等积法求体积点到面的距离【教师版】

等积法求三棱锥的体积【教师版】2014/10/14

由于三棱锥是由4个三角形围成的四面体，任何一个三角形都可以看成其底面。但在求体积时需要选择合适的底和高，这就需要灵活换底面，但是三棱锥的体积保持不变。这种方法我们称为“等积法”，它是三棱锥求体积的巧妙方法，也是其“专属产品”。其他的，如四棱锥求体积就不能随意换底，不能用等积法求体积。另外，等积法的优越性还体现在求“点到平面的距离”中。

【注意】等积法求体积时，要谨记“先证后求”的原则，先作出或证明底面的高，再计算三棱锥的体积。

例1

例2．（2011佛山一中三校联考）

如图，已知三棱锥A —BPC 中，AP ⊥PC ， AC ⊥BC ，

M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形。

（Ⅰ）求证：DM ∥平面APC ；

（Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面APC ；

（Ⅲ）若BC ＝4，AB ＝20，求三棱锥D —BCM 的体积．

例2．解：（Ⅰ）由已知得，MD 是∆ABP 的中位线

∴AP MD ∥ ……………2分

APC AP APC MD 面面⊂⊄,

∴APC MD 面∥ ……………4分

（Ⅱ）PMB ∆ 为正三角形，D 为PB 的中点，

∴PB MD ⊥， …………………5分

∴PB AP ⊥ …………………6分

又P PC PB PC AP =⋂⊥, ∴PBC AP 面⊥ ……………………7分

PBC BC 面⊂ ∴BC AP ⊥

又A AP AC AC BC =⋂⊥, APC BC 面⊥∴ ………………9分

ABC BC 面⊂ ∴平面ABC ⊥平面APC ………………10分

（Ⅲ）∵PBC MD 面⊥，∴MD 是三棱锥M —DBC 的高，且MD ＝53…11分

又在直角三角形PCB 中，由PB ＝10，BC ＝4，可得PC ＝221 ………12分 于是12

BCD BCP S S ∆∆=＝221 ………………………………………………13分 ∴D BCM V -＝71031==-Sh V DBC M …………………………14分

例3．（茂名2010二模）如图，在底 面是菱形的四棱锥S —ABCD 中，SA=AB=2，2 2.SB SD ==

（1）证明：BD ⊥平面SAC ；

（2）问：侧棱SD 上是否存在点E ，使得SB//平面ACE ？请证明你的结论；

（3）若0120BAD ∠=，求几何体A —SBD 的体积。

例3．解：（1）

四棱锥S —ABCD 底面是菱形，

BD AC ∴⊥且AD=AB ，

又SA=AB=2，2 2.SB SD ==

222222,SA AB SB SA AD SD ∴+=+=

,SA AB SA AD ∴⊥⊥，

又AB AD A ⋂=， 2分

SA ∴⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，从而SA ⊥BD 3分 又SA AC A ⋂=，

BD ∴⊥平面SAC 。 4分

（2）在侧棱SD 上存在点E ，使得SB//平面ACE ，其中E 为SD 的中点 6分

证明如下：设BD AC O ⋂=，则O 为BD 的中点，

又E 为SD 的中点，连接OE ，

则OE 为SBD ∆的中位线。 7分

//OE SB ∴，又OE ⊂平面AEC ，SB ⊄平面AEC 8分 //SB ∴平面ACE 10分

（3）当0120BAD ∠=时，0113sin120223222ABD S AB AD ∆=

⋅=⨯⨯⨯= 12分 ∴几何体A —SBD 的体积为

112333

A SBD S ABD ABD V V S SA --∆==⋅== 14分 点到面的距离

一、知识点 （求点到面的距离主要方法：）

（1）直接法：由定义作出垂线段并计算，用线面和面面垂直的判定及性质来作；

（2）转移法：若直线//AB 平面α，则直线AB 上任意一点到平面的距离相等；

（3）等体积法：用同一个三棱锥选不同底计算体积，再求高，即点到面的距离。

二、基础热身

1、在棱长为a 的正方体1AC 中找出表示下列距离的垂线段:

直接法：

（1）点A 到面11B BCC 的距离 ；

（2）11D B 到面ABCD 的距离 ；

（3）点A 到面11B BDD 的距离 ．

(4)求C 到平面1BDC 的距离 。1A C

转移法：

棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱','AA BB 中点，求点'B 到平面'D EF 的距离

F E

C A

D D'C'

B'A'

提示：因为''//''//'A B EF A B D EF ⇒平面，所以点'B 到平面'D EF 的距离即为点'A 到平面'D EF 的距离。作''A H ED ⊥，证明''A H D EF ⊥平面。5'A H =

。 【活学活用】 3、在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中,E,F 分别为棱'BB 和CD 的中点, 求点F 到平面''A D E 的距离。

E F C

A D D'C'

B'

A'

提示：法一 直接法：将三角形扩大到平行四边形，高

''FH A D GE ⊥平面。

取'CC 的中点G ，连接'D G 、EG ，过F 作垂线FH ⊥'D G 。

可以证得EG//''A D ，所以平面''A D GE ，即平面''A D E 。

可以证得EG ⊥平面''DCC D ，所以EG ⊥FH 由FH ⊥'D G 、EG ⊥FH ，EG ∩'D G = G 可知FH ⊥平面''A D GE

所以FH 即F 到平面''A D E 距离。

根据勾股定理可以求得：221

5

'1()24D G =+=， 5

'2D G =

又知：△'FD G 的面积 = S 四边形''DCC D - S △'DD F - S △''D C G - S △FGC

1

1

1

314488=---=，3

235

8

'FH D G ⨯==