2021届河北省唐山市高三年级摸底考试数学试题

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2021年高三暑假自主学习测试(9月)数学试题含答案

2021年高三暑假自主学习测试（9月）数学试题含答案数学 xx.09正题注意事项：1．本试卷共4页．满分160分，考试时间120分钟．2．请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卡的规定区域，在本试卷上答题无效．3．答题前，务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡的指定位置．参考公式：样本数据x1，x2，…，x n的方差，其中．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡．．．相应位置．．．．上．1．已知集合，，则___▲___.2．设R，向量且，则x= ___▲___．3．设复数z满足（i为虚数单位），则=___▲___.4．若，则的最小值为▲．5．样本数据18，16，15，16，20的方差＝___▲___.6．已知双曲线的离心率为2，则m的值为 ___▲___．7．根据如图所示的伪代码，最后输出的i的值为___▲___.8．已知函数,其中是取自集合的两个不同值，则该函数为偶函数的概率为9．已知实数x，y满足不等式组0,0,26,312xyx yx y⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≥≥≤≤，则的最大值是▲．10．已知函数，则满足的x的取值范围是___▲___．E FA B CD PFED1C1B1BCDA1A11．如图，在直四棱柱中，点分别在上，且，，点到的距离之比为3：2，则三棱锥和的体积比= ___▲___.12．已知P是直线l：上一动点，PA，PB是圆C：的两条切线，切点分别为A，B．若四边形PACB的最小面积为2，则k= ▲．13．已知函数和的图象的对称轴完全相同，则的值是▲．14．已知各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为___▲___.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题卡的指定区域内．15．（本小题满分14分）已知向量，，，其中为的内角．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若，且，求的长．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥的底面为矩形，，，分别是的中点，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面．17．（本小题满分14分）设数列的前n项和为，对任意满足，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前2n项和．18．（本小题满分16分）如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线排，在路南侧沿直线排，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将与接通．已知AB =60m ，BC =80m ，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF 部分的排管费用为每米2万元，设EF 与AB 所成的小于的角为．（Ⅰ）求矩形区域ABCD 内的排管费用W 关于的函数关系式；（Ⅱ）求排管的最小费用及相应的角．19．（本小题满分16分）已知椭圆的长轴两端点分别为A ，B ，是椭圆上的动点，以AB 为一边在x 轴下方作矩形ABCD ，使，PD 交AB 于点E ，PC 交AB 于点F ．（Ⅰ）如图（1），若k ＝1，且P 为椭圆上顶点时，的面积为12，点O 到直线PD 的距离为，求椭圆的方程；（Ⅱ）如图（2），若k ＝2，试证明：AE ，EF ，FB 成等比数列．图（1）l 2l 1BAC图（2）20．（本小题满分16分）对于函数，若在定义域内存在实数x ，满足，则称为“局部奇函数”．（Ⅰ）已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；（Ⅱ）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若为定义域上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围．xx 届高三暑假自主学习测试试卷数学 xx.09附加题注意事项：1．本试卷共2页，满分40分，考试时间30分钟．2．请将解题过程写在答题卡的规定区域，在本试卷上答题无效． 3．答题前，务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡的指定位置．21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选．定其中．．．两题．．，并在．．相应的．．．答题区域．．．．内作答．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）已知：如图，点A ，P ，B 在⊙O 上，， PC 平分，交⊙O 于点C ．求证：为等腰直角三角形．B ．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵A =，B =，求矩阵．C．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知曲线C的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．试求曲线C和的直角坐标方程，并判断两曲线的位置关系．D．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）设实数a，b满足，求证：．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知曲线C上任意一点到点的距离与到直线的距离相等．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设，是x轴上的两点，过点分别作x轴的垂线，与曲线C分别交于点，直线与x轴交于点，这样就称确定了．同样，可由确定了．现已知，求的值．23．（本小题满分10分）设a，b为实数，我们称（a，b）为有序实数对．类似地，设A，B，C为集合，我们称（A，B，C）为有序三元组．如果集合A，B，C满足，且，则我们称有序三元组（A，B，C）为最小相交（表示集合S中的元素的个数）．（Ⅰ）请写出一个最小相交的有序三元组，并说明理由；（Ⅱ）由集合的子集构成的所有有序三元组中，令N为最小相交的有序三元组的个数，求N的值．xx 届高三暑假自主学习测试试卷数学参考答案及评分标准 xx.09正题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 2． 3． 4．4 5．3.2 6．3 7．9 8． 9． 10． 11． 12．2 13． 14．54二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）cos cos sin sin cos()cos A B A B A B C ⋅=-=+=-m n ， ………………… 2分所以，即， ………………… 4分故或（舍），又，所以． ………………… 7分（Ⅱ）因为，所以． ① ………………… 9分由余弦定理，及得，． ② …………………12分由①②解得． …………………14分 16．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）取中点G ，连，因为、分别为、的中点，所以∥，且． ……… 2分又因为为中点，所以∥，且． ………………… 3分所以∥，．故四边形为平行四边形． ………………… 5分所以∥，又平面，平面，故∥平面． ………………… 7分（Ⅱ）设，由∽及为中点得，又因为，，所以，．所以，又为公共角，所以∽．所以，即． ……………… 10分又，，所以平面． ……………… 12分又平面，所以平面平面． ……………… 14分 17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵，①∴当时，，②以上两式相减得， ………………… 2分即，∵，∴当时，有． ………………… 5分又当时，由及得，所以数列{ a n }是等差数列，其通项公式为a n ＝n ． ………………… 8分（Ⅱ）由（Ⅰ）得． ………………… 9分所以13212(242)3(222)n n T n n -=++++++++ ………………… 10分． ………………… 14分 18．（本小题满分16分）解：（Ⅰ）如图，过E 作，垂足为M ，由题意得，故有，，．………………… 4分所以 … 5分． ………… 8分（Ⅱ）设（其中，则2cos cos (sin )(sin 2)()cos f αααααα---'== 令得，即，得． ………………… 11分列表所以当时有，此时有．………………… 15分答：排管的最小费用为万元，相应的角． ………………… 16分 19．（本小题满分16分）解：（Ⅰ）如图，当k ＝1时，CD 过点（0，-b ），CD ＝2a ，∵的面积为12，∴，即．① ………………… 2分此时D （-a ，-b ），∴直线PD 方程为． ∴点O 到PD 的距离＝． ② …… 4分由①②解得． …………… 6分 ∴所求椭圆方程为． ………… 7分（Ⅱ）如图，当k ＝2时，，设，由D ，E ，P 三点共线，及，（说明：也可通过求直线方程做）得，∴，即．…… 9分l 2M由C ，F ，P 三点共线，及，得，∴，即．…… 11分又，∴． ………………… 13分而00000002()2()242222222b x a b a x ay abEF a AE FB a a y b y b y b y b ⋅+⋅-=--=--=-=++++．…… 15分 ∴，即有AE ，EF ，FB 成等比数列． ………………… 16分 20．（本小题满分16分）解：为“局部奇函数”等价于关于x 的方程有解．（Ⅰ）当时，方程即有解，所以为“局部奇函数”． ……………… 3分（Ⅱ）当时，可化为，因为的定义域为，所以方程在上有解．………… 5分令，则．设，则，当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数． ………………… 7分所以时，．所以，即． ………………… 9分（Ⅲ）当时，可化为．，则，从而在有解即可保证为“局部奇函数”．……… 11分令， 1° 当，在有解，由，即，解得； ……………… 13分 2° 当时，在有解等价于解得． ………………… 15分（说明：也可转化为大根大于等于2求解）综上，所求实数m 的取值范围为． ………………… 16分附加题21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：由得为直径，所以． …………………… 2分由，得，同理． …………………… 4分又因为PC 平分，所以． …………………… 6分所以，故． …………………… 8分从而，为等腰直角三角形． ………………… 10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：设矩阵A 的逆矩阵为，则=， ………………… 1分即=， ………………… 4分故，从而A 的逆矩阵为=． ………………… 7分所以==． ………………… 10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：由得曲线C 的直角坐标方程为． ………………… 2分由得曲线的直角坐标方程为． ………………… 5分曲线C 表示以为圆心，5为半径的圆；曲线表示以为圆心，2为半径的圆．因为两圆心间距离2小于两半径的差5-2=3， ………………… 8分所以圆C 和圆的位置关系是内含． ………………… 10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明：作差得442233()()()a b ab a b a a b b b a ++=-+-- …………………… 1分＝＝ …………………… 4分＝． …………………… 6分因为，所以a ，b 不同时为0，故，，所以，即有． …………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）因为曲线C 上任意一点到点的距离与到直线的距离相等，根据抛物线定义知，曲线C 是以点为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为． ……………… 4分（Ⅱ）由题意知，，，则，故：． ……………… 6分令，得，即． ……………… 8分同理，， ……………… 9分于是． ……………… 10分 23．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）设，，，则，，，，且．所以（A ，B ，C ）是一个最小相交的有序三元组． ……………… 4分（Ⅱ）令，如果（A ，B ，C ）是由S 的子集构成的最小相交的有序三元组，则存在两两不同的，使得，，（如图），要确定共有种方法；对S 中剩下的3个元素，每个元素有4种分配方式，即它属于集合A ，B ，C 中的某一个或不属于任何一个，则有种确定方法．所以最小相交的有序三元组（A ，B ，C ）的个数N =．……………… 10分>40052 9C74 鱴El26211 6663 晣d2_24425 5F69 彩28805 7085 炅 27912 6D08 洈22639 586F 塯28081 6DB1 涱21215 52DF 募CBA zyx。

河北省唐山市2021-2022学年度高三第一次模拟考试数学(理)试题及答案解析

唐山市2017-2018学年度高三年级第一次模拟考试理科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.2(1)i i-=（） A ．22i -+B ．22i + C ．22i -- D ．22i -2.设集合2{|0}M x x x =->，1|1N x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则（） A ．MN B ．N M C ．M N =D ．M N R =3.已知1tan 2α=-，且(0,)απ∈，则sin 2α=（） A ．45B ．45-C ．35D ．35- 4.两个单位向量a ，b 的夹角为120，则2a b +=（） A ．2B ．3 C ．2D ．35.用两个1，一个2，一个0，可组成不同四位数的个数是（） A ．18 B ．16 C ．12 D ．96.已知233a -=，432b -=，ln3c =，则（）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．b a c <<7. 如图是根据南宋数学家杨辉的“垛积术”设计的程序框图，该程序所能实现的功能是（）A ．求135...(21)n ++++-B ．求135...(21)n +++++C ．求2222123n +++⋅⋅⋅+D ．求2222123(1)n +++⋅⋅⋅++ 8.为了得到函数5sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数sin y x =的图象（） A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度 9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A ．542+．9C ．652+．5310.已知F 为双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B .若OF FB =，则C 的离心率是（） A ．62．33C 2D ．2 11. 已知函数2()2cos f x x x x =-，则下列关于()f x 的表述正确的是（） A ．()f x 的图象关于y 轴对称 B ．0x R ∃∈，()f x 的最小值为1- C ．()f x 有4个零点 D ．()f x 有无数个极值点12.已知P ，A ，B ，C 是半径为2的球面上的点，2PA PB PC ===，90ABC ∠=，点B 在AC 上的射影为D ，则三棱锥P ABD -体积的最大值是（） A ．334B ．338 C ．12D ．34二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设x ，y 满足约束条件0230210x y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则23z x y =+的最小值是．14.6(21)x -的展开式中，二项式系数最大的项的系数是．（用数字作答）15. 已知P 为抛物线2y x =上异于原点O 的点，PQ x ⊥轴，垂足为Q ，过PQ 的中点作x 轴的平行线交抛物线于点M ，直线QM 交y 轴于点N ，则PQNO=． 16.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AB 边上的高为h ，若2c h =，则a bb a+的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知数列{}n a 为单调递增数列，n S 为其前n 项和，22n n S a n =+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若2112n n n n n a b a a +++=⋅⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和，证明：12nT <. 18.某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每公斤20元，成本为每公斤15元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去，未售出的全部降价处理完，平均每公斤损失3元.根据以往的销售情况，按[50,150)，[150,250)，[250,350)，[350,450)，[450,550]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求未来连续三天内，该经销商有连续两天该种鲜鱼的日销售量不低于350公斤，而另一天日销售量低于350公斤的概率；（2）在频率分布直方图的需求量分组中，以各组区间的中点值代表该组的各个值. （i ）求日需求量X 的分布列；（ii ）该经销商计划每日进货300公斤或400公斤，以每日利润Y 的数学期望值为决策依据，他应该选择每日进货300公斤还是400公斤？19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11A B C ⊥平面11AAC C ，90BAC ∠=.（1）证明：1AC CA ⊥；（2）若11A B C ∆是正三角形，22AB AC ==，求二面角1A AB C --的大小.20.已知椭圆Γ：22221x y a b+=(0)a b >>的左焦点为F ，上顶点为A ，长轴长为6，B 为直线l ：3x =-上的动点，(,0)M m ，AM BM ⊥.当AB l ⊥时，M 与F 重合. （1）若椭圆Γ的方程；（2）若直线BM 交椭圆Γ于P ，Q 两点，若AP AQ ⊥，求m 的值. 21.已知函数1()x f x e-=，()ln g x x a =+.（1）设()()F x xf x =，求()F x 的最小值；（2）证明：当1a <时，总存在两条直线与曲线()y f x =与()y g x =都相切.（二）选考题：共10分.请考生在（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆1C ：22(1)1x y -+=，圆2C ：22(3)9x y -+=.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求1C ，2C 的极坐标方程；（2）设曲线3C ：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数且0t ≠），3C 与圆1C ，2C 分别交于A ，B ，求2ABC S ∆的最大值.23.选修4-5：不等式选讲设函数()1f x x x =+-的最大值为m . （1）求m 的值；（2）若正实数a ，b 满足a b m +=，求2211a b b a +++的最小值.唐山市2017—2018学年度高三年级第一次模拟考试理科数学参考答案一．选择题：A 卷：DCBDA DCCAB DB B 卷：ACBDD DCAAB DB 二．填空题：（13）－5 （14）－160 （15）32（16）[2，22]三．解答题：（17）解：（Ⅰ）当n ＝1时，2S 1＝2a 1＝a 21＋1，所以(a 1－1)2＝0，即a 1＝1，又{a n }为单调递增数列，所以a n ≥1．…2分由2S n ＝a 2n ＋n 得2S n ＋1＝a 2n ＋1＋n ＋1，所以2S n ＋1－2S n ＝a 2n ＋1－a 2n ＋1，整理得2a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋1，所以a 2n ＝(a n ＋1－1)2．所以a n ＝a n ＋1－1，即a n ＋1－a n ＝1，所以{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a n ＝n ．…6分（Ⅱ）b n ＝a n ＋22n ＋1·a n ·a n ＋1＝n ＋22n ＋1·n ·(n ＋1)＝12n ·n －12n ＋1·(n ＋1)…9分所以T n ＝(121·1－122·2)＋(122·2－123·3)＋…＋[12n ·n －12n ＋1·(n ＋1)]＝121·1－12n ＋1·(n ＋1)＜12．…12分（18）解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，日销售量不低于350公斤的概率为(0.0025＋0.0015)×100＝0.4，则未来连续三天内，有连续两天的日销售量不低于350公斤，而另一天日销售量低于350公斤的概率P ＝0.4×0.4×(1－0.4)＋(1－0.4)×0.4×0.4＝0.192．…3分（Ⅱ）（ⅰ）X可取100，200，300，400，500，P(X＝100)＝0.0010×10＝0.1；P(X＝200)＝0.0020×10＝0.2；P(X＝300)＝0.0030×10＝0.3；P(X＝400)＝0.0025×10＝0.25；P(X＝500)＝0.0015×10＝0.15；所以X的分布列为：X 100 200 300 400 500P 0.1 0.2 0.3 0.25 0.15…6分（ⅱ）当每日进货300公斤时，利润Y1可取－100，700，1500，此时Y1的分布列为：Y1－100 700 1500P 0.1 0.2 0.7此时利润的期望值E(Y1)＝－100×0.1＋700×0.2＋1500×0.7＝1180；…8分当每日进货400公斤时，利润Y2可取－400，400，1200，2000，此时Y2的分布列为：Y2－400 400 1200 2000P 0.1 0.2 0.3 0.4此时利润的期望值E(Y2)＝－400×0.1＋400×0.2＋1200×0.3＋2000×0.4＝1200；…10分因为E(Y1)＜E(Y2)，所以该经销商应该选择每日进货400公斤．…12分（19）解：（Ⅰ）过点B1作A1C的垂线，垂足为O，由平面A1B1C⊥平面AA1C1C，平面A1B1C∩平面AA1C1C＝A1C，得B1O⊥平面AA1C1C，又AC平面AA1C1C，得B1O⊥AC．由∠BAC＝90°，AB∥A1B1，得A1B1⊥AC．又B 1O ∩A 1B 1＝B 1，得AC ⊥平面A 1B 1C ．又CA 1平面A 1B 1C ，得AC ⊥CA 1．…4分（Ⅱ）以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴正方向，|CA →|为单位长，建立空间直角坐标系C -xyz ．由已知可得A (1，0，0)，A 1(0，2，0)，B 1(0，1，3)．所以CA →＝(1，0，0)，AA 1→＝(－1，2，0)，AB →＝A 1B 1→＝(0，－1，3)． …6分设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1AB 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AA 1→＝0，n ·AB →＝0，即⎩⎨⎧－x ＋2y ＝0，－y ＋3z ＝0．可取n ＝(23，3，1)． …8分设m ＝(x ，y ，z )是平面ABC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AB →＝0，m ·CA →＝0，即⎩⎨⎧－y ＋3z ＝0，x ＝0．可取m ＝(0，3，1)．…10分则cosn ，m ＝n ·m |n ||m |＝12．又因为二面角A 1-AB -C 为锐二面角，所以二面角A 1-AB -C 的大小为3．…12分（20）解：（Ⅰ）依题意得A (0，b )，F (－c ，0)，当AB ⊥l 时，B (－3，b )，由AF ⊥BF 得k AF ·k BF ＝ b c · b －3＋c ＝－1，又b 2＋c 2＝6.解得c ＝2，b ＝2．所以，椭圆Γ的方程为x 26＋y 22＝1．…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得A (0，2)，依题意，显然m ≠0，所以k AM ＝－2m，又AM ⊥BM ，所以k BM ＝m2，所以直线BM 的方程为y ＝m2(x －m )，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．y ＝m2(x －m )与x 26＋y 22＝1联立得(2＋3m 2)x 2－6m 3x ＋3m 4－12＝0，AA 1BC1B 1xyzOx 1＋x 2＝6m 32＋3m 2，x 1x 2＝3m 4－122＋3m2．…7分|PM |·|QM |＝(1＋m 22)|(x 1－m )(x 2－m )|＝(1＋m 22)|x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2|＝(1＋m 22)·|2m 2－12|2＋3m 2＝(2＋m 2)|m 2－6|2＋3m2， |AM |2＝2＋m 2，…9分由AP ⊥AQ 得，|AM |2＝|PM |·|QM |，所以|m 2－6|2＋3m2＝1，解得m ＝±1．…12分（21）解：（Ⅰ）F(x )＝(x ＋1)ex －1，当x ＜－1时，F (x )＜0，F (x )单调递减；当x ＞－1时，F(x )＞0，F (x )单调递增，故x ＝－1时，F (x )取得最小值F (－1)＝－1e 2．…4分（Ⅱ）因为f (x )＝ex －1，所以f (x )＝e x －1在点(t ，e t －1)处的切线为y ＝e t －1x ＋(1－t )e t －1； …5分因为g(x )＝1x，所以g (x )＝ln x ＋a 在点(m ，ln m ＋a )处的切线为y ＝1mx ＋ln m ＋a －1，…6分由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧e t －1＝1m ，(1－t )e t －1＝ln m ＋a －1，则(t －1)e t －1－t ＋a ＝0． …7分令h (t )＝(t －1)e t －1－t ＋a ，则h (t )＝t e t －1－1由（Ⅰ）得t ＜－1时，h (t )单调递减，且h(t )＜0；当t ＞－1时，h(t )单调递增，又h (1)＝0，t ＜1时，h(t )＜0，所以，当t ＜1时，h (t )＜0，h (t )单调递减；当t ＞1时，h(t )＞0，h (t )单调递增．…9分由（Ⅰ）得h (a －1)＝(a －2)ea －2＋1≥－1e＋1＞0，…10分又h (3－a )＝(2－a )e2－a＋2a －3＞(2－a )(3－a )＋2a －3＝(a －32)2＋34＞0，…11分h (1)＝a －1＜0，所以函数y ＝h (t )在(a －1，1)和(1，3－a )内各有一个零点，故当a ＜1时，存在两条直线与曲线f (x )与g (x )都相切．…12分（22）解：（Ⅰ）由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得，C 1：ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－2ρcos θ＋1＝1，所以ρ＝2cos θ； C 2：ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－6ρcos θ＋9＝9，所以ρ＝6cos θ．…4分（Ⅱ）依题意得|AB |＝6cos α－2cos α＝4cos α，－2＜α＜2， C 2(3，0)到直线AB 的距离d ＝3|sin α|，所以S △ABC 2＝12×d ×|AB |＝3|sin 2α|，故当α＝±4时，S △ABC 2取得最大值3．…10分（23）解：（Ⅰ）f (x )＝|x ＋1|－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ≤－1，2x ＋1，－1＜x ＜1，1，x ≥1，由f (x )的单调性可知，当x ≥1时，f (x )有最大值1．所以m ＝1．…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a ＋b ＝1，a 2b ＋1＋b 2a ＋1＝13(a 2b ＋1＋b2a ＋1)[(b ＋1)＋(a ＋1)] ＝13[a 2＋b 2＋a 2(a ＋1)b ＋1＋b 2(b ＋1)a ＋1] ≥13(a 2＋b 2＋2a 2(a ＋1)b ＋1·b 2(b ＋1)a ＋1) ＝13(a ＋b )2 ＝13．当且仅当a ＝b ＝12时取等号．即a 2b ＋1＋b 2a ＋1的最小值为13． …10分。

2021年河北省唐山市高考数学一模试卷(理科)含答案解析

2021年河北省唐山市高考数学一模试卷〔理科〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求．1．假设复数z满足〔3+4i〕z=25，那么复平面内表示z的点位于〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．集合A={x|x2﹣x＞0}，，那么〔〕A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B3．假设函数，那么f〔f〔2〕〕=〔〕A．1 B．4 C．0 D．5﹣e24．一个几何体的三视图如下图，那么其体积为〔〕A．π+2 B．2π+4 C．π+4 D．2π+25．在△ABC中，∠B=90°，，，那么λ=〔〕A．﹣1 B．1 C．D．46．设等差数列{a n}的前n项和为S n，假设S4=﹣4，S6=6，那么S5=〔〕A．1 B．0 C．﹣2 D．47．双曲线的右顶点为A，过右焦点F的直线l与C的一条渐近线=〔〕平行，交另一条渐近线于点B，那么S△ABFA．B．C．D．8．二项式〔x﹣a〕7的展开式中，含x4项的系数为﹣280，那么dx=〔〕A．ln2 B．ln2+1 C．1 D．9．一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法可以设计如下图的程序框图，假设输入的n为6时，输出结果为2.45，那么m可以是〔〕A．0.6 B．0.1 C．0.01 D．0.0510．ω＞0，将函数f〔x〕=cosωx的图象向右平移个单位后得到函数的图象，那么ω的最小值是〔〕A．B．3 C．D．11．在一次比赛中某队共有甲，乙，丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场的顺序，那么乙、丙都不与甲相邻出场的概率是〔〕A．B．C．D．12．a＞b＞0，a b=b a，有如下四个结论：①b＜e；②b＞e；③∃a，b满足a•b＜e2；④a•b＞e2．那么正确结论的序号是〔〕A．①③B．②③C．①④D．②④二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．13．假设变量x，y满足约束条件，那么z=x+y的最小值是．14．设数列{a n}的前n项和为S n，且，假设a4=32，那么a1=．15．抛物线C：y2=2px〔p＞0〕的焦点为F，，抛物线C上的点B 满足AB⊥AF，且|BF|=4，那么p=．16．在三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，且AB=4，AC=5，那么BC的取值范围是．三、解答题：本大题共70分，其中17-21题为必考题，22、23题为选考题，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．〔12分〕△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+b2=λab．〔1〕假设，，求sinA；〔2〕假设λ=4，AB边上的高为，求C．18．〔12分〕某市春节期间7家超市的广告费支出x i〔万元〕和销售额y i〔万元〕数据如下：超市A B C D E F G广告费支出x i1246111319销售额y i19324044525354〔1〕假设用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程；〔2〕用对数回归模型拟合y与x的关系，可得回归方程：，经计算得出线性回归模型和对数模型的R2分别约为0.75和0.97，请用R2说明选择哪个回归模型更适宜，并用此模型预测A超市广告费支出为8万元时的销售额．参数数据及公式：，，，ln2≈0.7．19．〔12分〕如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB=90°，AC=CB=2，M、N分别是AB、A1C的中点．〔1〕求证：MN∥平面BB1C1C；〔2〕假设平面CMN⊥平面B1MN，求直线AB与平面B1MN所成角的正弦值．20．〔12分〕椭圆的离心率为，点在椭圆上，O为坐标原点．〔1〕求椭圆C的方程；〔2〕点P，M，N为椭圆C上的三点，假设四边形OPMN为平行四边形，证明四边形OPMN的面积S为定值，并求该定值．21．〔12分〕函数f〔x〕=sinx+tanx﹣2x．〔1〕证明：函数f〔x〕在〔﹣，〕上单调递增；〔2〕假设x∈〔0，〕，f〔x〕≥mx2，求m的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分. 22．〔10分〕直线l的参数方程为〔t为参数，0≤φ＜π〕，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=1，l与C交于不同的两点P1，P2．〔1〕求φ的取值范围；〔2〕以φ为参数，求线段P1P2中点轨迹的参数方程．23．x，y∈〔0，+∞〕，x2+y2=x+y．〔1〕求的最小值；〔2〕是否存在x，y，满足〔x+1〕〔y+1〕=5？并说明理由．2021年河北省唐山市高考数学一模试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求．1．假设复数z满足〔3+4i〕z=25，那么复平面内表示z的点位于〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法那么、几何意义即可得出．【解答】解：〔3+4i〕z=25，∴〔3﹣4i〕〔3+4i〕z=25〔3﹣4i〕，∴z=3﹣4i．那么复平面内表示z的点〔3，﹣4〕位于第四象限．应选：D．【点评】此题考查了复数的运算法那么、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于根底题．2．集合A={x|x2﹣x＞0}，，那么〔〕A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B【考点】集合的表示法．【分析】先分别求出集合A和B，由此得到A∪B=R．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣x＞0}={x|x＞1或x＜0}，，∴A∩B={x|﹣或1＜x＜}，A∪B=R．应选：B．【点评】此题考查并集、交集的求法及应用，是根底题，解题时要认真审题，注意并集、交集定义的合理运用．3．假设函数，那么f〔f〔2〕〕=〔〕A．1 B．4 C．0 D．5﹣e2【考点】函数的值．【分析】由函数的解析式先求出f〔2〕的值，再求出f〔f〔2〕〕的值．【解答】解：由题意知，，那么f〔2〕=5﹣4=1，f〔1〕=e0=1，所以f〔f〔2〕〕=1，应选A．【点评】此题考查分段函数的函数值，对于多层函数值应从内到外依次求值，注意自变量的范围，属于根底题．4．一个几何体的三视图如下图，那么其体积为〔〕A．π+2 B．2π+4 C．π+4 D．2π+2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可得，直观图是直三棱柱与半圆柱的组合体，由图中数据，可得体积．【解答】解：由三视图可得，直观图是直三棱柱与半圆柱的组合体，体积为+=π+2，应选A．【点评】此题考查由三视图求体积，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键．5．在△ABC中，∠B=90°，，，那么λ=〔〕A．﹣1 B．1 C．D．4【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的三角形法那么求出，再由⊥得出•=0，列出方程求出λ的值．【解答】解：△ABC中，，，∴=﹣=〔2，λ+2〕，又∠B=90°，∴⊥，∴•=0，即2﹣2〔λ+2〕=0，解得λ=﹣1．应选：A．【点评】此题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是根底题目．6．设等差数列{a n}的前n项和为S n，假设S4=﹣4，S6=6，那么S5=〔〕A．1 B．0 C．﹣2 D．4【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S4=﹣4，S6=6，∴d=﹣4，d=6，解得a1=﹣4，d=2．那么S5=5×〔﹣4〕+×2=0，应选：B．【点评】此题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．双曲线的右顶点为A，过右焦点F的直线l与C的一条渐近线=〔〕平行，交另一条渐近线于点B，那么S△ABFA．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a、b的值，进而可得c的值，可以确定A、F的坐标，设BF的方程为y=〔x﹣2〕，代入y=﹣x，解得B的坐标，由三角形的面积公式，计算可得答案．【解答】解：由双曲线，可得a2=1，b2=3，故c==2，∴A〔1，0〕，F〔2，0〕，渐近线方程为y=±x，不妨设BF的方程为y=〔x﹣2〕，代入方程y=﹣x，解得：B〔1，﹣〕．=|AF|•|y B|=•1•=．∴S△AFB应选：B．【点评】此题考查双曲线方程的运用，注意运用渐近线方程，关键求出B的坐标；解此类面积的题目时，注意要使三角形的底或高与坐标轴平行或重合，以简化计算．8．二项式〔x﹣a〕7的展开式中，含x4项的系数为﹣280，那么dx=〔〕A．ln2 B．ln2+1 C．1 D．【考点】二项式系数的性质．【分析】在〔x﹣a〕7的展开式的通项中，令x的指数为4，求出r值，再表示出x4项的系数，解关于a的方程即可求出a，利用定积分可得结论．【解答】解：〔x﹣a〕7的展开式的通项为〔﹣1〕r a r C7r x7﹣r，令7﹣r=4得r=3，∴展开式中x4项的系数〔﹣1〕3 a3C73=﹣35a3=﹣280，∴a=2，∴dx=lnx=1．应选：C．【点评】此题考查二项式定理的应用，解决指定项的系数问题．牢记定理是前提，准确计算是关键．9．一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法可以设计如下图的程序框图，假设输入的n为6时，输出结果为2.45，那么m可以是〔〕A．0.6 B．0.1 C．0.01 D．0.05【考点】程序框图．【分析】根据中的流程图，我们模拟程序的运行，可得：|2.5﹣3|≥m，且|2.45﹣2.5|＜m，解得m的取值范围，比拟各个选项即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=6，a=3b=2.5，不满足条件|b﹣a|＜m，执行循环体，a=2.5，b=2.45，由题意，此时应该满足条件|b﹣a|＜m，退出循环，输出b的值为2.45．可得：|2.5﹣3|≥m，且|2.45﹣2.5|＜m，解得：0.05＜m≤0.5，应选：B．【点评】此题主要考查的知识点是程序框图，模拟循环的执行过程是解答此类问题常用的方法，属于根底题．10．ω＞0，将函数f〔x〕=cosωx的图象向右平移个单位后得到函数的图象，那么ω的最小值是〔〕A．B．3 C．D．【考点】函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．【分析】利用诱导公式化简和同名函数，根据三角函数平移变换规律，建立关系．即可求ω的最小值．【解答】解：由函数f〔x〕=cosωx=sin〔ωx〕图象向右平移个单位后得到：sin〔〕，由题意可得：，〔k∈Z〕解得：，∵ω＞0，∴当k=0时，ω的值最小值为．应选A【点评】此题主要考查函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，属于根底题．11．在一次比赛中某队共有甲，乙，丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场的顺序，那么乙、丙都不与甲相邻出场的概率是〔〕A．B．C．D．【考点】列举法计算根本领件数及事件发生的概率．【分析】先求出根本领件总数n==120，再求出乙、丙都不与甲相邻出场包含的根本领件个数m=++=36，由此能求出乙、丙都不与甲相邻出场的概率．【解答】解：在一次比赛中某队共有甲，乙，丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场的顺序，根本领件总数n==120，乙、丙都不与甲相邻出场包含的根本领件个数m=++=36，∴乙、丙都不与甲相邻出场的概率p==．应选：D．【点评】此题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．12．a＞b＞0，a b=b a，有如下四个结论：①b＜e；②b＞e；③∃a，b满足a•b＜e2；④a•b＞e2．那么正确结论的序号是〔〕A．①③B．②③C．①④D．②④【考点】有理数指数幂的化简求值．【分析】根据题意，得出=，f〔x〕=，x＞0，利用导数判断0＜x＜e时f〔x〕增，x＞e时f〔x〕减；x=e时f〔x〕取得最大值；根据f〔a〕=f〔b〕得出a＞e＞b，判断①正确②错误；由＞e＞b得出f〔b〕＜f〔〕且f〔a〕＜f〔〕，即ab＞e2，判断④正确③错误．【解答】解：∵a＞b＞0，a b=b a，∴blna=alnb，∴=，设f〔x〕=，x＞0，∴f′〔x〕=，当0＜x＜e时，f′〔x〕＞0，函数f〔x〕单调递增，当x＞e时，f′〔x〕＜0，函数f〔x〕单调递减，当x=e时，f〔x〕max=f〔e〕=；∵f〔a〕=f〔b〕，∴a＞e＞b＞0，∴①正确，②错误；∴＞e＞b，∴f〔b〕＜f〔〕，∴f〔a〕＜f〔〕，∴a＞＞e，∴ab＞e2，④正确，③错误；综上，正确的命题是①④．应选：C．【点评】此题考查了利用构造函数的方法判断数值大小的应用问题，是综合性题目．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．13．假设变量x，y满足约束条件，那么z=x+y的最小值是﹣2．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合定点最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，得A〔﹣1，﹣1〕，化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣1﹣1=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】此题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．14．设数列{a n}的前n项和为S n，且，假设a4=32，那么a1=．【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】利用，a4=32，可得=32，即可得出结论．【解答】解：∵，a4=32，∴=32，∴a1=，故答案为．【点评】此题考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，比拟根底．15．抛物线C：y2=2px〔p＞0〕的焦点为F，，抛物线C上的点B 满足AB⊥AF，且|BF|=4，那么p=2或6．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出直线AB的方程，与抛物线方程联立，求出B的横坐标，利用抛物线的定义，即可得出结论．【解答】解：由题意，k AF=﹣，∴直线AB的方程为y=x+，代入y2=2px，可得p2x2﹣12px+36=0，∴x=，∵|BF|=4，∴+=4，∴p=2或6，故答案为2或6．【点评】此题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线位置关系的运用，属于中档题．16．在三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，且AB=4，AC=5，那么BC的取值范围是〔1，〕．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】如图设PA、PB、PC的长分别为a、b、c，BC=m．由PA，PB，PC两两互相垂直，得a2+b2=16，a2+c2=25，b2+c2=m2⇒m2=41﹣2a2，在△ABC中，⇒1＜m＜．【解答】解：如图设PA、PB、PC的长分别为a、b、c，BC=m．∵PA，PB，PC 两两互相垂直，∴a2+b2=16，a2+c2=25，b2+c2=m2⇒m2=41﹣2a2在△ABC中，⇒1＜m＜故答案为〔1，〕【点评】此题考查了空间位置关系，关键是把空间问题转化为平面问题，属于中档题．三、解答题：本大题共70分，其中17-21题为必考题，22、23题为选考题，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．〔12分〕〔2021•唐山一模〕△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+b2=λab．〔1〕假设，，求sinA；〔2〕假设λ=4，AB边上的高为，求C．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】〔1〕由结合正弦定理得：，结合范围可求，即可得解sinA的值．〔2〕由题意及三角形面积公式可求，由余弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得，结合范围，可求C的值．【解答】解：〔1〕由，，结合正弦定理得：，于是．因为，所以，可得．〔2〕由题意可知，得：．从而有：，即，又因为，所以，．【点评】此题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．〔12分〕〔2021•唐山一模〕某市春节期间7家超市的广告费支出x i〔万元〕和销售额y i〔万元〕数据如下：超市A B C D E F G广告费支出x i1246111319销售额y i19324044525354〔1〕假设用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程；〔2〕用对数回归模型拟合y与x的关系，可得回归方程：，经计算得出线性回归模型和对数模型的R2分别约为0.75和0.97，请用R2说明选择哪个回归模型更适宜，并用此模型预测A超市广告费支出为8万元时的销售额．参数数据及公式：，，，ln2≈0.7．【考点】线性回归方程．【分析】〔1〕求出回归系数，可得y关于x的线性回归方程；〔2〕对数回归模型更适宜．当x=8万元时，预测A超市销售额为47.2万元．【解答】解：〔1〕，所以，y关于x的线性回归方程是〔2〕∵0.75＜0.97，∴对数回归模型更适宜．当x=8万元时，预测A超市销售额为47.2万元．【点评】此题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，比拟根底．19．〔12分〕〔2021•唐山一模〕如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB=90°，AC=CB=2，M、N分别是AB、A1C的中点．〔1〕求证：MN∥平面BB1C1C；〔2〕假设平面CMN⊥平面B1MN，求直线AB与平面B1MN所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】〔1〕连接AC1，BC1，那么N∈AC1且N为AC1的中点，证明：MN ∥BC1，即可证明MN∥平面BB1C1C；〔2〕以C为原点，分别以CB，CC1，CA所在直线为x轴，y轴，z轴建立如下图的空间直角坐标系，求出平面B1MN，即可求直线AB与平面B1MN所成角的正弦值．【解答】〔1〕证明：连接AC1，BC1，那么N∈AC1且N为AC1的中点，又∵M为AB的中点，∴MN∥BC1，又BC1⊂平面BB1C1C，MN⊄平面BB1C1C，故MN∥平面BB1C1C．…〔4分〕〔2〕解：由A1A⊥平面ABC，得AC⊥CC1，BC⊥CC1．以C为原点，分别以CB，CC1，CA所在直线为x轴，y轴，z轴建立如下图的空间直角坐标系，设CC1=2λ〔λ＞0〕，那么M〔1，0，1〕，N〔0，λ，1〕，B1〔2，2λ，0〕，，=〔﹣1，λ，0〕，．取平面CMN的一个法向量为，由，得：，令y=1，得，同理可得平面B1MN的一个法向量为，∵平面CMN⊥平面B1MN，∴，解得，得，又，设直线AB与平面B1MN所成角为θ，那么．所以，直线AB与平面B1MN所成角的正弦值是．【点评】此题考查线面平行的证明，考查线面角，考查向量方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．〔12分〕〔2021•唐山一模〕椭圆的离心率为，点在椭圆上，O为坐标原点．〔1〕求椭圆C的方程；〔2〕点P，M，N为椭圆C上的三点，假设四边形OPMN为平行四边形，证明四边形OPMN的面积S为定值，并求该定值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】〔1〕由椭圆的离心率得出a、c的关系，再由a、b、c的平方关系，把点Q的坐标代入椭圆C的方程，求出b、a的值，写出椭圆C的方程；〔2〕讨论直线PN的斜率k不存在和斜率k存在时，分别计算四边形OPMN的面积S，即可得出四边形OPMN的面积为定值．【解答】解：〔1〕由椭圆的离心率为，得，∴=∴，∴a2=2b2；将Q代入椭圆C的方程，得+=1，解得b2=4，∴a2=8，∴椭圆C的方程为；〔2〕当直线PN的斜率k不存在时，PN方程为：或，从而有，所以四边形OPMN的面积为；当直线PN的斜率k存在时，设直线PN方程为：y=kx+m〔m≠0〕，P〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕；将PN的方程代入C整理得：〔1+2k2〕x2+4kmx+2m2﹣8=0，所以，，，由得：，将M点坐标代入椭圆C方程得：m2=1+2k2；点O到直线PN的距离为，，四边形OPMN的面积为．综上，平行四边形OPMN的面积S为定值．【点评】此题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，考查了转化法与方程组以及根与系数关系的应用问题，是综合性题目．21．〔12分〕〔2021•唐山一模〕函数f〔x〕=sinx+tanx﹣2x．〔1〕证明：函数f〔x〕在〔﹣，〕上单调递增；〔2〕假设x∈〔0，〕，f〔x〕≥mx2，求m的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】〔1〕利用导函数的性质证明即可．〔2〕利用导函数求解x∈〔0，〕，对m进行讨论，构造函数思想，结合导函数的单调性，求解m的取值范围．【解答】解：〔Ⅰ〕函数f〔x〕=sinx+tanx﹣2x那么，∵，∴cosx∈〔0，1]，于是〔等号当且仅当x=0时成立〕．故函数f〔x〕在上单调递增．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得f〔x〕在上单调递增，又f〔0〕=0，∴f〔x〕＞0，〔ⅰ〕当m≤0时，f〔x〕＞0≥mx2成立．〔ⅱ〕当m＞0时，令p〔x〕=sinx﹣x，那么p'〔x〕=cosx﹣1，当时，p'〔x〕＜0，p〔x〕单调递减，又p〔0〕=0，所以p〔x〕＜0，故时，sinx＜x．〔*〕由〔*〕式可得f〔x〕﹣mx2=sinx+tanx﹣2x﹣mx2＜tanx﹣x﹣mx2，令g〔x〕=tanx﹣x﹣mx2，那么g'〔x〕=tan2x﹣2mx由〔*〕式可得，令h〔x〕=x﹣2mcos2x，得h〔x〕在上单调递增，又h〔0〕＜0，，∴存在使得h〔t〕=0，即x∈〔0，t〕时，h〔x〕＜0，∴x∈〔0，t〕时，g'〔x〕＜0，g〔x〕单调递减，又∵g〔0〕=0，∴g〔x〕＜0，即x∈〔0，t〕时，f〔x〕﹣mx2＜0，与f〔x〕＞mx2矛盾．综上，满足条件的m的取值范围是〔﹣∞，0]．【点评】此题主要考查导函数的性质来解决三角函数的问题，构造函数，利用导函数求单调性讨论m解决此题的关键．属于难题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分.22．〔10分〕〔2021•唐山一模〕直线l的参数方程为〔t为参数，0≤φ＜π〕，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=1，l与C交于不同的两点P1，P2．〔1〕求φ的取值范围；〔2〕以φ为参数，求线段P1P2中点轨迹的参数方程．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】〔1〕求解曲线C的直角坐标方程，将直线l的参数方程〔t为参数，0≤φ＜π〕，带入，得到关于t的一元二次方程的关系式，由题意判别式大于0，可得φ的取值范围．〔2〕利用参数的几何意义即可求线段P1P2中点轨迹的参数方程．【解答】解：〔1〕曲线C的极坐标方程为ρ=1，根据ρ2=x2+y2可得曲线C的直角坐标方程为x2+y2=1，将代入x2+y2=1得t2﹣4tsinφ+3=0〔*〕由16sin2φ﹣12＞0，得，又0≤φ≤π，∴所求φ的取值范围是；〔Ⅱ〕由〔1〕中的〔*〕可知，，代入中，整理：得P1P2的中点的轨迹方程为〔φ为参数，〕．故得线段P1P2中点轨迹的参数方程为为〔φ为参数，〕．【点评】此题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互换和参数方程的几何意义的运用．23．〔2021•唐山一模〕x，y∈〔0，+∞〕，x2+y2=x+y．〔1〕求的最小值；〔2〕是否存在x，y，满足〔x+1〕〔y+1〕=5？并说明理由．【考点】根本不等式．【分析】〔1〕根据根本不等式的性质求出的最小值即可；〔2〕根据根本不等式的性质得到〔x+1〕〔y+1〕的最大值是4，从而判断出结论即可．【解答】解：〔1〕，当且仅当x=y=1时，等号成立．所以的最小值为2．〔2〕不存在．因为x2+y2≥2xy，所以〔x+y〕2≤2〔x2+y2〕=2〔x+y〕，∴〔x+y〕2﹣2〔x+y〕≤0，又x，y∈〔0，+∞〕，所以x+y≤2．从而有〔x+1〕〔y+1〕≤≤=4，因此不存在x，y，满足〔x+1〕〔y+1〕=5．【点评】此题考查了根本不等式的性质，注意应用性质的条件，此题是一道中档题．。

唐山市2021届高三下学期第三次模拟演练数学试题

2021年河北省唐山市高考数学第三次模拟演练试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．设集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣3x＜0}，则A∩B＝（）A．{1，2}B．{0，1，2}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3} 2．已知i是虚数单位，a∈R，若复数为纯虚数，则a＝（）A．﹣2B．2C．﹣D．3．已知角α的始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（﹣1，﹣2），则sin2α+sin2α＝（）A．B．C．D．4．已知log212＝m，则log312＝（）A．B．C．D．5．已知双曲线C：x2﹣＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P在C的一条渐近线上，若|OP|＝|PF2|，则△PF1F2的面积为（）A．3B．6C．9D．186．（1+ax）10（其中a≠0）的展开式的常数项与其各项系数之和相等，则其展开式中x2的系数为（）A．﹣45B．45C．﹣180D．1807．赤道式日晷（guǐ）是利用日影变化规律制成的天文记时仪器（图1），“日”指“太阳”，“晷”表示“影子”，“日晷”的意思为“太阳的影子”．晷针在晷面上的日影自西向东慢慢移动，晷面的刻度（图2）是均匀的，移动的晷针日影犹如现代钟表的指针，日影落在晷面相应的刻度上便可读取时间．晷面上刻有十二个时辰，用十二地支表示，每个时辰大约2小时，正子时表示凌晨0点左右，则图2表示的时间大约是几点钟？若再过31个小时大约是哪个时辰？（）A．4点，戌时B．5点，亥时C．9点，申时D．10点，酉时8．已知函数f（x）＝，则不等式f（x）+f（x2）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9．已知函数f（x）＝x+（x＞0），若f（a）＝f（b），且a＜b，则下列不等式成立的有（）A．ab＝1B．a2+b2＞2C．+≥2D．log a b＜log b a10．下列说法正确的是（）A．某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为，则游戏者闯关成功的概率为B．从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为C．已知随机变量X的分布列为P（X＝i）＝（i＝1，2，3），则P（X＝2）＝D．若随机变量η～N（2，σ2），且δ＝3η+1，则P（η＜2）＝0.5，E（δ）＝6 11．将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，如图所示，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则（）A．AC与EF所成的角为45°B．EF⊥BCC．过EF且与BD平行的平面截四面体A﹣BCD所得截面的面积为D．四面体A﹣BCD的外接球的表面积为8π12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线Γ：y2＝x，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l1从点P（，1）射入，经过Γ上的点A（x1，y1）反射后，再经Γ上另一点B（x2，y2）反射后，沿直线l2射出，经过点Q，则（）A．y1y2＝﹣1B．|AB|＝C．PB平分∠ABQD．延长AO交直线x＝﹣于点C，则C，B，Q三点共线三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河北省“五个一”名校联盟2023届高三年级摸底考数学卷及答案

河北省“五个一”名校联盟2023届高三年级摸底考试数学试卷命题单位：邯郸市第一中学（满分：150分,测试时间：120分钟）第I 卷（选择题,共60分）一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2280A x x x =--<,{}2,3,4,5B =,则A B = （）A.{2}B.{}2,3 C.{}3,4 D.{}2,3,42.已知2i z =+,则()i z z -=（）A.62i- B.42i- C.62i+ D.42i+3．已知圆锥的高为1,母线长为6,则过此圆锥顶点的截面面积的最大值为（）A.2B.52D.34．设0>ω,若函数()2cos()2f x x πω=-在[,42ππ-上单调递增,则ω的取值范围是（）A.1(0,]2B.3(1,]2C.3[0,]2D.(0,1]5．如图,在底面半径为1,高为6的圆柱内放置两个球,使得两个球与圆柱侧面相切,且分别与圆柱的上下底面相切．一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面,得到的截线是一个椭圆．则该椭圆的离心率为()A.226．已知82βαππ<<<,且5sin 2sin cos 2sin 4413πααπ-=，sin 2cos 4πβ+cos 2sin4πβ33=,则()βα22sin -的值为（）B.96 C. D.96-7．若过点(,)m n 可以作曲线2log y x =的两条切线,则（）A.2log m n> B.2log n m> C.2log m n< D.2log n m<8．先后抛掷两枚质地均匀的骰子,甲表示事件“第一枚骰子掷出的点数是1”,乙表示事件“第二枚骰子掷出的点数是2”,丙表示事件“两枚骰子掷出的点数之和是8”,丁表示事件“两枚骰子掷出的点数之和是7”,则下列说法正确的有（）①甲与乙相互独立②乙与丁相互独立③乙与丙不互斥但相互独立④甲与丙互斥但不相互独立A.1个B.2个C.3个D.4个二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9．有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,现从中有放回的取出5个球并记录取球结果,则下列统计结果中可能取出6号球的是（）A.平均数为3,中位数为2B.中位数为3,众数为2C.平均数为2,方差为2.4D.中位数为3,极差为210．已知(cos ,sin ),(cos )a x x b x x ==r r ,函数()f x a b =⋅r r,则下列选项正确的是()A.函数f (x )的值域为13[,]22-．B.将函数1sin 2y x =+图像上各点横坐标变为原来的12（纵坐标不变）,再将所得图像向左平移12π个单位长度,可得函数()f x 的图像．C.函数f (x )是奇函数．D.函数f (x )在区间[]π20，内所有零点之和为143π．11．如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1棱长为1,P 是1A D 上的一个动点,下列结论中正确的是（）A.BP 的最小值为23B.PA PC +C.当P 在直线1A D 上运动时,三棱锥1B ACP -的体积不变D.以点B 为球心,2为半径的球面与面AB 1C 的交线长为π312．已知圆221:(12C x y +-=上两点A 、B 满足AB 点()0,0M x 满足:MA MB =,则下列结论中正确的是（）A.当AB =,012x =B.当00x =时,过M 点的圆C 的最短弦长是C.线段AB 的中点纵坐标最小值是12D.过M 点作圆C 的切线且切点为A,B,则0x 的取值范围是(,)-∞⋃+∞第II 卷（非选择题,共90分）三､填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13．已知函数()3(xxa e f x e x -=是偶函数,则=a ______.14．设抛物线2y =的焦点为F ,准线为l ,过抛物线上一点A 作l 的垂线,垂足为B ．设0C (),AF 与BC 相交于点D ．若CF AF =,则△ACD 的面积为_____．15.,212xx R e x a ∀∈-≥+,则a 的最大值为______.16.德国大数学家高斯年少成名,被誉为数学届的王子,19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论,就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》.在其年幼时,对1+2+3+……+100的求和运算中,提出了倒序相加法的原理,该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成,因此,此方法也称之为高斯算法,现有函数()xf x =设数列{}n a 满足*121(0)()()()(1)()n n a f f f f f n N n n n-=+++++∈ ，若12,{}n n n n b a b n +=则的前项_________.n S =和四､解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知正项数列{}n a 满足11a =,且112++=-n n n n a a a a .(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)记21n n a b n =+,求数列{}n b 的前n 项和为n S ,求证:11.32n S ≤<18.(本小题满分12分)某学校组织“纪念共青团成立100周年”知识竞赛,有A ,B,C 三类问题,每位参加比赛的同学需要先选择一类并从中随机抽取一个问题回答,只有答对当前的问题才有资格从下一类问题中再随机抽取一个问题回答.A 类问题中的每个问题回答正确得10分,否则得0分;B 类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分,C 类问题中的每个问题回答正确得30分,否则得0分.已知小康同学能正确回答A 类问题的概率为0.8,能正确回答B 类问题的概率为0.6,能正确回答C 类问题的概率为0.4,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小康按照CBA 的顺序答题,记X 为小康的累计得分,求X 的分布列;（2）相比较小康自选的CBA 的答题顺序,小康的朋友小乐认为按照ABC 的顺序答题累计得分期望更大,小乐的判断正确吗？并说明理由.19.(本小题满分12分)已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,若4,b =在①()(sin sin )(sin sin )b c B C A C a +-=-,②1cos 3)(2cos =++B C A 两个条件中任选一个完成以下问题：（1）求;B （2）若D 在AC 上,且,AC BD ⊥求BD 的最大值.20.(本小题满分12分)如图,ABCD 为圆柱OO '的轴截面,EF 是圆柱上异于AD ,BC 的母线.（1）证明:BE ⊥平面DEF ;（2）若6==BC AB ,当三棱锥B DEF -的体积最大时,求二面角B DF E --的正弦值.21.(本小题满分12分)已知双曲线C :22221x y a b-=的离心率为2,1F 、2F 为它的左、右焦点,点P 为双曲线在第一象限上的一点,且满足120PF PF ⋅=uuu r uuu r,126PF PF =.（1）求C 的方程;（2）过点2F 作直线l 交双曲线于,A B 两点,在x 轴上是否存在定点(),0Q m ,使得⋅uur uuu rQA QB 为定值,若存在,求出m 的值和该定值;若不存在,请说明理由.2212012.()()ln ().();():(本小题满分分已知函数（）讨论的零点个数（）证明x f x x ax a f x f e xf x a=+≠≤-河北省“五个一”名校联盟2023届高三年级摸底考试数学参考答案一、单选题1——4:BADD 5——8:BBBC 二、多选题9.AB10.ABD 11.BCD12.CD三、填空题13.1-14.15.116.12n n +⋅四、解答题17.【解析】(1)数列{}n a 中,0n a >,由112++=-n n n n a a a a ,可得2111=-+nn a a .…………………………………………………………………………2分又11111a ==,则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1公差为2的等差数列,则12)1(211-=-+=n n a n,则数列{}n a 的通项公式为121-=n a n .…………………………………………………4分(2)由(1)知121-=n a n ,则1111(21(21)(21)22121n n a b n n n n n ===-+-+-+,…………………………………6分则数列{}n b 的前n 项和111111111123352121221()()n S n n n =-+-++-=--++L ,………………………8分,012131,311210,312,*<+-≤-∴≤+<∴≥+∴∈n n n N n .2131,1121132<≤∴<+-≤∴n S n …………………………………………………10分18.【解析】(1)由题可知,X 的所有可能取值为0,30,50,60……………………………1分()010.40.6P X ==-=()()300.410.60.16P X ==⨯-=()500.40.6(10.8)0.048P X ==⨯⨯-=()600.40.60.80.192P X ==⨯⨯= (5)分所以X 的分布列为X0305060P0.60.160.0480.192………………………………………………………………………………………………6分(2)由(1)知,()00.6300.16500.048600.19218.72E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．若小康按照ABC 顺序答题,记Y 为小康答题的累计得分,则Y 的所有可能取值为0,10,30,60()010.80.2P Y ==-=()()100.810.60.32P Y ==-=()300.80.6(10.4)0.288P X ==⨯⨯-=()600.80.60.40.192P X ==⨯⨯=………………………………………………………10分所以()00.2100.32300.288600.19223.36E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=故小乐的判断正确…………………………………………………………………………12分19.【解析】(1)若选①,由正弦定理得,(),)()(a c a c b c b -=-+………………………2分即,222ac a c b -=-即,222ac b c a =-+2221cos ,222a cb ac B ac ac +-∴===……4分(0,),,3B B ππ∈∴=Q ……………………………………………………………………5分若选②cos2()3cos cos2()3cos cos23cos 1,A C B B B B B π++=-+=+=Q …………………2分,1cos 31cos 22=+-∴B B 即22cos 3cos 20,B B +-=即2cos -=B (舍)或21cos =B ,…………………………………………………………4分(0,),,3ππ∈∴=Q B B ……………………………………………………………………5分(2)BD AC ⊥Q ,BD 为AC 边上的高,当面积最大时,高取得最大值.…………………6分法一：由余弦定理得,B ac c a b cos 216222-+==,由重要不等式得162ac ac ac ≥-=,当且仅当a=c 时取等,……………….…….…….…….…….……….…………………9分所以34sin 21≤=∆B ac S ABC .…….…….…….…….…….…….………………10分所以AC 边上的高的最大值为4312b =..…….…….…….…….………………12分法二：由正弦定理得ABC ∆外接圆的直径为2sin b R B ==,.……………………7分利用正弦定理表示面积得:11sin sin 2233ABC S ac B A C B ∆==⋅122sin()sin()233A A A A ππ=-=-)363A π=-+≤……………………………………………………10分所以AC 边上的高的最大值为322134=b ..…….…….…….…….………………12分20.【解析】(1)证明：如右图,连接AE ,由题意知AB 为O 的直径,所以AE BE ⊥.因为AD ,EF 是圆柱的母线,所以AD EF ∥且AD EF =,所以四边形AEFD 是平行四边形.所以AE DF ∥,所以BE DF ⊥.因为EF 是圆柱的母线,所以EF ⊥平面ABE ,又因为BE ⊂平面ABE ,所以EF BE ⊥.又因为DF EF F = ,DF 、EF ⊂平面DEF ,所以BE ⊥平面DEF .………………………………………4分(2)由(1)知BE 是三棱锥B DEF -底面DEF 上的高,由(1)知EF AE ⊥,AE DF ∥,所以EF DF ⊥,即底面三角形DEF 是直角三角形.设DF AE x ==,BE y =,则22:6Rt ABE x y+=在中有,………………………………………………………………5分所以221113326622B DEF DEFx yV S BE x y-∆+⎛=⋅=⋅⋅⋅=≤=⎝,当且仅当3==yx时等号成立,即点E,F分别是»AB,»CD的中点时,三棱锥B DEF-的体积最大,…………………………………………………………………………………7分(:另解等积转化法:1.3B DEF D BEF D BCF B CDF CDFV V V V S BC----∆====⋅,)F CD E F AB CD易得当与距离最远时取到最大值此时、分别为、中点下面求二面角B DF E--的正弦值：法一：由(1)得BE⊥平面DEF,因为DF⊂平面DEF,所以BE DF⊥.又因为EF DF⊥,EF BE E⋂=,所以DF⊥平面BEF.因为BF⊂平面BEF,所以BF DF⊥,所以BFE∠是二面角B DF E--的平面角,……9分由(1)知BEF为直角三角形,则3BF==.故3sin3BEBFEBF∠==,所以二面角B DF E--的正弦值为分法二：由(1)知EA,EB,EF两两相互垂直,如图,以点E为原点,EA,EB,EF所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系E xyz-,则00000000(),(,,),(,B D E F.由(1)知BE⊥平面DEF,故平面DEF的法向量可取为00()EB=uuu r.设平面BDF的法向量为(,,)n x y z=,由((0,DF BF==,……………………………………………………8分得n DFn BF⎧⋅=⎨⋅=⎩,即⎧=⎪⎨+=⎪⎩,即xy=⎧⎪⎨=⎪⎩,取1z=,得n= (10)分设二面角B DF E --的平面角为θ,cos cos ,n EB n EB n EBθ⋅=<>==⋅r uur r uurr uur ,所以二面角B DF E --的正弦值为33.………………………………………………12分21.【解析】(1)解法一：由2ce a==得：2c a =,b ∴=,120PF PF ⋅=uuu r uuu rQ ,∴12PF PF ⊥,在12Rt F PF V 中,由122PF PF a -=得：222121224PF PF PF PF a +-=,代入222124PF PF c +=,126PF PF =得:224124c a -=解得:23b =,21a =,∴双曲线方程为：2213y x -=.………………………………………4分解法二：由2ce a==得：2c a =,b ∴==,设点()(),0P x y y >,则点P满足22221x y a b-=…①,120PF PF ⋅=uuu r uuu r Q ,()()222,,0c x y c x y x c y ∴---⋅--=-+=,即222x y c +=…②,121211222F PF S PF P y c F ⋅==,即3y c ⋅=…③,则由①②得：2b y c =,代入③得：23b =,21a =,∴双曲线方程为:2213y x -=.…………4分(2)解法一:当l 斜率不存在时,:2l x =,此时()2,3A ,()2,3B -,2(2)9QA QB m ⋅=--，uur uuu r当l 斜率为0时,:0l y =,此时()1,0A -,()10B ,,21QA QB m ⋅=-uur uuu r；QA QB ⋅若为定值，uur uuu r 22:(2)91.,0,1m m m QA QB ⋅=--=-=-则有解得uur uuu r:(10),:0.QA QB Q ⋅=-uur uuu r下证当为，时恒有；………………………………………………6分当l 斜率存在时,设():2l y k x =-,()11,A x y ,()22,B x y ,联立()22233y k x x y ⎧=-⎨-=⎩得()222234430k x k x k -+--=,则236360k ∆=+>,212243k x x k -∴+=-,2122433k x x k --=-,…………………………………8分()()121211QA QB x x y y ∴⋅=+++uur uuu r ()()212121212124x x x x k x x x x =++++-++⎡⎤⎣⎦()()()222121212114k x x k x x k =+--+++………………………………………………10分()()22222224341211433k k k k k k k ---=+--++--()222241(3)410.3k k k k +-=++=-综上所述：存在1m =-,使得0QA QB ⋅=uur uuu r ；……………………………………………12分解法二：当l 斜率为0时,:0l y =,此时()1,0A -,()10B ,,由(),0Q m 得：21QA QB m ⋅=-uur uuu r ；………………………………………………………………………6分当l 斜率不为0时,设:2l x ty =+,()11,A x y ,()22,B x y ,联立22233x ty x y =+⎧⎨-=⎩得：()22311290t y ty -++=,则236360t ∆=+>,1221231t y y t -∴+=-,122931y y t =-,…………………………………………………………8分()()()()11221212,,QA QB x m y x m y x m x m y y ∴⋅=-⋅-=--+uur uuu r 2212121212(2)(2)(1)(2)()(2)ty m ty m y y t y y m t y y m =+-+-+=+⋅+-++-()2222222129(1215)9(1)(2)(2)(2)313131t m t t m t m m t t t --+=++-+-=+----,………………………10分若⋅uur uuu r QA QB 为定值,则1215931m -=-,1m ∴=-,()1,0Q ∴-,此时0QA QB ⋅=uur uuu r ；当1m =-,l 斜率为0时,210QA QB m ⋅=-=uur uuu r ；综上所述,存在1m =-,使得0QA QB ⋅=uur uuu r ；………………………………………………………………………………12分2min ln ln ln 122.(1)()ln 0,,(),()(0,),()0,(,),()0,()(0,)1(,),()(),20,();,()0,()x x x f x x ax a g x g x x x x x e g x x e g x g x e e g x g e ex g x x e g x x g x -'=+==-=-=''∈<∈+∞>∴+∞∴==-→→+∞><→+∞→【解析】令则设当时时在上单调递减，在上单调递增分时当时且时L L L L L L L L L L L L L L L L L Q 0,311,(),0,(),a f x a a f x e e∴<-=->分当时无零点当或时有一个零点L L L L L L L10,().5L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L a f x e-<<当时有两个零点分ln ()()()(2),((),7ln 10(0)ln 10(0),:()10(0)8()1,()1,(,0)x at atat t f x x x x f e x f e t f f t a x a ate t at t t at e t tf x e x h x x e h x e x --------=≤-⇔≤-++-≥>++-≥>+-≥>'=+-=-∈-∞设则分即证，即证即证，分设则当时L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 00,()0,(0,),()0,()(,0),()(0),()(0)010110,0"",(1),,,()0x h x x h x h x h x h x h x e x a x ef x -'<∈+∞'>∴-∞+∞∴≥=∴+-≥==>-=当时在单调递减在，单调递增，分当且仅当时成立由知当时存在使得L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L ()11()()10,().12x f x f e x f x e f x a-∴+-≥∴≤-分分L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L。

2022届河北省唐山市高三上学期开学摸底数学试题解析

D选项，建立如图所示空间直角坐标系，，
.设 . ，此方程组无解，所以在棱上不存在点P，使得平面 .D错误.
故选：ABC
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 圆台的轴截面上､下底边长分别为2和4，母线长为2，则圆台的体积是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据圆台的轴截面的长度关系，可得到，代入圆台的体积公式，即得解
【详解】
如图所示，不妨设圆台的轴截面为，过分别作于
由于圆台的轴截面为等腰梯形，因此
由圆台的体积公式，
其中，
故答案为：
14. 若函数为偶函数，则 ___________.
【答案】1
【解析】
【分析】利用偶函数的性质列方程求a.
【详解】∵函数为偶函数，
∴ ，即
∴
∴
∴
∴ ，
故答案为：1.
15. 不过原点的直线l与曲线相切于，相交于点，则 ___________.公式：
2. 已知虚数单位，若，则（）
A. B. C. 10D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由已知条件求出复数的一般形式，结合复数模的求解公式从而可选出正确答案.
【详解】解：，则，
故选:A.
3. 设，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析得到即得解.
【详解】由题得，
所以不同的分法有种，
故选：B.
6. 已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设终边所在的直线方程为，由已知条件可求出，从而可求出角的余弦值.

河北省唐山市2023届高三上学期摸底考试语文试题答案

唐山市2022—2023学年度高三年级摸底考试语文一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，17分）1.Ｂ（“以达到超越作者初衷的目的”于文无据，原文为“与作者的写作动因发生神交，以达到二者之间的情感契合”）2.Ｃ.（Ａ”诗意是小说的标配”错，原文为“诗意也是好小说的标配”；“按照简约主义要求”错，汪曾祺的小说《受戒》并非按照按照简约主义要求去创作的，只是客观上达到了简约主义的效果；Ｄ项“其产生背景和动因完全不同”错，原文为“而西方的诗人们则同时还出于对科技工具理性对人的抽象化的抗争”，说明两者有相同之处）3.Ｄ（Ｄ项不属于文中所说的“小说的诗意”）4.答：文章采取总分结构，（1分）先通过引用提出“诗意是好小说的标配”的观点，（1分）接着采取了举例论证、引用论证、因果论证、对比论证等方式，从解读小说诗意的方法角度，分别提出“诗无达诂”和“冰川原则”（1分），最后从反面归纳出小说诗意不足的种种表现。

（1分）5.答：①善于留下空白，触发读者思维。

小说重点写妇女们的表现，而淡化了战争场面，引发读者想象。

②小说深藏情感。

小说侧重于对以水生嫂为代表的妇女们的语言和行动的描写，引导读者对其心理及情感进行揣测。

③“情”与“美”相结合，诗情与画意相统一。

文章既营造了清新隽美的意境，又表现了质朴坚忍的人情。

（每点2分，共4分，答对2点即可得满分）（二）现代文阅读Ⅱ（本题共4小题，18分）6.D（选项中“他比同为翰林的吴中行更有书生意气”理解错误。

）7.D（“性格执着”错，不能体现此性格。

）8.①插入回忆使情节再掀波澜，呈现出曲折变化，突出了双方矛盾，丰富了文章内容。

②突出了人物形象。

张居正一心为国、执法严苛，艾穆刻板不会变通的性格特点得以突出。

（每点3分，共6分）9.①七人看法狭隘。

他们只是站在礼法纲常角度，没有考虑明朝当时的现状。

②皇权支持张居正夺情。

小皇帝下命让天官张瀚致仕，李太后在两次冬决一事上对张居正“迁就”。

2021届全国新高考仿真模拟试题(二)数学(文)(解析版)

∴CD⊥平面
ABD，∴CD
是三棱锥
C

ABD
的高，∴VC

ABD＝13×12×2×2×sin
60°×2＝2 3， 3
故选 A.
8．答案：C
解析：由射线测厚技术原理公式得I20＝I0e－7.6×0.8μ，∴12＝e－6.08μ，－ln 2＝－6.08μ，μ≈0.114，
故选 C.
9．答案：C
解析：从题图(1)可以看出，该品牌汽车在 1 月份所对应的条形图最高，即销售量最多，
商品销售 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 y10
额 y/万元
且已知错误!i＝380.0
(1)求第 10 年的年收入 x10. (2)若该城市居民年收入 x 与该种商品的销售额 y 之间满足线性回归方程y^＝363x＋^a，
254 (ⅰ)求该种商品第 10 年的销售额 y10； (ⅱ)若该城市居民年收入为 40.0 亿元，估计这种商品的销售额是多少？(精确到 0.01) 附：①在线性回归方程y^＝b^x＋^a中，b^＝错误!，^a＝－y －b^－x ；
(1)求轨迹Γ的方程； (2)过点 F 作互相垂直的直线 AB 与 CD，其中直线 AB 与轨迹Γ交于点 A，B，直线 CD 与轨迹Γ交于点 C，D，设点 M，N 分别是 AB 和 CD 的中点，求△FMN 的面积的最小值．
-5-
21．(12 分)[2020·安徽省示范高中名校高三联考]函数 f(x)＝aex＋x2－ln x(e 为自然对数的底数，a 为常数)，曲线 f(x)在 x＝1 处的切线方程为(e＋1)x－y＝0.
于 8 月份，所以该公司 7 月份汽车的总销售量比 8 月份少，所以选项 C 是错误的；从题图(1)

2021届高考高三模拟考试数学试题

2021届高考高三模拟考试数学试题1、已知集合A={x|-2≤x<4}，B={x|-5<x≤3}，则A∩B=（）A、{x|-5<x<4}B、{x|-5<x≤-2}C、{x|-2≤x≤3}D、{x|3≤x<4}答案：C2、“a>1”是“(a-1)(a-2)<0”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件答案：B3、已知变量x，y之间的一组数据如下表：若y关于x的线性回归方程为ŷ=ax+b，则a=（）x。

y3.2.54.35.46.4.5A、0.1B、0.2C、0.35D、0.45答案：D4、已知a，b为不同直线，α,β为不同平面，则下列结论正确的是（）A、XXX⊥α，b⊥a，则b//αB、若a,b∥α，a//β,b//β，则α//βC、若a//α,b⊥β,a//b，则α⊥βD、若α∩β=b,XXXα,a⊥b，则α⊥β答案：C5、高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接收该班2名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有（）A、15种B、90种C、120种D、180种答案：B6、已知α∈(π,π)，tanα=-3，则sin(α-π/4)等于（）A、-5/24πB、-3/5C、3/5D、5/24π答案：B7、随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益。

假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量N（单位：XXX）与时间t（单位：天）满足函数关系N(t)=P(t)P，其中P为t=0时该放射性同位素的含量。

已知t=15时，该放射性同位素的瞬时变化率为-10ln2，则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为（）A、20天B、30天C、45天D、60天答案：C8、定义运算⊕：①对∀m∈R，m⊕m=m；②对∀m,n,p∈R，(m⊕n)⊕p=p⊕(mn)+m⊕p+n⊕p。

2021-2022学年河北省唐山市第一中学高二下学期6月调研数学试题(解析版)

2021-2022学年河北省唐山市第一中学高二下学期6月调研数学试题一、单选题1．已知集合{}{}220,1A x x x B x x =-+>=>，则()R AC B =（）A ．()0,1B ．(]0,1C ．(),0-∞D ．()1,2【答案】B【分析】解出不等式220x x -+>，然后可算出答案.【详解】因为{}{}22002A x x x x x =-+>=<<，{}1R C B x x =≤所以()R AC B =(]0,1故选：B2．已知命题p ：“21,4,402x x ax ⎡⎤∃∈-+>⎢⎥⎣⎦”为真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．4a <B ．172a <C ．133a <D ．5a >【答案】B【分析】命题p ：“1,42x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，240x ax -+>”，即max 4a x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，然后利用对勾函数的知识求出4()f x x x=+的最大值即可. 【详解】命题p ：“1,42x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，240x ax -+>”，即max 4a x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，设4()f x x x =+，对勾函数在2x =时取得最小值为4，在12x =时取得最大值为172，故172a <，故选：B ． 3．已知ln a ππ=，2ln 2b =，c e =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b a c <<【答案】B【分析】构造函数()ln xf x x=进而利用单调性即得. 【详解】ln a ππ=，2ln 2b =，ln e c e e ∴== 构造函数()ln x f x x=且()2ln 1()ln x f x x -'=当1x e <<时ln 1x <,此时()2ln 1()0ln x f x x -'=<;当x e >时ln 1x >,此时()2ln 1()0ln x f x x -'=>.故()ln xf x x=当()1,x e ∈单调递减,当(,)x e ∈+∞单调递增. 故min ()()f x f e e c === 故,a c b c >> 2224(4)ln 22ln 2ln 4b f ⋅==== 又40(4)()f f ππ>>∴> 即b a > 故c a b << 故选: B4．某校开展课后服务活动，星期五下午安排语文素养课，数学思维课，英语拓展课，心理活动课四种课程.其中心理活动课不排第一节，语文素养课和英语拓展课不相邻，那么星期五下午不同课表的排法种数有（） A ．18 B ．10C ．12D ．14【答案】B【分析】根据题意，依次列举即可得答案. 【详解】解：根据题意，可能的情况如下：故选：B5．()()5131x x +-的展开式中3x 的系数为（） A ．0 B ．20 C ．10 D ．30【答案】B【分析】()()5131x x +-可化为()()5511+3x x x --，再根据二项式展开式的通项公式求展开式中3x 的系数.【详解】由()51x -展开式的通项为()()5155C 11C r r r r r r r T x x -+=⋅⋅-=-，令r ＝3，得()51x -展开式中含3x 的项的系数为()3351C 10-=-，令r ＝2，得()51x -展开式中含2x 的项的系数为()2251C 10-=，所以()()5131x x +-的展开式中3x 的系数为1031020-+⨯=. 故选：B.6．若直线y x m =+与曲线2e x n y -=相切，则（） A ．m n +为定值 B ．12m n +为定值C ．n m 21+为定值D ．13m n +为定值【答案】B【分析】设出切点，对原函数求导，将切点横坐标代入导函数求得斜率，进而建立等式求出切点坐标，再代入直线方程即可得到答案.【详解】设直线y x m =+与曲线2e x n y -=切于点()020,e x nx -，因为2e x n y -'=，所以02e 1x n -=，02x n =，所以切点为(2,1)n ，代入直线方程得：12n m =+，即1122m n +=. 故选：B.7．某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院某科室的5名男医生(含一名主任医师)､4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为（） A ．38B ．310C ．311 D ．35【答案】A【分析】设事件A 表示“有一名主任医师被选派”，事件B 表示“两名主任医师都被选派”，则由题意可知所求为()P B A ，代入条件概率的公式计算即可.【详解】设事件A 表示“有一名主任医师被选派”，事件B 表示“两名主任医师都被选派”，则“在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派”的概率为()()()214332325443183488n AB C C P B A n A C C C C ====-.故选：A. 二、多选题8．老张每天17：00下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有,A B 两条线路可以选择.乘坐线路A 所需时间（单位：分钟）服从正态分布()44,4N ，下车后步行到家要5分钟；乘坐线路B 所需时间（单位：分钟）服从正态分布()33,16N ，下车后步行到家要12分钟.下列说法从统计角度认为合理的是（）（参考数据：()2,Z N μσ~，则()0.6827,(2P Z P Z μσμσμσμ-<≤+≈-<≤+2)0.9545,(33)0.9973)P Z σμσμσ≈-<≤+≈ A ．若乘坐线路B ，18：00前一定能到家B ．乘坐线路A 比乘坐线路B 在17：58前到家的可能性更小C ．乘坐线路B 比乘坐线路A 在17：54前到家的可能性更大D ．若乘坐线路A ，则在17：48前到家的可能性会超过1% 【答案】BC【分析】由已知，设乘坐线路A 所需时间为(A t 单位：分钟)，到家所需时间为()+10A t 分钟，乘坐线路B 所需时间为(B t 单位：分钟)，到家所需时间为()+17B t 分钟，进而再根据正态分布依次考虑各选项即可得答案.【详解】由已知，设乘坐线路A 所需时间为(A t 单位：分钟)，则A t 满足条件：(44,4)A t N ，到家所需时间为()+10A t 分钟，乘坐线路B 所需时间为(B t 单位：分钟)，则B t 满足条件：()~33,16B t N ，到家所需时间为()+17B t 分钟.对于A ，若乘坐线路B ，则到家所需时间大于17分钟，“18:00前一定能到家”是随机事件，可能发生，也可能不发生，所以A 错误；对于B ，由+<1058A t ，知<48A t ，由+<1758B t ，知<41B t ，因为()()<=<+⨯=+⨯14844220.50.95452A A P t P t ，()()<=<+⨯=+⨯14133240.50.95452B B P t P t ，可见()()<<48=41A B P t P t ，所以乘坐线路A 在17:58前到家的可能性一样，所以B 正确；对于C ，由+<1054A t ，知<44A t ，由+<1754B t ，知<37B t ，因为()<=440.5A P t ，()()<=<+=+⨯1373340.50.68272B B P t P t ，可见()()<<<4437A B P t P t ，所以乘坐线路B 比乘坐线路A 在17:54前到家的可能性更大，所以C 正确；对于D ，由+<1048A t ，知：<38A t ，因为=-38446，所以()()<=<-⨯=-⨯=<13844320.50.99730.001351%2A A P t P t ，所以若乘坐线路A ，则在17:48前到家的可能性不超过1%，所以D 错误.故选：BC.9．下列结论正确的是（）A ．若随机变量X 服从两点分布，1(1)2P X ==，则1()2D X = B ．若随机变量Y 的方差()2D Y =，则(32)8D Y += C ．若随机变量ξ服从二项分布14,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，则1(3)4P ξ==D ．若随机变量η服从正态分布()25,N σ，(2)0.1P η<=，则(28)0.8P η<<=【答案】CD【分析】根据两点分布、二项分布、正态分布以及方差的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：若随机变量X 服从两点分布，1(1)2P X ==，则()D X =1111224⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，故A 错误；对B ：若随机变量Y 的方差()2D Y =，则(32)D Y +=()918D Y =，故错误；对C ：若随机变量ξ服从二项分布14,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则(3)P ξ==31341111224C ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故正确；对D ：若随机变量η服从正态分布()25,N σ，(2)0.1P η<=，则(8)0.1P η>=，故(28)1(2)(8)0.8P P P ηηη<<=-<->=，故正确.故选：CD.10．设函数2()2(0)f x x x a a =-+>，若()0f m <，则（） A ．()0f m -> B ．(1)0f m -<C ．(4)0f m -+>D ．(2)0f m -+<【答案】ACD【分析】由题意结合图象先求得02m <<，再结合图象逐个判断即可求解【详解】由()0f m <可得函数2()2(0)f x x x a a =-+>有2个零点，设为12,x x ，且12x x <，因为()(0)20f f a ==>，所以1202x m x <<<<，对于A ：02m <<，20m ∴-<-<，结合图象可知()0f m ->，故A 正确；对于B ：02m <<，111m ∴-<-<，结合图象可知(1)f m -有正有负，故B 错误；对于C ：02m <<，20m ∴-<-<244m ∴<-+<，结合图象可知(4)0f m -+>，故C 正确；对于D ：由对称性可得()(2)0f m f m -+=<，故D 正确. 故选：ACD11．已知由样本数据()(),1,2,3,,10i i x y i =组成的一个样本，得到回归直线方程为20.4y x =-，且2x =，去除两个歧义点()2,1-和()2,1-后，得到新的回归直线的斜率为3，在下列说法正确的是（） A ．相关变量x ，y 具有正相关关系 B ．去除歧义点后，样本()4,8.9的残差为0.1 C ．去除歧义点后的回归直线方程为33y x =-D ．去除歧义点后，随x 值增加相关变量y 值增加速度变小【答案】AC【分析】利用回归直线方程的斜率判断A ；求出去除歧义点后的回归直线方程，再分别计算判断B ，C ，D 作答.【详解】由回归直线方程的斜率为3知变量x ，y 具有正相关关系，A 正确；由2x =代入20.4y x =-，得 3.6y =，去除两个歧义点()2,1-和()2,1-后，得到新的210582x ⨯'==， 3.610982y ⨯'==，因得到新的回归直线的斜率为3，有9533322y x -=-⨯=-，则去除歧义点后的回归直线方程为33y x =-，C 正确；由于斜率为32>，则相关变量x ，y 具有正相关关系且由样本估计总体的y 值增加的速度变大，D 错误；当4x =时，3439y =⨯-=，得残差8.990.1e =-=-，B 错误. 故选：AC12．函数()f x 图像上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是,,A B k k AB 为,A B 两点间距离，定义(),A Bk k A B ABϕ-=为曲线()f x 在点A 与点B 之间的“曲率”，给出以下命题，其中正确的是（）A ．存在这样的函数，该函数图像上任意两点之间的“曲率”为常数B ．()321f x x x =-+图像上两点A 与B 的横坐标分别为1，2，则“曲率”(),A B ϕC ．()2(0,)f x ax b a b R =+>∈图像上任意两点A B ､之间的“曲率”(),2A B a ϕ≤ D ．设()()1122,,,A x y B x y 是曲线()e xf x =上不同两点，且121x x -=，若 (),1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞ 【答案】AC【分析】借助函数()2f x x =可判断A ；令121,2x x ==，计算(,)A Bk k A B ABϕ-=可判断B ；由()2f x ax '=，故12,22A B k ax k ax ==，代入(,)A Bk k A B ABϕ-=分析即可判断C ；由12e ,e x x AB AB kk ===,分析可得(,)1A B ϕ<，所以1t ≤，可判断D.【详解】因当()2f x x =时，2A B k k ==，曲率为0，是常数，故A 是正确的；又因当121,2x x ==时, 2()32f x x x ='-，2(1,1),(2,5),31211,34228A B A B k k =⨯-⨯==⨯-⨯=，故(,)A B k k A B ABϕ-==<B 是错误的；因()2f x ax '=，令1122,,(()),(()),A x f x B x f x 故12,22A B k ax k ax ==，所以(,)2A B k k A B a ABϕ-===≤，故C 正确；()e x f x '=，因12e ,e x x A B AB k k ==,故(),1A B k k A B ABϕ-==<，所以1t ≤，所以D 是错误的.故选：AC 三、填空题13．若正实数,a b 满足32a b +=，则11a b+的最小值为___________. 【答案】22【分析】用“1”的代换凑配出定值后用基本不等式求得最小值．【详解】1111113(3)2()22222b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭ 当且仅当3b a ab =时，即a b ==时，11ab +的最小值为2+故答案为：214．已知()()()()()42340123421111x a a x a x a x a x -=++++++++，则01234a a a a a ++++=______.【答案】16【分析】在所给的等式中，令0x =即可得出答案.【详解】在()()()()()42340123421111x a a x a x a x a x -=++++++++，令0x =，可得：4012342a a a a a =++++，所以0123416a a a a a ++++=.故答案为：16.15．已知随机事件A ，B ，且()13P A =，1()2P B =，1()2P BA =∣，则()P AB =∣_____. 【答案】13【分析】根据条件概率公式先得()16P AB =，再计算即可. 【详解】解：因为()13P A =，1()2P B =，1()2P BA =∣ 所以()()()1()123P AB P AB P B A P A ===∣，解得()16P AB =，所以()()116()132P AB P AB P B ===∣. 故答案为：13四、双空题16．已知函数()f x 的导函数()f x '满足：()()2xf x f x e ='-，且()01f =，则()f x 的解析式为()f x =___________；当0x >时，()1ln x f x a x ⎡⎤-≥+⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】 2e x (],2-∞【分析】先构造函数，利用2()()e x f x f x -='，最终求得()2e xf x =，即()0,x ∈+∞时，2(e )1ln x x a x -≥+恒成立，参变分离后使用切线放缩，最后求得a 的取值范围.【详解】设()()x f x g x =e ，则()()()2e e e ex x xx f x f x g x '-'===，故()e xg x c =+，则()()e e x xf x c =+，又因为(0)1f =，即11c +=，所以0c ，()2e xf x =，2(e )1ln x x a x -≥+，因为()0,x ∈+∞，所以22ln e 1ln e 1ln x x x x x xa x x+----≤=在()0,x ∈+∞上恒成立，其中2ln e 2ln 1x x x x +≥++，理由如下：构造()e 1xx x ϕ=--，则()e 1x x ϕ'=-，令()0x ϕ'=得：0x =，当0x >得：()0x ϕ'>，当0x <得：()0x ϕ'<，故()x ϕ在0x =处取的极小值，也是最小值，()()00x ϕϕ≥=，从而得证.故2ln e 1ln 2ln 11ln 2x x x x x x x x+--++--≥=，故2a ≤，即实数a 的取值范围为(],2-∞ 故答案为：2e x ，(],2-∞. 五、解答题17．设全集R U =，集合(){50}A xx x =-<∣，集合{}21212B x a x a =-≤≤+∣ (1)当1a =时，求()()U U A B ⋂； (2)若B A ，求a 的取值范围. 【答案】(1)()[),15,-∞-+∞；(2)⎛- ⎝⎭. 【分析】（1）由补集和交集定义即可求得结果；（2）由B A ，讨论B =∅和B ≠∅，列出不等式组求解即可. 【详解】(1){}05A x x =<<；当1a =时，{}13B x x =-≤≤；(][),05,U A ∴=-∞+∞，()(),13,UB =-∞-⋃+∞，()()()[),15,U UA B =-+∴∞-∞.(2){}05A x x =<<，B A ≠⊂，当B =∅时，满足B A ≠⊂；此时21212a a ->+，解得：10a -<<；当B ≠∅时，221251201212a a a a+<⎧⎪->⎨⎪-≤+⎩，解得：0a ≤<；综上所述：a 的取值范围为⎛- ⎝⎭. 18．为拓展海外市场，某电子公司新开发一款电子产品，该电子产品的一个系统G 有3个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率为23，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若系统G 中有超过一半的电子元件正常工作，则G 可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为900元. (1)求系统需要维修的概率；(2)该电子产品共由3个系统G 组成，设ξ为电子产品所需要维修的费用，求ξ的分布列和数学期望. 【答案】(1)727； (2)700元.【分析】（1）由n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式能求出系统需要维修的概率；（2）设X 为需要维修的系统的个数,则7~(3,)27X B ，且900X ξ=，由此能求出ξ的分布列、期望E (ξ).【详解】(1)该电子产品的一个系统G 有3个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率为23，且每个电子元件能否正常工作相互独立，系统G 中有超过一半的电子元件正常工作，则G 可以正常工作，否则就需要维修，所以系统需要维修的概率为： 0312331217C ()C ()().33327P =+= (2)设X 为需要维修的系统的个数，则7~(3,)27X B ，且900X ξ=，则ξ的所有可能取值为0，900，1800，2700，3208000(0)(0)(),2719683P P X ξ===== 1237202800(900)(1)C (),27276561P P X ξ===== 223720980(1800)(2)C (),27276561P P X ξ===== 37343(2700)(3)(),2719683P P X ξ===== 故ξ的分布列为：所以7()900()900370027E E X ξ==⨯⨯=（元）. 19．某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，统计了本校高三年级每名学生一学期数学成绩的平均分 (采用百分制)，剔除平均分在 40分以下的学生后，共有男生300名，女生200名.现采用分层随机抽样的方法，从中抽取了100 名学生，按性别分为两组，并将两组学生的成绩分为6组，得到下表.附表及公式：其中n a b c d =+++，()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（1）估计男、女生各自的平均分(同一组数据用该组区间中点值作代表)，从计算结果判断数学成绩与性别是否有关；（2）规定成绩在80分以上为优秀(含80分) ，请你根据已知条件补全所列的2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩与性别是否有关”.【答案】（1）答案见解析；（2）2×2列联表见解析，没有90%以上的把握认为“数学成绩与性别是否有关”.【分析】（1）计算出男、女生各自的平均分，从结果可得答案；（2）计算出2K ，根据临界值表可得结果. 【详解】（1）男生的平均分14535596518751585695971.560x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==女生的平均分24565546557510851395271.540x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==从男、女生各自的平均分来看，数学成绩与性别无关.(2)由题表可知，在抽取的100名学生中，男生组中成绩优秀的有15人，女生组中成绩优秀的有15人，据此可得2×2列联表如下：优秀非优秀合计男生 15 45 60 女生 15 25 40 合计 3070100计算可得()22100152515451.786 2.70630706040K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯所以没有90%以上的把握认为“数学成绩与性别是否有关”.20．某电器企业统计了近10年的年利润额y （千万元）与投入的年广告费用x （十万元）的相关数据，散点图如图．选取函数(0,0)k y m x m k =⋅>>作为年广告费用x 和年利润额y 的回归类型．令ln ,ln u x v y ==，则ln v m ku =+，则对数据作出如下处理：令ln ,ln i i i i u x v y ==，得到相关数据如表所示：101i ii u v=∑101ii u=∑101ii v=∑1021ii u=∑30.5 15 15 46.5(1)求出y 与x 的回归方程；(2)预计要使年利润额突破2亿，下一年应至少投入多少广告费用？（结果保留到万元）参考数据：3207.3575,7.3575398.282e≈≈．参考公式：回归方程ˆy a bx=+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()1122211ˆ,n niii ii i nniii i x x y y x y nxyba y bx x x xnx====---===---∑∑∑∑．【答案】(1)13e y x =⋅(2)下一年应至少投入3983万元广告费用【分析】（1）依题意ln v m ku =+，利用所给公式及相关数据求出k ，ln m ，即可求出m ，从而求出回归方程；（2）由（1）中的回归方程令20y >，求出x 的取值范围，即可得解；【详解】(1)解：∵ln ,ln u x v y ==，则ln v m ku =+，所以1011 1.510i i u u ===∑，1011 1.510i i v v ===∑，由表中数据得，101102211030.510 1.5 1.5146.510 1.5 1.5310i ii ii u v uvk uu =-=--⨯⨯===-⨯⨯-∑∑，所以1ln 1.5 1.513m v ku =-=-⨯=，所以e m =，所以年广告费用x 和年利润额y 的回归方程为13e y x =⋅；(2)解：由（1）可知13e y x =⋅，令13e 20y x =⋅>，得135e207.375x >≈，所以37.3575398.3x >≈（十万），故下一年应至少投入3983万元广告费用．21．2020年疫情期间，某公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查．为此需要抽验480人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案．方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验480次．方案②：按k 个人一组进行随机分组，把从每组k 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k 个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验1k次）；否则，若呈阳性，则需对这k 个人的血样再分别进行一次化验．这样，该组k 个人的血总共需要化验1k +次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p ，且这些人之间的试验反应相互独立．（1）设方案②中，某组k 个人中每个人的血化验次数为X ，求X 的分布列；（2）设0.1p =．试比较方案②中，k 分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）．【答案】（1）答案见解析；（2）195次.【分析】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q ，依题意知X 的可能取值，计算分布列即可；（2）方案②中计算每个人的平均化验次数()E X ，分别求出2k =、3、4时()E X 的值，再与方案①比较，即可得出所求．【详解】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q ，则1q p =-．所以k 个人的血混合后呈阴性反应的概率为(1)k k q p =-，呈阳性反应的概率为11(1)k k q p -=--．依题意可知11,1X =+，所以X 的分布列为：（2）方案②中．结合（1）知每个人的平均化验次数为： ()()()()111111111k k k E X p p p k k k ⎛⎫⎡⎤=⋅-++⋅--=--+ ⎪⎣⎦⎝⎭，0.1p =∴当2k =时，21()0.910.692E X =-+=，此时480人需要化验的总次数为331次， 3k =时，()310.910.60433E X =-+≈，此时480人需要化验的总次数为290次，4k =时，41()0.910.59394E X =-+=，此时480人需要化验的次数总为285次，即2k =时化验次数最多，3k =时次数居中，4k =时化验次数最少．而采用方案①则需化验480次，故在这三种分组情况下，相比方案①，当4k =时化验次数最多可以平均减少480285195-=次．【点睛】关键点睛：本题的关键是列出离散型随机变量的分布列和数学期望的计算，在第（2）问中，其关键是对数学期望的理解．22．已知函数()3ln f x x a x =+，其中3a ≥-为常数.(1)设()f x '为()f x 的导函数，当6a =时，求函数()()()9g x f x f x x'=-+的极值；(2)设点()()11,A x f x ，()()22,B x f x ()121x x >≥，曲线()y f x =在点,A B 处的切线的斜率分别为12,k k ，直线AB 的斜率为k ，证明：122k k k +>. 【答案】(1)函数()g x 的极小值为1，无极大值 (2)证明见解析【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的符号求出函数的单调区间，再根据极值的定义即可得出答案；（2）由题设，()11k f x '=，()22,k f x '=()()1212f x f x k x x -=-，则()()()()1212121222f x f x k k k f x f x x x -⎡⎤⎣⎦''+>⇔+>-，即证()()()()()()3121121221221222ln 0x x x x x f x f x f x f x x x a x x x ⎛⎫''-+--=-+-->⎡⎤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭，令12x t x =，()12ln h t t t t=--，再利用导数即可得证. 【详解】(1)解：当6a =时，()36ln f x x x =+，()263f x x x'=+，则()3236ln 3g x x x x x=+-+，()()()()43222222322131126336x x x x x x g x x x x x x x-+--+-'=+--== ()()()323110x x x x-+=>，则当1x >时，()0g x '>；当01x <<时，()0g x '<，所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()g x 的极小值为()11g =，且无极大值； (2)证明：由题设，()11k f x '=，()22,k f x '=()()1212f x f x k x x -=-，则()()()()1212121222f x f x k k k f x f x x x -⎡⎤⎣⎦''+>⇔+>-，又121x x >≥，则所证不等式化为()()()()()1212220x x f x f x f x f x ''-+-->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，因为()3ln f x x a x =+，()23a f x x x'=+，则()()()()()()22121212*********a a x x f x f x f x f x x x x x x x ⎛⎫''-+--=-+++⎡⎤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭()33332212111221212122122ln ln 332ln x x x x a x x a x x x x x x x a a x x x ⎛⎫-+--=--++-- ⎪⎝⎭()3121122122ln x x x x x a x x x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭，令12x t x =，()12ln h t t t t =--，因为121x x >≥，则1t >，()()22211210t h t t t t-=+-=>'，所以()h t 在()1,+∞上单调递增，从而()()10h t h >=，即12ln 0t t t-->，因为()23,1,1,1a x t g t ≥-≥>>，则()()33312112221212ln 12ln x x x x x a x t a t t x x x t ⎛⎫⎛⎫-+--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()33213132ln 36ln 110t t t t t t g t t t ⎛⎫≥----=-++-=-> ⎪⎝⎭，从而()()()()()12121220x x f x f x f x f x ''-+-->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以122k k k +>.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间及极值，考查了导数的几何意义，考查了利用导数证明不等式成立问题，考查了数据分析能力和逻辑推理能力，难度较大.。

河北省2023届高三数学摸底考试试题答案(pdf)

数学参考答河北省2023届高三年级摸底考试案一、单选题1——4:BADD 5——8:BBBC 二、多选题9.AB10.ABD 11.BCD12.CD三、填空题13.1-14.15.116.12n n +⋅四、解答题17.【解析】(1)数列{}n a 中,0n a >,由112++=-n n n n a a a a ,可得2111=-+nn a a .…………………………………………………………………………2分又11111a ==,则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1公差为2的等差数列,则12)1(211-=-+=n n a n,则数列{}n a 的通项公式为121-=n a n .…………………………………………………4分(2)由(1)知121-=n a n ,则1111(21(21)(21)22121n n a b n n n n n ===-+-+-+,…………………………………6分则数列{}n b 的前n 项和111111111123352121221()()n S n n n =-+-++-=--++L ,………………………8分,012131,311210,312,*<+-≤-∴≤+<∴≥+∴∈n n n N n .2131,1121132<≤∴<+-≤∴n S n …………………………………………………10分18.【解析】(1)由题可知,X 的所有可能取值为0,30,50,60……………………………1分()010.40.6P X ==-=()()300.410.60.16P X ==⨯-=()500.40.6(10.8)0.048P X ==⨯⨯-=()600.40.60.80.192P X ==⨯⨯= (5)分所以X 的分布列为X0305060P0.60.160.0480.192………………………………………………………………………………………………6分(2)由(1)知,()00.6300.16500.048600.19218.72E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．若小康按照ABC 顺序答题,记Y 为小康答题的累计得分,则Y 的所有可能取值为0,10,30,60()010.80.2P Y ==-=()()100.810.60.32P Y ==-=()300.80.6(10.4)0.288P X ==⨯⨯-=()600.80.60.40.192P X ==⨯⨯=………………………………………………………10分所以()00.2100.32300.288600.19223.36E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=故小乐的判断正确…………………………………………………………………………12分19.【解析】(1)若选①,由正弦定理得,(),)()(a c a c b c b -=-+………………………2分即,222ac a c b -=-即,222ac b c a =-+2221cos ,222a cb ac B ac ac +-∴===……4分(0,),,3B B ππ∈∴=Q ……………………………………………………………………5分若选②cos2()3cos cos2()3cos cos23cos 1,A C B B B B B π++=-+=+=Q …………………2分,1cos 31cos 22=+-∴B B 即22cos 3cos 20,B B +-=即2cos -=B (舍)或21cos =B ,…………………………………………………………4分(0,),,3ππ∈∴=Q B B ……………………………………………………………………5分(2)BD AC ⊥Q ,BD 为AC 边上的高,当面积最大时,高取得最大值.…………………6分法一：由余弦定理得,B ac c a b cos 216222-+==,由重要不等式得162ac ac ac ≥-=,当且仅当a=c 时取等,……………….…….…….…….…….……….…………………9分所以34sin 21≤=∆B ac S ABC .…….…….…….…….…….…….………………10分所以AC 边上的高的最大值为4312b =..…….…….…….…….………………12分法二：由正弦定理得ABC ∆外接圆的直径为2sin b R B ==,.……………………7分利用正弦定理表示面积得:11sin sin 2233ABC S ac B A C B ∆==⋅122sin()sin()233A A A A ππ=-=-)363A π=-+≤……………………………………………………10分所以AC 边上的高的最大值为322134=b ..…….…….…….…….………………12分20.【解析】(1)证明：如右图,连接AE ,由题意知AB 为O 的直径,所以AE BE ⊥.因为AD ,EF 是圆柱的母线,所以AD EF ∥且AD EF =,所以四边形AEFD 是平行四边形.所以AE DF ∥,所以BE DF ⊥.因为EF 是圆柱的母线,所以EF ⊥平面ABE ,又因为BE ⊂平面ABE ,所以EF BE ⊥.又因为DF EF F = ,DF 、EF ⊂平面DEF ,所以BE ⊥平面DEF .………………………………………4分(2)由(1)知BE 是三棱锥B DEF -底面DEF 上的高,由(1)知EF AE ⊥,AE DF ∥,所以EF DF ⊥,即底面三角形DEF 是直角三角形.设DF AE x ==,BE y =,则22:6Rt ABE x y+=在中有,………………………………………………………………5分所以221113326622B DEF DEFx yV S BE x y-∆+⎛=⋅=⋅⋅⋅=≤=⎝,当且仅当3==yx时等号成立,即点E,F分别是»AB,»CD的中点时,三棱锥B DEF-的体积最大,…………………………………………………………………………………7分(:另解等积转化法:1.3B DEF D BEF D BCF B CDF CDFV V V V S BC----∆====⋅,)F CD E F AB CD易得当与距离最远时取到最大值此时、分别为、中点下面求二面角B DF E--的正弦值：法一：由(1)得BE⊥平面DEF,因为DF⊂平面DEF,所以BE DF⊥.又因为EF DF⊥,EF BE E⋂=,所以DF⊥平面BEF.因为BF⊂平面BEF,所以BF DF⊥,所以BFE∠是二面角B DF E--的平面角,……9分由(1)知BEF为直角三角形,则3BF==.故3sin3BEBFEBF∠==,所以二面角B DF E--的正弦值为分法二：由(1)知EA,EB,EF两两相互垂直,如图,以点E为原点,EA,EB,EF所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系E xyz-,则00000000(),(,,),(,B D E F.由(1)知BE⊥平面DEF,故平面DEF的法向量可取为00()EB=uuu r.设平面BDF的法向量为(,,)n x y z=,由((0,DF BF==,……………………………………………………8分得n DFn BF⎧⋅=⎨⋅=⎩,即⎧=⎪⎨+=⎪⎩,即xy=⎧⎪⎨=⎪⎩,取1z=,得n= (10)分设二面角B DF E --的平面角为θ,cos cos ,n EB n EB n EBθ⋅=<>==⋅r uur r uurr uur ,所以二面角B DF E --的正弦值为33.………………………………………………12分21.【解析】(1)解法一：由2ce a==得：2c a =,b ∴=,120PF PF ⋅=uuu r uuu rQ ,∴12PF PF ⊥,在12Rt F PF V 中,由122PF PF a -=得：222121224PF PF PF PF a +-=,代入222124PF PF c +=,126PF PF =得:224124c a -=解得:23b =,21a =,∴双曲线方程为：2213y x -=.………………………………………4分解法二：由2ce a==得：2c a =,b ∴==,设点()(),0P x y y >,则点P满足22221x y a b-=…①,120PF PF ⋅=uuu r uuu r Q ,()()222,,0c x y c x y x c y ∴---⋅--=-+=,即222x y c +=…②,121211222F PF S PF P y c F ⋅==,即3y c ⋅=…③,则由①②得：2b y c =,代入③得：23b =,21a =,∴双曲线方程为:2213y x -=.…………4分(2)解法一:当l 斜率不存在时,:2l x =,此时()2,3A ,()2,3B -,2(2)9QA QB m ⋅=--，uur uuu r当l 斜率为0时,:0l y =,此时()1,0A -,()10B ,,21QA QB m ⋅=-uur uuu r；QA QB ⋅若为定值，uur uuu r 22:(2)91.,0,1m m m QA QB ⋅=--=-=-则有解得uur uuu r:(10),:0.QA QB Q ⋅=-uur uuu r下证当为，时恒有；………………………………………………6分当l 斜率存在时,设():2l y k x =-,()11,A x y ,()22,B x y ,联立()22233y k x x y ⎧=-⎨-=⎩得()222234430k x k x k -+--=,则236360k ∆=+>,212243k x x k -∴+=-,2122433k x x k --=-,…………………………………8分()()121211QA QB x x y y ∴⋅=+++uur uuu r ()()212121212124x x x x k x x x x =++++-++⎡⎤⎣⎦()()()222121212114k x x k x x k =+--+++………………………………………………10分()()22222224341211433k k k k k k k ---=+--++--()222241(3)410.3k k k k+-=++=-综上所述：存在1m =-,使得0QA QB ⋅=uur uuu r；……………………………………………12分解法二：当l 斜率为0时,:0l y =,此时()1,0A -,()10B ,,由(),0Q m 得：21QA QB m ⋅=-uur uuu r；………………………………………………………………………6分当l 斜率不为0时,设:2l x ty =+,()11,A x y ,()22,B x y ,联立22233x ty x y =+⎧⎨-=⎩得：()22311290t y ty -++=,则236360t ∆=+>,1221231t y y t -∴+=-,122931y y t =-,…………………………………………………………8分()()()()11221212,,QA QB x m y x m y x m x m y y ∴⋅=-⋅-=--+uur uuu r2212121212(2)(2)(1)(2)()(2)ty m ty m y y t y y m t y y m =+-+-+=+⋅+-++-()2222222129(1215)9(1)(2)(2)(2)313131t m t t m t m m t t t --+=++-+-=+----,………………………10分若⋅uur uuu r QA QB 为定值,则1215931m -=-,1m ∴=-,()1,0Q ∴-,此时0QA QB ⋅=uur uuu r ；当1m =-,l 斜率为0时,210QA QB m ⋅=-=uur uuu r；综上所述,存在1m =-,使得0QA QB ⋅=uur uuu r；………………………………………………………………………………12分2min ln ln ln 122.(1)()ln 0,,(),()(0,),()0,(,),()0,()(0,)1(,),()(),20,();,()0,()x x x f x x ax a g x g x x x x x e g x x e g x g x e e g x g e ex g x x e g x x g x -'=+==-=-=''∈<∈+∞>∴+∞∴==-→→+∞><→+∞→【解析】令则设当时时在上单调递减，在上单调递增分时当时且时L L L L L L L L L L L L L L L L L Q 0,311,(),0,(),a f x a a f x e e∴<-=->分当时无零点当或时有一个零点L L L L L L L10,().5L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L a f x e-<<当时有两个零点分ln ()()()(2),((),7ln 10(0)ln 10(0),:()10(0)8()1,()1,(,0)x at atat t f x x x x f e x f e t f f t a x a ate t at t t at e t tf x e x h x x e h x e x --------=≤-⇔≤-++-≥>++-≥>+-≥>'=+-=-∈-∞设则分即证，即证即证，分设则当时L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 00,()0,(0,),()0,()(,0),()(0),()(0)010110,0"",(1),,,()0x h x x h x h x h x h x h x e x a x ef x -'<∈+∞'>∴-∞+∞∴≥=∴+-≥==>-=当时在单调递减在，单调递增，分当且仅当时成立由知当时存在使得L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L ()11()()10,().12x f x f e xf x ef x a-∴+-≥∴≤-分分L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L。

数学一轮复习第十一章11.2数系的扩充与复数的引入课时作业理含解析

课时作业67 数系的扩充与复数的引入［基础达标]一、选择题1．[2021·黄冈中学，华师附中等八校联考]设i是虚数单位，若复数a＋5i1＋2i(a∈R）是纯虚数，则a＝(）A．－1B．1C．－2D．22．［2021·湖南省长沙市高三调研试题]复数错误!＝（) A.错误!－iB。

错误!－错误!iC．－1D．－i3．[2021·大同市高三学情调研测试试题］设z＝错误!2，则z 的共轭复数为（)A．－1B．1C．iD．－i4．[2021·南昌市高三年级摸底测试卷］复数z满足错误!＝1－i，则｜z｜＝()A．2iB．2C．iD．15．[2021·合肥市高三调研性检测］已知i是虚数单位，复数z＝错误!在复平面内对应的点位于（)A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限6．[2021·安徽省示范高中名校高三联考]已知i为虚数单位，z＝错误!，则z的虚部为（）A．1B．－3C．iD．－3i7．[2021·惠州市高三调研考试试题]已知复数z满足（1－i）z＝2＋i(其中i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A．－错误!－错误!iB.错误!＋错误!iC．－错误!＋错误!iD.错误!－错误!i8．［2021·长沙市四校高三年级模拟考试］已知复数z＝错误!，则下列结论正确的是（)A．z的虚部为iB．|z|＝2C．z的共轭复数错误!＝－1＋iD．z2为纯虚数9．［2021·广东省七校联合体高三第一次联考试题]已知复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,若z1＝1－2i，则错误!＝(）A.35－错误!iB．－错误!＋错误!iC．－错误!－错误!iD.错误!＋错误!i10．［2021·唐山市高三年级摸底考试］已知p，q∈R,1＋i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根，其中i为虚数单位，则p·q＝()A．－4B．0C．2D．4二、填空题11．[2020·江苏卷］已知i是虚数单位，则复数z＝（1＋i)·（2－i)的实部是________．12．［2021·重庆学业质量抽测］已知复数z1＝1＋2i，z1＋z2＝2＋i，则z1·z2＝________。

2023届河北省邯郸市高三摸底考试数学试题及答案

邯郸市2023届高三年级摸底考试试卷数学一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{}22|20,|log 0A x x x B x x =-<=≥，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{|0}x x >B.{|01}x x <≤C.{|12}x x ≤<D.{|01x x <<或2}x ≥2.设复数i1iz =+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知函数()y f x =的图像在点()()33P f ,处的切线方程是27y x =-+，则()()33f f '-=（）A.2- B.2C.3- D.34.某高中2022年的高考考生人数是2021年高考考生人数的1.5倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2021年和2022年高考分数达线情况，得到如图所示扇形统计图：下列结论正确的是（）A.该校2022年与2021年的本科达线人数比为6：5B.该校2022年与2021年的专科达线人数比为6：7C.2022年该校本科达线人数增加了80%D.2022年该校不上线的人数有所减少5.已知向量()()4,3,,1a b m =--= ，且夹角的余弦值为35-，则m =（）A.0 B.1- C.0或247-D.247-6.“01x <<”是“111x x +>+”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件7.我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式，可以看出我国古代已具有很高的数学水平.设,,a b c 分别为ABC 内角,,A B C 的对边，S 表示ABC的面积，其公式为S =若sin sin sin 2sin a b c cb A B C A ++==++，则ABC 面积S 的最大值为（）A.B.1C.23D.238.从正方体的8个顶点和中心中任选4个，则这4个点恰好构成三棱锥的概率为（）A.4163B.3863C.23D.57二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得2分.9.已知函数()f x 的局部图像如图所示，下列函数()f x 的解析式与图像符合的可能是（）A.()245f x x =B.()4f x x =C.()sin f x x x= D.()21x f x x =+10.已知双曲线222:1(0)3x y C a a -=>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率为2,P 为C 上一点，则（）A.双曲线C 的实轴长为2B.双曲线C 的一条渐近线方程为y =C.122PF PF -=D.双曲线C 的焦距为411.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则下列结论一定成立的是（）A.若15a a =，则12n a a a ===B.若53a a >，则12nS S S <<< C.若32a =，则22158a a + D.若488,4a a ==，则1266S =12.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，动点E 在线段11A C 上，则（）A.直线11A C 与BC 所成的角为30B.对任意的点E ，都有BD ⊥平面ACEC.存在点E ，使得平面ABE 平面11CC D DD.存在点E ，使得平面ABE ⊥平面CDE三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若抛物线24y x =的准线与圆22:()1C x a y -+=相切，则=a ___________.14.已知()52345601234561(1)x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++，则03a a +的值为___________.15.如图，在正四棱台ABCD EFGH -中，AB EF ==，且四棱锥E ABCD -的体积为48，则该四棱台的体积为___________.16.设函数()sin sin (0)3f x x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]0,π上有且仅有3个极值点，则ω的取值范围是___________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在①222sin b c a B +-=；②222sin sin sin sin B C A B C +-=这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，___________.（1）求角A ；（2）若8,10a b c =+=，求ABC 的面积.18.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且3614,126S S ==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()1n n b n a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .19.暑假期间，某学校建议学生保持晨读的习惯，开学后，该校对高二､高三随机抽取200名学生（该学校学生总数较多），调查日均晨读时间，数据如表：日均晨读时间/分钟[)0,10[)10,20[)20,30[)30,40[)40,50[]50,60人数51025505060将学生日均晨读时间在[]30,60上的学生评价为“晨读合格”.（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面22⨯列联表，依据0.05α=的独立性检验，能否认为“晨读合格”与年级有关联？项目晨读不合格晨读合格合计高二高三15100合计（2）将上述调查所得到的频率视为概率来估计全校的情况，现在从该校所有学生中，随机抽取2名学生，记所抽取的2人中晨读合格的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望.参考公式：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.82820.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，22,,AB AD DC AB DC AB AD ==⊥∥，平面PCB ⊥平面ABCD .（1）证明：PB AC ⊥；（2）若PCB 为正三角形，求二面角B PA C --的正弦值.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，上､顶点分别为12,,M N NF F 的面积为21MF NF 的四条边的平方和为16.（1）求椭圆C 的方程；（2）若1a b >>，斜率为k 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，且线段AB 的中点H 在直线12x =上，求证：线段AB 的垂直平分线与圆2214x y +=恒有两个交点.22.已知函数()()ln 0f x x a x a =-≠.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()()e ln xg x x a x x =-+，且e a >，证明：()g x 有且仅有两个零点.（e 为自然对数的底数）邯郸市2023届高三年级摸底考试试卷数学一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{}22|20,|log 0A x x x B x x =-<=≥，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{|0}x x >B.{|01}x x <≤C.{|12}x x ≤<D.{|01x x <<或2}x ≥【答案】C 【解析】【分析】解一元二次不等式、对数不等式求集合A 、B ，再由题图阴影部分为A B ，应用集合的交运算求结果.【详解】由题设{}{|02},|1A x x B x x =<<=≥，题图阴影部分为{|12}A B x x =≤< .故选：C 2.设复数i1iz =+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】先求出z ，再求出z ，直接得复数z 在复平面内对应的点.【详解】()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22z -===+++-，则11i 22z =-∴z 在复平面内对应的点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第四象限故选：D.3.已知函数()y f x =的图像在点()()33P f ,处的切线方程是27y x =-+，则()()33f f '-=（）A.2-B.2C.3- D.3【答案】D 【解析】【分析】利用导数的几何意义求出()3f 和()3f '，即可求得.【详解】函数()f x 的图像在点()()33P f ,处的切线的斜率就是在该点处的导数，即()3f '就是切线27y x =-+的斜率，所以()32f '=-.又()32371f =-⨯+=，所以()()()33123f f -=--='.故选：D4.某高中2022年的高考考生人数是2021年高考考生人数的1.5倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2021年和2022年高考分数达线情况，得到如图所示扇形统计图：下列结论正确的是（）A.该校2022年与2021年的本科达线人数比为6：5B.该校2022年与2021年的专科达线人数比为6：7C.2022年该校本科达线人数增加了80%D.2022年该校不上线的人数有所减少【答案】C【解析】【分析】设2021年的高考人数为100，则2022年的高考人数为150，再根据饼图中各个种类的人数所占的比例，逐个选项判断即可.【详解】不妨设2021年的高考人数为100，则2022年的高考人数为150.2021年本科达线人数为50，2022年本科达线人数为90，得2022年与2021年的本科达线人数比为9:5，本科达线人数增加了80%，故选项A 不正确，选项C 正确；2021年专科达线人数为35，2022年专科达线人数为45，所以2022年与2021年的专科达线人数比为9:7，选项B 错误；2021年不上线人数为15，2022年不上线人数也是15，不上线的人数无变化，选项D 错误.故选：C5.已知向量()()4,3,,1a b m =--= ，且夹角的余弦值为35-，则m =（）A.0 B.1- C.0或247-D.247-【答案】A 【解析】【分析】根据向量的夹角的坐标公式求解即可.【详解】由已知5,43a b a b m ===⋅=--，所以3cos ,5a b a b a b ⋅==-r r r r r，即430m +=≥，故34m ≥-，且221624999m m m ++=+，解得0m =或247-（舍去），所以0m =故选：A6.“01x <<”是“111x x +>+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件【答案】A 【解析】【分析】根据分式不等式求解111x x +>+，再判断充分性与必要性即可.【详解】因为21111001111x x x x x x x +>⇒-+>⇒>⇒>-+++且0x ≠，充分性成立，所以“01x <<”是“111x x +>+”的充分不必要条件.故选：A7.我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式，可以看出我国古代已具有很高的数学水平.设,,a b c 分别为ABC 内角,,A B C 的对边，S 表示ABC的面积，其公式为S =若sin sin sin 2sin a b c cb A B C A ++==++，则ABC 面积S 的最大值为（）A.B.1C.23D.23【答案】C 【解析】【分析】根据正弦定理可得2c a =，再根据面积公式化简可得S =，将等式看作关于2a 的二次函数求最大值即可.【详解】由正弦定理得sin sin sin sin 2sin a a b c c A A B C A++==++，得2c a =，因为b ABC = 的面积S ==所以当2109a =，即3a =时，ABC 的面积S 有最大值为23.故选：C8.从正方体的8个顶点和中心中任选4个，则这4个点恰好构成三棱锥的概率为（）A.4163B.3863C.23D.57【答案】D 【解析】【分析】对所选4点是否包含正方体中心进行分类讨论，利用组合计数原理计算出满足条件的三棱锥的个数，再利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】从正方体的8个顶点和中心中任取4个，有49C 126=个结果，4个点恰好构成三棱锥分两种情况：①从正方体的8个顶点中取4个点，共有48C 70=个结果，其中四点共面有两种情况：一是四点构成侧面或底面，有6种情况，二是四点构成对角面（如平面11AA C C ），有6种情况.在同一个平面的有6612+=个，构成三棱锥有701258-=个；②从正方体的8个顶点中任取3个，共有38C 56=个结果，其中所取3点与中心共面，则这4个点在同一对角面上，共有346C 24=个结果，因此，所选3点与中心构成三棱锥有562432-=个.故从正方体的8个顶点和中心中任选4个，则这4个点恰好构成三棱锥的个数为583290+=，故所求概率9051267P ==.故选：D.二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得2分.9.已知函数()f x 的局部图像如图所示，下列函数()f x 的解析式与图像符合的可能是（）A.()245f x x =B.()4f x x=C.()sin f x x x =D.()21x f x x =+【答案】AC 【解析】【分析】观察函数的图像，根据奇偶性和特殊点的函数值，对四个象限一一判断.【详解】对于A ：()()2244()55f x x x f x -=-==为偶函数，图像为开口向上的抛物线，()4115f =<，与题干图像相符；对于B ：()4f x x =为偶函数，但()11f =，与题干图像不相符；对于C ：()()()()sin sin f x x x x x f x -=--==，所以()f x 为偶函数.由()sin cos f x x x x +'=，当02x π<<时，()()0,f x f x '>单调递增，且()1sin11f =<.记()sin cos g x x x x =+，()2cos sin g x x x x '=-.记()2cos sin h x x x x =-，()3sin cos h x x x x '=--在()0,1小于0，所以()g x '在()0,1上单调递减，而()12cos1sin10g '=->（因为tan1tan23π<=），所以()0g x '>在()0,1上恒成立，所以()f x 在()0,1上为下凸函数.与题干图像相符.故C 正确；对于D ：()()2()1xf x f x x --==--+为奇函数，与题干图像不相符.故选：AC10.已知双曲线222:1(0)3x y C a a -=>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率为2,P 为C 上一点，则（）A.双曲线C 的实轴长为2B.双曲线C 的一条渐近线方程为y =C.122PF PF -=D.双曲线C 的焦距为4【答案】ABD 【解析】【分析】根据双曲线的定义与方程，结合双曲线的性质运算求解.【详解】由双曲线方程知：b =，离心率为2c e a a===，解得1a =，故22:13y C x -=，实半轴长为1，实轴长为22a =，A 正确；因为可求得双曲线渐近线方程为y =，故一条渐近线方程为y =，B 正确；由于P 可能在C 的不同分支上，则有12||||||2PF PF -=，C 错误；焦距为24,D c ==正确.故选：ABD.11.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则下列结论一定成立的是（）A.若15a a =，则12n a a a ===B.若53a a >，则12nS S S <<< C.若32a =，则22158a a + D.若488,4a a ==，则1266S =【答案】ACD 【解析】【分析】A.设等差数列的公差为d ，由15a a =，得到0d =判断；B.由53a a >，得到{}0,n d a >为递增数列判断；C.由2222151532282a a a a a +⎛⎫+== ⎪⎝⎭判断；D.由488,4a a ==，求得首项和公差判断.【详解】设等差数列的公差为d ，因为15a a =，所以114a a d =+，所以0d =，则12n a a a === ，故A 正确；因为53a a >，所以1142a d a d +>+，所以{}0,n d a >为递增数列，但12n S S S <<< 不一定成立，如1231232,1,0,2,3,3a a a S S S =-=-==-=-=-，故B 不正确；因为2222151532282a a a a a +⎛⎫+== ⎪⎝⎭，当且仅当152a a ==时取等号，故C 正确；因为418138,74,a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩解得11,11,d a =-⎧⎨=⎩，则1248880a a d =+=-=，得1121212662a a S +=⨯=，故D 正确.故选：ACD12.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，动点E 在线段11A C 上，则（）A.直线11A C 与BC 所成的角为30B.对任意的点E ，都有BD ⊥平面ACEC.存在点E ，使得平面ABE 平面11CC D DD.存在点E ，使得平面ABE ⊥平面CDE 【答案】BC 【解析】【分析】A 选项，根据线线平行，找到直线11A C 与BC 所成的角，根据正方体的性质求出其度数；B 选项，证明出BD ⊥平面11ACC A ，得到结论；C 选项，当点E 在1A 处时，满足平面ABE 平面11CCD D ；D 选项，找到平面ABE 与平面CDE 所成的夹角，方法一：结合圆的知识点，推导出90BNC ∠< ；方法二：设出未知数，利用正切的和角公式得到()1121tan tan 1324BNC B BN C CN x ∠∠∠=+=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，求出最值，得到BNC ∠为锐角.【详解】因为11//AC AC ，所以ACB ∠即为直线11AC 与BC 所成的角，ACB =∠45，故A 错误；因为1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1AA ⊥BD ，又因为AC BD ⊥，1AC AA A =∩，所以BD ⊥平面11ACC A ，故BD ⊥平面ACE ，故B 正确；当点E 在1A 处时，平面ABE //平面11CC D D ，所以存在点E ，使得平面ABE //平面11CC D D ，故C 正确.如图，过点E 作11//MN A B ，则MN 为平面ABE 与平面CDE 的交线，在正方体中，11A B ⊥平面11BCC B ，所以MN ⊥平面11BCC B ，所以BNMN ⊥，⊥CN MN ，所以BNC ∠即为平面ABE 与平面CDE 所成的夹角，方法一：因为点N 一定在以BC 为直径的圆外，所以90BNC ∠< ，所以不存在点E ，使得平面ABE ⊥平面CDE ，故D 错误.方法二：设正方体的棱长为11,B N x =，则11tan ,tan 1B BN x C CN x ∠∠==-，所以()()()1122111tan tan 1111324x x BNC B BN C CN x x x x x ∠∠∠+-=+===---+⎛⎫-+⎪⎝⎭，当12x =时，tan BNC ∠取得最大值，为43，此时BNC ∠为锐角，故D 错误.故选：BC三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若抛物线24y x =的准线与圆22:()1C x a y -+=相切，则=a ___________.【答案】2-或0【解析】【分析】先求得抛物线的准线方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得a .【详解】抛物线24y x =的准线方程为1x =-，圆22:()1C x a y -+=的圆心为(),0a ，半径1r =，由于圆C 与准线1x =-相切，所以11a --=，解得2a =-或0.故答案为：2-或014.已知()52345601234561(1)x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++，则03a a +的值为___________.【答案】1-【解析】【分析】赋值法求0a ，根据二项式展开式通项求3a ，即可求03a a +.【详解】令001x a =⇒=-，由5(1)x -的展开式的通项为515C (1)r rr r T x-+=-，令52r -=，得3r =，令53r -=，得2r =，所以3322355C (1)C (1)0a =-+-=，所以031a a +=-.故答案为：1-15.如图，在正四棱台ABCD EFGH -中，AB EF ==，且四棱锥E ABCD -的体积为48，则该四棱台的体积为___________.【答案】399【解析】【分析】方法一：设点E 到平面ABCD 的距离为h ，根据E ABCD -的体积可得3h =，再代入棱台的体积公式求解即可；方法二：延长,,,EA FB GC HD 交于一点，设为P ，根据台体体积为锥体体积之差求解即可.【详解】方法一：由题意，设点E 到平面ABCD 的距离为h ，由四边形ABCD 面积为248S ==，得四棱锥E ABCD -的体积为11484833hS h ==⨯，得3h =.所以棱台体积为()()1134824339933V h S S =+=⨯⨯+=下上.方法二：由题意，设点E 到平面ABCD 的距离为h ，由四边形ABCD 面积为248S ==，得四棱锥E ABCD -的体积为11484833hS h ==⨯，得3h =.由棱台定义知，延长,,,EA FB GC HD 交于一点，设为P ，设棱锥P ABCD -的高为x ，则棱锥P EFGH -的高为3x +，由三角形相似可得439x AB x EF ==+，得125x =，于是棱台体积1(3V x =+3）11271122434839933535S xS -=⨯⨯-⨯⨯=下上.故答案为：39916.设函数()sin sin (0)3f x x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]0,π上有且仅有3个极值点，则ω的取值范围是___________.【答案】710,33⎛⎤⎥⎝⎦【解析】【分析】利用三角恒等变换公式将函数化简，由x 的取值范围求出6x πω+的取值范围，令6t x πω=+，将问题转化为函数y t =在区间,66ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的极值点个数问题，数形结合来求解.【详解】解：()sin sin 3f x x x πωω⎛⎫=++⎪⎝⎭sin sin cos cos sin 33x x x ππωωω=++3331sin cos sin cos 22226x x x x x πωωωωω⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，当[]0,x π∈时，,666x πππωωπ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，令6t x πω=+，则,66t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数,066y t t ππωπω⎛⎫=≤≤+> ⎪⎝⎭的图象如图所示：由于函数()f x 在[]0,π上有且仅有3个极值点，则57262ππωππ<+≤，解得71033ω<≤.故答案为：710,33⎛⎤⎥⎝⎦四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在①222sin b c a B +-=；②222sin sin sin sin B C A B C +-=这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，___________.（1）求角A ；（2）若8,10a b c =+=，求ABC 的面积.【答案】（1）6A π=（2）(92【解析】【分析】（1）选择①：利用正弦定理边角互化，结合余弦定理可求得tan A 的值，结合角A 的取值范围可求得角A 的值；选择②：由正弦定理､余弦定理可求得cos A 的值，结合角A 的取值范围可求得角A 的值；（2）利用余弦定理可求得bc 的值，结合三角形面积公式可得出ABC 的面积.【小问1详解】选择①：因为222sin b c a B +-=，由余弦定理可得2cos sin bc A B =，所以结合正弦定理可得sin cos sin B A A B =.因为()0,πB ∈，则sin 0B >，所以cos A A =，即3tan 3A =，因为()0,πA ∈，所以π6A =；选择②：因为222sin sin sin sin B C A B C +-=，由正弦定理得222b c a +-=，由余弦定理得222cos 22b c a A bc +-==.因为()0,πA ∈，所以π6A =；【小问2详解】由（1）知π6A =，又已知8,10a b c =+=，由余弦定理得，(22222cos ()2a b c bc A b c bc =+-=+-+，即(641002bc =-，所以bc =所以ABC 的面积为(11πsin sin 92226bc A bc ==.18.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且3614,126S S ==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()1n n b n a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .【答案】（1）2n n a =；（2）()1422n n T n +=+-⨯.【解析】【分析】（1）根据3614,126S S ==得到1,a q 的值，进而写出{}n a 的通项公式.（2）由（1）得()1n n b n a =-，再利用错位相减法求n T 即可.【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，显然1q ≠，由()()3611361114,12611a q a q S Sqq--====--，相除可得319q +=，解得2q =，所以12a =，所以数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，即2n n a =；【小问2详解】由（1）得：()()112nn n b n a n =-=-，所以()()23112222212n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯ ①，()()2211122222122n n n T n n --=⨯+⨯++-⨯+-⨯ ②，②-①得：()22112222122n n nn T n ---=++++--⨯ ()()12121212n n n --=--⨯-，所以()1422n n T n +=+-⨯.19.暑假期间，某学校建议学生保持晨读的习惯，开学后，该校对高二､高三随机抽取200名学生（该学校学生总数较多），调查日均晨读时间，数据如表：日均晨读时间/分钟[)0,10[)10,20[)20,30[)30,40[)40,50[]50,60人数51025505060将学生日均晨读时间在[]30,60上的学生评价为“晨读合格”.（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面22⨯列联表，依据0.05α=的独立性检验，能否认为“晨读合格”与年级有关联？项目晨读不合格晨读合格合计高二高三15100合计（2）将上述调查所得到的频率视为概率来估计全校的情况，现在从该校所有学生中，随机抽取2名学生，记所抽取的2人中晨读合格的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望.参考公式：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：α0.10.050.010.0050.001x α 2.706 3.841 6.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，依据0.05α=的独立性检验不能认为“晨读合格”与年级有关联；（2）分布列见解析，数学期望为85.【解析】【分析】（1）根据频率直方表完善列联表，再应用卡方公式求卡方值，并比照参考值，根据独立性检验的基本思想得到结论；（2）由题设可得42,5B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，应用二项分布概率公式求分布列，进而求期望.【小问1详解】列联表如下：项目晨读不合格晨读合格合计高二2575100高三1585100合计40160200220.05200(25851575) 3.125 3.84110010040160x χ⨯⨯-⨯==<=⨯⨯⨯，所以依据0.05α=的独立性检验，不能认为“晨读合格”与年级有关联.【小问2详解】由题设，学生晨读合格的概率为16042005=，易知42,5B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()02024110C 5525P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()11124181C 5525P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()202241162C 5525P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ξ的分布列为ξ012P 1258251625所以()181680122525255E ξ=⨯+⨯+⨯=.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，22,,AB AD DC AB DC AB AD ==⊥∥，平面PCB ⊥平面ABCD .（1）证明：PB AC ⊥；（2）若PCB 为正三角形，求二面角B PA C --的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）7【解析】【分析】（1）设222AB AD DC ===，可得AC BC ⊥，利用平面PCB ⊥平面ABCD ，可得AC ⊥平面PCB ，则AC PB ⊥；（2）方法一（向量法）：取BC 的中点O 为坐标原点，以OP 的方向为z 轴正方向，过点O 分别作AB 和AD 的平行线，分别为x 轴和y 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，分别求得平面ABP 的法向量和平面ACP 的法向量，进而利用数量积求解即可.方法二（几何法）：如图，取PA 的中点M ，连接CM ，在平面PAB 中作MN PA ⊥，连接CN ，证明CM PA ⊥，又MN PA ⊥，则CMN ∠为二面角B PA C --的平面角，解三角形即可.【小问1详解】证明：由题意，设222AB AD DC ===，又,AB DC AB AD ⊥∥，得AC BC ==2AB =，所以222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥，又平面PCB 平面ABCD CB =，且平面PCB ⊥平面,ABCD AC Ì平面ABCD ，所以AC ⊥平面PCB ，又PB ⊂平面PCB ，所以AC PB ⊥；【小问2详解】解：方法一（向量法）：取BC 的中点O 为坐标原点，以OP 的方向为z 轴正方向，过点O 分别作AB 和AD 的平行线，分别为x 轴和y 轴，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，由PCB为正三角形，BC =2PO =，则311111,,0,,,0,,0,0,2222222A B C P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()()3162,0,0,,,,1,1,0222AB AP AC ⎛⎫=-=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设()111,,n x y z = 为平面ABP 的法向量，则有00n AB n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即111120310222x x y z -=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，可取(),n = ，设()222,,m x y z = 为平面ACP 的法向量，同理1,1,,3m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭所以73cos ,7n m n m n m ⋅===- ，设二面角B PA C --的平面角为α，则sin 7α===，故二面角B PA C --的正弦值为7.方法二（几何法）：如图，取PA 的中点M ，连接CM ，在平面PAB 中作MN PA ⊥，连接CN，由（1）知AC BC ==PCB 为正三角形，所以PC BC PB ===，所以PC AC =，所以CM PA ⊥，又MN PA ⊥，所以CMN ∠为二面角B PA C --的平面角，因为AC ⊥平面PCB ，PC ⊂平面PCB ，所以AC PC ⊥，所以2,1PA CM AM ====，在ABP △中，2PB AB PA ===，所以2224423cos 284PA AB PB BAP PA AB ∠+-+-===⋅，所以4sin ,tan ,tan ,433cos 3AM BAP BAP MN AM BAP AN BAP ∠∠∠∠===⋅===，在ACN △中，45CAN ∠= ，所以3CN==，在MNC中，222222133cos2773MN CM CNCMNMN CM∠⎛⎫⎛+-⎪+-==⋅，所以sin7CMN∠==，即二面角B PA C--的正弦值为7.21.已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左､右焦点分别为12,F F，上､顶点分别为12,,M N NF F的面积为21MF NF的四条边的平方和为16.（1）求椭圆C的方程；（2）若1a b>>，斜率为k的直线l交椭圆C于,A B两点，且线段AB的中点H在直线12x=上，求证：线段AB的垂直平分线与圆2214x y+=恒有两个交点.【答案】（1）22143x y+=或2214x y+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意12NF F△，结合四边形21MF NF的四条边的平方和为16，即()22416b c+=，求出,a b即可得结果；（2）联立直线与椭圆的方程，结合根与系数的关系，根据中点坐标公式化简，列出线段AB的垂直平分线方程，判断定点在圆内即可得结果.【小问1详解】由12NF F△122c b⨯⨯=，又四边形21MF NF的四条边的平方和为16，所以2224,3,1a b c===或2224,1,3a b c===，即椭圆C 的方程为22143x y +=或2214x y +=.【小问2详解】设()()1122,,,A x y B x y ，由于1a b >>，得椭圆C 的方程为22143x y +=，设直线l 的方程为y kx m =+，当斜率0k =时，线段AB 的中点H 在y 轴上，不在直线12x =上，故0k ≠，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2223484120k x kmx m +++-=，由()()()222222Δ6443441248430k m km m k =-+-=--->，得2234m k <+.由122834km x x k +=-+，设线段AB 的中点H 为()00,x y ，得0241342km x k =-=+，即2348k km +=-，所以0038y kx m k=+=-.所以线段AB 的垂直平分线的方程为31182y x k k ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭.即118y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故线段AB 的垂直平分线恒过点1,08⎛⎫⎪⎝⎭.因为2211108644⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，故点1,08⎛⎫⎪⎝⎭在圆2214x y +=内，所以线段AB 的垂直平分线与圆2214x y +=恒有两个交点.22.已知函数()()ln 0f x x a x a =-≠.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()()e ln xg x x a x x =-+，且e a >，证明：()g x 有且仅有两个零点.（e 为自然对数的底数）【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导()1a x a fx x x '-=-=，由导数的正负求解；（2）由()()()e ln e ln e(0)x x x g x x a x x x a x x =-+=->，令e x t x =，易知e x t x =在0x >时单调递增，且()0,t ∈+∞，则()()e ln e x x g x x a x =-有两个零点转化为()ln f t t a t =-有两个零点求解.【小问1详解】解：由题意得函数()f x 的定义域为()()0,,1a x a f x x x ∞'-+=-=，当0a >时，令()0f x '>，得x a >，所以()f x 在(),a +∞上单调递增；令()0f x '<，得0x a <<，所以()f x 在()0,a 上单调递减；当0a <时，因为()0f x '>恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；【小问2详解】()()()e ln e ln e (0)x x x g x x a x x x a x x =-+=->，令e x t x =，则()1e 0x t x '=+>在0x >时恒成立，所以e x t x =在0x >时单调递增，且()0,t ∈+∞，所以()()e ln e x xg x x a x =-有两个零点等价于()ln f t t a t =-有两个零点.因为e a >，由（1）知，()f t 在(),a +∞上单调递增，在()0,a 上单调递减，所以()()min ()ln 1ln f t f a a a a a a ==-=-，因为e a >，所以()0f a <.下面证明当e a >时，()2e e 0a a f a =->，设()2e x h x x =-，则()e 2x h x x '=-，令()e 2x m x x =-，又()e 2xm x '=-，当e x >时，()e 20xm x ='->恒成立，所以()m x 单调递增，得()ee 2e 2e 0x h x x >-'=->，故()2e x h x x =-在()e,+∞上单调递增，得2e 2e e e 0x x ->->，即()2e e 0a a f a =->，又因为()110f =>，所以()f t 在()()1,,,e a a a 上各存在一个零点，所以e a >时，函数()f t 有且仅有两个零点，即当e a >时，函数()g x 有且仅有两个零点.。

2021年全国各地高考三模数学试题汇编专题4 数列、推理与证明第1讲数列(理卷B)

专题4 数列、推理与证明第1讲数列(B 卷)一、选择题（每题5分，共60分）1.（2021·海南省高考模拟测试题·12）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()37712012(1)1a a -+-=，()32006200612012(1)1a a -+-=-，则下列结论正确的是（）A ．20122012S =-，20127a a >B ．20122012S =，20127a a >C ．20122012S =-，20127a a <D ．20122012S =，20127a a <2．（2021·开封市高三数学（理）冲刺模拟考试·6）已知{}n a 为正项等比数列，S n 是它的前n 项和．若116a = ，且a 4与a 7的等差中项为98，则5S 的值 ( ) A ．29B ．31C ．33D ．353．(2021济宁市曲阜市第一中学高三校模拟考试·7)数列{}n a 共有11项，1110,4,a a ==且11(1,2,...,10)k k a a k +-==，则满足该条件的不同数列的个数为（）A ．100B ．120C ．140D ．1604．(2021·哈尔滨市第六中学高三第三次模拟考试·4)等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为32303S x dx =⎰，则公比q 的值是（） A. 1B.－12C. 1或－12D. -1或－125.（2021·河北省唐山市高三第三次模拟考试·5）6．（2021·肇庆市高中毕业班第三次统一检测题·6）设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若0852=+a a ，则下列式子中数值不能确定的是（） A ．35a a B ．35S S C ．nn a a 1+ D ．nn S S 1+ 7.(2021·北京市东城区综合练习二·3）已知{}n a 为各项都是正数的等比数列，若484a a ⋅=，则567a a a ⋅⋅=（）（A ）4（B ）8（C ）16 （D ）648．（2021·厦门市高三适应性考试·7）已知数列{}n a 满足: 当()*11,,p q p q N p q +=∈<时，2p p q a a +=，则{}n a 的前10项和10S =（）.31A .62B .170C .1023D9．(2021·北京市西城区高三二模试卷·6)数列为等差数列，满足，则数列前21 项的和等于（）A ．B ．21C ．42D ．8410. (2021.芜湖市高三5月模拟·5)11. (江西省九江市2021届高三第三次模拟考试·8)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，121,2a a ==，且对于任意1,n n N *>∈，满足112(1)n n n S S S +-+=+，则10S 的值为（）A ．91B ．90C ．55D ．5412．（2021·山东省济宁市兖州第一中学高三数学考试·4）已知{}n a 为等差数列,若π=++951a a a ,则28cos()a a +的值为（）A ．21-B ．23-C ．21D ．23二、非选择题（ 40分）13.（2021·开封市高三数学（理）冲刺模拟考试·16）设数列{a n }满足：a 1=1，a 2=4，a 3=9，a n =a n －1+a n －2－a n－3（n=4,5, ……）,则a 2021 = ．14.（2021·河北省唐山市高三第三次模拟考试·15）15. (2021·哈尔滨市第六中学高三第三次模拟考试·13)已知等差数列}{n a 中，45831π=++a a a ,那么=+)cos(53a a .16. (2021·海淀区高三班级其次学期期末练习·9)若等比数列{}n a 满足2664a a =，3432a a =，则公比q =_____；22212n a a a +++= ．17.（2021·陕西省咸阳市高考模拟考试（三）·15）18．（2021·山东省济宁市兖州第一中学高三数学考试·11）在等比数列{}n a 中，11a =，公比2q =，若{}n a 前n 项和127n S =，则n 的值为．19．(2021.江西省上饶市高三第三次模拟考试·17) (本题满分10分)已知数列{n a }的首项111,21n n a a a +==+． (1)求证:{}1n a +是等比数列; (2)求数列{}n na 的前n 项和n S ．。