【精选】人教版八年级数学上册 三角形解答题(培优篇)(Word版 含解析)

【精选】人教版八年级数学上册 三角形解答题（培优篇）（Word 版 含解析）

一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）

1．如图1，直线MN 与直线AB 、CD 分别交于点E 、F ，1∠与2∠互补.

(1)试判断直线AB 与直线CD 的位置关系，并说明理由.

(2)如图2，BEF ∠与EFD ∠的角平分线交于点P ，EP 与CD 交于点G ，点H 是MN 上一点，且GH EG ⊥，求证：//PF GH .

(3)如图3，在(2)的条件下，连接PH ，K 是GH 上一点使PHK HPK ∠=∠，作PQ 平分EPK ∠，求HPQ ∠的度数.

【答案】(1)AB//CD ，理由见解析；(2)证明见解析；(3)45HPQ ∠=.

【解析】

【分析】

（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF 、∠CFE 互补，即可证明； （2）利用（1）中平行线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理可得∠EPF=90°，即EG ⊥PF ，再结合GH ⊥EG ，即可证明;

（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠A=90°-∠3=90°-2∠2；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知∠QPK=-

12

∠EPK=45°+∠2，最后根据角与角间的和差关系即可求解.

【详解】

(1)//AB CD ，

理由如下：如图1， 图1

∵1∠与2∠互补，

∴12180∠+∠=︒，

又∵1AEF ∠=∠，2CFE ∠=∠，

∴180AEF CFE ∠+∠=︒，

∴//AB CD ；

(2)如图2，由(1)知，//AB CD ，

图2

∴180BEF EFD ∠+∠=︒．

又∵BEF ∠与EFD ∠的角平分线交于点P ，

∴1(2

)90FEP EFP BEF EFD ∠+∠=∠+∠=︒， ∴90EPF ∠=︒，即EG PF ⊥．

∵GH EG ⊥，

∴//PF GH ；

(3)如图3，

∵PHK HPK ∠=∠，

2PKG HPK ∴∠=∠.

又∵GH EG ⊥，

∴90902KPG PKG HPK ∠=-∠=-∠．

∴180902EPK KPG HPK ∠=-∠=+∠．

∵PQ 平分EPK ∠，

∴1452

QPK EPK HPK ∠=∠=+∠． ∴45HPQ QPK HPK ∠=∠-∠=．

【点睛】

本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理等知识.解题过程关注中“数形结合”思想是解答本题的关键.

2．直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．

（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，

①当∠ABO＝60°时，求∠AEB的度数；

②点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出∠AEB的大小；

（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO 的度数．

【答案】（1）①135°②∠AEB的大小不会发生变化，∠AEB＝135°，详见解析（2）

∠ABO＝60°或45°

【解析】

【分析】

（1）①根据三角形内角和定理、角分线定义，即可求解；

②方法同①，只是把度数转化为角表示出来，即可解答；

（2）根据三角形内角和定理及一个外角等于与它不相邻的两个内角和，利用角的和差计算即可求得结果，要对谁是谁的3倍分类讨论..

【详解】

（1）如图1，①∵MN⊥PQ，

∴∠AOB＝90°，

∵∠ABO＝60°，

∴∠BAO＝30°，

∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，

∴∠ABE＝1

2

∠ABO＝30°，∠BAE＝

1

2

∠BAO＝15°，

∴∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝135°．②∠AEB的大小不会发生变化．理由如下：

同①，得∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝180°﹣1

2

∠ABO﹣

1

2

∠BAO

＝180°﹣1

2

（∠ABO+∠BAO）＝180°﹣

1

2

×90°＝135°．

（2）∠ABO的度数为60°．理由如下：如图2，

∵∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，

∴∠OAE+∠OAF＝1

2

（∠BAO+∠GAO）＝90°，即∠EAF＝90°，

又∵∠BOA＝90°，∴∠GAO＞90°，

①∵∠E＝1

3

∠EAF＝30°，

∠EOQ＝45°，∠OAE+∠E＝∠EOQ＝45°，∴∠OAE＝15°，

∠OAE＝1

2

∠BAO＝

1

2

（90﹣∠ABO）

∴∠ABO＝60°．

②∵∠F＝3∠E，∠EAF=90°

∴∠E+∠F=90°

∴∠E=22.5°

∴∠EFA=90-22.5°=67.5°

∵∠EOQ＝∠EOM= ∠AOE= 45°，

∴∠BAO＝180°-(180°-45°-67.5°)×2=45°