材料力学附录

n
Sz Ai yci i 1
n
Ai yci
平面物体形心： yc i1 A
n
Ai zci
zc i1 A
例1：求图示T字形截面的形心位置。
z
100
C1
20
C
C2
140
O
20
y
z
100
C1
20
C
C2
140
zC
O
20
y
二、截面的惯性矩和惯性积
z
dA A y
z
O
y
惯性半径：iy
Iy , A
O 20
140 y
20
100 O Ⅰ C1
C z1
C2 y
Ⅱ
y1
20
z 20
yc
100
20 10 100 20
140 140
20 20
90
yC 56.67mm
140
I z1
1 201403 12
20140 90 56.672
1 100 203 12
20 100 56.67 102
I y A (zc b)2dA
y
yc
A zC2 dA 2b A zCdA
b2dA
A
I yc b2 A
O z
a
C b
zC
y
yc
zc
I y I yc b2 A I z I zc a2 A I yz I yc zc abA
例4：求图示T字形截面的形心主惯性矩。
100 z
iz
Iy , A
Iy
Ai
2 y
I z Aiz2
转动惯量： J y z2dm
V
J z y2dm
V
惯性矩：I y z2dA
V
Iz y2dA
V
z
y O
dA A
z y
惯性矩：I y A z2dA Iz A y2dA
1. Iy、Iz 恒为正;
2. 若z⊥y，极惯性矩 Ip= Iy +Iz 。
惯性积： I yz A yz dA
➢ 如有一根坐标轴是截面 的对称轴，则图形对这对轴 的惯性积必为零。
➢ 当Iyz=0时，称y、z —— 过O点的主惯性轴（主轴）。 当主轴通过截面形心时 —— 形心主轴。
➢ 过任意一点，必存在两根相互垂直的主惯性轴。
O
z 三、平行移轴公式
a
C b
zC
yc、zc为一对形心坐 标轴，y∥yc， z∥zc 。 zc
dI y
d
2
Iy
2
Iz
sin 2
2I yz
cos 2
0
Imax I y I z
Imin
2
(
I
y
2
Iz
)2
I
2 yz
y
y
怎样大致绘出主轴?
对应主轴的Iy和Iz 也是惯性矩的极大、
极小值。
四、惯性矩和惯性积的转轴公式
z`
z y sin z cos
O
α
α z
y` y
dA
z I y z2dA
A
sin2 y2dA cos2 z2dA
A
A
z`
2sin cos yzdA
A
y` y
I y
Iy
2
Iz
Iy
2
Iz
cos 2
I yz sin2
O
α
α z
y
y`
I y
Iy
2
Iz
Iy
2
Iz
cos 2
I yz sin2
I z
Iy
2
Iz
Iy
2
Iz
cos 2
I yz
sin 2
z`
z
I yz
Iy
2
Iz
s in 2
I yz cos 2α
y` y
dA
z`
I y
Iy
2
Iz
Iy
2
Iz
cos 2
I yz
sin 2
I yz
Iy
2
Iz
sin 2
I yz
cos 2α
五、主轴和主惯性矩
附录:截面的几何性质
dA y0 dA z0 dA
z
A
A
A
yc A y1 dA
dA
A y
A
zc A z1 dA
A
z
i
2 z
A
y2 dA
y
A
O
i
2 y
A
z2 dA
A
一、截面的形心和面积矩
z
xc
v xdv V
yC
C
dA
A
y
z
zC
空间物体形心： yc
v ydv V
zc
v zdv V
O
y
平面物体形心：yc
A ydA A
zc
A zdA A
z
yC
C
dA
A
y
z
zC
O
面积矩：
S y A zdA
zc A
Sz A ydA
yc A
同一截面，面积矩可正、 y 可负，也可为零。
如截面对某轴的面积矩为零，意味着？
组合图形的面积矩和形心
面积矩：
n
S y Ai zci i 1
n
n百度文库
3. I y I yi , Iz Izi
i 1
i 1
例2：计算矩形对Y轴和Z轴的惯性矩。
b/2
b/2
h/2
O h/2
dz z y
yz dy
Iy
hb 3 12
Iz
bh3 12
例3：计算圆形对其直径轴Y和Z的惯性矩。
d
Iy
Iz
d4
64
I
p
Iy
Iz
d4
32
z
φ
y
dy
y
z
y O
dA A
z y
y
设yo，zo——主轴，令αo
为主轴与原坐标轴的夹角
y
I yz
Iy
2
Iz
sin 2o
I yzcon2o
0
tan2o
I yz Iy Iz / 2
I y
Iy
2
Iz
Iy
2
Iz
cos 2
I yz
sin 2
tan 2o
I yz Iy Iz / 2
对应主轴的Iy和Iz也是惯性矩 的极大、极小值。