线性代数讲义1矩阵与行列式
线性代数各章要点整理
第一章行列式主要知识点一、行列式的定义和性质1.余子式和代数余子式的定义2.行列式按一行或一列展开的公式1）2）3.行列式的性质1）2）用数k乘行列式的某一行（列）所得新行列式＝原行列式的k倍. 推论3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数. 推论4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0.5）行列式可以按任一行（列）拆开.6）行列式的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等.二、行列式的计算1.二阶行列式和三角形行列式的计算.2.对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形（或对角形）行列式的计算.3.对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开.4.行列式中各行元素之和为一个常数的类型.5.范德蒙行列式的计算公式第二章矩阵主要知识点一、矩阵的概念1.要分清矩阵与行列式的区别2.几种特殊矩阵（0矩阵，单位阵，三角阵，对角阵，数量阵）二、矩阵的运算1.矩阵A , B的加、减、乘有意义的充分必要条件2.矩阵运算的性质比较矩阵运算（包括加、减、数乘、乘法等）的性质与数的运算性质的相同点和不同点（加法、乘法的交换律和结合律；乘法关于加法的分配律）重点是矩阵乘法没有交换律（由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式的不同点）.3.转置对称阵和反对称阵1）转置的性质2）若A T=A （A T= - A），则称A为对称（反对称）阵4.逆矩阵1）方阵A可逆（也称非异，非奇异，满秩）的充分必要条件是.当A可逆时，.2）方阵A的伴随阵的定义。
重要公式；与A -1的关系（当方阵A可逆时，）3）重要结论：若n阶方阵A,B满足AB=E，则A,B都可逆，且A-1=B ，B-1=A.4）逆矩阵的性质：; ; .5）消去律：设方阵A可逆，且AB=AC（BA=CA），则必有B=C。
（若不知A可逆，仅知A≠0结论不一定成立。
矩阵的运算与行列式
矩阵的运算与行列式矩阵是线性代数中重要的概念之一，而矩阵的运算与行列式是矩阵理论的基础内容。
本文将详细介绍矩阵的基本运算及相关概念，并探讨行列式的性质与计算方法。
一、矩阵的基本运算1. 矩阵的定义与表示方式矩阵是由一定数量的数构成的矩形阵列，通常用大写字母表示。
例如，一个m行n列的矩阵A可以表示为：A = (a_ij)_{m×n} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}其中，a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
2. 矩阵的加法与减法对于两个同型矩阵A和B，它们的加法与减法定义如下：A +B = (a_ij + b_ij)_{m×n}A -B = (a_ij - b_ij)_{m×n}需要注意的是，矩阵的加法与减法仅适用于具有相同维度的矩阵。
3. 矩阵的数乘对于一个矩阵A和一个数k，矩阵的数乘定义如下：kA = (ka_ij)_{m×n}二、行列式的性质与计算方法1. 行列式的定义行列式是一个数，它与方阵A的元素相关。
一个n阶方阵A的行列式记作det(A)或|A|，定义如下：|A| = \sum_{σ∈S_n} (-1)^{sgn(σ)} a_{1σ(1)} a_{2σ(2)} \cdotsa_{nσ(n)}其中，S_n表示排列群，σ表示一个n阶排列，sgn(σ)表示排列σ的符号，a_{1σ(1)} a_{2σ(2)} \cdots a_{nσ(n)}表示方阵A中由排列σ决定的元素。
行列式矩阵
第一讲 行列式与矩阵一、内容提要（一）n 阶行列式的定义∑-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn j j j njn j j j j j nn n n n n a a a a a a a a a a a a D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ21212211)(212222111211)1(τ（二）行列式的性质1．行列式与它的转置行列式相等，即T D D =； 2．交换行列式的两行（列），行列式变号；3．行列式中某行（列）元素的公因子可提到行列式外面来； 4．行列式中有两行（列）元素相同，则此行列式的值为零；5．行列式中有两行（列）元素对应成比例，则此行列式的值为零； 6．若行列式中某行（列）的元素是两数之和，即nm n n in in i i i i n a a a b a b a b a a a a D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ21221111211+++=， 则nnn n in i n nn n n in i na a ab b b a a a a a a a a a a a a D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ21121112112112111211+= 7．将行列式某行（列）的k 倍加到另一行（列）上去，行列式的值不变。
（三）行列式依行（列）展开 1．余子式与代数余子式（1）余子式的定义去掉n 阶行列式D 中元素ij a 所在的第i 行和第j 列元素，剩下的元素按原位置次序所构成的n-1阶行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M（2）代数余子式的定义ij a 的代数余子式的记为ij j i ij ij M A A +-=)1(,2．n 阶行列式D 依行（列）展开 （1）按行展开公式∑=⎩⎨⎧≠==nj kj ij ki ki DA a 10 （2）按列展开公式∑=⎩⎨⎧≠==ni is ij sj sj DA a 10 （四）范德蒙行列式∏≤<≤----==nj i i jn nn n nnx xx x x x x x x x x D 1112112222121)(111ΛΛΛΛΛΛΛ（五）矩阵的概念1．矩阵的定义由m×n 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ΛΛ==组成的m 行n 列的矩形数表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛ212222111211 称为m×n 矩阵，记为n m ij a A ⨯=)(2．特殊的矩阵（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；（2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵； （3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵； （4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；（5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E ； （6）零矩阵：元素全为零的矩阵。
第一讲 行列式与矩阵
推论1 行列式中某一行（列）的元素的公因数可以提到行列式符号的 外面。 推论2 如果行列式中有一行（或列）的元素全为零，那么此行列式的 值为零. 推论3 如果行列式其中有两行（或列）元素对应成比例，那么行列式 等于零.
性质四：
如果行列式的某一行（列）的元素都是两项的和，则可 以把该行列式拆成两个行列式之和。 如：
b a a b c
b a b a d c d c d
35 1 22 3 12 2 3 1 2 1 2 12 1 2
性质五：
把行列式的某一行（列）的元素都乘以同一个数k后，加 到另一行（列）的对应元素上去，则行列式的值不变。
如：
a a a a 1 a 2 a 3 1 2 3 b k a k a k a 1 b 2 b 3 b 1 1 b 2 2 b 3 3 c c c c c 1 c 2 3 1 2 3
我们知道，二、三元线性方程组的解可以用行列式表 示，那么含有 n 个未知数 x1 , x2 , … , xn 的 n 个线性方程 的方程组
x a x a b , a 11 1 12 2 1 nx n 1 a x a x a b 21 1 22 2 2 nx n 2, , a x a a x b n 1 1 n 2x 2 nn n n,
计算行列式的另一种基本方法是:选择零元素最多的行（或列） 展开；也可以先利用性质把某一行（或列）的元素化为仅有一个非 零元素，再按这一行（或列）展开.这种方法称为降阶法.
思考题：
1-1 1-2 1-3
返回啦！
1.3 Cramer法则
学习重点
克拉默法则 利用克拉默法则解方程组 齐次线性方程组解的判定
线性代数下的行列式和矩阵
线性代数下的行列式和矩阵线性方程组一般有 m 个常数项，n 个未知数，m * n 个系数。
若常数项全为 0 ，则为齐次线性方程组；若未知数全为0 ，则称为零解。
于是我们考虑的问题是：齐次方程组：1.是否存在非零解，以及存在的条件2.通解的结构与性质3.解法非齐次方程组：1.是否有解，以及有解的条件是什么2.有多少解以及对应解数量的条件是什么3.多解的结构与性质4.解法行列式二，三阶行列式行列式的初始作用是解线性方程组！例如：最简单的二元线性方程组\left\{ \begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2 \end{aligned} \right.\Rightarrow 消元 \Rightarrow \left\{ \begin{aligned}x_1 = \frac{b_1a_{22} - b_2a_{12}}{a_{11}a_{22} -a_{12}a_{21}} \\ x_1 = \frac{b_2a_{21} -b_1a_{21}}{a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}} \end{aligned} \right.可以得出结论，答案是由方程的四个系数和常数决定的。
所以记住四个系数作为行列式，指定行列式的值是上式的分母:\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}于是有了这么一个行列式之后，我们就可以得到：D = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \ D_1 = \begin{bmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{bmatrix} \ D_2 = \begin{bmatrix}a_{21} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{bmatrix} \\Rightarrow \\ x_1 = \frac{D_1}D, x_2 = \frac{D_2}D同理可以推广到三元线性方程组，定义三阶行列式。
线性代数讲义1矩阵与行列式
逆矩阵的求法
01
02
03
高斯-约旦消元法
通过行变换将矩阵变为行 阶梯形，然后回代求解。
伴随矩阵法
先求出矩阵的伴随矩阵， 然后利用公式$A^{-1} = frac{1}{|A|} * adj(A)$求出 逆矩阵。
分解法
将矩阵分解为若干个简单 的矩阵的乘积，然后利用 这些简单的矩阵求逆，最 后再求出原矩阵的逆。
CHAPTER
高斯消元法的原理与步骤
高斯消元法的原理是通过一系列行变 换将增广矩阵转换为上三角矩阵，从 而求解线性方程组。
步骤包括：将增广矩阵的系数矩阵进 行初等行变换，将其化为行阶梯形矩 阵，然后继续进行行变换，将其化为 上三角矩阵，最后求解未知数。
高斯消元法的应用场景
解决线性方程组
高斯消元法是解决线性方程组的 一种常用方法，适用于系数矩阵 为方阵且系数矩阵可逆的情况。
数。
01
1. r(A) ≤ min(m, n)， 其中m和n分别是矩阵A
的行数和列数。
03
3. r(A) = r(AA^T)，即 矩阵的秩等于其与自身 转置相乘后的矩阵的秩。
05
性质：矩阵的秩是唯一 的，且满足以下性质
02
2. r(A) = r(A^T)，即矩 阵的秩等于其转置矩阵
的秩。
04
秩的计算方法与性质
高斯消元法的优缺点分析
优点
高斯消元法是一种稳定可靠的方法，能够得到线性方程组的精确解。它具有较高的数值 稳定性，适用于大规模问题。此外，高斯消元法还可以用于求解特征值和特征向量等问
题。
缺点
高斯消元法需要手动操作，对于大规模问题需要消耗大量的计算资源和时间。同时，对 于病态问题或者系数矩阵接近奇异的情况，高斯消元法可能会失去数值稳定性，导致求
线性代数基础讲义
2015考研数学线性代数基础讲义第一章 行列式一．基本内容1．排列与逆序定义 ：由 n 个自然数1, 2,3,..., n 组成的无重复有序实数组 称为一个 n 级排列。
定义 ：在一个 n 级排列中，如果一个较大数排在一个较小数前面，我们就称这两个数构成一个逆序。
对于逆序，我们感兴趣的是一个 n 级排列中逆序的总数，称为 n 级排列的逆序数，记作。
2. 行列式的定义个数 （ ）排成的行列的方形表称为一个n 阶行列式。
它表示所有取自不同行不同列的个元素乘积的代数和。
3.行列式的性质（1）转置不改变行列式的值（2）行列式某行（列）元素的公因子可以提到行列式之外（3）行列式的分行（列）可加性（4）行列式两行（列）元素成比例，则行列式值为0（5）互换行列式的某两行（列）行列式的值改变符号（6）行列式某行（列）的倍加到另外一行（列），行列式值不变4.行列式的余子式、代数余子式划去元素 所在的行、列，剩下的元素按照原来的顺序排成的n-1阶行列式称为 的余子式，记为 ，称 为 的代数余子式。
5.行列式的展开（1）展开定理（2）行列式某一行（列）每个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积的和等于0 。
二.基本结论（1）（2）12,,n i i i 12,,n i i i ()12,,n i i i τ2n ij a ,1,2,,i j n =⋅⋅⋅1212121112121222(,,,)12,,,12(1)n n n n n j j j j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∑ij a ij a ij M (1)i j ij ij A M +=-ij a 1122i i i i in in D a A a A a A =++1,2,,i n =1122j j j j nj nj a A a A a A =++1,2,,j n =11220k i k i kn in a A a A a A ++=k i≠11220k i k i nk ni a A a A a A ++=k i ≠1122nn a a a =11112222******nn nn a a a a a a ==1112(1)2(1)2(1)111******n n n n n n n n n a a a a a a a a a ---===三. 基本题型与基本方法题型1：行列式的计算：行列式基本方法：利用性质及展开具体方法：方法一 ：三角法（利用性质将行列式化为三角型行列式）例方法二：降阶法（利用展开降阶）例第二章 矩阵第一节 矩阵及其运算一. 基本内容1．矩阵概念1）定义2）特殊矩阵：（1）零矩阵：（2）阶方阵：（3）行矩阵（向量）、列矩阵（向量）：（4）对角矩阵、单位矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵：（5）对称矩阵、反对称矩阵：2．矩阵的运算1）线性运算：加法与数乘2）乘法：（1）乘法法则：（2）运算律：3）方阵的运算（1）方阵的幂及其运算律：（2）方阵的行列式4）转置：性质5）伴随矩阵性质：二、基本结论1．伴随矩阵的相关结论2．分块矩阵的逆 4124120233200112D =0111111n n a a D a +=12344000000a x a a a x x D x x x x +-=--()111212122212n n ij m n m m mn a a a a a a A a a a a ⨯⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅ ⎪== ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭第二节 可逆矩阵一、基本内容1．可逆的定义：2．阶矩阵可逆的充要条件：3．性质：二、基本题型与基本方法题型1：逆矩阵的计算与证明（具体矩阵、抽象矩阵）方法一：公式法求逆方法二：初等变换求逆：方法：例方法四：利用定义，求（证明）逆矩（抽象矩阵的情形中常见）例：n 阶矩阵满足 求第三节 矩阵的初等变换与秩一、基本内容1．初等变换的定义：2．初等矩阵（1）定义：由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵（2）三种初等矩阵：（3）性质：初等矩阵都是可逆的，其逆仍是初等矩阵3．初等变换的本质（初等变换与初等矩阵的关系）4．矩阵等价1）定义：2）性质：5．矩阵的秩（1）定义：（2）性质：初等变换不改变矩阵的秩二、基本题型与基本方法题型：求矩阵的秩基本方法：初等变换法对矩阵作初等行变换，化为阶梯形，阶梯形中非零行的个数即为矩阵的秩。
矩阵与行列式基本概念与性质
矩阵与行列式基本概念与性质矩阵与行列式是线性代数中的基本概念，广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。
本文将介绍矩阵与行列式的基本概念和性质，并通过具体例子来帮助读者更好地理解和掌握它们。
一、矩阵的基本概念矩阵是由数个数排列成的矩形阵列。
我们用大写字母表示矩阵，例如A。
一个m行n列的矩阵可以表示为A = [a_ij]，其中i表示行标，j 表示列标，a_ij表示第i行第j列上的元素。
矩阵的元素可以是实数或复数。
矩阵可以进行加法和数乘运算。
两个矩阵A和B，只有当它们的行数和列数都相等时，才可以进行加法运算。
加法运算的结果是另一个矩阵C，其元素由对应位置的元素之和组成。
数乘运算是指一个矩阵乘以一个实数或复数，其结果是一个矩阵，其中的每个元素都乘以这个实数或复数。
二、矩阵的性质1. 矩阵的转置矩阵A的转置记作A^T，表示将矩阵A的行与列对换而得到的矩阵。
即，如果A = [a_ij]，则A^T = [a_ji]。
矩阵的转置有以下性质：- (A^T)^T = A，即矩阵的转置再转置等于原矩阵。
- (A + B)^T = A^T + B^T，即矩阵的转置和的转置等于两个矩阵的转置和。
- (kA)^T = kA^T，其中k是实数或复数。
2. 矩阵的乘法两个矩阵A和B的乘积记作C = AB。
如果A是一个m行n列的矩阵，B是一个n行p列的矩阵，则乘积C是一个m行p列的矩阵。
矩阵的乘法有以下性质：- 结合律：(AB)C = A(BC)，即矩阵乘法满足结合律。
- 分配律：A(B + C) = AB + AC，即矩阵乘法对加法满足分配律。
- 没有交换律：一般情况下，AB ≠ BA，即矩阵乘法不满足交换律。
三、行列式的基本概念行列式是一个与矩阵相关的标量值。
行列式的值可以通过递归定义来计算。
给定一个n阶方阵A = [a_ij]，其中i表示行标，j表示列标，行列式的值记作|A|或det(A)。
行列式的计算需要用到代数余子式和代数余子式所对应的代数余子式矩阵。
线性代数第一章、矩阵PPT课件
可以通过初等行变换或初等列变换将矩阵转化为行阶梯形或列阶梯形，然后数非零行的个数即为矩阵的秩。
矩阵的秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量组的一个极大线性无关组中向量的个数。
矩阵的秩
通过初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形，然后回代求解。
高斯消元法
克拉默法则
迭代法
适用于线性方程组系数行列式不为0的情况，通过解方程组求出方程的解。
n阶方阵A的行列式记为det(A)，是一个n阶的方阵，其值是一个实数。
行列式与转置矩阵的行列式相等，即det(A^T) = det(A)；行列式的乘法性质，即det(kA) = k^n * det(A)；行列式的初等变换性质，即行列式在初等变换下保持不变。
行列式的定义与性质
行列式的性质
行列式的定义
线性代数第一章、矩阵ppt课件
目录
CONTENTS
矩阵的定义与性质 矩阵的逆与行列式 矩阵的秩与线性方程组 矩阵的特征值与特征向量 矩阵的分解与正交矩阵 矩阵在实际问题中的应用
01
矩阵的定义与性质
CHAPTER
矩阵的定义与性质
about the subject matter here refers to the subject matter here.
相似法
如果存在可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则矩阵A的特征值和特征向量可以通过矩阵B的特征值和特征向量来求解。
特征值与特征向量的计算方法
如果矩阵A的所有特征值都是实数且没有重复，则矩阵A可以对角化。
判断矩阵是否可对角化
求解线性方程组
判断矩阵是否相似
优化问题
通过将线性方程组Ax=b转化为特征值问题，可以求解线性方程组。
矩阵与行列式的基本概念与运算
矩阵与行列式的基本概念与运算矩阵和行列式是线性代数中基本的概念和工具。
在数学和工程领域中，它们广泛应用于解方程组、描述线性映射和计算变换等问题。
本文将介绍矩阵和行列式的基本概念，并讨论它们的运算规则和性质。
一、矩阵的基本概念矩阵是由一组排列成矩形的数按照一定规律排列组成的数表。
具体地，一个 m×n 的矩阵由 m 行和 n 列构成，其中每个元素可以是任意实数或复数。
通常用大写字母表示矩阵，如 A、B、C，矩阵元素用小写字母表示，如 aij，表示矩阵 A 的第 i 行第 j 列的元素。
例如，一个 2×3 的矩阵可以表示为：A = [a11 a12 a13][a21 a22 a23]二、矩阵的运算1. 矩阵的加法与减法设有两个 m×n 的矩阵 A 和 B，它们可以相加或相减，其结果仍为一个 m×n 的矩阵。
加法运算的规则是将对应位置的元素相加，减法运算的规则是将对应位置的元素相减。
例如，设有两个 2×2 的矩阵 A 和 B：A = [a11 a12][a21 a22]B = [b11 b12][b21 b22]则矩阵 A 与 B 的和为：A +B = [a11+b11 a12+b12][a21+b21 a22+b22]2. 矩阵的数乘矩阵与数的乘积为将矩阵的每个元素与该数分别相乘。
例如，设有一个 2×2 的矩阵 A 和一个数 k：A = [a11 a12][a21 a22]则矩阵 A 与数 k 的乘积为：kA = [ka11 ka12][ka21 ka22]3. 矩阵的乘法设有两个矩阵 A 和 B，若矩阵 A 的列数等于矩阵 B 的行数，则可以进行矩阵乘法运算。
矩阵乘法的规则是将矩阵 A 的每一行与矩阵 B 的每一列对应位置元素相乘，并将结果相加。
例如，设有两个 2×3 的矩阵 A 和 B：A = [a11 a12 a13][a21 a22 a23]B = [b11 b12 b13][b21 b22 b23][b31 b32 b33]则矩阵 A 与 B 的乘积为一个 2×3 的矩阵 C：C = [a11b11+a12b21+a13b31 a11b12+a12b22+a13b32a11b13+a12b23+a13b33][a21b11+a22b21+a23b31 a21b12+a22b22+a23b32a21b13+a22b23+a23b33]三、行列式的基本概念行列式是一个由矩阵中元素按一定规则组合而成的标量。
1. 矩阵与行列式
第四章 矩阵 · 行列式 · 线性方程组本章内容包括矩阵、行列式与线性代数方程组两部分.在前一部分，叙述了矩阵和行列式的基本概念，重点介绍各种类型矩阵的性质、基本运算，此外，还介绍了矩阵的特征值与特征矢量的求法，及有关的内容，如相似变换等；在线性方程组部分，着重介绍含n 个未知量的n 个方程的方程组解法，也简单地讨论了解的结构.最后对整系数线性方程组和线性不等式组也作了扼要说明.§1 矩阵与行列式一、 矩阵及其秩[矩阵与方阵] 数域（第三章，§ 1）F 上的m ×n 个数a ij (i =1,2,…,m ;j =1,2,…,n )按确定的位置排成的矩形阵列，称为m ×n 矩阵.记作A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a (212222111211)其中横的一排叫做行，竖的一排叫做列，a ij 称为矩阵的第i 行第j 列的元素，矩阵A 简记为(a ij )或(a ij )m ⨯n .n ×n 矩阵也称为n 阶方阵，a 11，a 12，…，a nn 称为矩阵A 的主对角线的元素. 行数m 与列数n 都是有限的矩阵，称为有限矩阵.否则称为无限矩阵.[矢量的线性相关与线性无关]对于n 维空间的一组矢量x 1，x 2，…，x m ，若数域F 中有一组不全为零的数k i (i =1，2，…，m )，使k 1x 1+k 2x 2+…+k m x m =0成立，则称这组矢量在F 上线性相关，否则称这组矢量在F 上线性无关.矢量组的线性相关性的讨论： 1° 矢量组x 1，x 2，…，x m 线性相关的充分必要条件是：其中至少有一个矢量x i 可用其他矢量的线性组合来表示，即j mj j i x a x ∑≤≤=12° 包含零矢量的矢量组一定线性相关. 3° 矢量组x 1，x 2，…，x m 中，若有两个矢量相等：x i =x j (i ≠j ),则该矢量组线性相关. 4° 若矢量组x 1，x 2，…，x r 线性相关，则再添加若干个矢量后所组成的矢量组仍然线性相关；若矢量组x 1，x 2，…，x m 线性无关，则其中任一部分矢量组成的矢量组也线性无关.5° 若x 1，x 2，…，x r 线性无关，而x 1，x 2，…，x r +1线性相关，则x r +1可以表示为x 1，x 2，…，x r 的线性组合.[行矢量与列矢量 · 矩阵的秩] 由矩阵任一行的元素构成的n 维矢量称为行矢量，记为a i =(a i 1,a i 2,...,a in ) (i =1,2,...,m )由矩阵任一列的元素构成的m 维矢量称为列矢量，记为τ),,,(2121mj j j mj jj j a a a a a a a =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡= (j =1,2,...,n )式中τ表示转置，即行（列）转换为列（行）.若矩阵A 的n 个列矢量中有r 个线性无关（r ≤n ），而所有个数大于r 的列矢量组都线性相关，则称数r 为矩阵A 的列秩.类似可定义矩阵A 的行秩.矩阵A 的列秩与行秩一定相等，它也称为矩阵的秩，记作rank A =r . 矩阵的秩也等于该矩阵中不等于零的子式（见本节，二）的最大阶数.二、行列式1. 行列式及其拉普拉斯展开定理 [n 阶行列式] 设nnn n n n a a a a a a a a a D ......... (2)12222111211=是由排成n 阶方阵形式的n 2个数a ij (i ,j =1,2,...,n )确定的一个数，其值为n ！项之和n nk k k k a a a D ...)1(2121∑-=式中k 1,k 2,...,k n 是将序列1,2,...,n 的元素次序交换k 次所得到的一个序列，Σ号表示对k 1,k 2,...,k n 取遍1,2,...,n 的一切排列求和，那末数D 称为n 阶方阵相应的行列式.例如，四阶行列式是4！个形为43214321)1(k k k k k a a a a -的项的和，而其中a 13a 21a 34a 42相应于k =3,即该项前端的符号应为 (－1)3.若n 阶方阵A =（a ij ）,则A 相应的行列式D 记作D =|A |=det A =det(a ij )若矩阵A 相应的行列式D =0，称A 为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵. [标号集] 序列1,2,...,n 中任取k 个元素i 1,i 2,...,i k 满足1≤i 1<i 2<...<i k ≤n (1)i 1,i 2,...,i k 构成{1,2,...,n }的一个具有k 个元素的子列，{1,2,...,n }的具有k 个元素的满足(1)的子列的全体记作C (n ,k ),显然C (n ,k )共有k n C 个子列.因此C (n ,k )是一个具有kn C 个元素的标号集（参见第二十一章，§1，二），C (n ,k )的元素记作σ,τ,..., σ∈C (n ,k )表示σ={i 1,i 2,...,i k }是{1,2,...,n }的满足(1)的一个子列.若令τ={j 1,j 2,...,j k }∈C (n ,k ),则σ=τ表示i 1=j 1,i 2=j 2,...,i k =j k . [子式 · 主子式 · 余子式 ·代数余子式] 从n 阶行列式D 中任取k 行与k 列（1≤k ≤n －1）,由这k 行与k 列交点处的元素构成的k 阶行列式称为行列式D 的k 阶子式，记作στM , σ,τ∈C (n ,k ) 如果所选取的k 行k 列分别是第i 1,i 2,...,i k 行与第i 1,i 2,...,i k 列，则所得到的k 阶子式称为主子式.即当σ=τ∈C (n ,k )时，στM 是主子式.从行列式D 中划去k 行（σ）与k 列（τ）后得到的n －k 阶行列式称为子式στM 的余子式，记作στM '.如果σ={ i 1,i 2,...,i k }，τ={ j 1,j 2,...,j k }，则称∑∑-===+kl lkl l j i A 11)1(στστM ' 为子式στM 的代数余子式.特别，当k =1时，σ={i }，τ={j },子式στM 就是一个元素a ij , a ij 的余子式记作ij M ，a ij 的代数余子式记作A ij ,即j i ij A +-=)1(ij M且有∑=⎩⎨⎧=nj kjij DA a 10)()(k i k i ≠= （2）或∑=⎩⎨⎧=ni ikij D A a 10)()(k j k j ≠= （3）[拉普拉斯展开定理] 在n 阶行列式D 中任取k 行（1≤k ≤n -1）,那末包含于所选定的这些行中的所有k 阶子式与它们各自的代数余子式的乘积之和等于行列式D ，即对任意σ∈C (n ,k )，1≤k ≤n -1，∑∈=k)C(n,M τστστA D （4）式中∑表示对标号集C (n ,k )中的所有元素求和.拉普拉斯定理中是对行进行的，对列有类似结果=D ∑∈),(k n C A M σστστ（5）此外还有∑∈),(k n C A M τλτστ⎩⎨⎧=0D)()(λσλσ≠= （6） ∑∈),(k n C A M σσλστ⎩⎨⎧=0D)()(λτλτ≠= （7） 显然（2），（3）分别是（6），（7）的特例.[拉普拉斯恒等式] 设A =(a ij )m ⨯n ,B =(b ij ) m ⨯n (m ≥n ),又设l =n m C ,A 的所有n 阶子式为U 1，U 2，...，U l ，B 的相应的n 阶子式为V 1,V 2,...,V l ,则det(A τB )=∑=lk k k V U 12.行列式的性质 1° ⎪A 1A 2 A m ⎪=⎪A 1⎪⎪A 2⎪ ⎪A m ⎪ ⎪A m ⎪=⎪A ⎪m , ⎪kA ⎪=k n ⎪A ⎪式中A 1，A 2， ，A m 全为n 阶方阵，k 为任一复数. 2° 行与列互换后，行列式的值不变，即|τA |=|A |式中τA 表示A 的转置矩阵（见本章§2）.3° 互换行列式的任意两行（或列），行列式变号.例如nn n n n n a a a a a a a a a (1)22212211112=nnn n nn a a a a a a a a a (2122221)11211-4° 用数α乘行列式的一行（或列），等于将行列式乘以数α.例如nn n n n n a a a a a a a a a .....................212222111211ααα=αnnn n nn a a a a a a a a a (212222111211)5° 将行列式的一行（或列）元素乘以数α后加到另一行（或列）的相应元素上，行列式的值不变.例如nnn n n n n a a a a a a a a a a a a ...... (22122222)211121211ααα+++=nnn n nn a a a a a a a a a (2)12222111211 6° 若行列式中有一行（或列）全为零，则行列式等于零.若行列式中有两行（或列）对应的元素完全相同或成比例，则行列式为零.若行列式中有一行（或列）元素是其他某些行（或列）对应元素的线性组合，则行列式为零. 7° 若行列式中某一行（或列）的所有元素都可表示为两项之和，则该行列式可用两个同阶的行列式之和来表达.例如nn n n n n n a a b a a a b a a a b a .....................22222211211+++=nn n n n n a a a a a a a a a .....................222221121+nn n n nn a a b a a b a a b .....................222221121 3.几个特殊行列式 [对角行列式]nd d d 021=n ni i d d d d 211=∏=[三角形行列式]nnn n l l l l l l 021222111=∏=ni ii l 1[二阶行列式]12212211b a b a b a b a -=[三阶行列式]221133311233221333222111c b c b a c b c b a c b c b a c b a c b a c b a +-= =321c b a +132c b a +213c b a —231c b a —312c b a —123c b a记忆方法行列式的值，等于各实线上元素乘积之和减去各虚线上元素乘积之和.[四阶行列式]4444333322221111d c b a d c b a d c b a d c b a =4443332221d c b d c b d c b a -4443331112d c b d c b d c b a +4442221113d c b d c b d c b a -3332221114d c b d c b d c b a=44332211d c d c b a b a ⋅-44332211d b d b c a c a ⋅+44332211c b c b d a d a ⋅ +44332211d a d a c b c b ⋅-44332211c a c a d b d b ⋅+44332211b a b a d c d c ⋅注意，四阶和四阶以上的行列式不能采用三阶行列式那种记忆方法，应按拉普拉斯展开定理采用逐步降阶的方法展开. [范德蒙行列式]112112222121.....................1...11---n n n n n na a a a a a a a a =∏≤<≤-ni j j i a a 1)( 式中∏是对一切数对（i ,j ）（1≤j <i ≤n ）求积.[倒数对称行列式]121...21111...............21 (51413111)...4131211...31211-++++n n n n n n n =[])!12()!1(!)!1(!3!23-+-n n n n。
矩阵与行列式的基本知识
矩阵与行列式的基本知识矩阵与行列式是线性代数中的重要概念和工具，广泛应用于数学、物理、计算机科学等各个领域。
本文将介绍矩阵与行列式的基本知识，包括定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、矩阵的定义和性质矩阵是由m行n列元素排列成的一个矩形数表。
常用的表示方法是用大写字母表示矩阵，例如A, B, C等。
一个矩阵可以用一个m×n的数表表示，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
矩阵中的每个元素可以是实数、复数或者其他数域中的元素。
矩阵中的元素可以用小写字母表示，例如a11, a12等。
矩阵中的元素按照行和列的顺序排列，例如矩阵A可以表示为：A = [a11 a12 a13][a21 a22 a23][a31 a32 a33]矩阵的运算包括矩阵加法、矩阵乘法以及数乘等。
矩阵加法的定义是对应元素相加，即若A和B是同型矩阵，则它们的和A + B的定义是一个矩阵，其中的每个元素是A和B中对应元素的和。
矩阵乘法的定义是第一个矩阵的行与第二个矩阵的列的对应元素相乘并求和。
若A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则它们的乘积AB的定义是一个m×p的矩阵，其中的每个元素由矩阵A的第i行和矩阵B的第j列的对应元素相乘并求和。
矩阵具有一些重要的性质，例如矩阵的转置、逆矩阵和对称矩阵等。
矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
矩阵的逆矩阵是指与原矩阵相乘得到单位矩阵的矩阵。
对于方阵（行数等于列数的矩阵），若存在逆矩阵，则称该矩阵是可逆的。
二、行列式的定义和性质行列式是一个与矩阵相关的数值。
对于一个n阶方阵，它的行列式可以用|A|表示。
行列式的定义是一个关于矩阵元素的表达式。
|a11 a12 ... a1n||a21 a22 ... a2n||... ... ... ...||an1 an2 ... ann|一个2阶方阵A的行列式可以表示为：|A| = a11 * a22 - a12 * a21行列式可以用于判断矩阵的某些性质，例如矩阵的可逆性和线性方程组的解的情况。
第一讲行列与矩阵
第一讲 行列式与矩阵一、内容提要（一）n 阶行列式的定义∑-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn j j j njn j j j j j nn n n n n a a a a a a a a a a a a D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ21212211)(212222111211)1(τ（二）行列式的性质1．行列式与它的转置行列式相等，即T D D =； 2．交换行列式的两行（列），行列式变号；3．行列式中某行（列）元素的公因子可提到行列式外面来； 4．行列式中有两行（列）元素相同，则此行列式的值为零；5．行列式中有两行（列）元素对应成比例，则此行列式的值为零； 6．若行列式中某行（列）的元素是两数之和，即nm n n in in i i i i na a ab a b a b a a a a D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ21221111211+++=， 则nnn n in i n nnn n in i n a a a b b b a a a a a a a a a a a a D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ21121112112112111211+= 7．将行列式某行（列）的k 倍加到另一行（列）上去，行列式的值不变。
（三）行列式依行（列）展开 1．余子式与代数余子式（1）余子式的定义去掉n 阶行列式D 中元素ij a 所在的第i 行和第j 列元素，剩下的元素按原位置次序所构成的n-1阶行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M（2）代数余子式的定义ij a 的代数余子式的记为ij j i ij ij M A A +-=)1(, 2．n 阶行列式D 依行（列）展开 （1）按行展开公式∑=⎩⎨⎧≠==nj kj ij k i ki DA a 10 （2）按列展开公式∑=⎩⎨⎧≠==ni is ij sj sj DA a 10 （四）范德蒙行列式∏≤<≤----==nj i i jn nn n nnx xx x x x x x x x x D 1112112222121)(111ΛΛΛΛΛΛΛ（五）矩阵的概念1．矩阵的定义由m×n 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ΛΛ==组成的m 行n 列的矩形数表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛ212222111211 称为m×n 矩阵，记为n m ij a A ⨯=)(2．特殊的矩阵（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；（2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵；（3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵； （4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；（5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E ； （6）零矩阵：元素全为零的矩阵。
线性代数讲座_1,2章
IO
P T A* A A 0
Q A T A1 b A 0
Q可逆 Q 0 T A1 b 0 T A1 b
例4. 设
A, B 均为 2 阶矩阵, 若
A
2,
B
3,
O
则
B
A O
*
=
A
O 2A*
3B*
O
B
O 3A*
2B*
O
C
O 2B*
3A*
a122
a123
3a121 1
a11 3 3
例3. 设 A 为 n 阶可逆矩阵, α 为 n 维列向量, b 为常数, 记
I O A
P
T
A*
A
,
Q
T
b
.
(1) 计算并化简 PQ. (2) 证明矩阵 Q可逆 T A1 b.
分析:
I O A
PQ
T
A*
A
标准方法: 利用行列式性质直接计算:
A 2B 1, 2, 3, 1 23, 1, 2, 2
1 23 , 2 21 , 3 22 , 1 22
A 2B 1 23 , 2 21, 3 22 , 1
1 23 , 2 21 , 3 22 , 22
1 2 0 0
按第一行(列)展开, 直接求得;
(3) 三线型:
按第一行(列)或最后一行(列)展开, 得
递推关系式, 解递推关系式;
(4) “爪”型(箭型) 行列式: 用中间的“爪”消去某条 “爪”;
(5) 计算某行(列)元的(代数)余子式的线性组合：
构造“新行列式”;
知识点2: 行列式计算
(6) 抽象行列式 |A| = |α, β, γ|的计算:
高中数学中的行列式与矩阵详尽讲解
高中数学中的行列式与矩阵详尽讲解在高中数学中，行列式与矩阵是两个重要的概念。
它们既有着理论上的意义，也有着实际应用的价值。
本文将详细讲解行列式与矩阵的相关知识。
一、行列式行列式是矩阵的一个重要性质，它可以用来判断矩阵是否可逆。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作|A|或det(A)。
行列式的计算方法有很多种，其中最常用的是按照拉普拉斯展开定理进行计算。
拉普拉斯展开定理是指将一个n阶方阵的行列式展开成n个n-1阶方阵的行列式之和。
具体来说，对于一个n阶方阵A，可以选择其中的某一行或某一列，将其元素与对应的代数余子式相乘，再按照正负交错的方式相加，即可得到该行列式的值。
行列式的计算过程需要注意一些规则。
首先，行列式的值与矩阵的行列互换无关，即|A|=|A^T|。
其次，如果矩阵A的某两行（或某两列）互换位置，那么行列式的值将变为原值的相反数，即|A|=-|A'|，其中A'是A互换了两行（或两列）位置后的矩阵。
行列式在线性代数中有着广泛的应用。
例如，行列式可以用来求解线性方程组的解的个数。
当一个n阶方阵的行列式不等于0时，该方阵可逆，对应的线性方程组有唯一解；当行列式等于0时，该方阵不可逆，对应的线性方程组无解或有无穷多解。
二、矩阵矩阵是由一组数按照矩形排列而成的矩形阵列。
矩阵可以表示为m行n列的形式，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
矩阵的元素可以是实数或复数。
矩阵的加法和数乘是两个基本的运算。
对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的和记作A+B，定义为将对应位置的元素相加得到的新矩阵。
对于一个矩阵A和一个数k，它们的数乘记作kA，定义为将矩阵A的每个元素乘以k得到的新矩阵。
矩阵的乘法是另一个重要的运算。
对于一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B，它们的乘积记作AB，定义为将矩阵A的每一行与矩阵B的每一列对应元素相乘，并将结果相加得到的新矩阵。
需要注意的是，两个矩阵相乘的前提是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
线性代数(经管类)讲义
高数线性代数课堂笔记第一章行列式线性代数学的核心内容是：研究线性方程组的解的存在条件、解的结构以及解的求法。
所用的基本工具是矩阵，而行列式是研究矩阵的很有效的工具之一。
行列式作为一种数学工具不但在本课程中极其重要，而且在其他数学学科、乃至在其他许多学科（例如计算机科学、经济学、管理学等）都是必不可少的。
1.1行列式的定义（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。
注意：在线性代数中，符号不是绝对值。
例如，且；）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。
例如）符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为例如=0三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。
我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。
例如：（1）=1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0（2）（3）（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如例1a为何值时，[答疑编号10010101：针对该题提问]解因为所以8-3a=0，时例2当x取何值时，[答疑编号10010102：针对该题提问]解：解得0<x<9所以当0<x<9时，所给行列式大于0。
（二）n阶行列式符号：它由n行、n列元素（共个元素）组成，称之为n阶行列式。
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a11 L
kA k M
am1
L
a1n ka11 L
M M
amn
kam1
L
ka1n
M
kamn
• 矩阵的加法与数乘两种运算统称为矩阵的线性运算.
❖ 线性运算律
设 A, B, C 为同型矩阵, k, l 为数, 则成立
(1) A B B A;
(2) ( A B) C A (B C ); (kl)A k(lA);
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❖ 两矩阵的和
设有两个 mn 矩阵 A(aij) 和 B(bij), 矩阵 A 与 B 的和记作 AB, 规定为
a11 L
A B M
am1
L
a1n b11 L
M M
amn
bm1
L
b1n
M
bmn
a11 b11 L
M
am1
bm1
L
a1n b1n
M
amn
bmn
• 用粗体大写字母表示矩阵, 以上矩阵记为 A (aij).
• 当标明矩阵 A 的行列数时, 表示为 Amn , 或 (aij)mn .
• 只有一行(列)的矩阵称为行(列)矩阵或行(列)向量.
n 维行向量(行矩阵)记作
A (a1,a2,L ,an )
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❖ 同型矩阵 若两个矩阵都是m×n矩阵, 则称它们是同型矩阵.
分别记线性变换(1), (2), (3) 的系数矩阵为 A, B, C,
定义 C AB, 即
a11
a21
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a12 b11
a22
b21
b12 b22
a11b11 a21b11
a12b21 a22b21
a11b12 a12b22
a21b12
a22b22
12
❖ 两矩阵的乘积
a11 a12 L a1n
记
A
a21 M
am1
a22 M
am 2
L L
a2n M
amn
称矩阵 A 为线性变换的系数矩阵.
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矩阵及其线性运算
❖ mn 矩阵
a11 a12 L
a21 M
a22 M
L
am1 am2 L
a1n
a2n M
amn
• aij : 矩阵的第 i 行第 j 列的元素, 简称 (i, j)元.
cij (ai1
b1 j
ail )
ai1b1 j
blj
ailblj
例如： a11
a21
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a12 b11
a22
b21
b12 b22
a11b11 a21b11
a12b21 a22b21
a11b12 a12b22
a21b12
a22b22
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❖ 两矩阵的乘积
列向量
a1
a2
an
或 (a1 , a2 , , an )T
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分量全部为零的向量称为零向量，记为 0 。 向量可视为特殊的矩阵, 因此, 向量的加法、数乘定义 如下：
设 (a1 , a2 , , an )， (b1 , b2 , , bn ),
则
(a1 b1 , a2 b2 , , an bn )， k (ka1 , ka2 , , kan ) .
和
y1 y2
b11 x1 b21 x1
b12 x2 b22 x2
(2)
将(2)代入(1), 得
z1 z2
(a11b11 (a21b11
a12b21 )x1 a22b21 )x1
(a11b12 (a21b12
a12b22 )x2 a22b22 )x2
(3)
线性变换(3)称为由线性变换(1)与线性变换(2)复合而成的复合线性变换.
• 负矩阵
矩阵 A(aij) 的负矩阵定义为 -A(-aij).
• 矩阵的减法
b11 - a11 L b1n - a1n
B - A B (- A) M
M
bm1
-
am1
L
bmn
-
amn
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❖ 数与矩阵的乘积 数 k 与矩阵 A(aij) 的乘积称为数乘运算, 记作 kA,
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线性变换与系数矩阵：一个简单的例子
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一般的线性变换和系数矩阵
设有从变元 x1,…, xn 到变元 y1,…, ym 的线性变换
y1 a11 x1 a12 x2 L a1n xn
y2 a21 x1 a22 x2 L LLLL
a2n xn
ym am1 x1 am2 x2 L amn xn
设 A (aik )ml , B (bkj )ln , 记 cij ai1b1 j ai2b2 j ailblj (i 1, , m; j 1, , n) 称矩阵 C (cij )mn为矩阵 A 与 B 的乘积, 记为 C AB.
x 2u - 3 0 2v 4 0 7 2 y - x 0 y4-v 0
Hale Waihona Puke 解得 x -5, y -6, u 4, v -2.
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到从 矩连 阵续 的两
乘次 法线
性 变
换
设有两个线性变换
z1 z2
a11 a21
y1 y1
a12 y2 a22 y2
(1)
线性代数讲义1 矩阵与行列式
张宏浩
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教材
邓小成等主编，《简明线性代数》，中国人民大学出版社
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向量的概念
n 个数组成的有序数组 (a1 , a2 , , an ) 称为 一个 n 维向量。
a1, a2 , , an 称为向量 的分量或坐标。
行向量
(a1 , a2 , , an )
设 A (aik )ml , B (bkj )ln , 记 cij ai1b1 j ai2b2 j ailblj (i 1, , m; j 1, , n) 称矩阵 C (cij )mn为矩阵 A 与 B 的乘积, 记为 C AB.
• AB 中第 i 行第 j 列的元素为 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的乘积.
❖ 相等矩阵
如果 A (aij) 与 B (bij) 是同型矩阵, 并且它们的对应元素相等, 即
aij bij (i 1,L ,m; j 1,L ,n)
那么称矩阵 A 与矩阵 B 相等, 记为 A B. ❖ 零矩阵
所有元素为 0 的矩阵称为零矩阵, 用 0 记之. 注: 不同型的零矩阵是不相等的.
(3) k( A B) kA kB;
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(k l)A kA lA.
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练习1： 设 A2B -C 0, 其中
A
x 7
0 y
,
B
u y
v 2
,
C
3 x
-4 v
求 x, y, u, v 的值.
解
A
2B
-
C
x 7
2u 2y
-
3 x
由 A2B -C 0, 得
2v 4 y 4 - v