微波网络_9_单端口网络综合

v1 (t ) = z11i1 (t ) + z12 i2 (t ) + L + z1n in (t ) v 2 (t ) = z 21i1 (t ) + z 22 i2 (t ) + L + z 2 n in (t ) L L L L L v (t ) = z i (t ) + z i (t ) + L + z i (t ) n1 1 n2 2 nn n n
2 2 s2 + ω0 s 3 + 4ω 0 ss 2 s3 + ω0 s 2 2 s s2 + ω0 3ω 0
1 3ω 2
s
s2
2 2 ω0 s 3s 3ω 0 2 3ω 0 s
0
即，
Z in (s ) = s +
9-4
1 1 3ω
2 0
s+
1 3s
微波网络理论讲义
第9讲
吴群
根据上式连分式，就可以画出梯形电路来。如图 9-1b 所示。
θ = arg τ = arg s 21
输入驻波比 ρ 输入驻波比定义为输出端口接匹配负载时，输入端口的驻波比，即
(9-7)
ρ=
1 + s11 1 − s11
(9-8)
9.2 单端口网络参量函数
在综合网络结构之前首先要把预给的工作特性化为对应的有理函数， 它们一般是网络参量函数。 下 面讨论单端口网络参量函数的一些特点。 我们从 N 端口网络入手。在任何信号作用下，根据基尔霍夫定理， N 端口集中参数网络的时域端 口电压和电流之间有如下关系：
L A = 10 lg 1 − s11 s 21
2 2
1 − s11 s 21
2 2
2
⋅
1 1 − s11
2
= 10 lg
1 − s11 s 21
2
2
+ 10 lg
1 1 − s11
2
(9-6)
上式右边第一项
＝
a1 − b1 b2
2
2
是网络的实际输入功率(入射波功率减去反射波功率)与匹配负
2
载吸收功率之比，因此表征了网络自身损耗引起的衰减，当网络无耗时因为 s 21 身衰减为 0 分见，上式右边第二项
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第 9 讲 单端口网络综合
网络理论分为网络分析和网络综合两部分。网络分析是在已知电路结构的条件下，求出网络参数， 进而得到其网络特性。网络综合是网络分析的逆过程，它是根据预先给定的工作特性指标，运用一定的 数学方法，求出物理上可以实现的网络结构，以满足其工作特性。 实际工作中，需要设计一些简单网络时，可以用网络分析方法进行，也就是说根据网络分析中得到 的一些基本网络结构特性，一节一节地摸索、凑试，寻找一个满足工作特性要求的电路结构，这种方法 理论上较简单，容易掌握，但由于无一定的最佳准则，得到的结果往往只是满足工作特性要求，但在其 他方面并不能达到最佳，如元件数目可能并不是最少。 用综合法设计网络是采用可实现的有理函数作为网络参量函数，在一定的约束条件下逼近工作特 性，所以即可以很接近工作特性，又可以实现元件数目最少。但综合法涉及较深数学理论，计算繁复。 不过，今天由于计算机以及计算方法已得到长足发展，已使繁复的计算通过软件由计算机完成。 预给的工作特性， 一般是工作特性参量的频域特性或时域特性。 工作特性参量总可以表示成网络参 量的函数，所以工作特性必然对应于一定的网络参量函数。网络参量函数总是有理函数（证明见后） ， 但必须在一定条件下才能在物理结构上实现，称之为可实现的有理函数。有了可实现的有理函数后，就 可以用各种数学方法综合出具体的网络结构来。 同一工作特性可以有不同形式的近似函数，而同一函数用不同的方法综合又产生出不同的网络结 构，所以网络综合的结果不是唯一的。综合结果的多样性，又为我们选择最佳结构提供了方便。
从(9-11)可以解得电流为
1 sC ij
(9-12)
I i (s ) = ∑ (∆ ji (s ) ∆(s ))V j (s )
N j =1
(9-13)
式中，∆ (s ) 为(9-11)的系数行列式，∆ ji (s ) 是元素 Z ji (s ) 的代数余子式。∆ (s ) ，∆ ji (s ) 均为 s 的多项式， 且为实系数多项式。它们之比为一实系数的 s 有理函数。 对于单端口网络，工作特性参量主要是其输入阻抗，在(9-11)中由于只有一个端口， i = j = 1 ，所 以，输入阻抗为
)
(9-16)
当 ω = 0 ， X = −∞ ； ω = ∞ ， X = 0
X (ω ) 为 ω 的单调增函数； X (ω ) 是 ω 的奇数，即 X (− ω ) = − X (ω ) ；
X 的零、极点交替出现；
X (ω ) 的零极点必定关于原点对称出现。
从物理上看，电抗函数或者是电感性或者是电容性，这样 X (ω ) 的分子或分母中必然有个因子 ω ，
它由 ω = 0 是 X (ω ) 的零点还是极点来决定。 当 ω = 0 ， X = 0 时 ω 位于分子上， 当 ω = 0 ，X = ∞ 时
(9-11)
式中， s = σ + jω 为复频率。采用复频率可以把变幅振动过程的幅度变化和相位变化统一起来加以描 述，因此与实频率只能描述单纯简谐振荡相比具有更一般的性质。(9-11)是一个代数方程组，Vi (s ), I (s ) 称为复频域电压和电流，而
Z ij (s ) = sLij + Rij +
9.1 工作特性参量
虽然网络的参量矩阵已完全描述了网络的固有特性，但在实际中，为了更直接地描述网络的传输， 衰减和反射等工作特性以及便于网络综合，还常采用工作特性参量，下面给出一些常用工作特性参量。 电压传输系数 τ 电压传输系数 τ 定义为：输出端口反射波电压 b2 与输入端口入射波电压 a1 在输出端口接匹配负载 的条件下两者之比，即
ω 位于分母上。同时 X (ω ) 在 ω = ∞ 处的性质， 可根据内在的零、极点分布来决定。如果分子的最高
次幂比分母高一次，则 ω = ∞ 是 X (ω ) 的极点，如果分子的 ω 最高次幂比分母低一次，则 ω = ∞ 为
X (ω ) 的零点。可见，从 ω = 0 和 ω = ∞ 点来观察，电抗函数可能有四种情况：
2 ) s (s − j 2ω 0 )(s + j 2ω 0 ) s (s 2 + 4ω 0 = 2 2 (s − jω 0 )(s + jω 0 ) s + ω0
Z in (s ) =
验证 Z in (s ) 是否为正实函数。当 s 为实数时， Z in (s ) 显然为实数；当 Re(s ) ≥ 0 时 Re[Z in (s )] ≥ 0 ， 因此 Z in (s ) 是可以用物理结构实现的。其次，用一定的数学方法综合出具体的电路结构来。综合的方法 很多。最常用的是连分式法，即用碾转相除法，把 Z in (s ) 化为连分式，从而画出梯形电路图。
LA =
因为 Pin =
Pin Pl
(9-3)
1 1 2 a1 ， Pl = b2 2 2
2
，所以
9-1
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a LA = 1 b2
常用分见（dB）单位表示工作衰减，即
2 a2 = 0
=
1 s 21
2
=
1
τ
2
(9-4)
L A = 10 lg
1
τ
2
(dB)
(9-5)
可见，工作衰减等于电压传播系数模平方的导数。因为网络是无源的， τ ≤ 1 ，所以 L A 总是正分 见数。为了看清 L A 的物理意义，将(9-5)重新表示为：
V1 (s ) = Z 11 (s )I 1 (s ) + L + Z 1n (s )I n (s ) V2 (s ) = Z 21 (s )I 1 (s ) + L + Z 2 n (s )I n (s ) L L L L L V (s ) = Z (s )I (s ) + L + Z (s )I (s ) n1 1 nn n n
= 1 − s11 ，所以自
2
1 1 − s11
2
＝
a1
2
2 2
a1 − b1
为入射波功率与实际入射功率之比，是由于
输入端口不匹配引起的，因此称为网络的反射衰减，当输入端口匹配时 s11 = 0 ，则反射衰减为 0 分见。 插入相移 θ 插入相移 θ 定义为输出端口接匹配负载时，输出端口反射波对于输入端口入射波的相移。因此它 也就是电压传输系数 τ 的相角
jω
2 jω 0 jω 0
1
Z in ( jω )
1 3ω 0
2
3
σ
(a) 输入阻抗特性 (b)梯形电路 图 9-1 例 1 题网络的工作特性及其综合结构
9.4 无耗单端口网络的综合
无耗单端口网络的输入阻抗为一电抗函数，即 Z in = jX 。根据 Foster 定理，电抗函数 X 有如下特 性: (1) (2) (3) (4)
Z in (s ) = Z in 也称为单端口网络的策动点阻抗函数。
V1 (s ) ∆ (s ) = I 1 (s ) ∆11 (s )
(9-14)
根据上述讨论可以得到单端口网络的阻抗函数一些基本概念。 (1) Z in (s ) 可表示为
Z in (s ) =
a n s n + a n −1 s n −1 + L + a1 s + a 0 a n (s − s1 )(s − s3 )(s − s 5 )(s − s 7 )L （9-15） = bm s m + bm −1 s m −1 + L + b1 s + b0 b m (s − s 0 )(s − s 2 )(s − s 4 )(s − s 6 )L