平均场理论

相对论重离子碰撞过程：
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参与强作用的介子和重子统称强子，所以描 述相对论性原子核多体问题的理论框架应当 是 量子强子动力学 (QHD-QuantumHadron Dynamics)。QHD 比较成熟而常用的理论是 Walecka 模型。当前在Walecka 模型的框架内， 已建立起相对论性的原子核的平均场理论。 在这个理论中， 核子按照包含自洽平均场的 Dirac 方程运动，此时的平均场是由介子场产 生的，而产生介子场的源又是核子的各种密 度和流。 这样，核子与介子场就成为一个耦 合的自洽系统。
平均场理论
1、什么是平均场理论
平均场理论是量子多体理论的零级近似， 是进一步近似的出发点, 也是最重要， 最流 行的量子多体理论， 因而成为量子多体理论 的基础。平均场理论所包含的物理概念—平 均场概念，是量子多体理论的精华, 这一概念 具有客观意义，是微观多体世界的最重要的 属性的深刻反映。而平均场理论正是用来解 决量子多体问题的。下面我们首先介绍多体 问题的一些特征
与原子系统不同，原子核系统不存在大 质量的势场中心。然而，实验表明原子核存 在着类似于原子壳层结构那样的幻数：当质 子数 Z 或中子数 N 等 2、 8、 20、 28、 50、 82、 126 等幻数时，原子核表现得特别稳定， 类似于原子中的惰性气体。这暗示，当质子 数或中子数等于幻数时，它们刚好填满一个 壳层，原子核特别稳定。在幻数上加一个核 子，它的运动表现出很好的独立粒子特征， 其状态可以用一个具有很好量子数的波函数 来描述。
7、原子核的平均场理论：原子核的壳层 结构
A. 原子核中核子的独立粒子运动与幻数的存 在： 在量子核子动力学（ QND）的理论框架 内， 原子核是由质子、中子组成的费米子多 体系统，质子和中子统称核子；质子之间存 在着长程的库仓斥力，核子之间存在着短程 的核力。核力是强相互作用，总体表现为很 强的吸引力，但在极小距离也表现出斥力。
其中的单体哈密顿量可以用有效场表达为：
求解该单体薛定谔方程即可得到单电子的能 级和状态。电子从低到高占据这些单电子能 级。由于泡利不相容原理的限制，每一 个能 级可以被两个电子占据。综上所述，我们已 经大概了解了平均场理论，那么我们又是怎 么样去确定平均场的呢？我们通常使用的方 法是自洽场方法确定平均场，下面就将为大 家介绍什么是自洽场，而我们又是怎么去确 定的。
平均场近似 在平均场近似下， 剩余相互作用被略去， 系统的哈密顿量成为单体算符，各个粒子在 平均场中彼此独立地运动， 粒子之间通过平 均场相互联系。因此， 平均场近似又称独立 粒子近似。 与外场中的独立粒子运动不同， 平均场近似下的独立粒子运动的量子态和产 生这些量子态的平均场必须有互为因果的反 馈关系。因此，自洽平均场是随多粒子系统 各粒子的量子态的变化而变化的，不像外场 是固定不变的。
6、自洽场方法确定平均场
实际上， 平均场的确定需要知道电子所处的状 态。 也就是说，单体薛定谔方程的确定需要该方 程的解的信息。因此，平均场近似下的单体薛定谔 方程必须通过迭代方法求解。即给定单体薛定谔方 程的一 个初始解， 构造平均场， 然后求解单体薛 定谔方程；利用薛定谔方程的解构造新的平均场和 薛定谔方程，求解薛定谔方程，再重复构造平均场， 求解薛定谔方程； 反复迭代直到用来构造平均场 的单体波函数和利用该单体波函数构造的薛定谔方 程的解完全相同为止。这种求解薛定谔方程的方法 称为自洽场方法。 迭代中止的条件称为自洽。
而且粒子之间的运动互相影响、相互关联这 也是所有多体体系的共同特点。（如前所述， 如果粒子之间没有相互作用、 没有关联， 相 应的问题总可以转化为单体问题来处理）。 现如今，非相对论量子多体理论的任务是求 解多体体系的薛定谔方程，通过研究多体系 统的物理，计算多体体系的各种物理性质。
3、平均场 的 本理论的基本思想 首先，平均场方法是最常见也最实用的 处理量子多体问题的手段。 其次，我们以多电子体系为例，用一个 （单体）有效场来代替电子所受到的其他电 的库仑相 作用子的库仑相互作用。这个有效 场包含了所有其他电子对该电子的相互作用。 利用有效场取代电子之间的库仑相互作用之 后，每一个电子在一个有效场中运动，电子 与电子之间的运动是独立的(除了需要考虑 泡利不相容原理)， 原来的多体问题就能转 化为单体问题。
5、平均场的数学形式
非混杂多体体系的哈密顿量：
平均场近似下的单体哈密顿量：
有效势
Hale Waihona Puke Baidu单体薛定谔方程：
特别的：平均场近似下的多体波函数可以表示为单体
波函数的乘积形式：
对于费密子体系， 多体波函数应该是反对称的：
多电子原子的电子问题
原子中的电子在原子核产生的中心力场中运动。采用 MFA，可以得到电子在原子核力场和其他电子平均场中的 运动方程为：
模型讲解 原子中电子的填充： 壳层模型
从氢原子和类氢原子的量子力学问题我们 知道，在中心对称力场中运动电子的状态需 要四个量子数来描写主量子数n 、角量子数l、 磁量子数m 和自旋量子数s 。考虑到电子之 间的相互作用， 原子中某一个电子受到的力 一 般情况下将不再是中心对称的。 但是作为 个一 个近似模型，我们认为每一个电子在原 子核和其它电子所组成的有心力场中运动。
按原子物理的经验， 幻数、壳层结构和独立 粒子运动的存在，表明原子核中也存在平均 场，正是这种平均场导致独立粒子运动和壳 层（幻数）的出现。也正是这种平均场导致 独立粒子运动和壳层（幻数）的出现。 B.原子核的相对论性平均场理论： 我们知道：在量子核子动力学（ QND）的理 论框架内的平均场理论可以推广大相对论情 况。因为在相对论碰撞中，核-核碰撞会产生 各种介子，核子也会发生内部激发而成为一 般的重子， 故而相对论性原子核多体理论就 是包含介子和一般重子自由度的量子多体理
4、平均场理论的应用
平均场理论在量子多体问题中有着广泛的应用。将 平均场理论应用到多电子原子中就得到原子的壳层 模型；应用到原子核中， 就得到原子核的壳层模 型； 应用到分子中， 得到分子轨道理论；应用到 晶体的电子问题中就得到晶体的能带理论；等等。 利用平均场理论可以解释化学元素在周期表中的排 布， 可以解释原子核的幻数， 可以解释化学反应 发生的难易，可以解释绝缘体和导体的区别，等等。 并且，通过选择更合理的有效场形式，或者在平均 场基础上考虑关联效应， 都可以更精确、 更有效 地处理多体问题。 接下来我将介绍一下在原子核 的研究中怎么样运用平均场理论方法。
原子核的相对论性平均场理论比非相对论平 均场理论取得了更大的成就，不但能解释非 相对论平均场理论已解释了的所有现象， 而 且还说明一些前者不能说明的问题。由于相 对论性平均场理论基于 QHD， 它使原子核平 均场理论向 QCD(量子色动力学)靠近了一步， 成为当前原子核平均场理论研究和发展的主 流。而我们研究的就是以量子色动力学为基 础。接下来我将就我们所研究的给大家做一 个简单的介绍：
2、多体问题的共同特征 众所周知：电子和核的运动可以分开处理， 这样会使得我们原来的多体问题得到 一定程 度一 定程度的简化。但是剩下的多电子问题 或者多原子核问题仍然是复杂的多体问题， 采用薛定谔方程精确求解这些多体问题的仍 然是不切实际的。以多电子问题为例，由于 电子之间存在库仑相互作用，电子与电子之 间的运动存在着关联。也就是说任何一 个电 子的运动都要受到其他电子运动的影响，任 何一个电子的运动状态发生了改变都会影响 到其他电子的运动。