线性代数：行列式的计算
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中非常重要的概念，它可以帮助我们理解矩阵的性质和求解线性方程组。
行列式的计算方法有多种，下面将详细介绍几种常用的计算方法。
一、按定义式计算行列式：按照定义式计算行列式是最基本的一种方法。
对于一个n阶矩阵A，其行列式记作det(A)，可以按照以下公式进行计算：det(A) = Σ(−1)^σ(π_1,π_2,…,π_n)a_{1π_1}a_{2π_2}⋯a_{nπ_n}σ(π_1,π_2,…,π_n)是排列(π_1,π_2,…,π_n)的符号，a_{iπ_i}表示矩阵A的第i行第π_i列的元素，Σ表示对所有可能的排列进行求和。
按照定义式计算行列式需要对所有可能的排列进行求和，计算量较大，对于较大阶的矩阵来说并不实用。
我们通常会采用其他方法来计算行列式。
计算行列式时，我们可以利用其性质来简化计算过程。
行列式有一些基本的性质，如行列式中某一行（列）所有元素都乘以一个数k，行列式的值也要乘以k；行列式中某一行（列）元素乘以某个数加到另一行（列）上去后，行列式的值不变等。
利用这些性质，我们可以通过变换行列式中的元素或行列式本身，从而简化计算过程。
对于一个3阶矩阵A，我们可以利用做行列变换将其变换为上三角矩阵，这样计算其行列式就会变得非常简单。
具体地，我们可以通过交换行或列，将矩阵A变换为上三角矩阵，然后利用上三角矩阵的行列式的性质求解行列式的值。
三、按矩阵的余子式和代数余子式计算行列式：对于一个n阶矩阵A，其(i,j)位置的余子式M_{ij}定义为将A的第i行第j列划去后，剩下的元素按原来的次序组成的(n-1)阶行列式。
即M_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot \det(A_{ij})其中A_{ij}是将矩阵A的第i行第j列元素划掉后得到的(n-1)阶子式矩阵。
矩阵的代数余子式A_{ij}定义为A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}。
线性代数行列式计算总结
线性代数行列式计算总结线性代数中的行列式是一种非常重要的数学工具，它在矩阵理论、线性方程组的解法、线性空间与线性变换以及特征值与特征向量的计算中都起到至关重要的作用。
行列式的计算方法有很多，下面我将总结一下常见的行列式计算方法。
首先，我们先来定义什么是一个行列式。
行列式是一个标量，它是一个n阶方阵所带的一个数值特征。
对于一个n阶方阵A，它的行列式表示为，A，或者det(A)，它的计算方法如下所示。
1.二阶行列式的计算方法对于一个二阶方阵A=，a11a12a21a2它的行列式计算方法是：，A，=a11*a22-a12*a212.三阶行列式的计算方法对于一个三阶方阵A=，a11a12a13a21a22a2a31a32a3它的行列式计算方法是：，A，=a11*a22*a33+a12*a23*a31+a13*a21*a32-a13*a22*a31-a12*a21*a33-a11*a23*a323.高阶行列式的计算方法对于一个高阶方阵A，可以通过对其中一行或一列进行展开来计算行列式。
展开的方式有很多种，常用的有代数余子式展开和化简为三角行列式展开两种。
3.1代数余子式展开对于一个n阶方阵A，选择一行或一列展开，计算每个元素的代数余子式，然后按照正负交替的方式相乘相加得到行列式的值。
具体步骤如下：- 选择第i行展开，行列式的值为，A， = ai1*C_1i + ai2*C_2i+ ... + ain*C_ni- 其中，C_ij是元素a_ij的代数余子式，计算方法是去掉第i行和第j列剩余元素构成的(n-1)阶子阵的行列式。
3.2三角行列式展开对于一个n阶方阵A，通过初等变换将方阵化为上三角形或下三角形，然后计算对角线的乘积得到行列式的值。
除了以上两种展开的方法，还可以通过矩阵的特征值和特征向量计算行列式的值。
具体步骤是：-计算矩阵A的特征值λ_1,λ_2,...,λ_n-计算矩阵A的特征向量v_1,v_2,...,v_n-行列式的值等于特征值的乘积：，A，=λ_1*λ_2*...*λ_n行列式的计算方法还有很多，比如拉普拉斯展开、按行或按列展开等。
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法
空格
行列式是线性代数的基本概念，它具有重要的应用价值。
它的计算方法也有很多，下面主要介绍几种行列式计算的方法。
一、展开式法
把行列式的每一行的元素乘以其所在的代数余子式的值，再将所有的积相加，得到的结果就是行列式的值。
这种方法理论上可以计算任何n阶的行列式，但当n阶较大时，展开比较繁琐，耗时也较长。
二、余子式法
计算第i行列式的方法是：取行列式的第i行，取其余行，去掉第i列，再找出这些行的代数余子式，再将每一行所对应的代数余子式乘以该行第i位置上的元素，再将所有的乘积之和，得到的结果就是行列式的值。
三、乘法法
若用行列式的乘法法来计算三阶行列式，则将行列式的三行分别乘以它们的代数余子式，将结果相加。
其中要用到符号乘，只要熟悉符号乘的规则，就可以简单地进行计算。
四、分块法
分块法是将行列式分解成几个临时的小行列式，再用余子式或展开式算出小行列式的值，再将小行列式的值按一定的规则组合起来，就得到原行列式的值了。
分块法优点是计算过程不复杂，缺点是分解成的小行列式的值计算比较复杂。
五、行变换法
用行变换法计算行列式的方法是：先将行列式的几行或几列进行线性变换，使行列式某一行或某一列为0，再将变换后的行列式化简为方阵或三角阵，再求解，之后再换回原行列式，则可以得出原行列式的值。
以上就是常用的几种行列式计算方法，不同的方法各有优劣，使用者可根据具体情况选择合适的方法用于行列式计算。
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中非常重要的概念，它可以帮助我们理解向量空间的性质和线性变换的特征。
在实际应用中，计算行列式有多种方法，包括拉普拉斯展开、按行（列）展开、特征多项式等。
本文将详细介绍行列式的几种常见计算方法，并举例说明其应用。
拉普拉斯展开法是计算行列式最常用的方法之一。
在计算n阶行列式时，通过选取任意一行或者一列，我们可以将行列式展开为n个n-1阶的代数余子式的和。
具体步骤如下：以一个具体例子来说明，计算3阶行列式：|A| = |1 2 3||4 5 6||7 8 9|选择第一行展开，展开过程为：|A| = 1*|5 6| - 2*|4 6| + 3*|4 5|4*|8 9| 5*|7 9| 6*|7 8|= 1*(5*9-6*8) - 2*(4*9-6*7) + 3*(4*8-5*7)= 1*(45-48) - 2*(36-42) + 3*(32-35)= 1*(-3) - 2*(-6) + 3*(-3)= -3 + 12 - 9= 0行列式的值为0。
特征多项式是计算行列式的另一种方法。
如果A是一个n阶矩阵，那么它的特征多项式定义为p(λ) = |A-λI|其中I是单位矩阵，λ是一个标量。
行列式的值等于特征多项式在λ=0处的值p(0)。
特征多项式的计算可以借助行列式的展开法来进行，通过计算A-λI的行列式，展开得到一个n次多项式，然后求解该多项式在λ=0处的值即可得到行列式的值。
下面举一个具体的例子来说明特征多项式的计算方法。
考虑一个2阶矩阵A的特征多项式：A = |a b||c d|则特征多项式为p(λ) = |A-λI|= |a-λ b||c d-λ|展开得到p(λ) = (a-λ)(d-λ) - bc= λ^2 - (a+d)λ + (ad-bc)= λ^2 - tr(A)λ + det(A)其中tr(A)是A的迹，det(A)是A的行列式。
行列式的值等于特征多项式在λ=0处的值，即为det(A)。
线性代数行列式的性质与计算
线性代数行列式的性质与计算线性代数中的行列式是一种非常重要的数学工具，它在各个领域的数学和物理问题中都具有广泛的应用和重要性。
行列式是一个数，它与矩阵的元素有关，在许多情况下可以通过一些算法进行计算。
一、行列式的性质1.行列式有可加性：若A为n阶方阵，有两列完全相同，则行列式的值为0；若A为n阶方阵，交换两列，行列式的值变号。
2.行列式有因子约束：若A的其中一行或其中一列的元素是两个数之和，则A的行列式等于这两个数的和的行列式之和。
3.行列式有数乘的性质：若将A的其中一行或其中一列的元素都乘以k，则A的行列式等于k乘以这个行列式。
4.行列式对其中一行与另一行的代换变号，对其中一列与另一列的代换变号，换行、换列对行列式无影响。
5.方阵A与其转置矩阵A'行列式相等，即，A，=，A'。
6.若A为可逆的方阵，则，A，≠0；若A的其中一行全为0，则，A，=0。
二、行列式的计算1.二阶行列式的计算：设A为二阶方阵。
2.三阶行列式的计算：设A为三阶方阵a11a12a1A=，a21a22a23a31a32a33.高阶行列式的计算：a)拉普拉斯展开法：以行或列为基准进行展开，逐步减小行列式的阶数，直至计算到二阶行列式。
b)三角形矩阵法：若A为上（下）三角矩阵，则A的行列式等于对角元素的乘积。
c)伴随矩阵法：设A为n阶方阵，A的伴随矩阵的转置矩阵为A*，则，A，=，A*，=A*A^-1d)特征值法：设A的特征值为λ1,λ2,…,λn，则，A，=λ1λ2…λn.e)克拉默法则：若Ax=b为线性方程组，其中A为n阶方阵，且，A，≠0，则方程组有唯一解x=A^-1b.总之，行列式作为一种数学工具，在线性代数中具有重要的地位和作用。
它不仅可以帮助我们判断矩阵的可逆性，还可以求解线性方程组、计算矩阵的秩、判断矩阵的相似性等。
行列式的性质和计算方法可以帮助我们更好地理解和应用线性代数的相关知识。
线性代数技巧行列式的计算方法
1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式001002001000000n D n n=-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=.该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故 (1)(2)2(1)!.n n n D n --=-2．利用行列式的性质计算例2 一个n 阶行列式n ijD a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零.证明：由i j j i a a =-知i i ii a a =-，即 0,1,2,,ii a i n ==故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n n n nnnnaa a a a a D a a a a a a -=-----由行列式的性质A A '=1213112232132331230000n n nn nnn a a a a a a D a a a a a a -----=- 12131122321323312300(1)0n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------ (1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
例 3 计算n 阶行列式a b b b b a b b D bb a bbbba=解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)a n b b bb a n b a b b D a n b b a b a n bb b a+-+-=+-+-11[(1)]11b b b a b b a n b b a b bba=+-100[(1)]000b b b a b a n b a b a b-=+---1[(1)]()n a n b a b -=+--4．降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中的重要概念，通常用于计算矩阵的逆、解线性方程组等问题。
本文将介绍行列式的几种计算方法，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
二阶行列式就是二阶矩阵的行列式，计算公式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22}\end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$$其中，$a_{11}$、$a_{12}$、$a_{21}$、$a_{22}$ 分别表示矩阵的四个元素。
计算二阶行列式时，可以直接套用上面的公式进行计算。
$$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} +a_{13}a_{21}a_{32} - a_{31}a_{22}a_{13} - a_{32}a_{23}a_{11} - a_{33}a_{21}a_{12} $$其中，$a_{11}$、$a_{12}$、$a_{13}$、$a_{21}$、$a_{22}$、$a_{23}$、$a_{31}$、$a_{32}$、$a_{33}$ 分别表示矩阵的九个元素。
计算三阶行列式时，可以采用如下方法：（1）按照第一行、第一列、第二列的顺序计算，得到三个二阶行列式；（2）按照上述公式计算三个二阶行列式对应的乘积和。
3. 拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是一种通用的行列式计算方法。
它的基本思想是，将行列式按照一行或一列进行展开，转化为若干个小的行列式之和。
具体步骤如下：（1）选择一行或一列作为基准行（列）；（2）对于基准行（列）中的每个元素，求它所在子矩阵的行列式，乘以对应的余子式（代数余子式）；（3）将所有乘积相加。
行列式的几种计算方法7篇
行列式的几种计算方法7篇第1篇示例：行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个方阵中的一个数值，可以帮助我们判断矩阵的性质，计算行列式的值是线性代数中的基础技能之一。
下面我们将介绍几种行列式的计算方法以及其应用。
一、直接展开法计算行列式最基本的方法就是直接展开法。
以3阶行列式为例，一个3阶方阵的行列式可以表示为：\[\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix}\]通过公式展开，可以得到：\[\begin{aligned}\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix} & = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh \\& = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)\end{aligned}\]这样就可以直接计算出行列式的值。
但是这种方法比较繁琐，不适用于高阶行列式的计算。
二、拉普拉斯展开法\[\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\end{vmatrix}\]以第一行为例，可以按照以下公式展开：\[ \text{det}(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + \cdots +a_{1n}C_{1n} \]C_{ij}表示元素a_{ij}的代数余子式，通过递归计算代数余子式，最终可以得到行列式的值。
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法
行列式是线性代数中非常重要的一个概念，它可以用于求解线性方程组、求解矩阵的逆等多个应用。
而行列式的计算方法也有很多种，接下来我们将分别介绍一些常用的行列式计算方法。
1. 代数余子式法：
代数余子式法是一种常用的行列式计算方法，它的基本思想是通过对矩阵中的元素进行操作来求解行列式的值。
具体步骤如下：
（1）选择矩阵中的一行或一列，以此为基准，生成n个n-1阶矩阵。
（2）计算每个n-1阶矩阵的行列式值，即代数余子式。
（3）将每个代数余子式与对应元素乘积后，加减交替求和。
3. 递推法：
递推法是通过将行列式的计算问题逐步转化为较小行列式的计算问题来求解行列式的方法。
具体步骤如下：
（1）从矩阵的最后一行开始，计算该行的每个元素与其代数余子式的乘积，并乘以相应的正负号。
（2）将每个乘积累加得到最后一行的元素的求和值。
（3）通过将最后一行的求和值代入到后一行的计算中，逐步递归计算行列式的值。
（4）最后得到行列式的值。
除了以上介绍的几种方法外，还有基于矩阵的性质和变换的方法、基于行列式的性质和变换的方法等。
通过灵活运用这些方法，我们可以有效地计算行列式的值，解决实际问题。
行列式的计算方法及其应用
行列式的计算方法及其应用行列式是线性代数中一种非常重要的概念，出现在许多领域中，如数学、物理、工程等。
它是一个方阵中各个元素的代数和，具有非常重要的几何和代数特征，因此也是线性代数学习的基础之一。
一、行列式的定义设有n阶行列式，写成如下形式：$$\Delta_n = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\\vdots &\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &\cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$其中，$a_{ij}$代表矩阵中第i行第j列的元素。
行列式的定义是这样的：设$A$为$n$阶方阵，$a_{i,j}$是$A$的元素，那么行列式$\Delta(A)$定义为：$$\Delta(A) =\sum_{\sigma}{(-1)^\sigma\cdot{a_{1,{\sigma(1)}}}\cdot{a_{2,{\sigma(2)}}}\cdots{a_ {n,{\sigma(n)}}}}$$其中，$\sum_{\sigma}$代表对所有$n$个元素的所有排列求和，$\sigma$是一个排列，并且$\sigma(k)$表示k在$\sigma$中的位置。
二、行列式的计算方法计算行列式有三种方法：直接定义法、代数余子式法和高斯消元法。
直接定义法随着矩阵维度的增加，计算量呈指数级增长，因此较少使用。
代数余子式法和高斯消元法可以将计算行列式的时间复杂度降低到$O(n^3)$，被广泛应用于实际问题中。
1. 直接定义法直接定义法是按照定义计算行列式的方法。
行列式四则运算
行列式四则运算行列式四则运算是指行列式之间的加法、减法、乘法和除法运算。
行列式是线性代数中的一个重要概念，用于描述线性方程组的性质和解的情况。
在实际应用中，行列式的四则运算常常用于求解方程组、计算矩阵的逆以及求解线性方程组的行列式条件等。
一、行列式的加法行列式的加法是指两个行列式相加的运算。
设A和B分别是两个n阶矩阵，记为|A|和|B|，则它们的和为|A+B|。
行列式的加法运算有以下性质：1. 加法满足交换律和结合律，即A+B=B+A和(A+B)+C=A+(B+C)。
2. 行列式的和的行列数等于原来行列数的阶数。
二、行列式的减法行列式的减法是指两个行列式相减的运算。
设A和B分别是两个n阶矩阵，记为|A|和|B|，则它们的差为|A-B|。
行列式的减法运算有以下性质：1. 减法不满足交换律，即A-B≠B-A。
2. 行列式的差的行列数等于原来行列数的阶数。
三、行列式的乘法行列式的乘法是指两个行列式相乘的运算。
设A和B分别是两个n阶矩阵，记为|A|和|B|，则它们的乘积为|AB|。
行列式的乘法运算有以下性质：1. 乘法满足结合律，即(A*B)*C=A*(B*C)。
2. 行列式的乘积的行列数等于原来行列数的阶数。
四、行列式的除法行列式的除法是指两个行列式相除的运算。
设A和B分别是两个n阶矩阵，记为|A|和|B|，则它们的商为|A/B|。
行列式的除法运算可以转化为乘法运算：|A/B| = |A|/|B|以上是行列式的四则运算的基本概念和性质。
行列式的四则运算在实际应用中有广泛的应用，如矩阵的逆的计算、线性方程组的求解、矩阵的正交性判断等。
行列式的四则运算可以通过行列式的定义和行列式的性质进行推导和计算，理解行列式的四则运算对于理解线性代数的基本概念和解决实际问题具有重要意义。
最后，需要注意的是，在实际计算行列式的四则运算时，可以使用行列式的定义直接计算，也可以利用行列式的性质和运算规则进行化简和简化，以提高计算的效率和准确性。
行列式计算方法
行列式计算方法行列式的计算是线性代数中的重要内容，有以下几种常用的方法：1. 代数余子式法：给定一个n阶矩阵A，取A的第i行第j列元素a_ij为基准，计算它的代数余子式A_ij的值。
代数余子式的定义是，在A中划去第i行和第j列后，剩余元素构成的(n-1)阶子矩阵的行列式。
然后，根据代数余子式的符号规律，求得A_ij*(-1)^(i+j)，再将所有的代数余子式乘以对应位置的元素，再求和即可得到行列式的值。
2. 拉普拉斯展开法：选择A的任意一行或一列，例如第i行，根据拉普拉斯展开定理，将行列式的计算转化为n个(n-1)阶行列式的计算，然后依次递归地计算(n-1)阶行列式，最后累加得到行列式的值。
3. 对角线法则：对于一个n×n的矩阵A，按照对角线上的元素（从左上角到右下角）出现的顺序，将对应的元素乘积相加，再减去按照对角线下方的元素（从左上角到右下角）出现的顺序，将对应的元素乘积相加。
这个过程可以用一个式子来表示：det(A) = a_11 * a_22 * ... * a_nn - a_21 * a_32 * ... * a_n1。
4. 公式法：对于一个3阶矩阵A，可以利用公式来计算行列式的值。
行列式的计算可以表示为：det(A) = a_11 * a_22 * a_33+ a_12 * a_23 * a_31 + a_13 * a_21 * a_32 - a_31 * a_22 * a_13 - a_32 * a_23 * a_11 - a_33 * a_21 * a_12。
对于4阶及以上的矩阵，复杂度较高，通常情况下不会直接使用公式法计算，而是选择其他方法。
以上是几种常用的求行列式的方法，不同的方法适用于不同的情况，在实际计算中可以根据需要选择合适的方法来求解。
线性代数行列式的计算与性质
线性代数行列式的计算与性质行列式在数学中，是一个函数，其定义域为的矩阵，取值为一个标量，写作或。
行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。
或者说，在 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。
无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。
行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。
十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。
十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。
十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。
矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。
行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。
矩阵 A 的行列式有时也记作 |A|。
绝对值和矩阵范数也使用这个记法，有可能和行列式的记法混淆。
不过矩阵范数通常以双垂直线来表示（如：），且可以使用下标。
此外，矩阵的绝对值是没有定义的。
因此，行列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子式）。
例如，一个矩阵：A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛i h g f e d c b a ， 行列式也写作，或明确的写作： A=i h g f e dc b a，即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。
行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。
一、行列式的定义与计算一个n 阶方块矩阵 A 的行列式可直观地定义如下： 其中， 是集合{ 1, 2, ..., n }上置换的全体，即集合{ 1, 2, ..., n }到自身上的一一映射（双射）的全体；表示对 全部元素的求和，即对于每个 ，在加法算式中出现一次；对于每一对满足 的数对 ， 是矩阵 A 的第 i 行第 j 列的元素。
线性代数专题：行列式计算
β + α
β β = 1+ + + α α
β α =
n +1
β + α ⋅
n
−1 =
1
β −1 α
αn
β n +1 − α n +1 β −α
∴ Dn =
β n +1 − α n +1 ， 当 β≠α β −α
Dn
（3）
当 β = α，从
= ( x + y ) Dk −1 − xy 0 0 = ( x + y ) Dk −1 − xyDk − 2 Dk −1 = x k −1 + x k − 2 y + D k − 2 = x k − 2 + x k −3 y +
= ( x + y )( x k −1 + x k − 2 y + − xy ( x k − 2 + x k −3 y + = x k + x k −1 y +
a x −a
a a x
a a a a x
Dn = − a − a x … −a −a −a
a = −a −a x a … x −a −a −a
a + −a … a x −a ②
−a −a
= − a( x − a) n −1 + ( x + a) Dn −1
①×（x + a） ②×（x – a）
( x + a ) Dn = a ( x + a ) n + ( x 2 − a 2 ) Dn −1 ( x − a ) Dn = − a ( x − a ) n + ( x 2 − a 2 ) Dn −1
行列式的概念与计算
行列式的概念与计算行列式是线性代数中一种重要的概念。
它可以用来描述线性变换对于向量空间的影响，也是求解线性方程组的基本方法之一。
本文将介绍行列式的概念与计算方法。
一、行列式的概念行列式是由元素构成的一个二阶矩阵，表示为|A|。
其中，A是一个n阶方阵，n≥2。
行列式的值是一个实数，用det(A)表示。
行列式的计算需要用到某种特定的排列求和方式，这种排列被称为置换。
设有n个元素，它们可以组成n!种排列。
用S(n)表示这些排列的全体。
如果有一个排列σ={(1,i1),(2,i2),…,(n,in)}，其中1≤i1,i2,…,in≤n且不同，则称σ是n个元素的一个置换。
每个置换都有一个符号，用sgn(σ)表示。
对于一个n阶方阵A，我们可以将它的行列式表示为：|A|=∑σ∈S(n)sgn(σ)a1σ(1)a2σ(2)…anσ(n)其中，a1σ(1)表示A的第1行第σ(1)列的元素；a2σ(2)表示A 的第2行第σ(2)列的元素，以此类推。
由于每个排列σ都会贡献一个符号sgn(σ)，因此行列式的值是对各种排列的元素积求和的结果。
二、行列式的计算方法2.1 二阶行列式二阶行列式是最简单的情况，由一个2×2矩阵构成。
设A=[aij]是一个2×2矩阵，则它的行列式表示为：|A|=a11a22−a12a21这个公式可以通过我们之前介绍的方法直接计算得出。
2.2 三阶行列式三阶行列式是由一个3×3矩阵构成的行列式。
设A=[aij]是一个3×3矩阵，则它的行列式表示为：|A|=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a31a22a13−a32a23a11−a3 3a21a12这个公式可以通过三阶行列式的定义直接计算得出，也可以用高斯消元法或其他适当的方法计算得出。
2.3 高阶行列式对于高阶行列式，计算就要更加复杂。
一般情况下，我们会采用行列式的性质来简化计算。
行列式的计算法则
行列式的计算法则行列式是线性代数中的重要概念，它在矩阵理论、线性方程组求解、向量空间等领域都有重要应用。
行列式的计算法则是指在给定一个n阶方阵时，如何通过一定的规则来计算其行列式的值。
本文将介绍行列式的计算法则，包括展开定理、性质与性质的应用、克拉默法则等内容。
一、展开定理对于一个n阶方阵A，其行列式的计算可以通过展开定理来进行。
展开定理的基本思想是将n阶方阵的行列式表示为n个n-1阶子式的线性组合。
具体来说，对于一个n阶方阵A，其行列式的计算可以通过以下公式来表示：det(A) = a11A11 + a12A12 + ... + a1nA1n其中，a11, a12, ..., a1n分别为矩阵A的第一行元素，A11, A12, ..., A1n分别为a11, a12, ..., a1n对应的代数余子式。
代数余子式的计算可以通过递归的方式来进行，即将n阶方阵的行列式表示为n个n-1阶子式的线性组合，直至计算到1阶方阵的行列式为止。
二、性质与性质的应用在行列式的计算中，有一些性质可以帮助简化计算过程。
这些性质包括行列式的转置、行列式的倍乘、行列式的相加等。
具体来说，对于一个n阶方阵A和一个标量k，有以下性质：1. 行列式的转置：det(A^T) = det(A)2. 行列式的倍乘：det(kA) = k^n det(A)3. 行列式的相加：det(A + B) ≠ det(A) + det(B)这些性质可以在实际计算中帮助简化行列式的计算过程，特别是在展开定理的应用中。
通过这些性质，我们可以将一个复杂的n阶方阵的行列式计算简化为一系列简单的步骤，从而提高计算效率。
三、克拉默法则在线性代数中，克拉默法则是一种利用行列式来求解线性方程组的方法。
具体来说，对于一个n元线性方程组Ax=b，其中A为一个n阶方阵，b为一个n维列向量，x为一个n维未知向量，如果A的行列式不为0，那么方程组有唯一解，并且可以通过以下公式来表示：xi = det(Ai) / det(A)其中，Ai是将A的第i列替换为b得到的新矩阵，det(Ai)为新矩阵的行列式。
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0 0
0 0
0 1 0 2 0 0
D
0 1997 0 0 0 1998 0 0 0 0 0 0 0 0 1
a1 0 4. 四阶行列式 0 b4
0 a2 b3 0
0 b2 a3 0
b1 0 0 a4
5. 设四阶行列式D4
a b c c b d d b c a b d
1的前面比1大的数有一个 2k ), 故逆序数为 ; ( 1
( 2k 1)的前面比( 2k 1)大的数有一个( 2k ), 故 逆序数为 ; 1
2的前面比2大的数有两个( 2k ,2k 1), 故逆序 数为2; 2k 2的前面比2k 2大的数有两个 2k ,2k (
1), 故逆序数为2; k 1的前面比k 1大的数有k 1个( 2k ,2k ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1, , k 2), 故逆序数为k 1; k 1的前面比k 1大的数有k 1个( 2k ,2k 1, , k 2), 故逆序数为k 1; k的前面比k大的数有k个( 2k ,2k 1,, k 1), 故逆序数为k;
0 a12 a 21 a 22 D5 a 31 a 32 0 a 42 0 a 52 a13 a 23 a 33 a 43 a 53 0 0 a 24 a 25 a 34 a 35 0 0 0 0
例２
解 设 D 5中第1,2,3,4,5行的元素分别为a 1 p1 , a 2 p2 ,
a 3 p3 , a 4 p4 , a 5 p5 , 那么，由D 5中第1,2,3,4,5行可能 的非零元素分别得到
i 1 n i 1 n i 1 n
n
a1 a 2 a n x a2 an x an x
Dn1 x ai a2
i 1
x ai a2 a3
提取第一列的公因子，得
a1 a 2 a n x a2 an n D n 1 ( x a i ) 1 a 2 x a n . i 1 1 1 1 a2 a3 x
x1 x 2 x n a( x1 x 2 x n1 x1 x 3 x n x 2 x 3 x n ).
当 x1 x 2 x n 0时，还可改写成
D n x 1 x 2 x n [1 a(
1 x1
1 x2
1 xn
)].
评注 本题是利用行列式的性 质把所给的n阶 行列式 D n 用同样形式的 n 1阶行列式表示出来 , 建立了 D n 与n 1阶行列式 D n 1 之间的递推关系有 . 时，还可以把给定的 阶行列式 D n 用同样形式的 n 比 n 1阶更低阶的行列式表示 ，建立比 n 1阶行 列式更低阶行列式之间 的递推关系.
D1 40, D3 20.
由克莱姆法则，得 D D D a 1 2, b 2 3, c 3 1. D D D 于是，所求的多项式为
f ( x ) 2 x 2 3 x 1.
一、填空题
1. 若Dn aij a , 则D aij
2. 行列式
a a x n D n 1 , a a
从而 Dn x1 x 2 x n1 a x n Dn1 .
由此递推，得
D n 1 x 1 x 2 x n 2 a x n 1 D n 2 , 于是 D n x 1 x 2 x n １a x 1 x 2 x n 2 a x n x n x n 1 D n 2 .
三、克拉默法则
当线性方程组方程个数与未知数个数相等、 且系数行列式不等于零时，可用克莱姆法则．为 了避免在计算中出现分数，可对有的方程乘以适 当整数，把原方程组变成系数及常数项都是整数 的线性方程组后再求解．
例10
求一个二次多项式 f ( x ), 使 f (1) 0, f ( 2) 3, f ( 3) 28.
典
型
例
题
一、计算排列的逆序数
二、计算（证明）行列式
三、克拉默法则
一、计算排列的逆序数
例１ 求排列 2k 12k 122k 2 32k 3
k 1k 的逆序数, 并讨论奇偶性.
解 分别算出排列中每个元素前面比它大的数码之 和，即算出排列中每个元素的逆序数．
2k排在首位, 故逆序数为 ; 0
所以,当n 1, n 2时, 结论成立. 假设对阶数小于 的行列式结论成立 下证对 n ,
于阶数等于n的行列式也成立 现将 D n 按最后一行 . 展开, 得
Dn 2 cos Dn1 Dn 2 .
由归纳假设,
D n 1 cos(n 1) , D cos(n 2) ,
次数自左至右按递升次 序排列，但不是从 变到 0 n 1, 而是由1递升至n.若提取各行的公因子， 则方 幂次数便从0增至n 1，于是得到 1 1 1
1 2 n 1 3 . n
n 1 n 1
1 Dn n! 1 1
2 3 n
2 2 3 n
2
2
上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由 范德蒙行列式知
2 于零. n n还多，则此行列式必等
２
利用范德蒙行列式计算
利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德 蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列 式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。
例3
计算
1
1
1
2 n 2 2 2 3 32 3n . Dn
n
n
2
nn
解 D n 中各行元素分别是一个 数的不同方幂, 方幂
一般来讲,当行列式已告诉其结果而要我们 , 证明是与自然数有关的 结论时, 可考虑用数学归 纳法来证明如果未告诉结果 也可先猜想其结果 . , , 然后用数学归纳法证明 其猜想结果成立 .
小结 计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可 以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方 法综合应用．在计算时，首先要仔细考察行列式 在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变 换后，再考察它是否能用常用的几种方法．
将第1列的( a 1)倍加到第2列，将第1列的 ( a２)倍加到第3列， , 将第1列的( a n )倍加到最 后一列，得
1 0 0 1 x a1 0 n D n 1 ( x a i ) 1 a 2 a1 x a 2 i 1 1 a 2 a1 a 3 a 2
d a a c
,
则A14 A24 A34 A44
6. 在五阶行列式中 12a53a41a24a35的符号为 a
2x 1 1 x 中x 3的系数是 x 7. 在函数f x x x 1 2
8. 若a, b为实数, 则当a
a b 0
4
用递推法计算 计算
例８
a x1 a a a x2 Dn a a a
a a . xn
解 依第n列把 D n 拆成两个行列式之和
a x1 Dn a a a a x1 a a a
a a x2 a a a a x2 a a
a a a x n 1 a a a a x n 1 a
a a a a 0 0 . 0 xn
右端的第一个行列式 将第n列的( 1)倍分别 , 加到第1,2, , n 1列, 右端的第二个行列式按 n 第 列展开, 得 x1 0 0 0 x2 0 Dn 0 0 x n 1 0 0 0
于是排列的逆序数为
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
21 k 1k 1
2
k
k2
当 k 为偶数时，排列为偶排列，
当 k 为奇数时，排列为奇排列．
二、计算（证明）行列式
１ 用定义计算（证明） 用行列式定义计算
如此继续下去，可得
D n x 1 x 2 x n １a x 1 x 2 x n 2 a x n x 1 x 2 a x 4 x n x n x n 1 x 3 D 2
x1 x 2 x n１a x1 x 2 x n 2 a x n x1 x 2 a x 4 x n x n x n 1 x 3 ( a x 1 a x 2 x 1 x 2 )
n 2
Dn 2 cos cos(n 1) cos(n 2) [cos n cos(n 2) ] cos(n 2) cos n ;
所以对一切自然数 结论成立. n
评注 为了将 D n 展开成能用其同型的D n 1 ,
D n 2 表示, 本例必须按第n行(或第n列)展开, 不能 按第1行(或第1列)展开, 否则所得的低阶行列式 不 是与 D n同型的行列式.
p1 2,3; p3 1,2,3,4,5; p 1,2,3,4,5; 2 p 2,3; 4 p5 2,3.
因为 p1 , p 2 , p 3 , p 4 , p 5 在上述可能取的代码中 , 一个5元排列也不能组成， 故 D 5 0.
评注 本例是从一般项入手，将行标按标准 顺序排列，讨论列标的所有可能取到的值，并注 意每一项的符号，这是用定义计算行列式的一般 方法． 注意 如果一个n阶行列式中等于零的元 素比
解
设所求的二次多项式为
f ( x ) a x2 bx c,
由题意得
f (1) a b c 0, f ( 2 ) 4a 2b c 3 , f ( 3) 9a 3b c 28,
这是一个关于三个未知 a , b, c的线性方程组. 数
D 20 0, D2 60,