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2020高考文科数学主观题专项练习：概率

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2020年高考文科数学《概率与统计》题型归纳与训练

2020年高考文科数学《概率与统计》题型归纳与训练

2020年高考文科数学《概率与统计》题型归纳与训练【题型归纳】题型一古典概型例1从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）・A. -B. -C. —D.—5 5 25 25【答案】B【解析】可设这5名学生分别是甲、乙、丙、丁、戊，从中随机选出2人的方法有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），（乙，丙），（乙, 丁），（乙，戊），（丙，丁），（丙，戊），（丁，戊），共有10种选法, 其中只有前4种是甲被选中，所以所求概率为兰=?.故选B.10 5例2将2木不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2木数学书相邻的概率为________ •【答案】|【解析】根据题意显然这是一个古典概型，其基本事件有：数1,数2,语；数1,语，数2;数2,数1,语；数2,语，数1;语，数2,数1;语，数1,数2共有6种，其中2本数学书相邻的有4种，则其概率为：= =6 3【易错点】列举不全面或重复，就是不准确【思维点拨】直接列举,找出符合要求的事件个数.型二几何概型例1如图所示，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和口色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()•A.丄B. -C.丄D.-4 8 2 4【答案】B【解析】不妨设正方形边长为由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半•由几何概型概率的计算公式得，所求概率为违.故选B.例2在区间[0,5]上随机地选择一个数卩，则方程F + 2/X + 3”-2 = 0有两个负根的概率为 _______ •【答案】|A = 4/r-4(3/?-2)>0 【解析】方程X2+2/ZV +3/?-2=0有两个负根的充要条件是，x}+x2 =-2/?<0即x{x2 =3/?-2>0扌—51，或八2,又因为pe[0,5],所以使方程x\2px + 3p-2 = 0有两个负根的p9 (1—) + (5 —2) °的取值范围为(扌,1]U|2,5],故所求的概率—=|,故填：【易错点】“有两个负根”这个条件不会转化.【思维点拨】“有两个负根"转化为函数图像与X轴负半轴有两个交点.从而得到参数P的范围.在利用几何概型的计算公式计算即可.题型三抽样与样本数据特征例1某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200 , 400,300, 100件.为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_______________ 件.【答案】18【解析】按照分层抽样的概念应从丙种型号的产品中抽取300x^ = 18（件）.1000例2已知样本数据州，尤2，…，X”的均值元=5,则样本数据2召+ 1, 2X2+1,…，2x n +1的均值为 ____________ •【答案】11【解析】因为样本数据召，勺，…，©的均值x=5,又样本数据2召+1,2吃+ 1,…，2x n + \的和为2匕+吃+…+兀）+ 〃，所以样本数据的均值为2x + l =11.例3某电子商务公司对10000名网络购物者2018年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间［03,0.9］内，其频率分布直方图如图所示. （1）直方图中的—.（2）在这些购物者中，消费金额在区间［0.5,0.9］内的购物者的人数为—•【答案】。

2020高考复习数学：概率(附答案)

2020高考复习数学：概率(附答案)

利用多出来的一个月，多多练习，提升自己，加油！一、选择题（每小题5分，共60分）1.从含有10个元素的集合的全部子集中任取一个，所取的子集是含有3个元素的集合的概率是A.103 B.121 C.6445D.12815 解析：含有3个元素的集合个数为C 310，所有子集的个数为210， 所求概率P =103102C =12815. 答案：D2.把红、白、黑三张卡片随机地分给甲、乙、丙三人，每人一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是A.互斥非对立事件B.对立事件C.互相独立事件D.以上都不对解析：由定义可得，选A. 答案：A3.甲、乙两人射击的命中率分别为0.8和0.7，二人同时射击互不影响，结果都命中的概率是A.0.56B.0.06C.0.14D.0.24解析：P =0.8×0.7=0.56，选A. 答案：A4.一批零件10个，其中有8个合格品，2个次品，每次任取一个零件装配机器，若第一次取得合格品的概率是P 1，第二次取得合格品的概率是P 2，则A.P 1>P 2B.P 1=P 2C.P 1<P 2D.P 1=2P 2解析：P 1=108=54，P 2=2101819A C C =54，所以P 1=P 2.答案：B5.袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取3次，则下列事件中概率是98的是A.颜色全同B.颜色全不同C.颜色无红色D.颜色不全同解析：先计算颜色全相同的概率为P =3333⨯⨯=91，所以98是颜色不全同的概率.答案：D6.一个正方体，它的表面涂满了红色.在它的每个面上切两刀，可得27个小立方块，从中任取2个，其中恰有1个一面涂有红色，1个两面涂有红色的概率为A.11716B.11732C.398 D.3916解析：由22711216C C C =398.故选C.答案：C7.从1，2，…，6这六个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是A.95 B.94C.61D.65解析：3个数的和为偶数可能都是偶数或2个奇数1个偶数，其取法为C 33+C 23C 13.∴P =36132333C C C C ⋅+=61.故选C.答案：C8.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，其中两种品牌齐全的概率是A.51 B.52C.53D.54解析：品牌齐全的取法有C 13C 12， 故所求概率P =251213C C C =53.答案：C9.设两个独立事件A 和B 均不发生的概率为91，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P （A ）是A.92 B.181 C.31D.32解析：设A 、B 发生的概率分别为p 1、p 2，由题意知⎪⎩⎪⎨⎧-=-=--).1()1(,91)1)(1(122121p p p p p p 解得p 1=p 2=32.故选D.答案：D10.（2004年潍坊市模拟题）一次课改经验交流会打算交流试点类学校的论文5篇和非试点类学校的论文3篇.排列次序可任意排列，则最先和最后交流的论文不来自同类学校的概率是A.5615B.2815C.2813D.5613解析：最先和最后交流论文来自不同学校的取法为C 15C 13A 22A 66.∴所求概率P =8866221315A A A C C =2815.答案：B11.甲袋内装有白球3个、黑球5个，乙袋内装有白球4个、黑球6个.现从甲袋内随机抽取一个球放入乙袋，充分掺混后再从乙袋内随机抽取一个球放入甲袋，则甲袋内白球没有减少的概率为A.4437B.4435C.4425D.449解析：分两类.（1）若从甲袋取黑球，其白球没有减少的概率P 1=1111811115C C C C .（2）若从甲袋中取白球，同样P 2=111181513C C C C .故白球没有减少的概率P =1111811115C C C C +111181513C C C C =8855+8815=4435.答案：B12.如果一个人的生日在星期几是等可能的，那么6个人的生日都集中在一个星期中的两天，但不是都在同一天的概率是A.662772)(2C - B.662774)(2C - C.762762)(2A -D.76276)42(A -解析：（1）每个人生日都有7种可能，故共有76种；（2）集中在两天中，故为C 27（26－2）（每人生日有两种可能，集中在同一天也为2种）.所以P =66267)22(C -，故选A.答案：A二、填空题（每小题4分，共16分）13.（2004年广东，13）某班委会由4名男生与3名女生组成.现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的概率是________.（用分数作答）解析：2名女生当选的取法为C 23，1名女生当选的取法为C 14C 13.∴概率为27131423C C C C +=75.答案：7514.（2005年春季上海，6）某班共有40名学生，其中只有一对双胞胎，若从中一次随机抽查三位学生的作业，则这对双胞胎的作业同时被抽中的概率是________.（结果用最简分数表示）解析：∵抽查三位学生双胞胎在内的方法为C 138种， ∴P =340138C C =2601.答案：2601 15.某厂有三个顾问，假定每个顾问发表的意见是正确的概率为0.8.现就某事可行与否征求各顾问的意见，并按顾问中多数人的意见作出决策，作出正确决策的概率是________.解析：至少有两个顾问作出正确决定即可.P =C 23·0.82·0.2+0.83=0.896.答案：0.89616.六位身高全不相同的同学拍照留念，摄影师要求前后两排各三人，则后排每人均比前排同学高的概率是________.解析：6位同学共有A 66种排法，其中后排每人均比前排同学高，共有A 33A 33种排法，故其概率为663333A A A =201. 答案：201 三、解答题（本大题共6小题，共74分）17.（12分）已知集合A ={－8，－6，－4，－2，0，1，3，5，7}，在平面直角坐标系中，点（x ，y ）的坐标x ∈A ，y ∈A ，且x ≠y ，计算：（1）点（x ，y ）正好在第二象限的概率； （2）点（x ，y ）不在x 轴上的概率. 解：（1）P 1=291414A A A =92.（2）P 2=291828A A A =98（或P 2=1－29A 8=98.2，∴点（x，y）正好在第二象限的概率是98.点（x，y）不在x轴上的概率是918.（12分）某商店采用“购物摸球中奖”促销活动，摸奖处袋中装有10个号码为n（1≤n≤10，n∈N*），重量为f（n）=n2－9n+21（g）的球.摸奖方案见下表：说明：凭购物发票到摸奖处，按规定方案摸奖；这些球以等可能性从袋中摸出；假定符合条件的顾客均参加摸奖.试比较方案①与②的中奖概率的大小.解：当球的重量小于号码数时，有n2－9n+21<n，解得3<n<7.∵n∈N*，∴n的取值为4，5，6.3.∴所求的概率为P1=10设第n号与第m号的两个球的重量相等，不妨设n<m，则有n2－9n+21=m2－9m+21，即（n －m ）（m +n －9）=0. ∵n ≠m ，∴m +n =9.∴（n ，m ）的取值满足（1，8），（2，7），（3，6），（4，5）. ∴所求的概率为P 2=210C 4=454. ∴P 1>P 2，即方案①的中奖概率大.19.（12分）如图，电路中4个方框处均为保险匣，方框内数字为通电后在一天内保险丝不被烧断的概率，假定通电后保险丝是否烧断是互相独立的.求：（1）通电后电路在一天内A 、B 恰有一个被烧断的概率； （2）通电后电路在一天内不断路的概率.解：以A 、B 、C 、D 分别记为各处保险丝不被烧断的事件，则它们的对立事件为A 、B 、C 、D ，依题意各事件是相互独立的.（1）通电后电路在一天内A 、B 恰有一个被烧断包括两种情况：A 被烧断但B 不被烧断，即A ·B 事件发生； A 不被烧断但B 被烧断，即A ·B 事件发生.由题意事件A ·B 与A ·B 互斥， 故所求概率为P （A ·B +A ·B ）=P （A ·B ）+P （A ·B ）=P （A ）P （B ）+P （A ）P （B ）=（1－21）×32+21×（1－32）=21.（2）左电路系统不断路的概率为1－P （A ·B ·C ）=1－P （A ）P （B ）P （C ）=1－（1－21）（1－32）（1－43）=2423.一天内电路不断路的概率为2423×54=3023.20.（12分）某学生骑自行车上学，从家到学校的途中有2个交通岗.假设他在这两个交通岗处遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是0.6，计算：（1）2次都遇到红灯的概率； （2）至少遇到1次红灯的概率.（1）解：记“他第一次遇到红灯”为事件A ，记“他第二次遇到红灯”为事件B .由题知，A 与B 是相互独立的，因此，“他两次都遇到红灯”就是事件A ·B 发生.根据相互独立事件的概率乘法公式，得P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=0.6×0.6=0.36.答：他两次都遇到红灯的概率是0.36.（2）解法一：A =“他第一次没有遇到红灯”，B =“他第二次没有遇到红灯”.∴A ·B =“他第一次没有遇到红灯，第二次遇到红灯”，A ·B =“他第一次遇到红灯，第二次没有遇到红灯”，并有A ·B 与A ·B 是互斥的，因此，他恰有一次遇到红灯的概率是P （A ·B +A ·B ）=P （A ·B ）+P （A ·B ）=（1－0.6）×0.6+0.6×（1－0.6）=0.48.∴他至少遇到1次红灯的概率是P （A ·B ）+P （A ·B +A ·B ）=0.36+0.48=0.84.答：至少遇到1次红灯的概率是0.84.解法二：A =“他第一次没有遇到红灯”，B =“他第二次没有遇到红灯”.∴A ·B =“他两次都没有遇到红灯”，P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=（1－0.6）×（1－0.6）=0.16.∴他至少遇到1次红灯的概率是P =1－P （A ·B ）=1－0.16=0.84. 答：至少遇到1次红灯的概率是0.84.21.（12分）（理）现有5个工人独立地工作，假定每个工人在1小时内平均有12分钟需要电力.（1）求在同一时刻有3个工人需要电力的概率；（2）如果最多只能供应3个人需要的电力，求超过负荷的概率. 解：（1）依题意，每名工人在1小时内需要电力的概率是P =6012=51.因此，在同一时刻有3个工人需要电力的概率为P 1=C 35（51）3（54）2=0.0512.（2）超负荷的概率为P 2=C 45（51）4（54）+C 55（51）5=6254+31251=0.00672. （文）甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别是0.7和0.8，每人投篮两次.（1）求甲进2球，乙进1球的概率；（2）若投进1球得2分，未投进得0分，求甲、乙二人得分相等的概率.解：（1）依题意，所求概率为P 1=C 220.72·C 120.8×0.2=0.1568.（2）甲、乙二人得分相等的概率为P2=C220.72·C220.82+C120.7×0.3×C120.8×0.2+0.32×0.22=0.3136+0.1344+0.0036=0.4516.22.有点难度哟！（14分）某数学家随身带着甲、乙两盒火柴，每盒有n根，每次用时，随机地任取一盒，然后从中抽取一根（巴拿赫火柴问题）.求：（1）第一次发现一盒空时，另一盒恰剩r根火柴的概率（r=0，1，…，n）；（2）第一次用完一盒火柴（不是发现空）时另一盒恰剩r根火柴的概率（r=1，2，…，n）.分析：第n+1次取到甲盒时，才发现甲盒空，但第n次取甲盒后即已用完甲盒火柴.因此（1）（2）中的两个事件不同.解：（1）记A=“首次发现一盒空时另一盒恰剩r根火柴”，B=“首次发现的空盒是甲盒且此时乙盒恰剩r根火柴”，C=“首次发现的空盒是乙盒且此时甲盒恰剩r根火柴”.则事件B与C互斥，A=B+C.由于甲、乙盒所处地位相同，故P（B）=P（C）.为求P（B），令D=“在甲、乙两盒中任取一盒，得到甲盒”，则P（D）=21.事件B发生相当于独立重复地做了2n－r+1次试验，前2n－r次D 恰好发生n 次、第2n －r +1次D 也发生.因此P （B ）=C n r n -2（21）n （1－21）n －r ·21 =1221+-r n C nr n -2， P （A ）=P （B ）+P （C ）=2P （B ）=rn -221C n r n -2.（2）记E =“首次用完一盒时另一盒恰有r 根”，F （G ）=“首次用完的是甲（乙）盒且此时乙（甲）盒恰有r 根火柴”.则事件F 与G 互斥，E =F +G .事件F 发生相当于独立重复地做了2n －r 次试验，前2n －r －1次D 恰好发生n －1次，第2n －r 次D 也发生.故P （F ）=C 112---n r n （21）n －1（1－21）n －r ·21=12221--⨯r n C 112---n r n .类似（1），P （E ）=P （F ）+P （G ）=2P （F ）=1221--r n C 112---n r n . 评述：改记A 为A r ，则A 0，A 1，…，A n 彼此互斥，和是必然事件，故∑=nr 0rn -221C 12--n r n =1；改记E 为E r ，则E 1，E 2，…，E n 也彼此互斥，和是必然事件， 故∑=nr 1121--r n C 112---n r n =1.因此使用概率方法我们可以得到一些恒等式. （1）中分别取r =0和n ，得P （首次发现一盒空时另一盒也空）=C n n2n221， P （首次发现一盒空时另一盒原封未动）=n21；（2）中取r =n ，得1 n .P（用完一盒时另一盒原封未动）=12。

【高考复习】2020年高考数学(文数) 概率 小题练(含答案解析)

【高考复习】2020年高考数学(文数) 概率 小题练(含答案解析)

【高考复习】2020年高考数学(文数)概率 小题练一、选择题1.从含有质地均匀且大小相同的2个红球、n 个白球的口袋中随机取出一球，若取到红球的概率是25，则取得白球的概率等于( ) A ．15 B ．25 C ．35 D ．452.一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6．将这个玩具向上抛掷1次，设事件A 表示“向上的一面出现奇数”，事件B 表示“向上的一面出现的数字不超过3”，事件C 表示“向上的一面出现的数字不小于4”，则( ) A ．A 与B 是互斥而非对立事件 B ．A 与B 是对立事件 C ．B 与C 是互斥而非对立事件 D ．B 与C 是对立事件3.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ={抽到一等品}，事件B ={抽到二等品}，事件C ={抽到三等品}，且已知P(A)=0．65，P(B)=0．2，P(C)=0．1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )A ．0．7B ．0．65C ．0．35D ．0．34.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一个产品是正品(甲级)的概率为( ) A ．0.95 B ．0.97 C ．0.92 D ．0.085.把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( )A ．对立事件B ．对立但不互斥事件C ．互斥但不对立事件D ．以上均不对6.从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是( ) A ．23 B ．12 C ．25 D ．137.某商场举行有奖促销活动，抽奖规则如下：箱子中有编号为1，2，3，4，5的五个形状、大小完全相同的小球，从中任取两球，若摸出的两球号码的乘积为奇数则中奖；否则不中奖，则中奖的概率为( )A ．110B ．15C ．310D ．258.某汽车站每天上午均有3辆开往A 景点的分上、中、下等级的客车．某天王先生准备在该汽车站乘车去A 景点，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，那么他乘上上等车的概率为( ) A ．16 B ．13 C ．12 D ．239.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为( )A ．12B ．13C ．38D ．5810.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A ．14B ．π8C ．12D ．π411.取一个正方形及其外接圆，随机向圆内抛一粒豆子，则豆子落入正方形外的概率为( )A ．2πB ．π－2πC ．2πD ．π412.在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为π3，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是( )A ．2－33πB ．4－63πC ．413－32πD ．423二、填空题13.从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则log a b为整数的概率是________．14.某城市2018年的空气质量状况如下表所示：其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2018年空气质量达到良或优的概率为________．15.口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，若红球有21个，则黑球有________个．16.口袋中有形状、大小完全相同的4个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为________．17.若向区域Ω={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}内投点，则该点到原点的距离小于1的概率为______．18.记函数f(x)=6＋x－x2的定义域为D．在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是______．答案解析1.答案为：C ；解析：取得红球与取得白球为对立事件，∴取得白球的概率P =1－25=35．故选C ．2.答案为：D ；解析：A∩B ={出现数字1或3}，事件A ，B 不互斥更不对立；B∩C =∅，B ∪C =Ω(Ω为必然事件)，故事件B ，C 是对立事件．故选D ．3.答案为：C解析：事件“抽到的不是一等品”与事件A 是对立事件，由于P(A)=0．65，所以由对立事件的概率公式得“抽到的不是一等品”的概率为P =1－P(A)=1－0．65=0．35．选C ．4.答案为：C ；解析：记抽检的产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P(A)=1－P(B)－P(C)=1－5%－3%=92%=0.92.5.答案为：C ；解析：事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不可能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生、一个不发生，可能两个都不发生，所以这两个事件互斥但不对立，应选C.6.答案为：C ；解析：记3个红球分别为a ，b ，c ，3个黑球分别为x ，y ，z ，则随机取出两个小球共有15种可能： ab ，ac ，ax ，ay ，az ，bc ，bx ，by ，bz ，cx ，cy ，cz ，xy ，xz ，yz ， 其中两个小球同色共有6种可能，ab ，ac ，bc ，xy ，xz ，yz ，根据古典概型概率公式可得所求概率为615=25，故选C ．7.答案为：C解析：由题得试验的所有基本事件有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)， (2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个，摸出的两球号码的乘积为奇数的基本事件有(1，3)，(1，5)，(3，5)，共3个，由古典概型的概率公式得P=310．故选C ．8.答案为：C解析：共有6种发车顺序：①上、中、下；②上、下、中；③中、上、下；④中、下、上； ⑤下、中、上；⑥下、上、中(其中画线的表示王先生所乘的车)，所以他乘上上等车的概率为36=12，故选C ．解析：该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食物的概率为26=13．10.答案为：B ；解析：不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，S 正方形=4．由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑=S 白=12S 圆=π2，所以由几何概型知所求概率P =S 黑S 正方形=π24=π8．故选B ．11.答案为：B ；解析：设圆的半径为r ，所以正方形的边长为2r ，正方形的面积为2r 2，圆的面积为πr 2，∴所求概率P =1－2r 2πr 2=π－2π．12.答案为：B ；解析：设圆的半径为r ，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S=24×⎝ ⎛⎭⎪⎫16πr 2－34r 2=4πr 2－63r 2，圆的面积S′=πr 2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为S S′=4－63π，故选B. 13.答案为：16；解析：所有的基本事件有(2，3)，(2，8)，(2，9)，(3，2)，(3，8)，(3，9)，(8，2)，(8，3)， (8，9)，(9，2)，(9，3)，(9，8)，共12个，记“log a b 为整数”为事件A ，则事件A 包含的基本事件有(2，8)，(3，9)，共2个，∴P(A)=212=16．14.答案为：35；解析：由题意可知2018年空气质量达到良或优的概率为P=110＋16＋13=35.15.答案为：15；解析：摸到黑球的概率为1－0.42－0.28=0.3.设黑球有n 个，则0.4221=0.3n，故n=15.16.答案为：23；解析：从袋中一次随机摸出2个球，共有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}6个基本事件，其中摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共4个，因此摸出的2个球的编号之和大于4的概率为46=23.17.答案为：π4；影部分，即四分之一个圆，其面积为π4，所以所求概率为π4．18.答案为：59；解析：由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x≤3，∴D =[－2，3]．如图，区间[－4，5]的长度为9，定义域D 的长度为5，∴P =59．。

2020年高考文科数学原创专题卷：《概率》

2020年高考文科数学原创专题卷：《概率》

原创文科数学专题卷专题 概率考点44：古典概型(1-5题，13题，17题，18题）考点45：几何概型（6-11题，14题，18题）考点46：事件的互斥，对立与独立（12题，15,16题，19-22题）试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

）1．【来源】（2017年高考全国卷2)考点44 易从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ） A.110 B.15 C.310 D.25 2．【来源】（2017年高考天津卷）考点44 易有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ）（A ）45（B ）35（C ）25（D ）153．【来源】海南省东方中学2016-2017学年高一下学期期中考试 考点44 易已知集合{}1,2,3,4,56A =，， {}345678B =，，，，，，在集合A B ⋃中任取一个元素，则该元素是集合A B ⋂中的元素的概率为（ ） A. 16 B. 37 C. 58 D. 124．【来源】2017届山西省高三3月高考考前适应性测试 考点44 中难甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完.若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“最佳手气”（即乙领取的钱数不少于其他任何人）的概率是（ ） A. 34 B. 13 C. 310 D. 255．【来源】成都市第七中学2017届高三6月1日高考热身考试 考点44 中难有一个正方体的玩具，六个面分别标注了数字1,2,3,4,5,6，甲乙两位学生进行如下游戏：甲先抛掷一次，记下正方体朝上的数字为a ，再由乙抛掷一次，朝上数字为b ，若1a b -≤就称甲、乙两人“默契配合”，则甲、乙两人“默契配合”的概率（ ） A. 19 B. 29 C. 718 D. 496．【来源】（2017年高考全国卷1）考点45 易如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．14B ．π8C ．12D ．π 4 7．【来源】四川省遂宁市2017届高三三诊考试 考点45 易已知函数()[]22,3,3f x x x x =--∈-，在定义域内任取一点0x ，使()00f x ≤的概率是（ ）A. 13B. 23C. 12D. 168．【来源】2017届山东省济宁市高三3月模拟考试 考点45 易在区间[]0,π上随机地取一个数x ，则事件“1tan 3x -≤≤） A. 712 B. 23 C. 13 D. 149．【来源】江西省九江第一中学2016-2017学年高二下学期期中考试 考点45 中难在区间[]0,1上随机选取两个数x 和y ，则3y x >的概率为（ ）A. 16B. 13C. 12D. 11210．【来源】福建省2016届高三毕业班总复习单元过关形成性测试卷 考点45 中难在区间[]0,5内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间[]0,5内的概率是( )A. 15B. 20πC. 5πD. 2π 11．【来源】湖南省邵阳市2016-2017学年普通高中学业水平考试 考点45 中难在长为3的线段AB 上任取一点P ， P 到端点A B ，的距离都大于1的概率为（ ）A. 18B. 12C. 14D. 1312．【来源】河南省南阳市六校2016-2017学年高二下学期第二次联考 考点46 易 在4次独立试验中，事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率是6581，则 事件A 在一次试验中出现的概率是（ ）A. 13B. 25C. 56D. 23第Ⅱ卷（非选择题）二.填空题（每题5分，共20分）13．【来源】江西省九江第一中学2016-2017学年高一下学期期末考试 考点44 易连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量(),a m n =r 与向量()1,1b =-r 的夹角为θ，则θ为直角的概率是__________．14．【来源】湖南省长沙市雅礼中学2017届高考模拟试卷 考点45 中难向面积为S 的平行四边形ABCD 内任投一点M ，则MCD ∆的面积小于3S 的概率为__________．15．【来源】2017届江苏省如东高级中学高三2月摸底考试 考点46 易一架飞机向目标投弹,击毁目标的概率为,目标未受损的概率为,则目标受损但未完全击毁的概率为__________．16．【来源】江苏省大丰市新丰中学2016-2017学年高二下学期期中考试 考点46 易从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是______．(填序号) ①“至少有一个黑球”与“都是黑球”；②“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”；③“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”；④“至少有一个黑球”与“都是红球”．三.解答题（共70分）17．（本小题满分12分）【来源】2017年高考山东卷 考点44 易某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游。

2020年高考数学(文)热点专练10 概率与统计(解析版)

2020年高考数学(文)热点专练10 概率与统计(解析版)

热点10 概率与统计【命题趋势】统计与概率是高考文科中的一个重要的一环高考对概率与统计内容的考查一般以实际应用题出现,这既是这类问题的特点,也符合高考发展的方向.概率应用题侧重于古典概率,近几年的高考有以概率应用题替代传统应用题的趋势,该题出现在解答题第二或第三题的位置，可见概率统计在高考中属于中档题.虽为中档题，但是实际生活背景在加强，阅读量大，所以快速阅读考题并准确理解题意是很重要的.对于这部分，我们还应当重视与传统内容的有机结合. 为了准确地把握2020年高考概率统计命题思想与趋势，在最后的复习中做到有的放矢，提高复习效率，纵观近五年的全国文科I卷，我们看到近几年每年一考,多出现在19题，分值12分；从难度上看：以中档题为主，重基础，考查的重点为统计图表的绘制与分析、数字特征的计算与分析、概率计算、线性回归分析，独立性检验等知识点，一般都会以实际问题为载体，代替传统建模题目.本专题我们把这些热点问题逐一说明，并提出备考指南，希望同学们在复习时抓住重点、事半功倍.【热点预测以及解题技巧】热点一：“统计”背景下的“概率”问题这类问题一般将统计与概率相结合.以频率分布直方图或茎叶图为背景来考查概率知识，有时以表格为背景来考查概率知识，需要从统计图、表格获取信息、处理数据的能力，并根据得出的数据求概率.热点二：样本分析并通过样本分析作决策进行样本分析时从统计图表中获取数据，得出频率、平均数、方差，用样本频率估计概率、样本数字特征估计总体数字特征，有时需以此作出决策.热点三：线性回归分析根据最小二乘法得出回归直线方程，有时需适当换元转化为线性回归方程. 由于计算量很大，题目一般会给出的参考数据，但是注意数据设置的“障眼法”，这时就要认真领会题意，找出适用的参考数据加以计算.热点四：独立性检验寻找数据完成列联表，下面的解题步骤比较固定，按部就班完成即可.热点五：与函数相结合的概率统计题这类题也是近几年出现较多的一类题，其综合性强，理解题意后找准变量，构建函数关系式.【考查题型】选择，填空，解答题【限时检测】（建议用时：45分钟）1．（2018·黑龙江哈尔滨三中高考模拟（文））从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图所示．根据茎叶图，下列描述正确的是( )A．甲种树苗的高度的中位数大于乙种树苗高度的中位数，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐B．甲种树苗的高度的中位数大于乙种树苗高度的中位数，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐C．乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗高度的中位数，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐D．乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗高度的中位数，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐【答案】D【解析】从茎叶图的数据可以看出甲种树苗的平均高度为27，乙种树苗的平均高度为30，因此乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度．又从茎叶图分析知道，甲种树苗的高度集中在20到30之间，因此长势更集中．2．（2019·辽宁高考模拟（文））《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的 概率是 ( )A ．215π B ．320π C ．2115π-D ．3120π-【答案】C 【解析】 【分析】本题首先可以根据直角三角形的三边长求出三角形的内切圆半径，然后分别计算出内切圆和三角形的面积，最后通过几何概型的概率计算公式即可得出答案. 【详解】13=， 设内切圆的半径为r ，则51213r r -+-=，解得2r =. 所以内切圆的面积为24r ππ=，所以豆子落在内切圆外部的概率42P 111155122ππ=-=-⨯⨯，故选C.【名师点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误. 3．（2019·安徽合肥一中高考模拟（文））甲、乙两名同学在 6 次数学考试中，所得成绩 用茎叶图表示如下，若甲、乙两人这 6 次考试的平均成绩分别用,x x 乙甲 表示，则下列结论正确的是（ ）A ．x x >乙甲 ，且甲成绩比乙成绩稳定B ．x x >乙甲 ，且乙成绩比甲成绩稳定C ．x x <乙甲 ，且甲成绩比乙成绩稳定D ．x x <乙甲，且乙成绩比甲成绩稳定【答案】C 【解析】 【分析】从茎叶图提取两个人的成绩，分别求出两个人的平均分，得到甲的平均数比乙的平均数要低，但甲数据比较集中，所以成绩比较稳定. 【详解】757782838590826x +++++==甲，727681869192836x +++++==乙，所以x x <乙甲，因为甲数据比较集中，所以成绩比较稳定.【名师点睛】茎叶图保留了原始数据，所以可通过计算平均数来比较大小，再通过数据的集中与离散程度判断稳定性.4．（2018·天津南开中学高考模拟（文））在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20cm 2的概率为 A ．16B ．13C ．23D ．45【答案】C 【解析】试题分析：设AC=x ，则BC=12-x （0＜x ＜12） 矩形的面积S=x （12-x ）＞20 ∴x 2-12x+20＜0 ∴2＜x ＜10由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm 2的概率10221203p -==-考点：几何概型5．（2019·新疆高考模拟（文））《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事．“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为A ．31 B ．41 C ．51 D ．61 【答案】A 【解析】分析：由题意结合古典概型计算公式即可求得最终结果.详解：记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a ,b ,c ，齐王的上等马、中等马、下等马分别为A ,B ,C ，由题意可知，可能的比赛为：Aa ,Ab ,Ac ,Ba ,Bb ,Bc ,Ca ,Cb ,Cc ,共有9种，其中田忌可以获胜的事件为：Ba ，Ca ,Cb ，共有3种，则田忌马获胜的概率为p =39=13.本题选择A 选项.【名师点睛】：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.6．（2017·天津耀华中学高考模拟（文））某工厂甲，乙，丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为600件，400件，300件，用分层抽样方法抽取容量为n 的样本，若从丙车间抽取6件，则n 的值为（ ） A ．18 B ．20C ．24D ．26【答案】D 【解析】由分层抽样的定义可得：6300600400300n =++，解得：26n =. 本题选择D 选项.7．（2017·辽宁高考模拟（文））设样本数据1210,,,x x x L 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，1,2,,10)i =L ，则1210,,,y y y L 的均值和方差分别为（ ）A ．1,4a +B ．1,4a a ++C ．1,4D ．1,4a +【答案】A 【解析】试题分析：因为样本数据1210,,,x x x L 的平均数是1,所以1210,,...y y y 的平均数是121012101210 (1101010)y y y x a x a x a x x x a a ++++++++++++==+=+；根据i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =L ），以及数据1210,,,x x x L 的方差为4可知数据1210,,,y y y L 的方差为2144⨯=，综上故选A. 考点：样本数据的方差和平均数．8．（2017·陕西高考模拟（文））已知函数2()log ,[1,8]f x x x =∈，则不等式1()2f x ≤≤ 成立的概率是( ) A ．17B ．27C ．37D ．47【答案】B 【解析】由()12f x ≤≤，可知21log 2x ≤≤，解得24x ≤≤，由几何概型可知27P =，选B 二、填空题9．（2017·河南高考模拟（文））已知()0,0O ，()2,1A ，()1,2B -，31,55C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，动点(),P x y满足02OP OA ≤⋅≤u u u r u u u r 且02OP OB u u u r u u u r ≤⋅≤，则点P 到点C 的距离大于14的概率为______．【答案】5164π- 【解析】由题意得，因为()()()310,0,2,1,1,2,,55O A B C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以动点(,)P x y 满足02OP OA ≤⋅≤u u u r u u u r 且02OP OB u u u r u u u r≤⋅≤，所以022{022x y x y ≤+≤≤-≤ ，则点P 到点C 的距离为22311()()5516z x y =-++≥ ， 作出不等式组对应的平面区域，如图所示， 因为点P 到点C 的距离大于14，所以14PC >，则对应的部分为阴影部分， 由2042,2055x y x y x y -==⎧⇒=+=⎨⎩ ，即点42(,)55E，则5OE ==,所以正方形OEFG 的面积为45， 则阴影部分的面积为41516π- ，所以根据几何概型的概率公式可知所求的概率为41551614645ππ-=-.【名师点睛】：本题主要考查了几何概型及其概率的计算问题，其中解答中涉及到向量的数量积的运算，二元一次不等式组所表示的平面区域，简单的线性规划的应用，几何概型及其概率的计算公式等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中利用向量的数量积的运算，转化为简单的线性规划求解是解答的关键.9．（2018·河南高考模拟（文））某班共有56名学生，现将所有学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知12号、26号、54号同学在样本中，则样本中还有一名同学的编号是__________．【答案】40【解析】【分析】先求出组距，然后根据已知的第二个样本的编号，求得第三个样本的编号.【详解】从56名学生中抽取4名，组距为56414÷=，由于抽取到第二个编号为26号，故第三个样本的编号为261440+=号.【名师点睛】本小题主要考查系统抽样的知识，先求得系统抽样的组距，然后根据已知来求得未知的样本编号，属于基础题.11．（2019·浠水县实验高级中学高三月考（文））设AB=6，在线段AB上任取两点（端点A，B除外），将线段AB分成了三条线段，若分成的三条线段长度均为正整数，则这三条线段可以构成三角形的概率是____________；若分成的三条线段的长度均为正实数，则这三条线段可以构成三角形的概率是_________.【答案】11014【解析】【分析】若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能为：1，1，4；1，2，3；2，2，2共3种情况，其中只有三条线段为2，2，2时能构成三角形，由古典概型的概念，得到概率．三条线段的长度均为正实数时，则是几何概型，设出变量，写出全部结果所构成的区域，和满足条件的事件对应的区域，注意整理三条线段能组成三角形的条件，求出面积，作比值得到概率．【详解】若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能为：1，1，4；1，2，3；1，3，2；1，4，1；2，1，3；2，2，2；2，3，1；3，1，2；3，2，1；4，1，1共10种情况，其中只有三条线段为2，2，2时能构成三角形则构成三角形的概率p1 10 =．（2）由题意知本题是一个几何概型设其中两条线段长度分别为x，y，则第三条线段长度为6﹣x﹣y，则全部结果所构成的区域为：0＜x＜6，0＜y＜6，0＜6﹣x﹣y＜6，即为0＜x＜6，0＜y＜6，0＜x+y＜6所表示的平面区域为三角形OAB；若三条线段x，y，6﹣x﹣y，能构成三角形，则还要满足666x y x yx x y yy x y x+--⎧⎪+--⎨⎪+--⎩＞＞＞，即为333x yyx+⎧⎪⎨⎪⎩＞＜＜，所表示的平面区域为三角形DEF，由几何概型知所求的概率为：P14DEFAOBSS==VV【名师点睛】本题考查古典概型，考查几何概型，对于几何概型的问题，一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合起来，根据集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结果． 三、解答题12．（2019·天津高考模拟（文））为预防H 1N 1病毒爆发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过），公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如下表：已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组疫苗有效的概率是0.33． （∴）求x 的值；（∴）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C 组抽取多少个？ （∴）已知y ≥465，z ≥30，求不能通过测试的概率．【答案】（1）660；（2）90；（3）112.【解析】 【分析】（1）由古典概型概率公式列方程求解即可；（2）先求出C 组样本个数，再根据分层抽样方法可得结果；（3）利用列举法可得基本事件空间包含的基本事件有11个，测试不能通过事件包含基本事件2个，利用古典概型概率公式可得结果. 【详解】（1）∵在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组疫苗有效的概率约为其频率 即x2000=0.33， ∴ x =660；（2）C 组样本个数为y ＋z ＝2000－（673＋77＋660＋90）＝500，现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，应在C 组抽取个数为3602000×500=90；（3）设测试不能通过事件为A,C 组疫苗有效与无效的可能的情况记为(y,z )由（2）知500=y+z ，且y,z ∈N ,基本事件空间包含的基本事件有：（465，35）、（466，34）、（467，33）、……（475，25）共11个 若测试不能通过，则77+90+z>200，即z>33事件A 包含的基本事件有：（465，35）、（466，34）共2个 ∴ P(A)=211故不能通过测试的概率为211.【名师点睛】本题主要考查分层抽样以及古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先(A 1,B 1)，(A 1,B 2)….(A1,B n)，再(A2,B1)，(A2,B2)…..(A2,B n)依次(A3,B1)(A3,B2)….(A3,B n)… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.13．（2019·山东高考模拟（文））2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x和中位数a（a的值精确到0.01）；（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为[6.5,7.5)，[7.5,8.5)的学生中抽取9名参加座谈会．（i）你认为9个名额应该怎么分配？并说明理由；（ii）座谈中发现9名学生中理工类专业的较多．请根据200名学生的调研数据，填写下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为学生阅读时间不足（每周阅读时间不足8.5小时）与“是否理工类专业”有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（n a b c d =+++）.临界值表：【答案】（1）平均数9，中位数8.99；（2）（i ）按照1:2进行名额分配；理由见详解； （ii ）有. 【解析】 【分析】（1）根据平均数，中位数的定义进行求解即可（2）完成列联表，计算2K 的观测值，结合独立性检验的性质进行判断即可. 【详解】（1）该组数据的平均数60.0370.180.290.35100.19x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯110.09120.049+⨯+⨯=，因为0.030.10.20.350.680.5+++=>，所以中位数[8.5,9.5)a ∈，由0.030.10.2(8.5)0.350.5a +++-⨯=，解得0.50.338.58.990.35a -=+≈；（2）（i ）每周阅读时间为[6.5,7.5)的学生中抽取3名，每周阅读时间为[7.5,8.5)的学生中抽取6名．理由：每周阅读时间为[6.5,7.5)与每周阅读时间为[7.5,8.5)是差异明显的两层，为保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，宜采用分层抽样的方法抽取样本；因为两者频率分别为0.1，0.2，所以按照1:2进行名额分配．（ii）由频率分布直方图可知，阅读时间不足8.5小时的学生共有200(0.030.10.2)66⨯++=人，超过8.5小时的共有20066134-=人．于是列联表为：2K的观测值2200(40742660)4.432 3.84166134100100k⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为学生阅读时间不足与“是否理工类专业”有关．【名师点睛】本题主要考查独立性检验的应用，根据数据计算出K2的观测值是解决本题的关键．考查学生的计算能力．14．（2019·江西高考模拟（文））某品牌餐饮公司准备在10个规模相当的地区开设加盟店，为合理安排各地区加盟店的个数，先在其中5个地区试点，得到试点地区加盟店个数分别为1，2，3，4，5时，单店日平均营业额y（万元）的数据如下：（1）求单店日平均营业额y（万元）与所在地区加盟店个数x（个）的线性回归方程；（2）根据试点调研结果，为保证规模和效益，在其他5个地区，该公司要求同一地区所有加盟店的日平均营业额预计值总和不低于35万元，求一个地区开设加盟店个数m 的所有可能取值；（3）小赵与小王都准备加入该公司的加盟店，根据公司规定，他们只能分别从其他五个地区（加盟店都不少于2个）中随机选一个地区加入，求他们选取的地区相同的概率.（参考数据及公式：51125i ii x y==∑，52155i i x ==∑，线性回归方程ˆybx a =+，其中1221ni ii nii x y nxyb xnx ==-=-∑∑，a y bx =-.）【答案】(1) ˆ12yx =-+ (2) 5，6，7 (3) 15P = 【解析】 【分析】（1）利用最小二乘法求线性回归方程；（2）解不等式()1235m m -≥得一个地区开设加盟店个数m 的所有可能取值；（3）利用古典概型的概率求选取的地区相同的概率. 【详解】（1）由题可得，3x =，9y =，设所求线性回归方程为ˆybx a =+， 则5152215125135155455i i i i i x y xy b x x ==--===---∑∑，将3x =，9y =代入，得()9312a =--=，故所求线性回归方程为ˆ12yx =-+. （2）根据题意，()1235m m -≥，解得：57m ≤≤，又m Z +∈，所以m 的所有可能取值为5，6，7.（3）设其他5个地区分别为,,,,A B C D E ，他们选择结果共有25种，具体如下：AA ，AB ，AC ，AD ，AE ，BA ，BB ，BC ，BD ，BE ，CA ，CB ，CC ，CD ，CE ，DA ，DB ，DC ，DD ，DE ，EA ，EB ，EC ，ED ，EE ，其中他们在同一个地区的有5种，所以他们选取的地区相同的概率51255P ==. 【名师点睛】本题主要考查线性回归方程的求法，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15．（2018·天津南开中学高考模拟（文））某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将 他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，后得到如图的频率分布直方图．（1）求图中实数a 的值；（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级 期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．【答案】（1）0.03a =. （2）544人. （3）()715P M =. 【解析】试题分析：（1）由于图中所有小矩形的面积之和等于1， 所以10(0.0050.010.02⨯++0.0250.01)1a +++=． ……2分解得0.03a =． ……3分（2）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率 为110(0.0050.01)-⨯+0.85=． ……5分由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为6400.85544⨯=人． ……6分 （3）成绩在[)40,50分数段内的人数为400.052⨯=人，分别记为A ，B ． ……7分成绩在[]90,100分数段内的人数为400.14⨯=人，分别记为C ，D ，E ，F ． ……8分若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生， 则所有的基本事件有：(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A E ，(),A F ，(),B C ，(),B D ，(),B E ，(),B F ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ， (),E F 共15种． ……10分如果两名学生的数学成绩都在[)40,50分数段内或都在[]90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[)40,50分数段内，另一个成绩在[]90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10． 记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M ，则事件M 包含的基本事件有：(),A B ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共7种． ……11分所以所求概率为()715P M =． ……12分 考点：本小题主要考查频率分布直方图的应用和古典概型概率的求解，考查学生识图、用图的能力和运算求解能力.【名师点睛】：解决与频率分布直方图有关的题目时，要注意到频率分布直方图中纵轴表示的是频率/组距，不是频率，图中小矩形的面积才表示频率.16．（2019·江西高考模拟（文））某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：万元）对年销售量y （单位：吨）和年利润z （单位：万元）的影响．对近六年的年宣传费i x 和年销售量i y （1,2,3,4,5,6i =）的数据作了初步统计，得到如下数据：经电脑模拟，发现年宣传费x （万元）与年销售量y （吨）之间近似满足关系式b y a x =⋅（,0a b >）．对上述数据作了初步处理，得到相关的值如表：（1）根据所给数据，求关于x 的回归方程； （2）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为e14zx =-若想在2019年达到年利润最大，请预测2019年的宣传费用是多少万元？附：对于一组数据()1,l u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u a β=⋅+中的斜率和截距的最小二乘估计分别为()1221()()ni i i nii u v n uv un u β==-=-∑∑，v u αβ=-⋅【答案】（1）y e =2）当2018年的宣传费用为98万元时，年利润有最大值. 【解析】 【分析】（1）转化方程by a x =⋅，结合线性回归方程参数计算公式，计算，即可.（2）将z 函数转化为二次函数，计算最值，即可. 【详解】（1）对by a x =⋅，（0a >，0b >），两边取对数得ln ln ln y a b x =+，令ln i i u x =，ln i i v y =，得ln v a b u =+⋅，由题目中的数据，计算24.6 4.16u ==，18.33.056v ==， 且()()6611ln ln i iiii i u v x y ====∑∑ 75.3，()6622111n 101.4i ii i u x ====∑∑；则()6162216ˆ6i i i i i u v u v b u u ==-⋅=-⋅∑∑ 275.36 4.1 3.05101.46 4.1-⨯⨯=-⨯ 0.2710.542==， 1ln ln 3.05 4.112a v u =-=-⨯=， 得出ˆae =， 所以y 关于x的回归方程是ˆye = （2）由题意知这种产品的年利润z 的预测值为14ˆe z x e =-=1414e e x -=-(14e x -=-27e +，=98x =时，ˆz 取得最大值，即当2019年的年宣传费用是98万元时，年利润有最大值.【名师点睛】考查了线性回归方程求解，考查了二次函数计算最值问题，关键结合题意，得到回归方程，第二问关键转化为二次函数问题，难度中等.。

高三数学《概率统计(文科)》练习

高三数学《概率统计(文科)》练习

文科数学《统计与概率》核心知识点与参考练习题一、统计（核心思想：用样本估计总体）1.抽样（每个个体被抽到的概率相等）（1）简单随机抽样：抽签法与随机数表法（2）系统抽样（等距抽样）（3）分层抽样2.用样本估计总体：（1）样本数字特征估计总体：众数、中位数、平均数、方差与标准差（2）样本频率分布估计总体：频率分布直方图与茎叶图3.变量间的相关关系：散点图、正相关、负相关、回归直线方程（最小二乘法）4.独立性检验二、概率（随机事件发生的可能性大小）1.基本概念（1）随机事件A的概率()()1,0∈AP（2）用随机模拟法求概率（用频率来估计概率）（3）互斥事件（对立事件）2.概率模型（1）古典概型（有限等可能）（2）几何概型（无限等可能）三、参考练习题1.某校高一年级有900名学生，其中女生400名.按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为_______ .2.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比是3:3:4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则该从高二年级抽取_____名学生.3.某校老年、中年和青年教师的人数见右表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为_______ .4.已知一组数据5.5,4.5,1.5,8.4,7.4，则该组数据的方差是_____．5.若1,2,3,4，m这五个数的平均数为3，则这五个数的标准差为____.6.重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如右图：则这组数据的中位数是________．7.某高校调查了200名学生每周的晚自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中晚自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A.56B.60C.120D.1408.（2016四川文）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查. 通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 [0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5] 分成9组，制成了如图的频率分布直方图. （Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数.类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计43009.（2015全国Ⅱ文）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表. A 地区用户满意度评分的频率分布直方图B 地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组[50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]频 数2814106（Ⅰ）作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；B 地区用户满意度评分的频率分布直方图（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：试估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由.10.（2014安徽文）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）. （Ⅰ）应收集多少位女生的样本数据？（Ⅱ）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2,4]，（4,6]，（6,8]，（8,10]，（10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；（Ⅲ）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.附：()()()()()d b c a d c b a bc d a n K ++++-=22满意度评分 低于70分 70分到89分不低于90分 满意度等级不满意满意非常满意()02k K P ≥ 0.10 0.05 0.01 0.005 0k 2.706 3.841 6.635 7.87911.（2014全国Ⅰ文）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85）[85,95）[95,105）[105,115）[115,125] 频数 6 26 38 22 8（Ⅰ）在下表中作出这些数据的频率分布直方图：（Ⅱ）估计这种产品质量指标值的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？12.（2014广东文）某车间20名工人年龄数据如下表：（Ⅰ）求这20名工人年龄的众数与极差；（Ⅱ）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（Ⅲ）求这20名工人年龄的方差.13.（2016江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是_______ .14.从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为_______ .15.（2016全国乙卷文）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是______ .16.（2016全国丙卷文）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M、I、N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是________ .17.（2016天津文）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率为21，甲获胜的概率是31，则甲不输的概率为_________ .18.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品.现从这5件产品中任选2件，恰有一件次品的概率为_________ .19.某单位N 名员工参加“社区低碳你我他”活动.他们的年龄在25岁至50岁之间.按年龄分区间 [25，30） [30，35） [35，40） [40,45） [45,50]人数 25 a b（Ⅰ）求正整数a ，b ，N 的值；（Ⅱ）现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？（Ⅲ）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率.20.（2016全国Ⅰ文）某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）A.31B.21C.32D.4321.（2016全国Ⅱ文）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ） A.107 B.85 C.83 D.103 22.在区间[-2,3]上随机选取一个数x ，则1≤x 的概率为_____ .23.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是_______ .24.如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_________ .25.为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y 对x 的线性回归方程为（ ）A .1ˆ-=x yB .1ˆ+=x yC .x y 2188ˆ+= D .176ˆ=y26.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下：根据上表可得回归方程a x b yˆˆˆ+=中的b ˆ为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A .63.6万元 B .65.5万元 C .67.7万元 D .72.0万元27.随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：年 份 2011 2012 2013 2014 2015 时间代号t 1 2 3 4 5 储蓄存款y （千亿元）567810（Ⅰ）求y 关于t 的回归方程a t b yˆˆˆ+=； （Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2011年至2015年该地区城乡居民储蓄存款的变化情父亲身高x （cm ） 174 176 176 176 178 儿子身高y （cm ）175175176177177广告费用x （万元） 4 2 3 5 销售额y （万元）49263954况，并预测该地区2016年（t =6）的人民币储蓄存款.附：回归方程a t b yˆˆˆ+=中，t b y atn tyt n y t b ni ini ii ˆˆ,ˆ1221-=--=∑∑==.28.甲、乙两所学校高三年级分别有1200人、1000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样的方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下： 甲校：乙校：（1）计算y x ,的值；（2）若规定考试成绩在[120,150]内为优秀，请分别估计两所学校数学成绩的优秀率； （3）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为两所学校的数学成绩有差异.参考数据与公式：由列联表中数据计算()()()()()d b c a d c b a bc ad n K ++++-=22；临界值表：29.一次考试中，5名学生的数学、物理成绩如下表所示：（1）要从5名学生中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率；（2）根据上表数据作散点图，求y 与x 的线性回归方程（系数精确到0.01）.附：回归直线的方程是：a x b y ˆˆˆ+=，其中()()()x b y ax x y y x x b ni ini iiˆˆ,ˆ121-=---=∑∑==； 90,93==y x ，()()()30,4051251=--=-∑∑==y y x x x x ii ii i .30.为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽取100名市民，按年龄情况进行统计得到下面的频率分布表和频率分布直方图.（1）求频率分布表中a 、b 的值，并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计有意购车的这500名市民的平均年龄；31.（2016新课标Ⅱ）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数0 1 2 3 4 ≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数0 1 2 3 4 ≥5概率0.300.150.200.200.100.05（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；32.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机分组（岁） 频数 频数[20,25) 5 0.050 [25,30) 200.200 [30,35) a0.350[35,40) 30 b[40,45] 10 0.100 合计1001.000摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为____________ .33.现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，某同学从中任取2道题解答.试求：（1）所取的2道题都是甲类题的概率；（2）所取的2道题不是同一类题的概率.A,两地区分别随机调查了20个用户，得到用34.某公司为了解用户对其产品的满意度，从B户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；。

2020高考数学专题复习概率文

2020高考数学专题复习概率文

2020高考数学专题复习：概率（文科）1. 某果农选用一片山地栽种砂糖桔, 收获时 , 该果农随机选用果树20 株作为样本丈量它们 , 每一株的果实产量( 单位 :kg), 获取的全部数据依据区间40,45 , 45,50 , 50,55 , 55,60 进行分组,获取频次散布直方图如图,已知样本50上的果树株数是产量在区间4中产量在区间45,50,60上的果树株数的 3 倍.( Ⅰ ) 求a,b的值( Ⅱ ) 从样本中产量在区间 50, 60上的果树随机抽取两株,求产量在区间55, 60上的果树起码有一株被抽中的概率 .频次组距a0.06b0.02O4045 50 55 60产量 /kg图32. 一个均匀的正四周体上分别有1，2，3，4四个数字 , 现随机扔掷两次 , 正四周风光朝下的数字分别为b,c( Ⅰ ) 记z b3 2c 3 2, 求z 4的概率(Ⅱ)若方程 x2bx c 0起码有一根x 1,2,3,4，称该方程为“美丽方程”,求方程为“美丽方程”的概率 .3. 以下茎叶图记录了甲组 3 名同学寒假假期中去图书室 A 学习的次数和乙组 4 名同学寒假假期中去图书室 B 学习的次数 .乙组记录中有一个数据模糊, 没法确认 , 在图中以x表示 .( Ⅰ ) 假如x7, 求乙组同学去图书室学习次数的均匀数和方差( Ⅱ ) 假如x9,从学习次数大于8的学生中选两名同学,求选出的两名同学恰巧分别在两个图书室学习且学习的次数和大于20 的概率 .甲组乙组90x 891 2124. 某市为了认识今年高中毕业生的体能状况, 从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试, 成绩在8.0米( 精准到0.1米 ) 以上的为合格 . 把所得数据进行整理后 ,分红 6组画出频次散布直方图的一部分( 如图 ), 已知从左到右前5个小组的频次分别为 0.04,0.10,0.14,0.28,0.30 .第6小组的频数是 7.( Ⅰ ) 求此次铅球测试成绩合格的人数( Ⅱ ) 若由直方图来估计这组数据的中位数, 指出它在第几组内,并说明原因( Ⅲ ) 若参加此次测试的学生中, 有 9 人的成绩为优异,此刻要从成绩优异的学生中, 随机选出 2 人参加“毕业运动会”,已知a 、b 的成绩均为优异, 求两人起码有 1 人当选的概率.5.高三某班有两个数学课外兴趣小组, 第一组有2名男生 , 2名女生 , 第二组有3名男生 , 2名女生 . 此刻班主任老师要从第一组选出 2 人,从第二组选出 1人,请他们在班会上和全班同学分享学习心得. ( Ⅰ ) 求选出的3人均是男生的概率( Ⅱ ) 求选出的3人中有男生也有女生的概率.6. 一个袋中装有四个形状大小完好同样的球, 球的编号分别为1，2，3，4( Ⅰ ) 从袋中随机抽取一个球, 将其编号记为a, 而后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球, 将其编号记为b. 求对于 x 的一元二次方程x22ax b20有实根的概率( Ⅱ ) 先从袋中随机取一个球, 该球的编号为m, 将球放回袋中 , 而后再从袋中随机取一个球, 该球的编号为n. 若以x y0(m, n)作为点p的坐标 ,求点p落在地区x y5 0内的概率 .7. 某网站体育版块足球栏目组倡始了“射手的上一场进连续进球有关系”的检查活动，在全部参加检查的人中，持“有关系”“没关系”“不知道”态度的人数如表所示：有关系没关系不知道40 岁以下80045020040 岁以上（含40150300岁）100 ( Ⅰ ) 在全部参加检查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从持“有关系”态度的人中抽取 45人，求n（Ⅱ）在持“不知道”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人当作一个整体，从这5人中任选用 2人，求起码一人在 40 岁以下的概率（Ⅲ）在接受检查的人中，有8 人给这项活动打出分数以下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2 ，把这8 个人打出的分数看做一个整体，从中任取1个数，求该数与整体均匀数之差的绝对值超出0.6的概率8. 一个盒子中装有 4 张卡片，每张卡片上写有 1 个数字，数字分别是1,2,3,4 ，现从盒子中随机抽取卡片．( Ⅰ ) 若一次从中随机抽取 3 张卡片，求 3 张卡片上数字之和大于或等于7 的概率（Ⅱ）若第一次随机抽取 1 张卡片，放回后再随机抽取 1 张卡片，求两次抽取的卡片中起码一次抽到 2 的概率9.某学校组织 500 名学生体检，按身高（单位： cm ）分组：第 1 组155,160，第 2 组160,165，第 3 组165,170，第 4 组170,175，第 5 组175,180，获取的频次散布直方图以下图．( Ⅰ ) 下表是身高的频数散布表，求正整数m, n的值区间155，160160，165165，170170，175175，180（Ⅱ）现人数5050m150n在要从第1,2,3组顶用分层抽样的方法抽取 6 人，第1,2,3组应抽取的人数分别是多少？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，从这 6 人中随机抽取 2人，求起码有 1 人在第 3 组的概率10.参加市数学调研抽测的某校高三学生成绩剖析的茎叶图和频次散布直方图均遇到不一样程度的损坏，但可见部分信息以下，据此解答以下问题：（Ⅰ）求参加数学抽测的人数n、抽测成绩的中位数及分数分别在80,90 ， 90,100内的人数（Ⅱ）若从分数在80,100内的学生中任选两人进行调研讲话，求恰巧有一人分数在90,100 内的概率．1 a0.08, b0.04, p9. 2 p z 42,1,2, 2,3, 3,4p3. 3 x9, S27.p5. 4 36.4. 151616215535647137. 9 n 14p. 5 p, p. 6 p, p. 7 n100, p.p. 8 p.p50;1,1,4; p.1230612161084161510 n25,73;4,2.p8152020高考数学专题复习：概率模拟试题1. 某高级中学共有学生2000人，各年级男、女生人数以下表：已知在全校学生中随机抽取 1 名，抽到高二年级女生的概率是0.19（Ⅰ）现用分层抽样的方法在全校抽取48 名学生，问应在高三年级抽取多少人？（Ⅱ）已知y245, z245,求高三年级女生比男生多的概率.高一高二高三女生373x y男生377370z2. 某商场为吸引顾客花费推出一项优惠活动．活动规则以下：花费每满100元能够转动以下图的圆盘一次，此中O为圆心，且标有20 元、 10 元、 0 元的三部分地区面积相等，假定指针停在任一地点都是等可能的．当指针停在某地区时，返相应金额的优惠券. （比如：某顾客花费了218元，第一次转动获取了20 元，第二次获取了10 元，则其共获取了30 元优惠券 . ）顾客甲和乙都到商场进行了花费，并依据规则参加了活动．( Ⅰ) 若顾客甲花费了128元，求他获取优惠券面额大于0 元的概率 ?（Ⅱ）若顾客乙花费了280元，求他总合获取优惠券金额不低于20 元的概率 ?3. 随机抽取某中学甲、乙两班各10 名同学，丈量他们的身高（单位：cm ），获取身高数据的茎叶图如图. ( Ⅰ) 依据茎叶图判断哪个班的均匀身高较高（Ⅱ）现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率4. 商场举行购物抽奖活动，每位顾客从装有编号为0,1,2,3四个同样小球的抽奖箱中，每次拿出一球记下编号后放回，连续取两次，若拿出的两个小球号码相加之和等于6则中一等奖，等于5中二等奖，等于 4 或3中三等奖( Ⅰ) 求中三等奖的概率（Ⅱ）求中奖的概率5. 为认识《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及状况，检查部门对某校6名学生进行问卷检查，6人得分状况以下：5,6,7,8,9,10.把这 6 名学生的得分当作一个整体( Ⅰ) 求该整体的均匀数（Ⅱ）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取 2 名，他们的得分构成一个样本. 求该样本均匀数与整体均匀数之差的绝对值不超出0.5的概率6. 为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A, B,C的有关人员中，抽取若干人构成研究小组、有关数据见下表（单位：人）( Ⅰ) 求x, y（Ⅱ）若从高校 B,C抽取的人中选 2 人作专题讲话，求这二人都来自高校C 的概率高校有关人数 抽取人数A 18 xB36 2C 54y7 ．为认识学生身高状况，某校以 10% 的比率对全校 700 名学生按性别进行抽样检查，测得身高状况统计图如下：( Ⅰ) 估计该校男生的人数 （Ⅱ）估计该校学生身高在170 ~ 185 之间的概率（Ⅲ）从样本中身高在180~ 190之间的男生中任选 2 人，求起码有 1 人身高在185 ~ 190之间的概率8 ．设平面向量a mm,1 , b n = 2, n ，此中 m,n 1,2,3,4( Ⅰ ) 请列出有序数组 m,n的全部可能结果（Ⅱ）记“使得a m（am -b n）建立的m, n”为事件 A ，求事件 A 发生的概率rr9. 设连续掷两次骰子获取的点数分别为 m 、 n, 令平面向量a(m, n) , b (1, 3) ．r r( Ⅰ ) 求使得事件“ab”发生的概率rr( Ⅱ ) 求使得事件“| a || b |”发生的概率ym x 与圆x 3 2y 21( Ⅲ ) 使得事件“直线 n订交”发生的概率．10. 设有对于x的一元二次方程x22ax b20 ．(Ⅰ)若 a 是从 0，1，2，3 四个数中任取的一个数， b 是从01，，2三个数中任取的一个数，求方程有实根的概率（Ⅱ）若 a 是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率11. 设一元二次方程Ax2Bx C, 依据以下条件分别求解(Ⅰ) 若A1, B、 C是一枚骰子先后掷两次出现的点数, 求方程有实数根的概率（Ⅱ）设BA,C A3, A随机的取实数使方程有实数根, 求方程起码有一个非正实数根的概率12. 为认识一个小水库中养殖的鱼有关状况，从这个水库中多个不一样地点捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量（单位：千克），并将所得数据分组，画出频次散布直方图（Ⅰ）估计数据落在 1.15,1.30 中的概率（Ⅱ）将上边捕捞的100 条鱼分别作记号后再放回水库，几日后再从水库的多处不一样地点捕捞出120 条鱼，其中带有记号的鱼有 6 条，请依据这一状况来估计该水库中鱼的总条数13. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树. 乙组记录中有一个数据模糊，在图中以X 表示.( Ⅰ) 假如X8,求乙组同学植树棵树的均匀数和方差（Ⅱ）假如X 9 ，分别从甲、乙两组中随机选用一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19 的概率 .14. 某日用品按行业质量标准分红五个等级，等级系数X 挨次为1，2，3，4，5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计剖析，获取频次散布表以下：X12345f a0.20.45b c( Ⅰ ) 若所抽取的20 件日用品中，等级系数为 4 的恰有4 件，等级系数为 5 的恰有 2 件，求a、b、c的值（Ⅱ）在 ( Ⅰ ) 条件下，将等级系数为4的3件记为x1, x2, x3,等级为5的2件记为y1, y2，现从 x1 , x2 , x3 , y1 , y2这 5 件日用品中任取两件，写出全部可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰巧相等的概率15. 在某次测试中，有 6 位同学的均匀成绩为 75 分，用x n表示编号为n n1,2, ,6的同学所得成绩，且前 5 位同学的成绩以下：编号 n12345成绩xn7076727072( Ⅰ ) 求第 6 位同学的成绩x6 ，及这 6 位同学成绩的标准差S（Ⅱ）以前 5位同学中，随机地选 2位同学，求恰有 1位同学成绩在区间68,75 中的概率16.某河流上一座水力发电站，每年六月份的发电量Y 与该河上游在六月份时的降雨量X 有关，据统计，当X70时，Y 460；X每增添10，Y增添5．已知近20 年X的值为: 140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110, 160,160,200,140,110,160,220,140,160（Ⅰ）达成以下的频次散布表:近 20年六月份降雨量频次散布表降雨量70110140160200220频次0.050.20.1（Ⅱ）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的散布规律同样，并将频次看作概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490 或超出 530 的概率17.（某农场计划栽种某种新作物，为此对这类作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分红n 小块地，在总合2n 小块地中，随机选n 小块地栽种品种甲，此外n 小块地栽种品种乙．( Ⅰ )假定n 2 ，求第一大块地都栽种品种甲的概率（Ⅱ）试验时每大块地分红8 小块，即n8，试验结束后获取品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位： kg/hm2）以下表：品种甲403397390404388400412406品种乙419403412418408423400413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本均匀数和样本方差；依据试验结果，你以为应当种哪一品种？18.假定甲乙两种品牌的同类产品在某地域市场上销售量相等，为认识他们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取 100 个进行测试，结果统计以下：（Ⅰ）估计甲品牌产品寿命小于200 小时的概率（Ⅱ）这两种品牌产品中，某个产品已使用了 200小时，试估计该产品是甲品牌的概率19. 某校 100名学生期中考试语文成绩的频次散布直方图如图 4 所示，此中成绩分组区间是：50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100( Ⅰ )求图中a的值（Ⅱ）依据频次散布直方图，估计这100名学生语文成绩的均匀分（Ⅲ）若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数（ x ）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比方下表所示，求数学成绩在50,90以外的人数分数段60,7070,8080,9050,60x : y 1 : 1 2 : 1 3 : 4 4 : 520. 袋中有五张卡片，此中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标 号分别为1,2.( Ⅰ ) 从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不一样且标号之和小于 4 的概率( Ⅱ ) 现袋中再放入一张标号为 0 的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不一样且标号之和 小于4的概率.21. 某地有小学 21 所 , 中学 14 所 , 大学 7 所，现采纳分层抽样的从这些学校中抽取 6 所学校正学生进行视力调查( Ⅰ ) 求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目 （Ⅱ）若从抽取的6 所学校中随机抽取2 所学校做进一步数据剖析，（ 1 ）列出全部可能的抽取结果（ 2 ）求抽取的 2 所学校均为小学的概率22. 某花店每日以每枝 5 元的价钱从农场购进若干枝玫瑰花，而后以每枝10 元的价钱销售 . 假如当日卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾办理 .（Ⅰ）若花店一天购进 17 枝玫瑰花，求当日的收益y( 单位：元 ) 对于当日需求量 n的函数分析式（Ⅱ）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量 n14 15 16 17 18 19 20 频数10201616151310(i) 假定花店在这 100 天内每日购进 17 枝玫瑰花，求这 100 天的日收益（单位：元）的均匀数(ii) 若花店一天购进 17 枝玫瑰花，以 100 天记录的各需求量的频次作为各需求量发生的概率，求当日的收益许多于 75 元的概率 .23. 若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超出1mm时，则视为合格品，不然视为不合格品，在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取 5000 件进行检测，结果发现有 50 件不合格品 , 计算这50 件不合格品的直径长与标准值的差（单位： mm） , 将所得数据分组，获取以下频次散布表：分组 频数频次3, 20.12, 1 81,20.52,3 103，4共计50 1（Ⅰ）将上边表格中缺乏的数据补齐（Ⅱ）估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间1,3内的概率（Ⅲ）现对该厂这类产品的某个批次进行检查，结果发现有20 件不合格 , 据此估量这批产品中的合格品的件数24. 某商场为认识顾客的购物量及结算时间等信息，随机采集了在该商场购物的100位顾客的有关数据，以下表 :已知这 100位顾客中的一次购物量超出8 件的顾客占55 ％（Ⅰ）确立x, y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的均匀值（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超出 2 分钟的概率 . （将频次视为概率）25. 某中学从高二年级学生中随机地抽取120名学生，测得身高状况以下表所示. ( Ⅰ ) 请在频次散布表中的①，②地点上填上适合的数据，并补全频次散布直方图（Ⅱ）现从180～190这些同学中随机地抽取两名，求身高为185以上(包含185)的同学被抽到的概率26.由世界自然基金会倡始的“地球1 小时”活动，已发展成为最有影响力的环保活动之一，今年的参加人数再创新高 . 但是也有部分民众对该活动的实质成效与负面影响提出了疑问. 对此，某新闻媒体进行了网上检查，所有参加检查的人中，持“支持”、“保存”和“不支持”态度的人数以下表所示：支持保存 不支持 20 岁以下800450 20020 岁以上（含 20 岁） 100150300（Ⅰ）在全部参加检查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从 “支持 ”态度的人中抽取了 45 人，求 n值 （Ⅱ）在持 “不支持 ”态度的人中，用分层抽样的方法抽取 5 人当作一个整体，从这5 人中随意选用2 人，求至罕有 1 人 20 岁以下的概率（Ⅲ）在接受检查的人中，有 8 人给这项活动打出的分数以下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2 把这 8 个人打出的分数看作一个整体，从中任取1 个数，求该数与整体均匀数之差的绝对值超出0.6 的概率 .27. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理订价，将该产品按预先制定的价钱进行试销，获取以下数据：$bx a ，此中 b 20( Ⅰ ) 求回归直线方程 y（Ⅱ）估计在此后的销售中，销量与单价仍旧听从 ( Ⅰ ) 中的关系，且该 产品的成本是 4 元 / 件，为使工厂获取最大收益，该产品的单价应定为多少元？28. 某班同学利用寒假进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯能否切合低碳观点的检查，若生活习惯切合低碳观点的称为“低碳族”，不然称为“非低碳族”，获取以下统计表和各年纪段人数频次散布直方图：（Ⅰ）补全频次散布直方图并求n, a, p的值（Ⅱ）从年纪段在[40,50)的“低碳族”中采纳分层抽样法抽取 6 人参加户外低碳体验活动，此中选用 2 人作为领队，求选用的 2 名领队中恰有 1 人年纪在[40,45)岁的概率29. 有A, B, C , D , E五位工人参加技术比赛培训．现分别从A, B二人在培训时期参加的若干次初赛成绩中随机抽取 8 次．用茎叶图表示这两组数据以下：（Ⅰ）现要从A, B中选派一人参加技术比赛，从均匀状况和方差的角度考虑，派哪位工人参加适合?（Ⅱ）若从参加培训的 5 位工人中选 2 人参加技术比赛，求A, B二人中起码有一人参加技术比赛的概率．30. 汽车是碳排放量比较大的行业之一，欧盟规定，从2020年开始，将对CO2排放量超出130g / km 的M1 型新车进行处罚，某检测单位对甲、乙两类M1 型品抽取5辆进行CO2 排放量检测，记录以下甲80110120140150乙100120x y160经测算发现，乙品牌车CO2排放量的均匀值为x乙120g / km.（Ⅰ）从被检测的 5 辆甲类品牌中任取 2 辆，则起码有一辆CO2排放量超标的概率是多少？（Ⅱ）若乙类品牌的车比甲类品牌的CO2的排放量的稳固性要好，求x的范围31. 某中学随机抽取了50 名学生举行了一次环保知识比赛, 本次比赛的成绩( 得分均为整数, 满分 100 分 ) 整理得到的频次散布直方图如右 .( Ⅰ ) 若图中第一组 ( 成绩为40,50) 对应矩形高是第六组( 成绩为90,100) 对应矩形高的一半, 试求第一组、第六组分别有学生多少人 ?（Ⅱ）在 ( Ⅰ ) 的条件下 , 若从第一组中选出一名学生, 从第六组中选出 2 名学生 , 共 3 名学生召开会谈会 , 求第一组中学生A1 和第六组中学生B1 同时被选中的概率？频次组距0.0300.0280.0240.006O405060708090100 成绩32. 某产品按行业生产标准分红8个等级，等级系数ξ挨次为1,2,⋯,8，此中ξ5为标准 A ，ξ3为标准B ，产品的等级系数越大表示产品的质量越好．已知某厂履行标准 B 生产该产品，且该厂的产品都切合相应的履行标准．从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数构成一个样本，数据以下：35338556346347534853 8343447567该行业规定产品的等级系数ξ7的为一等品，等级系数5 ξ 7的为二等品，等级系数3 ξ 5的为三等品．（Ⅰ）试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率（Ⅱ）从样本的一等品中随机抽取 2 件，求所抽得2 件产品等级系数都是8 的概率33. 某单位为了认识职工喜爱户外运动能否与性别有关，决定从本单位全体650人中采纳分层抽样的方法抽取50人进行了问卷检查，获取了以以下联表：喜爱户外运动不喜爱户外运动共计男性5女性10共计503已知在这50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱户外运动的职工的概率是5( Ⅰ ) 请将上边的列联表增补完好（Ⅱ）求该企业男、女员各多少名（Ⅲ）能否有99.5%的掌握以为喜爱户外运动与性别有关？并说明你的原因；下边的临界值表仅供参照：P(K 20.100.050.0250.0100.0050.001k) 0.15k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828参照公式： K 2 =n(ad bc)2,此中 n a b c d(a b)(c d )(a c)( b d )34. 电视传媒企业为了认识某地域电视观众对某类体育节目的收视状况，随机抽取了100 名观众进行检查，此中女性有55 名 . 下边是依据检查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频次散布直方图；非体育迷体育迷共计男女共计将日均收看该体育节目时间不低于40 分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10 名女性( Ⅰ ) 依据已知条件达成下边的 2 2 列联表，并据此资料你能否定为“体育迷”与性别有关？( Ⅱ ) 将日均收看该体育项目不低于从“超级体育迷”中随意选用250 分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有人，求起码有 1 名女性观众的概率2 名女性，若5 2 2，23 5731 12, .2 ,， . 4 , . 5 x 7.5, P 7 8 . 6 x 1, y 3, P A .3 . 3 x 甲 170 x 乙171.1811 35 815 1035 1 9 3m21 2 6 5 9 4 19， Ax 2 Ax A 30.7 400,2 ,. 8 16.n 18 . 9， ， . 10， .117015 536 36 3612 636n 2 335114 142n 10,3 . 12 0.47,2000. 13 x , S 2 , . 14 a 0.05, b 0.2,c0,4 44 16 16 410515 x 690, S 7.p2. 16 0.15,0.35,0.15; Y 0.5 X 425P x 130, x210 0.3 171, x 甲 400，56x乙，2，256. 18 p1 7515. 19 a 0.05, x，3, 815412S 甲57.25 S 乙4 ,2973 10. 2010 . 21 3,2,1.n14515p1 22 y85, n 17x 76.4, p x 750.7 23 0.7,1980 24 x 15, y20, x 1.9, p7 25 6,10n 85, n 175100.35， p21. 26 n 100, p7.x9, p1. 27 a 250.Lx420x 25020 x 2 330x 100036108x 8.25 34 50/ 50, K28.399.5%. 28 p0.65, a60, n1000.4 : 2p8. 29 x 甲 x 乙 85，15S 甲 2 41， S 乙 235.5. p 7. 30 p 7, x y 220, x 2 220x 11700 0 90,130 . 31 2,4; p 3 110 10 12 4 326,9,15 , p1 ， ； K2 25 99.5%. 34 30,15,45,10.k 2100 3.03 3.841 730. 33 325 325 3 33 90% .p510 2020 山东文科高考真题：概率（ 14 ）海关同时从A, B, C三个不一样地域入口的商品进行抽样检查，从各地域入口该商品的数目以下图，工作人员用分层抽样的的方法从这些商品中共抽取6 件样品进行检测（Ⅰ）求这 6 件样品中来自A, B,C各地域商品的数目（Ⅱ）若在这 6 件样品中随机抽取2 件送往甲机构进前进一步检测，求这2 件商品来自同地域的概率地域 ABC数目50 150100（ 13 ）某小组共有 A 、B 、C 、D 、E五位同学，他们的身高（单位: 米）以及体重指标（单位:千克 /米 2）以下表所示：AB C D E 身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 体重指标19.225.118.523.320.9（Ⅰ）从该小组身高低于 1.80的同学中任选 2 人，求选到的2 人身高都在1.78以下的概率（Ⅱ）从该小组同学中任选2 人，求选到的 2 人的身高都在1.70以上且体重指标都在 18.5,23.9 中的概率（ 12 ）袋中有五张卡片，此中红色卡片三张，标号分别为 1 、2 、3 ；蓝色卡片两张，标号分别为1 、 2.（Ⅰ）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不一样且标号之和小于 4 的概率（Ⅱ）现袋中再放入一张标号为0 的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不一样且标号之和小于4的概率.（ 11 ）甲、乙两校各有 3 名教师报名支教，此中甲校 2 男 1 女，乙校 1 男 2 女 .（Ⅰ）若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名，写出全部可能的结果，并求选出的 2 名教师性别同样的概率（Ⅱ）若从报名的 6 名教师中任选 2 名，写出全部可能的结果，并求选出的 2 名教师来自同一学校的概率.（ 10 ）一个袋中装有四个形状大小完好同样的球，球的编号分别为1,2,3,4（Ⅰ）从袋中随机取两个球，求拿出的球的编号之和不大于 4 的概率（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，而后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求 n m 2 的概率（ 09 ）汽车厂生产A, B,C三类轿车，每类轿车均有舒坦型和标准型两种型号，某月的产量以下表轿车 A轿车 B轿车C舒坦型100150Z标准型300450600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，此中有 A 类轿车10辆.（Ⅰ）求 Z 的值（Ⅱ）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为 5 的样本，将该样本当作一个整体，从中任取 2 辆，求起码有 1 辆舒坦型轿车的概率（Ⅲ）用随机抽样的方法从 B 类舒坦型轿车中抽取8辆，得分以下 : 9.4,8.6,9.2,9.6,8.7，9.3,9.0,8.2 .把这8辆轿车的得分当作一个整体，从中任取一个数，求该数与样本均匀数之差的绝对值不超出0.5的概率 .（ 08 ）现有8 名奥运会志愿者，此中志愿者A1、A2、A3精通日语，B1、B2、B3精通俄语，C1、C2 精通韩语.从中选出精通日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名，构成一个小组 .（Ⅰ）求A1被选中的概率（Ⅱ）求B1和C1不全被选中的概率 .4 13 3 84 2 1 13 71 5 14 1，3，2； . 13， .1210 ， .119； .103 ； .09 400，；0.75. 08 , .15 2 10 15 316103 62020. 解： (1) 从身高低于 1.80 的同学中任选 2 人，其全部可能的结果构成的基本领件有：(A ，B) ， (A ，C) ，(A ，D) ，(B ，C) ，(B ，D) ，(C ，D) ，共 6个．选到的 2 人身高都在 1.78以下的事件有： (A ， B) ， (A ， C) ，(B ， C) ，共 3 个．3 1所以选到的2 人身高都在 1.78 以下的概率为 6＝2.(2) 从该小组同学中任选 2 人，其全部可能的结果构成的基本领件有：(A ，B) ， (A ，C) ，(A ，D) ，(A ，E) ，(B ，C) ，(B ，D) ，(B ，E) ，(C ， D) ，(C ，E) ，(D ，E) ，共 10 个． 因为每一个人被选到的时机均等，所以这些基本领件的出现是等可能的．选到的 2 人身高都在 1.70 以上且体重指标都在 [18.5,23.9) 中的事件有： (C ， D) ，(C ，E) ， (D ， E) ，共 3 个．3所以选到的2 人的身高都在1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为 10 .2020.（ 1 ）甲校两男教师分别用A 、B 表示，女教师用C 表示；乙校男教师用D 来表示，两女教师用E 、 F表示 .从甲校和乙校报名的教师中各任选1 名的全部可能结果为：( A, D ),( A,E),( A,F ),( B, D ),( B, E),( B,F ),( C, D),( C, E),( C, F) 共 9 种.从中选出两名教师性别同样的结果有：(A,D),( B,D),( C, E),( C, F) 共 4 种，4P选出的两名教师性别同样的概率为9.（ 2 ）从甲校和乙校报名的教师中任选2 名的全部可能结果为：A,B, A,C, A,D ,A,E, A,F, B,C,B,D, B,E, B,F,C,D,C,E,C,F, D,E,D,F, E,F 共15 种从中选出的两名教师来自同一学校的结果有：( A, B),( A,C),( B,C),( B, D ),( D ,E),( E,F ) 共6种 ，P6 2选出的两名教师来自同一学校的概率为15 3 .50 102020 解: (1). 设该厂本月生产轿车为 n 辆 , 由题意得 , n100 300,所以 n=2000.z=2000-100-300-150-450-600=400400 m设所抽样本中有 m 辆舒坦型轿车 , 用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本 , 所以 10005, 解 得 m=2 也就是抽取了 2 辆舒坦型轿车 ,3 辆标准型轿车 , 分别记作 S1,S2;B1,B2,B3, 则从中任取 2 辆的基本领件为(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3) 共 10 个 , 此中起码有 1 辆舒坦型轿车的基本领件有7 个基本领件 :(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),。

2020年高考数学(文数)解答题强化专练——概率与统计解析版

2020年高考数学(文数)解答题强化专练——概率与统计解析版

（文数）解答题强化专练——概率与统计一、解答题（本大题共10小题，共120.0分）1.党中央、国务院历来高度重视青少年的健康成长．“少年强则国强”，青少年身心健康、体魄强健、意志坚强、充满活力，是一个民族旺盛生命力的体现，是社会文明进步的标志，是国家综合实力的重要方面．全面实施《国家学生体质健康标准》，把健康素质作为评价学生全面健康发展的重要指标，是新时代的要求．《国家学生体质健康标准》有一项指标是学生体质指数（BMI），其计算公式为：，当BMI＞23.5时认为“超重”，应加强锻炼以改善BMI．某高中高一、高二年级学生共2000人，人数分布如表（a）．为了解这2000名学生的BMI指数情况，从中随机抽取容量为160的一个样本．性别男生女生合计年级高一年级5506501200高二年级425375800合计97510252000表（a）（1）为了使抽取的160个学生更具代表性，宜采取分层抽样，试给出一个合理的分层抽样方案，并确定每层应抽取出的学生人数；（2）分析这160个学生的BMI值，统计出“超重”的学生人数分布如表（b）．性别男生女生年级高一年级46高二年级24表（b）（i）试估计这2000名学生中“超重”的学生数；（ii）对于该校的2000名学生，应用独立性检验的知识，可分析出性别变量比年级变量与“是否超重”关联性更强．应用卡方检验，可依次得到K2的观察值k1，k2，是判断k1和k2的大小关系．（只需写出结论）2.“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求．“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用．每次考试过后，考生最关心的问题是：自己的考试名次是多少？自已能否被录取？能获得什么样的职位？某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300名，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2000名，考试满分为400分．考试后对部分考生考试成绩进行抽样分析，得到频率分布直方图如下：试结合此频率分布直方图估计：（1）此次考试的中位数是多少分（保留为整数）？（2）若考生甲的成绩为280分，能否被录取？若能被录取，能否获得高薪职位？（分数精确到个位，概率精确到千分位）3.纪念币是一个国家为纪念国际或本国的政治、历史，文化等方面的重大事件、杰出人物、名胜古迹、珍稀动植物、体育赛事等而发行的法定货币．我国在1984年首次发行纪念币，目前已发行了115套纪念币，这些纪念币深受邮币爱好者的喜爱与收藏.2019年发行的第115套纪念币“双遗产之泰山币”是目前为止发行的第一套异形币，因为这套纪念币的多种特质，更加受到爱好者追捧．某机构为调查我国公民对纪念币的喜爱态度，随机选了某城市某小区的50位居民调查，调查结果统计如下：喜爱不喜爱合计年龄不大于40岁24年龄大于40岁20合计2250（Ⅰ）根据已有数据，把表格数据填写完整，判断能否在犯错误的概率不超过1%的前提下认为不同年龄与纪念币的喜爱无关？（Ⅱ）已知在被调查的年龄不大于40岁的喜爱者中有5名男性，其中3位是学生，现从这5名男性中随机抽取2人，求至多有1位学生的概率．附：，n=a+b+c+d．P（K2≥k）0.1000.0500.0250.010k 2.706 3.841 5.024 6.6354.某市一水电站的年发电量y(单位：亿千瓦时)与该市的年降雨量x(单位：毫米)有如下统计数据：2013年2014年2015年2016年2017年降雨量x (毫米) 1 500 1 400 1 900 1 600 2 100发电量y (亿千瓦7.4 7.0 9.2 7.9 10.0时)(1)若从统计的5年中任取2年，求这2年的发电量都高于7.5 亿千瓦时的概率；(2)由表中数据求得线性回归方程为＝0.004x＋，该水电站计划2019年的发电量不低于8.6 亿千瓦时，现由气象部门获悉2019年的降雨量约为1 800 毫米，请你预测2019年能否完成发电任务？5.2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X （单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和中位数a（a的值精确到0.01）；（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为[6.5，7，5），[7.5，8.5）的学生中抽取9名参加座谈会．（i）你认为9个名额应该怎么分配？并说明理由；（ii）座谈中发现9名学生中理工类专业的较多．请根据200名学生的调研数据，填写下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为学生阅读时间不足（每周阅读时间不足8.5小时）与“是否理工类专业”有关？阅读时间不足8.5小时阅读时间超过8.5小时理工类专业4060非理工类专业附：．临界值表：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.8286.2017年3月郑州市被国务院确定为全国46个生活垃圾分类处理试点城市之一，此后由郑州市城市管理局起草公开征求意见，经专家论证，多次组织修改完善，数易其稿，最终形成《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》（以下简称《办法》）．《办法》已于2019年9月26日被郑州市人民政府第35次常务会议审议通过，并于2019年12月1日开始施行．《办法》中将郑州市生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾4类为了获悉高中学生对垃圾分类的了解情况，某中学设计了一份调查问卷，500名学生参加测试，从中随机抽取了100名学生问卷，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…，[80，90]，并整理得到如图频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数不低于60的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的学生人数；（Ⅲ）学校环保志愿者协会决定组织同学们利用课余时间分批参加“垃圾分类，我在实践”活动，以增强学生的环保意识．首次活动从样本中问卷成绩低于40分的学生中随机抽取2人参加，已知样本中分数小于40的5名学生中，男生3人，女生2人，求抽取的2人中男女同学各1人的概率是多少？7.某汽车公司生产新能源汽车，2019年3-9月份销售量（单位：万辆）数据如表所示：月份x3456789销售量y（万辆） 3.008 2.401 2.189 2.656 1.665 1.672 1.368（1）某企业响应国家号召，购买了6辆该公司生产的新能源汽车，其中四月份生产的4辆，五月份生产的2辆，6辆汽车随机地分配给A，B两个部门使用，其中A 部门用车4辆，B部门用车2辆．现了解该汽车公司今年四月份生产的所有新能源汽车均存在安全隐患，需要召回．求该企业B部门2辆车中至多有1辆车被召回的概率；（2）经分析可知，上述数据近似分布在一条直线附近．设y关于x的线性回归方程为，根据表中数据可计算出，试求出的值，并估计该厂10月份的销售量．8.某商家在某一天统计前5名顾客扫微信红包所得金额分别为5.9元，5.7元，4.7元，3.3元，2.1元，商家从这5名顾客中随机抽取3人赠送礼品．（Ⅰ）求获得礼品的3人中恰好有2人的红包超过5元的概率；（Ⅱ）商家统计一周内每天使用微信支付的人数x与每天的净利润y（单位：元），得到如表：x12162225262930y60100210240150270330根据表中数据用最小二乘法求y与x的回归方程=（，的计算结果精确到小数点后第二位）并估计使用微信支付的人数增加到36人时，商家当天的净利润为多少（计算结果精确到小数点后第二位）？参考数据及公式：①=22.86，=194.29；=268.86；=3484.29，②回归方程：=（其中=，=-）9.某医学院欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，该院派出研究小组分别到气象局与某医院，抄录了1到6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到数据资料见表：月份123456昼夜温差（℃）1011131286就诊人数（个）232630271713该研究小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是相邻的两个月的概率；（2）已知选取的是1月与6月的两组数据．（i）请根据2到5月份的数据，求就诊人数y关于昼夜温差x的线性回归方程：（ii）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该研究小组所得的线性回归方程是否理想？（参考公式==，=-）10.某学校有40名高中生参加足球特长生初选，第一轮测身高和体重，第二轮足球基础知识问答，测试员把成绩（单位：分）分组如下：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100），得到频率分布直方图如图所示．（1）根据频率分布直方图估计成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）用分层抽样的方法从成绩在第3，4，5组的高中生中6名组成一个小组，若6人中随2人担任小组负责人，求这2人来自3，4组各1人的概率．答案和解析1.【答案】解：（1）考虑到BMI应与年龄或性别均有关，最合理的分层应为以下四层：高一男生、高一女生、高二男生、高二女生；则高一男生抽取×160=44（人），高一女生抽取×160=52（人），高二男生抽取×160=34（人），高二女生抽取×160=30（人）；（2）（i）160人中，“超重”人数为4+6+2+4=16（人），“超重”发生的频率为0.1，用样本的频率估计总体的频率，估计这2000名学生中“超重”的学生数为2000×0.1=200（人）；（ii）应用独立性检验的知识，分析出性别变量与年级变量哪一个与“是否超重”的关联性更强，得出K2的观察值k1，k2，则k1和k2的大小关系为k1＞k2．【解析】（1）考虑到BMI与年龄或性别均有关，最合理的分层为高一男生、女生，高二男生、女生；分别求出每层所抽取的人数即可；（2）（i）计算样本中“超重”的人数和频率，用样本的频率估计总体的频率，计算即可；（ii）应用独立性检验的知识分析出性别变量与年级变量哪一个与“是否超重”的关联性更强，得出K2的观察值k1应大于k2．本题考查了分层抽样原理与独立性检验的问题，也考查了用样本估计总体的问题，是基础题．2.【答案】解：（1）设（0.002+0.0029+x）×100=0.5，解得：x=0.0001．∴可得其中位数为：200+×（300-200）≈202．（2）300～400分的人数为：0.001×100×2000=200．280～300分的人数为：0.0041×100×2000×=164．而164+200＞300．∴考生甲的成绩为280分，不能被录取．【解析】（1）设（0.002+0.0029+x）×100=0.5，解得：x．可得其中位数．（2）300～400分的人数为：0.001×100×2000=200.280～300分的人数为：0.0041×100×2000×=164．进而判断出结论．本题考查了频率分布直方图的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.【答案】解：（1）根据题意，设表中数据为喜爱不喜爱合计年龄不大于40岁a b24年龄大于40岁20c d 合计e2250则有e+22=50，则e=28；24+d=50，则d=26，a+20=e=28，则a=8，a+b=24，则b=16，b+c=22，则c=6；故列联表为：喜爱不喜爱合计年龄不大于40岁81624年龄大于40岁20626合计282250则有≈9.623＞6.635．故能在犯错误的概率不超过1%的条件下认为不同年龄与纪念币的喜爱无关．（2）根据题意，记不大于40岁的5位喜爱者中的3位学生记为a，b，c，非学生记为A，B，则从5人中任取2人，共有（a，b），（a，c），（a，A），（a，B），（b，c），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），（A，B）10种结果．其中至多有1位学生的有7种，∴至多有1位学生的概率．【解析】（1）根据题意，由列联表的结构分析可得其他数据，即可完善列联表，进而计算K2的值，据此分析可得答案；（2）根据题意，记不大于40岁的5位喜爱者中的3位学生记为a，b，c，非学生记为A，B；由列举法分析“从这5名男性中随机抽取2人”和“至多有1位学生”的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．本题考查独立性检验的应用，涉及古典概型的计算，属于基础题．4.【答案】解：（1）从统计的5年发电量中任取2年，基本事件为：（7.4，7.0}，{7.4，9.2}，{7.4，7.9}，{7.4，10.0}，{7.0，9.2}，{7.0，7.9}，{7.0，10.0}，{9.2，7.9}，{9.2，10.0}，{7.9，10.0}，共10个；其中这2年的发电量都高于7.5亿千瓦时的基本事件为：{9.2，7.9}，{9.2，10.0}，{7.9，10.0}，共3个．所以这2年的发电量都高于7.5亿千瓦时的概率为．（2）因为．，又直线过点，所以，解得，所以．当x＝1800时，．所以预测该水电站2019年能完成发电任务．【解析】本题考查回归直线方程，概率中的基本事件，属于中档题.（1）确定从统计的5年发电量中任取2年的基本事件、2年发电量都低于8.0（亿千瓦时）的基本事件，即可求出这2年的发电量都低于8.0（亿千瓦时）的概率；（2）先求出线性回归方程，再令x=1800，即可得出结论．5.【答案】解：（1）该组数据的平均数因为0.03+0.1+0.2+0.35=0.68＞0.5，所以中位数a∈[8.5，9.5），由0.03+0.1+0.2+（a-8.5）×0.35=0.5，解得；（2）（i）每周阅读时间为[6，5，7.5）的学生中抽取3名，每周阅读时间为[7.5，8.5）的学生中抽取6名．理由：每周阅读时间为[6，5，7.5）与每周阅读时间为[7.5，8.5）是差异明显的两层，为保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，宜采用分层抽样的方法抽取样本；因为两者频率分别为0.1，0.2，所以按照1：2进行名额分配．（ii）由频率分布直方图可知，阅读时间不足8.5小时的学生共有200×（0.03+0.1+0.2）=66人，超过8.5小时的共有200-66=134人．于是列联表为：阅读时间不足8.5小时阅读时间超过8.5小时理工类专业4060非理工类专业2674K2的观测值，所以有95%的把握认为学生阅读时间不足与“是否理工类专业”有关．【解析】本题主要考查独立性检验的应用，根据数据计算出K2的观测值是解决本题的关键．考查学生的计算能力．（1）根据平均数，中位数的定义进行求解即可,（2）完成列联表，计算K2的观测值，结合独立性检验的性质进行判断即可.6.【答案】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，样本中分数高于60的频率为：（0.02+0.04+0.02）×10=0.8，所以样本中分数高于60的概率为0.8．故从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数高于60的概率估计为0.8．（Ⅱ）根据题意，样本中分数不小于50的频率为：（0.01+0.02+0.04+0.02）×10=0.9，分数在区间[40，50）内的人数为100-100×0.9-5=5，所以总体中分数在区间[40，50）内的人数估计为500×=25，（Ⅲ）设3名男生分别为A，B，C，2名女生分别为1，2，则从这5名同学中选取2人的结果为：{A，B}，{A，C}，{A，1}，{A，2}，{B，C}，{B，1}，{B，2}，{C，1}，{C，2}，{1，2}共10种情况．其中2人中男女同学各1人包含结果为：{A，1}，{A，2}，{B，1}，{B，2}，{C，1}，{C，2}，共6种，设事件A={抽取的2人中男女同学各1人}，则P（A）=，所以，抽取的2人中男女同学各1人的概率是．【解析】（1）由直方图求出分数高于60的频率，计算出分数高于60的概率，（2）先计算出分数不小于50的频率，再算出分数在区间[40，50）内的人数，再估算出总体中分数在区间[40，50）内的人数．（3）先计算出从这5名同学中选取2人的事件，再算出抽取的2人中男女同学各1人的事件，再求抽取的2人中男女同学各1人的概率．本题考查频率直方图，通过频率估算整体，以及求频率，属于基础题．7.【答案】解：（1）设某企业购买的6辆新能源汽车，4月份生产的4辆车为C1，C2，C3，C4；5月份生产的2辆车为D1，D2，6辆汽车随机地分配给A，B两个部门．B部门2辆车可能为（C1，C2），（C1，C3），（C1，C4），（C1，D1），（C1，D2），（C2，C3），（C2，C4），（C2，D1），（C2，D2），（C3，C4），（C3，D1），（C3，D2），（C4，D1，（C4，D2），（D1，D2）共15种情况；其中，至多有1辆车是四月份生产的情况有：（C1，D1），（C1，D2），（C2，D1），（C2，D2），（C3，D1），（C3，D2），（C4，D1），（C4，D2），（D1，D2）共9种，所以该企业B部门2辆车中至多有1辆车被召回的概率为；（2）由题意得，．因为线性回归方程过样本中心点，所以，解得．当x=10时，，即该厂10月份销售量估计为1.151万辆．【解析】（1）用列举法，求出个数，根据概率公式求出即可；（2）求出线性回归方程过样本中心点，代入求出a，再代入x=10即可．考查古典概型求概率，线性回归方程的性质及其应用，中档题．8.【答案】解：（Ⅰ）记“5名顾客扫微信红包所得金额超过5元的2人”为A1，A2，“不超过5元的3人”为B1，B2，B3，“获得礼品的3人中恰好有2人的红包超过5元”为事件M，则所有的基本事件有：A1A2B1，A1A2B2，A1A2B3，A1B1B2，A1B1B3，A1B2B3，A2B1B2，A2B1B3，A2B2B3，B1B2B3共10种，其中事件M包含的基本事件有共3种，为A1A2B1，A1A2B2，A1A2B3，∴P（M）=；（Ⅱ）∵==，∴=-=194.29-12.9622.86=-101.98.∴y与x的回归方程为=12.96x-101.98，当x=36时，.故估计使用微信支付的人数增加到36人时，商家当天的净利润约为364.58元．【解析】（Ⅰ）利用古典概型的概率公式求获得礼品的3人中恰好有2人的红包超过5元的概率；（Ⅱ）利用最小二乘法求y与x的回归方程为=12.96x-101.98，把x=36代入方程，即可得解．本题考查古典概型的概率的计算，考查线性回归方程的求法，考查利用回归方程进行预测，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力，是中档题．9.【答案】解：（1）设选取的2组数据恰好是相邻两个月为事件A，因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的，其中选取的2组数据恰好是相邻两个月的情况有5种，所以P（A）=，（2）=（11+13+12+8）=11，=（26+30+27+17）=25，===，=-=25-=，得到y关于x的回归直线方程为y=（2）当x=10时，y=同样，当x=6时，y=，估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，∴该小组所得线性回归方程是理想的．【解析】（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有15种情况，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种，根据古典概型的概率公式得到结果．（2）根据所给的数据，求出x，y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数a，b，写出线性回归方程；（3）将x的值代入回归方程检验即可．考查古典概型求概率，求线性回归方程和应用，考查运算能力，中档题．10.【答案】解：（1）因为（0.01+0.07+0.06+x+0.02）×5=1，所以x=0.04，所以成绩的平均值为+0.10×=87.25；（2）第3组学生人数为0.06×5×40=12，第4 组学生人数为0.04×5×40=8，第5组学生人数为0.02×5×40=4，所以抽取的6人中第3，4，5组的人数分别为3，2，1．第3组的3人分别记为A1，A2，A3，第4 组的2人分别记为B1，B2，第5 组的1 人记为C，则从中选出2人的基本事件为共15个，记“从这6人中随机选出2人担任小组负责人，这2人来自第3，4组各1人”为事件M ，则事件M包含的基本事件为（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），共6个，所以P（M）=．【解析】（1）根据频率分布直方图求出x的值，再利用同一组中的数据用该组区间的中点值作代表估计平均数即可；（2）先求出抽取的6人中第3，4，5组的人数，再利用古典概型的概率公式求解即可．本题考查由频数分布直方图，以及古典概型，属于基础题．。

2020年高考数学(文科)复习第九单元概率作业答案

2020年高考数学(文科)复习第九单元概率作业答案

课时作业(四十六)1. D ［解析］对于代必然事件发生的概率为1,不可能事件发生的概率为0,随机事件发生的概率大于0小于1,二事件A发生的概率P(A满足0W P(A)< 1,故A说法正确.对于B易知互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故B说法正确.对于C甲抽到有奖奖券的概率为-,乙抽到有奖奖券的概率为-X-=-,故C说法正确.对于D概率不随试验次数的变化而变化，是个定值，因此D说法错误.2. B ［解析］由对立事件的定义可知：事件“ 2次都中靶”的对立事件是“至多有1次中靶”.故选B.3. D ［解析］依题意知,射手射中8环及以上的概率为0.20+0.30+0.10=0.60，故所求的概率为1-0.60=0. 40.4.0.32 ［解析］摸岀红球的概率为0.45,摸岀白球的概率为0.23，故摸岀黑球的概率P=1-0.45-0. 23=0. 32.5. ③②①［解析］由必然事件、不可能事件、随机事件的定义可知，③是必然事件，②是不可能事件,①是随机事件.6. C ［解析］取到红球与取到白球为对立事件「所求概率P=1--=-.7. C ［解析］掷一枚骰子有6种可能的结果.依题意得P(A)=-=-,P(B)=i=i,•'•P(一)=1-P(B)=1--二.T事件—表示“出现5点或6点” •事件A与—互斥，从而 P(A 匕 _)=P(A)+P「)=一+_二.8. A ［解析］取到号码为奇数的卡片的次数为13+5+6+18+1仁53，则所求的频率为一=0.53.故选A9. B ［解析］设置随机试验：袋子中放有大小、材质相同且标号为1~10的十个小球，从中取一个小球，设事件A为"取岀的球的标号为1或3”，事件A为"取岀的球的标号为1或3或5"，事件A为“取岀的球的标号为奇数”，则事件A,A,A发生的概率分别是0. 2,0. 3,0. 5.显然A1U A与A不是互斥事件，A U AU A不是必然事件，P(A2U A)=0. 5RA U A)<0. 5(当事件A为“取岀的球的标号为5或7或9”时,P(A U A2)=0. 5)，故只有④正确.10. C ［解析］事件A为“所取的3个球中至少有1个白球”，说明有白球，白球的个数可能是1或2, 故选C［解析］由题意可知即- 贝U 一-解得-<aw_.12.解:(1)设“陈先生一次租用’新能源租赁汽车’的时间不低于30分钟”为事件A则所求的概率为P(A)=1-P(—)=1-—所以陈先生一次租用“新能源租赁汽车”的时间不低于30分钟的概率为一•(2)每次开车所用的平均时间为25X —+35X—+45X _+55X—=35,则每次租用“新能源租赁汽车”的平均费用为1 X 12+0. 12X 35=16. 2(元),则每个月的费用为16.2 X 2X 22=712.8(元),712.8<800,因此交通补贴足够上、下班租用“新能源租赁汽车”课时作业(四十七)1. D ［解析］TAU B={1,2,3,4,5,6,7,8},A G B={3,4,5,6},二在集合A U B中任取一个元素，则该元素是集合A n B中的元素的概率为-=-.2. B ［解析］设两男两女分别为a1,a2,b1,b2,只考虑第一个和第二个上车的人，则基本事件分别是(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a1),(a2,b1),(a2,b2),(b1,a2),(b1,a1),(b1,b2),(b2,a2),(b2,a1),(b2,b1),基本事件总数为12 淇中第二个上车的是女生的基本事件数为6,所以所求概率P=-，故选B.23. C ［解析］由题意可知m的所有可能取值为1,2,3,4,5,6,又由△ =m-12>0,得m可取4,5,6，所以所求概率P==-.34. A ［解析］从数字1,2,3,4,5中随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，基本事件总数为5 =125. 由2,5,5能组成3个满足条件的三位数；由4,4,4能组成1个满足条件的三位数；由3,4,5能组成6个满足条件的三位数.故满足条件的三位数共有3+1+6=10(个),•••其各位数字之和等于12的概率P=5•-［解析］同时投掷大小不同的两个骰子，共有36种结果,所得点数之和为5的有(1,4),(2,3),(4,1),(3,2),共4种结果，由古典概型概率计算公式得所得点数之和为5的概率P—=_.6. B ［解析］由题x,y所组成的(x,y)包含的基本事件有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2)(6,1),满足题意的有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),故y》-的概率为上-•7. B ［解析］设事件A为"关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有实根"，当a> 0,b> 0时，方程x2+2ax+b2=02 2 2 2有实根的充要条件为△ =4a-4b=4(a -b )>0,即a>b,a,b所组成的(a,b)包含的基本事件共12个:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2).事件A包含(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)9 个基本事件，•••事件A发生的概率P(A)一二.8. B ［解析］如图所示，在正六边形ABCDE的6个顶点中随机选择4个顶点，有ABCfABCfABCFABDEABDFABEFACD甲CDfACEFADEFBCDfBCDfBCEFBDEfCDE洪15 种选法.其中4 个顶点构成的四边形是梯形的有ABEFBCD甲BCFCDEfABCADEF共6种，故所求概率PU9. A ［解析］画岀不等式组表示的平面区域(图略),平面区域内的整数点有(-1,0),(-1,1),(-1,2),(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),共12 个.其中位于第二象限的有(-1,1),(-1,2),共2个,所以所求概率P=.10. C ［解析］从集合｛2,4,8｝中随机选取一个数m则m=2时,椭圆方程为一+—=1,离心率e=」一=—;m=4 时，方程一+—=1表示圆；m=8时,椭圆方程为一+—=1,离心率.故方程一+—=1表示离心率为一的椭圆的概率为-.11. —懈析］从1,3,5,7,9中任取3个不同的数字a,b,c(a<b<c),则(a,b,c)的所有可能结果有(1.3.5) ,(1,3,7),(1,3,9),(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7),(3,5,9),(3,7,9),(5,7,9),共10种.其中，满足条件a+b>c的结果有(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9),共 3 种.故所求概率P—12. —［解析］由茎叶图知，得分超过10分的队员有5名，从中任取2名，所有的基本事件是(12,14),(12,15),(12,20),(12,22),(14,15),(14,20),(14,22),(15,20),(15,22),(20,22)共10 个.满足这2名队员的得分之和超过35分的事件有(14,22),(15,22),(20,22),共3个，则所求的概率P—.13. - ［解析］由题意得(甲、乙、丙)所有可能的结果有(1.1.5) ,(1,5,1),(5,1,1),(1,2,4),(1,4,2),(2,1,4),(2,4,1),(4,1,2),(4,2,1),(1,3,3),(3,1,3),(3,3,1),(2,2,3),(2,3,2),(3,2,2), 共15种.其中甲领取的钱数不少于其他任何人的有(5,1,1),(4,1,2),(4,2,1),(3,1,3),(3,3,1),(3,2,2),共6种，所以所求概率为一=_.14. 一懈析］•••骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列，二落地时向上的点数若不同，则为1,2,3或1,3,5或2,3,4或2,4,6或3,4,5或4,5,6.故共有6X 2=12(种)情况；若全相同,则有6种情况.二共有18种情况.3将一颗骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数有6=216(种)情况，•••落地时向上的点数依次成等差数列的概率为15. B ［解析］依题意,(mn)共有36种可能的情况，向量a=(mn)与向量b=(1,0)的夹角a€ V 0,」，则可知nvm.(mn)可根据n的具体取值进行分类计数：当n=1时,m有5种不同的取值情况；当n=2时,m有4种不同的取值情况；当n=3时,m有3种不同的取值情况；当n=4时,m有2种不同的取值情况；当n=5时,m有1种取值情况.共有1+2+3+4+5=15 (种),所以所求概率为一=一.16. B ［解析］由题意可知等级从低到高的5个诸侯所分的橘子个数组成公差为m的等差数列，不妨设为{a n}.设“男”分到的橘子个数为a1,其前n项和为S n,则S=5a1— x m=80,即a计2m=6,且a^m均为正整数,若a1=2,W m=7,此时a s=30;若a仁4,m=6，此时a5 =28;若a1=6,m=5，此时a s =26;若a1=8,m=4，此时a5=24;若a1=10,m=3,此时a5=22;若a1=12,m=2,此时a5=20;若a1=14,m=，此时a5=18.•公”恰好分得30个橘子的概率为-课时作业(四十八)1.A ［解析］根据几何概型的概率公式可得,A图中奖的概率P二,B图中奖的概率P==,C图中奖的概率卩二=-,D图中奖的概率故选A.2.C ［解析］在区间上，由0 < sin x < 1 得0 < x < -,所以P=-—-.故选C3. A ［解析］如图所示:其中正三角形ABC的面积S=—X 16=4 :满足到正三角形ABC的顶点ABC的距离都不大于2的平面区域如图中阴影部分所示，贝U S阴=2 n ,故所求概率P=1-—=1- —n .故选A4. - ［解析］设正方体的棱长为a,则正四棱锥O - ABCD的底面边长为a,高为a,所以正方体的体积3 2 3V1=a ,正四棱锥0- ABGD的体积V=a • a=-a ,所以所求概率p*—二.5. C ［解析］直角三角形的斜边长为=13,设内切圆的半径为r,则5-叶 12-r= 13,解得r= 2,二内切圆的面积为n r =4 n ,•••豆子落在其内切圆外部的概率P=1 --------- =1- —,故选C2 2 2 . . 2 2 2 26. D ［解析］若方程mx+4y=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m>4,解得，则2<m<5,故方程mx+4y =12.C ［解析］在区间上，由0 < sin x < 1 得0 < x < -,表示焦点在y轴上的椭圆的概率P—=-.7. C ［解析］观察时钟所在圆被12个刻度十二等分，指针转过一等份就旋转30°，时针转过一等份就是 1小时,分针转过一等份就是5分钟所以8:20的时候秒针指向12,分针指向4,时针的指向是从刻度8再 转过一等份的三分之一，即10 °这样分针与时针间的扇形的圆心角为 4X 30 +10 =130 .又同圆中扇形面积比等于其圆心角的度数 的比，所以所求概率P —°8. A ［解析］设豆子落在直线y=-X 上方区域内的概率为 P如图所示，不等式组表示的区域如图中阴影部分所示，其面积为4.直线y=_x 左上方的阴影区域的面积为 4--X 2X 1=3,所以P=,故选A9. A ［解析］要使硬币完全落在托盘上，则圆形硬币的圆心在托盘内以 6为边长的正方形（正方形的中 心与托盘的中心重合）内，故硬币完全落在托盘上的概率 P=—一,故选A2 则阴影部分的面积为 n X 1 -（2n -4）=4- n ,•••根据几何概型公式可得点落在星形区域内的概率为 =一 1.11. - ［解析］设扇形的圆心角为n,正方形边长为a,T 在一个正方形内有一个扇形（阴影部分），向正方形区域内随机投一点，所投点落在扇形区域内的概率 为一,10. - 1 ［解析］圆空白处的面积为4X 2X（n--X 1X =2 n -4,解得nd.12. B ［解析］由题意可知满足条件的时间段为7:50~8:00,8:20~8:30,共20分钟,故所求概率为—2 213. D ［解析］Tf(x)=-x +mx+m勺图像与x轴有公共点,•••△ =m+4m»,••• m<4 或m»,•••在［-6,9］内任取一个实数m函数f(x)的图像与x轴有公共点的概率为 ------- =—.故选D.。

2020高考数学(文)专项复习《概率统计》含答案解析

2020高考数学(文)专项复习《概率统计》含答案解析

概率统计统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，为人们制定决策提供依据．概率是研究随机现象规律的学科，为人们认识客观世界提供重要的思维模式和解决问题的方法． 统计一章介绍随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本方法，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用．概率一章介绍随机现象与概率的意义、古典概型及几何概型等内容，并能用所学知识解决一些简单的实际问题，进一步体会概率模型的作用及运用概率思考问题的特点，初步形成用随机观念观察、分析问题的意识．§10－1 概率(一)【知识要点】1．事件与基本事件空间：随机事件：当我们在同样的条件下重复进行试验时，有的结果始终不会发生，它称为不可能事件；有的结果在每次试验中一定会发生，它称为必然事件；在试验中可能发生也可能不发生的结果称为随机事件，随机事件简称为事件．基本事件与基本事件空间：在一次试验中我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描述，这样的事件称为基本事件．所有基本事件构成的集合叫做基本事件空间，常用 表示．2．频率与概率频率：在相同的条件S 下，重复n 次试验，观察某个事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 的出现次数m 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例nm 为事件A 出现的频率． 概率：一般的，在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率nm ，当n 很大时总是在某个常数附近摆动，随着n 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记做P (A )．显然有0≤P (A )≤1．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，随机事件的概率在(0，1)之间．3．互斥事件的概率加法公式事件的并：由事件A 或B 至少有一个发生构成的事件C 称为事件A 与B 的并，记做C ＝A ∪B ．互斥事件：不可能同时发生的两个事件称为互斥事件．互斥事件加法公式：如果事件A 、B 互斥，则事件A ∪B 发生的概率等于这两个事件分别发生的概率和，即P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．如果A 1，A 2，…，A n 两两互斥，那么事件A 1∪A 2∪…∪A n 发生的概率，等于这n 个事件分别发生的概率和，即P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )．对立事件：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件A 的对立事件记作A ，满足P (A )＝1－P (A )．概率的一般加法公式(选学)：事件A 和B 同时发生构成的事件D ，称为事件A 与B 的交(积)，记作D ＝A ∩B ．在古典概型中，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )．4．古典概型古典概型：一次试验有下面两个特征：(1)有限性，在一次试验中可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；(2)等可能性，每个基本事件发生的可能性是均等的，则称这个试验为古典概型．古典概型的性质：对于古典概型，如果试验的n 个基本事件为A 1，A 2，…，A n ，则有P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝1且⋅=nA P i 1)( 概率的古典定义：在古典概型中，如果试验的基本事件总数为n (Ω )，随机事件A 包含的基本事件数为n (A)，则p (A)＝试验的基本事件总数包含的基本事件数事件A ，即⋅=)()()(Ωn A n A P 5．几何概型几何概型：一次试验具有这样的特征：事件A 理解为区域Ω的一个子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关，这样的试验称为几何概型．几何概型的特点：(1)无限性：一次试验中可能出现的结果有无穷多个；(2)等可能性，每个基本事件发生的可能性相等．几何概型中事件A 的概率定义：ΩA A P μμ=)(，其中μ Ω 表示区域Ω 的几何度量，μ A 表示子区域A 的几何度量．随机数：就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会均等．计算机随机模拟法(蒙特卡罗方法)是利用模型来研究某种现象的性质的一种有效方法，可以节约大量的人力物力．【复习要求】1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．2．了解两个互斥事件的概率加法公式．3．理解古典概型及其概率计算公式，会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．4．了解随机数的意义，了解几何概型的意义．【例题分析】例1 国家射击队的某队员射击一次，命中7－10环的概率如下表：求该队员射击一次，(1)射中9环或10环的概率；(2)至少命中8环的概率；(3)命中不足8环的概率．【分析】射击运动员一次射击只能命中1个环数，命中不同的环数是互斥事件，射中9环或10环的概率等于射中9环与射中10环的概率和．命中不足8环所包含的事件较多，而其对立事件为“至少命中8环”，可先求其对立事件的概率，再通过P (A )＝1－P (A )求解．解：设事件“射击一次，命中k 环”为事件A k (k ∈N ，k ≤10)，则事件A k 彼此互斥．(1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A ，则P (A )＝P (A 10)＋P (A 9)＝0.60．(2)记“射击一次，至少命中8环”为事件B ，则P (B )＝P (A 10)＋P (A 9)＋P (A 8)＝0.78．(3)“射击一次，命中不足8环”为事件B 的对立事件，则P (B )＝1－P (B )＝0.22．【评析】解决概率问题时，要先分清所求事件由哪些事件组成，分析是否是互斥事件，再决定用哪个公式．当用互斥事件的概率加法公式解题时，要学会不重不漏的将事件拆为几个互斥事件，要善于用对立事件解题．例2 现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A 1，A 2，A 3通晓日语，B 1，B 2，B 3通晓俄语，C 1，C 2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(Ⅰ)求A 1被选中的概率；(Ⅱ)求B 1和C 1不全被选中的概率．【分析】本题是一个古典概型的问题，可以直接用概率公式)()()(Ωn A n A P =求解． 解：(Ⅰ)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 2，B 3，C 1)，(A 2，B 3，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)，(A 3，B 3，C 1)，(A 3，B 3，C 2)}由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M 表示“A 1恰被选中”这一事件，则M ＝｛(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)}事件M 由6个基本事件组成，因而⋅==31186)(M P (Ⅱ)用N 表示“B 1，C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“B 1，C 1全被选中”这一事件， 由于N ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 1)}，事件N 由3个基本事件组成， 所以61183)(==N P ，由对立事件的概率公式得⋅=-=-=65611)(1)(N P N P 【评析】古典概型解决概率问题时，选定基本事件空间并计算其所含基本事件的个数是重要的一步．本题中选定“从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果”为基本事件空间，计算时采用列举法，也可以利用乘法计数原理计算3×3×2＝18．本题第一问还可以选定“从通晓日语的3人中选出1人的可能结果”为基本事件空间，共有3个基本事件，选出A 1只有一种可能，故所求概率为⋅31例3 (1)两根相距6米的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2米的概率是______．(2)甲乙两人约定在6点到7点之间在某处会面，并约好先到者等候另一人一刻钟，过时即可离去．则两人能会面的概率是______．(3)正方体内有一个内切球，则在正方体内任取一点，这个点在球内的概率为______．【分析】这三个题都可转化为几何概率问题求解．分别转化为线段长度、图形面积、几何体体积问题求解．解：(1)本题可转化为：“在长为6m 的线段上随机取点，恰好落在2m 到4m 间的概率为多少?” 易求得⋅=31P (2)本题可转化为面积问题：即“阴影部分面积占总面积的多少?”， 解得⋅=167)(A P (3)本题可转化为体积问题：即“内切球的体积与正方体体积之比是多少?”．解得⋅=6πP 【评析】几何概型也是一种概率模型，它具有等可能性和无限性两个特点．解题的关键是要建立模型，将实际问题转化为几何概率问题．基本步骤是：把基本事件空间转化为与之对应的区域Ω；把随机事件A 转化为与之对应的区域A ；利用概率公式)()()(ΩA A P μμ=计算．常用的几何度量包括：长度、面积、体积．例4 设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0．(Ⅰ)若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(Ⅱ)若a 是从区间[0，3］任取的一个数，b 是从区间[0，2］任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【分析】本题第一问是古典概型问题，第二问由于a 、b 在实数区间选取，可以转化为几何概型问题求解．解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b ．(Ⅰ)基本事件共12个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为⋅==43129)(A P (Ⅱ)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )｜0≤a ≤3，0≤b ≤2}．构成事件A 的区域为{(a ，b )｜0≤a ≤3，0≤b ≤2，a ≥b ｝． 所以所求的概率为⋅=⨯⨯-⨯=3223221232 【评析】几何概型与古典概型的每个基本事件发生的可能性是均等的，只是几何概型的基本事件有无限个，而古典概型的基本事件有有限个．在具体问题中，不能因为古典概型的基本事件的个数多而误认为是几何概型．练习10－1一、选择题1．下列随机事件的频率和概率的关系中哪个是正确的( )A ．频率就是概率B ．频率是客观存在的，与试验次数无关C ．随着试验次数增加，频率一般会越来越接近概率D ．概率是随机的，在试验前不能确定2．从装有2个黑球2个白球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．至少有一个白球，都是白球B ．至少有一个白球，至少有一个红球C ．恰有一个白球，恰有两个白球D ．至少有一个白球，都是红球3．考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( )A ．751B ．752C ．753D ．754 二、填空题4．甲、乙二人掷同一枚骰子各一次．如果谁掷的点数大谁就取胜，则甲取胜的概率为______．5．在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中概率为______．三、解答题6．已知集合A ＝{－4．－2，0，1，3，5｝，在平面直角坐标系中点M (x ，y )的坐标满足x ∈A ，y ∈A ．计算：(1)点M 恰在第二象限的概率；(2)点M 不在x 轴上的概率；(3)点M 恰好落在区域⎪⎩⎪⎨⎧>>>-+0008y x y x 上的概率．§10－2 统 计【知识要点】1．随机抽样总体、个体、样本：把所考察对象的某一个数值指标的全体构成的集合看成总体，构成总体的每一个元素称为个体，从总体中抽出若干个体所组成的集合叫做样本．随机抽样：抽样时，保证每一个个体都可能被抽到，且每个个体被抽到的机会均等，满足这样条件的抽样为随机抽样．简单随机抽样：从元素个数为N 的总体中，不放回的抽取容量为n 的样本，如果每一次抽样时，总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫简单随机抽样．系统抽样：当总体个数很大时，可将总体分成均匀的若干部分，然后按照预先制定的规则从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样的方式叫做系统抽样．分层抽样：当总体由有明显差异的几部分组成时，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样．三种抽样方法的比较常用频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图等统计图表来表示样本数据，观察样本数据的特征，从而估计总体的分布情况．频率分布(表)直方图的画法步骤：(1)计算极差(用样本数据的最大值减去最小值)(2)决定组数与组距(组数×组距＝极差)(3)决定分点(4)列频率分布表(5)绘制频率分布直方图易见直方图中各个小长方形面积等于相应各组的频率，所有小长方形面积之和等于1． 频率分布折线图：连结频率分布直方图各个长方形上边的中点，就得到频率分布折线图． 总体密度曲线：随着样本容量的增加，分组的组距不断缩小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑曲线，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线．总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律．茎叶图：茎指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．在样本数据较少时，茎叶图表示数据的效果较好．它的突出优点是：统计图中没有原始数据的损失，所有的数据信息都可以从茎叶图中得到；茎叶图可随时记录，方便表示．3．用样本的数字特征估计总体的数字特征样本数据的平均数：如果有n 个数x 1，x 2，…，x n ，那么nx x x x n +++=Λ21叫做这n 个数的平均数．标准差：样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示，其中nx x x x x x s n 22221)()()(-++-+-=Λ．方差：标准差的平方s 2叫做方差．⋅-++-+-=n x x xx x x s Zn )()()(22212￢Λ 4．两个变量间的关系散点图：两个变量的关系可通过它们所对应的点在平面上表现出来，这些点对应的图形叫做散点图．线性相关：若两个变量的散点图中所有点看上去都在一条直线附近波动，则这两个变量可近似看成具有线性相关关系．回归直线方程：从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心一条直线附近，则这条直线叫做这些数据点的回归直线方程，记作yˆ＝bx ＋a ，其中b 叫回归系数．最小二乘法：假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数组),(11y x ，),(22y x ，…，),(33y x ，求得,)()()(ˆ2211211x n x y x n y x x x y y x x b in i i i n i ini i in i --=---=∑∑∑∑====⋅⋅⋅ x b y a ˆˆ-=，这时离差211)(2i i bx a y n Q --==最小，所求回归直线方程是a x b y ˆˆˆ+=.这种求回归直线的方法称为最小二乘法．【复习要求】1．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，了解分层抽样和系统抽样方法．2．了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．3．理解样本数据标准差的意义和作用，会计算样本数据平均数、标准差，并给出合理解释．4．会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．5．会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系．了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．【例题分析】例1 某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组(1－5号，6－10号，…，196－200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是______，若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取______人．【分析】由已知系统抽样的组距为5，所以相邻组间的号码相差5；由饼形图可知200名职工中，50岁以上人数：40－50岁人数：40岁以下人数＝2∶3∶5，总样本为40人，分层抽样抽取每层人数比例为2∶3∶5．解：37；20【评析】系统抽样的特征是等距，也就是只要在一组内选定号码，其余各组的号码随之选定，所选相邻号码的间隔为组距．分层抽样的特征是按比例抽取，也就是每一层所选人数占总选出人数的比例与每层人数占总人数的比例相等．抽样是统计分析的重要部分，最常用的抽样方法是简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，抽样时每个个体被抽到的可能性相等．简单随机抽样常用抽签法和随机数表法．例2 对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：寿命(h) [100，200) [200，300) [300，400) [400，500) [500，600)个数(个) 20 30 80 40 30(2)画出频率分布直方图；(3)估计电子元件寿命在[100，400)以内的概率；(4)估计电子元件寿命在400h以上的概率．【分析】按要求列表、绘图，并用样本的分布估计总体的分布．解：(1)频率分布表(2)(画图)；(3)P＝0.10＋0.15＋0.40＝0.65；(4)P＝1－0.65＝0.35．寿命(h) 频数频率[100，200) 20 0.10［200，300) 30 0.15[300，400) 80 0.40[400，500) 40 0.20[500，600) 30 0.15合计200 1.00【评析】频率分布表和频率分布直方图是用统计的方法对样本数据加以概括和总结．列频数分布表时，要区分频数和频率的意义，画频率分布直方图时要注意横、纵坐标代表的意义和单位．频率分布指的是一个样本数据在各拿小范围内所占比例的大小，常用样本数据落在某个范围的频率估计总体落在这个范围的概率．频率分布直方图中众数是最高矩形中点的横坐标，中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标．例3 (海南)从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度(单位：mm)，结果如下：甲品种：271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352 乙品种：284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356 由以上数据设计了如下茎叶图根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：①___________________________________________________________________________________________________________________________________________________；②___________________________________________________________________________________________________________________________________________________．【分析】抽样数据比较分散，很难观察数据的分布特征，通过茎叶图展现了样本数据的分布．通过茎叶图可观察出平均数、众数、中位数，数据分布的对称性等等，由于茎叶图保留了原始数据，还可计算平均数、方差、标准差．解：(可任选两个作答)(1)乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度；(2)甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散(或乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中)；(3)甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm；(4)乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间(均值附近)，甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值(352)外，也大致对称，其分布较均匀；【评析】茎叶图是统计图表的一种，它具有统计图表的一般功能：通过样本的数据分布推断总体的分布，通过样本的数字特征估计总体的数字特征．本题中的统计结论，是指用样本的特征估计总体特征得到的结论．例4图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A2、…、A m(如A2表示身高(单位：cm)在[150，155)内的学生人数)．图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm(含160cm，不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是______．图1 图2【分析】条形图的横坐标是身高，纵坐标为每个身高区间内的人数．条形图没有提供具体的数据信息．程序框图的算法含义是统计[160，180)内学生人数，即求A 4＋A 5＋A 6＋A 7的和．解：i ＜8或i ≤7．【评析】设计算法利用计算机完成数据的统计工作，是实际统计工作中经常应用的．除了可以完成计数工作外，还可排序、求最值，利用公式进行各种计算等等．将算法和统计一起考查是新课程的一个特色．例5 甲乙两位运动员在相同的条件下分别射击10次，记录各次命中环数如下： 甲：8，8，6，8，6，5，9，10，7，4乙：9，5，7，8，7，6，8，6，8，7(1)分别计算他们射击环数的平均数及标准差；(2)判断他们设计水平谁高，谁的射击情况更稳定?【分析】平均数、标准差分别反映了两个选手的射击水平和稳定程度，平均数越高说明选手射击水平越高，标准差越小说明选手发挥越稳定．解：(1)甲的平均数为7.1，标准差为1.758；乙的平均数为7.1，标准差为1.136；(2)从平均值上看，两人的水平相当；从标准差上看，乙的情况更稳定．【评析】平均数反映的是平均水平的高低，方差和标准差反映的是数据的离散程度．如果样本数据中每个数都增加数a ，则它的平均数也增加a ，但是它的标准差不变，因为数据的离散程度没有变化．由于方差与原始数据的单位不同，而且可能夸大了偏离程度，实际解决问题中常采用标准差．例6 假定关于某设备的使用年限x 和所支出费用y (万元)，有如下的统计资料 使用年限x2 3 4 5 6 维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0(1)请画出上表数据的散点图；(2)根据上表数据，用最小二乘法求出线性回归方程a x by ˆˆ+=； (3)估计使用10年时，维修费用是多少?【分析】利用描点法画出散点图，用公式x by axn x yx n yx bi n i ii ni ˆˆ,ˆ2211＝-=--=∑∑=⋅⋅求得回归直线方程，取x ＝10求得结果． 解：(1)散点图如图(2)y ＝0.08＋1.23x (3)12.38【评析】判断两个变量有无相关关系时，散点图直观简便，这是一道应用问题，通过回归直线方程分析使用年限和维修费用的关系．例7 某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A 类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B 类工人)，现用分层抽样方法(按A 类、B 类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数)．(Ⅰ)求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A 类工人，乙为B 类工人； (Ⅱ)从A 类工人中的抽查结果和从B 类工人中的抽查结果分别如下表1和表2． 生产能力分组 [100，110) [110，120) [120，130) [130，140) [140，150)人数 48x 5 3表2生产能力分组[110，120)[120，130)[130，140)[140，150)人数6y3618(i )先确定x ，y ，再在答题纸上完成下列频率分布直方图．就生产能力而言，A 类工人中个体间的差异程度与B 类工人中个体间的差异程度哪个更小?(不用计算，可通过观察直方图直接回答结论)图1 A 类工人生产能力的频率分布直方图图2 B 类工人生产能力的频率分布直方图(ii )分别估计A 类工人和B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．【分析】(1)相互独立事件同时发生的概率用乘法公式(2)画出直方图，从图中分析数据信息．解：(Ⅰ)甲乙被抽到的概率都是101，而且事件“甲工人被抽到”与“乙工人被抽到”相互独立，所以甲、乙两工人都被抽到的概率⋅=⨯=1001101101pA 类工人中和B 类工人中分别抽查25名和75名．(Ⅱ)(i)由4＋8＋x ＋5＋3＝25，得x ＝5；6＋y ＋36＋18＝75，得y ＝15．频率分布直方图如下图1 A 类工人生产能力的频率分布直方图图2 B 类工人生产能力的频率分布直方图从直方图可以判断：B 类工人中个体间的差异程度更小．,123145253135255125255115258105254)ii (=⨯+⨯+⨯⋅+⨯+⨯=A x ,8.133145751813575361257515115756=⨯+⨯+⨯+⨯=B x1.1318.1331007512310025=⨯+⨯=x . A 类工人生产能力的平均数，B 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123，133.8和131.1．【评析】本题是一道综合应用题，通过语言叙述和图表给出信息．频率分布直方图反映了数据分布的情况，数据的差异大小及数据的方差大小．练习10－3一、选择题1．(08重庆)某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是( ) A ．简单随机抽样法 B ．抽签法 C ．随机数表法 D ．分层抽样法2．从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，若采用系统抽样法，则抽样间隔为( ) A ．nN B ．n C ．][nN D ．1][+nN3．(08山东)下图是根据《山东统计年整2007》中的资料做成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图．图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字，从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为( )A ．304.6B ．303.6C ．302.6D ．301.6 4．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表甲的成绩乙的成绩丙的成绩环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 频数 55 5 5频数 6446频数 46641，2，3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有( ) A ．s 3＞s 1＞s 2 B ．s 2＞s 1＞s 3 C ．s 1＞s 2＞s 3 D ．s 2＞s 3＞s 1二、填空题 5．要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，将它们编号为001，002，……800，利用随机数表抽取样本，从第7行第1个数开始，依次向右，再到下一行，继续从左到右．请问选出的第七袋牛奶的标号是______． (为了便于说明，下面摘取了随机数表的第6行至第10行)．16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 90 52 84 77 27 08 02 73 43 28。

高考文数真题训练14 概率与统计(选择题、填空题)(原卷版)

高考文数真题训练14 概率与统计(选择题、填空题)(原卷版)

专题14 概率与统计（选择题、填空题）1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为 A ．15B ．25C ．12D ．452．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是 A ．y a bx =+ B ．2y a bx =+ C ．e x y a b =+D ．ln y a b x =+3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n的方差为 A ．0.01B ．0.1C ．1D ．104．【2020年新高考全国Ⅰ卷】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 A ．62% B ．56% C ．46%D ．42%5．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A．0.5B．0.6C．0.7D．0.86．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生7．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A．23B．35C．25D．158．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半9．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A ．0.6 B ．0.5 C ．0.4D ．0.310．【2020年高考江苏】已知一组数据4,2,3,5,6a a 的平均数为4，则a 的值是 ▲ ．11．【2020年高考江苏】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.12．【2020年高考天津】从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47),[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为A ．10B ．18C ．20D ．3613.【2020年高考天津】已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________． 14．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________．15．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是______________．16．【2019年高考江苏卷】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是______________．17．【2018年高考江苏卷】已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为______________．18．【2018年高考江苏卷】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为______________．。

2020高考—概率(选择+填空+答案)

2020高考—概率(选择+填空+答案)

2020年高考——概率统计1.(20全国Ⅰ文4)设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为A ．15B ．25C ．12D ．452.(20全国Ⅰ文 5)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是 A ．y a bx =+ B ．2y a bx =+ C ．e x y a b =+D ．ln y a b x =+3.(20全国Ⅰ理8)25()()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为A ．5B ．10C ．15D ．204.（20全国Ⅱ文4）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者 A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名5.（20全国Ⅲ文3）设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为 A ．0.01B ．0.1C ．1D ．106.（20全国Ⅲ理3）在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是 A ．14230.1,0.4p p p p ==== B ．14230.4,0.1p p p p ==== C ．14230.2,0.3p p p p ====D ．14230.3,0.2p p p p ====7.（20新高考Ⅰ3）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有 A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种8.（20新高考Ⅰ5）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 A ．62%B ．56%C ．46%D ．42%9.(20天津4)从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47),[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为A ．10B ．18C ．20D ．3610.(20北京3)在5(2)x -的展开式中，2x 的系数为（ ）．A ．5-B ．5C ．10-D ．1011.（20全国Ⅱ理14）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．12.（20全国Ⅲ理14）262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）．13.(20天津11)在522()x x+的展开式中，2x 的系数是_________．14.(20天津13)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．15.(20浙江12)二项展开式23450123545(2)1x a a x a x a x a x a x ++++++=，则4a =_______，135a a a ++=________．16.(20浙江16)盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______，()E ξ=_______．17.（20江苏3）已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是 ▲ ． 18.（20江苏4）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 ▲ ． 参考答案：1．A 2．D 3．C 4．B 5．C 6．B 7．C 8.C 9．B 10.C 11．36 12．240 13．10 14．16；2315．80,122 16.1,1317．2 18．19。

2020年高考数学试题分类汇编：概率.docx

2020年高考数学试题分类汇编：概率.docx

2020 年高考数学试题分类汇编：概率【考点阐述】随机事件的概率． 等可能性事件的概率． 互斥事件有一个发生的概率． 相互独立事件同时发生的概率．独立重复试验． 【考试要求】（ 1）了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义． （ 2）了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率． （ 3）了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．（4）会计算事件在 n 次独立重复试验中恰好发生κ 次的概率．【考题分类】（一）选择题（共8 题）1.（福建卷理 5）某一批花生种子，如果每1 粒发牙的概率为4 ,那么播下 4 粒种子恰有 2 粒发5芽的概率是（）1696C.192D.256A.B.625625625625【标准答案】 B22【试题解析】 由 P4 (2) C 4241 9655 625【高考考点】 独立重复实验的判断及计算 【易错提醒】 容易记成二项展开式的通项,当然这题因为数字的原因不涉及.【学科网备考提示】 请考生注意该公式与二项展开式的通项的区别 ,所以要强化公式的记忆.2.（福建卷文 5）某一批花生种子，如果每1 粒发芽的概率为4，那么播下 3 粒种子恰有 2 粒5发芽的概率是（）12 1648 96A.B.C.D.125125125125【标准答案】 C21【标准答案】 由 P 3(2) C 32 41 4855 125【高考考点】 独立重复实验的判断及计算【易 提醒】 容易 成二 展开式的通.【学科网 考提示】 考生注意 公式与二 展开式的通 的区3.（江西卷理11文 11） 子 一天 示的 是从 00:00 到 23: 59 ,所以要 化公式的的每一 刻都由四个数字.成， 一天中任一 刻的四个数字之和23 的概率 （）1111A ．B ．C ．D ．180288360480【 准答案】 C .【 准答案】一天 示的 共有24 60 1440 种 ,和 23 共有 4 种 ,故所求概率1 .3604. （ 宁卷理 7 文 7） 4 卡片上分 写有数字 1，2， 3， 4，从 4 卡片中随机抽取2 ，取出的2 卡片上的数字之和 奇数的概率 （）1123A ．B ．C ．D ．3234【答案】：C【解析】：本小 主要考 等可能事件概率求解 。

2020高考数学分层特训卷主观题专练概率与统计(15)文

2020高考数学分层特训卷主观题专练概率与统计(15)文

概率与统计(15)一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．[2019·石家庄高中毕业班教学质量检测]已知某厂的产品合格率为0.8,现抽出10件产品检查,则下列说法正确的是( )A．合格产品少于8件 B．合格产品多于8件C．合格产品正好是8件 D．合格产品可能是8件答案：D解析：产品的合格率是0.8,说明抽出的10件产品中,合格产品可能是8件,故选D.2．[2018·全国卷Ⅲ]若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为( )A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.7答案：B解析：由题意可知不用现金支付的概率为1－0.45－0.15＝0.4.3．[2019·重庆九校联考]若i为虚数单位,图中复平面内点Z表示复数z,则表示复数z1＋i的点是( )A．E B．FC．G D．H答案：D解析：由图知复数z＝3＋i,则z1＋i＝3＋i1＋i＝(3＋i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝2－i,所以复数z1＋i所对应的点是H,故选D.4．[2019·江西鹰潭质检]随机猜测“选择题”的答案,每道题猜对的概率为0.25,则两道选择题至少猜对一道的概率为( )A.116B.7161616答案：B解析：每道题猜对的概率为0.25＝14,猜错的概率为34,由独立事件的概率计算公式得,两道题都猜错的概率为34×34＝916,故两道选择题至少猜对一道的概率为1－916＝716,故选B.5．已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1,变量y 与z 正相关．下列结论中正确的是( )A ．x 与y 正相关,x 与z 负相关B ．x 与y 正相关,x 与z 正相关C ．x 与y 负相关,x 与z 负相关D ．x 与y 负相关,x 与z 正相关 答案：C解析：因为y ＝－0.1x ＋1,x 的系数为负,故x 与y 负相关；而y 与z 正相关,故x 与z 负相关．6．[2019·郑州市第一次质量预测]若复数z 满足(3＋4i)z ＝25i,其中i 为虚数单位,则z 的虚部是( )A ．3iB ．－3iC ．3D ．－3 答案：D解析：因为(3＋4i)z ＝25i,所以z ＝25i 3＋4i ＝25i (3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝25i (3－4i )25＝4＋3i,所以z ＝4－3i,所以z 的虚部为－3,故选D.7.[2019·福州四校高三年级联考]如图,在圆心角为90°的扇形AOB 中,以圆心O 为起点在AB 上任取一点C 作射线OC ,则使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率是( )A.13B.2326答案：A解析：记事件T 是“作射线OC ,使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°”,如图,记AB 的三等分点为M ,N ,连接OM ,ON ,则∠AON ＝∠BOM ＝∠MON ＝30°,则符合条件的射线OC 应落在扇形MON 中,所以P (T )＝∠MON ∠AOB ＝30°90°＝13,故选A. 8．[2019·河南洛阳尖子生第二次联考,数学运算]已知x 与y 之间的一组数据如表：x 01 2 3 ym35.57已求得y 关于x 的线性回归方程为y ＝2.1x ＋0.85,则m 的值为( ) A ．1 B ．0.85 C ．0.7 D ．0.5 答案：D解析：x ＝0＋1＋2＋34＝1.5,y ＝m ＋3＋5.5＋74＝m ＋15.54,因为点(x ,y )在回归直线上,所以m ＋15.54＝2.1×1.5＋0.85,解得m ＝0.5,故选D.9．[2019·江西南城一中、高安中学等九校3月联考]随着国家二孩政策的全面放开,为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿,某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女,结果如下表．非一线 一线 总计 愿生 45 20 65 不愿生 13 22 35 总计5842100由K 2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ),得K 2＝100×(45×22－20×13)265×35×58×42≈9.616.参照下表,正确的结论是(A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“生育意愿与城市级别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“生育意愿与城市级别无关”C．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”D．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”答案：C解析：K2≈9.616>6.635,∴有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”,故选C.10.[2019·西宁市高三年级复习检测]古希腊数学家阿基米德用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和抛物线所包围的弓形,其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四．”如图,已知直线x＝2交抛物线y2＝4x于A,B两点,点A,B在y轴上的射影分别为D,C.从长方形ABCD中任取一点,则根据阿基米德这一理论,该点位于阴影部分的概率为( )A.25B.23C.13D.12答案：C解析：本题考查数学文化,几何概型概率的求法．由题意,在抛物线y2＝4x中,取x＝2,可得y＝±22,∴S矩形ABCD＝2×22×2＝82,由阿基米德理论可得弓形面积为43×12×42×2＝1623,则阴影部分的面积S＝82－1623＝823.由测度比为面积比可得,该点位于阴影部分的概率为82382＝13,故选C.11．[2019·山东济南质量评估]如图,在△ABC中,∠C＝90°,BC＝2,AC＝3,三角形内的空白部分由三个半径均为1的扇形构成,向△ABC内随机投掷一点,则该点落在阴影部分的概率为( )A.π6B．1－π6C.π4D．1－π4答案：B解析：三个空白部分的面积之和为一个半径为1的圆的面积的二分之一,即π2,△ABC的面积为3,故所求的概率为1－π23＝1－π6.12．[2019·湖南三湘名校联盟第一次联考]中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放形式有纵横两种,如下表：表示一个多位数时,像阿拉伯记数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位,百位,万位用纵式表示,十位,千位,十万位用横式表示,以此类推,例如 2 268用算筹表示为＝‖⊥.执行如图所示的程序框图,若输入的x ＝1,y ＝2,则输出的S 用算筹表示为( )A ．⊥B.⊥ C ．—⊥ D ．|答案：C解析：x ＝1,y ＝3,i ＝2；x ＝2,y ＝8,i ＝3；x ＝14,y ＝126,i ＝4.退出循环,输出S ＝1 764,用算筹表示为—⊥,故选C.二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13．[2019·南昌市摸底调研考试]某校高三(2)班现有64名学生,随机编号为0,1,2,…,63,依编号顺序平均分成8组,组号依次为1,2,3,…,8.现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本,若在第1组中随机抽取的号码为5,则在第6组中抽取的号码为________．答案：45解析：由题知分组间隔为648＝8,又第1组中抽取的号码为5,所以第6组中抽取的号码为5×8＋5＝45.14．[2019·云南红河州统测]已知等差数列{a n }的公差为d ,且a 1,a 3,a 5,a 7,a 9的方差为2,则d 的值为________．答案：±12解析：由等差数列的性质得a 1,a 3,a 5,a 7,a 9的平均数为a 5,所以这5个数的方差为15[(a 1－a 5)2＋(a 3－a 5)2＋(a 5－a 5)2＋(a 7－a 5)2＋(a 9－a 5)2]＝15(16d 2＋4d 2＋4d 2＋16d 2)＝8d 2＝2⇒d2＝14,故d ＝±12.15．[2018·江苏卷]已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．答案：90解析：这5位裁判打出的分数分别是89,89,90,91,91,因此这5位裁判打出的分数的平均数为89＋89＋90＋91＋915＝90.16．[2019·南昌市第二次模拟]从某企业的某种产品中抽取1 000件,测量该种产品的一项质量指标值,由测量结果得到如图所示的频率分布直方图．若该产品的这项指标值在[185,215)内,则该产品的这项指标合格,估计该企业这种产品在这项指标上的合格率为________．答案：0.79解析：由频率分布直方图知,指标值在[185,215)内的频率为(0.022＋0.033＋0.024)×10＝0.79,故该企业这种产品在这项指标上的合格率约为0.79.。

2020高考文科数学二轮分层特训卷：主观题专练 概率与统计(8) Word版含解析

2020高考文科数学二轮分层特训卷：主观题专练 概率与统计(8) Word版含解析

概率与统计(8)1．[2019·安徽合肥调研]某保险公司决定每月给推销员确定一个具体的销售目标，对推销员实行目标管理，销售目标确定的适当与否，直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此该公司随机抽取了50位推销员上个月的月销售额(单位：万元)，绘制成如图所示的频率分布直方图([14,16)小组对应的数据缺失)：(1)(ⅰ)根据图中数据，求出月销售额在[14,16)内的频率；(ⅱ)根据频率分布直方图估计月销售额目标定为多少万元时，能够使70%的推销员完成任务，说明理由；(2)该公司决定从月销售额在[22,24)和[24,26]两个小组的推销员中，选取2位介绍销售经验，求选出的推销员来自同一个小组的概率．解析：(1)(ⅰ)月销售额在[14,16)内的频率为1－2×(0.03＋0.12＋0.18＋0.07＋0.02＋0.02)＝0.12.(ⅱ)若70%的推销员能完成月销售额目标，则意味着30%的推销员不能完成该目标，根据频率分布直方图知，[12,14)和[14,16)两组的频率之和为0.18，故估计月销售额目标应定为16＋0.120.24×2＝17(万元)．(2)根据频率分布直方图可知，[22,24)和[24,26]两组的频率之和为0.08，由50×0.08＝4可知待选的推销员一共有4人，设这4人分别为A 1，A 2，B 1，B 2，则不同的选择有{A 1，A 2}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{B 1，B 2}，一共6种情况，每一种情况都是等可能的，而2人来自同一组的情况有2种，故选出的推销员来自同一个小组的概率为P ＝26＝13.2．[2019·河北部分市联考]某教师统计甲、乙两位同学20次考试的数学成绩(满分150分)，根据所得数据绘制茎叶图如图所示．(1)根据茎叶图求甲、乙两位同学成绩的中位数；(2)根据茎叶图比较甲、乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(3)现从甲、乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个，设事件A 为“选出的2个成绩分别属于不同的同学”，求事件A 发生的概率．解析：(1)甲同学成绩的中位数是116＋1122＝119，乙同学的中位数是128＋1282＝128. (2)从茎叶图可以看出，乙同学成绩的平均值比甲同学成绩的平均值高，乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定．(3)甲同学的不低于140分的成绩有2个，分别设为a，b，乙同学的不低于140分的成绩有3个，分别设为c，d，e.从甲、乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个的情况有{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，{c，d}，{c，e}，{d，e}，共10种，而选出的2个成绩分别属于不同的同学的情况有{a，c}，{a，d}，{a，e}，{b，c}，{b，d}，{b，c}，共6种，因此P(A)＝610＝35.3．[2019·河南名校联盟高三“尖子生”调研(二)]为了调查一款电视机的使用寿命(单位：年)，研究人员对该款电视机进行了相应的调查，得到的数据如下图所示．并对不同年龄层的市民对这款电视机的购买意愿作出调查，得到的数据如下表所示．(2)根据表中数据判断，是否有99.9%的把握认为“是否愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关；(3)若按照电视机的使用寿命进行分层抽样，从使用寿命在[0,4)和[4,20]内的电视机中抽取5台，再从这5台中随机抽取2台进行配件检测，求被抽取的2台电视机的使用寿命都在[4,20]内的概率．附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .解析：(1)依题意，平均使用寿命为2×0.2＋6×0.36＋10×0.28＋14×0.12＋18×0.04＝7.76(年)． (2)依题意，完善表格如下表所示，故K 2＝2 000×(800×600－200×400)21 000×1 000×1 200×800≈333.333>10.828， 故有99.9%的把握认为“是否原意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关．(3)依题意知，抽取的5台电视机中使用寿命在[0,4)内的有1台，使用寿命在[4,20]内的有4台，则从5台电视机中随机抽取2台，所有的情况有C 25＝10(种)，其中满足条件的有C 24＝6(种)，故所求概率P ＝610＝35.4．[2019·湖北武汉调研]某校学生参与一项社会实践活动，受生产厂家的委托，采取随机抽样的方法调查某市市民对某新研发品牌洗发水的满意度，被调查者在0分到100分的整数中给出自己的认可分数．现将收集到的100位市民的认可分数分为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]6组，并根据数据绘制出如图所示的频率分布直方图．(1)求这100位市民认可分数的中位数(精确到0.1)，平均数(同一组中的数据用所在区间的中点值代表)；(2)生产厂家根据同学们收集到的数据，拟随机在认可分数为80及其以上的市民中选出2位市民当产品宣传员，求这2位宣传员的认可分数都在[90,100]内的概率．解析：(1)由于[40,50)，[50,60)，[60,70)这三组的频率分别为0.1,0.2,0.3，故中位数位于[60,70)中，为60＋10×23≈66.7，平均数为10×(45×0.01＋55×0.02＋65×0.03＋75×0.025＋85×0.01＋95×0.005)＝67.(2)易知认可分数在[80,90)内的人数为10，认可分数在[90,100]内的人数为5.从认可分数在[90,100]内的5人中随机选择2人的基本事件有1＋2＋3＋4＝10(个)，从认可分数在[80,90)和[90,100]内的15人中随机选择2人的基本事件有1＋2＋3＋…＋14＝105(个)．故这2位宣传员的认可分数都在[90,100]内的概率为P ＝10105＝221.5．[2019·四川成都一诊]在2018年俄罗斯世界杯期间，莫斯科的某商场推出了来自中国的某商品，该商品按等级分类，有等级代码，为得到该商品的等级代码数值x 与销售单价y 之间的关系，经统计得到如下数据：等级代码数值x38 48 58 68 78 88 销售单价y /元16.8 18.8 20.8 22.8 24 25.8 (1)已知销售单价y 与等级代码数值x 之间存在线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程(系数精确到0.1)；(2)若该商场销售的此商品的等级代码数值为98，请估计该等级的此商品的销售单价为多少元．参考公式：对一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为b ^＝n i ＝1 (x i －x －)(y i －y －)n i ＝1 (x i －x －)2＝n i ＝1x i y i －n x －y －n i ＝1x 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －， 参考数据：6i ＝1x i y i ＝8 440，6i ＝1x 2i ＝25 564.解析：(1)由题意，得x －＝38＋48＋58＋68＋78＋886＝63，y －＝16.8＋18.8＋20.8＋22.8＋24＋25.86＝21.5， 所以b ^＝6i ＝1x i y i －6x －y －6i ＝1x 2i －6x －2＝8 440－6×63×21.525 564－6×632≈0.2， a ^＝y －－b ^x －＝21.5－0.2×63＝8.9，故所求线性回归方程为y^＝0.2x ＋8.9.(2)由(1)知，当x＝98时，y^＝0.2×98＋8.9＝28.5.故估计该等级的此商品的销售单价为28.5元．6．[2019·湖南长沙市雅礼中学一模]某校决定为本校上学所需时间超过30分钟的学生提供校车接送服务(所有学生上学时间均不超过60分钟)．为了解学生上学所需时间，从全校600名学生中抽取50人统计上学所需时间(单位：分)，将600人随机编号，为001,002，…，600，将抽取的50名学生的上学所需时间分成六组：第一组(0,10]，第二组(10,20]，…，第六组(50,60]，得到如图所示的频率分布直方图．(1)若抽取的50个样本是用系统抽样的方法得到的，且第一个抽取的编号为006，则第5个抽取的编号是多少？(2)若从50个样本中属于第四组和第六组的所有人中随机抽取2人，设他们上学所需时间分别为a分钟，b分钟，求满足|a －b|>10的概率．(3)设学校配备的校车每辆可搭载40名学生，请根据抽样的结果估计全校应有多少辆这样的校车？解析：(1)因为600÷50＝12，且第一个抽取的编号为006，所以第5个抽取的数是6＋(5－1)×12＝54，即第5个抽取的编号是054.(2)第四组的人数为0.008×10×50＝4，设这4人分别为A，B，C，D，第六组的人数为0.004×10×50＝2，设这2人分别为x，y，随机抽取2人的可能情况有AB，AC，AD，BC，BD，CD，xy，Ax，Ay，Bx，By，Cx，Cy，Dx，Dy，共15种，其中他们上学所需时间满足|a－b|>10的情况有Ax，Ay，Bx，By，Cx，Cy，Dx，Dy，共8种．所以满足|a－b|>10的概率P＝815.(3)全校上学所需时间超过30分钟的学生约有600×(0.008＋0.008＋0.004)×10＝120(人)，所以估计全校应有120÷40＝3辆这样的校车．。

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主观题专项练习：概率
1．[2019·吉林长春市实验中学开学考试]针对国家提出的延迟退休方案，某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：
(1)支持”态度的人中抽取了30人，求n 的值；
(2)在参与调查的人中，有10人给这项活动打分，打出的分数如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2,8.3,9.7，把这10个人打出的分数看作一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率．
解析：(1)参与调查的总人数为8 000＋4 000＋2 000＋1 000＋2 000＋3 000＝20 000. 因为持“不支持”态度的有2 000＋3 000＝5 000(人)，且从其中抽取了30人，所以n ＝20 000×305 000
＝120.
(2)总体的平均数x －＝1
10×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2＋8.3＋9.7)＝
9，
与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数有8.2,8.3,9.7，
所以任取一个数，该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率P ＝3
10
.
2．[2019·安徽示范高中联考]某市为了鼓励居民节约用水，拟确定一个合理的月用水量阶梯收费标准，规定一位居民月用水量不超过a 吨的部分按平价收费，超出a 吨的部分按议价收费．为了解居民的月均用水量(单位：吨)，现随机调查1 000位居民，并对收集到的数据进行分组，具体情况见下表：
(2)若该市希望使80%的居民月均用水量不超过a吨，试估计a的值，并说明理由；
(3)根据频率分布直方图估计该市居民月用水量的平均值．
解析：(1)由已知得6x＝1 000－(50＋80＋220＋250＋80＋60＋20)，解得x＝40. 则月均用水量的频率分布表为
月均
用水
量/吨
[0，
0．5)
[0.5，
1)
[1，
1．5)
[1.5，
2)
[2，
2．5)
[2.5，
3)
[3，
3．5)
[3.5，
4)
[4，
4．5) 频率0.050.080.200.220.250.080.060.040.02
(2)由(1)知前5组的频率之和为0.05＋0.08＋0.20＋0.22＋0.25＝0.80，故a＝2.5.
(3)由样本估计总体，该市居民月用水量的平均值为0.25×0.05＋0.75×0.08＋1.25×0.20＋1.75×0.22＋2.25×0.25＋2.75×0.08＋3.25×0.06＋3.75×0.04＋4.25×0.02＝1.92.
3．[2019·河北唐山摸底]某厂分别用甲、乙两种工艺生产同一种零件，尺寸(单位：mm)在[223,228]内的零件为一等品，其余为二等品，在使用两种工艺生产的零件中，各随机抽取10个，其尺寸的茎叶图如图所示．
(1)分别计算抽取的用两种工艺生产的零件尺寸的平均数；
(2)已知用甲工艺每天可生产300个零件，用乙工艺每天可生产280个零件，一等品利润为30元/个，二等品利润为20元/个，视频率为概率，试根据抽样数据判断采用哪种工艺生产该零件每天获得的利润更高．
解析：(1)使用甲工艺生产的零件尺寸的平均数x
－
甲＝
1
10
×(217＋218＋222＋225＋226
＋227＋228＋231＋233＋234)＝226.1，
使用乙工艺生产的零件尺寸的平均数x －
乙＝110×(218＋219＋221＋224＋224＋225＋226
＋228＋230＋232)＝224.7.
(2)由抽样的样本可知，用甲工艺生产的零件为一等品的概率为25，为二等品的概率为3
5，
故采用甲工艺生产该零件每天获得的利润为W 甲＝300×25×30＋300×3
5×20＝7 200(元)；用
乙工艺生产的零件为一等品、二等品的概率均为1
2，故采用乙工艺生产该零件每天获得的利
润为W 乙＝280×12×30＋280×1
2
×20＝7 000(元)．
因为W 甲>W 乙，所以采用甲工艺生产该零件每天获得的利润更高．
4．[2019·沈阳市教学质量检测]为考查某种疫苗预防疾病的效果，进行动物实验，得到统计数据如下：
未发病 发病
总计
未注射疫苗 20 x A 注射疫苗 30 y
B
总计
50
50
100
现从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为2
5.
(1)求2×2列联表中的数据x ，y ，A ，B 的值； (2)绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否有效？
(3)能够有多大把握认为疫苗有效？
附：K 2
＝n (ad －bc )2
(a ＋b )(a ＋c )(c ＋d )(b ＋d )
，n ＝a ＋b ＋c ＋d
P (K 2≥k 0)
0.05 0.01 0.005 0.001 k 0
3.841
6.635
7.879
10.828
解析：(1)E ，由已
知得P (E )＝
y ＋30
100
＝2
5
，所以y ＝10，B ＝40，x ＝40，A ＝60. (2)未注射疫苗发病率为4060＝23，注射疫苗发病率为1040＝1
4
.
发病率的条形统计图如图所示，由图可以看出疫苗影响到发病率，且注射疫苗的发病率小，故判断疫苗有效．
(3)K 2
＝100×(20×10－30×40)2
50×50×40×60＝50
3
≈16.667>10.828.
所以至少有99.9%的把握认为疫苗有效．
5．[2019·南宁市高三毕业班适应性测试]从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i
个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝1
10
x i ＝80，∑i ＝1
10
y i
＝20，∑i ＝1
10x i y i ＝184，∑i ＝1
10
x 2
i ＝720.
(1)求家庭的月储蓄y ^对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^
； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
解析：(1)由题意知n ＝10，x －＝1n ∑i ＝1n x i ＝8010＝8，y －＝1
n ∑i ＝1n
y i ＝2010
＝2，
又∑i ＝1n x 2
i －n x －2＝720－10×82
＝80，∑i ＝1
n
x i y i －n x － y －＝184－10×8×2＝24，
由此得b ^＝2480＝0.3，a ^＝y －－b ^x －
＝2－0.3×8＝－0.4，
故所求线性回归方程为y ^
＝0.3x －0.4.
(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ^
＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ^
＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． 6．[2019·河北省六校联考]某中学一教师统计甲、乙两位同学高三学年的数学成绩(满分150分)，现有甲、乙两位同学的20次成绩的茎叶图如图1所示．
(1)根据茎叶图求甲、乙两位同学成绩的中位数，并将图2中乙同学成绩的频率分布直方图补充完整；
(2)根据茎叶图比较甲、乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度(不要求计算具体值，给出结论即可)；
(3)现从甲、乙两位同学不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，设事件A 为“其中2个成绩分别属于不同的同学”，求事件A 发生的概率．
解析：(1)甲同学成绩的中位数是119，乙同学成绩的中位数是128. 乙同学成绩的频率分布直方图如图所示：
(2)从茎叶图可以看出，乙同学成绩的平均值比甲同学成绩的平均值高，乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定．
(3)甲同学不低于140分的成绩有2个，分别设为a ，b ，乙同学不低于140分的成绩有3个，设为c ，d ，e ，
现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩有：(a ，b )，(a ，c )(a ，
d )(a ，
e )(b ，c )(b ，d )(b ，e )(c ，d )(c ，e )(d ，e )共10种，
其中2个成绩分属不同同学的情况有： (a ，c )(a ，d )(a ，e )(b ，c )(b ，d )(b ，e )共6种
因此事件A 发生的概率P (A )＝610＝3
5.。

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