线性代数第一章行列式

百位
1
1 1 2 1 2 3
2
2 1 3
3
3
3种放法 2种放法 1种放法
十位
个位
共有 3 2 1 6
种放法.
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的 排法？
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素 的全排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn 表示.
我们先讨论未知量的个数与方程 的个数相等的特殊情形.
在讨论这一类线性方程组时，我 们引入行列式这个计算工具.
§1
二阶与三阶行列式
我们从最简单的二元线性方程组出发，探 求其求解公式，并设法化简此公式.
一、二元线性方程组与二阶行列式
二元Байду номын сангаас性方程组 由消元法，得
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
线性代数（第六版）
同济大学数学系.线性代数[M]. 第六版.北京：高等教育出版社， 2014.
课程简介：
“线性代数”是一门本科阶段必修的主干课程，课程内 容主要包括矩阵和向量的基本理论、基本方法及它们在解方 程组中的应用。 通过本课程的学习，一方面使学生比较系统的理解线性 代数的基本概念和基本理论，掌握基本方法，为今后的专业 学习打下良好的数学基础。另一方面培养学生抽象思维能力 、空间想象能力、综合运用所学的知识来分析和解决实际问 题的能力。
a1 al a b b1 bmc1 cn a1 al b b1 bma c1 cn a1 al b a b1 bmc1 cn a1 al a b1 bmb c1 cn
三、对换与排列奇偶性的关系
定理1 证明 对换改变排列的奇偶性. 先考虑相邻对换的情形．
t ta1 tal ta tb tb1 tbm
(方程组的系数行列式)
a11 b1 D2 a21 b2
则上述二元线性方程组的解可表示为
b1a22 a12b2 D1 x1 a11a22 a12a21 D a11b2 b1a21 D2 x2 a11a22 a12a21 D
例1 求解二元线性方程组 3 x1 2 x2 12 2 x1 x2 1
二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
求解公式为 请观察，此公式有何特点？ 分母相同，由方程组的四个系数确定. 分子、分母都是四个数分成两对相乘再 相减而得.
b1a22 a12b2 x1 a a a a 11 22 12 21 x a11b2 b1a21 2 a11a22 a12a21
2m+1次相邻对换
a1 al b b1 bm a c1 cn
因此，一个排列中的任意两个元素对换，排列的奇偶性改变. 推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列变成标准排列的对换次数为偶数.
证明 由定理1知，对换的次数就是排列奇偶性的变化次 数，而标准排列是偶排列(逆序数为零)，因此可知推论 成立.
第一章 行列式

内容提要
§1 §2 §3 §4 §5 二阶与三阶行列式 行列式的概念. 全排列和对换 n 阶行列式的定义 行列式的性质 行列式按行（列）展开 行列式的计算.
在以往的学习中，我们接触过二 元、三元等简单的线性方程组.
但是，从许多实践或理论问题里 导出的线性方程组常常含有相当 多的未知量，并且未知量的个数 与方程的个数也不一定相等.
练习：计算下列排列的逆序数，并讨论其奇偶性
(2k )1(2k 1)2(2k 2)3(2k 3)(k 1)(k 1)k.
二、对换的定义
定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素 不动，这种作出新排列的手续叫做对换． 将相邻两个元素对换，叫做相邻对换．
例如
a1 al a b b1 bm a1 al b a b1 bm
例1 试判断 a14a23a31a42a56a65 和 a32a43a14a51a25a66
是否都是六阶行列式中的项. 解 a14a23a31a42a56a65下标的逆序数为
t 431265 0 1 2 2 0 1 6
所以a14a23a31a42a56a65 是六阶行列式中的项.
因此大部分的排列都不是“顺序”， 而是“逆序”.
对于n 个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序.
n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序. 定义 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时， 就称这两个元素组成一个逆序. 例如 在排列32514中， 逆序 3 2 5 1 4 逆序 逆序
思考题：还能找到其它逆序吗？
二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
其求解公式为
我们引进新的符号来表示“四个 数分成两对相乘再相减”.
数表
a11 a21
a12 a22
a11 a12 记号 a21 a22
b1a22 a12b2 x1 a a a a 11 22 12 21 x a11b2 b1a21 2 a11a22 a12a21
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
1 2 -4 例2 计算行列式 D -2 2 1 -3 4 -2
解
按对角线法则，有
D 1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4
1 1 4 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 4 ) 2 ( 3 )
a1 al a b1 bm b c1 cn a1 al b b1 bm a c1 cn
备注 1.相邻对换是对换的特殊情形. 2.一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现.
3.如果连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了.
a1 al a b1 bmb c1 cn
m 次相邻对换 m+1次相邻对换 m 次相邻对换 m+1次相邻对换
练习1：
利用对角线法则计算下列三阶行列式：
x y x y
3
y x y x
3
x y x y
2( x y )
§2
全排列及其对换
主要内容： 一、排列及其逆序数 二、对换的定义 三、对换与排列奇偶性的关系
一、排列及其逆序数
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？ 解
等于零，因而是偶排列.
计算排列的逆序数的方法
设 p1 p2 pn是 1, 2, …, n 这n 个自然数的任一排列，
并规定由小到大为标准次序. 先看有多少个比 p1 大的数排在 p1 前面，记为 t1 ； 再看有多少个比 p2 大的数排在 p2 前面，记为 t 2 ; …… 最后看有多少个比 pn大的数排在 pn 前面，记为 t n ; 则此排列的逆序数为 t t1 t 2 t n
答：3和1，2和1也构成逆序.
25
定义 排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.
排列 i1i2 in的逆序数通常记为 t (i1i2 in ) .
奇排列：逆序数为奇数的排列. 偶排列：逆序数为偶数的排列. 思考题：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？
答：符合标准次序的排列（例如：123）的逆序数
r ta1 tal rb ra tb1 tbm
注意到除
a , b 外，其它元素的逆序数不改变.
t ta1 tal ta tb tb1 tbm
a1 al a b b1 bm a1 al b a b1 bm
r ta1 tal rb ra tb1 tbm
原则：横行竖列
表达式 a11a22 a12a21 称为由该 数表所确定的二阶行列式，即
a11 a12 D a11a22 a12a21 a21 a22
aij (i 1, 2; j 1, 2) 称为元素. 其中，
i 为行标，表明元素位于第i 行； j 为列标，表明元素位于第j 列.
二阶行列式的计算 ——对角线法则
主对角线 副对角线
a11 a12 a11a22 a12a21 a21 a22
即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
a11 x1 a12 x2 b1 二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2
若令
a11 a12 D a21 a22 b1 D1 b2 a12 a22
二阶行列式的对角线法则 并不适用！
称为三阶行列式.
三阶行列式的计算 ——对角线法则
a11 D a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
实线上的三个元素的乘积冠正号， 虚线上的三个元素的乘积冠负号.
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31a12a21a33 a11a23a32
ra ta 1 ， rb tb ， r t 1 . 当 a b 时， ra ta ， rb tb 1 ， r t 1 . 当 a b 时，
因此相邻对换改变排列的奇偶性.
既然相邻对换改变排列的奇偶性，那么
a1 al a b1 bm b c1 cn
a1 al a b b1 bm a1 al b a b1 bm
r ta1 tal rb ra tb1 tbm
t ta1 tal ta tb tb1 tbm
a1 al a b b1 bm a1 al b a b1 bm
引进记号 主对角线 副对角线
a11 a21 a31
a11 a21 a31 a12 a22 a32
a12 a22 a32