n a 是等差数列，411a =，720a =.若299n a =，则n =（ ） A ．98 B ．99C ．100D ．101【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，利用411a =，720a =列方程组，解得1a 和d ，再根据299n a =可解得结果. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 则11311620a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得123a d =⎧⎨=⎩，所以1(1)2(1)331n a a n d n n =+-=+-⨯=-， 由31299n -=，解得100n =. 故选：C. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式基本量的计算，属于基础题.4．若向量()1a m =-，，()1,2b =，且a b ⊥，则()()2a b a b -⋅+=（ ） A ．5 B ．13-C ．5-D ．13【答案】B【解析】先由a b ⊥得出0a b ⋅=继而求出m 的值，得出()21a =-，，然后由 ()()2222222a b a b aa b b a a b b -⋅+=+⋅-=+⋅-计算即可得解.【详解】因为a b ⊥，所以有0a b ⋅=，即20m -=，所以2m =，故()21a =-，，所以22(a =+=212b =+=所以()()2222222a b a b a a b ba ab b -⋅+=+⋅-=+⋅-22201055=⨯+-=-=.故选：A . 【点睛】本题考查平面向量的运算法则，考查向量的模的计算，考查平面向量的数量积，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.5．已知函数()cos f x ax ax =+的最小正周期是3，则实数a 的值为（ ） A ．3πB ．23π C ．23π-D ．23π±【答案】D【解析】根据两角和的正弦公式化为()2sin()6f x ax π=+，再根据周期公式可得答案.【详解】因为()3sin cos f x ax ax =+312(sin cos )22ax ax =⋅+⋅2sin()6ax π=+，所以最小正周期23||T a π==，解得23a π=±. 故选：D. 【点睛】本题考查了两角和的正弦公式，考查了三角函数的最小正周期公式，属于基础题. 6．某校高二年级共有2000名学生，其中男女比例为2：3，在某次数学测验中，按分层抽样抽取40人的成绩，若规定85分以上为优秀，且分数为优秀的学生中女生有2人，据此估计高二年级分数为优秀的女生人数为（ ） A ．60 B ．100C ．150D ．200【答案】B【解析】按分层抽样的比例性质计算即可. 【详解】因抽取40人的成绩中，分数为优秀的学生中女生有2人，即比例为20:1, 故高二年级分数为优秀的女生人数为200010020=人. 故选：B. 【点睛】本题考查了分层抽样，属于基础题.7．数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感，莱洛三角形的画法：先画等边ABC ，再分别以点A ，B ，C 为圆心、AB 长为半径画弧，如图①，在莱洛ABC 中，以BC 为边，在BC 的上方作矩形BCDE ，使边DE 经过点A .若莱洛三角形的周长为2π，则图②中阴影部分的面积为（ ）A ．4633π- B ．2333π-C ．4333π-D ．2633π-【答案】C【解析】根据莱洛三角形的周长为2π，求出2BC AC AB ===，然后求出矩形BCDE 的面积、两个弓形的面积和等边三角形的面积，用矩形面积减去两个弓形的面积和等边三角形的面积可得答案. 【详解】因为莱洛三角形的周长为2π，所以23AB AC BC π===， 又因为ABC 为等边三角形，所以3A B C π===， 根据弧长公式可得233AB ππ=⨯，所以2AB =，则2BC AC AB ===， 所以3BE =，所以矩形BCDE 的面积为23，AB 所在扇形的面积为2122233ππ⨯⨯=，所以弓形AB 的面积为22322333ππ-⨯=-，同理弓形AC 的面积为233π-， 所以图②中阴影部分的面积为223232(3)234π---⨯=4333π-. 故选：C. 【点睛】本题考查了弧长公式、扇形的面积公式，属于基础题.8．函数()2sin 31cos x xf x x=+的部分图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据题意，可知()f x 的定义域为x ∈R ，利用定义法判断出()f x 为奇函数，排除B 、D 选项，且当0x ≥时，令()0f x =，求出零点20,,,33x ππ=，再代入特殊值求得2224f ππ⎛⎫=-<- ⎪⎝⎭，可排除C 选项，从而得出答案. 【详解】解：由题可知，()2sin 31cos x xf x x=+，则()f x 的定义域为x ∈R ，则()()()()()22sin 3sin 31cos 1cos x x x xf x f x x x----===-+-+，可得()f x 为奇函数，则图象关于原点对称，故可排除B 、D ， 当0x ≥时，令()0f x =，即2sin 30x x =，解得：20,,,33x ππ=即()f x 的图象与x 轴非负半轴的交点的横坐标从左到右依次为：20,,,33ππ由于2323πππ<<，而223sin 222241cos2f πππππ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭==-<- ⎪⎝⎭+， 而由选项C 的图象中，可知当233x ππ<<时，()20f x -<<，不符合题意， 故可排除C. 故选：A. 【点睛】本题考查根据函数解析式识别函数图象，通过利用定义法判断函数的奇偶性，以及根据零点和特殊值法进行排除，考查运算能力.9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．3220π+B ．3226π+C ．3252π+D ．3256π+【答案】C【解析】根据三视图判断几何体的组成部分，分别求出各部分的表面积，即可求出几何体的表面积. 【详解】解：由三视图可知，该几何体是由一个长方体和半个圆柱组成的，则 长方体的表面积为()2488848256⨯⨯+⨯+⨯=，半圆柱的表面积为21221234πππ⨯+⨯+⨯⨯=+，重合部分的面积为224⨯=，则几何体的表面积为25643442523ππ-++-=+， 故选:C. 【点睛】本题考查了由三视图求几何体的表面积.本题的易错点是忽略了重合的区域面积. 10．若()ln xf x x=，则()2f 、()3f 、()4f 的大小关系不正确的是（ ） A ．()()23f f > B ．()()34f f < C ．()()42f f = D ．()()34f f >【答案】D【解析】作差，根据对数的性质以及对数函数的单调性比较可得答案. 【详解】因为232ln 33ln 2(2)(3)ln 2ln 3ln 2ln 3f f --=-=⋅ln 9ln80ln 2ln 3-=>⋅，所以(2)(3)f f >，故A 正确； 因为343ln 44ln 3(3)(4)ln 3ln 4ln 3ln 4f f --=-=⋅ln 64ln810ln 3ln 4-=<⋅，所以(3)(4)f f <，故B 正确，D 不正确；因为4242(4)(2)0ln 4ln 22ln 2ln 2f f -=-=-=，所以(4)(2)f f =，故C 正确； 故选：D. 【点睛】本题考查了对数的性质以及对数函数的单调性，属于基础题.11．已知有相同焦点1F 、2F 的椭圆()2211x y a a +=>和双曲线()2210x y m m-=>，则椭圆与双曲线的离心率积的最小值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】由椭圆和双曲线的方程和有相同的焦点，得出11a m -=+，设椭圆与双曲线交于点P ，设12,PF x PF t ==，由椭圆和双曲线的定义得出x t x t ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，在焦点三角形中利用余弦定理可求出1290F PF ∠=，根据椭圆和双曲线的离心率公式得出12e e ⋅==12e e ⋅的最小值. 【详解】解：由题可知，椭圆()2211x y a a +=>焦点在x 轴上，则21c a =-，对于双曲线()2210x y m m-=>焦点在x 轴上，则21c m =+，椭圆和双曲线有相同的焦点，则11a m -=+，即2a m =+， 设椭圆与双曲线交于点P ，设12,PF x PF t ==，由椭圆和双曲线的定义得：x t x t ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，则()()2244x t a x t m⎧+=⎪⎨-=⎪⎩， 解得：2222x t a mxt a m ⎧+=+⎨=-⎩，在12F PF △中，由余弦定理得：()2221222414224cos 022222a m a x t c m a F PF xt a m a m +--+--+∠====--，1290F PF ∴∠=，所以在12Rt F PF 中，2224x t c +=， 则2224a m c +=，即22a mc +=，21222122a mame e a m am am am am+∴⋅=⋅===≥=，当且仅当a m =时取等号，所以12e e ⋅的最小值为1， 即椭圆与双曲线的离心率积的最小值为1. 故选：A.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的离心率，考查椭圆和双曲线的方程、定义、简单几何性质以及焦点三角形的应用，还涉及余弦定理的应用和利用基本不等式求最值，考查化简运算能力，属于中档题.12．函数()3ln 2xf x e x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，若()f x 在(),1k k +，k ∈Z 上存在唯一零点，则k 的值可以是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由题意可转化为函数3()ln 2g x x x =-+在(),1k k +，*k N ∈上存在唯一零点，根据单调性和零点存在性定理可得答案. 【详解】因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以*k N ∈，所以函数()3ln 2x f x e x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在(),1k k +，*k N ∈上存在唯一零点， 所以3(ln )02xe x x -+=，即3ln 02x x -+=在在(),1k k +，*k N ∈上存在唯一实根， 所以函数3()ln 2g x x x =-+在(),1k k +，*k N ∈上存在唯一零点， 因为1()1g x x'=-<0在(),1k k +，*k N ∈上恒成立，所以()g x 在(,1)k k +，*k N ∈上为单调递减函数， 因为31(1)01022g =-+=>， 31(2)ln 22ln 222g =-+=-1ln 4ln ln 2ln 022ee -=-=>，33(3)ln 33ln 322g =-+=-3ln 9ln 02e -=<，所以函数3()ln 2g x x x =-+在()2,3上存在唯一零点， 所以2k =. 故选：B. 【点睛】本题考查了函数的零点，考查了利用导数研究函数的单调性，属于基础题.二、填空题13．已知a 、{}1,1,2b ∈-，则直线10ax by ++=不过第二象限的概率是________. 【答案】29. 【解析】利用列举法和古典概型的概率公式可求得结果. 【详解】因为基本事件(,)a b 有：(1,1)--，(1,1)-，(1,2)-，(1.1)-，(1,1)，(1,2)，(2,1)-，(2,1)，(2,2)，共9个，其中使得直线10ax by ++=不过第二象限的基本事件有：(1,1),-(1,2)-，共2个， 所以 直线10ax by ++=不过第二象限的概率是29. 故答案为：29. 【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，属于基础题.14．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n n a S n +=，则n S =________. 【答案】11()2nn -+【解析】当1n =时，代入题干可得112a =，当2n ≥时，111n n a S n --+=-，所以111n n n n a a S S ---+-=，即11(1)2n n a a -=+，2n ≥，用待定系数法化简整理可得{1}n a -是以12-为首项，12为公比的等比数列，解得11()2n n a =-，*n N ∈，运用分组求和法即可求出前n 项和n S 的值. 【详解】因为n n a S n +=，所以当1n =时，121a =，解得112a =， 当2n ≥时，111n n a S n --+=- 所以111n n n n a a S S ---+-=，即11(1)2n n a a -=+，2n ≥ 所以111(1)2n n a a --=-，即11112n n a a --=-，2n ≥ 所以{1}na -是以12-为首项，12为公比的等比数列，所以11111()()()222n n n a --=-⨯=-，即11()2nn a =-，2n ≥又112a =满足上式，所以11()2nn a =-，*n N ∈所以23123111111()1()1()2222nn n S a a a a =+++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+-=231111[()()()]2222n n -+++⋅⋅⋅+=11[1()]1221()1212n n n n --=-+- 故答案为：11()2nn -+【点睛】本题考查n S 与n a 的关系、待定系数法求数列的通项、分组求和法等知识，综合性较强.解题的关键在于根据n S 与n a 的关系，以及()11(1)2n nn a n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩进行化简求解，当出现1n n a pa q -=+（p ，q 为常数，且1p ≠）时，用待定系数法求通项，计算难度偏大，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.15．双曲线22221x y a b-=的离心率为2，过其左支上一点M 作平行于x 轴的直线交渐近线于P 、Q 两点，若4PM MQ ⋅=，则该双曲线的焦距为________. 【答案】8【解析】设()00,M x y ，写出渐近线方程，即可得00,a P y y b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，00,a Q y y b ⎛⎫⎪⎝⎭，结合4PM MQ ⋅=可得222024a x y b=-，由()00,M x y 在双曲线上可求出24a =，结合离心率可求出4c =，即可求出焦距. 【详解】解：设()00,M x y ，则2200221x y a b-=，双曲线渐近线方程为b y x a =±，所以当0y y =时，0a x y b =±，即00,a P y y b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，00,a Q y y b ⎛⎫⎪⎝⎭，因为//PQ x 轴， 所以00a MP y x b =--，00a MQ y x b =-，则2220024P x M a M b Q y =-⋅=，又2200221x y a b-=，即2222002a y x ab -=，所以24a =，即2a =，则离心率22c c e a ===， 所以4c =，所以焦距为28c =， 故答案为:8. 【点睛】本题考查了双曲线的离心率，考查了双曲线的渐近线方程.本题的关键是求出a 的值. 16．如图，在正方体ABCD EFGH -中，M 、N 、P 、Q 分别是FG 、GH 、AD 、AB 的中点，则下列说法：①//HP 平面BMN ；②PQ EG ⊥；③//MQ NP ；④//FQ 平面BMN ， 其中正确的命题序号是________.【答案】①②③④【解析】①构造平行四边形可证明线线平行，通过线线平行可证线面平行； ②利用线面垂直，证明线线垂直； ③构造平行四边形可证明线线平行； ④构造平面，通过线线平行可证线面平行. 【详解】在正方体ABCD EFGH -中，M 、N 、P 、Q 分别是FG 、GH 、AD 、AB 的中点，①如图,设BC 中点为R ，连接PR ，HP ，MB ，MN ，BN ，GR ，则有MG BR ，//MG BR∴四边形MGRB 为平行四边形， 同理四边形PRHG 为平行四边形， ∴//BM GR ，//HP GR ， ∴//BM HP且PH ⊄平面BMN ，BM ⊂平面BMN ， ∴//HP 平面BMN ， 故命题①正确；②如图，连接PQ ，BD ，EG ，FH ，则有EG ⊥平面BDHF ，//PQ BD ， 且BD ⊂平面BDHF ， ∴EG BD ⊥， ∴PQ EG ⊥， 故命题②正确；③如图，连接PN ，PQ ，MQ ，MN ，FH ，BD ，则有//MN FH ，12MNFH ，//PQ BD ，12PQ BD ，//BD FH ，BD FH ，∴//PQ MN ，PQ MN =， ∴四边形PQMN 是平行四边形， ∴//MQ NP ， 故命题③正确；④如图，设EF 中点为S 连接AS ，SN ，DN ，BD ，BN ，MN ，BM ，QF由③得//MN BD ， ∵SFAQ ，//SF AQ ，∴四边形SAQF 为平行四边形， 同理四边形SADN 为平行四边形， ∴//SA FQ ，//SA DN ， ∴//DN FQ ，且DN ⊂平面BDNM ，FQ ⊄平面BDNM ， ∴//FQ 平面BDNM ， 即//FQ 平面BMN ， 故命题④正确. 故答案为：①②③④. 【点睛】本题考查线线平行、线面平行、线线垂直的判断，构造平行四边形利用平行四边形的性质证明线线平行，以及构造三角形利用中位线定理证明线线平行是常用的方法，考查直观想象能力、逻辑推理能力，是中档题.三、解答题17．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且cos sin 6b A a B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求角A ；（2）若cos 5B =，5b =，求ABC 的面积. 【答案】（1）3π，（2. 【解析】（1）根据正弦定理可得cos sin 6A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再利用两角差的余弦公式变形可得tan A =3A π=；（2）根据正弦定理求出a ，根据诱导公式和两角和的正弦公式求出sin C ，再根据三角形的面积公式求出面积. 【详解】（1）因为cos sin 6b A a B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin cos 6b A b A a a π⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭， 所以cos sin 6A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以cos cos sin sin sin 66A A A ππ+=，所以tan A =0A π<<，所以3A π=.（2）因为cos 5B =，所以sin B ===，由正弦定理得sin sin b A a B ⨯==3=， 所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+12=+=所以ABC的面积为11sin 322ab C =⨯=. 【点睛】本题考查了正弦定理、诱导公式、三角形的面积公式、两角和的正弦公式，属于中档题. 18．如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，PAD △是边长为2的等边三角形，3BAD π∠=，E ，F ，M 分别为AD ，BC ，PC的中点.（1）证明：//PA 平面MEF ； （2）求四棱锥P ABCD -的侧面积.【答案】（1）证明见解析；（2）3+6+15.【解析】（1）连接AC 交EF 于点G ，显然G 为AC 的中点，证明//MG PA ，//PA 平面MEF 即得证；（2）求出四棱锥P ABCD -的四个侧面的面积即得解. 【详解】（1）连接AC 交EF 于点G ，显然G 为AC 的中点，在PAC 中，M 为PC 中点， 所以//MG PA ，因为MG ⊂平面MEF ，PA ⊄平面MEF , 所以//PA 平面MEF ；（2）PAD △是边长为2的等边三角形，所以122sin 6032PADS=⨯⨯⨯=.连接,,PE BE 3PE =,在ABE △中，由余弦定理得222cos 3BE AE AB AE AB BAE =+-⨯⨯∠=又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，PE AD ⊥,PE ⊂平面PAD ,所以PE ⊥平面ABCD ,又BE ⊂平面ABCD ， 所以PE BE ⊥，故6PB =由余弦定理得115cos ,sin 44PAB PAB ∠=∴∠=, 所以1151522242PABS=⨯⨯⨯=. 同理可得157,10,2PCDCE PC S===, 由222,PB BC PC PBC +=∴是直角三角形， 所以16262PBCS==, 所以四棱锥P ABCD -3+6+15【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查几何体侧面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．某公司为强化自己的市场竞争地位，决定扩大公司规模，拓展业务，建立连锁公司，连锁公司利润的20%归总公司，建立连锁公司的数量与单个公司月平均利润的关系如下表所示： 连锁公司数量x /个56789由相关系数r 可以反映两个变量相关性的强弱，[]0.75,1r ∈，认为变量相关性很强；[]0.3,0.75r ∈，认为变量相关性一般；[]0,0.3r ∈，认为变量相关性较弱.（1）计算相关系数r ，并判断变量x 、y 相关性强弱； （2）求y 关于x 的线性回归方程（3）若一个地区连锁公司的前期投入p （十万元）与数量()56789x x =、、、、的关系为212.254p x x =--，根据所求回归方程从公司利润角度帮公司对一个地区连锁公司数量做出决策.12.85≈，参考公式：相关系数()()niix x y y r --=∑线性回归方程ˆˆˆybx a =+中，()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-. 【答案】（1）0.97r ≈，变量x 、y 相关性很强；（2）ˆ 1.2513.75y x =-+；（3）6个【解析】（1）根据给出的数据和公式，求出相关系数r ，并判断变量x 、y 相关性强弱； （2）根据给出的数据和公式，求出y 关于x 的线性回归方程；（3）将总公司利润表过出来，再根据何时取最大值，帮公司对一个地区连锁公司数量做出决策. 【详解】 （1）由题5678975x ++++==，86 4.5 3.5355y ++++==则()()1niii x x yy =--∑(57)(85)(67)(65)(77)(4.55)(87)(3.55)(97)(35)=--+--+--+--+--=12.5-()21ni i x x=-∑22222(57)(67)(77)(87)(97)10=-+-+-+-+-=()21nii yy=-∑22222(85)(65)(4.55)(3.55)(35)16.5=-+-+-+-+-=则()()niix x y y r--=∑12.512.85-==0.97≈-，则[]0.75,1r ∈，变量x 、y 相关性很强；（2）由题()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑12.51.2510-==-， 又ˆˆay bx =-5( 1.257)13.75=--⨯=， 故ˆ 1.2513.75yx =-+. （3）总公司利润( 1.2513.75)20%y x x p =-+⋅-=2)( 1.2513.75)212.20%(54x x x x -+--⋅-=21.25154x x -++，即21.25154y x x =-++，()56789x =、、、、 对称轴为01561.252x ==⨯，故当6x =时，总公司利润利润最大，故公司对一个地区连锁公司数量为6个. 【点睛】本题考查了相关系数的计算与应用，求线性回归方程，利润的理解与应用，二次函数的最值问题，还考查了学生的分析能力，运算能力，属于中档题.20．已知圆()()22:40M x y a a +-=<与直线40x y ++=相离，Q 是直线40x y ++=上任意点，过Q 作圆M 的两条切线，切点为A ，B .（1）若AB =MQ ；（2）当点Q 到圆M 的距离最小值为2时，证明直线AB 过定点. 【答案】(1)4;(2)证明见解析.【解析】(1) 连接,AB QM 交于点C ，可求出BC =,63MBC QBC ππ∠=∠=，在直角三角形中，可求出cos BCQB QBC==∠股定理可知MQ 的长度.(2)由距离最小值可知圆心到直线的距离为，结合点到直线的距离公式可求出圆心坐标，设(),4Q b b --，结合勾股定理可知222812QA b b =-+，从而可求出以Q 为圆心，QA 为半径的圆Q 的方程，联立圆M 与圆Q ，整理可得()2216568b y x y -+=+，令221601680y x y -+=⎧⎨+=⎩，即可求出定点的坐标.【详解】(1)解：连接,AB QM 交于点C ，由圆的性质可知AB QM ⊥，且12BC AB == 因为()()22:40M x y a a +-=<，所以其半径2r ，即2MB r ==，所以cos 2BC MBC BM ∠==，则,6263MBC QBC ππππ∠=∠=-=，所以cos cos 3BC QB QBC ===∠则4QM ===(2)解：过M 作直线40x y ++=的垂线，当垂足为Q 时，点Q 到圆M 的距离最小，则2QM r =+==8a =-或0(舍去)，所以()0,8M -，设(),4Q b b --，则()2222222422812QA QM MA b b b b =-=+--=-+， 则以Q 为圆心，QA 为半径的圆()()222:42812Q x b y b b b -+++=-+，则AB 是圆M 与圆Q 的公共弦，则联立得()()()222228442812x y x b y b b b ⎧++=⎪⎨-+++=-+⎪⎩ ， 两方程相减可得()2216568b y x y -+=+，令221601680y x y -+=⎧⎨+=⎩ ，解得62x y =⎧⎨=-⎩所以直线AB 过定点()6,2-.【点睛】本题考查了圆的切线问题，考查了两圆公共弦的求解，考查了点到直线的距离，考查了圆的标准方程.21．已知函数()3222f x x ax a x =-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若0a <，记()f x 的极小值为()g a ，证明：()()219a g a +<.【答案】（1）当0a =时，单调递增；当0a >时，递增区间为(,),(,)3aa -∞+∞，递减区间(,)3a a ；当0a <时，递增区间(,),(,)3a a -∞+∞，递减区间(,)3aa ； （2）证明见解析.【解析】（1）求得函数的导数()3()()3af x x a x '=--，分类讨论，即可求解函数的单调区间；（2）由（1）可知，取得()3427a g a =，把()2(1)9a g a +<，转化为3243630a a a ---<，设()23,04363x h x x x x ---<=，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】（1）由题意，函数()3222f x x ax a x =-+，则()2234()(3)3()()3a f x x ax a x a x a x a x '=-+=--=--，①当0a =时，()230f x x '=≥，此时函数()f x 单调递增；②当0a >时，令()0f x '>，即()()03a x a x -->，解得3ax <或x a >， 令()0f x '<，即()()03ax a x --<，解得3<<ax a ， 所以函数()f x 在(,),(,)3aa -∞+∞单调递增，在(,)3a a 上单调递减；③当0a <时，令()0f x '>，即()()03a x a x -->，解得x a <或3ax >，令()0f x '<，即()()03a x a x --<，解得3a a x <<， 所以函数()f x 在(,),(,)3aa -∞+∞单调递增，在(,)3a a 上单调递减， 综上可得：当0a =时，函数()f x 单调递增；当0a >时，函数()f x 递增区间为(,),(,)3a a -∞+∞，递减区间(,)3a a ；当0a <时，函数()f x 递增区间(,),(,)3a a -∞+∞，递减区间(,)3a a . （2）由（1）可知，当0a <时，()f x 在(,),(,)3a a -∞+∞单调递增，在(,)3a a 上单调递减，所以当3ax =时，函数()f x 取得极小值， 极小值为()33224()()2()333327a a a a a g a f a a ==-⨯+⨯=，要证：()2(1)9a g a +<，只需证：32(1794)2a a +<，只需证：323()41a a <+， 即3243630a a a ---<，设()23,04363x h x x x x ---<=，则()2666(1112)(2)x h x x x x --=-+'=，令()0h x '>，即(1)(21)0x x -+>，解得21x <-或1x >， 令()0h x '<，即(1)(21)0x x -+<，解得112x -<<， 所以函数()h x 在区间1(,0)2-上单调递减，在区间1(,)2-∞-上单调递增，所以当12x =-时，()h x 取得最大值，最大值为15()024h -=-<，即当0x <时，()0h x <，即3243630a a a ---<，所以()2(1)9a g a +<. 【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为4sin 2cos 3ρθρθ-=.（1）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若过点1,12⎛⎫⎪⎝⎭的直线m 垂直于l ，求直线m 截曲线C 所得的弦长.【答案】（1）C ：2212y x +=，l ：2430x y -+=；（2）3【解析】（1）消去参数θ后可得C 的普通方程，根据极坐标公式可求得直线l 的直角坐标方程.（2）先求得直线m 的方程，再与C 联立，根据弦长公式求得弦长. 【详解】（1）由曲线C的参数方程为cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩可得2212y x +=.故曲线C 的普通方程为2212y x +=.因为直线l 的极坐标方程为4sin 2cos 3ρθρθ-=，则423y x -=， 所以l 的直角坐标方程为2430x y -+=. （2）由（1）12l k =，则2m k =-，又过点1,12⎛⎫⎪⎝⎭，则1:12()2m y x -=--，即:22m y x =-+，又曲线C ：2212y x +=，设l 与C 交于1122(,),(,)P x y Q x y ，则222212y x y x =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得23410x x -+=，得113x =，21x =，则21||||3PQ x x =-=. 【点睛】本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与曲线相交弦长问题，还考查了学生的运算能力，属于中档题. 23．已知函数()14f x x x =-+-，()g x x m =+. （1）若2m =，解不等式()()f x g x <；（2）若不等式()()f x g x <的解集非空，求m 的取值范围. 【答案】（1）(1,7)，（2）1m >-.【解析】（1）对x 分3种情况讨论去绝对值，可解得结果；（2）不等式()()f x g x <的解集非空，化为|1||4|x x x m -+--<有解，然后分类讨论求出|1||4|x x x -+--的最小值，再根据不等式有解可得结果. 【详解】（1）若2m =时，()()f x g x <化为|1||4|2x x x -+-<+， 当1x ≤时，化为142x x x -+-<+，此时不等式无解； 当14x <<时，化为142x x x -+-<+，解得14x <<； 当4x ≥时，化为142x x x -+-<+，解得47x ≤<. 所以原不等式的解集为(1,7).（2）不等式()()f x g x <的解集非空，化为|1||4|x x x m -+--<有解， 当1x ≤时，|1||4|x x x -+--1453x x x x =-+--=-[2,)∈+∞， 当14x <<时，|1||4|x x x -+--14x x x =-+--3x =-(1,2)∈-； 当4x ≥时，|1||4|x x x -+--145x x x x =-+--=-[1,)∈-+∞， 所以|1||4|x x x -+--[1,)∈-+∞，因为|1||4|x x x m -+--<有解，所以1m >-. 【点睛】本题考查了分类讨论法解绝对值不等式，属于基础题.。
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A．0 条
B．1 条
C．2 条
3
D．3 条
11．设双曲线
C
：
x a
2 2
y2 b2
1(a
0,b 0) 的左、右焦点分别为 F1(c, 0) ， F2 (c, 0) ，直线 l ：
y
a b
(x
c)
与双曲线
C
在第一、三象限的渐近线的交点为
P
，若
PF1
PF2
，则双曲线的离心率
为（ ）
A． 5
B．2
（一）必考题：共 60 分
a2 c2 b2
的取值范围为______.
ac
16．设三棱锥 P ABC 的每个顶点都在球 O 的球面上， PAB 是面积为 3 的等边三角形，
4
ACB 45 ，则当三棱锥 P ABC 的体积最大时，球 O 的表面积为______.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必做题,每个考生都必须作答.第 22/23 题为选考题，考生根据要求作答.
C． 3
D． 2
12．已知函数
f
x 为偶函数，当
x
0
时，
f
x
x2 4x
x 2x
，则（
）
A． f 2 f 9.10.2 f 30.3
B． f 30.3 f 9.10.2 f 2
C． f 2 f 30.3 f 9.10.2
D． f 9.10.2 f 30.3 f 2
第Ⅱ卷（非选择题)
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在题中的横线上。 13．中医药是反映中华民族对生命、健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法
的医药学体系，是中华文明的瑰宝.某科研机构研究发现，某品种中成药的药物成份 A 的含量 x （单 位： g ）与药物功效 y （单位：药物单位）之间具有关系： y x(20 x) .检测这种药品一个批次的 5 个样本，得到成份 A 的平均值为 8g ，标准差为 2g ，估计这批中成药的药物功效的平均值为
2
值，首创“割圆术”.利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著
名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的程序框图，则输出的 n 值为（ ）（参考数据： sin7.5 0.1305, sin15 0.2588 ）
A．6
B．12
C．24
D．48
9．已知函数 f x 2 cos x ，若将曲线 y f 2x 向左平移 个单位长度后，得到曲线 12
7
A．
15
13
B．
15
14
C．
15
29
D．
30
5．正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 是棱 AB 上的动点，则直线 A1D 与直线 C1E 所成的角等于 ( )
A．60°
B．90°
C．30°
D．随点 E 的位置而变化
6．已知 tanα=–2，则 1 sin2 2 sincos 的值为( )
第Ⅰ卷（选择题)
一、单选题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。
1．已知 i 为虚数单位，若复数 1 i z 3 i ，则 z （ ）
A． 1
B． 1
C． 5
D． 2 或1
2．若集合 A x | 1 x 1 ， B x | log2 x 1 ，则 A B （ ）
2020 年高考必刷卷（新课标卷）01
数学（理）
（本试卷满分 150 分，考试用时 120 分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷 类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置 上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作 答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
y g x ，则不等式 g(x)1的解集是（ ）
A．
k
5 12
, k
4
k
Z
B．
k
12
, k
3 4
k
Z
C．
k
3 8
, k
7 4
k
Z
D．
2k
5 6
, 2k
2kLeabharlann Z10．现有三条曲线：
①曲线 y 2ex 2 ；②曲线 y 2 sin x ；③曲线 y x3 x 2 .直线 y 2x 与其相切的共有
__________药物单位．
14．已知 3a 12 ， b 2 log3 2 ，现有下列四个结论：
① a 2b ；② a b 1；③ a 2b ；④ a b 3 .其中所有正确结论的编号是______.
15．设 a ， b ， c 分别为 ABC 内角 A ， B ， C 的对边.已知 2a 3b 3c ，则 C ______， cos B cos C
4
5
1
A．
25
25
B．
7
7 C．
25
25 D．
17
7．在平行四边形 ABCD 中， AB 4 ， AD 1 ， BAD 60 ， DE DC ， 2 AE DB 9 ，则
（ ）
1
A．
2
1
B．
4
4
C．
7
3
D．
4
8．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽利用不断倍增圆内接正多边形边数的方法求出圆周率的近似
A． (1，1)
B． (0 ，1)
C． (1，2)
D． (0 ， 2)
3．若椭圆 3x2 ky2 1 的一个焦点的坐标是 0,1 ,则其离心率等于( )
1
A．2
1
B．.
2
C．. 2 3 3
D． 3 2
4．2019 年庆祝中华人民共和国成立 70 周年阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向强起来的 雄心壮志.阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最，编组之新、要素之全彰显强军成就.装备方阵堪 称“强军利刃”“强国之盾”，见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐.此次大阅兵不仅得到了全 中国人的关注，还得到了无数外国人的关注.某单位有 10 位外国人，其中关注此次大阅兵的有 8 位， 若从这 10 位外国人中任意选取 3 位做一次采访，则被采访者中至少有 2 位关注此次大阅兵的概率为 （）