【精选】八年级数学上册三角形解答题单元培优测试卷

【精选】八年级数学上册三角形解答题单元培优测试卷

一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）

1．直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．

（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，

①当∠ABO＝60°时，求∠AEB的度数；

②点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出∠AEB的大小；

（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO 的度数．

【答案】（1）①135°②∠AEB的大小不会发生变化，∠AEB＝135°，详见解析（2）

∠ABO＝60°或45°

【解析】

【分析】

（1）①根据三角形内角和定理、角分线定义，即可求解；

②方法同①，只是把度数转化为角表示出来，即可解答；

（2）根据三角形内角和定理及一个外角等于与它不相邻的两个内角和，利用角的和差计算即可求得结果，要对谁是谁的3倍分类讨论..

【详解】

（1）如图1，①∵MN⊥PQ，

∴∠AOB＝90°，

∵∠ABO＝60°，

∴∠BAO＝30°，

∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，

∴∠ABE＝1

2

∠ABO＝30°，∠BAE＝

1

2

∠BAO＝15°，

∴∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝135°．②∠AEB的大小不会发生变化．理由如下：

同①，得∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝180°﹣1

2

∠ABO﹣

1

2

∠BAO

＝180°﹣1

2

（∠ABO+∠BAO）＝180°﹣

1

2

×90°＝135°．

（2）∠ABO的度数为60°．理由如下：如图2，

∵∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，

∴∠OAE+∠OAF＝1

2

（∠BAO+∠GAO）＝90°，即∠EAF＝90°，

又∵∠BOA＝90°，∴∠GAO＞90°，

①∵∠E＝1

3

∠EAF＝30°，

∠EOQ＝45°，∠OAE+∠E＝∠EOQ＝45°，∴∠OAE＝15°，

∠OAE＝1

2

∠BAO＝

1

2

（90﹣∠ABO）

∴∠ABO＝60°．

②∵∠F＝3∠E，∠EAF=90°

∴∠E+∠F=90°

∴∠E=22.5°

∴∠EFA=90-22.5°=67.5°

∵∠EOQ＝∠EOM= ∠AOE= 45°，

∴∠BAO＝180°-(180°-45°-67.5°)×2=45°

∴∠ABO=90°-45°=45°

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理及外角的性质、角分线定义，解决本题的关键是灵活运用三角形内角和外角的关系.

2．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品--圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，

（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；

（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：

①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点

B、C，∠A=40°，则∠ABX+∠ACX等于多少度；

②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=40°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；

③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC=133°，

∠BG1C=70°，求∠A的度数．

【答案】（1）详见解析；（2）①50°；②85°；③63°．

【解析】

【分析】

（1）连接AD并延长至点F，根据外角的性质即可得到∠BDF=∠BAD+∠B，

∠CDF=∠C+∠CAD，即可得出∠BDC=∠A+∠B+∠C；

（2）①根据（1）得出∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，再根据∠A=40°，∠BXC=90°，即可求出∠ABX+∠ACX的度数；

②先根据（1）得出∠ADB+∠AEB=90°，再利用DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，即可求出∠DCE的度数；

③由②得∠BG1C=

1

10

（∠ABD+∠ACD）+∠A，设∠A为x°，即可列得

1

10

（133-x）+x=70，

求出x的值即可.

【详解】

（1）如图（1），连接AD并延长至点F，

根据外角的性质，可得

∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，

又∵∠BDC=∠BDF+∠CDF，∠BAC=∠BAD+∠CAD，∴∠BDC=∠A+∠B+∠C；

（2）①由（1），可得

∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，

∵∠A=40°，∠BXC=90°，

∴∠ABX+∠ACX=90°-40°=50°；

②由（1），可得

∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，

∴∠ADB+∠AEB=∠DBE-∠DAE=130°-40°=90°，

∴1

2

（∠ADB+∠AEB）=90°÷2=45°，

∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，

∴

1

2

ADC ADB

∠=∠，

1

2

AEC AEB

∠=∠，

∴∠DCE=∠ADC+∠AEC+∠DAE,

=1

2

（∠ADB+∠AEB）+∠DAE,

=45°+40°, =85°；

③由②得∠BG1C=

1

10

（∠ABD+∠ACD）+∠A，

∵∠BG1C=70°，

∴设∠A为x°，

∵∠ABD+∠ACD=133°-x°

∴

1

10

（133-x）+x=70，

∴13.3-

1

10

x+x=70，

解得x=63，

即∠A的度数为63°.

【点睛】

此题考查三角形外角的性质定理，三角形的外角等于与它不相邻的内角的和，，根据此定理得到角度的规律，由此解决问题，此题中得到平分角的变化规律是解题的难点.

3．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点.令

∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α.

（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2= °；

（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：；