沪科版九年级数学上册解直角三角形
沪科版九年级上册数学第23章 解直角三角形 解直角三角形
1．在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角 三角形．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，那 么解直角三角形的基本类型及其解法总结如下表：(方法不唯一)
5 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝，则∠A的度数为(
A．90°B．60°C．45°D．30°
)15
D
2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，欲求∠A，最适宜的做法是(
)
A．计算tanA的值求出
C
B．计算sinA的值求出
C．计算cosA的值求出
D．先计算sinB求出∠B，再利用90°－∠B求出
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝6，解此直角三角形
11 22
∴∠BEC＝∠C，∴BC＝BE. ∵∠C＝∠C，∠CBE＝∠A＝36°， ∴△CBE∽△CAB，
∴
解得AE＝2 －2(负值舍去)．
在Rt△CCBAAD＝E中CCE，B，cos即A＝A4E＝4－AEAE，
5
【答案】C
AADE＝2
25－2＝
5＋1 4.
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC边的中点，CD＝2，tanB＝.
求：
(1) ∴BD＝DC＝2，BC＝4.
在 Rt△ACB 中，tan B＝ACCB＝34，∴A4C＝34，∴AC＝3. 由勾股定理得 AD＝ AC2＋CD2＝ 32＋22＝ 13， AB＝ AC2＋BC2＝ 32＋42＝5.
(2)sin∠BAD的值．
解：过点D作DE⊥AB于E， ∴∠C＝∠DEB＝90°， 又∵∠B＝∠B，∴△DEB∽△ACB，
∴DACE＝DABB，∴D3E＝25，∴DE＝65， 6
第23章 解直角三角形+23-2 解直角三角形2022--2023学年沪科版数学九年级上册
分析： 延长AD、BC交于点E
Rt△ABE中
A
60°
求出AE和BE
200
D
Rt△CDE中
100
求出DE和CE
B
C
E
可得AD与BC的长
例. 如图所示四边形ABCD，其中AB⊥BC，CD⊥AD，∠A=60°，AB=200，CD=100，求AD、
BC的长．
解： 如图，延长AD和BC交于点E， 在Rt△ABE中， ∵AB=200，∠A=60°，
2
83
∴∠B=90°-∠CAB=30°．
总结： 解直角三角形 特殊角的三角函数值
解直角三角形
含特殊角的一般三角形
构造直角三角形
含特殊角的四边形 不含特殊角的斜三角形
解直角三角形的 常见类型
解直角三角形的背靠背型 解直角三角形的母子型
再见
b
a
C
三、构造直角三角形
作垂线
1、含特殊角的一般三角形通过添加辅助线构造直角三角形．
特殊角指的是30°、45°、60°
A
B
D
C
分析： 如图所示：△ABC中，∠B和∠C都可以是特殊角，再已知一个边长，让我们求
其他边长或者角度,类似这种题目，我们都可以做垂线，来构造直角三角形，构
造的直角三角形一般要包含特殊角，从而解三角形.
C
B
A
如图；斜三角形ABC没有 特殊角,但是会告诉我们某 些角的三角函数值，比如
再结合已知边 解直角三角形
技巧总结： 作垂线
构造直角三角形
直角三角形要包含 已知三角函数值的角
解直角三角形
四、解直角三角形的常见类型 1、背靠背型
分析：这类题目，是解直角三角形的常见类型，通常指两个三角形并列背靠背关系， 有着公共边，且这条公共边是解直角三角形的关键.如图；
沪科版九年级上册数学第23章 解直角三角形 平行线分线段成比例
课堂小结
平行线分线段成比例定理推论： 平行于三角形一边的直线截其 他两边（或两边延长线），截 得的对应线段成比例.
平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得 的对应线段的比相等. (对应线段成比例）
课后作业
作业1 必做:请完成教材课后习题 补充:
作业2
导引：平行线分线段成比例定理除基本图形外，主要 知1－讲 还有“A”型和“X”型两种类型的图形，图中包含这三种图 形，从每种图形中找出比例线段即可判断错误的选项．根据 AB∥CD∥EF，结合平行线分线段成比例定 理可得解．∵AB∥CD∥EF， ∴故选项A，B，D正确； ∵CD∥EF,∴,故选项C错误.
B.CADB＝BECC D.CBEE＝AADF
感悟新知
知识点 2 平行线分线段成比例的推论
知2－导
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)， 所得的对应线段成比例． 数学表达式： 如图，∵DE∥BC， ∴
AD AE , AD AE , BD CE , DB EC AB AC AB AC
感悟新知
归纳
知1－讲
利用平行线分线段成比例定理求线段长的方法：先确定 图中的平行线，由此联想到线段间的比例关系，结合待 求线段和已知线段写出一个含有它们的比例式，构造出 方程，解方程求出待求线段长．
感悟新知
知1－练
1．如图，已知 AB∥CD∥EF，那么下列结论中
正确的是( C )
A.CEDF＝AADF C.AADF＝BBCE
线上的线段无关；
(3)当上比下的值为1时，说明这组平行线间的距离相等．
感悟新知
知1－练
例1 如图，已知AB∥CD∥EF，AF交BE于点H，下列 结论中错误的是( ) C
新沪科版九年级数学上册《解直角三角形》优课件
HE
tan
在因所为以RH txA EmtE E aFt中an，n F tH attnaann F C 所EA以FE，，，D 即A所tB 以 axnE(m Ftatanttna axnnxttaannmh（)米）
1、本节例题学习以后，我们可以得到解直角三角形的基本图形： 2、作高线可以把平行四边形、梯形转化为含直角三角形的图形.
αβ
之间的距离CD，记为m米;
③在点D处测得树尖A的仰角∠AFE＝β
④用皮尺测出测角仪的高，记为h米 （3）计算：设 AEx 米
图4
则由 tan AE ，得：HE x , 由tan AE，得：EF x
HE
tan
EF
tan
因为
H E F E H F C，D 所以
x
tan
x
tan
m
解得 xmtantan tantan
D
A
C
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月11日星期一2022/4/112022/4/112022/4/11 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/112022/4/112022/4/114/11/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/112022/4/11April 11, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
A
因而，山高 CD （ 10 3 10 ）米。
3、如图3，某生产车间人字形屋架为等腰三角形，跨度 AB=12米，∠A=30°，则中CD= 2 3 米，上弦AC= 4 3 米。
新沪科版九年级上册初中数学 23.2 解直角三角形及其应用 教学课件
第十五页，共二十六页。
新课讲解
解：在Rt△ACD中，∠ACD=52°，CD=EB=8 m. 由tan∠ACD= ，得 AD=CD·tan∠ACD
=8×tan52°
=8×1.279 9≈10.2（m）.
由DB=CE=1.6 m，得
AB=AD+DB=10.2+1.6=11.8（m）. 答：树高AB为11.8 m.
方时叫做仰角（angle of elevation）；当视线在水平线下方时叫做俯 角（angle of depression）.
第十四页，共二十六页。
新课讲解
【例1】如图，一学生要测量校园内一棵水杉树的高度.他
站在距离水杉树8 m的E处，测得树顶的仰角∠ACD =52°，已知测角器的架高CE=1.6 m，问树高AB为
为了测量东方明珠塔的高度，小亮和同学们在距离东方明珠塔 200 米处的地面上，用高1.20 米的测角仪测得东方明珠塔顶的仰角为 60°48 ′．根据测量的结果，小亮画了一张示意图，其中AB表示东方明 珠塔，DC为测角仪的支架，DC=1.20米，CB=200米，∠ADE=60°48 ′.
根据在前一学段学过的长方形对边相等的有关知识，你能求出AB
第十九页，共二十六页。
新课讲解
【例1】如图，铁路路基的横断面是四边形ABCD，AD∥BC,路基顶 宽BC=9.8 m,路基高BE=5.8 m,斜坡AB的坡度i=1ː1.6，斜坡CD的 坡度i′=1ː2.5，求铁路路基下底宽AD的值（精确到0.1 m）与斜坡的 坡角α和β（精确到1 °）的值.
第二十页，共二十六页。
在Rt△ACD 中， CD = AC · sin A ，
5
∴ S△ABC =
沪教版 九年级(上)数学 秋季课程 第4讲 解直角三角形(解析版)
解直角三角形是九年级上学期第二章第二节的内容，通过本节的学习，需要掌握直角三角形中，除直角外其余五个元素之间的关系，并熟练运用锐角三角比的意义解直角三角形，以及解直角三角形的相关应用．重点在于理解仰角、俯角、方向角、坡度、坡角等概念，并能利用其解决实际问题；难点在于，若一个三角形不是直角三角形，要有意识把它化归为解直角三角形的问题．1、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．在t R ABC∆中，如果=90C∠︒，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系：（1）三边之间的关系：222a b c+=（2）锐角之间的关系：90A B∠+∠=︒（3）边角之间的关系：sin cosaA Bc==，cos sinbA Bc==tan cotaA Bb==，cot tanbA Ba==解直角三角形内容分析知识结构模块一：解直角三角形知识精讲2 / 26【例1】ABC ∆中，90C ∠=︒，已知AB = 6.4，40B ∠=︒，则A ∠=______，AC =______，BC =______．（sin400.64︒≈，sin500.77︒≈，边长精确到0.1）【答案】50︒，4.1，4.9．【解析】9050A B ∠=︒-∠=︒，根据锐角三角形比的定义，sin ACB AB=，即得sin40 6.40.64 4.096 4.1AC AB =⋅︒≈⨯=≈，同理sin50 4.9BC AB =⋅︒≈．【总结】考查直角三角形中锐角三角比的定义和应用．【例2】若菱形的周长为8，相邻两内角之比为3 : 1，则菱形的高是______． 【答案】2．【解析】菱形周长为8，则其边长为2，相邻两内角之比为3 : 1，则较小内角为1180454︒⨯=︒，则菱形高为2sin 452︒=．【总结】考查菱形性质和相关锐角三角比的应用．【例3】如图，OAB ∆中，OA = OB ，125AOB ∠=︒．已知点A 的坐标是（4，0），则点B的坐标是____________．（用锐角三角比表示）【答案】()4cos554sin55-︒︒，． 【解析】过点B 作BM x ⊥轴交x 轴于点M ， 则有18055BOM AOB ∠=︒-∠=︒， 由4BO AO ==，可得cos55MO BO =⋅︒，sin55BM BO =⋅︒，点B 在第二象限，可知其坐标即为()4cos554sin55-︒︒，． 【总结】考查平面直角坐标系中点坐标与线段长度的转换，结合锐角三角比相关知识解题．【例4】如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB = AC ，D 为边AC 的中点，DE BC ⊥于点E ，连接BD ，则tan DBC ∠的值为（ ）例题解析A BOxyMAB CDEOA ．13B ．21-C ．23-D ．14【答案】A【解析】设AB AC a ==，90BAC ∠=︒，可得2BC a =，45C ∠=︒，D 为AC 中点，则有1122CD AC a ==，DE BC ⊥，可得2sin 4DE CE CD C a ==⋅=， 则324BE BC CE a =-=，214tan 3324aDE DBC BE a ∠===． 【总结】考查等腰直角三角形中的锐角三角比的应用．【例5】如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是边AD 的中点，若AC =10，DC =25，则BO =______，EBD ∠的度数约为____°____＇（参考数据：1tan 2634'2︒≈）． 【答案】5，18，26．【解析】根据矩形性质，10BD AC ==，152BO BD ==， 根据勾股定理，2245AB BD AB =-=，E 是AD 中点，则25AE AB ==，251tan 245AB ADB AD ∠===，则有2634'ADB ∠=︒，45AEB ∠=︒，即得：452634'1826'EBD AEB ADB ∠=∠-∠=︒-︒=︒．【总结】本题一方面考查矩形性质，另一方面考查锐角三角比的应用．【例6】在锐角ABC ∆中，AB = 14，BC = 14，84ABC S ∆=，求cot C 的值． 【答案】7136-． 【解析】作AD BC ⊥交BC 于D ，则有12ABC S AD BC ∆=⋅，得：22841214ABC S AD BC ∆⨯===，根据勾股定理可得22213BD AB AD =-=，则14213713cot 126CD C AD --===． 【总结】解三角形，通过作高把线段放到直角三角形中即可．【例7】如图，ABC ∆中，23AB =，AC = 2，边BC 上的高3AD =，求ABC S ∆和BAC ∠的大小．【答案】23ABC S ∆=，90BAC ∠=︒．【解析】AD BC ⊥，根据锐角三角比的定义，则有AB CDEABCD4 / 2631sin 223AD B AB ===，3sin 2AD C AC ==，可得：30B ∠=︒，60C ∠=︒，可知90BAC ∠=︒，所以1232ABC S AB AC ∆=⋅=． 【总结】解直角三角形的应用，直接采用特殊角锐角三角比，也可直接用勾股定理解题．【例8】如图，在锐角ABC ∆，4sin 5B =，tan 2C =，且40ABC S ∆=，求BC 的长． 【答案】10【解析】作AD BC ⊥交BC 于点D ，由4sin 5B =，可设4AD a =，则有5AB a =，根据勾股定理得：223BD AB AD a =-=，因为tan 2C =，则2CD a =，5BC BD CD a =+=，11454022ABC S AD BC a a ∆=⋅=⋅⋅=，即24a =，解得：2a =，即得：510BC a ==．【总结】考查锐角三角比的应用，通过作高把线段放到直角三角形中即可．【例9】如图，ABC ∆中，30B ∠=︒，45C ∠=︒，22AB AC -=-，求BC 的长． 【答案】31+．【解析】过点A 作AD BC ⊥交BC 于D ，设AD a =，由30B ∠=︒，45C ∠=︒，可得：2AB a =，3BD a =，CD a =，2AC a =．∵22AB AC -=-，∴2222a a -=-， 解得：1a =，由此可得331BC BD CD a a =+=+=+．【总结】考查锐角三角比的应用，通过作高把线段放到直角三角形中，把题目中的线段用一条线段表示出来即可．【例10】如图，先将斜边AB 长6 cm ，30A ∠=︒的直角三角板ABC 绕点C 顺时针方向旋转 90°至''A B C ∆位置，再沿CB 向左平移，使点B 落在原三角板ABC 位置的斜边AB 上，则平移的距离为______．【答案】()33cm -． ''B 【解析】30A ∠=︒，得'sin303BC AB cm B C =⋅︒==，cos3033AC AB cm =⋅︒=，则有'333AB =-，得()()'''3tan 333333B B AB A cm =⋅=-⨯=-．ABCAB CDABCD【总结】考查锐角三角比的应用，通过作高把线段放到直角三角形中，把题目中的已知线段用一条线段表示出来即可．【例11】如图，正方形ABCD 中，E 为边BC 上一点，将正方形折叠，使A 点与E 点重合，折痕为MN ，若1tan 3AEN ∠=，DC + CE =10．（1）求ANE ∆的面积；（2）求sin ENB ∠的值．【答案】（1）103；（2）35．【解析】（1）设正方形边长为a ，由1tan 3AEN ∠=，可得：13BE a =，则有23CE a =，CD a =，DC + CE =10，即2103a a +=，解得：6a =，则123BE a ==，设AN m =，根据翻折的性质，则有EN AN m ==，6BN m =-，在Rt BNE ∆中用勾股定理，则有222BN BE NE +=，即()22262m m -+=，解得：103m =，11102223ANE S BE AN m ∆=⋅=⨯=；（2）由（1）可得2BE =，103NE =，则23sin 1053BE ENB NE ∠===． 【总结】解直角三角形的应用，注意充分利用翻折的性质和其中的相关等量关系．【例12】如图，四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，120B ∠=︒，AB = 4，BC = 2，求四边形的面积．【答案】2633．【解析】延长AB 、DC 交于点E ，90A C ∠=∠=︒，120B ∠=︒，60D CBE ∴∠=∠=︒． 由BC = 2，得tan 602324CE BC BE BC =︒⋅===，． 由AB = 4，即得8AE AB BE =+=，则有83cot 603AD AE =⋅︒=． A BC D EN MABCD E6 / 26即得：1118312638223222323ABCD ADE BCE S S S AD AE BC CE ∆∆=-=⋅-⋅=⨯⨯-⨯⨯=． 【总结】利用割补法求面积，关键在于对特殊角的利用，不能把特殊角分开，延长即可．【例13】如图，在四边形ABCD 中，已知AD = AB = BC ，连接AC ，且30ACD ∠=︒，23tan 3BAC ∠=，CD = 3，求AC 的长． 【答案】635或63．【解析】过点B 作BE AC ⊥交AC 于E ，过点D 作DF AC ⊥交AC 于F ， 则有12AE CE AC ==，设AE a =，由23tan 3BAC ∠=，可得：233BE a =，根据勾股定理即可得22213AB BE AE a BC AD =+===，由30ACD ∠=︒，CD = 3，可得3sin302DF CD =⋅︒=，33cos302CF CD =⋅︒=，在Rt ADF ∆中用勾股定理，则有222AF DF AD +=，即222333212223a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 整理，得：25183270a a -+=，解得：1335a =，233a =，均符合题意，即得6325AC a ==或63AC =．【总结】考查锐角三角比的应用，通过作高把线段放到直角三角形中，把题目中的线段用一条线段表示出来即可．【例14】小智在学习特殊角的三角比时发现，将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过B 点的直 线折叠，使点A 落在BC 上的点E 处，折痕BM ．还原后，再沿过点E 的直线折叠，使 点A 落在BC 上的点F 处，折痕EN ．利用这种方法，可以求出tan67.5︒的值是21+，试证明之．【答案】略．【解析】证明：第一次折叠，由翻折的性质，得：AB BE =，有45AEB ∠=︒，第二次折叠，由翻折的性质，得：AE EF =，有2AEB AFB ∠=∠， 则有22.5AFB ∠=︒，67.5FAB ∠=︒，设AB a =，则有BE a =，2AE a EF ==，则有()21BF a =+，A BCDEFNM AB CD E F仰角 视线水平线俯角铅垂线()21tan 67.5tan 21a BFFAB ABa+︒=∠===+．【总结】考查翻折性质与特殊角锐角三角比的结合运用，注意线段长度的合理转换．【例15】在平面直角坐标系内，放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示）．点1B 在y 轴 上，点1C 、1E 、2E 、2C 、3E 、4E 、3C 在x 轴上．已知正方形1111A B C D 的边长为1， 1160B C O ∠=︒，11B C //22B C //33B C ，则点3A 到x 轴的距离是（ ）A ．3318+ B ．3118+ C ．336+ D ．316+ 【答案】D【解析】由1160B C O ∠=︒，11B C //22B C //33B C ，可得： 22233460B C E B C E ∠=∠=︒，由11122290B C D B C D ∠=∠=︒，得：11122360C D E C D E ∠=∠=︒， 1111221cos602D E C D B E =⋅︒==则2222223sin 603B E BC CD ===︒，2322343cos606D E C D B E =⋅︒==，由此可得3A 到x 轴的距离即为()3433311cot 601366B E ⎛⎫+⋅+︒=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选D ． 【总结】考查特殊角锐角三角比的应用，注意进行边角转化．1、仰角与俯角在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角．如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角．模块二：解直角三角形的应用知识精讲x yO8 / 26北北偏东30°南偏西45°北偏西70°南偏东50°30° 70° 45° 50°hl2、方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角． 如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°．3、坡度（坡比）、坡角在修路、挖河、开渠等设计图纸上，都需要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度h 和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即h i l=． 坡度通常写成1 : m 的形式，如1:1.5i =． 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α．坡度i 与坡角α之间的关系：tan hi l α==．【例16】如图，为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30米的B 处，测 得树顶A 的仰角ABO ∠为α，则树OA 的高度为（ ）A ．30tan αB ．30sin αC ．30tan αD ．30cos α【答案】C【解析】转化为直角三角形中求长度的问题，根据锐角三角比定义可得tan OAOB α=，即得30tan OA α=，故选C ．【总结】考查锐角三角比在实际问题中的应用．例题解析A BO【例17】如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A 处．如果海轮沿着正南方向航行到灯塔的正东方向，那么海轮航行的距离AB 的长是（ ）海 里A ．2B ．2sin 55°C ．2cos 55°D ．2tan 55°【答案】C【解析】转化为直角三角形中求长度的问题，根据锐角三角比定义可得cos ABPAB PA ∠=，即得2cos55OA =︒，故选C ．【总结】考查锐角三角比在实际问题中的应用．【例18】如图所示，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18厘米，深为30厘米， 为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡BC 的坡度i = 1 : 5，那么AC 的长度是______厘米．【答案】210【解析】依题意可得31854BD =⨯=， 23060AD =⨯=，根据坡度的含义， 可得：270BDCD i==，由此可得210AC CD AD cm =-=．【总结】考查坡度的实际应用和理解．【例19】如图，斜面AC 的坡度为1 : 2，AC =35米，坡顶有一旗杆BC ，旗杆顶端B 点与 A 点有一条彩带相连，若AB = 10米，则旗杆BC 的高度为（ ）米A ．5B ．6C ．8D ．3+5【答案】A【解析】斜坡坡度为1 : 2，即12CD AD =，设CD a =，则有2AD a =， 根据勾股定理可得535AC a ==，解得3a =，即得：3CD =，6AD =，根据勾股定理可得228BD AB AD =-=，则5BC BD CD m =-=．【总结】考查坡度的实际应用和理解，结合勾股定理进行实际计算．C ABDABP 北ABC D10 / 26【例20】如图，要在宽为22米的大道AB 两边安装路灯，路灯的灯臂CD 长2米，且与灯 柱BC 成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO 与灯臂CD 垂直．当灯罩的 轴线DO 通过公路路面中心线时照明效果最佳．此时，路灯的灯柱BC 的高度应该设计 为（ ）米 A ．1122- B ．1123-C ．11322-D ．1134-【答案】D【解析】延长OD 、DC 交于点E ．90B ODC ∠=∠=︒，120BCD ∠=︒， 60DOB DCE ∴∠=∠=︒，由BC = 2，tan 602324DE DC CE DC ∴=︒⋅===，．依题意可知：O B =11，即得：tan 60113BE OB =⋅︒=， 则()1134BC BE CE m =-=-．【总结】考查利用锐角三角比求线段长度，关键在于对特殊角的利用，不能把特殊角分开，延长即可．【例21】如图，为测得一栋大厦CD 的高度，一人先在附近一楼房的底端A 点观测大厦顶 端C 处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B 处观测大厦底部D 处的俯角是30°，已知楼房高AB 约是45 m ，根据以上观测数据可求大厦的高CD 是______m ．【答案】135．【解析】90BAD ADC ∠=∠=︒，30ADB ∠=︒，60CAD ∠=︒，则有tan 60453AD AB =⋅︒=，tan60135CD AD m =⋅︒=．【总结】考查俯角仰角与特殊角锐角三角比的结合应用．【例22】如图，小智在大楼30米高（即PH = 30米）的A BCDABCH PQABC DO E窗口P 处进行观测，测得山坡上A 处的俯角为15°，山脚B 处的俯角为60°．已知山坡的坡度为1:3，点P 、H 、B 、C 、 A 在同一平面上，点H 、B 、C 在同一直线上，且PH HC ⊥．则山坡上A 、B 两点间的距离为______．【答案】203m ．【解析】依题意有60PBH ∠=︒，15QPA ∠=︒， 山坡坡度为1:3，则有30ABC ∠=︒，由此可得:9030BPH PBH ∠=︒-∠=︒，90ABP ∠=︒， 9045APB BPH QPA ∠=︒-∠-∠=︒，则有203sin 60PHBP ==︒，203AB PB m ==．【总结】考查俯角仰角与特殊角锐角三角比的结合应用．【例23】某单位拟建造地下停车库，设计师提供了车库入口设计示意图（如图），按规定， 地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限 高，请你计算图中CE 的长．（参考数据：sin180.309︒≈，cos180.951︒≈，tan180.325︒≈，cot18 3.078︒≈，结果精确到0.1 m ）【答案】2.3m ．【解析】依题意得18BAD ∠=︒，tan 9tan18BD AB BAD =⋅∠=︒， 9tan180.5CD BD BD =-=︒-， 9072BDA BAD ∠=︒-∠=︒，则有9018DCE BDA ∠=︒-∠=︒， 由此可得()cos 9tan180.5cos189sin180.5cos18CE CD DCE =⋅∠=︒-⨯︒=︒-︒由上述数据，即可得90.3090.50.951 2.3055 2.3CE m ≈⨯-⨯=≈．【总结】考查锐角三角比在解决实际问题中的具体应用，注意题目要求，考虑需要涉及到哪些相关的锐角三角比．ABC D E9 m0.5 m12 / 26【例24】小方在课外活动中观察吊车的工作过程，绘制了如图所示的平面图形．已知吊车 吊臂的支点O 距离地面高'2OO =米．当吊臂顶端由点A 抬升至点'A （吊臂长度不变） 时，地面B 处的重物（高度不计）被吊至'B 处，紧绷着的吊缆''A B AB =．AB 垂直地面'O B 于点B ，直线''A B 垂直地面'O B 于点C ，吊臂长度'10OA OA ==米，且3cos 5A =，1sin '2A =． （1）求重物在水平方向移动的距离BC ；（2）求重物在竖直方向提升的高度'B C ．【答案】（1）3m ；（2）()536m -． 【解析】（1）如图，则有4sin 1085OD OA A m =⋅=⨯=， ''1sin 1052OF OA A m =⋅=⨯=，则3BC FD OD OF m ==-=；（2）由（1）可得：cos 6AD OA A m =⋅=，则'''8AB AD DB AD OO m A B =+=+==， ''2253A F OA OF m =-=，则()''''5328536B C A F FC A B m =+-=+-=-． 【总结】考查锐角三角比在解决实际问题中的具体应用，注意题目要求，考虑需要涉及到哪些相关的锐角三角比，注意看清楚题目提供的条件．【例25】如图，是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB DB ⊥，坡面AC 的坡 角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC 的坡度 为3:3i =．若新坡角下需留3米宽的人行道，问离原坡角（A 点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈）【答案】需要拆除．【解析】依题意有45CAB ∠=︒， 则10AB BC ==，DC 的坡度为3:3i =，即得：103CDBD i==，由此可得：10310AD BD AB =-=-，则点A 距人行道外侧距离至少为103103103710.3210-+=-≈>，由此可知建筑物需要拆除．【总结】考查锐角三角比在解决实际问题中的具体应用．【例26】数学兴趣小组准备利用所学的知识测量公路旁某广告牌的高度．如图所示，先在水平面上点A 处测得对广告牌上沿点C 的仰角为30°，然后沿AH 方向前进10米至点A BCD FDA BA ＇B ＇ O ＇OCC DG 广告牌B 处，测得对广告牌下沿点D 的仰角为60°．已知矩形广告牌垂直于地面的一边CD高2米．求广告牌的高度GH （结果保留根号）．【答案】()531m -．【解析】作DE BH ⊥交BH 于E ， 设BE a =，则有tan 3DE BE DBE a =⋅∠=， 32CE CD DE a =+=+，由30CAE ∠=︒，得332310AE CE a AB BE a ==+=+=+，解得：53a =-，由此可得()()323532531GH CE a m ==+=⨯-+=-．【总结】考查锐角三角比在解决实际问题中的具体应用，注意线段长度的转化和等量关系．【例27】如图，轮船甲位于码头O 的正西方向A 处，轮船乙位于码头O 的正北方向C 处， 测得45CAO ∠=︒．轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们 的速度分别为45 km /h 和36 km /h ．经过0.1 h ，轮船甲行驶至B 处，轮船乙行驶至D 处， 测得58DBO ∠=︒．此时B 处距离码头O 有多远？（参考数据：sin580.85︒≈，cos580.53︒≈，tan58 1.60︒≈）【答案】13.5km ．【解析】依题意可得：450.1 4.5AB km =⨯=， 360.1 3.6CD km =⨯=，由45CAO ∠=︒，可知 4.5AO CO BO ==+，8.1DO CO CD BO =+=+，58DBO ∠=︒，得tan tan58DODBO BO∠==︒，即8.1 1.60BO BO+≈，解得：13.5BO km =．【总结】考查锐角三角比在解决实际问题中的具体应用，注意线段长度的转化和等量关系．【例28】如图，MN 表示一段笔直的高架道路，线段AB 表示高架道路旁的一排居民楼．已 知点A 到MN 的距离为15米，BA 的延长线与MN 相交于点D ，且30BDN ∠=︒，假设汽车在高架道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．A BCD O北东14 / 26（1）过点A 作MN 的垂线，垂足为H ．如果汽车沿着从M 到N 的方向在MN 上行驶， 当汽车到达点P 处时，噪音开始影响这一排居民楼，那么此时汽车与点H 的距离为多少米？（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点Q 时，它与这一排 居民楼的距离QC 为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（结果精确到1米，参考数据：3 1.7≈）【答案】（1）36；（2）89．【解析】（1）39AP =，根据勾股定理可得：2222391536PH AP AH m =-=-=；（2）30BDN ∠=︒，得278DQ QC m ==， cot 30153DH AH m =⋅︒=，由此可得隔音板长度：361537811415389PQ PH DH DQ m =-+=-+=-≈．【总结】考查锐角三角比在解决实际问题中的具体应用，注意将题目中的语言转化为数学符号语言．【例29】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风 暴，有极强的破坏力．据气象部门观测，某沿海城市A 正南方向相距220 km 的B 处有 一台风中心，中心最大风力为12级，每远离台风中心20 km ，风力就会减弱一级．现 台风中心正以15 km /h 的速度沿北偏东30°方向移动，如图所示．若城市所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响．（1）设台风中心风力不变，该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由． （2）如该城市受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ （3）该城市受到台风影响时的最大风力为几级？ 【答案】（1）会受影响；（2）415h ；（3）6.5级． 【解析】（1）作AD BC ⊥交BC 于D ， 则有sin 110AD AB B km =⋅=，不受台风影响的最小距离为()12420160km -⨯=，因为110160<，故该城市会受到台风影响；（2）设在E 点处该城市开始受到台风影响，则有160AE km =，根据勾股定理可得：223015DE AE AD =-=，则受影响时间为2301515415h ⨯÷=；（3）台风中心到达D 点处距该城市最近，受到最大风力影响， 受到的最大风力即为1211020 6.5-÷=级．【总结】考查锐角三角比在解决实际问题中的具体应用，关键是找准题目要求的临界位置结AB CDP NMQH AB CD E合题意进行求解．【例30】某水库大坝的横截面积是如图所示的四边形ABCD ，其中AB // CD ．瞭望台PC 正 前方水面上有两艘渔船M 、N ，观察员在瞭望台顶端P 处观测渔船M 的俯角31α=︒， 观测渔船N 的俯角45β=︒．已知MN 所在直线与PC 所在直线垂直，垂足为E ，PE 长为30米．（1）求两渔船M 、N 之间的距离（结果精确到1米）（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD 的坡度i = 1 : 0.25．为了提高大坝的防洪能 力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝顶加宽3米，背水坡FH 的坡 度为i = 1 : 1.5．施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效 率提高到原来的1.5倍，结果比原计划提前20天完成加固任务．施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？（参考数据：tan310.60︒≈，sin310.52︒≈）【答案】（1）20m ；（2）600． 【解析】（1）3050tan 0.60PE ME m α=≈=，30tan PENE m β==，由此可得：20MN ME NE m =-=；（2）作DG AB ⊥交AB 于G ，作 FQ BH ⊥交BH 于Q ．依题意有：24DG FQ ==，AD 坡度i = 1 : 0.25，即得：16DGAG i ==，FH 坡度i = 1 : 1.5，即得：236FQHQ i ==，AB C D E F NM P JHG Q16 / 26由此可得336633AH GQ HQ AG =+-=+-=，则填筑土石方总量为()()11005024333432002DG DF AH ⋅+⨯=⨯⨯+=方，设原计划每天填筑x 方，可列方程4320012 1.5122043200x x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，解得：600x =，经检验，600x =是原方程的根，即原计划每天填筑土石方600立方米．【总结】考查实际问题的应用，主要是对题目要求进行准确分析．【习题1】如图，菱形ABCD 的边长为15，3sin 5BAC ∠=，则对角线AC 的长为______． 【答案】24．【解析】连结BD 交AC 于点O ，则有AC BD ⊥，2AC AO =，由3sin 5BAC ∠=，即35BO AB =，得9BO =， 勾股定理得2212AO AO BO =-=，则224AC AO ==． 【总结】考查菱形的性质结合锐角三角比基础知识的应用．【习题2】有一个相框的侧面抽象为如图所示的几何图形，已知BC = BD = 15 cm ， 40CBD ∠=︒，则点B 到CD 的距离为______cm ．（参考数据：sin200.342︒≈，cos200.940︒≈，sin400.642︒≈，cos400.766︒≈，结果精确到0.1 cm ）【答案】14.1．【解析】作BE CD ⊥，则有1202CBE CBD ∠=∠=︒，故B 到CD 的距离cos 150.94014.1BE BC CBE cm =⋅∠≈⨯=． 【总结】考查锐角三角比和等腰三角形性质的结合应用．随堂检测AB CDOABC DEABCDE F G 【习题3】如图，为了测得电视塔的高度AB ，在D 处用高为1米的测角仪CD 测得电视塔 顶端A 的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F 处，又测得电视塔顶端A 的 仰角为60°，则这个电视塔的高度AB 为（ ）A ．503米B ．51米C ．()503+1米D ．101米【答案】C【解析】60AEG ∠=︒，得：tan 603AG EG EG =⋅︒=，30ACG ∠=︒，则有cot 3033CG AG AG EG =⋅︒==，则有2100CE CG EG EG =-==，得：50EG =，3503AG EG ==，()5031AB AG BG m =+=+．故选C ． 【总结】考查特殊角锐角三角比的实际应用，相应线段长度转化．【习题4】如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，3sin 5B =．D 是BC 上一点，已知45ADC ∠=︒，DC = 6，求tan BAD ∠的值．【答案】17．【解析】过点D 作DE AB ⊥交AB 于点E ．由90C ∠=︒，3sin 5B =，可设3AC a =，则5AB a =， 根据勾股定理可得224BC AB AC a =-=，由45ADC ∠=︒，可得3CD AC a ==， 则BD BC CD a =-=，由90C DEB B B ∠=∠=︒∠=∠，，即得ACB ∆∽DEB ∆，则有55AC BC AB a DE BE BD a ====，由此可得35DE a =，45BE a =，则215AE AB BE a =-=， 即得315tan 2175aDE BAD AE a ∠===．【总结】解直角三角形，通过作高把线段放到直角三角形中再通过相应的线段比例关系把三角形中的相关线段表示出来即可．【习题5】如图，ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形，AB = 2AD ，已知45BAD ∠=︒，AC 与DE 相交于点F ，ABC ∆的面积为3，求阴影部分的面积．【答案】334-【解析】作CG AB ⊥交AB 于点G ，作FH AE ⊥交AE 于点H ， 则有6045E B EAF BAD ∠=∠=︒∠=∠=︒，．设ABC ∆边长为a ，则有1322BG a CG a ==，，ABCD EA BCDE FG H18 / 261133222ABC S CG AB a a ∆=⋅=⋅⋅=，即得24a =，解得：2a =，即22AB AD ==，得ADE ∆边长为1，则有1AE =，设FH h =，则有3cot 603EH EF h =⋅︒=，AH FH h ==，即得3113AE AH FH h ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得332h -=，13324S AE FH -=⋅=阴． 【总结】考查特殊角的锐角三角比与特殊图形的结合应用．【习题6】如图，在四边形ABCD 中，45A C ∠=∠=︒，105ADB ABC ∠=∠=︒． （1）若AD = 2，求AB ；（2）若232AB CD +=+，求AB ．【答案】（1）62+；（2）31+． 【解析】（1）作DE AB ⊥交AB 于点E ， 由45A ∠=︒，可得：cos452AE AD DE =⋅︒==，由105ADB ∠=︒，可得：30ABD ∠=︒，即得cot 306BE DE =⋅︒=，则62AB =+；（2）作BF CD ⊥交CD 于点F ，由（1）可得()31AB DE =+，设DE a =，则有2BD a =，由45A C ∠=∠=︒，105ADB ABC ∠=∠=︒，可得60BDC ∠=︒，则有cos60DF BD a =⋅︒=，3BF a CF ==，即得()31CD a AB =+=，由232AB CD +=+，即可得31AB =+． 【总结】考查特殊角锐角三角比的应用，通过作高解直角三角形即可．【习题7】2015年4月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级地震，震源深度为20千米．中 国救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方C 处有生命迹象．在废墟一侧 某面上选两探测点A 、B ，点A 、B 相距2米，探测线与该面的夹角分别是30°和45°（如图），试确定生命所在的点C 与探测面的距离（参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈）【答案】2.732m ．【解析】作CD AB ⊥交直线AB 于点D ． 由题意可得：30CAD ∠=︒，45CBD ∠=︒， 则有cot 303AD CD CD =⋅︒=，BD CD =，即()312AB AD BD CD =-=-=，AB CDEFABC30°45° DEDCB A解得：31 2.732CD m =+≈【总结】考查特殊角锐角三角比的应用，通过作高解直角三角形即可．【习题8】利用几何图形，求sin 18°的值．【答案】514-．【解析】如图，ABC ∆为“黄金三角形”，AD 、BE 分别为其顶角和一底角角平分线，则有18BAD ∠=︒，12BD BC =，根据相似可证得“黄金三角形中”512BC AC -=， 则有51sin184BD AC -︒==． 【总结】考查“黄金三角形”的性质的应用．【习题9】如图，港口B 位于港口O 正西方向120 km 处，小岛C 位于港口O 北偏西60° 方向上．一艘游船从港口O 出发，沿OA 方向（北偏西30°）以v km /h 的速度驶离港 口O ，同时一艘快艇从港口B 出发，沿北偏东30°的方向以60 km /h 的速度驶向小岛C ，在小岛C 用1 h 加装补给物资后，立即按原来的速度给游船送去．（1）快艇从港口B 到小岛C 需要多长时间？（2）若快艇从小岛C 到与游船相遇恰好用时1 h ，求v 的值及相遇处与港口O 的距离． 【答案】（1）1h ；（2）40v =，相遇处与港口O 的距离120km ． 【解析】（1）依题意可得60CBO ∠=︒，30BOC ∠=︒， 则有90ACB ∠=︒，此时sin 60BC OB BOC km =⋅∠=，则快艇到小岛的时间为60601h ÷=；（2）延长BC 交AO 于点D ． 由题意可知60CD BC ==，则有AB BO =， 由30AOC ∠=︒，可得60BOD ∠=︒， 即BOD ∆为等边三角形，相遇点D 与港口距离120OD OB km ==，船速()12011140/v km h =÷++=． A B CO北北东D20 / 26【总结】考查方位角的应用，计算速度时注意不要遗漏时间．【习题10】如图所示，已知边长为2的正三角形ABC 沿直线l 顺时针滚动．（1）当ABC ∆滚动一周到111A B C ∆的位置时，A 点所运动的路程约为______；（精确到0.1） （2）设ABC ∆滚动240°，C 点的位置为'C ，当ABC ∆滚动480°时，A 点的位置再'A ，请你利用正切的两角和公式()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-，求出''CAC CAA ∠+∠的度数．【答案】（1）8.4；（2）30︒． 【解析】（1）A 点转过的圆心角度数 为1202240︒⨯=︒，由此可得运动路程为：240288 3.148.418033ππ⨯⨯=≈≈； （2）作'C D AC ⊥交直线AC 于点D ，作'A E AC ⊥交直线AC 于点E ． 则有''2sin 603C D A E ==︒=，2215AD =⨯+=，4219AE =⨯+=，则有''3tan 5C D CAC AD ∠==，''3tan 9A E CAA AE ∠==，根据上述公式，代值计算，则有()''''''33tan tan 359tan 1tan tan 333159CAC CAA CAC CAA CAC CAA +∠+∠∠+∠===-∠⋅∠-⨯，即得''30CAC CAA ∠+∠=︒．【总结】阅读题，抓住题目中的运动过程，准确分析即可进行解题应用．ABCA 1B 1C 1DE【作业1】如图，将正方形ABCD 的边BC 延长到点E ，使得CE = AC ，AE 与CD 相交于点F ，求E ∠的余切值．【答案】21+．【解析】设正方形边长为a ，则有2AC a CE ==， ()21BE BC CE a =+=+，()21cot 21aBEE ABa+===+．【总结】考查根据一些特殊角锐角三角比计算一些相关锐角三角比的思想方法．【作业2】如图，在矩形ABCD 中，AB = 8，BC = 12，E 是BC 的中点，连接AE ，将ABE ∆沿AE 折叠，点B 落在点F 处，连接FC ，则sin EFC ∠的值为______．【答案】45．【解析】连结BF ， 根据翻折的性质，可得BE EF FC ==，可证得BFC ∆为直角三角形，AE BF ⊥，即得//AE CF ，所以EFC AEF AEB ∠=∠=∠． 由8AB =，6BE =， 勾股定理得：2210AE AB BE =+=，则84sin sin 105AB EFC AEB AE ∠=∠===．【总结】考查翻折性质的应用，通过等角转化求角的锐角三角比．课后作业AB C D EFA B CDEF22 / 26【作业3】如图，AD 是ABC ∆的中线，1tan 3B =，2cos 2C =，2AC =．求：（1）BC 的长；（2）sin ADC ∠的值．【答案】（1）4；（2）22．【解析】（1）作AE BC ⊥交BC 于点E ， 则cos 1CE AC C AE =⋅==，由1tan 3AE B BE ==，即得：3BE =，则4BC CE CE =+=；（2）因为AD 是ABC ∆中线，则有2BD CD ==，即得：1DE CD CE =-=，由勾股定理，得：222AD AE DE =+=，则有12sin 22AE ADC AD ∠===． 【总结】解三角形，通过作高把边转化到直角三角形中即可．【作业4】如图，轮船从B 处以每小时60海里的速度沿南偏东20°的方向匀速航行，在B 处观测灯塔A 位于南偏东50°方向上．轮船航行40分钟到达C 处，在C 处观测灯塔A 位于北偏东10°方向上，则C 处与灯塔A 的距离是（ ）A ．20海里B ．40海里C ．2033海里D ．4033海里【答案】D ．【解析】依题意可得：30ABC ACB ∠=∠=︒，则有AB AC =，作AD BC ⊥交BC 于D ，轮船行程即260403BC =⨯=，则有1202BD CD BC ===，403cos 3CD AC ACB ==∠． 【总结】考查方位角知识的应用，本题重点在于准确分析相关角度的大小再利用特殊角的锐角三角比解决问题．ABCD EABC 北东D【作业5】如图，在ABC ∆中，45B ∠=︒，562AB =，D 是BC 上一点，AD = 5，CD = 3，求ADC ∠的度数及AC 的长．【答案】60ADC ∠=︒，19AC =．【解析】作AE BC ⊥交BC 于点E ，则有56253sin 222AE AB B =⋅=⨯=， 3sin 2AE ADE AD ∠==，即得sin 60ADE ∠=︒， 则1522DE AD ==，则12CE CD DE =-=，勾股定理得2219AC AE CE =+=．【总结】考查特殊角锐角三角比的应用，作高把线段放到直角三角形中即可．【作业6】如图，点D 在ABC ∆的边BC 上，C BAD DAC ∠+∠=∠，4tan 7BAD ∠=，65AD =，CD = 13，求线段AC 的长．【答案】265．【解析】作DE AB ⊥交AB 于点E ，作AF BC ⊥交BC 于点F ， 作DAG BAD ∠=∠交CD 于点G ，作DH AG ⊥交AG 于点H ． ∵4tan 7DE BAD AE ∠==，勾股定理得22265AE DE AD +==，∴4DE =，7AE =．∵AD 为角平分线，根据角平分线性质有4DH DE ==，7AH AE ==，C BAD DAC ∠+∠=∠，即C BAD DAH GAC ∠+∠=∠+∠，即得：C GAC ∠=∠．∴AG CG =，设AG a =，则有7GH a =-，13DG a =-，在Rt DGH ∆中，∵222DH HG DG +=，∴()()2224713a a +-=-，解得：263a =， 即263AG GC ==，此时13133DG a =-=． 在ADG ∆中用面积法，则有DH AG AF DG ⋅=⋅，即2613433AF ⨯=⋅， 即得8AF =，Rt ADF ∆勾股定理，得()22226581DF AD AF =-=-=，则12CF CD DF =-=，由此可得2222812413AC AF CF =+=+=．【总结】本题综合性较强，综合应用了锐角三角比、角平分线的性质、面积法等解三角形常用的方法，主要是根据题目条件进行变化得出最终结果．【作业7】如图，一栋楼房AB 背后有一台阶CD ，台阶每层高0.2米，且AC = 17.2米．设太阳光线与水平地面的夹角为α，当60α=︒时，测得楼房在地面上的影长AE = 10米．现D AB CE HF EGABCD24 / 26有一只小猫睡在台阶的MN 这层上晒太阳．（参考数据：3 1.73≈）（1）楼房的高度约为多少米？（2）过了一会儿，当45α=︒时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由． 【答案】（1）17.3m ；（2）能．【解析】（1）根据锐角三角比的含义，tan AB AE α=，则有tan 10317.3AB AE m α=⋅=≈；（2）45α=︒时，影长即为tan 17.3AB m α⋅=， 17.317.20.10.2m m -=<，即影子的落点正在在台阶侧面CM 上，此时小猫还是可以晒到太阳的．【总结】考查利用锐角三角比解决实际问题，化为实际三角形模型即可．【作业8】如图，CD 是ABC ∆的中线，已知90ACD ∠=︒，3cos 5A =，求tan BCD ∠的值． 【答案】38．【解析】由90ACD ∠=︒，3cos 5AC A AD ==，可设3AC a =，则5AD a =，根据勾股定理，可得：224CD AD AC a =-=． 延长CD 到E ，使DE CD =，连结AE ．由AD BD =，CDB ADE ∠=∠，可证CDB EDA ∆≅∆，则有BCD E ∠=∠，由此可得：33tan tan 248AC a BCD E CE a ∠=∠===⨯．【总结】考查“倍长中线法”在解三角形中的应用，可进行等角转化，将不便计算的角放到直角三角形中即可．【作业9】如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = 4，BC = 6，DAC B AEF ∠=∠=∠，点E 、F 分别在BC 、AC 上（点E 与B 、C 不重合），设BE = x ，AF = y ．（1）求cos B ；ABCDENM ABCDE（2）求证：ABE ∆∽ECF ∆； （3）求y 关于x 的代数式；（4）当点E 在BC 上移动时，AEF ∆是否有可能是直角三角形？若有可能，请求出BE 的长；若不能，请说明理由．【答案】（1）34；（2）略；（3）26164x x y -+=；（4）23BE =或3BE =．【解析】（1）作AG BC ⊥交BC 于点G ， //AD BC ， DAC ACB ∴∠=∠． DAC B ∠=∠， B ACB ∴∠=∠．AB AC ∴=， 132BG CG BC ∴===．3cos 4BG B AB ∴==．（2）证明：AEC B BAE AEF FEC ∠=∠+∠=∠+∠，又B AEF ∠=∠， BAE FEC ∴∠=∠，B ACB ∠=∠，∴ABE ∆∽ECF ∆．（3）由ABE ∆∽ECF ∆，则有AB BEEC CF=，即464x x y =--，整理得：26164x x y -+=； （4）①90AEF B ∠=∠<︒，即AEF ∠不可能为直角；②90EAF ∠=︒，则有3cos cos 4AC ACE B EC ∠===，4AC AB ==，则有163EC =，则162633BE BC EC =-=-=；③90AFE ∠=︒，此时则有90AEB EFC ∠=∠=︒，此时点E 与点G 重合，即为BC 中点，此时3BE =；综上所述，23BE =或3BE =．【总结】考查“一线三等角”证相似的基本模型，同时对直角三角形的存在性问题可转化为固定角的锐角三角比不变的问题．【作业10】如图（a ）所示，已知正方形ABCD 在直线MN 的上方，BC 在直线MN 上，E是BC 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ．（1）连接GD ，求证：ADG ∆≌ABE ∆；（2）连接FC ，观察并猜测FCN ∠的度数，并说明理由；ABCDE FG。
沪科版九年级上册数学精品课件 第23章 解直角三角形 第1课时 解直角三角形
18．如图，已知 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是斜边 AB 上的中 线，过点 A 作 AE⊥CD，AE 分别与 CD，CB 相交于点 H，E，AH＝2CH.
解：(1)∵∠B 为锐角，且 cos B＝12，∴∠B＝60°； (2)如图，作 AD⊥BC 于 D，∵∠B＝60°，∴∠BAD＝90°－60°＝30°， ∴BD＝12AB＝3，∴AD＝ 3BD＝3 3，∴△ABC 的面积＝21BC×AD＝21 ×4×3 3＝6 3； (3)∵BC＝4，BD＝3，∴CD＝BC－BD＝1， ∴tan C＝ACDD＝313＝3 3.
知识点 2 已知两边解直角三角形
6．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝ 3，那么∠B 的
度数为
( C)
A．60°
B．45°
C．30°
D．15°
• 7．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD ＝5，AC＝6，则4sin A＝_________.
5
8．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝2 3，BC＝6，解这个 直角三角形．
A．45
B．53
( A)
C．43
D．34
10．在△ABC 中，∠A＝30°，AB＝2 3，AC＝6，则 BC 的长为 ___2__3____.
11．在△ABC 中，AB＝6，BC＝4，∠B 为锐角且 cos B＝12. (1)求∠B 的度数； (2)求△ABC 的面积； (3)求 tan C 的值．
新沪科版九年级数学上册课件： 解直角三角形
( 4 )根据( 1 )( 2 )( 3 )题的结论,试猜想 S△ABC 与12bc·sin A 的大小
关系,并给出证明.
解:( 4 )猜想 S△ABC=12bc·sin A, 理由:作△ABC 的高 CD,
在 Rt△ADC 中,∵CD=AC·sin A=bsin A, ∴S△ABC=12AB·CD=12c·bsin A=12bc·sin A.
第23章
第1课时 解直角三角形
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-12-
第23章
第1课时 解直角三角形
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-13-
解:( 1 )∵∠A=60°,∠ABE=90°,AB=6,tan A=������������������������, ∴∠E=30°,BE=6tan 60°=6 3, 又∵∠CDE=90°,CD=4,∠E=30°,∴CE=8,
( 1 )当∠A=30°,b=6,c=3 时,S△ABC= 4.5 ,12bc·sin A= 4.5 ;
(
2
)当∠A=45°,b=6,c=3
时,S△ABC=
92 2
,12bc·sin
A=
92 2
;
( 3 )当∠A=60°,b=4,c=3 时,S△ABC= 3 3 ,12bc·sin A= 3 3 ;
略
第23章
第1课时 解直角三角形
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-7-
识点3 构造直角三角形 7.如图,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则cos A的值为( B )
A.12
B.
2 2
C.
3 2
数学沪科版九年级(上册)第1课时解直角三角形
课后作业
1.完成课本的练习； 2.完成练习册本课时的习题.
6，AC = 5 ，求 S△ABC . C
解 如图，作 AB 上的高 CD，
在Rt△ACD 中，CD = AC ·sin A ， 5
∴
S△ABC =
1 2
AB ·CD
60°
A D6
B
= 1 ×5×6 sin A ≈ 13.0 .
2
4. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 30°，
AD 是 △ABC 的角平分线，若 AC = 3 ，求线段
23.2 解直角三角形及其应用 第1课时 解直角三角形
沪科版九年级数学上册
新课导入
复习三角形的三角函数
sin A =
a c
，sin B =
b c
，
b cos A = c
a tan A = b
，cos
B
=
a c
，tan
B
=
b a
， .
A
B
c
aHale Waihona Puke bC新课探究
观察
三条边，三个角
B
如图，Rt△ABC 共有 六个元素，其中∠C = 90°，
确到 0.1 cm2）.
C
解 如图，作 AB 上的高 CD， b
在Rt△ACD 中，
55°
∵ CD = AC ·sin A = b sin A， A
Dc
B
∴
S△ABC =
1 2
AB ·CD
=
1 2
bc sin A.
当∠A = 55°，b = 20 cm，c = 30 cm 时，有
1
S△ABC = 2 bc sin A
沪科版数学九年级上册23.2第3课时方位角与解直角三角形 课件(共25张PPT)
方位角
北偏东
解：分两种情况：(1)如图①，在Rt△BDC中，CD＝30 km，BC＝60 km，∴∠B＝30°.∵PB＝PC，∴∠BCP＝∠B＝30°.∴在Rt△CDP中，∠CPD＝∠B＋∠BCP＝60°. km,在Rt△ADC中，∵∠A＝45°，∴AD＝DC＝30 km. km.
第23章 解直角三角形
23.2 解直角三角形及其应用
第3课时 方位角与解直角三角形
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.理解并掌握方向角的概念.2.把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．
方向角的概念;方向角的辨别与使用.
运用解直角三角形知识解决方向角问题.
回顾复习
归纳小结
解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅助线）;当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角关系.
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
例2 如图所示，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上．该货船航行30分钟后到达B处，此时又测得该岛在北偏东30°方向上，已知在岛C周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．
沪科版九年级数学上册课件：第23章 解直角三角形 23.2专题五 解直角三角形的运用
解：作 PE⊥OC 于点 E，PF⊥OB 于点 F，tan∠PAB＝12，即APFF＝12， 设 PF 为 x，则 AF＝2x，OE＝x，∴CE＝100 3－x，PE＝OF＝100＋
2x，在 Rt△PEC 中，由∠CPE＝45°，∴CE＝EP，∴102x，解得 x＝
23．2 解直角三角形及其运用
专题五 解直角三角形的运用
类型之一：构造直角三角形解决实际问题 1．如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部(B 处)6 米的 D 处， 仰望旗杆顶端 A，测得仰角为 60°，眼睛离地面的距离 ED 为 1.5 米，试 帮助小华求出旗杆 AB 的高度．(结果精确到 0.1 米， 3≈1.732)
4．(2014·仙桃)如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗 立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡 上的影子BD的长为6米，落在广告牌上的影子CD的长为4米，求铁塔AB 的高．(AB，CD均与水平面垂直，结果保留根号)
解：过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，过点 D 作 DF⊥AB 交 AB 的延长线 于点 F，在 Rt△DBF 中，∠BDF＝30°，BF＝DB·sin30°＝12DB＝3，DDBF ＝cos30°＝ 23，∴DF＝6× 23＝3 3，∵CE＝DF，∴CE＝DF＝3 3， 在 Rt△ACE 中，由题意可知∠ACE＝45°，ACEE＝tan45°＝1，∴AE＝ CE＝3 3，∴AB＝AF－BF＝AE＋EF－BF＝3 3＋4－3＝(3 3＋1)米， 所以铁塔 AB 的高为(3 3＋1)米
• 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月上午11时26分22.4.1111:26April 11, 2022 • 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022年4月11日星期一11时26分10秒11:26:1011 April 2022 • 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
沪科版九年级数学上册《解直角三角形》课件(20页)
30°
B
450
45°
O
A
30°60° A
45° 22000米 45°
B
P 45°°
3300°°
202000米
D
O
B
学以致用
小刘想测量学校操场旗杆顶端到 地面的距离，但旗杆底部不能直 接到达，请你应用今天所学知识， 帮助他设计一个测量方案，画出 示意图，相关数据用字母表示， 并与同学交流。
思想与方法
25
5
答案：空中塔楼AB高
A 约为105米
濠
河 55° 40°
B
C 50m D
在进行观察或测量时，
仰角和俯角
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
铅
视线
垂 线 仰角
水平线
俯角
视线
P α β
归纳与提高
P
450
O P
O
45°
B
30°
A C
30°
B
450
45°
解直角三角形的应用
解直角三角形 常用关系：
温故而知新
B
解直角 三角形
∠A＋ ∠ B＝90°
a2+b2=c2 A
c a
┌
b
C
三角函数 关系式
sinAa,sinBb
c
c
cosAb,cosBa
c
c
tanAa,tanBb
b
a
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，
温故而知新
（1）若∠A=30°，BC=3，则AC= 3 3
在环西文化广场休息，看到濠河对岸的电视塔，他想用手
中的测角仪和卷尺不过河测出电视塔空中塔楼的高度.现已 测出∠ADB=40°，由于不能过河，因此无法知道BD的长 度，于是他向前走50米到达C处测得∠ACB=55°，但他们
九年级数学上册23.2解直角三角形及其应用解直角三角形课件新版沪科版
C
D
B
D′
第二十页，共23页。
思考2：有一块三形场地ABC，测得其中AB边长为 60米，AC边长50米，∠ABC=30°，试求出这个 (zhège)三角形场地的面积．
第二十一页，共23页。
必做题： 书本(shūběn)P93/4、P94/7题．
更上一层楼
第二十二页，共23页。
初涉中考题
课后思考：如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板 的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C 在同一 水平地面(dìmiàn)上． （1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0．01） （2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的
视线
仰角 俯角
水平线
视线
第五页，共23页。
合作与探究
【探究1】直升飞机在跨江大桥AB的上方P点处， 此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、B、O三 点在一条(yī tiáo)直线上，测得大桥两端的俯 角分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB .
解：由题意(tíyì)得，
PAO 30, PBO 45
答案: 15.1米
第十五页，共23页。
数学建模及 方程思想
思想与方法
解方程
解
解
直角三角形
构建
简单(jiǎndān)实 际问题
数学模型
三角形
梯形(tīxíng)
组合(zǔhé)图 形
通过作高 转化为直 角三角形
第十六页，共23页。
思想与方法
1．把实际问题转化成数学问题，这个转化包括(bāokuò) 两个方面：一是将实际问题的图形转化为几何图形，画出 正确的示意图；二是将已知条件转化为示意图中的边、角 或它们之间的关系. 2．把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图 不是(bù shi)直角三角形，可添加适当的辅助线，画出 直角三角形.
沪科版-数学-九年级上册-如何解直角三角形解决测量问题.
初中-数学-打印版
如何解直角三角形解决测量问题.
如何解直角三角形解决测量问题？
难易度：★★★★
关键词：解直角三角形
答案：
解直角三角形解决仰角俯角中的测高问题是解直角三角形的重要应用之一，关键在于明确仰角俯角的意义，并解直角三角形
【举一反三】
典例：如图所示，在300m高的峭壁上测得一塔的塔顶与塔基的俯角分别为30•°和60°，则塔高CD为（）
（A） 200m （B） 180m
（C） 150m（D） 100m
思路导引：一般来讲，解决本题要了解测高问题是解直角三角形的重要应用之一，关键在于理解仰角与俯角，构造直角三角形求解。
标准答案：D
初中-数学-打印版。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解直角三角形
命题人：罗 成
1、已知：如图，在ΔABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，若∠B ＝30°，CD ＝6，求AB 的长．
2、我国为了维护队钓鱼岛P 的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航．在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同（AP ∥BD ），当轮船航行到距钓鱼岛20km 的A 处时，飞机在B 处测得轮船的俯角是45°；当轮船航行到C 处时，飞机在轮船正上方的E 处，此时EC =5km ．轮船到达钓鱼岛P 时，测得D 处的飞机的仰角为30°．试求飞机的飞行距离BD （结果保留根号）．
3、如图，某公路路基横断面为等腰梯形.按工程设计要求路面宽度为10米，坡角为︒55，路基高度为5.8米，求路基下底宽（精确到0.1
米）.
︒ 55 5.8m 10m
A B
C D 姓名：
得分：
M E N
C
A 4、为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。
在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树A
B ，在地面上事先划定以B 为圆心，半径与AB 等长的圆形危险区，现在某工人站在离B 点3米远的D 处，从
C 点测得树的顶端A 点的仰角为60°，树的底部B 点的俯角为30°. 问：距离B 点8米远的保护物是否在危险区内？
5、如图，某一水库大坝的横断面是梯形ABCD ，坝顶宽CD ＝5米，斜坡AD ＝16 米，坝高 6米，斜坡BC 的坡度3:1=i .求斜坡AD 的坡角∠A （精确到1分）和坝底宽AB ．（精确到0.1米）
6. 在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下的方案（如图1所示）：
（1） 在测点A 处安置测倾器，测得旗杆顶部M 的仰角∠MCE ＝α ； （2） 量出测点A 到旗杆底部N 的水平距离AN ＝m; （3） 量出测倾器的高度AC ＝h 。
根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN 。
如果测量工具不变，请参照上述过程，重新设计一个方案测量某小山高度（如图2） 1） 在图2中，画出你测量小山高度MN 的示意图
2）写出你的设计方案。
7、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=5cm ，∠BAC 的平分线交BC 于D ，
︒
60︒
30B
D
C A
D
C
B A
AD ＝
103
3
cm,求∠B ，AB ，BC.
8、如图，小方在五月一日假期中到郊外放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，此时小方正好站在A 处，并测得∠CBD =60°，牵引底端B 离地面1.5米，求此时风筝离地面的高度（结果精确到个位）
9、如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防
洪大堤（横截面为梯形ABCD ）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF 的坡比i =1：2． （1）求加固后坝底增加的宽度AF 的长； （2）求完成这项工程需要土石多少立方米？
10、某船向正东航行，在A处望见灯塔C
在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北
偏西30o,又航行了半小时到D处，望灯塔C
恰在西北方向，若船速为每小时20海里，
求A、D两点间的距离。
（结果不取近似值）
11、北方向10海里处的A点有一涉嫌走私船只，正以24海里／小时的速度向正东方向航行．为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向，以26海里／小时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问⑴需要几小时才能追上？（点B为追上时的位置）⑵确定巡逻艇的追赶方向（精确到0．1°）．
参考数据：sin66．8°≈ 0．9191 cos 66．8°≈ 0．393
sin67．4°≈ 0．9231 cos 67．4°≈ 0．3846
sin68．4°≈ 0．9298 cos 68．4°≈ 0．368l
sin70．6°≈ 0．9432 cos70．6°≈ 0．3322
12、如图，沿江堤坝的横断面是梯形ABCD，坝顶AD=4m，坝高AE=6 m，斜坡AB的坡比
i，∠C=60°，求斜坡AB、CD的长。
2:1
参考答案
1、83
2、
解答：解：作AF⊥BD，PG⊥BD，垂足分别为F、G，
由题意得：AF=PG=CE=5km，FG=AP=20km，
在Rt△AFB中，∠B=45°，
则∠BAF=45°，
∴BF=AF=5，
∵AP∥BD，
∴∠D=∠DPH=30°，
在Rt△PGD中，tan∠D=，即tan30°=，
∴GD=5，
则BD=BF+FG+DC=5+20+5=25+5（km）．
答：飞机的飞行距离BD为25+5km．
3、18.1米
4、可求出AB= 43米
∵8＞43
∴距离B点8米远的保护物不在危险区内
5、∠A =22 01′AB=37.8米
6、、1）
2)方案如下：
一、测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部
M的仰角∠MCE＝α；
二、测点B处安置测倾器，测得旗杆顶部
M的仰角∠MDE＝ ；
三、量出测点A到测点B的水平距离AB＝m;
四、量出测倾器的高度AC＝h。
根据上述测量数据可以求出小山MN的高度
7、解：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，AD为∠A的平分线，
设∠DAC=α
∴α=30°,
∠BAC=60°，∠B=90°－60°=30°
从而AB=5×2=10(cm)
BC＝AC·tan60°＝5 3 （cm）
8、：解：依题意得，∠CDB=∠BAE=∠ABD=∠AED=90°，
∴四边形ABDE是矩形，（1分）
∴DE=AB=1.5，（2分）
在Rt△BCD中，，（3分）
又∵BC=20，∠CBD=60°，
∴CD=BC•sin60°=20×=10，（4分）
∴CE=10+1.5，（5分）
即此时风筝离地面的高度为（10+1.5）米．
9、解：（1）分别过点E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H，
∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，
∴DH平行且等于EG，
故四边形EGHD是矩形，
∴ED=GH，
在Rt△ADH中，AH=DH÷tan∠DAH=8÷tan45°=8（米），
在Rt△FGE中，i=1：2=，
∴FG=2EG=16（米），
∴AF=FG+GH﹣AH=16+2﹣8=10（米）；
（2）加宽部分的体积V =S 梯形AFED ×坝长=×（2+10）×8×400=19200（立方米）． 答：（1）加固后坝底增加的宽度AF 为10米；（2）完成这项工程需要土石19200立方米．
10、5、解：作CH⊥AD 于H ，△ACD 是等腰直角三角形，CH ＝2AD 设CH ＝x ，则DH ＝x 而在Rt△CBH 中，∠BCH=30o ,
∴BH CH ＝tan30° BH ＝33 x ∴BD ＝x －33 x ＝1
2
×20
∴x ＝15＋5 3 ∴2x ＝30＋10 3 答：A 、D 两点间的距离为（30＋10 3 ）海里。
11．
12．
解：∵斜坡AB 的坡比2:1=i ，
∵AE ：BE=1:2，又AE=6 m ∴BE=12 m ∴AB=222261261265+=+= （m ）
作DF ⊥BC 于F ，则得矩形AEFD ，有DF=AE=6 m ，∵∠C=60° ∴CD=DF ·sin60°= m
答：斜坡AB 、CD 的长分别是65 m ，33 m 。
初中数学试卷
灿若寒星制作。