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2020年九年级中考数学复习专题训练：《相似综合 》(含答案)
2020年九年级中考数学复习专题训练：《相似综合》1．如图1，点P从菱形ABCD的顶点B出发，沿B→D→A匀速运动到点A，BD的长是；图2是点P运动时，△PBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的函数图象．（1）点P的运动速度是cm/s；（2）求a的值；（3）如图3，在矩形EFGH中，EF＝2a，FG﹣EF＝1，若点P、M、N分别从点E、F、G三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，当点M到达点G（即点M与点G重合）时，三个点随之停止运动；若点P不改变运动速度，且点P、M、N的运动速度的比为2：6：3，在运动过程中，△PFM关于直线PM的对称图形是△PF'M，设点P、M、N的运动时间为t（单位：s）．①当t＝s时，四边形PFMF'为正方形；②是否存在t，使△PFM与△MGN相似，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．2．如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝6，动点P从点A出发以1个单位/秒的速度沿AB运动，动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的速度沿CB 运动，过点P作EP⊥AB，交BD于E，连接EQ．当点Q与点B重合时，两动点均停止运动，设运动的时间为t秒．（1）当t＝1时，求线段EP的长；（2）运动过程中是否存在某一时刻，使△BEQ与△ABD相似？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接CE，求运动过程中△CEQ的面积S的最大值．3．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C 重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．4．如图（1），在矩形ABCD中，AD＝nAB，点M，P分别在边AB，AD上（均不与端点重合），且AP＝nAM，以AP和AM为邻边作矩形AMNP，连接AN，CN．【问题发现】（1）如图（2），当n＝1时，BM与PD的数量关系为，CN与PD的数量关系为．【类比探究】（2）如图（3），当n＝2时，矩形AMNP绕点A顺时针旋转，连接PD，则CN与PD之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图（3）给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图（3）说明理由．【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，已知AD＝4，AP＝2，当矩形AMNP旋转至C，N，M三点共线时，请直接写出线段CN的长．5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D、E分别是AB、BC的中点．连接DE．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿AB向终点B运动．同时，动点Q从点C 出发，沿折线CE﹣ED向终点D运动，在CE、ED上的速度分别是每秒3个单位长度和4个单位长度，连接PQ，以PQ、PD为边作▱DPQM．设▱DPQM与四边形ACED重叠部分图形的面积是S（平方单位），点P的运动时间为t（s）．（1）当点P在AD上运动时，PQ的长为（用含t的代数式表示）；（2）当▱DPQM是菱形时，求t的值；（3）当0＜t＜2时，求S与t之间的函数关系式；（4）当△DPQ与△BDE相似时，直接写出t的值．6．如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，过点D作DE⊥DC交直线AB于点E，过点E 作EH⊥AD于点H，过点B作BF⊥AD于点F．（1）如图1，若∠BAD＝60°，AF＝3，AH＝2，求AC的长；（2）如图2，若BF＝DH，在AC上取一点G，连接DG、GE，若∠DGE＝75°，∠CDG＝45°﹣∠CAB，求证：DG＝CG．7．（1）问题引入：如图1所示，正方形ABCD和正方形AEFG，则BE与DG的数量关系是，＝；（2）类比探究：如图2所示，O为AD、HG的中点，正方形EFGH和正方形ABCD中，判断BE和CF的数量关系，并求出的值；（3）解决问题：①若把（1）中的正方形都改成矩形，且＝＝，则（1）中的结论还成立吗？若不能成立，请写出BE与GD的关系，并求出值；②若把（2）中的正方形也都改成矩形，且＝＝2n，请直接写出BE和CF的关系以及的8．在正方形ABCD中，点E是直线AB上动点，以DE为边作正方形DEFG，DF所在直线与BC 所在直线交于点H，连接EH．（1）如图1，当点E在AB边上时，延长EH交GF于点M，EF与CB交于点N，连接CG，①求证：CD⊥CG；②若tan∠HEN＝，求的值；（2）当正方形ABCD的边长为4，AE＝1时，请直接写出EH的长．9．如图a，在正方形ABCD中，E、F分别为边AB、BC的中点，连接AF、DE交于点G．（1）求证：AF⊥DE；（2）如图b，连接BG，BD，BD交AF于点H．①求证：GB2＝GA•GD；②若AB＝10，求三角形GBH的面积．10．如图1，在矩形ABCD中，P为CD边上一点（DP＜CP），∠APB＝90°．将△ADP沿AP 翻折得到△AD′P，PD′的延长线交边AB于点M，过点B作BN∥MP交DC于点N．（1）求证：AD2＝DP•PC；（2）请判断四边形PMBN的形状，并说明理由；（3）如图2，连接AC分别交PM、PB于点E、F．若AD＝3DP，探究EF与AE之间的的数量关系．11．△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2cm．长为1cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动（运动前点M与点A重合）．过M，N分别作AB的垂线交直角边于P，Q两点，线段MN运动的时间为ts．（1）当0≤t≤1时，PM＝，QN＝（用t的代数式表示）；（2）线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t的值；若不可能，说明理由；（3）t为何值时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？12．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝4，点E在边AB上（不与点A、B重合），过点D作DF⊥DE，交边BC的延长线于点F．（1）求证：△DAE∽△DCF．（2）设线段AE的长为x，线段BF的长为y，求y与x之间的函数关系式．（3）当四边形EBFD为轴对称图形时，则cos∠AED的值为．13．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点M在BC上，连接AM，作∠AMN＝∠AMB，点N 在直线AD上，MN交CD于点E．（1）求证：△AMN是等腰三角形；（2）求证：AM2＝2BM•AN；（3）当M为BC中点时，求ME的长．14．如图，在平面直角坐标系中，过原点O及A（8，0）、C（0，6）作矩形OABC，连接AC，一块直角三角形PDE的直角顶点P始终在对角线AC上运动（不与A、C重合），且保持一边PD始终经过矩形点B，PE交x轴于点Q（1）＝；（2）在点P从点C运动到点A的过程中，的值是否发生变化？如果变化，请求出其变化范围，如果不变，请说明理由，并求出其值；（3）若将△QAB沿直线BQ折叠后，点A与点P重合，则PC的长为．15．如图，在矩形OABC中，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（4，3），动点N，P分别从点B，A同时出发，点N以1单位/秒的速度向终点C运动，点P以5/4单位/秒的速度向终点C运动，连结NP，设运动时间为t秒（0＜t＜4）（1）直接写出OA，AB，AC的长度；（2）求证：△CPN∽△CAB；（3）在两点的运动过程中，若点M同时以1单位/秒的速度从点O向终点A运动，求△MPN的面积S与运动的时间t的函数关系式（三角形的面积不能为0），并直接写出当S ＝时，运动时间t的值．16．如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上（不与点C，D重合），连结AE，BD交于点F．（1）若点E为CD中点，AB＝2，求AF的长．（2）若tan∠AFB＝2，求的值．，（3）若点G在线段BF上，且GF＝2BG，连结AG，CG，＝x，四边形AGCE的面积为S1，求的最大值．△ABG的面积为S217．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边BC，AC上的点，且∠ADE＝∠B．（1）求证：AB•CE＝BD•CD；（2）若AB＝5，BC＝6，求AE的最小值；（3）如图2，若△ABC为等边三角形，AD⊥DE，BE⊥DE，点C在线段DE上，AD＝3，BE ＝4，求DE的长．18．如图，△ABC中，AB＝AC，点P为BC边上一动点（不与B，C重合），以AP为边作∠APD＝∠ABC，与BC的平行线AD交于点D，与AC交于点E，连结CD．（1）求证：△ABP∽△DAE．（2）已知AB＝AC＝5，BC＝6．设BP＝x，CE＝y．①求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；＝时，求CE的值．②当S△ACD19．如图，在矩形ABCD的边AB上取一点E，连接CE并延长和DA的延长线交于点G，过点E作CG的垂线与CD的延长线交于点H，与DG交于点F，连接GH．（1）当tan∠BEC＝2且BC＝4时，求CH的长；（2）求证：DF•FG＝HF•EF；（3）连接DE，求证：∠CDE＝∠CGH．20．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友好四边形”．（1）如图1，在4×4的正方形网格中，有一个网格Rt△ABC和两个网格四边形ABCD与ABCE，其中是被AC分割成的“友好四边形”的是；（2）如图2，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C，点B'落在边AC，过点A作AD∥A'B'交CA'的延长线于点D，求证：四边形ABCD是“友好四边形”；（3）如图3，在△ABC中，AB≠BC，∠ABC＝60°，△ABC的面积为6，点D是∠ABC 的平分线上一点，连接AD，CD．若四边形ABCD是被BD分割成的“友好四边形”，求BD 的长．参考答案1．解：（1）由图2可知，s点P从点B运动到点D，∵BD＝，∴点P的运动速度＝÷＝1（cm/s），故答案为：1；（2）如图1，作DQ⊥BC于点Q，当点P在BD上时，a＝×BC×DP，∵四边形ABCD为菱形，点P的运动速度为1，∴AD＝BC＝1×a＝a，∴a＝×a×DP，解得，DQ＝2，在Rt△BDQ中，BQ＝＝1，∴CQ＝a﹣1，在Rt△CDQ中，CD2＝CQ2+DQ2，即a2＝（a﹣1）2+22，解得，a＝；（3）①∵点P的运动速度1cm/s，点P、M的运动速度的比为2：6 ∴点M的运动速度3cm/s，由题意得，EF＝2a＝5，∵FG﹣EF＝1，∴FG＝6，∴PF＝5﹣t，FM＝3t，由翻转变换的性质可知，PF＝PF′，FM＝FM′，当PF＝FM时，PF＝PF′＝FM＝FM′，∴四边形PFMF'为菱形，又∠F＝90°，∴四边形PFMF'为正方形，∴5﹣t＝3t，即t＝1.25时，四边形PFMF'为正方形，故答案为：1.25；②存在，∵点P的运动速度1cm/s，点P、M、N的运动速度的比为2：6：3，∴点M的运动速度3cm/s，点N的运动速度1.5cm/s，∴PF＝5﹣t，FM＝3t，GN＝1.5t，∵点M的运动速度3cm/s，FG＝6，∴0≤t≤2，当△PFM∽△MGN时，＝，即＝，解得，t＝，当△PFM∽△NGM时，＝，即＝，解得，t1＝﹣7﹣（舍去），t2＝﹣7+，综上所述，当t＝或﹣7+时，△PFM与△MGN相似．2．解：（1）当t＝1时，则AP＝1，∴BP＝AB﹣AP＝3，∵EP⊥AB，∴∠EPB＝∠A＝90°，∴EP∥AD，∴△BPE∽△BAD，∴，∴，∴EP＝；（2）∵∠A＝90°，AD＝3，AB＝4，∴BD＝＝＝5，∵EP⊥AB，∴∠EPB＝∠A＝90°，∴EP∥AD，∴△BPE∽△BAD，∴，∴，∴BE＝5﹣t，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBQ，若∠BEQ＝∠A＝90°，∴△BAD∽△QEB，∴，∴＝，∴t＝28（不合题意舍去），若∠BQE＝∠A＝90°，∴△BAD∽△EQB，∴，∴t＝，（3）∵S＝×CQ×PB＝×2t×（4﹣t）＝﹣（t﹣2）2+4，∴当t＝2时，S最大值为4，∴△CEQ的面积S的最大值为4．3．证明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，∴△BAD∽△DCE；（2）如图2中，作AM⊥BC于M．在Rt△ABM中，设BM＝4k，∵＝，∴，由勾股定理，得到AB2＝AM2+BM2，∴102＝（3k）2+（4k）2，∴k＝2或﹣2（舍弃），∴AM＝6，BM＝8，∵AB＝AC，AM⊥BC，∴BC＝2BM＝2×2k＝16，∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE，∵∠ADE＝∠B，∠B＝∠ACB，∴∠BAD＝∠ACB，∵∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA，∴，∴＝，∵DE∥AB，∴，∴＝．（3）点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF．理由：作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N．则∠NHM＝∠AMH＝∠ANH＝90°，∴四边形AMHN为矩形，∴∠MAN＝90°，MH＝AN，∵AB＝AC，AM⊥BC，∵AB＝10，∴BM＝CM＝8，∴BC＝16，在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM＝6，∵AN⊥FH，AM⊥BC，∴∠ANF＝90°＝∠AMD，∵∠DAF＝90°＝∠MAN，∴∠NAF＝∠MAD，∴△AFN∽△ADM，∴，∴，∴CH＝CM﹣MH＝CM﹣AN＝8﹣＝，当DF＝CF时，由点D不与点C重合，可知△DFC为等腰三角形，∵FH⊥DC，∴CD＝2CH＝7，∴BD＝BC﹣CD＝16﹣7＝9，∴点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF，此时BD＝9．4．解：（1）BM＝PD，，理由如下：当n＝1，则AD＝AB，AP＝AM，∴AD﹣AP＝AB﹣AM，∴DP＝BM，∵四边形ABCD是矩形，四边形AMNP是矩形，∴AD＝CD＝AB，AP＝AM＝NP，∠ADC＝∠APN＝90°，∴AC＝AD，AN＝AP，∴AC﹣AN＝（AD﹣AP），∴CN＝PD，故答案为：BM＝PD，；（2）CN与PD之间的数量关系发生变化，，理由如下：如图（1）在矩形ABCD和矩形AMNP中，∵当n＝2．AD＝2AB，AP＝2AM，∴，，∴.，如图（3）连接AC，∵矩形AMNP绕点A顺时针旋转，∴∠NAC＝∠PAD，∴△ANC∽△APD，∴，∴；（3）如图，当点N在线段CM上时，∵AD＝4，AD＝2AB，∴AB＝CD＝2，∴AC＝＝＝，∵AP＝2，AP＝2AM，∴AM＝1，∴CM＝＝＝，∴CN＝CM﹣MN＝﹣2；如图，当点M在线段CN上时，同理可求CM＝，∴CN＝CM+MN＝+2；综上所述：线段CN的长为或．5．解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝＝6，∵D、E分别是AB、BC的中点．∴DE∥AC，DE＝AC＝4，BD＝AD＝5，BE＝CE＝3，∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿AB向终点B运动，∴AP＝5t，∴BP＝10﹣5t，∵DE∥AC，∴△BPQ∽△BAC，∴，∴∴PQ＝8﹣4t，故答案为：8﹣4t；（2）当点P在AD上运动时，∵四边形DPQM是菱形，∴PD＝PQ，∴5﹣5t＝8﹣4t，∴t＝﹣3（不合题意舍去），当点P在BD上运动时，过点P作PH⊥DQ于H，∵四边形DPQM是菱形，∴PD＝PQ，且PH⊥DQ，∴DH＝HQ＝DQ＝[4﹣4（t﹣1）]＝4﹣2t，∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠ACB＝90°＝∠PHD，∴PH∥BE，∴△PDH∽△BDE，∴，∴，∴t＝，PH＝3t﹣3，综上所述：当t＝时，▱DPQM是菱形；（3）当0＜t＜1时，S＝×（8﹣4t+4）×（3﹣3t）＝6t2﹣24t+18，当t＝1时，不能作出▱DPQM，当1＜t＜2时，S＝×（8﹣4t）×（3t﹣3）＝﹣6t2+18t﹣12；（4）当点P在AD上时，不存在△DPQ与△BDE相似，当点P在BD上时，则∠PDQ＝∠BDE，若∠PQD＝∠DEB＝90°时，∴△PDQ∽△BDE，∴，∴∴t＝，若∠DPQ＝∠DEB＝90°时，∴△QPD∽△BED，∴，∴∴t＝综上所述：当t＝或时，△DPQ与△BDE相似．6．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，CD＝AB，CD∥AB，∵BF⊥AD于F，∴∠AFB＝90°，∵∠BAD＝60°，∴AB＝2AF＝6，BF＝AF＝3，∵EH⊥AD于H，∴AE＝2AH＝4，EH＝AH＝2，∵DE⊥DC交AB于E，∴∠DEA＝90°，∴AD＝2AE＝8，∴CB＝AD＝8，如图1，作AM⊥CB于M，则∠ABM＝∠BAD＝60°，∴BM＝（1/2）AB＝3，AM＝BM＝3，∴CM＝CB+BM＝11，在Rt△ACM中：AC＝＝＝2．（2）如图2，作EN⊥AC于N，连接DN、CE，则∠CNE＝90°．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，CD＝AB，CD∥AB，∵DE⊥DC交AB于E，∴∠CDE＝∠DEA＝90°，∵EH⊥AD于H，∴∠DHD＝∠EHA＝90°，∵BF⊥AD于F，∴∠DFB＝∠AFB＝90°，∴∠DHE＝∠BFA，∵∠DEH+∠HEA＝∠HEA+∠BAF＝90°，∴∠DEH＝∠BAF，∵DH＝BF，∴△DEH≌△BAF（AAS），∴DE＝BA＝CD，∴△CDE是等腰直角三角形，∠DCE＝∠DEC＝45°，∵∠CDE＝∠CNE＝90°，∴C、D、N、E四点共圆，∴∠DNC＝∠DEC＝45°，∵∠CDG＝45°﹣∠CAB，∴∠CDG+∠CAB＝45°，∵CD∥AB，∴∠CAB＝∠DCG，∴∠DGN＝∠DCG+∠CDG＝45°＝∠DNC，∴△DGN是等腰直角三角形，∠GDN＝90°，DG＝DN，∵∠CDG+∠GDE＝∠GDE+∠EDN＝90°，∴∠CDG＝∠EDN，∴△CDG≌△EDN（SAS），∴EN＝CG，∵∠CGD＝75°，∴∠CGN＝∠CGD﹣∠DGN＝30°，∴GN＝EN＝CG，∴DG＝GN＝CG7．解：（1）如图1中，连接AC，AF．∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，AC＝AB，AF＝AE，∠BAC＝45°，∠EAF＝45°，∴∠BAE＝∠DAG，∴△BAE≌△DAG（SAS），∴BE＝DG，∵AC＝AB，AF＝AE，∴＝，∵∠BAC＝∠EAF＝45°，∴∠BAE＝∠CAF，∴△BAE∽△CAF，∴＝＝，∵DG＝BE，∴＝．故答案为：BE＝DG，．（2）如图2中，连接OB，OE，OF，OC．∵四边形ABCD是正方形，OA＝OD，∴∠A＝∠CDO＝90°，AB＝CD，∴△AOB≌△DOC（SAS），∴OB＝OC，同法可证OE＝OF，∴∠OBC＝∠OCB，∠OEF＝∠OFE，∵BC∥AD，∴∠CBO＝∠AOB，∴tan∠CBO＝tan∠AOB＝2，同法可证：tan∠FEO＝2，∴tan∠CBO＝tan∠FEO，∴∠CBO＝∠FEO，∴∠OBC＝∠OCB＝∠OEF＝∠OFE，∴∠BOC＝∠EOF，∴∠EOB＝∠FOC，∵OE＝OF，OB＝OC，∴△OEB≌△OFC（SAS），∴BE＝FC，∵tan∠COD＝tan∠COD＝2，∴∠FOG＝∠COD，∴∠FOC＝∠GOD，∵＝＝，∴△FOG∽△GOD，∴＝＝．（3）①如图3中，结论不成立，BE＝3DG．连接BE，AC，AF，CF．∵四边形ABCD，四边形AEFG都是矩形，∴∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，∵AB＝3AD，AE＝3AG，∴△BAE∽△DAG，∴＝＝3，∴BE＝3DG，由题意：＝，＝，∴＝，∴＝，∵tan∠BAC＝tan∠EAF＝，∴∠BAC＝∠EAF，∴∠BAE＝∠CAF，∴△BAE∽△CAF，∴＝＝，∴＝．②如图4中，连接OE，OB，OF，OC．由（2）可知，∠BOC＝∠EOF，OE＝OF，OB＝OC，∴∠EOB＝∠FOC，∴△EOB≌△FOC（SAS），∴BE＝CF．同法可证△FOC∽△GOD，∴＝，设EH＝k，则GH＝2nk，∴OG＝nk，∴OF＝＝•k，∵BE＝CF，∴＝＝．8．证明：（1）①∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，∴∠A＝∠ADC＝∠EDG＝90°，AD＝CD，DE＝DG，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠A＝∠DCG＝90°，∴CD⊥CG；②如图1，过点N作NP∥DE，∵四边形DEFG是正方形，∴EF＝GF，∠EFH＝∠GFH＝45°，且HF＝HF，∴△EFH≌△GFH（SAS），∴EH＝GH，∠HEF＝∠HGF，∵∠HEF＝∠HGF，EF＝GF，∠EFM＝∠GFN，∴△EFM≌△GFN（ASA），∴FM＝NF，EM＝GN，∵tan∠HEN＝＝，∴EF＝4MF＝4NF＝GF，∴GM＝3MF＝EN＝3NF，∴NP∥DE，∴△PNE∽△MFE，∴，∴PN＝MF，∵NP∥DE，∴＝，∴；（2）如图1，∵AD＝4，AE＝1，∴DE＝＝＝，∴EF＝GF＝，∴NF＝EF＝，∵GN2＝GF2+NF2，∴GN＝，∵∴GH＝GN＝，∴EH＝GH＝若点E在点A左侧，如图2，设AB与DH于点O，过点F作FN⊥AB，∵∠DEA+∠FEB＝90°，∠DEA+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠FEB，且∠DAE＝∠FNE＝90°，DE＝EF，∴△ADE≌△NEF（AAS）∴AE＝NF＝1，DA＝EN＝4，∴AN＝3，BN＝1，∵DA∥NF，∴，∴ON＝，∴BO＝，∴AO＝∵DA∥BH，∴，∴BH＝，∴EH＝＝＝9．证明：（1）∵正方形ABCD，E、F分别为边AB、BC的中点，∴AD＝BC＝DC＝AB，AE＝BE＝AB，BF＝CF＝BC，∴AE＝BF，∵在△ADE和△BAF中，∴△ADE≌△BAF（SAS）∴∠BAF＝∠ADE，∵∠BAF+∠DAF＝90°∴∠ADE+∠DAF＝90°＝∠AGD，∴AF⊥DE；（2）①如图b，过点B作BN⊥AF于N，∵∠BAF＝∠ADE，∠AGD＝∠ANB＝90°，AB＝AD，∴△ABN≌△ADG（AAS）∴AG＝BN，DG＝GN，∵∠AGE＝∠ANB＝90°，∴EG∥BN，∴，且AE＝BE，∴AG＝GN，∴AN＝2AG＝DG，∵BG2＝BN2+GN2＝AG2+AG2，∴BG2＝2AG2＝2AG•AG＝GA•DG；②∵AB＝10，∴AE＝BF＝5，∴DE＝＝＝5，∵×AD×AE＝×DE×AG，∴AG＝2，∴GN＝BN＝2，∴AN＝DG＝4，∴△DGH∽△BNH，∴＝＝2，∴GH＝2HN，且GH+HN＝GN＝2，∴GH＝，＝×GH×BN＝××2＝．∴S△GHB10．（1）证明：过点P作PG⊥AB于点G，如图1所示：则四边形DPGA和四边形PCBG是矩形，∴AD＝PG，DP＝AG，BG＝PC，∵∠APB＝90°，∴∠APG+∠GPB＝∠GPB+∠PBG＝90°，∴∠APG＝∠PBG，∴△APG∽△PBG，∴＝，∴PG2＝AG•BG，即AD2＝DP•PC；（2）解：四边形PMBN是菱形；理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∵BM∥PN，BN∥MP，∴四边形PMBN是平行四边形，∵DP∥AB，∴∠DPA＝∠PAM，由题意可知：∠DPA＝∠APM，∴∠PAM＝∠APM，∵∠APB﹣∠PAM＝∠APB﹣∠APM，即∠ABP＝∠MPB∴AM＝PM，PM＝MB，∴四边形PMBN是菱形；（3）解：∵AD＝3DP，∴设DP＝1，则AD＝3，由（1）可知：AG＝DP＝1，PG＝AD＝3，∵PG2＝AG•BG，∴32＝1•BG，∴BG＝PC＝9，AB＝AG+BG＝10，∵CP∥AB，∴△PCF∽△BAF，∴＝＝，∴＝，∵PM＝MB，∴∠MPB＝∠MBP，∵∠APB＝90°，∴∠MPB+∠APM＝∠MBP+∠MAP＝90°，∴∠APM＝∠MAP，∴PM＝MA＝MB，∴AM＝AB＝5，∵AB∥CD，∴△PCE∽△MAE，∴＝＝，∴＝，∴EF＝AF﹣AE＝AC﹣AC＝AC，∴＝＝．11．解：（1）由题意得：AM＝t，∵PM⊥AB，∴∠PMA＝90°，∵∠A＝60°，∴∠APM＝30°，∴PM＝AM＝t．∵∠C＝90°，∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，∴AB＝2AC＝4，BC＝AC＝2，∵MN＝1，∴BN＝AM﹣AM﹣1＝3﹣t，∵QN⊥AB，∴QN＝BN＝（3﹣t）；故答案为：tcm，（3﹣t）cm．（2）四边形MNQP有可能成为矩形，理由如下：由（1）得：QN＝（3﹣t）．由条件知，若四边形MNQP为矩形，则需PM＝QN，即t＝（3﹣t），∴t＝．∴当t＝s时，四边形MNQP为矩形；（3）由（2）知，当t＝s时，四边形MNQP为矩形，此时PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC．除此之外，当∠CPQ＝∠B＝30°时，△QPC∽△ABC，此时＝tan30°＝．∵＝cos60°＝，∴AP＝2AM＝2t．∴CP＝2﹣2t．∵＝cos30°＝，∴BQ＝（3﹣t）．又∵BC＝2，∴CQ＝2 ．∴．综上所述，当s或s时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．12．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝6，∴∠ADE+∠EDC＝90°，∵DF⊥DE，∴∠EDC+∠CDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，且∠A＝∠DCF＝90°，∴△DAE∽△DCF；（2）∵△DAE∽△DCF，∴，∴∴y＝x+4；（3）∵四边形EBFD为轴对称图形，∴DE＝BE，∵AD2+AE2＝DE2，∴16+AE2＝（6﹣AE）2，∴AE＝，∴DE＝BE＝，∴cos∠AED＝＝，故答案为：．13．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠NAM＝∠BMA，∵∠AMN＝∠AMB，∴∠AMN＝∠NAM，∴AN＝MN，即△AMN是等腰三角形；（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC＝2，AB＝CD＝3，∴∠NAM＝∠BMA，作NH⊥AM于H，如图所示：∵AN＝MN，NH⊥AM，∴AH＝AM，∵∠NHA＝∠ABM＝90°，∠NAM＝∠BMA，∴△NAH∽△AMB，∴＝，∴AN•BM＝AH•AM＝AM2，∴AM2＝2BM•AN；（3）解：∵M为BC中点，∴BM＝CM＝BC＝×2＝1，由（2）得：AM2＝2BM•AN，即：AM2＝2AN，∵AM2＝AB2+BM2＝32+12＝10，∴10＝2AN，∴AN＝5，∴DN＝AN﹣AD＝5﹣2＝3，设DE＝x，则CE＝3﹣x，∵AN∥BC，∴△DNE∽△CME∴＝，即＝，解得：x＝，即DE＝，∴CE＝DC﹣DE＝3﹣＝，∴ME＝＝＝．14．解：（1）∵A（8，0）、C（0，6），∴OA＝8，OC＝6，∵四边形OABC是矩形，∴∠ABC＝∠OAB＝90°，BC＝OA＝8，AB＝OC＝6，∴＝＝，故答案为：；（2）的值不发生变化，＝，理由如下：∵∠OAB＝∠BPQ＝90°，∴∠AOB+∠BPQ＝180°，∴A、B、P、Q四点共圆，∴∠PQB＝∠PAB，∵∠ABC＝∠BPQ＝90°，∴△PBQ∽△BCA，∴＝＝；（3）设BQ交AP于M，如图所示：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝10，由折叠的性质得：BQ⊥AP，PM＝AM，∴∠AMB＝90°＝∠ABC，∵∠BAM＝∠CAB，∴△ABM∽△ACB，∴＝，即＝，解得：AM＝3.6，∴PA＝2AM＝7.2，∴PC＝AC﹣PA＝10﹣7.2＝2.8；故答案为：2.8．15．（1）证明：∵四边形OABC是矩形，A（4，0），B（4，3），∴OA＝BC＝4，AB＝OC＝3，∠AOC＝90°，∴AC＝＝＝5；（2）解：由题意得：BN＝t，AP＝t，∵＝，＝＝，∴＝，∴PN∥AB，∴△CPN∽△CAB；（3）解：分两种情况：①当0＜t＜2时，延长NP交OA于D，如图1所示：由（2）得：PD∥AB，∴△APD∽△ACO，∴＝＝，即＝＝，解得：PD＝t，AD＝t，∴PN＝3﹣t，DM＝4﹣t﹣t＝4﹣2t，∴△MPN的面积S＝PN×DM＝×（3﹣t）×（4﹣2t）＝t2﹣t+6，即S＝t2﹣t+6（0＜t＜2）；②当2＜t＜4时，延长NP交OA于D，如图2所示：由（2）得：PD∥AB，∴△APD∽△ACO，∴＝＝，即＝＝，解得：PD＝t，AD＝t，∴PN＝3﹣t，DM＝t+﹣4t＝2t﹣4，∴△MPN的面积S＝PN×DM＝×（3﹣t）×（2t﹣4）＝﹣t2+t﹣6，即S＝﹣t2+t﹣6（2＜t＜4）；当S＝，0＜t＜2时，则t2﹣t+6＝，整理得：t2﹣6t+6＝0，解得：t＝3﹣，或t＝3+（不合题意舍去），∴t＝3﹣；当S＝，2＜t＜4时，则﹣t2+t﹣6＝，整理得：t2﹣6t+10＝0，∵△＝36﹣40＜0，∴此方程无解；综上所述，当S＝时，运动时间t的值为（3﹣）秒．16．解：（1）∵点E为CD中点，AB＝AD＝CD＝2，∴DE＝，∴AE＝＝＝5，∵AB∥CD，∴△ABF∽△EDF，∴，∴AF＝2EF，且AF+EF＝5，∴AF＝；（2）如图1，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，BD＝AB，AO⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO，∴AO＝DO＝BO＝AB，∵tan∠AFB＝＝2，∴OF＝AO＝AB，∴DF＝OD﹣OF＝AB，BF＝OB+OF＝AB，∴；（3）如图2，设AB＝CD＝AD＝a，则BD＝a，∵＝x，∴DE＝xa，∴S△ADE＝×AD×DE＝xa2，∵△ABF∽△EDF，∴＝x，∴DF＝x•BF，∴S△ABF＝a2，∵GF＝2BG，∴S2＝S△ABG＝S△ABF＝，∵AB＝CB，∠ABG＝∠CBG，BG＝BG，∴△ABG≌△CBG（SAS）∴S△ABG ＝S△CBG，∴S1＝四边形AGCE的面积＝a2﹣xa2﹣2×∴＝﹣3x2+3x+4＝﹣3（x﹣）2+∴当x＝时，的最大值为．17．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠ADC为△ABD的外角，∴∠ADE+∠EDC＝∠B+∠DAB，∵∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，又∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE，∴＝，∴AB•CE＝BD•CD；（2）解：设BD＝x，AE＝y，由（1）得，5×（5﹣y）＝x×（6﹣x），整理得，y＝x2﹣x+5＝（x﹣3）2+，∴AE的最小值为；（3）解：作AF⊥BE于F，则四边形ADEF为矩形，∴EF＝AD＝3，AF＝DE，∴BF＝BE﹣EF＝1，设CD＝x，CE＝y，则AF＝DE＝x+y，由勾股定理得，AD2+CD2＝AC2，CE2+BE2＝BC2，AF2+BF2＝AB2，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∴32+x2＝AC2，y2+42＝BC2，（x+y）2+12＝AC2，∴x2﹣y2＝7，y2+2xy＝8，解得，x＝，y＝，∴DE＝x+y＝．18．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠APC＝∠ABC+∠BAP，∠APC＝∠APD+∠EPC，∠APD＝∠ABC，∴∠BAP＝∠EPC，∴△ABP∽△PCE，∵BC∥AD，∴△PCE∽△DAE，∴△ABP∽△DAE；（2）解：①∵△ABP∽△PCE，∴＝，即＝，∴y＝﹣x2+x（0＜x＜6）；②∵△ABP∽△DAE，∴＝，即＝，∴AD＝，∵AD∥BC，∴，∵，∴，∴，即13x2+24x﹣100＝0，∴x＝2，（舍去）1∴．19．（1）解：在Rt△BCE中，当tan∠BEC＝2，∴＝2，即＝2，解得，BE＝2，由勾股定理得，CE＝＝＝2，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠ECH＝∠BEC，∴tan∠ECH＝＝2，即＝2，∴EH＝4，∴CH＝＝10；（2）证明：∵∠FEG＝∠FDH＝90°，∠EFG＝∠DFH，∴△EFG∽△DFH，∴＝，∴DF•FG＝HF•EF；（3）证明：∵△EFG∽△DFH，∴∠CGD＝∠CHE，又∠GCD＝∠HCE，∴△GCD∽△HCE，∴＝，又∠GCD＝∠HCE，∴△CDE∽△CGH，∴∠CDE＝∠CGH．20．解：（1）AB＝2，BC＝1，AD＝4，由勾股定理得，AC＝＝，CD＝＝，AE＝＝2，CE＝＝5，＝＝＝，∴△ABC∽△EAC，∴四边形ABCE是“友好四边形”，≠，∴△ABC与△ACD不相似，∴四边形ABCD不是“友好四边形”，故答案为：四边形ABCE；（2）证明：根据旋转的性质得，∠A'CB'＝∠ACB，∠CA'B'＝∠CAB，∵AD∥A'B'，∴∠CA'B'＝∠D，∴∠CAB＝∠D，又∠A'CB'＝∠ACB，∴△ABC∽△DAC，∴四边形ABCD是“友好四边形”；（3）如图3，过点A作AM⊥BC于M，在Rt△ABM中，AM＝AB•sin∠ABC＝AB，∵△ABC的面积为6，∴BC×AB＝6，∴BC×AB＝24，∵四边形ABCD是被BD分割成的“友好四边形”，且AB≠BC，∴△ABD∽△DBC∴，∴BD2＝AB×BC＝24，∴BD＝＝2．。
qmdp算法
qmdp算法QMDP算法是一种基于马尔可夫决策过程的强化学习算法，它通过建立一个动态规划模型来解决决策问题。
QMDP算法的核心思想是通过对环境建模和价值估计，来选择最优的行动策略。
QMDP算法需要对环境进行建模。
环境可以用状态、行动和状态转移概率来描述。
状态是环境的某种状态或状态变量，行动是智能体可以采取的行动，状态转移概率是指在某个状态下采取某个行动后转移到下一个状态的概率。
通过对环境进行建模，可以清晰地描述智能体在不同状态下采取不同行动的结果。
QMDP算法通过对环境的模型进行价值估计，来选择最优的行动策略。
价值估计是指对不同状态下采取不同行动的价值进行评估。
智能体通过价值估计来选择在每个状态下采取的最优行动，以最大化长期回报。
QMDP算法通过动态规划的方式，逐步更新每个状态下不同行动的价值，直到收敛为止。
QMDP算法的优点是可以解决大规模的决策问题，并且能够在有限的计算资源下找到最优解。
它能够对不同状态下采取不同行动的结果进行全面评估，从而选择最优的行动策略。
另外，QMDP算法还可以处理环境中的不确定性，通过对状态转移概率进行建模，从而提高决策的鲁棒性。
然而，QMDP算法也存在一些限制。
首先，QMDP算法需要对环境进行准确的建模，包括状态、行动和状态转移概率的确定。
如果模型建立不准确，将会导致决策结果不准确。
其次，QMDP算法在处理大规模决策问题时可能会面临计算复杂性的挑战。
由于需要对每个状态下不同行动的价值进行评估，计算量可能会很大。
在实际应用中，QMDP算法可以用于各种决策问题，例如机器人导航、自动驾驶、资源分配等。
例如，在机器人导航中，QMDP算法可以帮助机器人选择最优的路径，以达到目标位置。
在自动驾驶中，QMDP算法可以帮助车辆选择最优的行驶策略，以确保安全和效率。
在资源分配中，QMDP算法可以帮助决策者选择最优的资源分配方案，以最大化利益。
QMDP算法是一种基于马尔可夫决策过程的强化学习算法，通过对环境建模和价值估计，来选择最优的行动策略。
单调队列优化dp原理
单调队列优化dp原理单调队列优化dp是一种常用的算法优化方法，它可以将时间复杂度从O(n^2)降至O(n)，是在动态规划算法中应用广泛的一种优化方式。
其原理是利用队列保存列表中的元素，根据问题的特性，队列中的元素按照一定逻辑进行增加或删除。
在动态规划中，我们通常需要在一个长度为n的列表中查找一些特定性质的解，如果直接进行枚举或递归会导致时间复杂度太高，而单调队列优化dp则是将其优化为O(n)时间复杂度。
单调队列优化dp主要应用于以下两种类型的问题：1. 求一个列表中长度为k的滑动窗口中的最大/最小值对于这类问题，我们通常需要在列表中遍历每一个长度为k的滑动窗口，然后求其中的最大或最小值。
如果我们采用暴力枚举的方法，时间复杂度将达到O(nk)，而使用单调队列优化dp，则可以将其优化至O(n)。
具体实现方法是维护一个单调队列，队列中的元素按照从大到小或从小到大的顺序排列。
每次向右移动滑动窗口时，我们将新的元素加入队列，并且从队列头部开始弹出那些满足一定条件的元素，确保队列中的元素具有单调性。
然后更新滑动窗口中的最大或最小值。
2. 求一个列表中的最长上升子序列长度对于这类问题，我们需要在一个列表中寻找不包含重复元素的最长上升子序列。
如果我们采用暴力枚举的方法，时间复杂度将达到O(2^n)，而使用单调队列优化dp，则可以将其优化至O(nlogn)。
具体实现方法是维护一个单调队列，队列中的元素按照从小到大的顺序排列。
每次将一个新元素加入队列时，我们使用二分查找法找到第一个大于等于该元素的位置，并将其替换为该元素。
这样可以确保队列中的元素具有单调性，同时可以得到最长上升子序列长度。
总之，单调队列优化dp是一种实用的算法优化方法，特别适用于动态规划中需要查找滑动窗口最大最小值或最长上升子序列长度的问题。
掌握该方法有助于提高算法效率，减少时间复杂度。
dp算法思想和运用实践例题.doc
第6章动态规划最优化原理1951年美国数学家R.Bellman等人，根据一类多阶段问题的特点，把多阶段决策问题变换为一系列互相联系的单阶段问题，然后逐个加以解决。
一些静态模型，只要人为地引进“时间”因素，分成时段，就可以转化成多阶段的动态模型，用动态规划方法去处理。
与此同时，他提出了解决这类问题的“最优化原理”（Principle of optimality）：上述程序实现方法同样适合于背包问题，最优库存问题等，只是针对具体情况，最优决策表的表示和生成会有所不同。
“一个过程的最优决策具有这样的性质：即无论其初始状态和初始决策如何，其今后诸策略对以第一个决策所形成的状态作为初始状态的过程而言，必须构成最优策略”。
简言之，一个最优策略的子策略，对于它的初态和终态而言也必是最优的。
这个“最优化原理”如果用数学化一点的语言来描述的话，就是：假设为了解决某一优化问题，需要依次作出n个决策D1，D2，…，Dn，如若这个决策序列是最优的，对于任何一个整数k，1 < k < n，不论前面k个决策是怎样的，以后的最优决策只取决于由前面决策所确定的当前状态，即以后的决策Dk+1，Dk+2，…，Dn也是最优的。
第6章动态规划最优化原理是动态规划的基础。
任何一个问题，如果失去了这个最优化原理的支持，就不可能用动态规划方法计算。
能采用动态规划求解的问题都需要满足一定的条件：（1）问题中的状态必须满足最优化原理；（2）问题中的状态必须满足无后效性。
所谓的无后效性是指：“下一时刻的状态只与当前状态有关，而和当前状态之前的状态无关，当前的状态是对以往决策的总结”。
问题求解模式动态规划所处理的问题是一个多阶段决策问题，一般由初始状态开始，通过对中间阶段决策的选择，达到结束状态。
这些决策形成了一个决策序列，同时确定了完成整个过程的一条活动路线（通常是求最优的活动路线）。
如图所示。
动态规划的设计都有着一定的模式，一般要经历以下几个步骤：初始状态→│决策1│→│决策2│→…→│决策ｎ│→结束状态（1）划分阶段：按照问题的时间或空间特征，把问题分为若干个阶段。
动态规划1
背包问题
多重背包 也就是0-（00001 - 1）的数 我们求出x=20+......+2k使得x<=c的最大的k 然后定义y=c-x 我们可以得知，只有第一位是1，只有第二位是1.......只有第（k+1）位是1 的数能组成0-x的所有数，设他们能组成z，那么z+y<=x+y=c，不会越界
背包问题
动态规划
基础知识
dp算法即把原问题分解为多个子问题，每个子问题求解完才解决下一个子 问题的方法（个人理解）
基础知识
dp算法即把原问题分解为多个子问题，每个子问题求解完才解决下一个子 问题的方法（个人理解） dp的条件： （1）无后效性（a由b转移过来，b不需要从a转移）
基础知识
dp算法即把原问题分解为多个子问题，每个子问题求解完才解决下一个子 问题的方法（个人理解） dp的条件： （1）无后效性（a由b转移过来，b不需要从a转移） （2）最优子结构（局部最优解要求能组成总体最优解）
背包问题
多重背包 第三种是单调队列，明天讲
背包问题
分组背包 给定n组物品，每组物品有c个物品，然后依旧有价值和体积，然后问容积 位m的背包最多能获得多少价值
背包问题
分组背包 这个问题比较简单
背包问题
分组背包 这个问题比较简单 f[i,j]表示前i组物品组成体积为j时获得的最大价值 f[i,j]=f[i-1,j-v[k]]+w[k]（枚举由这组里面扔哪个物品进去） f[i,j]=f[i-1,j] 取max即可
石子合并 设计方程f[i,j]表示把第i堆石子到第j堆石子合并需要最小代价 sum数组表示前缀和，用来计算某个区间重量和
区间dp
石子合并 设计方程f[i,j]表示把第i堆石子到第j堆石子合并需要最小代价 sum数组表示前缀和，用来计算某个区间重量和 f[i,j]=f[i,k]+f[k+1,j]+sum[j]-sum[i-1]
排队方式(交换)
排队方式（交换）最新进展以Crossbar为中心的交换体系由于其结构简单且严格无阻塞的特性而广泛应用于目前的各种交换机和路由器中。
但Crossbar本身并不能解决交换结构的端口冲突问题。
众所周知，输出队列交换机能够很好地支持QoS,然而扩展性太差，不易实现高速交换。
输入队列（Input Queued,IQ）交换机解决了输出队列（Output Queued,OQ）交换机难以扩展的问题，但是很难支持QoS。
近年来，交叉点缓存交换机（Combined Input and Crosspoint Queued,CICQ）被认为是一种可以解决这两个问题的理想结构。
通过在交叉点加少量的缓存，各个输入端口和输出端口的调度器可以相互独立工作，简化了调度算法，这种分布式的调度机制有助于实现支持QoS的高速交换机，很多实用性架构已经被提出来。
CICQ是一种能够在Crossbar交叉点存储信元的交换结构，交叉点缓存的引入使得CICQ能够很好的解决端口冲突问题，并且能够在2倍加速比条件下模拟OQ交换结构的性能以及支持变长帧交换。
CICQ的调度算法属于分布式调度，即输入调度和输出调度相互独立。
目前的各种CICQ调度算法大部分是在IQ、OQ、CIOQ交换结构调度算法的基础上发展起来的，他们大体可以分为两类：（1）无队列状态信息的调度，如RR-RR，算法的优点是简单、硬件实现容易。
缺点是在均匀的业务流下性能良好，但在非均匀的业务流下性能无法令人满意。
（2）基于队列状态信息的调度，如LQF-RR、OCF-OCF，算法性能优于以上调度，但复杂度较高。
1.RR-RR算法CICQ采用该算法，即是在输入端和输出端都采用RR轮转的调度策略。
在RR-RR的仲裁器中，每个输入端口和输出端口都设有一个轮转仲裁器，设备启动时，轮转仲裁器的指针随意设置初始值，之后每一个时隙指针都前移，指针循环移动方向是固定的，它们的轮转周期与输入端口数或输出端口数相同。
DP算法（动态规划算法）
DP算法（动态规划算法）前⼏天做leetcode的算法题很多题都提到了动态规划算法，那么什么是动态规划算法，它是什么样的思想，适⽤于什么场景，就是我们今天的主题。
⾸先我们提出所有与动态规划有关的算法⽂章中都会提出的观点： 将⼀个问题拆成⼏个⼦问题，分别求解这些⼦问题，即可推断出⼤问题的解。
什么都不了解的话看到这句话是懵逼的，我们也先略过，等看完整篇⽂章再回过头来看⼀看这个观点。
下⾯正式开始。
⾸先我们来看这个译名，动态规划算法。
这⾥的动态指代的是递推的思想，算法在实现的过程中是动态延伸的，⽽不是提前控制的。
规划指的是需要我们给出动态延伸的⽅法和⽅向。
这两个就是算法的问题点。
假设您是个⼟豪，⾝上带了⾜够的1、5、10、20、50、100元⾯值的钞票。
现在您的⽬标是凑出某个⾦额w，需要⽤到尽量少的钞票。
依据⽣活经验，我们显然可以采取这样的策略：能⽤100的就尽量⽤100的，否则尽量⽤50的……依次类推。
在这种策略下，666=6×100+1×50+1×10+1×5+1×1，共使⽤了10张钞票。
这种策略称为“贪⼼”：假设我们⾯对的局⾯是“需要凑出w”，贪⼼策略会尽快让w变得更⼩。
能让w少100就尽量让它少100，这样我们接下来⾯对的局⾯就是凑出w-100。
长期的⽣活经验表明，贪⼼策略是正确的。
但是，如果我们换⼀组钞票的⾯值，贪⼼策略就也许不成⽴了。
如果⼀个奇葩国家的钞票⾯额分别是1、5、11，那么我们在凑出15的时候，贪⼼策略会出错： 15=1×11+4×1（贪⼼策略使⽤了5张钞票） 15=3×5（正确的策略，只⽤3张钞票） 为什么会这样呢？贪⼼策略错在了哪⾥？ ⿏⽬⼨光。
刚刚已经说过，贪⼼策略的纲领是：“尽量使接下来⾯对的w更⼩”。
这样，贪⼼策略在w=15的局⾯时，会优先使⽤11来把w降到4；但是在这个问题中，凑出4的代价是很⾼的，必须使⽤4×1。
PID算法的通俗讲解及调节口诀
PID算法的通俗讲解及调节口诀首先，让我们来了解PID算法的原理。
PID算法是通过不断地调整控制量，使得反馈量与设定值尽可能接近，从而实现控制系统的稳定。
PID算法的名称来自于三个基本控制参数，即比例(proportional)、积分(integral)和微分(derivative)。
比例项是根据反馈量与设定值的差异来调整控制量的大小。
如果两者之间的差异很大，控制量会相应地增大或减小。
该项主要用于快速响应系统的初始变化。
积分项通过计算反馈量与设定值的累计差异，以调整控制量。
如果累计差异较大，控制量会相应地增加或减小，以减小系统的误差。
该项主要用于长期的稳态控制。
微分项是根据反馈量变化的速度来调整控制量。
如果反馈量变化速度很快，控制量会相应地增加或减小，以避免系统过冲或振荡。
该项主要用于快速响应系统的变化。
接下来，让我们来看看如何调节PID参数。
PID算法的调节是一个经验性的过程，需要根据实际应用进行调试。
这里提供一个常用的调节口诀：平稳、灵敏、迅速。
首先是平稳。
在系统刚开始运行时，应该降低比例参数和积分参数的值，这样可以避免系统过冲和振荡。
通过逐步提高这两个参数的值，可以逐渐将系统稳定在设定值附近。
其次是灵敏。
在系统达到稳态后，应该逐步提高比例参数的值，以使系统对外部变化更加敏感。
这样系统就能更快地响应外部变化，并尽快调整到设定值。
最后是迅速。
一旦系统的响应速度满足要求，就可以逐步增加微分参数的值。
微分参数主要用于抑制系统的振荡和过冲，但过高的微分参数值可能会导致系统不稳定。
因此，需要谨慎调整微分参数的值。
总结一下，PID算法是通过比例、积分和微分三个控制参数的调整，使得系统稳定，并能够快速响应外部变化。
调节PID参数需要遵循平稳、灵敏、迅速的原则，根据实际应用进行调试。
希望这篇文章能够对你理解PID算法和调节参数有所帮助。
动态规划(dp算法)
第3 章动态规划动态规划是本书介绍的五种算法设计方法中难度最大的一种，它建立在最优原则的基础上。
采用动态规划方法，可以优雅而高效地解决许多用贪婪算法或分而治之算法无法解决的问题。
在介绍动态规划的原理之后，本章将分别考察动态规划方法在解决背包问题、图象压缩、矩阵乘法链、最短路径、无交叉子集和元件折叠等方面的应用。
3.1 算法思想和贪婪算法一样，在动态规划中，可将一个问题的解决方案视为一系列决策的结果。
不同的是，在贪婪算法中，每采用一次贪婪准则便做出一个不可撤回的决策，而在动态规划中，还要考察每个最优决策序列中是否包含一个最优子序列。
例3-1 [最短路经]考察图1 2 - 2中的有向图。
假设要寻找一条从源节点s= 1到目的节点d= 5的最短路径，即选择此路径所经过的各个节点。
第一步可选择节点2，3或4。
假设选择了节点3，则此时所要求解的问题变成：选择一条从3到5的最短路径。
如果3到5的路径不是最短的，则从1开始经过3和5的路径也不会是最短的。
例如，若选择的子路径（非最短路径）是3，2，5 (耗费为9 )，则1到5的路径为1，3，2，5 (耗费为11 )，这比选择最短子路径3，4，5而得到的1到5的路径1，3，4，5 (耗费为9) 耗费更大。
所以在最短路径问题中，假如在的第一次决策时到达了某个节点v，那么不管v 是怎样确定的，此后选择从v 到d 的路径时，都必须采用最优策略。
例3-2 [0/1背包问题]考察1 3 . 4节的0 / 1背包问题。
如前所述，在该问题中需要决定x1 .. x n的值。
假设按i = 1，2，.，n 的次序来确定x i 的值。
如果置x1 = 0，则问题转变为相对于其余物品（即物品2，3，.，n），背包容量仍为c 的背包问题。
若置x1 = 1，问题就变为关于最大背包容量为c-w1 的问题。
现设r {c，c-w1 } 为剩余的背包容量。
在第一次决策之后，剩下的问题便是考虑背包容量为r 时的决策。
部编数学九年级下册专题15相似三角形之动点问题(解析版)含答案
专题15 相似三角形之动点问题1．如图，在Rt ABC V 中，9034C AC BC Ð=°==，，，点E 是直角边AC 上动点，点F 是斜边AB 上的动点（点F 与A B 、两点均不重合）．且EF 平分Rt ABC V 的周长，设AE 长为x ．(1)试用含x 的代数式表示AF = ；(2)若AEF △的面积为165，求x 的值；(3)当AEF △是等腰三角形时，求出此时AE 的长．∵BC AC FD ⊥，∴BC DF ∥．∴FDA BCA ∽V V ∴BC DF AB AF =，即∵EMA C Ð=Ð=∴EAM BAC ∽V V ∴AE AM AB AC=，1(6)x -同理FAN BAC ∽V V ∴FA AN AB AC=，∴16253x x -=，2．如图，在ABC V 中，90ABC а＝，4AB ＝，3BC ＝，点P 从点A 出发，沿线段AB 以每秒5个单位长度的速度向终点B 运动，当点P 不与点A 、B 重合时，作点P 关于直线AC 的对称点Q ，连结PQ ，以PQ 、PB 为边作PBMQ Y ．设PBMQ Y 与ABC V 重叠部分图形的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒．(1)直接用含t 的代数式表示线段PQ 的长并写出t 的取值范围；(2)当点M 落在边AC 上时，求t 的值及此时PBMQ Y 的面积；(3)求S 与t 之间的函数关系式；(4)当PBMQ Y 的对角线的交点到ABC V 的两个顶点的距离相等时，直接写出t 的值．由意得5AP t ＝，PO QO ＝∴225AC AB BC +=＝，∵ABC AOP ∽△△，AC BC \=1122ABC S AB BC AC =×=Q △125AB BC BM AC ×\==∵四边形PQMB 是平行四边形，(45PQMB TQO S S S t =-=-Y △当2455t << 时，如图3﹣BT AC⊥Q 125AB BC BT AC \==g 2224AT AB BT \=-=则AK CK =，设AK CK =在Rt CBK V 中，2CK BC =∴()22234x x =+-，解得258x =，∵OL AB ∥，QO OB = ，∴直线OL 平分QP ，∴点L 在线段PQ 上，且AL ∴5t =．3．如图，在矩形ABCD 中，BC CD >，,BC CD 分别是一元二次方程214480x x -+=的两个根，连结BD ，动点P 从B 出发，以1个单位每秒速度，沿BD 方向运动，同时，动点Q 从点D 出发，以同样的速度沿射线DA 运动，当点P 到达点D 时，点Q 即停止运动，设运动时间为t 秒.以PQ 为斜边作Rt PQM D ，使点M 落在线段BD 上.(1)求线段BD 的长度；D面积的最大值；(2)求PDQ(3)当PQMD与BCDD相似时，求t的值.4．如图，在ABC V 中，10cm AB = ，20cm BC =，点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以2cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以4cm /s 的速度移动，如果P Q ， 分别从A B ， 同时出发，问经过几秒钟，△△P B Q A B C : ．5．如图，在ABC V 中，90C Ð=°，6AC =，8BC =，D 是BC 边的中点，E 为AB 边上的一个动点，作90DEF Ð=°，EF 交射线BC 于点F ．设BE x =，BED V 的面积为y ．(1)求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)如果以B 、E 、F 为顶点的三角形与BED V 相似，求BED V 的面积．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，函数关系式．注意（2）中都要分情况进行讨论：要分BEF Ð时钝角还是锐角进行分类讨论，不要丢掉任何一种情况．6．如图，矩形ABCD 中，AD AB ==25， ，P 为CD 边上的动点，当ADP △与BCP V 相似时，求DP 长．7．如图，在ABC V 中，908C AC Ð=°=，cm ，动点P 从点C 出发沿着C B A --的方向以2cm/s 的速度向终点A 运动，另一动点Q 同时从点A 出发沿着AC 方向以1cm/s 的速度向终点C 运动，P 、Q 两点同时到达各自的终点，设运动时间为t （s ）．APQ V 的面积为2cm S ．(1)求BC的长；(2)求S与t的函数关系式，并写出的取值范围；V相似？(3)当t为多少秒时，以P、C、Q为顶点的三角形和ABC8．如图，在ABC V 中，8cm 10cm AB AC ==、，点P 从A 出发，以2cm/s 的速度向B 运动，同时点Q 从C 出发，以3cm/s 的速度向A 运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为s t ,(1)则AP = ；AQ = ____ (用含t 的代数式表示)(2)求运动时间t 的值为多少时，以A 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC V 相似？9．如图1，在Rt ABC △中，=90=6cm =8cm ACB AC BC а，，，动点P 从点B 出发，在BA 边上以每秒5cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发，在CB 边上以每秒4cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒()02t ＜＜，连接PQ ．(1)若BPQ V 与ABC V 相似，求t 的值；(2)直接写出BPQ V 是等腰三角形时t 的值；(3)如图2，连接AQ 、CP ，若AQ CP ⊥，求t 的值．则12BG PB ==∵=QBG ABC ÐÐ∴BGQ BCA ~V V BG BQ =5∵PM BC ACB ⊥Ð，∴PM AC ∥，10．如图1，在ABC V 中，90,3,4BCA AC BC а＝＝＝，点P 为斜边AB 上一点，过点P 作射线PD PE ⊥，分别交AC 、BC 于点D ，E ．(1)问题产生∶若P 为AB 中点，当,PD AC PE BC ⊥⊥时，PD PE= ；(2)问题延伸：在（1）的情况下，将若∠DPE 绕着点P 旋转到图2的位置，PD PE 的值是否会发生改变？如果不变，请证明；如果改变，请说明理由；(3)问题解决：如图3，连接DE ，若PDE V 与ABC V 相似，求BP 的值．（3）如图2，连接CP，如图3，当PDE △∽△∵90DPE ACB Ð+Ð=°∴点C 、D 、P 、E 共圆，综上所述：165BP =或【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．通过添加合适的辅助线证明三角形相似是解题的关键．同时，本题考查了三角形的中位线定理，以及利用四点共圆证明角相等，是一道综合题．11．如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P 、Q 移动的时间为t 秒．(1)当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？(2)当t 为何值时，△APQ 的面积为245∵QE⊥AO，BO⊥AO，∴QE∥BO，∴△AEQ∽△AOB，∴45QE BOAQ AB==44812．如图，在矩形ABCD中，12AB=cm，=3AD cm，点E、F同时分别从D、B两点出发，以1cm/s 的速度沿DC、BA向终点C、A运动，点G、H分别为AE、CF的中点，设运动时间为t（s）．(1)求证：四边形EGFH是平行四边形．(2)填空：①当t为______s时，四边形EGFH是菱形；②当t为______s时，四边形EGFH是矩形．13．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4cm ，BC ＝8cm ，点D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，连结DE ，点P 从点B 出发，沿折线BD －DE －EA 运动，到点A 后立即停止．点P 在BD 的速度运动，在折线DE －EA 上以1cm/s 的速度运动．在点P 的运动过程中，过点P 作PQ ⊥BC 于点Q ，以PQ 为边作正方形PQMN ，点M 在线段BQ 上．设点P 的运动时间为t （s ）．(1)当点P 在线段DE 上时，求正方形PQMN 的边长．(2)当点N 落在边AB 上时，求t 的值．(3)在点P 的整个运动过程中，记正方形PQMN 与△ABC 重叠部分图形面积为S （cm ²），求S 与t 的函数关系式，写出相应t的取值范围．14．如图，矩形ABCD 中，15AB cm =，10BC cm =，动点P 从点A 出发，沿AB 边以2/s cm 的速度cm的速度向点A匀速移动，一个动点到达端向点B匀速移动，动点Q从点D出发，沿DA边以1/s点时，另一个动点也停止运动，点P，Q同时出发，设运动时间为s t．(1)当t为何值时，APQ△的面积为216cm(2)t为何值时，以A，P，Q为顶点的三角形与ABCV相似．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，一元二次方程的解法等知识，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用．15．阅读与思考如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务．解决问题：(1)写出正确的比例式及后续解答．(2)指出另一个错误，并给出正确解答．拓展延伸：(3)如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米．点P从点O开始沿OA向点A 以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BO向点O以1厘米/秒的速度移动．当一点运动到终点时，另一点也随之停止．如果P、Q同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0＜t＜6)，求当V POQ与V AOB相似时t的值．17．如图，△ABC中，AB＝AC＝10cm．BC＝16cm，动点P从点C出发沿线段CB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也停止运动，设运动时间为t（单位：s），以点Q为圆心，BQ长为半径的⊙Q与射线BA、线段BC分别交于点D，E，连接DP．(1)当t为何值时，线段DP与⊙Q相切；(2)若⊙Q与线段DP只有一个公共点，求t的取值范围；(3)当△APC是等腰三角形时，直接写出t的值．18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，点P，Q同时从点B出发，点P以每秒5个单位长度的速度沿折线BA﹣AC运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿折线BC﹣CA运动，当点P，Q相遇时，两点同时停止运动，设点P运动的时间为t秒，△PBQ的面积为S．(1)当P，Q两点相遇时，t＝ 秒；(2)求S关于t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．90PHB C \Ð=Ð=°，B B ÐÐ=Q ，ΔΔABC PBH \∽，\PH BP AC AB=，165PC t =-，113(16522S PQ PC t t =´=´´-当833t ……时，如图，248PQ t =-，118(248)22S PQ BC t =´=´-=-19．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝16，BC＝12．动点P 从点B 出发，沿线段BA 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 A 运动，同时动点Q 从点 A 出发，沿折线AC—CB 以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动．当点P 到达终点时，点Q 也停止运动．设运动的时间为t 秒．(1)AB= ；(2)用含t 的代数式表示线段CQ 的长；(3)当Q 在AC 上运动时，若以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC 相似，求t 的值；(4)设点O 是PA 的中点，当OQ 与△ABC 的一边垂直时，请直接写出t 的值．【点睛】本题考查了勾股定理，动点问题，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．20．如图，抛物线23y ax bx =+-交x 轴于()30A -,，()10B ,两点，与y 轴交于点.C 连接AC ，BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P 为抛物线在第三象限的一个动点，PM x ⊥轴于点M ，交AC 于点G ，PE AC ⊥于点E ，当PGE V 的面积为1时，求点P 的坐标；(3)如图2，若Q 为抛物线上一点，直线OQ 与线段AC 交于点N ，是否存在这样的点Q ，使得以A ，O ，N 为顶点的三角形与ABC V 相似．若存在，请求出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把()30A -，和()10B ，的坐标代入抛物线解析求出a 和b 即可求解；（2）求出直线AC 的解析式为3y x =--，设()223P n n n +-，，则()3G n n --，，由三角形面积可得出1n =-或2n =-，则可得出答案；（3）分两种情况，①若AON ABC V V ∽，②若AON ACB V V ∽，由相似三角形的性质可求出ON 的长，求出N 点坐标，联立直线ON 和抛物线的解析式可求出答案．（1）解：∵抛物线y =a 2x +bx -3交x 轴于()30A -，，()10B ，两点，∴933030a b a b --=ìí+-=î ，解得12a b =ìí=î，∴该抛物线的解析式为223y x x =+-；（2）解：∵抛物线的解析式为223y x x =+-，∴0x =时，=3y -，∴()03C -，，∴AO OC =．∵=90AOC а，∴45CAO Ð=°．∵PM OA ⊥，PE AC ⊥，∴45PGM PGE GPE Ð=Ð=Ð=°，设直线AC 的解析式为y kx m =+，∴303k m m +=ìí=-î ，∴13k m =-ìí=-î，∴直线AC 的解析式为3y x =--，设()223P n n n +-，，则()3G n n --，，∴94 AK=，∴93344 OK=-=，∴39,44Næö--ç÷èø，∴直线ON的解析式为3y=。
DP算法总结
1. 资源问题1-----机器分配问题f[i,j]:=max(f[i-1,k]+w[i,j-k]);2. 资源问题2------01背包问题f[i,j]:=max(f[i-1,j-v[i]]+w[i],f[i-1,j]);3. 线性动态规划1-----朴素最长非降子序列f[i]:=max{f[j]+1}4. 剖分问题1-----石子合并f[i,j]:=min(f[i,k]+f[k+1,j]+sum[i,j]);5. 剖分问题2-----多边形剖分f[i,j]:=min(f[i,k]+f[k,j]+a[k]*a[j]*a[i]);6. 剖分问题3------乘积最大f[i,j]:=max(f[k,j-1]*mult[k,i]);7. 资源问题3-----系统可靠性(完全背包)f[i,j]:=max{f[i-1,j-c[i]*k]*P[I,x]};8. 贪心的动态规划1-----快餐问题f[i,j,k]:=max{f[i-1,j',k']+(T[i]-(j-j')*p1-(k-k')*p2) div p3};9. 贪心的动态规划2-----过河f[i]=min{{f(i-k)} (not stone[i]){f(i-k)}+1} (stone[i]); +贪心压缩状态10. 剖分问题4-----多边形-讨论的动态规划F[i,j]:=max{正正f[I,k]*f[k+1,j];负负g[I,k]*f[k+1,j];正负g[I,k]*f[k+1,j];负正f[I,k]*g[k+1,j];} g为min11. 树型动态规划1-----加分二叉树(从两侧到根结点模型)F[i,j]:=max{f[i,k-1]*f[k+1,j]+c[k]};12. 树型动态规划2-----选课(多叉树转二叉树,自顶向下模型)f[i,j]表示以i为根节点选j门功课得到的最大学分f[i,j]:=max{f[t[i].l,k]+f[t[i].r,j-k-1]+c[i]};13. 计数问题1-----砝码称重f[f[0]+1]=f[j]+k*w[j];(1<=i<=n; 1<=j<=f[0]; 1<=k<=a[i];)14. 递推天地1------核电站问题f[-1]:=1; f[0]:=1;f[i]:=2*f[i-1]-f[i-1-m];15. 递推天地2------数的划分f[i,j]:=f[i-j,j]+f[i-1,j-1];16. 最大子矩阵1-----一最大01子矩阵f[i,j]:=min(f[i-1,j],v[i,j-1],v[i-1,j-1])+1;ans:=maxvalue(f);17. 判定性问题1-----能否被4整除g[1,0]:=true; g[1,1]:=false; g[1,2]:=false; g[1,3]:=false; g[i,j]:=g[i-1,k] and ((k+a[i,p]) mod 4 = j)18. 判定性问题2-----能否被k整除f[i,j±n[i] mod k]:=f[i-1,j]; -k<=j<=k; 1<=i<=n20. 线型动态规划2-----方块消除游戏f[i,i-1,0]:=0f[i,j,k]:=max{f[i,j-1,0]+sqr(len(j)+k), //dof[i,p,k+len[j]]+f[p+1,j-1,0] //not do}; ans:=f[1,m,0];21. 线型动态规划3-----最长公共子串，LCS问题f[i,j]=0 (i=0)&(j=0);f[i-1,j-1]+1 (i>0,j>0,x[i]=y[j]);max{f[i,j-1]+f[i-1,j]}} (i>0,j>0,x[i]<>y[j]);22. 最大子矩阵2-----最大带权01子矩阵O(n^2*m)枚举行的起始，压缩进数列，求最大字段和，遇0则清零23. 资源问题4-----装箱问题(判定性01背包)f[j]:=(f[j] or f[j-v[i]]);24. 数字三角形1-----朴素の数字三角形f[i,j]:=max(f[i+1,j]+a[I,j],f[i+1,j+1]+a[i,j]);25. 数字三角形2-----晴天小猪历险记之Hill同一阶段上暴力动态规划f[i,j]:=min(f[i,j-1],f[i,j+1],f[i-1,j],f[i-1,j-1])+a[i,j];26. 双向动态规划1数字三角形3-----小胖办证f[i,j]:=max(f[i-1,j]+a[i,j],f[i,j-1]+a[i,j],f[i,j+1]+a[i,j]);27. 数字三角形4-----过河卒//边界初始化f[i,j]:=f[i-1,j]+f[i,j-1];28. 数字三角形5-----朴素的打砖块f[i,j,k]:=max(f[i-1,j-k,p]+sum[i,k],f[i,j,k]);29. 数字三角形6-----优化的打砖块f[i,j,k]:=max{g[i-1,j-k,k-1]+sum[i,k]};30. 线性动态规划3-----打鼹鼠’f[i]:=f[j]+1;(abs(x[i]-x[j])+abs(y[i]-y[j])<=t[i]-t[j]);31. 树形动态规划3-----贪吃的九头龙f[i,j,k]:=min(f[x1,j1,1]+f[x2,j-j1-1,k]+d[k,1]*cost[i,fa[i]]] {Small Head}, f[x1,j1,0]+f[x2,j-j1,k]+d[k,0]*cost[i,fa[i]] {Big Head});f[0,0,k]:=0; f[0,j,k]:=max(j>0)d[i,j]:=1 if (i=1) and (j=1)1 if (i=0) and (j=0) and (M=2)0 else32. 状态压缩动态规划1-----炮兵阵地Max(f[Q*(r+1)+k],g[j]+num[k]);If (map[i] and plan[k]=0) and((plan[P] or plan[q]) and plan[k]=0);33. 递推天地3-----情书抄写员f[i]:=f[i-1]+k*f[i-2];34. 递推天地4-----错位排列f[i]:=(i-1)(f[i-2]+f[i-1]);f[n]:=n*f[n-1]+(-1)^(n-2);35. 递推天地5-----直线分平面最大区域数f[n]:=f[n-1]+n:=n*(n+1) div 2 + 1;36. 递推天地6-----折线分平面最大区域数f[n]:=(n-1)(2*n-1)+2*n;37. 递推天地7-----封闭曲线分平面最大区域数f[n]:=f[n-1]+2*(n-1);:=sqr(n)-n+2;38 递推天地8-----凸多边形分三角形方法数f[n]:=C(2*n-2,n-1) div n;对于k边形f[k]:=C(2*k-4,k-2) div (k-1); //(k>=3)39 递推天地9-----Catalan数列一般形式1,1,2,5,14,42,132f[n]:=C(2k,k) div (k+1);40 递推天地10-----彩灯布置排列组合中的环形染色问题f[n]:=f[n-1]*(m-2)+f[n-2]*(m-1); (f[1]:=m; f[2]:=m(m-1);41 线性动态规划4-----找数线性扫描sum:=f[i]+g[j];(if sum=Aim then getout; if sum<Aim then inc(i) else inc(j);)42 线性动态规划5-----隐形的翅膀min:=min{abs(w[i]/w[j]-gold)};if w[i]/w[j]<gold then inc(i) else inc(j);43 剖分问题5-----最大奖励f[i]:=max(f[i],f[j]+(sum[j]-sum[i])*i-t;44 最短路1-----Floydf[i,j]:=max(f[i,j],f[i,k]+f[k,j]);ans[q[i,j,k]]:=ans[q[i,j,k]]+s[i,q[i,j,k]]*s[q[i,j,k],j]/s[i,j];45 剖分问题6-----小H的小屋F[l,m,n]:=f[l-x,m-1,n-k]+S(x,k);46 计数问题2-----陨石的秘密（排列组合中的计数问题）Ans[l1,l2,l3,D]:=f[l1+1,l2,l3,D+1]-f[l1+1,l2,l3,D];F[l1,l2,l3,D]:=Sigma(f[o,p,q,d-1]*f[l1-o,l2-p,l3-q,d]);47 线性动态规划------合唱队形两次F[i]:=max{f[j]+1}＋枚举中央结点48 资源问题------明明的预算方案：加花的动态规划f[i,j]:=max(f[i,j],f[l,j-v[i]-v[fb[i]]-v[fa[i]]]+v[i]*p[i]+v[fb[i]]*p[fb[i]]+v[fa[i]]*p[fa[i]]);49 资源问题-----化工场装箱员50 树形动态规划-----聚会的快乐f[i,2]:=max(f[i,0],f[i,1]);f[i,1]:=sigma(f[t[i]^.son,0]);f[i,0]:=sigma(f[t[i]^.son,3]);51 树形动态规划-----皇宫看守f[i,2]:=max(f[i,0],f[i,1]);f[i,1]:=sigma(f[t[i]^.son,0]);f[i,0]:=sigma(f[t[i]^.son,2]);52 递推天地-----盒子与球f[i,1]:=1;f[i,j]:=j*(f[i-1,j-1]+f[i-1,j]);53 双重动态规划-----有限的基因序列f[i]:=min{f[j]+1}g[c,i,j]:=(g[a,i,j] and g[b,i,j]) or (g[c,i,j]);54 最大子矩阵问题-----居住空间f[i,j,k]:=min(min(min(f[i-1,j,k],f[i,j-1,k]),min(f[i,j,k-1],f[i-1,j-1,k])),min(min(f[i-1,j,k-1],f[i,j-1,k-1] ),f[i-1,j-1,k-1]))+1;55 线性动态规划------日程安排f[i]:=max{f[j]}+P[I]; (e[j]<s[i])56 递推天地------组合数C[i,j]:=C[i-1,j]+C[i-1,j-1];C[i,0]:=157 树形动态规划-----有向树k中值问题F[I,r,k]:=max{max{f[l[i],I,j]+f[r[i],I,k-j-1]},f[f[l[i],r,j]+f[r[i],r,k-j]+w[I,r]]};58 树形动态规划-----CTSC 2001选课F[I,j]:=w[i](if i∈P)+f[l[i],k]+f[r[i],m-k](0≤k≤m)(if l[i]<>0);59 线性动态规划-----多重历史f[i,j]:=sigma{f[i-k,j-1]}(if checked);60 背包问题(+-1背包问题+回溯)-----CEOI1998 Substractf[i,j]:=f[i-1,j-a[i]] or f[i-1,j+a[i]];61 线性动态规划(字符串)-----NOI 2000 古城之谜f[i,1,1]:=min{f[i+length(s),2,1], f[i+length(s),1,1]+1};f[i,1,2]:=min{f[i+length(s),1,2]+words[s],f[i+length(s),1,2]+words[s]};62 线性动态规划-----最少单词个数f[i,j]:=max{f[i,j],f[u-1,j-1]+l};63 线型动态规划-----APIO2007 数据备份状态压缩＋剪掉每个阶段j前j*2个状态和j*2+200后的状态贪心动态规划f[i]:=min(g[i-2]+s[i],f[i-1]);64 树形动态规划-----APIO2007 风铃f[i]:=f[l]+f[r]+{1 (if c[l]<c[r])};g[i]:=1(d[l]<>d[r]) 0(d[l]=d[r]);g[l]=g[r]=1 then Halt;65 地图动态规划-----NOI 2005 adv19910F[t,i,j]:=max{f[t-1,i-dx[d[[t]],j-dy[d[k]]]+1],f[t-1,i,j];66 地图动态规划-----优化的NOI 2005 adv19910F[k,i,j]:=max{f[k-1,i,p]+1} j-b[k]<=p<=j;67 目标动态规划-----CEOI98 subtraF[I,j]:=f[I-1,j+a[i]] or f[i-1,j-a[i]];68 目标动态规划----- Vijos 1037搭建双塔问题F[value,delta]:=g[value+a[i],delta+a[i]] or g[value,delta-a[i]];69 树形动态规划-----有线电视网f[i,p]:=max(f[i,p],f[i,p-q]+f[j,q]-map[i,j]);leaves[i]>=p>=l, 1<=q<=p;70 地图动态规划-----vijos某题F[i,j]:=min(f[i-1,j-1],f[i,j-1],f[i-1,j]);71 最大子矩阵问题-----最大字段和问题f[i]:=max(f[i-1]+b[i],b[i]); f[1]:=b[1];72 最大子矩阵问题-----最大子立方体问题枚举一组边i的起始，压缩进矩阵B[I,j]+=a[x,I,j];枚举另外一组边的其实，做最大子矩阵73 括号序列-----线型动态规划f[i,j]:=min(f[i,j],f[i+1,j-1] (s[i]s[j]=”()”or(”[]”)),f[i+1,j+1]+1 (s[j]=”(”or”[” ) , f[i,j-1]+1(s[j]=”)”or”]”);74 棋盘切割-----线型动态规划f[k,x1,y1,x2,y2]=min{min{f[k-1,x1,y1,a,y2]+s[a+1,y1,x2,y2],f[k-1,a+1,y1,x2,y2]+s[x1,y1,a,y2]};75 概率动态规划-----聪聪和可可(NOI2005)x:=p[p[i,j],j];f[I,j]:=(f[x,b[j,k]]+f[x,j])/(l[j]+1)+1;f[I,i]=0;f[x,j]=1;76 概率动态规划-----血缘关系F[A, B]=(f[A0, B]+P[A1, B])/2;f[i,i]=1;f[i,j]=0;(i,j无相同基因)77 线性动态规划-----决斗F[i,j]=(f[i,j] and f[k,j]) and (e[i,k] or e[j,k]); (i<k<j)78 线性动态规划-----舞蹈家F[x,y,k]=min(f[a[k],y,k+1]+w[x,a[k]],f[x,a[k],k+1]+w[y,a[k]]);79 线性动态规划-----积木游戏F[i,a,b,k]=max(f[a+1,b,k],f[i+1,a+1,a+1,k],f[i,a+1,a+1,k]);80 树形动态规划（双次记录）-----NOI2003 逃学的小孩朴素的话枚举节点i和离其最远的两个节点j,k O(n^2)每个节点记录最大的两个值，并记录这最大值分别是从哪个相邻节点传过来的。
qfd计算公式
QFD计算公式
QFD是质量功能展开（Quality Function Deployment）的缩写，是一种将客户需求转化为产品设计指标的工具，其计算公式如下：
1. 顾客满意度指标计算公式
顾客满意度指标计算公式为：顾客满意度= 顾客评价得分/ 总分数× 100%
其中，顾客评价得分是指顾客对产品各项功能的评分，总分数是指产品各项功能的总分数。
2. 设计指标权重计算公式
设计指标权重计算公式为：设计指标权重= 设计指标得分/ 总分数× 100%
其中，设计指标得分是指设计师对各项设计指标的评分，总分数是指所有设计指标的总分数。
3. 顾客需求满足度指标计算公式
顾客需求满足度指标计算公式为：顾客需求满足度= 顾客需求满足度得分/ 总分数× 100%
其中，顾客需求满足度得分是指顾客对产品满足其需求程度的评分，总分数是指所有顾客需求的总分数。
4. 产品设计得分计算公式
产品设计得分计算公式为：产品设计得分= 设计指标
得分× 设计指标权重× 顾客满意度× 顾客需求满足度× 100%
其中，设计指标权重是指各项设计指标的权重系数，顾客满意度是指顾客对产品的满意度，顾客需求满足度是指产品满足顾客需求的程度，这些因素都将影响产品设计得分。
c++的dp公式
c++的dp公式
（最新版）
目录
1.C++的 DP 公式简介
2.DP 公式的基本概念
3.DP 公式的实际应用
4.DP 公式的优点和局限性
正文
C++的 DP 公式是一种在计算机编程中广泛应用的算法，它代表着动态规划（Dynamic Programming）的数学模型。
动态规划是一种求解问题的方法，其核心思想是将问题分解成若干个相互重叠的子问题，通过求解子问题并将子问题的解存储起来，以便在需要时可以重复使用，从而避免了重复计算，提高了算法的效率。
DP 公式的基本概念包括状态、状态转移方程和边界条件。
状态是指问题在某个特定情况下的解，状态转移方程则描述了状态如何从一个阶段转移到下一个阶段，而边界条件则是指在问题的初始状态下，状态的取值。
在实际应用中，DP 公式可以用于求解最优化问题，例如最长公共子序列、背包问题、最长递增子序列等。
这些问题往往具有重叠子问题的特点，通过使用 DP 公式，可以有效地降低时间复杂度和空间复杂度，提高算法的运行效率。
DP 公式的优点在于其可以避免重复计算，将问题分解成较小的子问题来求解，并存储子问题的解，以便在需要时直接使用。
这种方法在处理具有重叠子问题的问题时，可以显著提高算法的效率。
然而，DP 公式也存在局限性，它适用于重叠子问题的求解，对于不具有重叠子问题的问题，使用 DP 公式可能无法提高算法的效率。
qm计算公式
qm计算公式qm计算公式是指用于计算qm值的公式。
qm值是一种用于评估产品或服务质量的指标，它可以帮助企业或组织了解他们的客户满意度，并提供改进的方向。
下面是一个关于qm计算公式的创作，希望能够满足要求。
在现代社会，质量成为了企业发展的关键因素之一。
无论是产品还是服务，只有具备高质量才能够获得客户的认可和信赖。
而qm计算公式则成为了评估质量的有力工具。
在这篇文章中，我们将揭示qm 计算公式的奥秘，让我们一同来探寻质量之道。
一、qm计算公式的定义qm计算公式是一种用于计算qm值的数学公式。
它基于客户反馈数据和企业自身指标，通过一系列的计算和统计方法得出一个综合评估值。
这个值可以反映出产品或服务的质量水平，从而为企业提供改进的方向。
二、qm计算公式的构成qm计算公式由多个因素组成，每个因素都承载着不同权重的评估指标。
这些指标包括客户满意度、产品质量、服务质量、交付准时率等等。
通过对这些指标进行量化和综合计算，qm计算公式能够得出一个客观且准确的评估结果。
三、qm计算公式的应用qm计算公式的应用范围非常广泛。
无论是制造业、服务业还是互联网行业，都可以利用qm计算公式来评估质量水平。
企业可以通过不断收集客户反馈数据，结合qm计算公式进行分析，找出不足之处并进行改进，从而提升产品或服务质量。
四、qm计算公式的优势qm计算公式具有很多优势。
首先，它能够客观地评估质量，避免了主观因素的干扰。
其次，qm计算公式能够提供全面的评估结果，帮助企业了解产品或服务的各个方面。
最重要的是，qm计算公式是一个动态的评估工具，可以随时根据实际情况进行调整，确保评估结果的准确性。
总结：通过对qm计算公式的探寻，我们不仅了解了它的定义和构成，还明白了它的应用范围和优势。
作为评估质量的有力工具，qm计算公式不仅可以帮助企业了解客户需求，还可以指导企业进行改进和创新。
希望本文能够为大家提供一些启示，让我们一同走向质量之道，创造更美好的未来。
关于品质DPPM的计算知识
内容• DPPM 是什么意思相关PPM就不用我说了吧！看一下中文意思就明白，至于DPPM的计算方法我在网上找到了（下面的那个个网址上有详细的计算方法）。
劣质成本(COPQ) 直通率(FPY,RTY,TPY) 每百万次缺陷数(PPM)单件产品缺陷率(DPU) 单件机会缺陷率(DPO) 每百万次机会缺陷率(DPMO)能力指数(Cp, Cpk, Ppk, σ水平)DPPM的计算方法请看下面的文章，这是我剪贴下来的，也可看下面这个网页：/spc/SPC4.htm1、前言1998年5月1日品质学会召开出版委员会，主任委员卢瑞?┫壬ㄌ车钠焚|奖个人奖得奖人，忆华电机总经理）提到一个令人疑惑的问题。
多年前他曾经访问美国矽谷旭电公司（Solectron）（1991年曾获美国国家品质奖），当问到该公司目前的品质水准时，该公司?董事长答道说：『经多年的整体改善活动，目前已达到500个ppm的品质水准』。
但是卢总经理自己经营的忆华电机，目前制程品质水准也可以达到200个ppm，是否以忆华的品质水准也应可以申请美国国家品质奖？可是目前忆华还不曾申请台湾的品质奖，这是否意味著台湾的品质奖较美国国家品质奖的门槛还高。
本人曾经替忆华电机设计即时制程管制系统，系统中要求以dppm为单位计算制程的品质水准，所以熟知忆华电机品质水准的计算方式，当时就以下例?碚f明两者ppm 的计算方法不同，而造成品质指标不一致的结果。
假设某制程；例如SMT，AI或HI，某天的生产日报如下：产品别检点数/台生产台数不良台数合计缺点数A 200点/台1000台5台10点B 100点/台1000台10台20点C 50点/台2000台15台30点假如以台为计算基础P ＝(5+10+15)/(1,000+1,000+2,000)＝30/4,000＝7,500ppm即表示每100万台平均有7,500台是不良。
c ＝(10+20+30)/(1,000+1,000+2,000)＝60/4,000＝0.015 dpu即表示每台平均有0.015个缺点。
QM算法
} } }
return last; }
static int FindBit(const unsigned int* m, unsigned int m_count,
const unsigned int* d, unsigned int d_count) //找出二进制位数
{ int max; if(m[m_count-1]>d[d_count-1]) max = m[m_count-1]; else max = d[d_count-1]; int bit = 0; while(max>1) { max = max/2; ++bit; } return ++bit;
return "";//??返回自己的学号
}
static std::string QM(const unsigned int* m, unsigned int m_count,
const unsigned int* d, unsigned int d_count) {
int bits = MyCode::FindBit(m, m_count, d, d_count); int num = m_count + d_count; List ***A = new List** [10]; A[0] = new List* [num]; for(int i=0; i<num; i++) {
struct Node {
Node * next; int number; };
struct List {
Node * head; int *q; };
class MyCode { public:
计算字符串相似度的矩阵算法
计算字符串相似度的矩阵算法李 彬(武汉理工大学计算机学院 湖北武汉 430070)摘 要:用2个字符串滑动比较时匹配的字符数和2字符串滑动比较的重叠率定义了相似度的衡量指标,在确定一个字符串比另一个字符串少的情况下,设计了一种算法,试验结果表明该算法实现了在字符串匹配矩阵中确定插入空格的位置使相似度指标达到最大值,并且算法的计算次数也明显地减少。
该算法可以用于信息的模糊检索。
关键词:匹配率;相似度;匹配矩阵;信息量中图分类号:TP301.6 文献标识码:B 文章编号:10042373X (2007)242106203Matrix Arithmetic of Computing Strings ′Similar DegreeL I Bin(School of Computer Science ,Wuhan University of Technology ,Wuhan ,430070,China )Abstract :The similar degree is defined based on the number of matching chars and the overlaping ratio of two strings ′chars when two strings do comparison during gliding.Designing a arithmetic under the sistuation that make sure the length of one string is smaller than another strings ′and the position of inserting blank space in strings ′matching matrix makes similar degree gain the biggest value ,and the computation number is also decrease greatly.this arithmetic can be used for the misty in 2dex of the information.K eywords :matching ratio ;similar degree ;matching matrix ;information quantity收稿日期:20072062071 引 言随着现代科学技术的发展,生物学中的DAN 序列的相似性比较可以用于亲子鉴定等,医学中应用病毒基因的相似性来诊治疾病。
品质制程计算公式
品质制程计算公式(总2页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除1.IQC部分1.1 进料不良批率(%)是衡量进料品质的一个重要指标,表示不良批与检验批的关系.进料不良批率=进料不良批 / 进料总检验批*100%, 数值越小越好.如﹕IQC 2月份进料1478批不良批88批不良批率﹕88/1478*100%=5.95%(取后2位小数点)因为是不良批率,所以是强调LOT的品质,与不良率是有区别的,也不能很好的反映一定数量的材料中究竟有多少不良品.1.2 不良影响度(%)是衡量某一类材料在整个不良批中所占的百分率,从而判断他对进料品质的影响程度,来决定改善的紧迫性.通常是用层别法及柏拉图加以分析后得出,数值越大,说明他的影响程度越高,也越需急着改善.不良影响度=不良批数 / 总不良批数 *100%如﹕机构类进料不良批为64批总进料不良批为88批不良影响度﹕64/88*100%=72.73%(取后2位小数点)1.3 累计不良影响度(%)各类别的不良影响度之和如﹕机构不良影响度为72.73%﹐包材的为25.00%﹐电子的为2.27%累计不良影响度﹕72.73%+25.00%+2.27%=100.00%1.4 品质上升率(%)上月进料不良批率–当月进料不良批率之差,是衡量VQE对厂商进行辅导后,厂商的品质改善状况.如﹕IQC 1月份进料不良批率为8.12%IQC 2月份进料不良批率为5.95%品质上升率(%) ﹕8.12%-5.95%=2.17%1.5 LRR(%)Lot Reject Rate 批退率的英文缩写如﹕厂商毅良2月份交货批数为10批批退8批LRR﹕8/10*100%=80.00%(取后2位小数点)2.IPQC2.制程抽验不良批率:是衡量IPQC所抽验批的品质情况.是将批作为考核标准.制程抽验不良批率=不良批数/抽验批*100%. 数值越小越好.如2月份IPQC共抽验213PCS, 不良批有2批,所以抽验不良批率:2/213*100%=0.94%3.OQC部分3.1检验不良DPPM是衡量出货时产品不良率的重要指标,他是以百万分之一来为单位,计算方法为:不良数/OQC检验数*1000000,数字越小说明产品品质越好.如2月份OQC抽验总数量为24171PCS,有6PCS不良,根据公式:6/24171*1000000=248DPPM,也就是说检验1000000PCS产品时将会有248PCS 的不良品.这是以PCS来计算,不能反映批的状况,不能看出这6PCS不良品分布在多少批中.所以OQC还有另外一个指标,OQC批退率3.2 OQC批退率衡量出货时被OQC批退情况,是以批为单位来计算的,其公式为:不良批/检验批*100%如:2月份检验的24171PCS产品分布在229批货物中,共6PCS不良品分布在6批货物中,所以其批退率为6/229*100%=2.62%目前OQC的批退率是针对没有装箱产品进行检验的,所以只包括了成品单体及彩盒等包装,不包括外箱及Shipping label等.3.3客验批退率衡量客人验货时的品质水平,以批为单位.计算公式:客人退货批/客人检验批*100%,如2月客检验100批,但没有退货,所以0/100*100%=0%.3.4出货批退率衡量产品在OBA检验及出货检验时(装箱的数量,出货标签上的内容等)的品质水平,计算公式为:退货批/检验批*100%,如2月OQC出货177批,退1批,批退率为1/177*100%=0.56%.4.CSD部分4.1 NTFNo Trouble Found;没有发现故障4.2 DOADead On Arrive 到达前死亡,指产品到达客人手上时不良4.3 FRFailure Rate 不良率。
PID的原理
PID 調整說明PID 之P 的原理p p p K =100/P.B.U =K (SV-PV)P=P.B,BiasP.B.假設目前溫度為20度，設定溫度為50度，Bias=0，做2次實驗，第一次P.B.(P)=2，第二次P.B.(P)=20，我們看其有何差別?實驗後的圖形如下從左邊的圖可以明顯得知，加熱器輸出在48度時從100%中下降，並且在短短三分鐘下降幅度很大並快速，但從右邊圖來看，加熱器輸出卻在30度時從100%中下降，並且是緩慢下降而溫度也是緩慢上升。
我們再來看理論的圖形如下圖，因為Bias為0，故PV接近50度時則加熱器的輸出量微0，我們在來看看紅色曲線(P=20)與藍色曲線(P=2)，兩者所展現出來的加熱器輸出斜率很大的差別，以升高溫度1度為例，紅色線加熱器輸出降3~4%，但藍色線加熱器輸出卻降了30~40%，因此斜率越平緩其加熱器的輸出解析度越高，因此斜率越平緩表示P值越大，加熱器的輸出解析度越高，反之斜率越陡峭表示P值越小，加熱器的輸出解析度越低，因此可得以下結論：1.當P值越大則曲線的震盪頻率則越慢。
2.當P值越大則可讓升溫或降溫速度更為緩和。
3.當P 值越小的時候，PV值越接近SV。
4.當P 值越小的時候，升溫降溫速度越快。
因此P值的作用是控制震盪頻率以及速度。
Heat powerBias0PID 之D 的原理D 之功用主要抑制P 的輸出(意味：踩煞車)，當D 值越大則，會提升預知能力，也會提早採煞車但是緩煞車。
假設目前控制器只有P 與D 的功能dtde(t)T e(t)*K U(t)d p += 從第二個圖可看出，一開始e(t)值由大變小，因為越接近設定值，第三個圖則是對e(t)微分，亦即是對曲線的每一點算出的斜率，故D 有預知趨勢的功能，從第三個圖可看出斜率是由負值慢慢的超過設定值而變成正值，故D 值有抑制P的功用。
e假設目前溫度為20度，設定溫度為50度，Bias=0，做2次實驗，P.B.同設為10，第一次D=1，第二次P.B.(P)=20，我們看其有何差別? 實驗後的曲線如下，左邊曲線為D=1值，右邊曲線為D=0.2。
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qmdp算法
QMDP算法，全称为“确定性有限马尔可夫决策过程（QMDP）算法”，是一种在决策问题中常用的求解最优策略的方法。
本文将详细介绍QMDP算法的原理和应用。
一、QMDP算法的原理
QMDP算法是基于马尔可夫决策过程（MDP）的一种算法。
MDP 是一种动态规划的问题，包含了状态、动作、状态转移概率和奖励函数等要素。
在MDP中，我们希望找到一个最优策略，使得在每个状态下选择最优的动作，从而使得累计奖励最大化。
QMDP算法的核心思想是将MDP问题中的连续状态空间离散化，将连续动作空间离散化，从而将问题转化为有限状态和动作的问题。
通过将状态和动作进行离散化，可以大大简化问题的复杂度，提高计算效率。
QMDP算法的具体步骤如下：
1. 将连续状态空间和动作空间进行离散化，得到有限的状态和动作集合。
2. 根据状态转移概率和奖励函数，计算每个状态下每个动作的期望奖励值。
3. 根据期望奖励值，计算每个状态下选择每个动作的Q值。
4. 根据Q值，选择每个状态下最优的动作作为策略。
5. 根据策略，进行状态转移和奖励计算，更新Q值。
6. 重复步骤4和步骤5，直到收敛或达到最大迭代次数。
二、QMDP算法的应用
QMDP算法在机器人路径规划、自动驾驶、智能交通等领域有着广泛的应用。
以机器人路径规划为例，我们可以将环境中的障碍物、目标位置等信息进行离散化，将机器人的动作进行离散化，通过QMDP算法求解最优路径。
在机器人路径规划中，QMDP算法可以帮助机器人根据当前状态选择最优的动作，比如避开障碍物、尽快到达目标位置。
通过不断迭代更新Q值，机器人可以学习到在不同状态下选择不同动作的最优策略，从而实现路径规划的自动化。
QMDP算法还可以应用于自动驾驶领域。
在自动驾驶中，车辆需要根据当前道路、交通状况等信息选择最优的行驶策略，如何在复杂的交通环境中做出正确的决策是自动驾驶的关键问题。
QMDP算法可以帮助车辆根据当前状态选择最优的行驶策略，使得车辆能够安全、高效地行驶。
总结：
QMDP算法是一种基于MDP的求解最优策略的方法，通过将连续状态空间和动作空间离散化，将问题转化为有限状态和动作的问题。
QMDP算法在机器人路径规划、自动驾驶等领域有着广泛的应用。
通过不断迭代更新Q值，QMDP算法可以学习到在不同状态下选择不同动作的最优策略，从而实现智能决策和路径规划的自动化。