数值方法

通常所说的龙格-库塔法是指四阶而言的，我们可以仿二阶、三
阶的情形推导出常用的标准四阶龙格-库塔法公式
1.2，算法程序：
#include<iostream> #include<iomanip> #define M 10 using namespace std; int main() {
long double feval(long double ,long double ,long double ); long double feval1(long double ,long double ,long double ); long double f[4],g[4]; long double h,a,b,xa,ya; long double x[M+1],y[M+1],T[M+1]; cout<<"请输入区间左右端点 a,b:"; cin>>a>>b; cout<<endl; //xa,ya 是初值 cout<<"请输入函数在左端点的初值 xa,ya:"; cin>>xa>>ya; cout<<endl; //h 是步长 h=(b-a)/M; x[0]=xa; y[0]=ya; for(int i=0;i<=M;i++) { T[i]=a+h*i; //给 T 赋值
以得出四阶龙格－库塔公式，也就是在工程中应用广泛的经典龙格－
数值计算课程设计
库塔算法：
yi+1=yi+h*( K1+ 2*K2 +2*K3+ K4)/6
K1=f(xi,yi)
K2=f(xi+h/2,yi+h*K1/2)
K3=f(xi+h/2,yi+h*K2/2)
K4=f(xi+h,yi+h*K3)
-8-
1.3，法解线性方程组
2.1 算法说明：
2.高斯列主元法解线性方程组........................... - 9 2.1 算法说明： .................................. - 10 2.2 算法程序： .................................. - 10 2.3 运行结果： .................................. - 13 -
数值方法课程设计说明书
题目： 典型数值算法的 C++语言程序设计
学生姓名： 晏瑞 学 号： 200912010127 院 （系）： 理学院 专 业： 数学与应用数学 091 班 指导教师： 刘海峰
2011 年 6 月 15 日
陕西科技大学
数值计算课程设计任务书
理学院 应用数学专业 数学 091 班级 学生： 晏瑞 题目：典型数值算法的 C++语言程序设计 课程设计从 2011 年 5 月 20 日起到 2011 年 6 月 25 日 1、课程设计的内容和要求（包括原始数据、技术要求、工作要求等）：
每人需作 10 个算法的程序、必做 6 题、自选 4 题。 对每个算法要求用 C++语言进行编程。 必选题： 1、经典四阶龙格库塔法解一阶微分方程组 2、高斯列主元法解线性方程组 3、牛顿法解非线性方程组 4、龙贝格求积分算法 5、三次样条插值算法（压紧样条）用 C++语言进行编程计算
依据计算结果，用 Matlab 画图并观察三次样条插值效果。 6、M 次多项式曲线拟合，据计算结果，用 Matlab 画图并观察拟合效果。 自选题：自选 4 道其他数值算法题目.每道题目重选次数不得超过 5 次. 2、对课程设计成果的要求〔包括图表、实物等硬件要求〕： 1）提交课程设计报告 按照算法要求，用 C++语言设计和开发应用程序，提交由算法说明；程序 设计说明；系统技术文档 (包括系统各模块主要流程图，软件测试方案与测试记 录、软件调试和修改记录、测试结论、运行情况记录)，系统使用说明书，源程 序代码为附录构成的课程设计报告。
4.龙贝格求积分算法 ................................. - 21 4.1 算法说明 ..................................... - 21 4.2 算法程序： .................................. - 21 4.3 运行结果： .................................. - 23 -
3.牛顿法解非线性方程组.............................. - 15 3.1 算法说明 ..................................... - 15 3.2 算法程序： .................................. - 15 3.3 运行结果： ................................... - 19 -
目录
数值计算设计课程设计报告正文
设计体会及今后的改进意见 参考文献（资料）
左边缘装订
3、课程设计工作进度计划：
时间
设计任务及要求
第 16 周 编写和调试程序并按要求撰写设计报告
指导教师：
日期：
教研室主任：
日期：
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陕西科技大学
目录
1.经典四阶龙格库塔法解一阶微分方程 ................... - 6 1.1 算法说明： .................................... - 6 1.2，算法程序： ................................. - 7 1.3，运行结果 .................................... - 9 -
当论文结构复杂，小节以下的标题，左起顶格书写，编号依次用（1）、（2）…… 或 1）、2）……顺序表示。字体为小四号宋体。
对条文内容采用分行并叙时，其编号用（a）、（b）……或 a）、b）……顺序 表示，如果编号及其后内容新起一个段落，则编号前空两个中文字符。 3）设计报告装订顺序与规范
封面
数值计算课程设计任务书
1.经典四阶龙格库塔法解一阶微分方程
1.1 算法说明：
龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度 单步算法。由于此算法精度高，采取措施对误差进行抑制，所以其实 现原理也较复杂。该算法是构建在数学支持的基础之上的。对于一精 度的欧拉公式有：
yi+1=yi+h*K1 K1=f(xi,yi) 当用点 xi 处的斜率近似值 K1 与右端点 xi+1 处的斜率 K2 的算 术平均值作为平均斜率 K*的近似值，那么就会得到二阶精度的改进 欧拉公式： yi+1=yi+h*( K1+ K2)/2 K1=f(xi,yi) K2=f(xi+h,yi+h*K1) 依次类推，如果在区间[xi,xi+1]内多预估几个点上的斜率值 K1、 K2、……Km，并用他们的加权平均数作为平均斜率 K*的近似值， 显然能构造出具有很高精度的高阶计算公式。经数学推导、求解，可
5.三次紧压样条插值 ................................. - 23 5.1 算法说明： .................................. - 23 5.2 算法程序： .................................. - 24 5.3 运行结果： .................................. - 25 -
6.M 次多项式曲线拟合 ................................ - 26 -
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6.1 算法说明 ..................................... - 26 6.2 算法程序： .................................. - 27 7.不动点法解非线性方程.............................. - 32 7.1 算法说明 ..................................... - 32 7.3 运行结果： .................................. - 34 8.二分法解非线性方程 ............................... - 35 8.1 算法说明： .................................. - 35 8.4 运行结果： ................................... - 37 9，龙格-库塔法解微分方程............................ - 38 9.1 算法说明： .................................. - 38 9.2 算法程序： .................................. - 39 9.3 运行界面： ................................... - 40 10，递归梯形公式 ................................... - 41 10.1，算法说明： ................................ - 41 10.2，算法程序： ................................ - 41 10.3 运行结果： ................................. - 42 -
数值计算课程设计
2）课程设计报告版式要求 打印版面要求：A4 纸，页边距：上 2cm，下 2cm，左 2.5cm、右 2cm；字