线性代数第一章行列式

ra ta 1 ， rb tb ， r t 1 . 当 a b 时， ra ta ， rb tb 1 ， r t 1 . 当 a b 时，
因此相邻对换改变排列的奇偶性.
既然相邻对换改变排列的奇偶性，那么
a1 al a b1 bm b c1 cn
引进记号 主对角线 副对角线
a11 a21 a31
a11 a21 a31 a12 a22 a32
a12 a22 a32
a13 a23 a33
原则：横行竖列
a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13 a21a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23 a32
显然
Pn n (n 1) (n 2)3 2 1 n!
即n 个不同的元素一共有n! 种不同的排法.
3个不同的元素一共有3! =6种不同的排法
123，132，213，231，312，321 所有6种不同的排法中，只有一种排法 （123）中的数字是按从小到大的自然 顺序排列的，而其他排列中都有大的 数排在小的数之前.
答：3和1，2和1也构成逆序.
25
定义 排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.
排列 i1i2 in的逆序数通常记为 t (i1i2 in ) .
奇排列：逆序数为奇数的排列. 偶排列：逆序数为偶数的排列. 思考题：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？
答：符合标准次序的排列（例如：123）的逆序数
练习1：
利用对角线法则计算下列三阶行列式：
x y x y
3
y x y x
3
x y x y
2( x y )
§2
全排列及其对换
主要内容： 一、排列及其逆序数 二、对换的定义 三、对换与排列奇偶性的关系
一、排列及其逆序数
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？ 解
例1 试判断 a14a23a31a42a56a65 和 a32a43a14a51a25a66
是否都是六阶行列式中的项. 解 a14a23a31a42a56a65下标的逆序数为
t 431265 0 1 2 2 0 1 6
所以a14a23a31a42a56a65 是六阶行列式中的项.
二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
其求解公式为
我们引进新的符号来表示“四个 数分成两对相乘再相减”.
数表
a11 a21
a12 a22
a11 a12 记号 a21 a22
b1a22 a12b2 x1 a a a a 11 22 12 21 x a11b2 b1a21 2 a11a22 a12a21
a1 al a b1 bm b c1 cn a1 al b b1 bm a c1 cn
备注 1.相邻对换是对换的特殊情形. 2.一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现.
3.如果连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了.
a1 al a b1 bmb c1 cn
m 次相邻对换 m+1次相邻对换 m 次相邻对换 m+1次相邻对换
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
1 2 -4 例2 计算行列式 D -2 2 1 -3 4 -2
解
按对角线法则，有
D 1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4
1 1 4 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 4 ) 2 ( 3 )
线性代数（第六版）
同济大学数学系.线性代数[M]. 第六版.北京：高等教育出版社， 2014.
课程简介：
“线性代数”是一门本科阶段必修的主干课程，课程内 容主要包括矩阵和向量的基本理论、基本方法及它们在解方 程组中的应用。 通过本课程的学习，一方面使学生比较系统的理解线性 代数的基本概念和基本理论，掌握基本方法，为今后的专业 学习打下良好的数学基础。另一方面培养学生抽象思维能力 、空间想象能力、综合运用所学的知识来分析和解决实际问 题的能力。
二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
求解公式为 请观察，此公式有何特点？ 分母相同，由方程组的四个系数确定. 分子、分母都是四个数分成两对相乘再 相减而得.
b1a22 a12b2 x1 a a a a 11 22 12 21 x a11b2 b1a21 2 a11a22 a12a21
二阶行列式的计算 ——对角线法则
主对角线 副对角线
a11 a12 a11a22 a12a21 a21 a22
即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
a11 x1 a12 x2 b1 二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2
若令
a11 a12 D a21 a22 b1 D1 b2 a12 a22
a1 al a b b1 bmc1 cn a1 al b b1 bma c1 cn a1 al b a b1 bmc1 cn a1 al a b1 bmb c1 cn
三、对换与排列奇偶性的关系
定理1 证明 对换改变排列的奇偶性. 先考虑相邻对换的情形．
t ta1 tal ta tb tb1 tbm
二阶行列式的对角线法则 并不适用！
称为三阶行列式.
三阶行列式的计算 ——对角线法则
a11 D a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
实线上的三个元素的乘积冠正号， 虚线上的三个元素的乘积冠负号.
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31a12a21a33 a11a23a32
等于零，因而是偶排列.
计算排列的逆序数的方法
设 p1 p2 pn是 1, 2, …, n 这n 个自然数的任一排列，
并规定由小到大为标准次序. 先看有多少个比 p1 大的数排在 p1 前面，记为 t1 ； 再看有多少个比 p2 大的数排在 p2 前面，记为 t 2 ; …… 最后看有多少个比 pn大的数排在 pn 前面，记为 t n ; 则此排列的逆序数为 t t1 t 2 t n
解
因为 D
3 2 2 1
3 ( 4 ) 7 0
1 1 3 12 D2 3 24 21 2 1
D1 14 2, 所以 x1 D 7
D1
12 2
12 ( 2) 14
D2 21 x2 3 D 7
二、三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
(方程组的系数行列式)
a11 b1 D2 a21 b2
则上述二元线性方程组的解可表示为
b1a22 a12b2 D1 x1 a11a22 a12a21 D a11b2 b1a21 D2 x2 a11a22 a12a21 D
例1 求解二元线性方程组 3 x1 2 x2 12 2 x1 x2 1
因此大部分的排列都不是“顺序”， 而是“逆序”.
对于n 个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序.
n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序. 定义 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时， 就称这两个元素组成一个逆序. 例如 在排列32514中， 逆序 3 2 5 1 4 逆序 逆序
思考题：还能找到其它逆序吗？
4 6 32 4 8 24 14.
例3
解
求解方程 1 1 1 2 3 x 0. 4 9 x2 方程左端
D 3 x 2 4 x 18 9 x 2 x 2 12
x 2 5 x 6,
由 x2 5 x 6 0 得
x 2 或 x 3.
练习：计算下列排列的逆序数，并讨论其奇偶性
(2k )1(2k 1)2(2k 2)3(2k 3)(k 1)(k 1)k.
二、对换的定义
定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素 不动，这种作出新排列的手续叫做对换． 将相邻两个元素对换，叫做相邻对换．
例如
a1 al a b b1 bm a1 al b a b1 bm
2m+Байду номын сангаас次相邻对换
a1 al b b1 bm a c1 cn
因此，一个排列中的任意两个元素对换，排列的奇偶性改变. 推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列变成标准排列的对换次数为偶数.
证明 由定理1知，对换的次数就是排列奇偶性的变化次 数，而标准排列是偶排列(逆序数为零)，因此可知推论 成立.
第一章 行列式

内容提要
§1 §2 §3 §4 §5 二阶与三阶行列式 行列式的概念. 全排列和对换 n 阶行列式的定义 行列式的性质 行列式按行（列）展开 行列式的计算.
在以往的学习中，我们接触过二 元、三元等简单的线性方程组.
但是，从许多实践或理论问题里 导出的线性方程组常常含有相当 多的未知量，并且未知量的个数 与方程的个数也不一定相等.
a1 al a b b1 bm a1 al b a b1 bm
r ta1 tal rb ra tb1 tbm
t ta1 tal ta tb tb1 tbm
a1 al a b b1 bm a1 al b a b1 bm
例1：
解：
求排列 32514 的逆序数.
t (32514) 0 1 0 3 1 5
练习1： 求排列 453162 的逆序数. 解：
t9
思考1： 设n阶排列a1 a2 … an-1 an的逆序数为k，求n阶排列 an an-1 … a2 a1的逆序数？ 解：
n( n 1) t k 2
(a11a22 a12a21 ) x1 b1a22 a12b2 (a11a22 a12a21 ) x2 a11b2 b1a21
当 a11a22 a12a21 0 时，该方程组有唯一解
b1a22 a12b2 x1 a11a22 a12a21
a11b2 b1a21 x2 a11a22 a12a21
我们先讨论未知量的个数与方程 的个数相等的特殊情形.
在讨论这一类线性方程组时，我 们引入行列式这个计算工具.
§1
二阶与三阶行列式
我们从最简单的二元线性方程组出发，探 求其求解公式，并设法化简此公式.
一、二元线性方程组与二阶行列式
二元线性方程组 由消元法，得
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
原则：横行竖列
表达式 a11a22 a12a21 称为由该 数表所确定的二阶行列式，即
a11 a12 D a11a22 a12a21 a21 a22
aij (i 1, 2; j 1, 2) 称为元素. 其中，
i 为行标，表明元素位于第i 行； j 为列标，表明元素位于第j 列.
r ta1 tal rb ra tb1 tbm
注意到除
a , b 外，其它元素的逆序数不改变.
t ta1 tal ta tb tb1 tbm
a1 al a b b1 bm a1 al b a b1 bm
r ta1 tal rb ra tb1 tbm
百位
1
1 1 2 1 2 3
2
2 1 3
3
3
3种放法 2种放法 1种放法
十位
个位
共有 3 2 1 6
种放法.
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的 排法？
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素 的全排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn 表示.