2020高考文科数学主观题专项练习：概率

主观题专项练习：概率

1．[2019·吉林长春市实验中学开学考试]针对国家提出的延迟退休方案，某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：

(1)支持”态度的人中抽取了30人，求n 的值；

(2)在参与调查的人中，有10人给这项活动打分，打出的分数如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2,8.3,9.7，把这10个人打出的分数看作一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率．

解析：(1)参与调查的总人数为8 000＋4 000＋2 000＋1 000＋2 000＋3 000＝20 000. 因为持“不支持”态度的有2 000＋3 000＝5 000(人)，且从其中抽取了30人，所以n ＝20 000×305 000

＝120.

(2)总体的平均数x －＝1

10×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2＋8.3＋9.7)＝

9，

与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数有8.2,8.3,9.7，

所以任取一个数，该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率P ＝3

10

.

2．[2019·安徽示范高中联考]某市为了鼓励居民节约用水，拟确定一个合理的月用水量阶梯收费标准，规定一位居民月用水量不超过a 吨的部分按平价收费，超出a 吨的部分按议价收费．为了解居民的月均用水量(单位：吨)，现随机调查1 000位居民，并对收集到的数据进行分组，具体情况见下表：

(2)若该市希望使80%的居民月均用水量不超过a吨，试估计a的值，并说明理由；

(3)根据频率分布直方图估计该市居民月用水量的平均值．

解析：(1)由已知得6x＝1 000－(50＋80＋220＋250＋80＋60＋20)，解得x＝40. 则月均用水量的频率分布表为

月均

用水

量/吨

[0，

0．5)

[0.5，

1)

[1，

1．5)

[1.5，

2)

[2，

2．5)

[2.5，

3)

[3，

3．5)

[3.5，

4)

[4，

4．5) 频率0.050.080.200.220.250.080.060.040.02

(2)由(1)知前5组的频率之和为0.05＋0.08＋0.20＋0.22＋0.25＝0.80，故a＝2.5.

(3)由样本估计总体，该市居民月用水量的平均值为0.25×0.05＋0.75×0.08＋1.25×0.20＋1.75×0.22＋2.25×0.25＋2.75×0.08＋3.25×0.06＋3.75×0.04＋4.25×0.02＝1.92.

3．[2019·河北唐山摸底]某厂分别用甲、乙两种工艺生产同一种零件，尺寸(单位：mm)在[223,228]内的零件为一等品，其余为二等品，在使用两种工艺生产的零件中，各随机抽取10个，其尺寸的茎叶图如图所示．

(1)分别计算抽取的用两种工艺生产的零件尺寸的平均数；

(2)已知用甲工艺每天可生产300个零件，用乙工艺每天可生产280个零件，一等品利润为30元/个，二等品利润为20元/个，视频率为概率，试根据抽样数据判断采用哪种工艺生产该零件每天获得的利润更高．

解析：(1)使用甲工艺生产的零件尺寸的平均数x

－

甲＝

1

10

×(217＋218＋222＋225＋226

＋227＋228＋231＋233＋234)＝226.1，

使用乙工艺生产的零件尺寸的平均数x －

乙＝110×(218＋219＋221＋224＋224＋225＋226

＋228＋230＋232)＝224.7.

(2)由抽样的样本可知，用甲工艺生产的零件为一等品的概率为25，为二等品的概率为3

5，

故采用甲工艺生产该零件每天获得的利润为W 甲＝300×25×30＋300×3

5×20＝7 200(元)；用

乙工艺生产的零件为一等品、二等品的概率均为1

2，故采用乙工艺生产该零件每天获得的利

润为W 乙＝280×12×30＋280×1

2

×20＝7 000(元)．

因为W 甲>W 乙，所以采用甲工艺生产该零件每天获得的利润更高．

4．[2019·沈阳市教学质量检测]为考查某种疫苗预防疾病的效果，进行动物实验，得到统计数据如下：

未发病 发病

总计

未注射疫苗 20 x A 注射疫苗 30 y

B

总计

50

50

100

现从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为2

5.

(1)求2×2列联表中的数据x ，y ，A ，B 的值； (2)绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否有效？

(3)能够有多大把握认为疫苗有效？

附：K 2

＝n (ad －bc )2

(a ＋b )(a ＋c )(c ＋d )(b ＋d )

，n ＝a ＋b ＋c ＋d

P (K 2≥k 0)

0.05 0.01 0.005 0.001 k 0

3.841

6.635

7.879

10.828

解析：(1)E ，由已

知得P (E )＝

y ＋30

100

＝2

5

，所以y ＝10，B ＝40，x ＝40，A ＝60. (2)未注射疫苗发病率为4060＝23，注射疫苗发病率为1040＝1

4

.

发病率的条形统计图如图所示，由图可以看出疫苗影响到发病率，且注射疫苗的发病率小，故判断疫苗有效．

(3)K 2

＝100×(20×10－30×40)2

50×50×40×60＝50

3

≈16.667>10.828.

所以至少有99.9%的把握认为疫苗有效．

5．[2019·南宁市高三毕业班适应性测试]从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i

个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝1

10

x i ＝80，∑i ＝1

10

y i

＝20，∑i ＝1

10x i y i ＝184，∑i ＝1

10

x 2

i ＝720.

(1)求家庭的月储蓄y ^对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^

； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；

(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．

解析：(1)由题意知n ＝10，x －＝1n ∑i ＝1n x i ＝8010＝8，y －＝1

n ∑i ＝1n

y i ＝2010

＝2，

又∑i ＝1n x 2

i －n x －2＝720－10×82

＝80，∑i ＝1

n

x i y i －n x － y －＝184－10×8×2＝24，

由此得b ^＝2480＝0.3，a ^＝y －－b ^x －

＝2－0.3×8＝－0.4，

故所求线性回归方程为y ^

＝0.3x －0.4.

(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ^

＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ^

＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． 6．[2019·河北省六校联考]某中学一教师统计甲、乙两位同学高三学年的数学成绩(满分150分)，现有甲、乙两位同学的20次成绩的茎叶图如图1所示．