线性代数讲义

线性代数讲义

线性代数攻略

线性代数由两部分组成:

第一部分:用矩阵解方程组(判断解的存在性,用有限个解表示所有的解)第二部分:用方程组解矩阵(求特征值,特征向量,对角化,化简实二次型)主观题对策

1. 计算题精解

计算题较之选择题与填空题难度几乎没有增加,但计算量大大增加,故出错的机会大幅增长,因此应力求用简便方法解决问题.

一.行列式的计算:

单纯计算行列式的题目大概永远不会出现.所以需要结合其它的知识点. l 核心内容

范德蒙行列式/余子式/代数余子式/Cramer法则:

l 典型方法

降阶法(利用Gauss消元法化为三角矩阵:常常是将所有的行或列加到一起)/特征值法(矩阵的行列式等于其特征值之积)/行列式的其它性质(转置矩阵/逆矩阵/伴随矩阵/矩阵之积)

例1 计算下述三个n阶矩阵的行列式：

.

解先算|B|=xn;再算|A|：

故|C|=

|A|(-1)(1+¼+n)+[(n+1)+…+(2n)] |B-1|

=(-1)(1+2n)n(n+x)/x.

例2(2004-4) 设矩阵 ,矩阵B满足ABA*=2BA*+E,则|B|=[ ].

分析化简可得(A-2E)BA*=E；于是|A-2E||B||A*|=1. 又|A*|=9,|A-2E|=1,所以|B|=1/9. (切忌算B=(A-2E)-1(A*)-1.)

例3 设4×4矩阵A=(x,a,b,g), B=(h,b,g,a). 若|A|=1, |B|=2,则行列式|A+B|=[ ].

正解：|A+B|=|x+h, a+b, b+g, g+a|=|x+h, 2(a+b+g), b+g, g+a|=2|x+h, a+b+g, b+g, g+a|

=2|x+h, a, b+g, g+a|=2|x+h, a, b+g, g|=2|x+h, a, b, g|=2(|x, a, b, g|+|h, a, b, g|)=2(|A|+|B|)=6.

巧解:正解令人羡慕,但可能想不起来.于是令A=E,则.但|B|=2,所以取最简单的 .于是 ,故|A+B|=6.

例4 若四阶方阵A的特征值分别为-1,1,2,3,则行列式|A-1+2A*|=[ ].

解此题考查对特征值的理解.特征值的性质中最重要(也是最简单的)的有两条，即所有特征值的和等于矩阵的迹(=对角线元素之和),而所有特征值的积等于矩阵的行列式.因此|A|= -6!剩余的就是简单的变形了:

A-1+2A* = A-1 (E+2A A*)

= A-1 (E+2|A|E)=-11A-1.

故|A-1+2A*|=|-11A-1|=(-11)4|A-1|=-114/6.

本题有巧解,你想到了吗?对!就让A是那个满足条件的最简单的矩阵!

例2(上海交大2002) 计算行列式

其中,.

本题只要对特征多项式有一定认识,则易如反掌.所求行列式对应的矩阵A=xE+B, 其中B=(aibj)的任意两行均成比例,故其秩为1(最重要的矩阵类型之一)或0,但由题中所给条件,B¹0,于是,B至少有n-1个特征值为0,另有一特征值等于trB= a1b1+ a2b2+…+ anbn¹0. 从而,A有n-1个特征值x,另有一个特征值x+trB.OK

例3(2001) 设A为三阶矩阵,X为三维向量,X,AX, A2X线性无关,A3X=4AX-3A2X.试计算行列式|2A2+3E|.

很多人觉得此题无从下手,实在冤枉了出题人.由A3X=2AX-3A2X可知, A(A2+3A-4E)X=0.由此知, |A|=0:否则,A可逆,X,AX, A2X将线性相关,矛盾!从而(A2+3A-4E)X=0:故X是齐次线性方程组(A2+3A-4E)Y=0的非零解.于是|A2+3A-4E|=0.故A的三个特征值为0,1,-4.于是2A2+3E的三个特征值为3,5,35.所以,

|2A2+3E|=3´5´35=525.

例4(1995) 设n阶矩阵A满足AA¢=I,|A|<0,求|A+I|.

解首先, 1=|AA¢|=|A|2,所以|A|=-1. 其次,

|A+I|=|A+AA¢|=|A||I+A¢|=|A||I+A|=-|I+A|,

故|A+I|=0.

(涉及的知识点: |A|=|A¢|, (A+B)¢=A¢+B¢.)

例5(1999)设A是m´n矩阵,B是n´m矩阵,则

A.当m>n时,必有行列式|AB|¹0.

B.当m>n时,必有行列式|AB|=0.

C.当m

D.当m

二. 矩阵与n维向量空间

l 核心内容

矩阵运算(主要是乘法)/矩阵的秩/可逆矩阵/伴随矩阵与逆矩阵/线性方程组的一般解/线性相关与线性无关/极大线性无关组/向量组的秩/向量组的等价/n维线性空间/维数/基/坐标/过渡矩阵/线性空间与线性方程组的关系/欧氏空间/内积/标准正交基/正交矩阵/Gram-Schmidt正交化方法

l 典型方法

初等变换与初等矩阵

l 典型例题

1.解矩阵方程:原则是先化简后计算

例6设矩阵B满足方程 .求B.

解A显然可逆,故将方程两端右乘A-1,得 ;再左乘A,由 ,得

,

所以

例7 设

解移项得,(2E-A)X=B,所以X=(2E-A)－1B.再使用初等变换(如此较少出错,不要先求逆,再计算矩阵的乘积:除非矩阵比较特殊或非常简单)求(2E-A)-1B：

例8(2000) 设矩阵A的伴随矩阵 ,且 ,求B.

解先化简可得AB=B+3A,即(A-E)B=3A,故

B=3(A-E)-1A.而A与其伴随矩阵的关系为A*A=|A|E,从而A=|A|

(A*)-1.|A|n=|A||A*| =8|A|, n=4, |A|=2. 所以

B= 3(A-E)-1A=6[A*(A-E)]-1

=6 (2E-A*)-1.

因为 ,故由初等变换可得

.(实际上不用作具体计算,因为是将单位矩阵的第1行的-1倍加到第3行,再将第四行乘以-6,再将第2行的3倍加到第4行;反其道而行之-注意顺序:矩阵乘积的逆要反序,即可).

例9(2001)设矩阵A满足A2+A-4E=O,则(A-E)-1=[ ].

2.解线性方程组