大工《复变函数与积分变换》课程考试模拟试卷A答案
《复变函数与积分变换》课程考试模拟试卷A及答案
机 密★启用前大连理工大学网络教育学院2014年3月份《复变函数与积分变换》课程考试模 拟 试 卷考试形式：闭卷 试卷类型：（A ）☆ 注意事项：本考卷满分共：100分；考试时间：90分钟。
学习中心______________ 姓名____________ 学号____________一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1、已知iii z +--=131，则=z Re （ ）A 、0B 、21-C 、23-D 、无法确定2、下列函数中，为解析函数的是（ ） A 、xyi y x 222--B 、xyi x +2C 、)2()1(222x x y i y x +-+-D 、33iy x +3、设2,3z i z =+=ω，则=ωarg （ ）A 、3π B 、6π C 、6π-D 、3π-4、2)1()1()31(-+--=i i i z 的模为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、25、=-⎰=-dz z e z z1|2|2（ ） A 、e 2B 、e π2C 、22e πD 、i e 22π6、C 为正向圆周：2||=z ，则=-⎰dz z z e C z2)1(（ ）A 、i πB 、i π2C 、i π-D 、i π47、将点1,,1-=i z 分别映射为点0,1,-∞=ω的分式线性变换为（ ） A 、11-+=z z ω B 、zz -+=11ω C 、zz e i-+=112πωD 、112-+=z z eiπω 8、0=z 是3sin zz的极点，其阶数为（ ） A 、1B 、2C 、3D 、49、以0=z 为本性奇点的函数是（ ） A 、zzsin B 、2)1(1-z zC 、ze 1D 、11-z e 10、设)(z f 的罗朗展开式为 +-++-+-+----nz n z z z z )1()1(2)1(11)1(222，则 =]1),([Re z f s （ ）A 、-2B 、-1C 、1D 、2二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1、=-i33____________________________________2、设C 为正向单位圆周在第一象限的部分，则积分=⎰zdz z C3)(_________。
2019-2020-1复变函数与积分变换A卷答案
2019 至 2020 学年复变函数与积分变换第一学期试卷（A 卷）
标准答案及评分标准
一、判断题（2 分×4=8 分）
1.×
2.×
3.×
二、选择题（2 分×5=10 分）
1.B
2.D
3.C
三、填空题（2 分×5=10 分）
1. 1 + 1 i 22
2.∞ 3.一阶极点（或简单极点）
4.√ 4.B
对(1)两边求 y 的积分，可得 v= 6x dy x = 6xy x (3)
再对(3)两边同时求 x 的偏导，对比(2)可得， x =0, x C
从而 v= 6xy C ， f z = 3y2 3x2 i 6xy C
由于 f (0) 2i ，故 C=-2，
f z = 3y2 3x2 i 6xy 2 3z2 2i
4. 3t 2
5.C
5. f (t)e jtdt
四、计算题（8 分×4=32 分）
1.（8 分）解：方程即为 z3 1 i=
2
cos
3 4
isin
3 4
根据 3 次方根公式可得：
1
z (1 i)3
2
3
1 3
cos
4
2k 3
3 isin 4
2k 3
, k 0,1,2
1
1 s
4
因此我们有
y(t) =L1 Y (s) 1 1 et 1 e4t
4 3 12
所以方程有 3 个根，对应于 k=0,1,2 分别为
z
6
2
cos
4
i
sin
4
,
6
2
cos
11 12
复变函数与积分变换五套试题及答案
复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．的模 ，幅角 。
)31ln(i --2．-8i 的三个单根分别为： ，，。
3．Ln z 在 的区域内连续。
4．的解极域为：。
z z f =)(5．的导数。
xyi y x z f 2)(22+-==')(z f 6．。
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s 7．指数函数的映照特点是：。
8．幂函数的映照特点是：。
9．若=F [f (t )]，则= F 。
)(ωF )(t f )][(1ω-f 10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。
二、(10分)已知，求函数使函数为解析函222121),(y x y x v +-=),(y x u ),(),()(y x iv y x u z f +=数，且f (0)=0。
三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2）1．⎰=-2||)1(z z z dz2． C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
⎰-c i z z3)(cos 五、（10分）求函数在以下各圆环内的罗朗展式。
)(1)(i z z z f -=1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z 六、证明以下命题：（5分×2）（1）与构成一对傅氏变换对。
)(0t t -δo iwt e -（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i 七、（10分）应用拉氏变换求方程组满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。
⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案（一）一、1．， 2.-i 2i -i22942ln π+ππk arctg 22ln 32+-333.Z 不取原点和负实轴 4. 空集5.2z 6．07.将常形域映为角形域8.角形域映为角形域9.10.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(21⎰∞+-0)(dte tf st 二、解：∵∴（5分）yu x x v ∂∂-=-=∂∂xuy y v ∂∂==∂∂c xy u +=cxy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0（3分）∴（2分）222222)2(2)(2)(z ixyi y x i y x i xy z f -=+--=--=三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π01=z 12=z （2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π33=z ∞=4z 2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s =0⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（∴原式=（2分） =23126⨯⨯i πi 63π-四、1．解：原式（3分）z 1=0z 2=1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221=0（2分）]11[2+-=i π2．解：原式=iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-=1ich π-五、1．解：ni z z f ∑∞⎪⎫⎛--⋅=⋅⋅=⋅=1111111111)(分）（分）（分）（（2分）11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）（2分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i 六、1．解：∵（3分）∴结论成立0)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（2）解：∵（2分）1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰t i t i e dw e ∴与1构成傅氏对)(2w πδ∴（2分）)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i 七、解：∵（3分）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX S （2）-（1）：∴（3分）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s ∴cht e e t Y t t -=--=-121211)(八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ；③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。
大工《复变函数与积分变换》课程考试模拟试卷A答案
机 密★启用前大连理工大学网络教育学院2014年8月份《复变函数与积分变换》课程考试 模拟试卷答案考试形式：闭卷 试卷类型：A一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1、B2、C3、C4、D5、B6、D7、B8、A9、C10、A二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1、)]5sin(ln )5[cos(ln 5ln i e +2、k ek (22ππ--为整数)3、3,2,1,0)]216sin()216[cos(28=+++k k i k ，ππππ4、2ln5、e i 2-和e i26、07、28、i π29、i π2 10、sin 2三、计算题（本大题共5小题，每小题8分，共40分）1、先把括号中的两个复数化成三角式：)3sin 3(cos231ππi i +=+（1分） ))3sin()3(cos(231ππ-+-=-i i （1分） 再由复数的除法和求乘幂的方法，得1010))3sin()3(cos(2)3sin 3(cos 23131⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+ππi i i i （2分）10)33sin()33cos(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=ππππi （2分）ππ320sin 320cos i +=i 2321+-=（2分） 2、22221211)1)(1()1(11n nin n ni ni ni ni ni z n +++-=+-+=-+=（2分）22212,11nn y n n x n n +=+-=（2分） 而0lim ,1lim =-=∞→∞→n n n n y x （2分）因此1lim -=∞→n n z ，即复数列niniz n -+=11收敛于-1（2分） 3、因zz z1sin 1cos1cot =，在πk z =1处，即0),,2,1(1=±±==z k k z kπ处z 1cot 不解析（4分），且 0lim =∞→k k z ，故0不为z1cot 的孤立奇点。
《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案详解(可打印修改)
给出 C-R 条件 6 分，正确求导给 2 分，结果正确 2 分。
（2）．计算
C
(z
ez 1)2
z
dz
其中
C
是正向圆周：
解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算， 仅给出用前者计算过程
因为函数
f
(z)
(z
ez 1)2
z
在复平面内只有两个奇点
z1
0, z 2
1，分别以
z15
（3）．
dz
z 3 (1 z 2 )2 (2 z 4 )3
解：设 f (z) 在有限复平面内所有奇点均在： z 3 内，由留数定理
z15
dz 2i Re s[ f (z), ]
z 3 (1 z 2 )2 (2 z 4 )3
-----（5 分）
2i Re s[ f (1) 1 ] z z2
f (1) 1
( 1 )15 z
1
z z 2 (1 1 )2 (2 (1 )4 )3 z 2
z2
z
----（8 分）
1 f( )
1
1
有唯一的孤立奇点z 0,
z z 2 z(1 z 2 )2 (2z 4 1)3
lim lim Re s[ f
1 ()
1
,0]
1 zf ( )
1
1
1
z z2
z 0
（4） z 2,3,4L ，为f (z)的三级极点；
：
f
(z)
z(z2
1)(z 2)3 (z (sin z)3
3)2
的奇点为z
k, k
0,1,2,3,L
，
（1） z k,k 0,1,2,3,L 。。 sinz。 3 0。。。。。。
大工《复变函数与积分变换》课程考试试卷A 2
大工《复变函数与积分变换》课程考试试卷（A ） 试卷 第 1 页 共 2 页大连理工大学网络教育学院2014年3月份《复变函数与积分变换》课程考试试 卷考试形式：闭卷 试卷类型：（A ）☆ 注意事项：1、本考卷满分共：100分；考试时间：90分钟。
2、所有客观题必须答到题目下方表格处。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1、已知iii z +--=131，则=z Re （ ）A 、0B 、21-C 、23- D 、无法确定2、下列函数中，为解析函数的是（ ）A 、xyi y x 222--B 、xyi x +2C 、)2()1(222x x y i y x +-+- D 、33iy x + 3、设2,3z i z =+=ω，则=ωarg （ ）A 、3π B 、6πC 、6π-D 、3π-4、2)1()1()31(-+--=i i i z 的模为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、25、=-⎰=-dz z e z z1|2|2（ ） A 、e 2 B 、e π2 C 、22e π D 、i e 22π6、C 为正向圆周：2||=z ，则=-⎰dz z z e Cz2)1(（ ）A 、i πB 、i π2C 、i π-D 、i π47、将点1,,1-=i z 分别映射为点0,1,-∞=ω的分式线性变换为（ ）A 、11-+=z z ωB 、z z -+=11ω C 、z z e i -+=112πω D 、112-+=z z e i πω8、0=z 是3sin zz的极点，其阶数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 9、以0=z 为本性奇点的函数是（ ）A 、z z sinB 、2)1(1-z z C 、ze 1D 、11-z e10、设)(z f 的罗朗展开式为 +-++-+-+----nz n z z z z )1()1(2)1(11)1(222，则 =]1),([Re z f s （ ）A 、-2B 、-1C 、1D 、2二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1、6)1(i +的值为________。
大工《复变函数与积分变换》课程考试模拟试卷
优秀学习资料 欢迎下载20XX 年3月份《复变函数与积分变换》课程考试模 拟 试 卷考试形式：闭卷 试卷类型：（A ）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1、B2、C3、C4、D5、B6、D7、B8、A9、C10、A一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1、设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是（ ） A 、),(),(y x iu y x v +B 、),(),(y x iu y x v -C 、),(),(y x iv y x u -D 、xvi x u ∂∂-∂∂ 2、设),2,1(4)1( =++-=n n in n n α，则n n α∞→lim （ ） A 、等于0B 、等于1C 、等于iD 、不存在3、下列级数中，条件收敛的级数为（ ）A 、∑∞=+1)231(n niB 、∑∞=+1!)43(n nn iC 、∑∞=2ln n nn iD 、∑∞=++-11)1(n n n i4、21)(-=z z f 在1-=z 处的泰勒展开式为（ ） A 、3|1|)1(312101<++=-∑∞=+z z z n n n B 、3|1|)1(31210<++-=-∑∞=z z z n n n C 、3|1|)1(31210<++=-∑∞=z z z n n n D 、3|1|)1(312101<++-=-∑∞=+z z z n n n 5、设函数)(z f 与)(z g 分别以a z =为本性奇点与m 级极点，则a z =为函数)()(z g z f 的（ ） A 、可去奇点B 、本性奇点C 、m 级极点D 、小于m 级的极点6、设幂级数1,-∞=∞=∑∑n n n nn n znc z c 和101+∞=∑+n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ，则321,,R R R 之间的关系是（ ）A 、321R R R <<B 、321R R R >>C 、321R R R <=D 、321R R R ==7、把z 平面上的点1,,1321-===z i z z 分别映射为w 平面上的点i w w w ===321,1,0的分式线性映射得（ ）A 、zzi w -+⋅=11 B 、zzi w +-⋅=11 C 、zzi w -+⋅=111D 、zzi w +-⋅=1118、设)0(0,0,0)(>⎩⎨⎧≥<=-ββt e t t f t，则F =)]([t f （ ） A 、22ωβωβ+-iB 、22ωβωβ++iC 、22ωβωβ--iD 、22ωβωβ-+i9、函数)2(t -δ的拉氏变换L =-)]2([t δ（ ） A 、1B 、se 2C 、se2-D 、不存在10、幂级数∑∞=0!n nzn 的收敛半径是（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1、将幂函数i+15表示成三角形式为_______________________ 2、将幂函数i i 表示成指数形式为________________ 3、设C 为正向单位圆周在第一象限的部分，则积分=⎰zdz z C3)(_________。
复变函数积分变换模拟试卷及答案
复变函数积分变换模拟试卷及答案习题一一、填空题（每空3分，共30分） 1.1211,,2z i z i =+=+则12z z ?= ，12arg()z z ?= ． 2.3. ()exp(2/2z π'+=4. (2)Ln i = ，cos i =5．.沿圆周C 的正向积分:1211z C z ze dz z -=+=-?? ． 6. 级数(1)(1)nn n i z ∞=--∑的收敛半径R = ．7. ()sin(2)f z z =的泰勒展开式是８．函数()sin(3)f t t =的拉普拉斯变换为二、选择题（每题3分，共15分）1.方程52z -=所表示的曲线是（）（A ）椭圆（B ）直线3x =- （C ）直线2y = （D ）圆周2. 已知1()z e f z z-=，则]0),([Re z f s （）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 3. 0=z 为4sin z zz-的( ) （A ）一级极点（B ）二级极点（C ）三级极点（D ）四级极点 4. 设s F()=L [()]f t ，则L 0[()]tf t dt ?的值是（）（A ）()F s js （B ）()(0)F s f s- （C ）()F s s （D ）()F s5. w 1F()=F 1[()]f t ，w 2F ()=F 2[()]f t ，下列关于Fourier 变换的卷积公式说法错误的是（）（A ）1221()()=()()f t f t f t f t ** （B ）F 1212[()()]()()f t f t F w F w *=?（C ）F 12121[()()]()()2f t f t F w F w π=* （D ）F 1212[()()]()()f t f t F w F w ?=* 三．1.（本题5分）24,12C dz z z i ??+ ?--?其中:3C z =为正向. 2．（本题5分）利用留数计算221,1Cz dz C z +-??为正向圆周：3z = 3. （本题5分）计算1sin z zdz ?.四．假设1. （本题8分）假设2222()()f z x axy by i cx dxy y =+++++为解析函数，试确定,,,a b c d 的值.2.（本题8分）将函数2z ze e shz --=展开成z 的幂级数,并指出它的收敛半径.3.（本题8分）将函数21()(1)(2)f z z z =--分别在0|1|1,0|2|1z z <-<<-<内展成洛朗级数.4. （本题8分）函数2(1)(2)()(sin )z z f z z π--=有哪些奇点？如果是极点，指出它是几级极点。
复变函数与积分变换试题和答案
复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．)31ln(i --的模.幅角。
2．-8i 的三个单根分别为： . . 。
3．Ln z 在 的区域内连续。
4．z z f =)(的解极域为：。
5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f。
6．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s。
7．指数函数的映照特点是： 。
8．幂函数的映照特点是：。
9．若)(ωF =F [f (t )].则)(t f = F )][(1ω-f。
10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件.则L [f (t )]=。
二、(10分)已知222121),(y x y x v +-=.求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数.且f (0)=0。
三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2） 1．⎰=-2||)1(z z z dz2．⎰-c i z z3)(cos C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
五、（10分）求函数)(1)(i z z z f -=在以下各圆环内的罗朗展式。
1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z六、证明以下命题：（5分×2）（1）)(0t t -δ与o iwt e -构成一对傅氏变换对。
（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i七、（10分）应用拉氏变换求方程组⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。
八、（10分）就书中内容.函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案（一）一、1． 22942ln π+ .ππk arctg 22ln 32+-2.3-i 2i 3-i3. Z 不取原点和负实轴4. 空集5. 2z 6． 0 7.将常形域映为角形域8. 角形域映为角形域9.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(2110. ⎰∞+-0)(dt e t f st二、解：∵y ux x v ∂∂-=-=∂∂ xuy y v ∂∂==∂∂∴c xy u += （5分）c xy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0 （3分）∴222222)2(2)(2)(z i xyi y x i y x i xy z f -=+--=--=（2分）三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π 01=z 12=z（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π 33=z ∞=4z2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=（2分） 23126⨯⨯i π=i 63π-四、1．解：原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221 （3分） z 1=0z 2=1]11[2+-=i π=0（2分）2．解：原式iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-==1ich π-五、1．解：nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=（2分）2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i （2分） 六、1．解：∵00)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（3分） ∴结论成立 （2）解：∵1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰ti t i e dw e（2分）∴)(2w πδ与1构成傅氏对∴)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i（2分）七、解：∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX（3分）S （2）-（1）：∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s （3分）∴cht e e t Y tt -=--=-121211)( 八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ； ③v 为u 的共扼函数 10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（ ）条件。
《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案
《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案六、（本题6分）求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换，并由此证明：te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xvy u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
（2）．计算⎰-C zz zz e d )1(2其中C 是正向圆周： 解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程因为函数z z e z f z2)1()(-=在复平面内只有两个奇点1,021==z z ，分别以21,z z 为圆心画互不相交互不包含的小圆21,c c 且位于c 内⎰⎰⎰-+-=-21d )1(d )1(d )1(222C z C z C zz z z e z zz e z z z e i z e iz e i z zz z πππ2)1(2)(2021=-+'===无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。
（3）．⎰=++3342215d )2()1(z z z z z解：设)(z f 在有限复平面内所有奇点均在：3<z 内，由留数定理]),([Re 2d )2()1(3342215∞-=++⎰=z f s i z z z z z π -----（5分） ]1)1([Re 22z z f s i π= ----（8分）234221521))1(2()11()1(1)1(z z zz zz f ++=0,z )12()1(11)1(34222=++=有唯一的孤立奇点z z z z z f 1)12()1(11)1(]0,1)1([Re 34220202lim lim =++==→→z z z z zf z z f s z z⎰==++∴33422152d )2()1(z i z z z z π --------（10分）（4）函数2332)3()(sin )2)(1()(-+-=z z z z z z f π在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级. 解：∞±±±==-+-=，的奇点为 ,3,2,1,0,)(sin )3()2)(1()(3232k k z z z z z z z f π（1）的三级零点，）为（032103=±±±==z kk z πsin ,,,,,（2）的可去奇点，是的二级极点，为，)()(,z f z z f z z 210-=±== （3）的一级极点，为)(3z f z =（4）的三级极点；，为)(4,3,2z f z±-=（5）的非孤立奇点。
复变函数与积分变换-模拟题
《复变函数与积分变换》模拟题一.单选题1.下列等式中,对任意复数z 都成立的等式是().A.z ∙z̅=Re(z ∙z̅)B.z ∙z̅=Im(z ∙z̅)C.z +z̅=Re(z +z̅)D.z ∙z̅=|z̅|[答案]:C2.下列函数中,不在全平面内解析的函数是().A.w=Re zB.w=z 2C.w=e zD.w=z+cosz[答案]:A3.下列复数中,位于第2象限的复数是().A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i[答案]:C4.下列命题错误的是().A.函数在一点解析一定在该点可导B.函数在一点解析一定在该点的领域内可导C.函数在邻域D 内解析一定在邻域D 内可导D.函数在邻域D 内可导不一定在领域D 内解析[答案]:D5.设C 为正向圆周|z|=1,则21(1)C dz z i -+⎰Ñ等于().A.0B.12πiC.2πiD.πi[答案]:A6.z=0是e z −1z 2().A.二阶极点B.可去奇点C.本性奇点D.一阶极点[答案]:D7.对于幂级数,下列命题正确的是().A.在收敛圆内,幂级数条件收敛B.在收敛圆内,幂级数绝对收敛C.在收敛圆周上,幂级数必处处收敛D.在收敛圆周上,幂级数必处处发散[答案]:B8.解析函数f (z )=u (x,y )+iv(x,y)的导函数为().A.f ′(z )=u x +iu yB.f ′(z )=u x −iu yC.f ′(z )=u x +iv yD.f ′(z )=u y +iv x[答案]:B9.C 是正向圆周|z|=3,如果函数f(z)=(),则()0Cf z dz =⎰Ñ A.3z−2B.3(z−1)z−2 C.3(z−1)(z−2)2D.3(z−2)2[答案]:D10.下列结论正确的是().A.如果函数f(z)在z 0点可导,则f(z)在z 0点一定解析B.如果f(z)在C 所围成的区域内解析,则()0Cf z dz =⎰Ñ C.如果()0Cf z dz =⎰Ñ,则函数f(z)在C 所围成的区域内一定解析 D.函数f (z )=u (x,y )+iv(x,y)在区域内解析的充分必要条件是u(x,y),v(x,y)在该区域内均为调和函数.[答案]:D11.下列结论不正确的是().A.∞为sin 1z 的可去奇点B.∞为sin z 的本性奇点C.∞为1sin 1z 的孤立奇点D.∞为1sin z的孤立奇点 [答案]:B12.下列结论不正确的是().A.lnz 是复平面上的多值函数B.cosz 是无界函数C.sinz 是复平面上的有界函数D.e z 是周期函数.[答案]:C13.如果级数∑∞=1n n nz c 在2=z 点收敛,则级数在().A.2-=z 点条件收敛 B.i z 2=点绝对收敛C.i z +=1点绝对收敛D.i z21+=点一定发散. [答案]:C14.a=()时f(z)=x 2+2xy -y 2+i(ax 2+2xy+y 2)在复平面内处处解析.A.-1B.0C.1D.2[答案]:A二.判断题1.若函数f(z)在区域D 内解析,则f(z)在区域D 内沿任意一条闭曲线C 的积分为0.()[答案]:F2.z=0是sin z z 的一阶极点.()[答案]:F3.不同的函数经拉普拉斯变换后的像函数可能相同.()[答案]:T4.函数在某区域内的解析性与可导性等价.()[答案]:T5.若函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D 内解析当且仅当ðu ðx ,ðu ðy ,ðv ðx ,ðv ðy连续且满足柯西-黎曼方程.() [答案]:F6.若u(x,y)的共轭调和函数,那么v(x,y)是(x,y)的共轭调和函数.()[答案]:F7.函数若在某点可导一定在该点解析.()[答案]:T8.函数在一点解析的充要条件是它在这点的邻域内可展开成幂级数.()[答案]:F9.2cos 10z zz -=是的本性奇点.()[答案]:F三.填空题 1.0!nn z n ∞=∑的收敛半径为###.[答案]:∞2.函数5z 2−z+24z 2+1的解析区域为###.[答案]:z ≠±i 23.(1−i 1+i )4=###.[答案]:14.211z dz z =-⎰Ñ=###.[答案]:2πi5.(z+1z−1)2的孤立奇点的类型为###(可去奇点,极点,本性奇点).[答案]:极点6.(√3i 1−√3i )3=###.[答案]:17.e 1z 的孤立奇点的类型为###(可去奇点,极点,本性奇点).[答案]:本性奇点8.L[t 2+3t+2]=###.[答案]:2s 3+3s 2+2S9.设z=x+iy,求z 3的虚部=###.[答案]:3x 2y -y 310.设z =e 3+i π4,则Rez=###.[答案]:e 311.11+z 2在z=0的邻域内展开为泰勒级数为###或211(1)1n n n z z ∞==-+∑. [答案]:11+z 2=1−z 2+z 4−⋯+(−1)n z n +⋯12.积分∫e −3t sinωtdt +∞0=###.[答案]:ω9+ω213.1−i √32的幅角是###[答案]:−π3+2kπ,k =0,±1,±2⋯14.Ln(-1+i)的主值是###[答案]:12ln2+3π4i15.f (z )=11+z 2,f (5)(0)=###[答案]:016.z=0是z−sinzz 4的###极点[答案]:一级17.f (z )=1z ,Res[f(z),∞]=### [答案]:-1四.计算题1.分别给出i z 43+-=的三角形式的指数形式.[答案]:54)3(||22=+-=z ,34arctan 2)34arctan(-=++-=πππk Argz ,因此三角形式为))34tan sin()34arctan (cos(5acr i z -+-=ππ.指数形式为)34arctan (5-=πi e z2.判断函数)2()()(222y xy i x y x z f -+--=在何处可导,何处解析? [答案]:,2),(,),(222y xy y x v x y x y x u -=--= y x yv y x v y y u x x u 22,2,2,12-=∂∂=∂∂-=∂∂-=∂∂ 四个偏导函数均连续,但要满足柯西黎曼方程x v y u y v y x x x u ∂∂-=∂∂∂∂=-=-=∂∂,2212 需在21=y 处成立,故函数在21=y 处可导,处处不解析.3.求解微分方程.1)0(,sin )()(-==+'x t t x t x[答案]:设L[x(t)]=X(s)对方程两边实行拉普拉斯变换得到211)()0()(s s X X s sX +=+-即 211)(1)(s s X s sX +=++ 所以s s s s s s s s X +-+++-=++-=11211121121)1)(1()(2222, 故)cos (sin 21)(t e t t t x ---=.4.求函数⎩⎨⎧>≤=0,00,)(t t e t f t 的傅里叶变换.[答案]:F[f(t)]=ωωωωωωj e j dt e dt e e dt e t f t j t j t j t t j -=-===∞--∞--∞--+∞∞--⎰⎰⎰1111)(0)1(0)1(0.。
大工《复变函数与积分变换》课程考试模拟试卷A
机 密★启用前大连理工大学网络教育学院2014年8月份《复变函数与积分变换》课程考试模 拟 试 卷考试形式：闭卷 试卷类型：（A ）☆ 注意事项：本考卷满分共：100分；考试时间：90分钟。
学习中心______________ 姓名____________ 学号____________一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1、设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是（ ） A 、),(),(y x iu y x v +B 、),(),(y x iu y x v -C 、),(),(y x iv y x u -D 、xvi x u ∂∂-∂∂ 2、设),2,1(4)1( =++-=n n in n n α，则n n α∞→lim （ ） A 、等于0B 、等于1C 、等于iD 、不存在3、下列级数中，条件收敛的级数为（ ）A 、∑∞=+1)231(n ni B 、∑∞=+1!)43(n nn iC 、∑∞=2ln n nniD 、∑∞=++-11)1(n n n i4、21)(-=z z f 在1-=z 处的泰勒展开式为（ ） A 、3|1|)1(312101<++=-∑∞=+z z z n n nB 、3|1|)1(31210<++-=-∑∞=z z z n n nC 、3|1|)1(31210<++=-∑∞=z z z n n nD 、3|1|)1(312101<++-=-∑∞=+z z z n n n5、设函数)(z f 与)(z g 分别以a z =为本性奇点与m 级极点，则a z =为函数)()(z g z f 的（ ） A 、可去奇点B 、本性奇点C 、m 级极点D 、小于m 级的极点6、设幂级数1,-∞=∞=∑∑n n n nn n znc z c 和101+∞=∑+n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ，则321,,R R R 之间的关系是（ ） A 、321R R R <<B 、321R R R >>C 、321R R R <=D 、321R R R ==7、把z 平面上的点1,,1321-===z i z z 分别映射为w 平面上的点i w w w ===321,1,0的分式线性映射得（ ） A 、zzi w -+⋅=11 B 、zzi w +-⋅=11 C 、zzi w -+⋅=111D 、zzi w +-⋅=1118、设)0(0,0,0)(>⎩⎨⎧≥<=-ββt e t t f t，则F =)]([t f （ ） A 、22ωβωβ+-iB 、22ωβωβ++iC 、22ωβωβ--iD 、22ωβωβ-+i9、函数)2(t -δ的拉氏变换L =-)]2([t δ（ ） A 、1B 、se 2C 、se2-D 、不存在10、设k t k e t f t (sin )(2-=为实数)，则L =)]([t f （ ） A 、22)2(ks k++ B 、22)2(ks k+- C 、22)2(ks k-+ D 、22)2(ks k--二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1、将幂函数i+15表示成三角形式为_______________________2、将幂函数ii 表示成指数形式为________________3、41i +的所有值表示成三角形式为_________________________________4、)2(-Ln 的主值为________________5、函数21)(ze zf iz +=在极点处的留数为________________6、=++⎰=dz z e z z z )cos 2(5||2________ 7、=⎰dz z i12________8、=-⎰=-4|1|1z z z________9、=⎰=dz z zz 2||cos ________ 10、假设C 是圆周1|1|=+z 的下半圆周，z 从-2到0，则积分=⎰dz C cosz ____________三、计算题（本大题共5小题，每小题8分，共40分）1、计算103131⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+i i 的值2、判断复数列niniz n -+=11是否收敛，若收敛求出它的极限。
2011年复变函数与积分变换试题及答案(A卷)
2011～2012学年第一学期《复变函数与积分变换》课程考试试卷(A 卷)院(系)_________专业班级__________学号_______________姓名__________考试日期: 2011年11月28日 考试时间: 晚上7:00~9:30一、填空题 (每题3分，共24分)1．设31)1(-=z ，则z 的模为 ，z 的辐角主值]),((ππθθ-∈分别为 ．2．)21ln(i +的值为 ，)2cos(i 的值为 ．3.函数i y x z f 322)(+=在i z -=31处是否可导？__________，在i z 322+=处是否可导？________.4.级数∑∞=12n n n n i 是否收敛？_____，级数∑∞=12n nn n i 是否收敛？_____.5.函数)9(1)(2z z z f -=在i z +=1点展成泰勒级数的收敛半径为 ．6.0=z 为函数zz z f sin 1)(-=的____ 阶极点.7.在映射z z z f +=2)(下，i z 2210+-=处的旋转角为_________，f (z )在复平面上除去=z _________的点外处处保角.8．已知)]()([)(00ωωδωωδπω-++=F 为)(t f 的傅氏变换，则)(t f =_________.二、计算题 (每题5分，共20分)1．⎰=2||d cos z z zz2．⎰=-3||2d )1(sin z z z z zπ3．⎰+202sin 311πθθd4．x a x bxx d sin 022⎰∞++(a >0,b >0)三、(8分) 验证224),(x y xy y x v -+= 是调和函数，并求满足条件i f -=2)1(的解析函数v i u z f +=)(．四、(12分)将函数)3)(1(1)(2--=z z z z f 在z 0=0点展开为洛朗(Laurent)级数．五、(8分)求上半平面在映射iz iw +=2下的像.六、(10分)求将半带形域}0Re ,2πIm 0:{<<<=z z z D 映射到单位圆内部的保形映射．七、(12分)利用Laplace变换求解微分方程组：⎪⎩⎪⎨⎧==-+=-=-+-1)0(,3)(2)(3)('1)0(,)()()('2y e t y t x t y x e t y t x t x t t八、(6分)已知函数)(ξf 在R ≤ξ上解析，设|z|<R ，证明:)(')(2d ))()()((212||22z f z f z R f z z f iR =---⎰=ξξξξξπξ2011—2012年《复变与积分》试卷答案（A 卷）一、填空1. 1 πππ,3,3-2. i 4π 222e e +-3. 是 否4. 是（收敛） 否（发散）5. 26. 37.2π 21-8. tw 0cos 二、计算题1.⎰=dz zzz cos 2解：z z cos 在2=z 内有两个简单极点21π=z ，22π-=z 2sin 2,cos Re 2πππ-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=z zz z z s （2′）2sin 2,cos Re 2πππ-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=z zz z zs （2′）故⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡==2,cos Re 2,cos Re 2cos 2πππz zs z z s i dz z z zi i 22)22(2ππππ-=--=（1′）2.dz z z zz 23)1(sin -⎰=π解：2)1(sin -z z zπ在3=z 内有2个奇点，1,021==z z ，由于πππππ=-→⋅→=-→22)1(0lim sin 0lim )1(sin 0lim z z z z z z z z z 故01=z 为2)1(sin -z z xz 的可去奇点，00,)1(sin Re 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-z z z s π12=z 是z πsin 的1阶零点，是2)1(-z z 的2阶零点，故1是2)1(sin -z z zπ简单极点。
2006年复变函数与积分变换试题及解答.doc
2006—2007学年第一学期《复变函数与积分变换》课程考试试卷（A ）（闭卷）院（系）___________专业班级__________学号__________姓名___________ 考试日期：2006年11月25日 考试时间：19∶00～21∶30一、填空题（每小题3分，共24分）1．i i 2)1(+的值为___________________，主值为______________. 2．3arg 4ππ<<z ；且3||1<<z 所表示的平面点集是区域吗？__________是单连域还是多连域？_____________. 3．⎰==-⋅1||43)2(sin z z dz z zz e _______.4．在映射iz w =下，集合}arg 0,2||1|:{π≤≤≤≤=z z z D 的像集为： _____________________________________________________ . 5．)2,1,0(2±±=+=k k z ππ为z tan 的____阶极点.6．)34(1z z -在i z +=10 处展开成Taylor 级数的收敛半径为_______7．)(sin )(t t t f δ+=的频谱密度函数=)(ωF ____________________.8．已知)()(),()(21t u t f t u e t f t==-，其中⎩⎨⎧<>=0001)(t t t u ，则二、（6分）设a 、b 是实数，函数i y bx axy z f )()(22++=在复平面解析. 求出a 、b 的值，并求)(z f '.三、（8分）验证xy y x y x u 2),(22+-=是调和函数，并求以),(y x u 为实部的解析函数)(z f ，使i i f 21)(+-=.四、（6×4=24分）计算下列各题：1．⎰C z dz zze 2sin ，C 为正向圆周2||=-i z .2．⎰-C zdz z e 11，C 为正向圆周21||=z . +πθ1cos 24．dx x x x⎰∞∞-++)1)(4(cos 22五、（10分）将)(1)(i z z z f -=在i z z ==100与处展成Laurent六、（6分）试求z 平面的下半平面0Im <z 在分式线性映射iz iz w +-=下的象区域.七、（8分）求一保形映射，把区域 ⎪⎩⎪⎨⎧><<0Im 2Re 0z z π映成单位圆内部1||<w . 八、（8分）用Laplace 变换求解常微分方程：⎩⎨⎧='==+'-''1)0(,0)0(232y y e y y y t九、（6分）证明题：设)(z f 在1||<z 内解析，在1||≤z 上连续，试证：当1||<z 时，⎰=--⋅=-1||2)1()(21)()||1(ξξξξξπd zz f i z f z复变函数与积分变换试题解答2006.11.系别___________班级__________学号__________姓名___________一、填空题（每小题3分，共24分）1．ii 2)1(+的值为2ln )42(i k e ++-ππ，主值为2ln 2i e+-π.2．3arg 4ππ<<z ；且3||1<<z 所表示的平面点集是区域吗？ 是 ，单连域还是多连域？ 单连域 。
808级复变函数与积分变换(A卷)参考答案
第 1 页/共 4 页课程编号：8 北京理工大学2009—20010学年第二学期2008级复变函数与积分变换试题A 卷年级_______ 姓名_________ 学号_______成绩__________一 (10) (1) 求区域}0)Im(:{>z z 在映射)1(+-=z i w 下的像。
解答：像为{w | Re(w ) > 0}（映射过程图略）。
(2) 判别函数2)(z z f =在复平面上哪些点处可导，哪些点处解析。
解答： f (z ) 仅在z = 0处可导，在囫囵复平面上无解析点。
二（6）设函数),(),()(y x iv y x u z f +=在复平面的某个区域D 内解析，并且),(),(2y x u y x v =，求)(z f 。
解答：f (z )＝c ＋i c 2（其中c 为实常数）。
三（6）求解析函数),(),()(y x iv y x u z f += 满意：)(2)4)((22y x y xy x y x v u +-++-=+。
解答：).1(2)23()23()(33223i c z z c y y y x i c x xy x z f -+-=---++--= 四（58）计算下列积分：（1）⎰Cdz z )Im(，其中积分路径C 分离为1）从），（00到i +1的直线段；2）从），（00到i 的直线段以及从i 到i +1的直线段。
解答：1）21i +； 2）21i+； （2）dz z z z ⎰=++1||2221＝0 （由Cauchy 积分定理）； （3）⎰=++12)2)(12(z z z zdzi π92-=； （4）dz z zi z ⎰=-+122解答：21||1()()||1,z i z i z i z i z i z i-=⇒--=-=⇒-=-22221111212211()222(2)() (2)() 2{Re [,]Re []}(2)()(2)() z i z i z i z i z i i zdzz i ii z i z i dz dz dz z z z z z i izdz z z i iz izi s i s z z i z z i π-=-=-=-=-=------∴===++++--=+---=++-+-⎰⎰⎰⎰⎰ 2{1(1 ;i i ππ=+=-（5）⎰=-+1323)(z dz a z z z ，其中常数1||≠a 解答：⎩⎨⎧<+>=-+⎰= );1|(| )26(),1|(| 0)(1323a i a a dz a z z z z π （6）||)2(11||dz z z z ⎰=- 解答：设],2,0[ ,π∈=t e z it则,|||||| ,]2,0[izdzdt dt dt ie dz izdt dt ie dz t itit ======∈π 所以2)2(12)2(1)2(1||)2(101||21||1||ππ-='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=-=-====⎰⎰⎰z z z z z i i dz z iz iz dz z z dz z z ；（7）4)1(1022π=+⎰+∞dx x ； （8）dz z z z ⎰=-2|1|1cos 解答：12|1|20,1cos Re 21cos -=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰ic z z s i dz z z z ππ，其中1-c 为z z 1cos 在∞<<||0z 内Laurent 级数的负一次项系数。