湖南师范大学附属中学2019届高三摸底考试理数试卷(含答案)
湖南省师大附中2019届高三数学摸底考试试题理
2018年春季高二期末考试暨2019届高三摸底考试数学(理科)时量：120分钟满分：150分得分：第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1 •已知复数z满足(2 + i)z = 2-i (i为虚数单位)，贝U z等于A. 3 + 4iB. 3—4i3 4C5+5i2. 已知P= ｛x|x 2—5x + 4v0｝, Q= ｛x|y = 4 —2x｝，贝U P QQ 等于A. (1 , 4)B. [2 , 4)C. (1 , 2]D. (—3 2]3. 已知两组样本数据｛x 1, X2,…,x n｝、｛y 1, y2,…,y m｝的平均数分别为h和k,则把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为h+ k nh + mkA B.2 m+ nmh+ nk h+ kC - D.-—m+ n m+ n4. 已知｛a n｝为等比数列，a1>0, a4 + a7= 2, a5a6=—8,贝U a1 + a4 + a7 + ae等于A. —7B.—5C. 5D. 75. 如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E, F分别为PA PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF//平面PBC；④平面BCEL平面PAD.其中正确的有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2 2 2 2x y y x6. 已知双曲线孑―孑=1(a>0 , b>0)以及双曲线?—孑=1(a>0 , b>0)的渐近线将第一象2 2限三等分，则双曲线％—書=1(a>0 , b>0)的离心率为a bA 2或孚B 6或乎C. 2 或(3 或J6n7. 函数f(x) = sin (2x +0 )(0 w $ w n )图像向右平移—个单位后关于y轴对称，贝U 0 的值是A. 0B.-6- D.&在正三角形ABC内任取一点P,则点P到A, B, C的距离都大于该三角形边长一半的概率为A 1-脊B. 1—罟C -D 1—曙9.底面是边长为1的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为A2^2n BC^/3n D^/1AA 3B 3C 3D 310 .在平面直角坐标系中，A, B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x + y—4= 0相切，则圆C面积的最小值为4 n 3 n5 nA—B—C (6 —2 ,5) n D —e x, x<0,11.已知函数f(x) = 2F(x) = f(x) —x —1,且函数F(x)有2个零点，l x + ax + 1, x>0,则实数a的取值范围为A. ( —g, 0]B. ( —g, 1)C. [1 ,+g)D. (0，+g)12 .已知[x)表示大于x的最小整数，例如[3) = 4,[ —1.3) =—1，下列命题中正确的是①函数f(x) = [x) —x的值域是(0, 1];②若｛a n｝是等差数列，则｛[aj｝也是等差数列;③若｛a n｝是等比数列，则｛[ a n) ｝也是等比数列；1④若x€ (1 , 2 018)，则方程[x) —x = 1有2 017个根.A.②④B.③④C.①③D.①④选择题答题卡第卷二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.13 .从3名男同学和2名女同学中任选2名参加体能测试，则恰有1名男同学参加体能测试的概率为.(结果用最简分数表示)14 .《九章算术》是我国古代内容较为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二•术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一” •这里所说的圆堡壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十1二而一•”就是说：圆堡壔（圆柱体）的体积V= （底面的圆周长的平方X高），则该问题中圆周率n的取值为__________ •（注：一丈=10尺）15. H + 土（1 + X）6展开式中X2的系数为 ______ •（结果用数字表示）16. 如图2, “六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点0且三组对边分别平行•点A, B是“六芒星”（如图1）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），若0P= xOA+ yOB贝U x+ y的最大值是________I钏六芒星I帅三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分11分）如图，△ ABC是等边三角形，D是BC边上的动点（含端点），记/ BAD= a，/ ADC= 3 •（1）求2C0S a —COS 3的最大值；1⑵若BD= 1 , COS 3 = 7，求厶ABD的面积.。
湖南师大附中2019届高考模拟卷(二)理科数学(PDF)
2
直角坐标.
23. (本题满分 10 分) 选修 4 5 ：不等式选讲 设 f (x) x 1 x 1 .
（1）求 f (x) x 2 的解集；
a 1 2a 1
（2）若不等式 f (x)
对任意实数 a 0 恒成立，求实数 x 的取值范围.
a
CABBA BDCDC DC
则m
．
三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第 17～21 题为必考题,
每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共 60 分.
17. (本题满分 12 分)
已知在△ ABC 中, D ， E 分别为边 AB ， BC 的中点， 2 AB AC AB AC .
（1）若 2 AB AC AB CD ，且△ ABC 的面积为 3 3 ，求边 AC 的长； (2) 若 BC 3 ，求线段 AE 长的最大值.
18. (本题满分 12 分)
如图1,四边形 ABCD 为直角梯形， AD // BC ， AD AB ， AD 1， BC 2 ， E 为 CD 上一点， F 为 BE 的中点，且 DE 1， EC 2 ，现将梯形沿 BE 折叠（如图 2 ）， 使平面 BCE 平面 ABED .
(1)求证: 平面 ACE 平面 BCE ； (2)能否在边 AB 上找到一点 P (端点除外)使平面 ACE 与平面 PCF 所成角的余弦值为
6 ？若存在，试确定点 P 的位置,若不存在,请说明理由. 3
19. (本题满分 12 分)
近期，某市公交公司推出扫码支付1分钱乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由 于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付． 629 路公交车统计了活 动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用 x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用扫
湖南师范大学附属中学2019届高三下学期高考模拟(二)数学(理)试题
最新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。
理科数学试题(附中版)温馨提示：多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。
高考保持心平气和，不要紧张，像对待平时考试一样去做题，做完检查一下题目，不要直接交卷，检查下有没有错的地方，然后耐心等待考试结束。
湖南师大附中2018-2019高考模拟卷(二)数学(理科)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A＝{20，17}，B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中元素个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】A＝{20，17}，B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}故选C.2. 设i是虚数单位，复数z＝，则|z|＝()A. 1B.C.D. 2【答案】B【解析】.故选B.3. 右边的茎叶图记录了甲、乙两名同学在10次英语听力比赛中的成绩(单位：分)，已知甲得分的中位数为76分，乙得分的平均数是75分，则下列结论正确的是()A. x甲＝76，x乙＝75B. 甲数据中x＝3，乙数据中y＝6C. 甲数据中x＝6，乙数据中y＝3D. 乙同学成绩较为稳定【答案】C【解析】因为甲得分的中位数为76分，所以x＝6，因为乙得分的平均数是75分，所以，解得y＝3，故选C.4. 已知双曲线－＝1的一条渐近线方程为y＝－x，则此双曲线的离心率为()A. B. C. D.【答案】C【解析】已知双曲线的一条渐近线方程为，所以：.离心率为.故选C.5. 一算法的程序框图如图所示，若输出的y＝，则输入的x可能为()A. －1B. 1C. 1或5D. －1或1【答案】B【解析】若，符合题意；若，不满足故错误.所以选.6. 平面α外的一侧有一个三角形，三个顶点到平面α的距离分别是7、9、13，则这个三角形的重心到平面α的距离为( )A. B. 10 C. 8 D.【答案】A【解析】如图过点A作平面β∥α则β、α之间的距离为7，B到β的距离为9－7＝2，C到β的距离为13－7＝6，利用梯形中位线易求得BC中点D到β的距离为，而重心G在AD上，且，重心G到β的距离为d′＝4×，故重心G到α的距离为d＝4×＋7＝.故选A.7. 设数列{a n}，{b n}都是正项等比数列，S n、T n分别为数列{lg a n}与{lg b n}的前n项和，且＝，则log b5a5＝( )A. B. C. D.【答案】D【解析】故选D.8. 若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A. 15B. 20C. 25D. 30【答案】B【解析】V＝×3×4×5－×5＝20.故选B.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.9. 在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )A. －7B. 7C. －28D. 28【答案】B【解析】试题分析：由题意，，令，，故常数项为．故选B．考点：二项式定理的应用．【名师点睛】1．二项式系数最大项的确定方法(1)如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；(2)如果n是奇数，则中间两项．2．求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可．10. 已知椭圆E的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P，Q两点，若△PF1F2为直角三角形且|PF1|<|F1F2|，则椭圆E的离心率为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得PF1⊥PF2，由tan θ＝2sin θ＝，cos θ＝，∴|PF2|＝c，|PF1|＝c，从而|PF1|＋|PF2|＝c＝2a，∴e＝.故选A.11. 定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝.又函数g(x)＝cos，x∈[－3，3]，则函数F(x)＝f(x)－g(x)的所有零点之和等于( )A. －B. －C.D.【答案】D【解析】f(x)＝g(x)x＝，和为，选D.点睛：对于函数与方程函数零点的求法：①（代数法）求方程的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点；将方程转化为两个函数的交点，数形结合.12. 已知数列{a n}，a n≥0，a1＝0，a n＋12＋a n＋1－1＝a n2(n∈N*)．对于任意的正整数n，不等式t2－a n2－3t－3a n≤0恒成立，则正数t的最大值为( )A. 1B. 2C. 3D. 6【答案】C【解析】易证得数列{a n}是递增数列，又t2－a n2－3t－3a n＝(t－a n－3)(t＋a n)≤0，t＋a n>0，∴t≤a n＋3恒成立，t≤(a n＋3)min＝a1＋3＝3，∴t max＝3.故选C.点睛：恒成立问题往往是采用变量分离，得到参变量与另一代数式的大小关系，进而转成求最值即可，对于数列的最值问题常用的方法有三个：一是借助函数的单调性找最值，比如二次型的，反比例型的，对勾形式的等等；二是作差和0比利用数列的单调性求最值；三是，直接设最大值项，列不等式组大于等于前一项，大于等于后一项求解.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把各题答案的最简形式写在题中的横线上．13. 设x，y∈R，向量a＝(x，2)，b＝(1，y)，c＝(2，－6)，且a⊥b，b∥c，则＝____．【答案】【解析】向量a＝(x，2)，b＝(1，y)，且a⊥b，b∥c所以，，解得.则14. 设变量x、y满足约束条件：则z＝x2＋y2的最大值是_____．【答案】8【解析】作出约束条件所对应的可行域(如图△ABC)，而z＝x2＋y2表示可行域内的点到原点距离的平方，数形结合可得最大距离为OC或OA＝2，故答案为：8.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.15. 圆x2＋y2＝1上任意一点P，过点P作两直线分别交圆于A，B两点，且∠APB＝60°，则|PA|2＋|PB|2的取值范围为___．【答案】(5，6]【解析】过点P做直径PQ，如图，根据题意可得：|PQ|＝2.令∠APQ＝θ，则∠BPQ＝－θ.由题意可知：0<θ<.那么，|P A|＝|PQ|cos θ＝2cos θ，|PB|＝|PQ|cos＝2cos.|P A|2＋|PB|2＝(2cos θ)2＋＝4＝4＝4cos2θ＋＝2cos2θ＋2sin θcos θ＋3＝sin 2θ＋cos 2θ＋4＝2+4＝2sin＋4.∵0<θ<，∴0<2θ<，∴<2θ＋<，∴<sin≤1.∴5<2sin＋4≤6.因此，|P A|2＋|PB|2的取值范围为(5，6]．16. 已知函数f(x)＝x|x2－12|的定义域为[0，m]，值域为[0，am2]，则实数a的取值范围是_____．【答案】a≥1........................令x3－12x＝16，解得，x＝4.作出函数的图象(如右图所示)．函数f(x)的定义域为[0，m]，值域为[0，am2]，分为以下情况考虑：①当0<m<2时，函数的值域为[0，m(12－m2)]，有m(12－m2)＝am2，所以a＝－m，因为0<m<2，所以a>4；②当2≤m≤4时，函数的值域为[0, 16]，有am2＝16，所以a＝，因为2≤m≤4，所以1≤a≤4；③当m>4时，函数的值域为[0，m(m2－12)]，有m(m2－12)＝am2，所以a＝m－，因为m>4，所以a>1.综上所述，实数a的取值范围是a≥1.三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知函数f(x)＝sin ωx cos ωx－sin2ωx＋1(ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为.(Ⅰ)求ω的值及函数f(x)的单调递减区间；(Ⅱ)如图，在锐角三角形ABC中有f(B)＝1，若在线段BC上存在一点D使得AD＝2，且AC＝，CD＝－1，求三角形ABC的面积．【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .【解析】试题分析：(Ⅰ)利用倍角公式降幂，结合辅助角公式化一可得正弦型函数，进而结合正弦函数性质即可求解；(Ⅱ)讲f(B)＝1代入解析式得B＝，在△ADC中由余弦定理可得cos C＝，解出三角形即可求面积.试题解析：(Ⅰ)f(x)＝sin 2ωx－＋1＝sin＋.因为相邻两条对称轴之间的距离为，所以T＝π，即＝π，所以ω＝1.故f(x)＝sin＋.令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．(Ⅱ)由f(B)＝sin＋＝1，即sin＝.由0<B<得<2B＋<，所以2B＋＝，解得B＝.再由已知：AC＝，CD＝－1，AD＝2.∴在△ADC中，由AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos C，得cos C＝，又∠C∈(0°，90°)，∴∠C＝45°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝75°.在△ABC中，由＝，得AB＝2，∴S△ABC＝·AB·AC·sin∠BAC＝×2××＝.18. 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，AD＝AB＝1，BC＝.(Ⅰ)求证：平面PBD⊥平面PBC；(Ⅱ)设H为CD上一点，满足＝2，若直线PC与平面PBD所成的角的正切值为，求二面角H－PB－C的余弦值．【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ) .【解析】试题分析：（Ⅰ）通过勾股定理可得BC⊥BD，利用面面垂直的判定定理即得结论；（Ⅱ）通过题意以D为原点，DA、DC、DP分别为x、y、z轴建立坐标系，所求二面角的余弦值即为平面HPB的一个法向量与平面PBC的一个法向量的夹角的余弦值，计算即可．试题解析：(Ⅰ)证明：由AD⊥CD，AB∥CD，AD＝AB＝1BD＝，又BC＝，∴CD＝2，∴BC⊥BD，因为PD⊥底面ABCD，∴BC⊥PD.因为PD∩BD＝D，所以BC⊥平面PBD，所以平面PBD⊥平面PBC.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知∠BPC为PC与底面PBD所成的角．所以tan∠BPC＝，所以PB＝，PD＝1，又＝2及CD＝2，可得CH＝，DH＝.以D点为坐标原点，DA，DC，DP分别x，y，z轴建立空间坐标系，则B(1，1，0)，P(0，0，1)，C(0，2，0)，H.设平面HPB的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则由得取n＝(1，－3，－2)，设平面PBC的法向量为m＝(x2，y2，z2)，则由得取m＝(1，1，2)．所以cos〈m·n〉＝＝－，所以二面角H－PB－C余弦值为.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19. 某次数学测验共有10道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分，不选或选错得0分，某考试每道都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道能排除两个错误选项，另2题只能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机挑选一个选项做答，且各题做答互不影响．(Ⅰ)求该考生本次测验选择题得50分的概率；(Ⅱ)求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望．【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）设选对一道“能排除2个选项的题目”为事件A，选对一道“能排除1个选项的题目”为事件B，该考生选择题得50分的概率为P（A）P（A）P（B）P （B），由此能求出结果．（Ⅱ）该考生所得分数X=30，35，40，45，50，分别求出P（X=30），P（X=35），P（X=40），P（X=45），P（X=50），由此能求出X的分布列和数学期望．试题解析：(Ⅰ)设选对一道“能排除2个选项的题目”为事件A，选对一道“能排除1个选项的题目”为事件B，则P(A)＝，P(B)＝，该考生选择题得50分的概率为：P(A)P(A)P(B)P(B)＝·＝.(Ⅱ)该考生所得分数X＝30，35，40，45，50，P(X＝30)＝＝，P(X＝35)＝C21＋·C21··＝，(6分)P(X＝40)＝＋C21C21··＋＝，P(X＝45)＝C21＋C21··＝，P(X＝50)＝＝，∴X的分布列为：X 30 35 40 45 50PEX＝30×＋35×＋40×＋45×＋50×＝.20. 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点F与抛物线E：y2＝4x的焦点重合，直线x－y＋＝0与以原点O为圆心，以椭圆的离心率e为半径的圆相切．(Ⅰ)直线x＝1与椭圆交于不同的两点M，N，椭圆C的左焦点F1，求△F1MN的内切圆的面积；(Ⅱ)直线l与抛物线E交于不同两点A，B，直线l′与抛物线E交于不同两点C，D，直线l与直线l′交于点M，过焦点F分别作l与l′的平行线交抛物线E于P，Q，G，H四点．证明：＝.【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)利用条件得椭圆方程，将x＝1代入椭圆得M，N坐标，求出△F1MN 的周长和面积，进而得内切圆半径；(Ⅱ)设出直线方程与椭圆联立，利用韦达定理结合弦长公式表示弦长，进而化简运算即可证明.试题解析：(Ⅰ) 依题意，得c＝1，e＝＝，即＝，∴a＝2，∴b＝，∴所求椭圆C的方程为＋＝1.直线l的方程为x＝1，得M，N，设△F1MN的内切圆的半径为R，则△F1MN的周长＝4a＝8，S△F1MN＝(|MN|＋|F1M|＋|F1N|)R＝4R.又因为S△F1MN＝3＝4R，∴R＝，所求内切圆的面积为π.(Ⅱ)设直线l和l′的方程分别为x＝k1y＋m1，x＝k2y＋m2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，由方程组得y2－4k1y－4m1＝0①方程①的判别式Δ>0，得4k12＋4m1>0.由①得y1＋y2＝4k1，y1y2＝－4m1，由方程组得y2－4k2y－4m2＝0②方程②的判别式Δ>0，得4k22＋4m2>0.由②得y3＋y4＝4k2，y3y4＝－4m2.联立直线l与直线l′的方程可得：M点坐标为.因为|MA|·|MB|＝(1＋k12)，代入计算得，|MA|·|MB|＝·|(m2－m1)2＋4k1k2(m1＋m2)－4(m1k22＋m2k12)|.同理可得|MC|·|MD|＝(1＋k22)＝·.因此＝.由于PQ，HG分别与直线l和直线l′平行，故可设其方程分别为x＝k1y＋1，x＝k2y＋1.由方程组得y2－4k1y－4＝0.③由③得y P＋y Q＝4k1，y P y Q＝－4，因此|PQ|＝x P＋x Q＋p＝k1(y P＋y Q)＋4＝4(1＋k12)．同理可得|HG|＝x H＋x G＋p＝k1(y H＋y G)＋4＝4(1＋k22)．故＝.所以＝.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21. 已知函数φ(x)＝，a为正常数．(Ⅰ)若f(x)＝ln x＋φ(x)，且a＝4，讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)若g(x)＝|ln x|＋φ(x)，且对任意x1，x2∈(0，2]，x1≠x2都有<－1.(ⅰ)求实数a的取值范围；(ⅱ)求证：当x∈(0，2]时，g(x)≥ln 2＋.【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ) (ⅰ) ；(ⅱ)见解析.【解析】试题分析：（1）先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）>0求得的区间是单调增区间，f′（x）<0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．（2）设h（x）=g（x）+x，依题意得出h（x）在（0，2]上是减函数．(ⅰ)下面对x分类讨论：①当1≤x≤2时，②当0<x<1时，利用导数研究函数的单调性从及最值，即可求得求a 的取值范围．(ⅱ) h(x)在(0，2]上是减函数，所以h(x)≥h(2)，即g(x)＋x≥ln 2＋＋2，由a的范围放缩得：g(x)≥ln 2＋＋2－x，进而构造函数T(x)＝ln 2＋＋2－x，利用单调性即可证得.试题解析：(Ⅰ)当a＝4时，f(x)＝ln x＋，定义域为(0，＋∞)，又f′(x)＝－＝≥0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(Ⅱ)因为<－1，所以＋1<0，<0 .设h(x)＝g(x)＋x，依题意，h(x)在(0，2]上是减函数，h′(x)≤0恒成立．(ⅰ)①当1≤x≤2时，h(x)＝ln x＋＋x，h′(x)＝－＋1≤0.从而，a≥＋(x＋1)2＝x2＋3x＋＋3对x∈[1，2]恒成立．设m(x)＝x2＋3x＋＋3，x∈[1，2]，则m′(x)＝2x＋3－>0.所以m(x)在[1，2]上是增函数，则当x＝2时，m(x)有最大值为，所以a≥.②当0<x<1时，h(x)＝－ln x＋＋x，h′(x)＝－－＋1≤0.从而，a≥－＋(x＋1)2＝x2＋x－－1.设t(x)＝x2＋x－－1，则t′(x)＝2x＋1＋>0，所以t(x)在(0，1)上是增函数．所以t(x)<t(1)＝0，所以a≥0.综合①②，又因为h(x)在(0，2]上图形是连续不断的，所以a≥.(ⅱ)因为h(x)在(0，2]上是减函数，所以h(x)≥h(2)，即g(x)＋x≥ln 2＋＋2.由(ⅰ)得，a≥，∴g(x)＋x≥ln 2＋＋2≥ln 2＋＋2，∴g(x)＋x≥ln 2＋＋2，当且仅当x＝2时等号成立．从而g(x)≥ln 2＋＋2－x.令T(x)＝ln 2＋＋2－x，则T(x)在(0，2]上单调递减．∴T(x)≥T(2)＝ln 2＋.∴T(x)≥ln 2＋.选做题：请考生在第(22)、(23)两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22. 选修4—4：坐标系与参数方程(Ⅰ)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x2＋y2－x＝0的参数方程；(Ⅱ)在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为 (s为参数)，曲线C的参数方程为 (t为参数)，若l与C相交于A，B两点，求AB的长．【答案】(Ⅰ) 为参数）；(Ⅱ) .【解析】试题分析：(Ⅰ)有图像可知x P＝＋cos 2θ＝cos2θ，y P＝sin 2θ＝sin θcos θ即得；(Ⅱ)联立解得交点，进而得线段长.试题解析：(Ⅰ)圆的半径为，记圆心为C，连结CP，则∠PCx＝2θ，故x P＝＋cos 2θ＝cos2θ，y P＝sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．所以圆的参数方程为(θ为参数)．(Ⅱ)直线l的普通方程为x＋y＝2，曲线C的普通方程为y＝(x－2)2(y≥0)，联立两方程得x2－3x＋2＝0，求得两交点坐标为(1，1)，(2，0)，所以AB＝.23. 选修4—5：不等式选讲设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.(Ⅰ)当a＝2时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(Ⅱ)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．【答案】(Ⅰ) {x|x≥4或x≤0}；(Ⅱ) a＝2.【解析】(I)当a=1时，不等式转化为,此不等式易解.（II）解本小题关键是把转化为,然后再讨论去绝对值转化为或即或求解.解：（Ⅰ）当时，可化为．由此可得或．故不等式的解集为或．…………5 分(Ⅱ) 由得此不等式化为不等式组或即或因为，所以不等式组的解集为由题设可得=，故…………10分。
2019届湖南师大附中高三高考模拟卷(二)理数答案
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湖南师大附中2019届高三高考模拟卷(二) 数学(理) (含解析)
炎德·英才大联考湖南师大附中2019届高考模拟卷(二)数 学(理科)审题：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{x|x ＝k 4＋12，k ∈Z }，N ＝{x|x ＝k 2＋14，k ∈Z }，则(C)A ．M ＝NB ．M NC ．N MD ．M ∩N ＝2．若复数z ＝(1－ai)(a ＋2i)在复平面内对应的点在第一象限，其中a ∈R ，i 为虚数单位，则实数a 取值范围是(A)A ．(0，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－2，0) 3．如果等差数列a 1，a 2，…，a 8的各项都大于零，公差d ≠0，则(B) A ．a 1＋a 8＞a 4＋a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 D ．a 1a 8＞a 4a 5 【解析】由a 1＋a 8＝a 4＋a 5，∴排除A 、C. 又a 1·a 8＝a 1(a 1＋7d)＝a 21＋7a 1d ，∴a 4·a 5＝(a 1＋3d)(a 1＋4d)＝a 21＋7a 1d ＋12d 2＞a 1·a 8，故选B. 4．若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为(B)A ．1B ．2C ．4D ．8【解析】由题知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )ω＝6k ＋2(k ∈Z )，故ωmin ＝2.5．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60)元的同学有30人，则n 的值为(A)A ．100B ．1000C ．90D ．900【解析】支出在[50，60)元的频率为1－(0.1＋0.24＋0.36)＝0.3.∴样本容量n ＝300.3＝100.6．已知一个几何体的三视图如图所示(正方形的边长为1)，则该几何体的体积为(B)A.34B.78C.1516D.2324【解析】由题意可知几何体的形状如图，是长方体中截出的棱锥(底面是梯形，高为12，底面梯形下底边长为1，上底边长为12，高为1)的剩余部分，所以几何体的体积为：1－13×12×12×⎝⎛⎭⎫1＋12×1＝78，故选B. 7．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是(D)A.112B.115C.118D.114【解析】在不超过20的素数中有2，3，5，7，11，13，17，19共8个，随机选取两个不同的数共有C 28＝28种，随机选取两个不同的数，其和等于20有2种，故可得随机选取两个不同的数，其和等于20的概率P ＝114，故选D.8.下列图象可以作为函数f(x)＝xx 2＋a的图象有(C)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】当a<0时，如取a ＝－4，则f(x)＝xx 2－4，其定义域为：{x|x ≠±2}，它是奇函数，图象是(3)，所以(3)是正确的；当a>0时，如取a ＝1，则f(x)＝xx 2＋1，其定义域为R ，它是奇函数，图象是(2)，所以(2)是正确的；当a ＝0时，则f(x)＝1x ，其定义域为：{x|x ≠0}，它是奇函数，图象是(4)，所以(4)正确．故选C.9．已知点集M ＝{}（x ，y ）|1－x 2·1－y 2≥xy ，则平面直角坐标系中区域M 的面积是(D)A ．1B ．3＋π4C ．πD ．2＋π2【解析】当xy ≤0时，只需要满足x 2≤1，y 2≤1即可；当xy>0时，对不等式两边平方整理得到x 2＋y 2≤1，所以区域M 如下图．易知其面积为2＋π2.10．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫52，0，b ＝(0，5)的起点均为原点，而终点依次对应点A ，B ，线段AB 边上的点P ，若OP →⊥AB →，OP →＝x a ＋y b ，则x ，y 的值分别为(C)A.15，45B.43，－13C.45，15 D ．－13，43【解析】OP →＝x a ＋y b ＝x ⎝⎛⎭⎫52，0＋y(0，5)＝⎝⎛⎭⎫52x ，5y , AB →＝b －a ＝⎝⎛⎭⎫－52，5， ∵OP →⊥AB →，∴－254x ＋25y ＝0x ＝4y ，①又∵A ，B ，P 三点共线，∴x ＋y ＝1，②由①②得 x ＝45，y ＝15.故选C.11．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，||AB ＝||AD ＝3，||AA 1＝1，而对角线A 1B上存在一点P ，使得||AP ＋||D 1P 取得最小值，则此最小值为(D)A ．2B ．3C ．1＋ 3D.7【解析】把对角面A 1BCD 1绕A 1B 旋转到与△AA 1B 在同一平面上的位置，连接AD 1，在△AA 1D 1中，|AA 1|＝1，|A 1D 1|＝3，∠AA 1D 1＝∠AA 1B ＋90°＝150°，则|AP|＋|D 1P|的最小值为：AD 1＝12＋（3）2－2×1×3×cos 150°＝7，故选D. 12．已知a>0，函数f(x)＝e x －a －ln (x ＋a)－1(x>0)的最小值为0，则实数a 的取值范围是(C)A.⎝⎛⎦⎤0，12B.⎣⎡⎭⎫12，1 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12 D ． 【解析】由题意知f(a)＝e a －a －ln(a ＋a)－1≥0，即0<a ≤12.①当0<a<12时，f(x)＝e x －a －ln(x ＋a)－1≥[(x －a)＋1]－[(x ＋a)－1]－1＝－2a ＋1>0不符合题意，舍去；②当a ＝12时，f(x)＝ex －12－ln ⎝⎛⎭⎫x ＋12－1≥⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －12＋1－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋12－1－1＝0⎝⎛⎭⎫当x ＝12时取等号.则a ＝12，故选C.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．13．定积分⎠⎛－11(e x －e －x )dx ＝__0__．14．(x －y)(x ＋y)8的展开式中x 2y 7的系数为__－20__．(用数字填写答案)【解析】(x ＋y)8中，T r ＋1＝C r 8x 8－r y r ，令r ＝7，再令r ＝6，得x 2y 7的系数为C 78－C 68＝8－28＝－20.15．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)与双曲线C 2：x 2－y 2＝4有相同的右焦点F 2，点P是椭圆C 1和双曲线C 2的一个公共点，若||PF 2＝2，则椭圆C 1的离心率为2． 【解析】设另一个焦点是F 1，由双曲线的定义可知||PF 1－||PF 2＝4，||PF 1＝6， 2a ＝8，a ＝4，c ＝22，故e ＝c a ＝224＝22.16．已知数列{}a n ，{}b n 均为等差数列，且a 1b 1＝m ，a 2b 2＝4，a 3b 3＝8，a 4b 4＝16，则m ＝__4__.【解析】设a n ＝an ＋b ，b n ＝cn ＋d ，则a n b n ＝()an ＋b ()cn ＋d ＝acn 2＋(bc ＋ad)n ＋bd ， 令c n ＝a n b n ，则d n ＝c n ＋1－c n ＝2acn ＋(ac ＋ad ＋bc)构成一个等差数列，故由已给出的a 2b 2＝4，a 3b 3＝8，a 4b 4＝16，可求得m ＝4.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分． 17．(本题满分12分)已知在△ABC 中， D ，E 分别为边AB ，BC 的中点， 2AB →·AC →＝||AB →·||AC→， (1)若2AB →·AC →＝AB →·CD →，且△ABC 的面积为33，求边AC 的长； (2)若BC ＝3，求线段AE 长的最大值．【解析】设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，由2AB →·AC →＝||AB →·||AC→，得2bccos A ＝bc ，所以cos A ＝12，又A ∈(0，π)，因此A ＝π3.2分(1)由2AB →·AC →＝AB →·CD →，即2AB →·AC →＝AB →·(CA →＋12AB →)，得3bc ＝c 2，即3b ＝c.又因为S △ABC ＝12bcsin A ＝334b 2＝33，所以b ＝2，即边AC 的长为2.7分(2)因为E 为边BC 的中点，所以AE →＝12(AB →＋AC →)，即AE →2＝14(AB →＋AC →)2＝14(b 2＋c 2＋bc)，9分又因为BC ＝3，所以由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc·cos A ，即b 2＋c 2＝a 2＋bc ＝3＋bc ≥2bc ，即bc ≤3，所以AE →2＝14(3＋2bc)≤94，||AE→≤32，当且仅当b ＝c 时取等号，所以线段AE 长的最大值为32.12分18．(本题满分12分)如图1，四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AD ＝1，BC ＝2，E 为CD 上一点，F 为BE 的中点，且DE ＝1，EC ＝2，现将梯形沿BE 折叠(如图2)，使平面BCE ⊥平面ABED.(1)求证：平面ACE ⊥平面BCE ；(2)能否在边AB 上找到一点P(端点除外)使平面ACE 与平面PCF 所成角的余弦值为63若存在，试确定点P 的位置，若不存在，请说明理由．【解析】(1)在直角梯形ABCD 中，作于DM ⊥BC 于M ，连接AE ， 则CM ＝2－1＝1，CD ＝DE ＋CE ＝1＋2＝3， 则DM ＝AB ＝22，cos C ＝13，2分则BE ＝4＋4－2×2×2×13＝433，sin ∠CDM ＝13，则AE ＝1＋1＋2×1×1×13＝263，∴AE 2＋BE 2＝AB 2，4分故AE ⊥BE ，且折叠后AE 与BE 位置关系不变，又∵平面BCE ⊥平面ABED ，且平面BCE ∩平面ABED ＝BE ， ∴AE ⊥平面BCE ，∵AE 平面ACE ，∴平面ACE ⊥平面BCE.6分 (2)∵在△BCE 中，BC ＝CE ＝2，F 为BE 的中点，∴CF ⊥BE. 又∵平面BCE ⊥平面ABED ，且平面BCE ∩平面ABED ＝BE ， ∴CF ⊥平面ABED ，7分故可以F 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则A ⎝⎛⎭⎫263，－233，0，C ⎝⎛⎭⎫0，0，263，E ⎝⎛⎭⎫0，－233，0，易求得平面ACE 的法向量为m ＝(0，－2，1)．假设在AB 上存在一点P 使平面ACE 与平面PCF 所成角的余弦值为63，且AP →＝λAB →，(λ∈R )，∵B ⎝⎛⎭⎫0，233，0，∴AB →＝⎝⎛⎭⎫－263，433，0，故AP →＝⎝⎛⎭⎫－263λ，433λ，0，又CA →＝⎝⎛⎭⎫263，－233，－263， ∴CP →＝⎝⎛⎭⎫263（1－λ），233（2λ－1），－263， 又FC →＝⎝⎛⎭⎫0，0，263，设平面PCF 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，∴⎩⎨⎧－263z ＝0，263（1－λ）x ＋233（2λ－1）y －263z ＝0，令x ＝2λ－1得n ＝(2λ－1，2(λ－1)，0)，∴|cos m ，n |＝|2（λ－1）|3·（2λ－1）2＋2（λ－1）2＝63，11分解得λ＝12，因此存在点P 且P 为线段AB 中点时使得平面ACE 与平面PCF 所成角的余弦值为63.12分 19．(本题满分12分)近期，某市公交公司推出扫码支付1分钱乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.629路公交车统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用扫码支付的人次(单位：十人次)，统计数据如表1所示：表1：x 1 2 3 4 5 6 7 y611213466101196根据以上数据，绘制了散点图．(1)根据散点图判断，在推广期内，y ＝a ＋bx 与y ＝c·d x (c ，d 均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)；(2)根据(1)的判断结果及表1中的数据，建立y 关于x 的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；(3)推广期结束后，支付方式现金乘车卡扫码比例 10% 60% 30%车队为缓解周边居民出行压力，以80万元的单价购进了一批新车，根据以往的经验可知，每辆车每个月的运营成本约为0.66万元．已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客中有16的概率享受7折优惠，有13的概率享受8折优惠，有12的概率享受9折优惠．预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车，根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其它因素的条件下，按照上述收费标准，假设这批车需要n(n ∈N *)年才能开始盈利，求n 的值．参考数据：y － v － ∑7i ＝1x i y i ∑7i ＝1x i v i 100.54 62.141.54253550.123.47其中v i ＝lg y i ，v －＝17 i ＝17v i .参考公式：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ^＝a ^＋β^u 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：β^＝ ＝0.25，5分把样本中心点(4，1.54)代入v ＝lg c ＋lg d ·x ，得lg c ＝0.54， ∴v ^＝0.54＋0.25x ，∴lg y ^＝0.54＋0.25x ，6分∴y 关于x 的回归方程式：y ^＝100.54＋0.25x ＝100.54(100.25)x ＝3.47(100.25)x ， 把x ＝8代入上式：∴y ^＝100.54＋0.25×8＝102.54＝102×100.54＝347，所以活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470 .7分(3)记一名乘客乘车支付的费用为Z ，则Z 的取值可能为：2，1.8，1.6，1.4， P(Z ＝2)＝0.1，P(Z ＝1.8)＝0.3×12＝0.15，P(Z ＝1.6)＝0.6＋0.3×13＝0.7，P(Z ＝1.4)＝0.3×16＝0.05，所以一名乘客一次乘车的平均费用为：2×0.1＋1.8×0.5＋1.6×0.7＋1.4×0.05＝1.66(元)，10分 由题意可知：1.66×1×12·n －0.66×12·n －80>0，n>203，所以n 取7，估计这批车大概需要7年才能开始盈利.12分 20．(本题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率e ＝22，以上顶点和右焦点为直径端点的圆与直线x ＋y －2＝0相切．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C 有两个不同的交点M ，N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM →＝NQ →？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．【解析】(1)由椭圆的离心率e ＝22，得c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝12，得b ＝c.上顶点为(0，b)，右焦点为(b ，0)，以上顶点和右焦点为直径端点的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －b 22＋⎝⎛⎭⎫y －b 22＝⎝⎛⎭⎫a 22＝b22， ∴|b －2|2＝22b ，即|b －2|＝b ，得b ＝c ＝1，a ＝2，∴椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.5分(2)椭圆C 上不存在这样的点Q ，理由如下：设直线的方程为y ＝2x ＋t ， 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，P ⎝⎛⎭⎫x 3，53，Q(x 4，y 4)，MN 的中点为D(x 0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋t ，x 22＋y 2＝1，消去x ，得9y 2－2ty ＋t 2－8＝0， 所以y 1＋y 2＝2t9，且Δ＝4t 2－36(t 2－8)＞0，7分故y 0＝y 1＋y 22＝t9，且－3＜t ＜3. 由PM →＝NQ →，得⎝⎛⎭⎫x 1－x 3，y 1－53＝(x 4－x 2，y 4－y 2)， 所以有y 1－53＝y 4－y 2，y 4＝y 1＋y 2－53＝29t －53.9分(也可由PM →＝NQ →知四边形PMQN 为平行四边形，而D 为线段MN 的中点，因此，D 也为线段PQ 的中点，所以y 0＝53＋y 42＝t 9，可得y 4＝2t －159.)又－3＜t ＜3，所以－73＜y 4＜－1，11分与椭圆上点的纵坐标的取值范围是[－1，1]矛盾．故椭圆C 上不存在这样的点Q.12分 21．(本题满分12分)已知函数f(x)＝ln x ，g(x)＝e x .(1)设函数h(x)＝f(x)＋12x 2＋ax(a ∈R )，讨论h(x)的极值点个数；(2)设直线l 为函数f(x)的图象上一点A(x 0，f(x 0))处的切线，试探究：在区间(1，＋∞)上是否存在唯一的x 0，使得直线l 与曲线y ＝g(x)相切．【解析】由题意得h′(x)＝1x ＋x ＋a ＝x 2＋ax ＋1x (x>0)，令Δ＝a 2－4，1分①当Δ＝a 2－4≤0即－2≤a ≤2时，h ′(x)＝x 2＋ax ＋1x≥0在x ∈(0，＋∞)上恒成立，此时h(x)在x ∈(0，＋∞)上单调递增，极值点个数为0；2分 ②当a>2时，h ′(x)＝x 2＋ax ＋1x≥0在x ∈(0，＋∞)上恒成立，此时h(x)在x ∈(0，＋∞)上单调递增，极值点个数为0；3分③当a<－2时，Δ>0，设x 1，x 2是x 2＋ax ＋1＝0的两根，则x 1＋x 2＝－a>0，x 1x 2＝1>0，故x 1>0，x 2>0，此时h(x)在(0，＋∞)上有两个极值点.5分综上所述，当a<－2时，h(x)有两个极值点，a ≥－2时，h(x)没有极值点.6分(2)∵f′(x)＝1x ，∴f ′(x 0)＝1x 0， ∴切线l 的方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.7分 设直线l 与曲线y ＝g(x)相切于(x 1，ex 1)，∵g ′(x)＝e x ，∴ex 1＝1x 0即x 1＝－ln x 0， ∴g(x 1)＝ex 1＝e －ln x 0＝1x 0， ∴直线l 的方程也为y －1x 0＝1x 0(x ＋ln x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0x 0＋1x 0，8分 ∴ln x 0－1＝ln x 0x 0＋1x 0，即ln x 0＝x 0＋1x 0－1.9分 下证：在区间(1，＋∞)上x 0存在且唯一．设φ(x)＝ln x －x ＋1x －1(x>1)， φ′(x)＝1x －（x －1）－（x ＋1）（x －1）2＝1x ＋2（x －1）2>0，则φ(x)在(1，＋∞)上单调递增.10分又φ(e)＝ln e －e ＋1e －1＝－2e －1<0，φ(e 2)＝ln e 2－e 2＋1e 2－1＝e 2－3e 2－1>0， 由零点存在性定理知：存在x 0∈(e ，e 2)，使得φ(x 0)＝0，即ln x 0＝x 0＋1x 0－1. 故在区间(1，＋∞)上存在唯一的x 0，使得直线l 与曲线y ＝g(x)相切.12分(二)选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本题满分10分)选修4－4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系中，将曲线C 1向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线C 2，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，C 1的极坐标方程为ρ＝4cos α.(1)求曲线C 2的参数方程；(2)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝32t ，y ＝12t ＋2(t 为参数)，求曲线C 2上到直线l 的距离最短的点的直角坐标．【解析】(1)由ρ＝4cos α得ρ2＝4ρcos α将ρ2＝x 2＋y 2，ρ·cos α＝x 代入整理得 曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4, 2分设曲线C 1上的点为(x′，y ′)，变换后的点为(x ，y)，由题可知坐标变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x′－2，y ＝12y′，即⎩⎨⎧x′＝x ＋2，y ′＝2y ，代入曲线C 1的普通方程，整理得曲线C 2的普通方程为 x 24＋y 2＝1，4分 ∴曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数).5分 (2)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝32t ，y ＝12t ＋2(t 为参数)，直线l 的直角坐标方程为x －3y ＋23＝0， 设曲线C 2上的点为P(2cos θ，sin θ)，0≤θ≤2π，则点P 到直线l 的距离为d ＝||2cos θ－3sin θ＋232＝||7cos （θ＋φ）＋232，其中cos φ＝27，sin φ＝37， 当θ＋φ＝π时，d min ＝||－7＋232＝23－72，8分 此时2cos θ＝2cos(π－φ)＝－47＝－477，sin θ＝sin(π－φ)＝37＝217，即此时点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫－477，217，所以曲线C 2上到直线l 的距离最短的点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫－477，217.10分 23．(本题满分10分)选修4－5：不等式选讲设f(x)＝|x －1|＋|x ＋1|.(1)求f(x)≤x ＋2的解集；(2)若不等式f(x)≥|a ＋1|－|2a －1||a|对任意实数a ≠0恒成立，求实数x 的取值范围． 【解析】(1)由f(x)≤x ＋2得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x ≤－1，1－x －x －1≤x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，－1<x<1，1－x ＋x ＋1≤x ＋2或⎩⎨⎧x ＋2≥0，x ≥1，x －1＋x ＋1≤x ＋2，3分 解得0≤x ≤2，∴f(x)≤x ＋2的解集为{x|0≤x ≤2}.5分(2)⎪⎪⎪⎪|a ＋1|－|2a －1||a|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1a －⎪⎪⎪⎪2－1a ≤⎪⎪⎪⎪1＋1a ＋2－1a ＝3，当且仅当⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫2－1a ≤0时，取等号.7分 由不等式f(x)≥|a ＋1|－|2a －1||a|对任意实数a ≠0恒成立，可得|x －1|＋|x ＋1|≥3， 解得x ≤－32或x ≥32. 故实数x 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞.10分。
湖南师大附中2019届高三月考试卷数学(理科)试题(教师版)
炎德·英才大联考湖南师大附中2019届高三月考试卷(六) 数 学(理科)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{4，2，a －1}，B ＝{0，－2，a 2＋1}，若A ∩B ＝{2}，则实数a 满足的集合为(D) A ．{1} B ．{－1} C ．{－1，1} D ． 2．已知复数z 满足z ＋||z ＝3＋i ，则z ＝(D)A ．1－iB ．1＋i C.43－i D.43＋i3．下列说法正确的是(D) A ．命题“x 0∈[]0，1，使x 20－1≥0”的否定为“x ∈[]0，1，都有x 2－1≤0”B ．命题“若向量a 与b 的夹角为锐角，则a ·b >0”及它的逆命题均为真命题C ．命题“在锐角△ABC 中，sin A<cos B ”为真命题D ．命题“若x 2＋x ＝0，则x ＝0或x ＝－1”的逆否命题为“若x ≠0且x ≠－1，则x 2＋x ≠0” 【解析】命题“x 0∈[]0，1，使x 20－1≥0”的否定应为“x ∈[]0，1，都有x 2－1<0”，所以A错误；命题“若向量a 与b 的夹角为锐角，则a ·b >0”的逆命题为假命题，故B 错误；锐角△ABC 中，A ＋B>π2π2>A>π2－B>0，∴sin A>sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B ，所以C 错误，故选D.4．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于玉石的问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤(176两)．问玉、石重各几何？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x ，y 分别为(C)A ．90，86B ．94，82C ．98，78D ．102，74 【解析】执行程序框图，x ＝86，y ＝90，s ≠27；x ＝90，y ＝86，s ≠27；x ＝94，y ＝82，s ≠27；x ＝98，y ＝78，s ＝27，结束循环，输出的x ，y 分别为98，78，故选C.5．已知定义在R 上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f(log 0.53)，b ＝f ()log 25，c ＝f ()2＋m 则a ，b ，c 的大小关系为(B)A ．a<b<cB ．a<c<bC ．c<a<bD ．c<b<a【解析】∵函数f ()x 是偶函数，∴f ()x ＝f ()－x 在R 上恒成立，∴m ＝0， ∴当x ≥0时，易得f(x)＝2||x －1为增函数， ∴a ＝f(log 0.53)＝f(log 23)，b ＝f ()log 25，c ＝f ()2，∵log 23<2<log 25，∴a<c<b ，故选B.6．学校组织学生参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学．现从该小组中选出3名同学分别到A ，B ，C 三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同的安排方法有(D)A ．70种B ．140种C ．840种D ．420种【解析】从9名同学中任选3名分别到A ，B ，C 三地进行社会调查有C 39A 33种安排方法，3名同学全是男生或全是女生有(C 35＋C 34)A 33种安排方法，故选出的同学中男女均有的不同安排方法有C 39A 33－(C 34＋C 35)A 33＝420(种)．7．已知(x ＋1)5＋(x －2)9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 9(x －1)9，则a 7＝(B) A ．9 B ．36 C ．84 D ．243【解析】令t ＝x －1，则(x ＋1)5＋(x －2)9＝(t ＋2)5＋(t －1)9，只有(t －1)9中展开式含有t 7项，所以a 7＝C 29＝36，选B.8．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧1≤x ＋y ≤2，x ≤－1，则x ＋yy 的取值范围是(B)A.⎣⎡⎦⎤12，23B.⎝⎛⎤0，23C.⎝⎛⎤－1，－13D.⎣⎡⎦⎤32，2 【解析】将题中可行域表示如右图，易知k ＝yx 在A(－1，3)处取得最小值－3，且斜率k 小于直线x ＋y ＝1的斜率－1，故－3≤k<－1，则－1<x y ≤－13，故0<x ＋y y ≤23.9．正四棱锥S －ABCD 的侧棱长与底面边长相等，E 为SC 的中点，则BE 与SA 所成角的余弦值为(C) A.13 B.12 C.33 D.32【解析】如图，设AC ∩BD ＝O ，连接OE ，因为OE 是△SAC 的中位线，故EO ∥SA ，则∠BEO 为BE 与SA 所成的角．设SA ＝AB ＝2a ，则OE ＝12SA ＝a ，BE ＝32SA ＝3a ，OB ＝22SA ＝2a ，所以△EOB为直角三角形，所以cos ∠BEO ＝OE BE ＝a 3a ＝33，故选C.10．如图所示，点F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，点A ，B 分别在抛物线y 2＝8x 及圆(x －2)2＋y 2＝16的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则△FAB 的周长的取值范围是(C)A ．(2，6)B ．(6，8)C ．(8，12)D ．(10，14)【解析】抛物线的准线l ：x ＝－2，焦点F(2，0)，由抛物线定义可得|AF|＝x A ＋2， 圆(x －2)2＋y 2＝16的圆心为(2，0)，半径为4，∴三角形FAB 的周长为|AF|＋|AB|＋|BF|＝(x A ＋2)＋(x B －x A )＋4＝6＋x B ，由抛物线y 2＝8x 及圆(x －2)2＋y 2＝16可得交点的横坐标为2，则x B ∈(2，6)，所以6＋x B ∈(8，12)，故选C.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(3，0)，B(1，2)，D(3，2)，动点P 满足OP →＝λOA →＋μOB →，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，2]，λ＋μ∈[1，2]，则点P 落在三角形ABD 里面的概率为(A)A.12B.33C.32D.23【解析】以OA ，OB 为邻边做平行四边形OACB ，延长OB 至E ，使得OE ＝2OB ，∵OP →＝λOA →＋μOB →，且λ∈[0，1]，μ∈[0，2]，λ＋μ∈[1，2]，∴P 点位于平行四边形ABEC 的内部(包含边界)，则点P 落在三角形ABD 里面的概率P ＝S △ABC S ABEC ＝12，选A. 12．已知函数f(x)＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，46π3，若函数F(x)＝f(x)－3的所有零点依次记为x 1，x 2，x 3，…，x n ，且x 1<x 2<x 3<…<x n ，则x 1＋2x 2＋2x 3＋…＋2x n －1＋x n ＝(C)A.1 276π3 B ．445π C ．455π D.1 457π3【解析】函数f(x)＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，令2x －π6＝π2＋k π得x ＝12k π＋π3，k ∈Z ，即f(x)的对称轴方程为x ＝12k π＋π3，k ∈Z .∵f(x)的最小正周期为T ＝π，0≤x ≤46π3，当k ＝30时，可得x ＝46π3，∴f(x)在⎣⎡⎦⎤0，46π3上有31条对称轴，根据正弦函数的性质可知：函数f(x)＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6与y ＝3的交点x 1，x 2关于π3对称，x 2，x 3关于5π6对称，…，即x 1＋x 2＝2π6×2，x 2＋x 3＝5π6×2，…，x n －1＋x n ＝2×⎝⎛⎭⎫292π＋π3，将以上各式相加得：x 1＋2x 2＋3x 3＋…＋2x 30＋x 31＝2⎝⎛⎭⎫2π6＋5π6＋…＋89π6＝(2＋5＋8＋…＋89)×π3＝455π，则x 1＋2x 2＋2x 3＋…＋2x n －1＋x n ＝(x 1＋x 2)＋(x 2＋x 3)＋x 3＋…＋x n －1＋(x n －1＋x n )＝2⎝⎛⎭⎫π2＋3π2＋…＋59π2＝455π.故选C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点F 且斜率为1的直线与双曲线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为．14．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝x 3＋f′⎝⎛⎭⎫23x 2－x ，f(x)，则f′(1)＝__0__． 【解析】因为f(x)＝x 3＋f′⎝⎛⎭⎫23x 2－x ，所以f′(x)＝3x 2＋2f ′⎝⎛⎭⎫23x －1， 所以f′⎝⎛⎭⎫23＝3⎝⎛⎭⎫232＋2f′⎝⎛⎭⎫23×23－1，则f′⎝⎛⎭⎫23＝－1，f(x)＝x 3－x 2－x ， 则f′(x)＝3x 2－2x －1，故f′(1)＝0.15．已知三棱锥P －ABC 的四个顶点均在某球面上，PC 为该球的直径，△ABC 是边长为4的等边三角形，三棱锥P －ABC 的体积为163，则此三棱锥的外接球的表面积为__80π3__．【解析】依题意，记三棱锥P －ABC 的外接球的球心为O ，半径为R ，点P 到平面ABC 的距离为h ，则由V P －ABC ＝13S △ABC h ＝13×⎝⎛⎭⎫34×42×h ＝163得h ＝433.又PC 为球O 的直径，因此球心O 到平面ABC 的距离等于12h ＝233.又正△ABC 的外接圆半径为r ＝AB 2sin 60°＝433，因此R 2＝r 2＋⎝⎛⎭⎫2332＝203，所以三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为4πR 2＝80π3.16．已知在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，AC ⊥CD ，AC ＝CD ，则四边形ABCD 的面积的最大值为．【解析】如图所示，设∠ABC ＝θ，θ∈(0，π)，则在△ABC 中，由余弦定理得， AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cos θ＝6－42cos θ，∴四边形ABCD 的面积为S ＝S △ABC ＋S △ACD ＝12(AB·BC·sin θ＋AC·CD)，化简得：S ＝12(22sin θ＋6－42cos θ)＝3＋2(sin θ－2cos θ)＝3＋10sin (θ－φ)，其中tan φ＝2，当sin (θ－φ)＝1时，S 取得最大值为3＋10.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分． 17．(本题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1＝1，设b n ＝a n 2n －1＋2，n ∈N *. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.【解析】(1)∵2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，∴当n ≥2时，有2S n －1＝a n －2n ＋1， 两式相减整理得a n ＋1－3a n ＝2n ，2分则a n ＋12n －32·a n2n －1＝1， 即a n ＋12n ＋2＝32⎝⎛⎭⎫a n 2n －1＋2.∴b n ＋1＝32b n ，(n ≥2)，4分 当n ＝1时，2S 1＝a 2－22＋1，且S 1＝a 1＝1，则a 2＝5， ∴b 1＝a 120＋2＝3，b 2＝a 221＋2＝92，满足b 2＝32b 1，∴b n ＋1＝32b n ，(n ∈N *)．故数列{b n }是首项为3，公比为32的等比数列，即b n ＝3·⎝⎛⎭⎫32n －1.6分 (2)由(1)知b n ＝a n 2n －1＋2＝3⎝⎛⎭⎫32n －1，∴a n ＝3n －2n ，则1a n ＝13n －2n ，8分 当n ≥2时，⎝⎛⎭⎫32n>2，即3n －2n >2n， ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n <1＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n ＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－12n －1<32.11分 当n ＝1时，1a 1＝1<32，上式也成立．综上可知，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.12分18．(本题满分12分)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠ABC ＝60°，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，CF ＝1.(1)求证：BC ⊥平面ACFE ；(2)点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角为θ()θ≤90°，试求cos θ的取值范围．【解析】(1)在梯形ABCD 中，因为AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠ABC ＝60°，所以AB ＝2，2分 所以AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cos 60°＝3， 所以AB 2＝AC 2＋BC 2，所以BC ⊥AC.4分因为平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ∩平面ABCD ＝AC ， BC 平面ABCD ，所以BC ⊥平面ACFE.6分(2)建立以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系如图所示， 令FM ＝λ(0≤λ≤3)，则C(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，1，0)，M (λ，0，1)， 所以AB →＝(－3，1，0)，BM →＝(λ，－1，1)， 设n 1＝(x ，y ，z)为平面MAB 的一个法向量， 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·BM →＝0，得⎩⎨⎧－3x ＋y ＝0，λx －y ＋z ＝0，取x ＝1，所以n 1＝(1，3，3－λ)，9分因为n 2＝(1，0，0)是平面FCB 的一个法向量．所以cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝11＋3＋（3－λ）2×1＝1（λ－3）2＋4. 因为0≤λ≤3，所以当λ＝0时，cos θ有最小值77， 当λ＝3时，cos θ有最大值12.所以cos θ∈⎣⎡⎦⎤77，12.12分19．(本题满分12分)如图，已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1的左、右顶点为A 1，A 2，上、下顶点为B 1，B 2，记四边形A 1B 1A 2B 2的内切圆为C 2.(1)求圆C 2的标准方程；(2)已知圆C 2的一条不与坐标轴平行的切线l 交椭圆C 1于P ，M 两点．(ⅰ)求证：OP ⊥OM ；(ⅱ)试探究1OP 2＋1OM 2是否为定值．【解析】(1)因为A 2，B 1分别为椭圆C 1：x 24＋y 2＝1的右顶点和上顶点，则A 2，B 1坐标分别为(2，0)，(0，1)，可得直线A 2B 1的方程为：x ＋2y ＝2.2分则原点O 到直线A 2B 1的距离为d ＝21＋22＝25，则圆C 2的半径r ＝d ＝25， 故圆C 2的标准方程为x 2＋y 2＝45.4分(2)(i)可设切线l ：y ＝kx ＋b(k ≠0)，P(x 1，y 1)，M(x 2，y 2)，将直线PM 方程代入椭圆C 1可得⎝⎛⎭⎫14＋k 2x 2＋2kbx ＋b 2－1＝0，由韦达定理得： ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2kb 14＋k 2，x 1x 2＝b 2－114＋k2，则y 1y 2＝(kx 1＋b)(kx 2＋b)＝k 2x 1x 2＋kb(x 1＋x 2)＋b 2＝－k 2＋14b 214＋k 2，6分又l 与圆C 2相切，可知原点O 到l 的距离d ＝|b|k 2＋12＝25，整理可得k 2＝54b 2－1，则y 1y 2＝1－b 214＋k 2，所以OP →·OM →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，故OP ⊥OM.8分(ii)由OP ⊥OM 知S △OPM ＝12||OP ||OM ，①当直线OP 的斜率不存在时，显然|OP|＝1，|OM|＝2，此时1OP 2＋1OM 2＝54； ②当直线OP 的斜率存在时，设OP ：y ＝k 1x 代入椭圆方程可得x 24＋k 21x 2＝1，则x 2＝41＋4k 21，故OP 2＝x 2＋y2＝(1＋k 21)x 2＝4（1＋k 21）1＋4k 21，10分同理OM 2＝4⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫－1k 121＋4⎝⎛⎭⎫－1k 12＝4（k 21＋1）k 21＋4， 则1OP 2＋1OM 2＝1＋4k 214（1＋k 21）＋k 21＋44（1＋k 21）＝54. 综上可知：1OP 2＋1OM 2＝54为定值.12分 20．(本题满分12分)中国大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备．某高中开设大学先修课程已有两年，两年共招收学生2 000人，其中有300人参与学习先修课程，两年全校共有优等生200人，学习先修课程的优等生有60人．这两年学习先修课程的学生都参加了考试，并且都参加了某高校的自主招生考试(满分100，根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？(2)已知今年有年参加大学先修课程学习成绩的概率．①在今年参与大学先修课程的学生中任取一人，求他获得某高校自主招生通过的概率； ②设今年全校参加大学先修课程的学生获得某高校自主招生通过的人数为ξ，求Eξ.参考公式：K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d.【解析】(1)列联表如下：2分等高条形图如图：4分通过图形可判断学习先修课与优等生有关系，又K 2＝2 000（60×1 560－140×240）2300×1 700×200×1 800≈39.216>6.635，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系.6分 (2)①p ＝20300×0.9＋55300×0.8＋105300×0.6＋70300×0.5＋50300×0.4＝0.6.8分②设获得某高校自主招生通过的人数为ξ，则ξ～B ⎝⎛⎭⎫150，35， P(x ＝k)＝C k 150⎝⎛⎭⎫35k ⎝⎛⎭⎫25150－k，k ＝0，1，2，…，150，10分所以Eξ＝150×35＝90.12分21．(本题满分12分)设函数f(x)＝x 22－aln x －12，a ∈R .(1)若函数f(x)在区间[]1，e (e ＝2.718 28…为自然对数的底数)上有唯一的零点，求实数a 的取值范围； (2)若在[1，e](e ＝2.718 28…为自然对数的底数)上存在一点x 0，使得f ()x 0<x 202－a ＋1x 0－x 0－12成立，求实数a 的取值范围．【解析】(1)f′(x)＝x －a x ＝x 2－ax，其中x ∈[1，e]，①当a ≤1时，f ′(x)≥0恒成立，f(x)单调递增，又∵f(1)＝0，∴函数f(x)在区间[1，e]上有唯一的零点，符合题意．②当a ≥e 2时，f ′(x)≤0恒成立，f(x)单调递减，又∵f(1)＝0，∴函数f(x)在区间[1，e]上有唯一的零点，符合题意.3分③当1<a<e 2时，1≤x<a 时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，又∵f(1)＝0，∴f(a)<f(1)＝0，∴函数f(x)在区间[1，a]上有唯一的零点，当a<x ≤e 时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，∴当f(e)<0时符合题意，即e 22－a －12<0，∴a>e 2－12时，函数f(x)在区间[1，a]上有唯一的零点；∴a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|a ≤1或a>e 2－12.6分 (2)在[1，e]上存在一点x 0，使得f ()x 0<x 202－a ＋1x 0－x 0－12成立，等价于x 0＋1x 0－aln x 0＋a x 0<0在[1，e]上有解，即函数g(x)＝x ＋1x －aln x ＋ax在[]1，e 上的最小值小于零．g ′()x ＝1－1x 2－a x －a x 2＝x 2－ax －a －1x 2＝()x ＋1()x －a －1x 2，8分①当a ＋1≥e 时，即a ≥e －1时，g ()x 在[]1，e 上单调递减，所以g ()x 的最小值为g ()e ，由g ()e ＝e ＋1＋ae－a<0可得a>e 2＋1e －1，∵e 2＋1e －1>e －1，∴a>e 2＋1e －1；②当a ＋1≤1时，即a ≤0时，g ()x 在[]1，e 上单调递增，所以g ()x 的最小值为g ()1，由g ()1＝1＋1＋a<0可得a<－2；10分③当1<a ＋1<e 时，即0<a<e －1时，可得g ()x 的最小值为g ()a ＋1，∵0<ln ()a ＋1<1，∴0<aln ()a ＋1<a ，g ()a ＋1＝a ＋1＋1a ＋1－aln ()a ＋1＋aa ＋1＝a ＋2－aln(a ＋1)>2，所以g ()1＋a <0不成立．综上所述：可得所求a 的取值范围是(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＋1e －1，＋∞.12分(二)选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l ：θ＝α(α∈[0, π), ρ∈R )与曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求|OM|的最大值．【解析】(1)曲线C 的普通方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝22，由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ－2＝0.5分 (2)联立θ＝α和ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ－2＝0，得ρ2＋2ρ(cos α－sin α)－2＝0， 设A(ρ1, α)，B (ρ2, α)，则ρ1＋ρ2＝2(sin α－cos α)＝22sin ⎝⎛⎭⎫α－π4，由|OM|＝|ρ1＋ρ22|，得|OM|＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π4≤2，当α＝3π4时，|OM|取最大值 2.10分23．(本题满分10分)选修4—5: 不等式选讲 已知函数f ()x ＝||x ＋a ＋||x －2.11 (1)当a ＝1时，求不等式f ()x ≥7的解集；(2)若f ()x ≤||x －4＋||x ＋2a 的解集包含[]0，2，求a 的取值范围．【解析】(1)当a ＝1时， f ()x ＝⎩⎨⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x<2，2x －1，x ≥2，当x ≤－1时，由f ()x ≥7得－2x ＋1≥7，解得x ≤－3；当－1<x<2时， f ()x ≥7无解；当x ≥2时，由f ()x ≥7得2x －1≥7，解得x ≥4，所以f ()x ≥7的解集为(]－∞，－3∪[)4，＋∞.5分(2)f ()x ≤||x －4＋||x ＋2a 的解集包含[]0，2等价于||x ＋a －||x ＋2a ≤||x －4||－x －2在[]0，2上恒成立，当x ∈[]0，2时，||x ＋a －||x ＋2a ≤||x －4||－x －2＝2等价于(||x ＋a －||x ＋2a )max ≤2恒成立，而||x ＋a －||x ＋2a ≤||（x ＋a ）－（x ＋2a ）＝||a ，∴||a ≤2，故满足条件的a 的取值范围是[]－2，2.10分。
2019届湖南省湖南师范大学附属中学、岳阳市第一中等六校高三下学期联考理科数学试题(解析版)
2019届湖南省湖南师范大学附属中学、岳阳市第一中等六校高三下学期联考理科数学试题一、单选题1．复数满足，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算得答案．【详解】因为由，得．故选：C．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，以及复数模的求法，是基础题．2．已知集合，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先求出集合，由此能求出．【详解】∵集合=且，∴=或．故选：D．【点睛】本题考查补集的求法，分式不等式的求法等基础知识，是基础题．3．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可．【详解】①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高分，平均成绩为低于分，①错误；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内，②正确；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确；④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确．故选：C．【点睛】本题考查折线图的应用，线性相关以及平均分的求解，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．4．如图是一个几何体的三视图，且这个几何体的体积为，则俯视图中三角形的高等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】画出几何体的直观图，利用几何体的体积，转化求解即可．【详解】如图，该几何体为四棱锥，体积为，所以．故选：D．【点睛】本题考查已知三视图求解几何体的体积，空间想象能力以及计算能力，属于中档题．5．已知是奇函数，当时，，则函数在处的切线方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先求出当时的解析式，然后利用导数求出处的切线斜率，以及切点坐标，从而求出切线方程.【详解】当时，，，，，切点为，切线方程为．切线方程为．故选：A．【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．6．如图，在矩形OABC 中的曲线分别是sin y x =，cos y x =的一部分，,02A π⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1C ，在矩形OABC 内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为1P ，取自非阴影部分的概率为2P ，则（ ）A ．12P P <B ．12P P >C ．12P P =D ．大小关系不能确定 【答案】B【解析】先用定积分求得阴影部分一半的面积，再根据几何概型概率公式可求得． 【详解】根据题意，阴影部分的面积的一半为：()4cos sin 1x x dx π-=⎰，于是此点取自阴影部分的概率为)()114141.41122 3.22P ππ-=⨯=>=． 又21112P P =-<，故12P P >． 故选：B ． 【点睛】本题考查了几何概型，定积分的计算以及几何意义，属于中档题． 7．已知中，，，，于，，则（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用已知条件转化，然后根据向量垂直的条件列出方程，化简并得到关于的方程，从而推出即可． 【详解】，，，，可得，，．故选：B．【点睛】本题考查了向量的数量积运算以及向量垂直条件的应用，运用了方程的思想，属于中档题．这类型问题当中，关键是运用数量积运算建立关于参数的代数方程，从而求出参数的比值.8．已知双曲线（，），以点（）为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】求出双曲线的一条渐近线方程，利用圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则可根据圆心到渐近线距离为列出方程，求解离心率．【详解】不妨设双曲线的一条渐近线与圆交于，因为，所以圆心到的距离为：，即，因为，所以解得．故选：A．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查了转化思想以及计算能力，属于中档题．对于离心率求解问题，关键是建立关于的齐次方程，主要有两个思考方向，一方面，可以从几何的角度，结合曲线的几何性质以及题目中的几何关系建立方程；另一方面，可以从代数的角度，结合曲线方程的性质以及题目中的代数的关系建立方程.9．若，均为非负整数，在做的加法时各位均不进位（例如：，则称，为“简单的”有序对，而称为有序对的值，那么值为的“简单的”有序对的个数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知，只要确定了，即可确定，则可确定一个有序数对.可利用分步计数原理，确定的每一个数位的取法，即可得值为的“简单的”有序对的个数. 【详解】由题意可知，只要确定了，即可确定，则可确定一个有序数对，则对于数，利用分步计数原理，第一位取法有3种：0,1,2；第二位取法有1种：0；第三位取法有2种：0,1；第四位取法有10种：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9；所以值为2019的“简单的”有序对的个数是．故选：C．【点睛】本题考查了分步计数原理，以及转化的思想，属于中档题．10．若是方程的解，是方程的解，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】将方程的解、方程的解转化为函数、函数分别与函数的图像的公共点的横坐标来求解．【详解】考虑到，是函数、函数分别与函数的图像的公共点的横坐标，而函数与函数的图像关于对称，则，，两点关于对称，则有因此．故选：A．【点睛】本题考查函数的与方程的综合问题，以及转化的思想，属于中档题目．这类型题的关键是合理地转化，一般都运用到这两种类型转化：（1）函数零点方程的根函数与轴交点的横坐标；（2）函数零点方程的根函数与函数交点的横坐标.11．已知函数（，）的部分图像如图所示，且在上恰有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据条件先求出的值，结合在上恰有一个最大值和一个最小值，求出满足条件的表达式进行求解即可．【详解】由题意知，，，，，，，上上恰有一个最大值和一个最小值，，．故选：B．【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，属于难题.对于这类型问题，结合一个周期性函数最大值和最小值对应的范围是解决本题的关键，一定要注意区间端点的取值情况. 12．已知函数在区间内存在极值点，且恰好有唯一整数解，则的取值范围是（其中为自然对数的底数，）（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可知在上有解，从而；又有唯一整数解，设，，当时，唯一整数解为1，应满足；当时，唯一整数解为，应满足，由此能求出的取值范围．【详解】由题意得，在上有解，在上单调递增，，又恰好有唯一整数解，即有唯一整数解．设，，结合题意可知：①若，则其唯一整数解为，故应满足，故；②若，则其唯一整数解为，故应满足，故．由①②得的取值范围为．故选：D．【点睛】本题考查了函数极值点存在性问题、不等式有唯一整数解的问题以及导数的应用等基础知识，考查了分类讨论思想、化归与转化思想，以及运算求解能力，是难题．函数极值点存在性问题，关键是转化为导数零点存在性问题；不等式有唯一整数解的问题，关键是寻找出对应的整数解，得到函数在其相邻整数的不等关系，从而求解出参数范围.二、填空题13．已知二项式的展开式中的常数项为，则__________．【答案】2【解析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项，再根据常数项等于求得实数的值．【详解】二项式的展开式中的通项公式为，令，求得，可得常数项为，，故答案为：．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14．若实数满足不等式组则目标函数的最大值为__________．【答案】12【解析】画出约束条件的可行域，求出最优解，即可求解目标函数的最大值．【详解】根据约束条件画出可行域，如下图，由，解得目标函数，当过点时，有最大值，且最大值为．故答案为：．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，属于基础题．15．在中，分别为角所对的边，若，的面积为，则的最小值为__________．【答案】【解析】直接利用正弦定理、余弦定理和三角形面积的应用和三角函数关系式的恒等变换和导数的应用求出结果．【详解】设，则：由于，所以：．则：，设，所以：，因为当时，，当时，，所以当时，的最小值为，故的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了三角函数关系式的恒等变换，导数的应用，正弦定理余弦定理和三角形面积的应用，考查了函数的思想，以及转化得思想，属于难题．对于范围（最值）问题，常用的有三种方法：（1）构造函数法，通过构造与参数有关的函数，利用导数研究函数的值域与最值，即可得到参数范围；（2）基本不等式法，利用基本不等式确定参数的最值（范围）；（3）数形结合法：通过寻求参数满足的约束条件，建立与参数有关的目标函数，然后利用数形结合的方法求出范围（最值）.三、解答题16．已知数列中，，是数列的前项和，且对任意的、，都有．（Ⅰ）判断是否为等差数列，并证明你的结论；（Ⅱ）若数列满足，设是数列的前项和，证明：．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）在中取，求得．然后求出当时的通项公式，已知时成立后得到数列的通项公式，即可得到结论；（Ⅱ）求得，可得，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式和不等式的性质，即可得证．【详解】（Ⅰ）由对任意的、，都有，取，，得，而，．当时，，当时该式成立，，即，可得数列为公差为，首项为的等差数列；（Ⅱ）证明：由，可得，即有，，两式相减可得，化简可得，由为自然数，可得，则．【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法，等差数列的证明，数列的错位相减法的应用，以及不等关系的证明，属于中档题．等差数列的证明主要有两种方法：（1）定义法，证得即可，其中为常数；（2）等差中项法：证得即可.17．在中，，．已知，分别是，的中点．将沿折起，使到的位置且二面角的大小是．连接，，如图：（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求平面与平面所成二面角的大小．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）法一：由．设的中点为，连接．设的中点为，连接，．而即为二面角的平面角．，推导出．由，，从而平面．由，得平面，从而，即．进而平面．推导出四边形为平行四边形．从而，平面，由此能证明平面平面．法二：以为原点，在平面中过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面平面．（Ⅱ）以为原点，在平面中过. 作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成二面角大小．【详解】（Ⅰ）证法一：是的中点，．设的中点为，连接．设的中点为，连接，．由题意得，，即为二面角的平面角．，为的中点．，为等边三角形，．，，，平面．，平面，，即．，平面．，分别为，的中点．，四边形为平行四边形．，平面，又平面．平面平面．法二：如图，以为原点，为轴，在平面中过作的垂线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设．则，，，，．设平面的法向量为，，，，令，则，设平面的法向量为，，，，取，得．，平面平面．解：（Ⅱ）如图，以为原点，为轴，在平面中过作的垂线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设．则，，，，．平面的法向量设平面的法向量为，，，，取，得．设平面与平面所成的二面角的平面角为，由图形观察可知，平面与平面所成的二面角的平面角为锐角．平面与平面所成二面角大小为．【点睛】本题考查了面面垂直的证明，二面角的求法，以及空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，以及运算求解能力，是中档题．18．已知平面上一动点到定点的距离与它到直线的距离之比为，记动点的轨迹为曲线．（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）设直线与曲线交于,两点，为坐标原点，若，求面积的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.【解析】（Ⅰ）设，由题意列式，化简得曲线的方程；（Ⅱ）设，，联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，由弦长公式求弦长，再由点到直线的距离公式求原点到直线的距离，写出三角形面积公式，再利用换元法结合二次函数求最值．【详解】（Ⅰ）设，则，化简得，曲线的方程为；（Ⅱ）设，，联立，得。
湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟(三)理科数学试题
湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟（三）理科数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设{}1A x x =>，{}220B x x x =--<，则()R C A B =（ ）A. {}1x x >- B. {}11x x -<≤ C. {}11x x -<< D. {}12x x <<2.已知i 虚数单位，复数z 满足121ii z-=++，则z =（ ）A. 1B.C.D. 53.cos()24πθ+=-，则cos2θ的值为（ ） A.18 B.716C. 18±D.13164.如图是2019年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图，给出下列4个结论①深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高；②深圳和度厦门往返机票的平均价格同去年相比有所下降； ③平均价格从高到低位于前三位城市为北京，深圳，广州；④平均价格的涨幅从高到低位于前三位的城市为天津，西安，上海. 其中正确结论的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 45.斜率为2的直线l 过双曲线2222=1x y a b-(0,0)a b >>的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A. e <B. 1e <<C. 1e <<D. e >6.已知实数x ，y 满足210102x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪<⎩，则2z x y =-的取值范围是（ ）A. [0,5]B. 411[,]32C. 45[,]32D. [0,5)7.函数()ln f x x x=大致图象是（ ）A.B.C.D.8.本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ） A. 72种B. 144种C. 288种D. 360种9.在ABC ∆中，90A ∠=︒，1AB =，2AC =，设点D 、E 满足AD AB λ=，(1)AE λ=-()AC R λ∈，若5BE CD ⋅=，则λ=（ ） A. 13-B. 2C.95D. 3的10.若即时起10分钟内，305路公交车和202路公交车由南往北等可能进入二里半公交站，则这两路公交车进站时间的间隔不超过2分钟的概率为（ ） A. 0.18B. 0.32C. 0.36D. 0.6411.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a = 2(1)()nn S a n n N n *=+-∈，则数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和是（ ） A. 290B.920C.511D.101112.长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1BB =，设点A 关于直线1BD 的对称点为P ，则P 与1C 两点之间的距离为（ ） A. 2C. 1D.12二、填空题（将答案填在答题纸上）。
2019届湖南师范大学附属中学高三第二次高考模拟数学(理)试题(附答案解析)
2019届湖南师范大学附属中学高三第二次高考模拟数学(理)试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知集合1|,42k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1|,24k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．M N =B ．M NC ．N MD ．M N ⋂=∅2．复数(1)(2)z ai a i =-+在复平面内对应的点在第一象限，其中a R ∈，i 为虚数单位，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2)B ．2,)+∞C ．(,2)-∞D ．(2,0)-3．如果等差数列128,,,a a a L 的各项都大于零，公差0d ≠，则正确的关系为（ ） A ．1845a a a a > B ．1845a a a a < C ．1845a a a a +>+D ．1845a a a a =4．已知等差数列{}n a 的前13项和为52，则68(2)a a +-=（ ） A ．256B ．256-C ．32D ．32-5．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[)50,60的同学有30人，则n 的值为（ ）A ．100B ．1000C ．90D ．9006．已知一个几何体的三视图如图所示（正方形边长为1），则该几何体的体积为（ ）A ．34B ．78C ．1516D ．23247．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ） A ．112B ．115C ．118D ．1148．下列图象可以作为函数()2xf x x a=+的图象的有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．已知点集{}(,)M x y xy =，则平面直角坐标系中区域M 的面积是（ ） A ．1B ．34π+C ．πD ．22π+10．已知向量5(,0)2a =r ，(0,5)b =r 的起点均为原点，而终点依次对应点A ，B ，线段AB 边上的点P ，若OP AB ⊥u u u r u u u r ，OP xa yb =+u u ur r r ，则x ，y 的值分别为（ ）A ．15，45B ．43，13- C ．45，15D ．13-，4311．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===,而对角线1A B 上存在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（ ）A B ．3C ．D ．212．已知0a >，函数()()ln 1x af x e x a -=-+- (x >0)的最小值为0，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．φ13．定积分()11xx ee dx ---=⎰________.14．()()8x y x y -+的展开式中27x y 的系数为________.（用数字填写答案）15．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与双曲线222:4C x y -=有相同的右焦点2F ，点P 是椭圆1C 与双曲线2C 在第一象限的公共点，若22PF =，则椭圆1C 的离心率等于_______.16．已知数列{}n a ，{}n b 均为等差数列，且11a b m =，224a b =，338a b =，4416a b =，则m =________.17．已知在ABC V 中，D ，E 分别为边AB ，BC 的中点，2AB AC AB AC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r.（1）若2AB AC AB CD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，且ABC V 的面积为AC 的长；（2）若BC =，求线段AE 长的最大值.18．如图1，四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD AB ⊥，1AD =，2BC =，E 为CD 上一点，F 为BE 的中点，且1DE =，2EC =，现将梯形沿BE 折叠(如图2)，使平面BCE ⊥平面ABED .（1）求证：平面ACE ⊥平面BCE .（2）能否在边AB 上找到一点P (端点除外)使平面ACE 与平面PCF 所成角的余弦值？若存在，试确定点P 的位置，若不存在，请说明理由. 19．近期，西安公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表下所示：根据以上数据，绘制了散点图.（1）根据散点图判断，在推广期内，y a bx =+与x y c d =⋅（,c d 均为大于零的常数），哪一个适宜作为扫码支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立y 与x 的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；（3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下表：西安公交六公司车队为缓解周边居民出行压力，以80万元的单价购进了一批新车，根据以往的经验可知，每辆车每个月的运营成本约为0.66万元.已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客中有16的概率享受7折优惠，有13的概率享受8折优惠，有12的概率享受9折优惠.预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车，根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其它因素的条件下，按照上述收费标准，假设这批车需要n （n ∈+N ）年才能开始盈利，求n 的值. 参考数据：其中其中lg i i v y =，7117i i v v ==∑，参考公式：对于一组数据11(,)u v ，22(,)u v ，L ，(,)n n u v ，其回归直线ˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆni i i nii u v nu vunu β==-⋅=-∑∑，ˆˆv u αβ=-. 20．已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的离心率e =，以上顶点和右焦点为直径端点的圆与直线20x y +-=相切. （1）求椭圆C 的标准方程.（2）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C 有两个不同的交点M ，N 时，能在直线53y =上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM NQ =u u u u r u u u r ？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 21．已知函数()ln f x x =，()x g x e =. （1）设函数21()()2h x f x x ax =++(a R ∈)，讨论a R ∈的极值点个数； （2）设直线l 为函数()f x 的图像上一点00(,())A x f x 处的切线，试探究：在区间(1,)+∞上是否存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线()y g x =相切.22．在平面直角坐标系中，将曲线1C 向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，1C 的极坐标方程为4cos ρα=.（1）求曲线2C 的参数方程；（2）直线l的参数方程为122x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，求曲线2C 上到直线l 的距离最短的点的直角坐标.23．设()f x x 1x 1=-++ . (1)求()f x x 2≤+ 的解集; (2)若不等式()a 12a 1f x a+--≥,对任意实数a 0≠恒成立,求实数x 的取值范围.参考答案1．C 【解析】 【分析】化简集合2|,4k M x x k Z +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，21|,4k N x x k Z +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，结合2()k k Z +∈为和22()k k Z +∈的关系，即可求解. 【详解】由题意，集合12|,|,424k k M x x k Z x x k Z +⎧⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 121|,|,244k k N x x k Z x x k Z +⎧⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，因为2()k k Z +∈为所有的整数，而22()k k Z +∈为奇数， 所以集合,M N 的关系为N M .故选：C . 【点睛】本题主要考查了集合与集合的关系的判定，其中解答准确合理化简集合的形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 2．A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算、化简，再由实部与虚部均大于0，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，复数2(1)(2)3(2)z ai a i a a i =-+=+-在复平面内对应的点在第一象限，所以23020a a >⎧⎨->⎩，解得02a <<，即实数a 的取值范围是2). 故选：A . 【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算，以及复数的代数表示法及其几何意义的应用，着重考查了推理与运算能力. 3．B 【解析】 【分析】先根据等差中项的性质，可排除C ，再利用作差比较，即可得到答案. 【详解】根据等差数列的性质，可得1845a a a a +=+，所以C 不正确；又由218451111(7)(3)(4)120a a a a a a d a d a d d -=+-++=-<，所以1845a a a a <.故选B . 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的通项公式，以及作差比较法的应用，着重考查了推理与运算能力. 4．B 【解析】 【分析】根据题设条件，求得113a a +的值，进而得出68a a +的值，再利用指数幂的运算，即可求解. 【详解】由题意，等差数列{}n a 的前13项和为52， 可得1131313()522a a S +==，解得1138a a +=，又由等差数列的性质，可得681138a a a a +=+=， 所以688(2)(2)256a a +-=-=.故选：A . 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质和等差数列的求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力. 5．A 【解析】根据频率分布直方图得到支出在[)50,60的同学的频率，利用频数除以频率得到n . 【详解】由频率分布直方图可知，支出在[)50,60的同学的频率为：0.03100.3⨯=301000.3n ∴== 本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算频率、频数和总数的问题，属于基础题. 6．B 【解析】 【分析】 【详解】由三视图可知：该几何体为正方体挖去了一个四棱锥A BCDE -，该几何体的体积为1111711132228⎛⎫-⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭ 故选B点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽. 7．D 【解析】先得到随机抽取两个不同的数共有28种，再得出选取两个不同的数，其和等于20的共有2中，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，在不超过20的素数有：2,3,5,7,11,13,17,19，共有8个数，随机选取两个不同的数，共有2828C =种，其中随机选取的两个不同的数，其和为20的有31720,71320+=+=，共有2种， 所以概率为212814P ==. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中利用组合数的公式求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 8．C 【解析】当a <0时,如取a =−4,则()24xf x x =- 其定义域为：{x |x ≠±2}，它是奇函数，图象是③，所以③选项是正确的；当a >0时，如取a =1，其定义域为R ，它是奇函数，图象是②。
湖南师大附中2019届高三第四次模拟考试数学(理)试题
湖南师大附中2019届高三第四次模拟考试数学(理科)本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意，先求得集合，进而得到集合，再根据集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，可知，则，所以，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的运算，其中解答中正确求解集合，再根据集合的交集运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知复数，给出下列四个结论：①；②；③的共轭复数；④的虚部为.其中正确结论的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】由题意，根据复数，利用模的公式和复数的运算、及共轭复数的概念等，即可逐一判定，得到答案.【详解】由已知，则，，，的虚部为1.所以仅结论②正确，故选B.【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，复数的模、共轭复数的概念及复数的运算法则，其中熟记复数的相关概念和复数的运算法则是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.3.若向量与满足，且，，则向量在方向上的投影为（）A. B. C. -1 D.【答案】B【解析】【分析】利用向量垂直的充要条件求得，再由向量在方向上的投影的计算公式，即可求解，得到答案.【详解】利用向量垂直的充要条件有：，∴，则向量在方向上的投影为,故选B.【点睛】本题主要考查了向量垂直的应用，以及向量的投影的计算问题，其中熟记向量垂直的充要条件和向量的投影的计算公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.4.五进制是以5为底的进位制，主因乃人类的一只手有五只手指. 中国古代的五行学说也是采用的五进制，0代表土，1代表水，2代表火，3代表木，4代表金，依此类推，5又属土，6属水，……，减去5即得.如图，这是一个把进制数（共有位）化为十进制数的程序框图，执行该程序框图，若输入的，，分别为5，1203，4，则输出的（）A. 178B. 386C. 890D. 14303【答案】A【解析】【分析】根据题设的程序框图，得到该程序的计算功能，即可求解，得到答案.【详解】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出.故选A.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，其中解答中根据给定的程序框图，得到该程序框图的计算功能是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5.若，则（）A. 0B. 1C. 32D. -1【答案】A【解析】由二项展开式的通项公式，可知都小于．则．在原二项展开式中令，可得．故本题答案选．6.若实数，满足且的最小值为3，则实数的值为（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，判定目标函数过点时取得最小值，即可求解，得到答案.【详解】画出可行域如图阴影部分所示，当目标函数过点时取得最小值，由得，则，解得.故选C.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义是解答的关键．7.气象意义上的春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度不低于.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据是中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据是中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8则肯定进入夏季的地区有（）A. ①②③B. ①③C. ②③D. ①【答案】B【解析】试题分析：由统计知识①甲地：个数据的中位数为，众数为可知①符合题意；而②乙地：个数据的中位数为，总体均值为中有可能某一天的气温低于，故不符合题意，③丙地：个数据中有一个数据是，总体均值为，总体方差为．若由有某一天的气温低于则总体方差就大于，故满足题意，选C考点：统计初步8.平面过正方体的顶点，平面平面，平面平面，则直线与直线所成的角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，平面过正方体的顶点，平面平面，平面平面，得到，在根据正方形的性质，即可求解.【详解】如图所示，平面过正方体的顶点，平面平面，平面平面，平面平面，∴，又∵，则直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，即直线与直线所成的角为为.故选D.【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解问题，其中解答中，着重考查了.9.对于数列，定义为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，则（）A. 2022B. 1011C. 2020D. 1010【答案】B【解析】【分析】由题意，根据，得到，进而求得，作差即可求解.【详解】由，得，①，②①-②得，即，，所以.故选B.【点睛】本题主要考查了数列的新定义的应用，以及数列知识的综合应用，其中解答中根据新定义，化简得，进而得，新作差化简、运算是解答的关键，同时此类问题需要认真审题，合理利用新定义是解答此类问题的基础，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.10.在锐角中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】。
2019届湖南省师范大学附属中学高三下学期模拟(三)数学(理)试题(解析版)
2019届湖南省师范大学附属中学高三下学期模拟（三）数学（理）试题一、单选题1．设{}1A x x =>，{}220B x x x =--<，则()R C A B =（ ）A ．{}1x x >- B ．{}11x x -<≤ C ．{}11x x -<< D ．{}12x x <<【答案】B【解析】先求集合B,再利用补集及交集运算求解即可 【详解】由题得R {|1}C A x x =≤，{|12}B x x =-<<，所以(){|11}R C A B x x =-<≤.故选B . 【点睛】本题考查集合的运算，二次不等式求解，准确计算是关键，是基础题 2．已知i 为虚数单位，复数z 满足121ii z-=++，则z =（ ）A ．1BCD ．5【答案】A【解析】先利用复数的除法运算求解z,再求模长即可 【详解】由题可得1(2)(1)i i z -=++,则z=()()()()12111222i i i i i i ----=-=++-4355i --，||1z ==故选A . 【点睛】本题考查复数的运算，模长公式，熟记运算及公式准确计算是关键，是基础题3．cos()24πθ+=-，则cos2θ的值为（ ） A ．18 B ．716C ．18±D ．1316【答案】A【解析】先利用诱导公式求解sin 4θ=，再利用二倍角公式求解即可 【详解】因为cos 2πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin θ=，所以21cos 212sin 8θθ=-=. 故选A . 【点睛】本题考查诱导公式和二倍角公式，熟记公式是关键，是基础题4．如图是2019年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图，给出下列4个结论①深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高；②深圳和度厦门往返机票的平均价格同去年相比有所下降； ③平均价格从高到低位于前三位的城市为北京，深圳，广州； ④平均价格的涨幅从高到低位于前三位的城市为天津，西安，上海. 其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据图表逐项判定即可 【详解】变化幅度看折线图，越接近零轴者变化幅度越小，位于零轴下方者表明价格下跌；平均价格看条形图，条形图越高平均价格越高，所以结论①②③都正确，结论④错误. 故选C . 【点睛】本题考查折线图和条形图，准确理解题意是关键，是基础题5．斜率为2的直线l过双曲线的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】利用数形结合，根据已知直线的斜率，求出渐近线的斜率范围，推出的关系，然后求出离心率的范围．【详解】双曲线的一条渐近线的斜率为，结合图形分析可知，若小于或等于2，则直线与双曲线的一支相交或没有交点，不合题意；所以必大于2，即，解得双曲线的离心率，故选D．【点睛】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率范围，属于中档题.求离心率范围问题，应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的取值范围.6．已知实数x ，y 满足210102x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪<⎩，则2z x y =-的取值范围是（ ）A ．[0,5]B ．411[,]32C ．45[,]32D ．[0,5)【答案】D【解析】画出不等式组所表示的区域，利用z 的几何意义求解即可 【详解】画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，做直线:20l x y -=，平移l 可知过C 时z 最小，过B 时z 最小，联立21010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得C 12,33⎛⎫⎪⎝⎭，同理B(2,-1) 即z 的取值范围是[0,5). 故选D.【点睛】本题考查线性规划，数形结合思想，准确计算是关键，注意边界的虚实，是基础题易错题7．函数f （x ）=xln|x|的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】∵函数 ，可得，是奇函数，其图象关于原点对称，排除C ，D ；当时，，令得：，得出函数在上是增函数，排除B ，故选A.点睛：在解决函数图象问题时，主要根据函数的单调性、奇偶性作出判断.本题首先根据，得出是奇函数，其图象关于原点对称.再利用导数研究函数的单调性，从而得出正确选项．8．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ） A ．72种 B ．144种 C ．288种 D ．360种【答案】B【解析】利用分步计数原理结合排列求解即可 【详解】第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有2412A =种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有2412A =种排法，所以不同的排表方法共有1212144⨯=种. 选B . 【点睛】本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题 9．在ABC ∆中，90A ∠=︒，1AB =，2AC =，设点D 、E 满足AD AB λ=，(1)AE λ=-()AC R λ∈，若5BE CD ⋅=，则λ=（ ）A ．13-B ．2C ．95D ．3【答案】D【解析】将BE CD ∙表示为[(1)]()AC AB AB AC λλ--∙-利用数量积计算求解即可 【详解】因为90A ∠=︒，则•0AB AC =，所以()()BE CD AE AB AD AC ∙=-∙-22[(1)]()(1)4(1)34AC AB AB AC AC AB λλλλλλλ=--∙-=---=---=-.由已知，345λ-=，则3λ=. 选D . 【点睛】本题考查平面向量基本定理，考查数量积的运算，熟记定理，准确计算是关键，是基础题10．若即时起10分钟内，305路公交车和202路公交车由南往北等可能进入二里半公交站，则这两路公交车进站时间的间隔不超过2分钟的概率为（ ） A ．0.18 B ．0.32C ．0.36D ．0.64【答案】C【解析】利用面积型几何概型求解即可 【详解】设305路车和202路车的进站时间分别为x 、y ，设所有基本事件为:W 010010x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩,“进站时间的间隔不超过2分钟”为事件A ，则{(,)|010,010,||2}A x y x y x y =≤≤≤≤-≤,画出不等式表示的区域如图中阴影区域，则10108836S =⨯-⨯=，则36()0.36100A S P A S Ω===. 选C .【点睛】本题考查几何概型，考查不等式组表示的区域，准确转化题意是列不等式组是关键，是11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a = 2(1)()nn S a n n N n*=+-∈，则数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和是（ ） A ．290 B ．920C ．511D ．1011【答案】C 【解析】由2(1)()nn S a n n N n*=+-∈得{}n a 为等差数列，求得()43n a n n N *=-∈，得1111132(1)21n S n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭利用裂项相消求解即可【详解】 由()2(1)nn S a n n N n*=+-∈得2(1)n n S na n n =--， 当2n ≥时，11(1)4(1)n n n n n a S S na n a n --=-=----，整理得14n n a a --=， 所以{}n a 是公差为4的等差数列，又11a =， 所以()43n a n n N*=-∈，从而()2133222(1)2n n n a a Sn n n n n n ++=+=+=+， 所以1111132(1)21n S n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭，数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和115121111S ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.故选C . 【点睛】本题考查递推关系求通项公式，等差数列的通项及求和公式，裂项相消求和，熟记公式，准确得{}n a 是等差数列是本题关键，是中档题12．长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==， 1BB =设点A 关于直线1BD 的对称点为P ，则P 与1C 两点之间的距离为（ ）A ．2BC ．1D ．12【答案】C【解析】先求A 关于1BD 的对称点，再求距离即可将长方体中含有1ABD 的平面取出，过点A 作1AM BD ⊥，垂足为M ，延长AM 到AP ，使MP AM =，则P 是A 关于1BD 的对称点，如图所示，过P 作1PE BC ⊥，垂足为E ，连接PB ，1PC ，依题意1AB =，1AD ，12BD =，160ABD ∠=︒，30BAM ∠=︒，30PBE ∠=︒，12PE =，BE =，所以11PC =. 故选C.【点睛】本题考查空间几何体的性质，平面上两点之间的距离，空间立体平面化的思想，是基础题二、填空题13．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ， 112a =-，若4378S S =，则3a =______ 【答案】18-【解析】由等比数列的求和公式及4378S S =得12q =-，再利用通项公式求23118a a q ==-即可【详解】由题知公比1q ≠，所以()()61363311711811a q S q q S a q q--==+=--，解得12q =-，所以23118a a q ==-.故答案为18-【点睛】本题考查等比数列的通项及求和公式，熟记公式准确计算是关键，是基础题14．下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为______．【答案】20π【解析】将三视图还原利用体积公式求解即可 【详解】由三视图还原为如图几何体：一个圆柱和一个圆锥 可得，2212423203V πππ=∙∙+∙∙∙=. 故答案为20π【点睛】本题考查三视图，考查圆柱和圆锥的体积公式，熟记公式准确计算是关键，是基础图 15．已知点()0,1A ，抛物线()2:0C y ax a =>的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交于点M ，延长FA ，,与抛物线C 的准线相交于点N ，若:1:2FM MN =，则实数a 的值为______．【答案】3【解析】过M 作抛物线的准线的垂线且垂足为K ，连接MK ，由抛物线的定义得MF MK =，由||:||1:2FM MN =，得||:||KN KM =，利用斜率得a 的方程求解即可【详解】依题意得焦点F 的坐标为,04a ⎛⎫⎪⎝⎭， 过M 作抛物线的准线的垂线且垂足为K ，连接MK ，由抛物线的定义知MF MK =，因为||:||1:2FM MN =，所以||:||KN KM =，又01404FN k a a -==--，N||||F KN k KM =-=，所以4a -=3a =【点睛】本题考查抛物线的定义及简单几何性质，熟记定义，准确转化题意是关键，是基础题16．已知函数11,1()3ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，则当函数()()F x f x ax =-恰有两个不同的零点时，实数a 的取值范围是______． 【答案】11,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】由题方程()f x ax =恰有两个不同的实数根，得()y f x =与y ax =有2个交点，利用数形结合得a 的不等式求解即可 【详解】由题可知方程()f x ax =恰有两个不同的实数根，所以()y f x =与y ax =有2个交点， 因为a 表示直线y ax =的斜率，当1x >时，1()f x x'=，设切点坐标为()00,x y ，01k x =， 所以切线方程为()0001y y x x x -=-，而切线过原点，所以01y =，0x e =，1k e=， 所以直线1l 的斜率为1e ，直线2l 与113y x =+平行，所以直线2l 的斜率为13，所以实数a 的取值范围是11,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为11,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查函数与方程的零点，考查数形结合思想，考查切线方程，准确转化题意是关键，是中档题，注意临界位置的开闭，是易错题三、解答题17．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分別为,,a b c ，若3cos 4A =，2B A =，3b =.（1）求a ；（2）已知点M 在边BC 上，且AM 平分BAC ∠，求ABM ∆的面积. 【答案】(1) 2a =(2) ABM S ∆=【解析】（1）先求sin 4A =，sin sin 28B A ==结合正弦定理求解a 即可；（2）先求1cos 8B =，再利用余弦定理得c，进而得1sin 216ABC S bc A ∆==，再利用||||365||||52ACM ABM S CM AC S BM AB ∆∆====求解ABM ∆的面积即可【详解】（1）由0A π<<，3cos 4A =，得sin A =所以3sin sin 22sin cos 24B A A A ====， 由正弦定理sin sin a b A B =，可得sin 2sin b Aa B==. （2）2231cos cos22cos 12148B A A ⎛⎫==-=⨯-= ⎪⎝⎭，在ABC ∆中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22100c c --=，解得52c =或2c =-（舍去）. 1sin 2ABC S bc A ∆==因为||||365||||52ACM ABM S CM AC S BM AB ∆∆====，所以55111116176ABM ABC S S ∆∆==⨯=. 【点睛】本题考查正余弦定理，二倍角公式，同角三角函数基本公式，三角形面积公式，熟记公式定理，准确计算是关键，是中档题 18．在四棱锥中，，．（1）若点为的中点，求证：平面；（2）当平面平面时，求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析； （2）.【解析】(I)结合平面与平面平行判定,得到平面BEM 平行平面PAD,结合平面与平面性质,证明结论.(II)建立空间坐标系,分别计算平面PCD 和平面PDB 的法向量,结合向量数量积公式,计算余弦值,即可. 【详解】 (Ⅰ)取的中点为，连结，.由已知得，为等边三角形，.∵，， ∴，∴，∴. 又∵平面，平面，∴∥平面.∵为的中点，为的中点，∴∥.又∵平面，平面，∴∥平面.∵，∴平面∥平面.∵平面，∴∥平面.(Ⅱ)连结，交于点，连结，由对称性知，为的中点，且，. ∵平面平面，，∴平面，，.以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.则(0，，0)，(3，0，0)，(0，0，1).易知平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则，，∴，∵，，∴.令，得，∴，∴.设二面角的大小为，则.【点睛】本道题考查了平面与平面平行判定和性质,考查了空间向量数量积公式,关键建立空间坐标系,难度偏难.19．某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额(单位：千元)，网购次数和支付方式等进行了问卷调査.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[]0,30内，按[]0,5，(]5,10，(]10,15，(]15,20，(]20,25，(]25,30分成6组，其频率分布直方图如图所示.（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；（2）将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的22⨯列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；（3）调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不. 影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为ξ，求ξ的数学期望.附：观测值公式：()()()()()()22a b c d ad bc K a b c d a c b d +++-=++++ 临界值表：【答案】(1) 中位数估计为17.5千元. (2)见解析；(3)73【解析】(1)利用频率分布直方图的中位数公式求解即可(2) 由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为0.3510035⨯=，得“网购迷”共有35人，列出列联表计算2K 即可得出结论；(3) 设甲，乙两人采用支付宝支付的次数分别为X ，Y ，据题意得12,2XB ⎛⎫⎪⎝⎭，22,3Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，计算()(Y)E X E ，，由X Y ξ=+，即可求解 【详解】（1）在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为(0.010.020.04)50.35++⨯=， 后2个小矩形的面积之和为(0.040.03)50.35+⨯=，所以中位数位于区间(]15,20内. 设直方图的面积平分线为15x +，则0.060.50.350.15x =-=，得2.5x =，所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为17.5千元.（2）由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为0.3510035⨯=， 所以“网购迷”共有35人，由列联表知，其中女性有20人，则男性有15人. 所以补全的列联表如下：因为22100(45201520)6006.593 5.0246040356591K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，查表得()2 5.0240.025P K ≥=，所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”.（3）由表知，甲，乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为12，23.设甲，乙两人采用支付宝支付的次数分别为X ，Y ，据题意，12,2XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,3YB ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以1()212E X =⨯=，24()233E Y =⨯=. 因为X Y ξ=+，则7()()()3E E X E Y ξ=+=，所以ξ的数学期望为73.【点睛】本题考查频率分布直方图，独立性检验，二项分布，熟记公式准确计算是关键，是中档题20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(，右焦点F 是抛物线28y x=的焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知动直线l 过右焦点F ，且与椭圆C 分别交于M ，N 两点.试问x 轴上是否存在定点Q ，使得13516QM QN ⋅=-恒成立?若存在求出点Q 的坐标:若不存在，说明理由.【答案】(1) 2211612x y += (2)见解析【解析】(1) 由椭圆C 过点，得221231a b+=，由抛物线的焦点为()2,0，得2c =，利用2212314a a +=-即可求解a 则方程可求；（2）假设在x 轴上存在定点(,0)Q m ，当直线l 的斜率不存在时，由2135(2)916QM QN m ⋅=--=-，解得54m =或114m =；当直线l 的斜率为0时，由21351616QM QN m ⋅=-=-，解得114m =-或114m =，可得114m =，得点Q 的坐标为11,04⎛⎫ ⎪⎝⎭.再证明当114m =时13516QM QN ⋅=-恒成立. 设直线l 的斜率存在且不为0时，其方程为(2)(0)y k x k =-≠，与椭圆联立消去y 得韦达定理,向量坐标化得11221111,,44QM QN x y x y ⎛⎫⎛⎫∙=-∙- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理代入韦达定理即可 【详解】（1）因为椭圆C 过点，所以221231a b +=， 又抛物线的焦点为()2,0，所以2c =. 所以2212314a a +=-，解得23a =（舍去）或216a =. 所以椭圆C 的方程为2211612x y +=.（2）假设在x 轴上存在定点(,0)Q m ，使得13516QM QN ⋅=-. ①当直线l 的斜率不存在时，则(2,3)M ，(2,3)N -，(2,3)QM m =-，(2,3)QN m =--，由2135(2)916QM QN m ⋅=--=-，解得54m =或114m =；②当直线l 的斜率为0时，则(4,0)M -，(4,0)N ，(4,0)QM m =--，(4,0)QN m =-，由21351616QM QN m ⋅=-=-，解得114m =-或114m =. 由①②可得114m =，即点Q 的坐标为11,04⎛⎫⎪⎝⎭. 下面证明当114m =时，13516QM QN ⋅=-恒成立. 当直线l 的斜率不存在或斜率为0时，由①②知结论成立.当直线l 的斜率存在且不为0时，设其方程为(2)(0)y k x k =-≠，()11,M x y ，()22,N x y .直线与椭圆联立得()()222234161630k x k x k +-+-=，直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点，且21221643k x x k +=+，()212216343k x x k -=+. ()()()222121212122224y y k x k x k x x k x x k =-∙-=-++，所以()1122121212111111121,,44416QM QN x y x y x x x x y y ⎛⎫⎛⎫∙=-∙-=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()222222221212221631112111161211241244164344316k k k x x k x x k k k k k k -⎛⎫⎛⎫=+-++++=+-+++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭13516-恒成立 综上所述，在x 轴上存在点11,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得13516QM QN ⋅=-恒成立.【点睛】本题考查椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，定值问题，向量运算，利用特殊位置得定点再证明一般情况成立是解决定点问题的基本方法，准确计算是关键，是中档题 21．已知函数1()ln af x a x x x-=-++. （1）当2a ≥时，求函数()f x 的单调区间；（2）设()23xg x e mx =+-，当21a e =+时，对任意1[1,)x ∈+∞，存在2[1,)x ∈+∞，使212()2()f x e g x +≥，证明：2m e e ≤-.【答案】(1)见解析；(2)见证明 【解析】（1）求导221(1)[(1)]()1a a x x a f x x x x '----=-++=，讨论1x =与1x a =-的大小关系得单调区间；(2)当21a e =+时，由（1）得()f x 在[)1,+∞上的最小值为22()3f e e =--，由题 212()2()f x e g x +≥转化为()()21min2g x f x e 轾?臌，得22xmx e e +≤，分离m 得22xe e m x -≤，构造函数22()x e e h x x -=求其最大值即可证明 【详解】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 又221(1)[(1)]()1a a x x a f x x x x '----=-++=， 由()0f x '=，得1x =或1x a =-.当2a >即11a ->时，由()0f x '<得11x a <<-，由()0f x '>得01x <<或1x a >-；当2a =即11a -=时，当0x >时都有()0f x '≥；∴当2a >时，单调减区间是()1,1a -，单调增区间是()0,1，()1,a -+∞；当2a =时，单调增区间是()0,+∞，没有单调减区间；（2）当21a e =+时，由（1）知()f x 在()21,e 单调递减，在()2,e +∞单调递增. 从而()f x 在[)1,+∞上的最小值为22()3f e e =--.对任意[)11,x ∈+∞，存在[)21,x ∈+∞，使()()2212g x f x e ≤+，即存在[)21,x ∈+∞，使的值不超过()22f x e +在区间[)1,+∞上的最小值23e -.由222e 32e e 3xmx --+≥+-得22xmx e e +≤，22xe e m x-∴≤. 令22()xe e h x x-=，则当[)1,x ∈+∞时，max ()m h x ≤. ()()()22223222()x x x x e x e e xxe e e h x x x ---+-'==-，当[1,2]x ∈时()0h x '<；当[2,)x ∈+∞时，()22e 20xxxx xe exee +->-≥，()0h x '<.故()h x 在[1,)+∞上单调递减，从而2max ()(1)h x h e e ==-,从而实数2m e e ≤-得证 【点睛】本题考查函数的单调区间，不等式有解及恒成立问题，分离参数求最值问题，转化化归能力，是中档题22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρθ=-.（1）求直线的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）设点(1,P ，直线l 与曲线C 相交于两点A 、B ，求11PA PB+的值.【答案】(1) 直线l 的普通方程为20x ++=；曲线C 的直角坐标方程是220x y++=. (2)2【解析】(1)利用参数方程与普通方程互化及极坐标与普通方程互化求解即可；（2）直线参数方程与曲线C 联立，利用t 的几何意义121211||||t t PA PB t t -+=结合韦达定理求解即可 【详解】（1）消去参数t 得直线l的普通方程为20x ++=；因为ρθ=-，所以2sin ρθ=-，由,x cos y sin ρθρθ== 所以曲线C的直角坐标方程是220x y ++=.（2）点(1,P 是直线l 上的点，设A ，B 两点所对应的参数分别为12,t t ， 将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得220t --= . 方程判别式∆>0，可得12t t +=，122t t ∙=-.于是121211||||||||||||2t t PA PB PA PB PA PB t t -++====∙.【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程与普通方程的互化，t 的几何意义，韦达定理的应用，熟记公式准确计算是关键，是基础题 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()13f x x x a =+++ （1）当1a =-时，解不等式()2f x ≥；（2）若存在0x 满足00()211f x x ++<，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) 1|02x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或 (2) 24a << 【解析】（1）零点分段解不等式即可（2）由()00211f x x ++<，得003131x x a +++<，由绝对值三角不等式求最值得a 的不等式求解即可【详解】（1）当1a =-时，()|1||31|f x x x =++-，当13x ≥时，不等式等价于1312x x ++-≥，解得12x ≥，12x ∴≥； 当113x -<<时，不等式等价于1312x x +-+≥，解得0x ≤，10x ∴-<≤；当1x ≤-时，不等式等价于1312x x ---+≥，解得12x ≤-，1x -∴≤.综上所述，原不等式的解集为1|02x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或. （2）由()00211f x x ++<，得003131x x a +++<，第 21 页 共 21 页 而()()000000313333333|3|x x a x x a x x a a +++=+++≥+-+=-， （当且仅当()()003330x x a ++≤时等号成立）由题可知min (()2|1|)1f x x ++<，即31a -<，解得实数a 的取值范围是24a <<.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式求最值，熟记公式准确计算是关键，是基础题。
湖南师大附中2019届高三摸底考试理科数学试卷
湖南师大附中 2019届高三摸底考试数 学(理科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足(2＋i )z ＝2－i (i 为虚数单位)，则z 等于 A ．3＋4i B ．3－4iC .35＋45iD .35－45i 2．已知P ＝{x|x 2－5x ＋4＜0}，Q ＝{}x|y ＝4－2x ，则P ∩Q 等于A ．(1，4)B ．[2，4)C ．(1，2]D ．(－∞，2]3．已知两组样本数据{x 1，x 2，…，x n }、{y 1，y 2，…，y m }的平均数分别为h 和k ，则把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为A .h ＋k 2B .nh ＋mk m ＋nC .mh ＋nk m ＋nD .h ＋k m ＋n4．已知{a n }为等比数列，a 1>0，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 4＋a 7＋a 10等于 A ．－7 B ．－5 C ．5 D ．75．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为PA ，PD 的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：①直线BE 与直线CF 异面； ②直线BE 与直线AF 异面； ③直线EF ∥平面PBC ； ④平面BCE ⊥平面PAD. 其中正确的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)以及双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线将第一象限三等分，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为A ．2或233B .6或233C ．2或 3D .3或 67．函数f(x)＝sin (2x ＋φ)(0≤φ≤π)图像向右平移π6个单位后关于y 轴对称，则φ的值是A ．0B .π6C .π3D .5π68．在正三角形ABC 内任取一点P ，则点P 到A ，B ，C 的距离都大于该三角形边长一半的概率为A ．1－3π6 B ．1－3π12 C ．1－3π9 D ．1－3π189．底面是边长为1的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为 A .22π3 B .3π3 C .23π3 D .2π310．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为A .4π5B .3π4C ．(6－25)πD .5π411．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧e x，x ≤0，x 2＋ax ＋1，x ＞0，F(x)＝f(x)－x －1，且函数F(x)有2个零点，则实数a 的取值范围为A ．(－∞，0]B ．(－∞，1)C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)12．已知[)x 表示大于x 的最小整数，例如[)3＝4，[)－1.3＝－1，下列命题中正确的是 ①函数f(x)＝[)x －x 的值域是(]0，1； ②若{a n }是等差数列，则{}[)a n 也是等差数列； ③若{a n }是等比数列，则{}[)a n 也是等比数列； ④若x ∈(1，2 018)，则方程[)x －x ＝12有2 017个根．A ．②④B ．③④C ．①③D ．①④选择题答题卡二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分． 13．从3名男同学和2名女同学中任选2名参加体能测试，则恰有1名男同学参加体能测试的概率为________．(结果用最简分数表示) 14．《九章算术》是我国古代内容较为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡壔(圆柱体)的体积V ＝112×(底面的圆周长的平方×高)，则该问题中圆周率π的取值为________．(注：一丈＝10尺)15.⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x)6展开式中x 2的系数为________．(结果用数字表示) 16．如图2，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O 且三组对边分别平行．点A ，B 是“六芒星”(如图1)的两个顶点，动点P 在“六芒星”上(内部以及边界)，若OP →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的最大值是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分11分)如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 边上的动点(含端点)，记∠BAD ＝α，∠ADC ＝β. (1)求2cos α－cos β的最大值；(2)若BD ＝1，cos β＝17，求△ABD 的面积．已知正项等比数列{}a n 的公比为q ，且a 3＋a 4＋a 5＝716，3a 5是a 3，a 4的等差中项．数列{}b n 满足b 1＝1，数列{}()b n ＋1－b n ·a n 的前n 项和为2n 2＋n.(1)求数列{}a n 的通项公式； (2)求数列{b n }的通项公式．已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．(1)设Μ为ΑΒ中点，若BP →＝13PC →.求证：ΜΡ∥平面CΝΒ1；(2)设二面角Β－CΒ1－Ν大小为θ，求sin θ的值．某卫生监督检查部门对5家餐饮店进行卫生检查，若检查不合格，则必须整改．若整改后经复查仍不合格，则强制关闭．设每家餐饮店检查是否合格是相互独立的，且每家餐饮店整改前合格的概率是0.5，整改后复查合格的概率是0.8.计算：(1)恰好有两家餐饮店必须整改的概率；(2)平均有多少家餐饮店必须整改；(3)至少关闭一家餐饮店的概率．(精确到0.01)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，其焦点为F 1，F 2，离心率为22，若点P ⎝⎛⎭⎫22，32满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m(k ，m ∈R )与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，△AOB 的重心G 满足：F 1G →·F 2G →＝－59，求实数m 的取值范围．设函数f(x)＝ln(x＋a)＋x2.(1)若f(x)为定义域上的单调函数，求实数a的取值范围；(2)若g(x)＝e x＋x2－f(x)，当a≤2时，证明：g(x)>0.湖南师大附中 2019届高三摸底考试 数学(理科)参考答案一、选择题1．D 【解析】由(2＋i)z ＝2－i ，得z ＝2－i 2＋i ＝（2－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝35－45i ，故选D.2．C 【解析】解x 2－5x ＋4＜0，即(x －1)(x －4)＜0，得1＜x ＜4，故P ＝(1，4)．Q 表示函数y ＝4－2x 的定义域，所以4－2x ≥0，所以x ∈(－∞，2]，即Q ＝(－∞，2]．故P ∩Q ＝(1，2]．故选C.3．B 【解析】因为样本数据{x 1，x 2，…，x n }的平均数为h ，{y 1，y 2，…，y m }的平均数为k ，所以第一组数据和为nh ，第二组数据和为mk ，因此把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为nh ＋mkm ＋n，故选B.4．B 【解析】由等比数列的性质可得a 5a 6＝a 4a 7＝－8，又a 4＋a 7＝2，解得a 4＝－2，a 7＝4或a 7＝－2，a 4＝4，因为a 7＝a 1q 6>0，所以a 4＝－2，a 7＝4，a 7＝a 4q 3＝－2q 3＝4，所以q 3＝－2，所以a 1＝a 4q3＝1，a 10＝a 7q 3＝－8，所以a 1＋a 4＋a 7＋a 10＝－5，故选B.5．B 【解析】将展开图还原为几何体(如图)，因为E ，F 分别为P A ，PD 的中点，所以EF ∥AD ∥BC ，即直线BE 与CF 共面，①错；因为B ∉平面P AD ，E ∈平面P AD ，E ∉AF ，所以BE 与AF 是异面直线，②正确；因为EF ∥AD ∥BC ，EF 平面PBC ，BC 平面PBC ，所以EF ∥平面PBC ，③正确；平面P AD 与平面BCE 不一定垂直，④错．故选B.6．A 【解析】由题意可知，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线的倾斜角为30°或60°，则k ＝b a ，∴k ＝3或33，则e ＝c a ，∴e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝2或233. 7．D 【解析】f (x )＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)图像向右平移π6个单位后得到的函数是g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，又g (0)＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋φ＝±1，得φ－π3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋5π6(k ∈Z )，故选D.8．A 【解析】满足条件的正三角形ABC 如图所示：设边长为2，其中正三角形ABC的面积S △ABC ＝34×4＝ 3.满足到正三角形ABC 的顶点A ，B ，C 的距离至少有一个小于1的平面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为1的半圆，则S 阴影＝12π，则使取到的点到三个顶点A ，B ，C 的距离大于1的概率P ＝1－3π6，故选A.9．D 【解析】设四棱锥为P －ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，P A ＝PB ＝PC ＝PD ＝1的外接球的半径为R ，过P 作PO 1⊥底面ABCD ，垂足O 1为正方形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，设球心为O ，连接AO ，由于AO ＝PO ＝R ，AO 1＝PO 1＝22，OO 1＝22－R ，在Rt △AOO 1中，⎝⎛⎭⎫22－R 2＋⎝⎛⎭⎫222＝R 2，解得R ＝22，V 球＝43πR 3＝43π⎝⎛⎭⎫223＝2π3. 10．A 【解析】设直线l ：2x ＋y －4＝0.因为|OC |＝12|AB |＝d 1，其中d 1为点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线．圆C 半径最小值为12d 2＝12×45＝25，其中d 2为点O 到直线l 的距离，圆C 面积的最小值为π⎝⎛⎭⎫252＝4π5.故选A. 11．B 【解析】因为F (x )＝f (x )－x －1，且函数F (x )有2个零点，即f (x )－x －1＝0有2个实数根，所以当x ≤0时，令e x －x －1＝0，解得x ＝0，此时只有一个实数根，当x ＞0时，令f (x )－x －1＝0，即x 2＋(a －1)x ＝0，即x [x －(1－a )]＝0，此时解得x ＝1－a ，要使得函数F (x )有2个零点，则1－a ＞0，所以a ＜1，故选B.12．D 【解析】当x ∈Z 时，[)x ＝x ＋1，f (x )＝[)x －x ＝x ＋1－x ＝1；当x Z 时，令x ＝n ＋a ，n ∈Z ，a ∈(0，1)，则[)x ＝n ＋1，f (x )＝[)x －x ＝1－a ∈(0，1)，因此f (x )＝[)x －x 的值域是(]0，1；0.9，1，1.1是等差数列，但[)0.9＝1，[)1＝2，[)1.1＝2不成等差数列；0.5，1，2是等比数列，但[)0.5＝1，[)1＝2，[)2＝3不成等比数列；由前分析可得当x ∈Z 时，f (x )＝1；当x Z ，x ＝n ＋a ，n ∈Z ，a ∈(0，1)时，f (x )＝1－a ＝1－(x －n )＝n ＋1－x ，所以f (x＋1)＝f (x )，即f (x )＝[)x －x 是周期为1的函数，由于x ∈(1，2)时f (x )＝2－x ＝12，x ＝32，即一个周期内有一个根，所以若x ∈(1，2 018)，则方程[)x －x ＝12有2 017个根．①④正确，故选D.二、填空题13.35 【解析】从3名男同学和2名女同学中任选2名参加体能测试，则恰有1名男同学参加体能测试的概率为C 13C 12C 25＝35. 14．3 【解析】圆柱体体积公式V ＝πr 2h ，而由题意有V ＝112×(2πr )2×h ，所以π＝3.15．30 【解析】因为⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6＝1·(1＋x )6＋1x2·(1＋x )6，则(1＋x )6展开式中含x 2的项为1·C 26x 2＝15x 2，1x 2·(1＋x )6展开式中含x 2的项为1x2·C 46x 4＝15x 2，故x 2的系数为15＋15＝30.16．5 【解析】令正三角形边长为3，则OB →＝(1，0)，OA →＝⎝⎛⎭⎫－32，32，设直线AB 与OC 的交点为点D ，若OD →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y ＝1.又由线性规划知识知当P 在C 点时，x＋y 有最大值，此时OP →＝5OD →，故x ＋y 的最大值是5.三、解答题17．【解析】(1)由△ABC 是等边三角形，得β＝α＋π3，0≤α≤π3，故2cos α－cos β＝2cos α－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3， 故当α＝π6，即D 为BC 中点时，原式取最大值 3.5分 (2)由cos β＝17，得sin β＝437， 故sin α＝sin ⎝⎛⎭⎫β－π3＝sin βcos π3－cos βsin π3＝3314，7分 由正弦定理AB sin ∠ADB ＝BD sin ∠BAD ， 故AB ＝sin βsin αBD ＝4373314×1＝83，9分 故S △ABD ＝12AB ·BD ·sin B ＝12×83×1×32＝233.11分 18．【解析】(1)依题意，a 3＋a 4＋a 5＝716，6a 5＝a 3＋a 4，则a 5＝116，a 3＋a 4＝38，得a 5q 2＋a 5q＝38， 即6q 2－q －1＝0，解得q ＝12或q ＝－13(舍)，所以q ＝12，a 1＝1， ∴数列{}a n 的通项公式为a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1.5分(2)设c n ＝(b n ＋1－b n )·a n ，数列{}c n 的前n 项和为S n ，则S n ＝2n 2＋n ，所以c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 （n ＝1）S n －S n －1（n ≥2）， 解得c n ＝4n －1.7分所以b n ＋1－b n ＝(4n －1)·2n －1，故b n －b n －1＝(4n －5)·2n －2，n ≥2，b n －b 1＝()b n －b n －1＋()b n －1－b n －2＋…＋()b 3－b 2＋()b 2－b 1＝(4n －5)·2n －2＋(4n －9)·2n －3＋…＋7·21＋3，9分设T n ＝3＋7·21＋…＋(4n －9)·2n －3＋(4n －5)·2n －2，2T n ＝3·2＋7·22＋…＋(4n －9)·2n －2＋(4n －5)·2n －1，所以，－T n ＝3＋4·21＋…＋4·2n －3＋4·2n －2－(4n －5)·2n －1，因此T n ＝(4n －9)·2n －1＋5，n ≥2，又b 1＝1，所以b n ＝(4n －9)·2n －1＋6.11分19．【解析】(1)证明：∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形， 俯视图为直角梯形，∴BA ，BC ，BB 1两两垂直．且BC ＝4，BA ＝4，BB 1＝8，AN ＝4， 以BA ，BB 1，BC 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图则N (4，4，0)，B 1(0，8，0)，C 1(0，8，4)，C (0，0，4)，∴M (2，0，0)．∵BP PC ＝13，∴P (0，0，1)，则MP →＝(－2，0，1)，设n 2＝(x ，y ，z )为平面NCB 1的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·CN →＝0n 2·NB 1→＝0⎩⎨⎧（x ，y ，z ）·（4，4，－4）＝0（x ，y ，z ）·（－4，4，0）＝0⎩⎨⎧x ＋y －z ＝0，－x ＋y ＝0， 取n 2＝(1，1，2)，∴MP →·n 2＝(－2，0，1)·(1，1，2)＝0，又PM 平面CNB 1，∴MP ∥平面CNB 16分(2)由(1)可知平面ΒCΒ1的一个法向量为BA →＝(4，0，0)，平面CΒ1Ν的法向量为n 2＝(1，1，2)，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA →·n 2|BA →||n 2|＝（4，0，0）·（1，1，2）4×6＝66，∴sin θ＝306.12分 【注】本题只给出向量法，其他方法请参照标准酌情给分．20．【解析】(1)每家餐饮店必须整改的概率是1－0.5＝0.5，且每家餐饮店是否整改是相互独立的．所以恰好有两家餐饮店必须整改的概率是P 1＝C 25×(1－0.5)2×0.53＝516.4分 (2)由题知，必须整改的餐饮店数ξ服从二项分布B (5，0.5)．从而ξ的数学期望是 E ξ＝5×0.5＝2.5，即平均有2.5家餐饮店必须整改.8分(3)某餐饮店被关闭，即该餐饮店第一次检查不合格，整改后经复查仍不合格，所以该餐饮店被关闭的概率是P 2＝(1－0.5)×(1－0.8)＝0.1，从而该餐饮店不被关闭的概率是0.9.由题意，每家餐饮店是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家餐饮店的概率是P 3＝1－0.95≈0.41.12分21．【解析】(1)由e ＝22，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋2y 2a 2＝1， 点P ⎝⎛⎫22，32满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，等价于点P 在椭圆上，∴12a 2＋32a 2＝1，∴a 2＝2， 所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.5分 (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立得方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋2y 2－2＝0，消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ>01＋2k 2>m 2x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2①.7分设△AOB 的重心为G (x ，y )，由F 1G →·F 2G →＝－59，可得x 2＋y 2＝49.② 由重心公式可得G ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 23，y 1＋y 23，代入②式，整理可得(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2＝4(x 1＋x 2)2＋[k (x 1＋x 2)＋2m ]2＝4，③ 将①式代入③式并整理，得m 2＝（1＋2k 2）21＋4k 2，10分 则m 2＝（1＋2k 2）21＋4k 2＝1＋4k 41＋4k 2＝1＋44k 2＋1k 4.又由Δ>0可知k ≠0，令t ＝1k 2>0，∴t 2＋4t >0， ∴m 2>1，∴m ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞).12分22．【解析】(1)解法1：f (x )的定义域为(－a ，＋∞)，f ′(x )＝2x 2＋2ax ＋1x ＋a方程2x 2＋2ax ＋1＝0的判别式Δ＝4a 2－8.(ⅰ)若Δ<0，即－2<a <2，在f (x )的定义域内f ′(x )>0，故f (x )单调递增．(ⅱ)若Δ＝0，则a ＝2或a ＝－ 2.若a ＝2，x ∈(－2，＋∞)，f ′(x )＝（2x ＋1）2x ＋2. 当x ＝－22时，f ′(x )＝0，当x ∈⎝⎛⎭⎫－2，－22∪⎝⎛⎭⎫－22，＋∞时，f ′(x )>0，所以f (x )单调递增．若a ＝－2，x ∈(2，＋∞)，f ′(x )＝（2x －1）2x －2>0，f (x )单调递增． (ⅲ)若Δ>0，即a >2或a <－2，则2x 2＋2ax ＋1＝0有两个不同的实根x 1＝－a －a 2－22，x 2＝－a ＋a 2－22. 当a <－2时，x 1<－a ，x 2<－a ，从而f ′(x )在f (x )的定义域内没有零点，故f (x )单调递增． 当a >2时，x 1>－a ，x 2>－a ，f ′(x )在f (x )的定义域内有两个不同的零点，即f (x )在定义域上不单调．综上：实数a 的取值范围为a ≤ 2.6分解法2：很显然f ′(x )不可能有连续零点，若f (x )为定义域上的单调函数，则f ′(x )≤0或f ′(x )≥0恒成立，又f ′(x )＝1x ＋a＋2x ，因为x ＋a >0， 所以f ′(x )<0不可能恒成立，所以f (x )为定义域上的单调函数时，只可能f ′(x )≥0恒成立，即1x ＋a ＋2x ≥0恒成立，即1x ＋a ＋2(x ＋a )－2a ≥0，即2a ≤1x ＋a ＋2(x ＋a )，而1x ＋a ＋2(x ＋a )≥22，所以2a ≤22，a ≤2，即实数a 的取值范围为a ≤ 2.解法3：由解法2可知x ∈(－a ，＋∞)，1x ＋a ＋2x ≥0恒成立，得2x 2＋2ax ＋1x ＋a≥0恒成立，即2x 2＋2ax ＋1≥0恒成立，(ⅰ)当a ≤0时，－a －⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a 2≥0， 所以2x 2＋2ax ＋1>2a 2－2a 2＋1＝1，所以当a ≤0时2x 2＋2ax ＋1≥0恒成立；(ⅱ)当a >0时，－a －⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a 2<0，所以(2x 2＋2ax ＋1)min ＝－a 22＋1， 所以－a 22＋1≥0时2x 2＋2ax ＋1≥0恒成立，解得0<a ≤2，综上：实数a 的取值范围为a ≤ 2.(2)因为g (x )＝e x ＋x 2－f (x )＝e x －ln(x ＋a )，当a ≤2，x ∈(－a ，＋∞)时，ln(x ＋a )≤ln(x ＋2)，故只需证明当a ＝2时，g (x )>0.当a ＝2时，函数g ′(x )＝e x －1x ＋2在(－2，＋∞)上单调递增， 又g ′(－1)<0，g ′(0)>0，故g ′(x )＝0在(－2，＋∞)上有唯一实根x 0，且x 0∈(－1，0)， 当x ∈(－2，x 0)时，g ′(x )<0，当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )>0，从而当x ＝x 0时，g (x )取得最小值g (x 0)．由g ′(x 0)＝0得e x 0＝1x 0＋2，ln(x 0＋2)＝－x 0， 故g (x 0)＝e x 0－ln(x 0＋2)＝1x 0＋2＋x 0＝x 20＋2x 0＋1x 0＋2＝（x 0＋1）2x 0＋2>0，所以g (x )≥g (x 0)>0. 综上，当a ≤2时，g (x )>0.12分。
湖南师范大学附属中学2019届高三第五次模拟考试数学(理)试题
湖南师大附中2019届高三第五次模拟考试数学(理科)本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z满足 (i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由题意，根据复数的运算，化简求得，则z对应的点为(2，-1)，即可得到答案.【详解】由题意，复数，则z对应的点为(2，-1)．故选D. 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简、运算复数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.设m为给定的一个实常数，命题p：，则“”是“命题p为真命题”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分且必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由图命题为真，求得，又由成立时，是成立的，即可得到“”是“命题为真命题”的充分不必要条件，得到答案.【详解】若命题为真，则对任意恒成立，所以，即.因为成立时，是成立的，所以“”是“命题为真命题”的充分不必要条件．选A.【点睛】本题主要考查了全称命题的应用，以及充分不必要条件的应用，其中解答中熟记二次函数的性质，求得恒成立时的取值范围，进而利用充要条件的判定方法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.3.若等差数列的前5项之和，且，则（）A. 12B. 13C. 14D. 15【答案】B【解析】试题分析：由题意得，，又，则，又，所以等差数列的公差为，所以．考点：等差数列的通项公式．【此处有视频，请去附件查看】4.已知某7个数的平均数为3，方差为，现又加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为x，方差为，则（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【分析】由题设条件，利用平均数和方差的计算公式，进行求解，即可得到答案.【详解】由题意，根据这7个数的平均数为3，方差为，即，，即，现又加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为，方差为，即，故选B.【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记熟记的平均数和方差的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.若正整数N除以正整数m后的余数为r，则记为N＝r(mod m)，例如13＝3(mod 5)．下列程序框图的算法源于我国古代算术《中国剩余定理》，则执行该程序框图输出的i等于（）A. 4B. 8C. 16D. 32【答案】C【解析】由题意，根据给定的程序框图，逐次循环，计算其运算的结果，即可得到答案.【详解】由题意，根据给定的程序框图，可知第一次执行循环体，得i＝2，N＝18，此时，不满足第一条件；第二次执行循环体，得i＝4，N＝22，此时，但22＜25，不满足第二条件；第三次执行循环体，得i＝8，N＝30，此时，不满足第一条件；第四次执行循环体，得i＝16，N＝46，此时，且46＞25，退出循环．所以输出i的值为16.选C.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中根据给定的程序框图，根据判断条件，逐次循环，准确求解每次循环的运算结果求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，则下列结论正确的是（）A. PB⊥ADB. 平面PAB⊥平面PBCC. 直线BC∥平面PAED. 直线CD⊥平面PAC【答案】D【解析】【分析】由题意，分别根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可得到答案.【详解】因为AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直，所以A答案不正确．过点A作PB的垂线，垂足为H，若平面PAB⊥平面PBC，则AH⊥平面PBC，所以AH⊥BC.又PA⊥BC，所以BC⊥平面PAB，则BC⊥AB，这与底面是正六边形不符，所以B答案不正确．若直线BC∥平面PAE，则BC∥AE，但BC与AE相交，所以C答案不正确．故选D.【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．7.在的展开式中，的系数为（）A. －320B. －160C. 160D. 320【答案】B【解析】【分析】由题意，可知二项式的展开式中第r＋1项为，令和，即可求解得系数.【详解】由题意，可知二项式的展开式中第r＋1项为，令，得r＝4；令，得r＝3.∴在展开式中的系数为.故选B.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，合理求解的值，准确运算是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.若函数 (，)的图象的一条对称轴方程是，函数的图象的一个对称中心是，则的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意得到，得，得出，即可求解函数的最小正周期，得到答案.【详解】由题设，有，即，得，又，所以，从而，所以，，即，，又由，所以，于是，故的最小正周期是.选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中合理利用三角恒等变换的公式和三角函数的图象与性质，求解的值是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.已知点(x，y)是不等式组表示的平面区域内的一个动点，且目标函数的最大值为7，最小值为1，则（）A. 1B. －1C. 2D. －2【答案】B【解析】【分析】由目标函数的最大值为7，最小值为1，代入目标函数，联立方程组，求解A、B点的坐标，再代入，即可求解.【详解】由目标函数的最大值为7，最小值为1，联立方程和，解得A(3，1)，B(1，－1)，由题意知A，B两点在直线上，所以解得a＝－1，b＝1.故选B.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划的应用问题，其中解答中正确理解题意，根据目标函数的最值，代入联立方程组求得A、B点坐标是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.10.在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝3，BC＝1，D是边AC上的一点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，根据向量的数量积，求解，即可求解的取值范围.【详解】因为D是边AC上的一点(包括端点)，∴设∵∠ABC＝120°，AB＝3，BC＝1，∴，∴∵，∴.∴的取值范围是.故选D.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用，以及平面向量的基本定理的应用，其中合理利用平面向量的数量积的运算公式，化简得到是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11.已知椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝α，且，则该椭圆的离心率e的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意设椭圆的左焦点为N，连接AN，BN，因为AF⊥BF，所以四边形AFBN为长方形，再根据椭圆的定义化简得，得到，，即可求解椭圆离心率的取值范围.【详解】由题意椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为N，连接AN，BN，因为AF⊥BF，所以四边形AFBN为长方形．根据椭圆的定义：，由题∠ABF＝α，则∠ANF＝α，所以，利用，∵，∴，，即椭圆离心率e的取值范围是，故选A.【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的取值范围问题，其中解答中合理利用椭圆的定义和题设条件，得到，再利用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.12.设平行于x轴的直线l分别与函数和的图象相交于点A，B，若在函数的图象上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则这样的直线l（）A. 至少一条B. 至多一条C. 有且只有一条D. 无数条【答案】C【解析】【分析】设直线l的方程为，求得点、，得到|AB|＝1，再由CD⊥AB，得点，根据点C在函数的图象上，得到关于的方程，即可求解.【详解】设直线l的方程为，由，得，所以点．由，得，所以点，从而|AB|＝1.如图，取AB的中点D，连接CD，因为△ABC为等边三角形，则CD⊥AB，且|AD|＝，|CD|＝，所以点.因为点C在函数的图象上，则，解得，所以直线l有且只有一条，选C.【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数的图象与性质，以及根据三角形的性质，合理列出关于实数的方程是解答问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为_________．【答案】【解析】【分析】根据几何体的三视图，可得原几何体表示两端为个圆柱，中间为一个长方体，分别利用圆柱和长方体的体积公式，即可求解.【详解】根据几何体的三视图，可得原几何体表示两端为个圆柱，中间为一个长方体，由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积，圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱体的体积，则该几何体的体积.【点睛】本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解.14.已知函数的值域为R，则实数a的最大值是______．【答案】2【解析】【分析】由题意，当时，，由的值域为，则当时，，根据对数函数的单调性，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，当时，.因为的值域为R，则当时，，因为在上单调递增，则，即，所以，所以的最大值为2.【点睛】本题主要考查了函数的值域的应用，其中解答中熟记函数的值域的定义，以及对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15.已知点，，若圆C：上存在一点P，使得PA⊥PB，则正实数m的取值范围是____．【答案】【解析】【分析】根据圆C的方程，设点，由P点到线段AB中点的距离为，可化简得，其中，根据三角函数的性质，即可求解.【详解】圆C的方程化为：，∴设，如图，线段AB的中点坐标为，，∴P点到线段AB中点的距离为，∴，∴，∴，其中，∴，又，∴.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及直角三角形的性质和两点间的距离公式的应用，其中解答中根据直角三角形的性质，转化为P 点到线段AB中点的距离为，再利用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用.16.已知数列满足：，，，，且数列是单调递增数列，则实数λ的取值范围是____．【答案】【解析】【分析】由题意，数列满足，取倒数可得，即，利用等比数列的通项公式可得，代入得，再利用数列的单调性，即可求解.【详解】由题意，数列满足，取倒数可得，即，所以数列表示首项为2，公比为2的等比数列，所以，所以，因为数列是单调递增数列，所以当时，，即；当时，，因此.【点睛】本题主要考查了等比数列的定义的通项公式，以及数列的递推关系式，数列的单调性等知识点的综合应用，其中解答中根据等比数列的定义和递推关系式，合理利用数列的单调性，列出相应的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17.在锐角△ABC中，.(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)求的取值范围．【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)【解析】【分析】(Ⅰ)由题意，化简得，进而求得，即可得到A角的大小；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，在锐角△ABC中，求得，又由三角恒等变换的公式，化简得，利用三角函数的额性质，即可求解.【详解】(Ⅰ)由已知，，即.在△ABC中，因为，则，所以，从而.所以，即.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，在锐角△ABC中，，则，，由,知，所以，即的取值范围是.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，合理应用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算的能力，属于基础题.18.如图，三棱锥P－ABC的顶点P在圆柱轴线上，底面△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，且∠ABC＝60°，O1O＝AB＝4，上一点D在平面ABC上的射影E恰为劣弧AC的中点．(Ⅰ)设，求证：DO⊥平面PAC；(Ⅱ)设，求二面角D－AC－P的余弦值．【答案】(Ⅰ) 见解析(Ⅱ)【解析】【分析】解法一：(Ⅰ)连结DE，OE，设OE与AC的交点为G，连结PG，DG，DO，证得DE⊥平面ABC，得出AC⊥平面DEOO1，进而得DO⊥AC，又在矩形中，证得DO⊥PG，利用线面垂直的判定定理，即可得到DO⊥平面PAC.(Ⅱ)由AC⊥平面DEOO1，得∠DGP即为二面角D－AC－P的平面角，在△DGP中由余弦定理，即可求解二面角的余弦值.解法二：(Ⅰ)在平面ABC中，过点O作AB的垂线，交弧EC于H，建立空间直角坐标系，证得，，得到AC⊥OD，AP⊥OD，即可得到DO⊥平面PAC.(Ⅱ)分别求得平面PAC和平面DAC的法向量为，利用向量的夹角公式，即可求解二面角的余弦值.【详解】解法一：(Ⅰ)连结DE，OE，设OE与AC的交点为G，连结PG，DG，DO，因为△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，所以△ABC为直角三角形，又∠ABC＝60°，AB＝4，故BC＝2，，因为E是弧AC中点，所以OE⊥AC，.又因为DE⊥平面ABC，故DE⊥AC，所以AC⊥平面DEOO1，故DO⊥AC.又，所以在矩形中，，，故，又，所以，所以DO⊥PG，所以DO⊥平面PAC.(Ⅱ)在轴截面内有PO＝OG＝1，所以，，，由AC⊥平面DEOO1，得∠DGP即为二面角D－AC－P的平面角，在△DGP中由余弦定理可求得.解法二：(Ⅰ)在平面ABC中，过点O作AB的垂线，交弧EC于H，如图建立空间直角坐标系，因为△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，所以△ABC为直角三角形，又∠ABC＝60°，AB＝4，故BC＝2，AC＝2，又，所以，，，，所以，，，所以，，故AC⊥OD，AP⊥OD，从而DO⊥平面PAC.(Ⅱ)由OP＝1知P(0，0，1)，设平面PAC的法向量为，则有即取，设平面DAC的法向量，则有即取，则，所以二面角D－AC－P的余弦值为.【点睛】点睛：本题考查了立体几何中的线面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19.某有机水果种植基地试验种植的某水果在售卖前要成箱包装，每箱80个，每一箱水果在交付顾客之前要按约定标准对水果作检测，如检测出不合格品，则更换为合格品．检测时，先从这一箱水果中任取10个作检测，再根据检测结果决定是否对余下的所有水果作检测．设每个水果为不合格品的概率都为，且各个水果是否为不合格品相互独立．(Ⅰ)记10个水果中恰有2个不合格品的概率为，求取最大值时p的值；(Ⅱ)现对一箱水果检验了10个，结果恰有2个不合格，以(Ⅰ)中确定的作为p的值．已知每个水果的检测费用为1.5元，若有不合格水果进入顾客手中，则种植基地要对每个不合格水果支付a元的赔偿费用．(ⅰ)若不对该箱余下的水果作检验，这一箱水果的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；(ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为多少元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验？【答案】(Ⅰ)0.2 (Ⅱ) (ⅰ) (ⅱ)8【解析】【分析】(Ⅰ)记10个水果中恰有2个不合格品的概率为，求得，利用导数即可求解函数的单调性，进而求得函数的最值.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，(ⅰ)中，依题意知，，进而利用公式，即可求解；(ⅱ)如果对余下的水果作检验，得这一箱水果所需要的检验费为120元，列出相应的不等式，判定即可得到结论.【详解】(Ⅰ)记10个水果中恰有2个不合格品的概率为f(p)，则，∴，由，得.且当时，；当时，.∴的最大值点.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，(ⅰ)令Y表示余下的70个水果中的不合格数，依题意知，∴.(ⅱ)如果对余下的水果作检验，则这一箱水果所需要的检验费为120元，由，得，且，∴当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为8元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检测．【点睛】本题主要考查了独立重复试验的概率的应用，以及二项分布的应用，其中解答中认真审题，分析试验过程，根据对立重复试验求得事件的概率，以及正确利用分布列的性质求解上解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.20.如图所示，在△ABC中，AB＝2，AB的中点为O，点D在AB的延长线上，且.固定边AB，在平面内移动顶点C，使得圆M与边BC，边AC的延长线相切，并始终与AB的延长线相切于点D，记顶点C的轨迹为曲线Γ.以AB所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系．(Ⅰ)求曲线Γ的方程；(Ⅱ)过点的直线l与曲线Γ交于不同的两点S，R，直线SB，RB分别交曲线Γ于点E，F.设，，求的取值范围．【答案】(Ⅰ) (y≠0）(Ⅱ)【解析】【分析】(Ⅰ)依题意得出，利用椭圆的定义，即可判定C点的轨迹，得到椭圆的方程；(Ⅱ)设，，，得到，，由，求得当直线SB与x轴不垂直时，设直线SB的方程为，代入椭圆Γ方程，利用根与系数的关系，化简得，，设直线l的方程为，代入椭圆方程并整理得，利用根与系数的关系，化简得，即可求解.【详解】(Ⅰ)依题意得AB＝2，，设动圆M与边AC的延长线相切于，与边BC相切于，则，，.所以，所以点C的轨迹Γ是以A，B为焦点，长轴长为2的椭圆，且挖去长轴的两个顶点．则曲线Γ的方程为.(Ⅱ)设，，，由题意得，则，．由，得，即当直线SB与x轴不垂直时，直线SB的方程为，即，代入椭圆Γ方程并整理得，则有，即，于是.当SB与x轴垂直时，点S的横坐标为1，λ＝1，显然成立．同理可得.设直线l的方程为，代入椭圆方程并整理，得，依题意有解得又，则.由，得，即．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常确定椭圆方程是基础，通过联立直线方程与椭圆方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21.已知函数有两个不同的极值点．(Ⅰ)求实数a的取值范围；(Ⅱ)设，讨论函数的零点个数．【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 当时，有2个零点；当时，有1个零点；当时，没有零点．【解析】【分析】(Ⅰ)由题意，求得，令，得，设，转化为直线y＝a与函数的图象有两个不同的交点，利用导数求得函数的单调性与最值，进而求解的取值范围；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，，且，求得函数的单调性和极值，分类讨论，即可确定函数的极值点的个数.【详解】(Ⅰ)由题意，求得，因为有两个不同的极值点，则有两个不同的零点．令，则，即.设，则直线y＝a与函数的图象有两个不同的交点．因为，由，得ln x＜0，即，所以在上单调递增，在上单调递减，从而.因为当时，；当时，；当时，，所以a的取值范围是．(Ⅱ)因为，为的两个极值点，则，为直线与曲线的两个交点的横坐标．由(Ⅰ)可知，，且，因为当或时，，即；当时，，即，则在，上单调递减，在上单调递增，所以的极小值点为，极大值点为.当时，因为，，，则，所以在区间内无零点．因为，，则①当，即时，.又，则，所以.此时在和内各有1个零点，且.②当，即时，，此时在内有1个零点，且.③当，即时，，此时在内无零点，且.综上分析，当时，有2个零点；当时，有1个零点；当时，没有零点．【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及函数的极值点个数的确定问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.(二)选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22. 选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l：（t为参数）与曲线C：（θ为参数）相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）若α＝，求线段AB中点M的坐标；（Ⅱ）若｜PA｜·｜PB｜＝｜OP｜，其中P（2，），求直线l的斜率．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）将曲线的参数方程化为普通方程，当时，设点对应参数为．直线方程为代入曲线的普通方程，得，由韦达定理和中点坐标公式求得，代入直线的参数方程可得点的坐标；（2）把直线的参数方程代入椭圆的普通方程可得关于参数的一元二次方程，由已知条件和韦达定理可得，求得的值即得斜率.试题解析：设直线上的点，对应参数分别为，．将曲线的参数方程化为普通方程．（1）当时，设点对应参数为．直线方程为（为参数）．代入曲线的普通方程，得，则，所以，点的坐标为．（2）将代入，得，因为，，所以．得．由于，故．所以直线的斜率为．考点：直线的参数方程与椭圆参数方程及其在研究直线与椭圆位置关系中的应用.23.已知函数，.(Ⅰ)当a＝1时，求不等式的解集；(Ⅱ)若对任意实数，，不等式恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】【分析】(Ⅰ)当时，不等式化为，分类讨论，即可求解不等式的解集；(Ⅱ)根据绝对值的三角不等式，求得，，根据，列出相应的不等式组，即可求解.【详解】(Ⅰ)当时，不等式化为.则或或，即或或，即，所以不等式的解集是．(Ⅱ)因为，当，即时取等号，所以.因为，当时取等号，所以.据题意，，则，即，所以解得，所以a的取值范围是．【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式的三角不等式的应用，其中解答中合理分类讨论，以及正确运用绝对值的三角不等式求得函数的最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.。
湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考(四)数学(理)试题(解析版)
湖南师大附中2019届高三月考试卷(四)数学(理科)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意，先求得集合，进而得到集合，再根据集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，可知，则，所以，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的运算，其中解答中正确求解集合，再根据集合的交集运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知复数，给出下列四个结论：①；②；③的共轭复数；④的虚部为.其中正确结论的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】由题意，根据复数，利用模的公式和复数的运算、及共轭复数的概念等，即可逐一判定，得到答案. 【详解】由已知，则，，，的虚部为1.所以仅结论②正确，故选B.【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，复数的模、共轭复数的概念及复数的运算法则，其中熟记复数的相关概念和复数的运算法则是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 3.若向量与满足，且，，则向量在方向上的投影为（）A. B. C. -1 D.【答案】B【解析】【分析】利用向量垂直的充要条件求得，再由向量在方向上的投影的计算公式，即可求解，得到答案. 【详解】利用向量垂直的充要条件有：，∴，则向量在方向上的投影为,故选B.【点睛】本题主要考查了向量垂直的应用，以及向量的投影的计算问题，其中熟记向量垂直的充要条件和向量的投影的计算公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.4.五进制是以5为底的进位制，主因乃人类的一只手有五只手指. 中国古代的五行学说也是采用的五进制，0代表土，1代表水，2代表火，3代表木，4代表金，依此类推，5又属土，6属水，……，减去5即得.如图，这是一个把进制数（共有位）化为十进制数的程序框图，执行该程序框图，若输入的，，分别为5，1203，4，则输出的（）A. 178B. 386C. 890D. 14303【答案】A【解析】【分析】根据题设的程序框图，得到该程序的计算功能，即可求解，得到答案.【详解】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出.故选A.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，其中解答中根据给定的程序框图，得到该程序框图的计算功能是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5.若，则（）A. 0B. 1C. 32D. -1【答案】A【解析】由二项展开式的通项公式，可知都小于．则．在原二项展开式中令，可得．故本题答案选．6.若实数，满足且的最小值为3，则实数的值为（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，判定目标函数过点时取得最小值，即可求解，得到答案.【详解】画出可行域如图阴影部分所示，当目标函数过点时取得最小值，由得，则，解得.故选C.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义是解答的关键．7.气象意义上的春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度不低于.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据是中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据是中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8则肯定进入夏季的地区有（）A. ①②③B. ①③C. ②③D. ①【答案】B【解析】试题分析：由统计知识①甲地：个数据的中位数为，众数为可知①符合题意；而②乙地：个数据的中位数为，总体均值为中有可能某一天的气温低于，故不符合题意，③丙地：个数据中有一个数据是，总体均值为，总体方差为．若由有某一天的气温低于则总体方差就大于，故满足题意，选C考点：统计初步8.平面过正方体的顶点，平面平面，平面平面，则直线与直线所成的角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，平面过正方体的顶点，平面平面，平面平面，得到，在根据正方形的性质，即可求解.【详解】如图所示，平面过正方体的顶点，平面平面，平面平面，平面平面，∴，又∵，则直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，即直线与直线所成的角为为.故选D.【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解问题，其中解答中，着重考查了.9.对于数列，定义为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，则（）A. 2022B. 1011C. 2020D. 1010【答案】B【解析】【分析】由题意，根据，得到，进而求得，作差即可求解.【详解】由，得，①，②①-②得，即，，所以.故选B.【点睛】本题主要考查了数列的新定义的应用，以及数列知识的综合应用，其中解答中根据新定义，化简得，进而得，新作差化简、运算是解答的关键，同时此类问题需要认真审题，合理利用新定义是解答此类问题的基础，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.10.在锐角中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】。
湖南师大附中2019届高三摸底考试(高二上学期期末考试)理数试卷含答案
炎德 ·英才大 考 湖南 大附中2018 年春天高二期末考2019 届高三摸底考 数学(理科)命 ： 仁亮朱修周刘 才：高二数学量： 120 分分： 150 分得分： ______________一、 ：本大 共第Ⅰ卷12 小 ，每小 5 分，共 60 分，在每个小 出的四个 中，只有一 是切合 目要求的．1．已知复数 z 足 (2 ＋ i )z ＝ 2－ i ( i 虚数 位 ) ， z 等于A ．3＋ 4iB ． 3－ 4i. 3 ＋ 4. 3 － 4 C 5 5i D5 5i2．已知 P ＝{x|x2－ 5x ＋4＜ 0} ， Q ＝ { x|y ＝4－ 2x} ， P ∩Q 等于A ．(1 ， 4)B ．[2 ，4)．(1 ， 2]．( －∞， 2]CD3．已知两 本数据 {x 1，x 2，⋯， x n } 、{y1，y 2，⋯， y m } 的均匀数分h 和 k ， 把两数据归并成一 此后， 本的均匀数h ＋ k nh ＋ mk A . 2B . m ＋ nmh ＋ nkh ＋ kC .m ＋ nD .m ＋ n4．已知 {a} 等比数列， a >0， a ＋a ＝ 2， a a ＝－ 8， a ＋ a ＋ a ＋ a 等于n 1 4 7 5 614710A ．－ 7B ．－ 5C ．5D ． 75．如 是一几何体的平面睁开 ，此中四 形点，在此几何体中， 出下边4 个 ：①直 BE 与直 CF 异面； ②直 BE 与直 AF 异面； ③直 EF ∥平面 PBC ； ④平面 BCE ⊥平面 PAD.此中正确的有ABCD 正方形， E ，F 分PA ，PD 的中A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个x2y2y2x2 6．已知双曲a2 －＝ 1(a>0 ，b>0) 以及双曲b2－a2b2＝ 1(a>0 ， b>0) 的 近 将第一象限三平分，则双曲线x2－y2＝ 1(a>0 ，b>0) 的离心率为a2 b22 32 3 A ．2或 3B .6或3．2或 3.3或 6CD7．函数 f(x) ＝ sin (2x ＋φ )( 0≤φ≤ π) 图像向右平移π y 轴对称，则 φ个单位后对于6的值是π π 5πA ．0B . 6C . 3D . 68．在正三角形 ABC 内任取一点P ，则点 P 到 A ， B ，C 的距离都大于该三角形边长一半的概率为3π3π 3π3πA ．1－ 6B ． 1－ 12C ．1－ 9D ． 1－ 189．底面是边长为 1 的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为2 2π3π23π2πA .B .3 C .3 D .3 3 10．在平面直角坐标系中， A ，B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2x ＋y － 4＝ 0 相切，则圆 C 面积的最小值为4π 3π5π A . 5B . 4C ． (6 － 2 5) πD . 4ex ， x ≤ 0，F(x) ＝ f(x) － x － 1，且函数 F(x) 有 2 个零点，11．已知函数 f(x) ＝x2＋ ax ＋ 1， x ＞ 0，则实数 a 的取值范围为．( －∞， 0]．( －∞， 1)ABC ．[1 ，＋∞ )D ． (0 ，＋∞ )12．已知 [ x ) 表示大于 x 的最小整数，比如[ 3) ＝ 4，[ － 1.3 ) ＝－ 1，以下命题中正确的是①函数 f(x) ＝ [ x ) － x 的值域是 ( 0， 1] ；②若 {a n } 是等差数列，则 { [ an ) } 也是等差数列；③若 {a n } 是等比数列，则 { [ an ) } 也是等比数列； ④若 x ∈ (1 ，2 018) ，则方程 [ x ) －x ＝1有 2 017 个根．2A ．②④B ．③④C ．①③D ．①④选择题答题卡题 号 123456789101112得 分答 案第Ⅱ卷二、填空题：本大题共 5 小题，每题 4 分，共20 分．13．从 3 名男同学和2 名女同学中任选2 名参加体能测试，则恰有 1 名男同学参加体能测试的概率为 ________． ( 结果用最简分数表示 )14．《九章算术》 是我国古代内容较为丰富的数学名著，书中有以下问题： “今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘， 以高乘之， 十二而一． ”1 就是说： 圆堡壔 ( 圆柱体 ) 的体积 V ＝12× ( 底面的圆周长的平方×高 ) ，则该问题中圆周率 π的取值为 ________． ( 注：一丈＝ 10 尺)15. 1＋ 1(1 ＋ x) 6 睁开式中 x 2 的系数为 ________． ( 结果用数字表示 )x216．如图 2，“六芒星”由两个全等的正三角形构成，中心重合于点O 且三组对边分别平行．点 A ，B 是“六芒星” ( 如图 1) 的两个极点， 动点 P 在“六芒星”上( 内部以及界限 →) ，若OP→ →＝ xOA ＋yOB ，则 x ＋y 的最大值是 ________．三、解答题：本大题共6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17． ( 本小题满分 11 分 )如图，△ ABC 是等边三角形， D 是 BC 边上的动点 ( 含端点 ) ，记∠ BAD ＝α，∠ ADC ＝β. (1) 求 2cos α－ cos β的最大值；1(2) 若 BD ＝ 1， cos β＝ 7，求△ ABD 的面积．18.( 本小题满分11 分)已知正项等比数列{an} 的公比为3457534的等差中项．数列 {bn} q，且 a＋a ＋ a ＝16，3a是 a ，a知足 b1＝ 1，数列{( bn＋ 1－ bn)·an}的前 n 项和为 2n2＋ n.(1)求数列 { an} 的通项公式；(2)求数列 {b n } 的通项公式．19.( 本小题满分12 分)已知某几何体的直观图和三视图以以下图所示，此中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．(1)→ 1→；设Μ为ΑΒ中点，若 BP＝ PC. 求证：ΜΡ∥平面 CΝΒ13(2)设二面角Β－ CΒ1－Ν大小为θ，求sinθ的值．20.(本小题满分12 分)某卫生监察检查部门对 5 家餐饮店进行卫生检查，若检查不合格，则一定整顿．若整顿后经复查仍不合格，则强迫封闭．设每家餐饮店检查能否合格是互相独立的，且每家餐饮店整顿前合格的概率是 0.5 ，整顿后复查合格的概率是 0.8. 计算：(1)恰巧有两家餐饮店一定整顿的概率；(2)均匀有多少家餐饮店一定整顿；(3)起码封闭一家餐饮店的概率． ( 精准到 0.01)21.( 本小题满分12 分)x2y2223已知椭圆 C：a2＋b2＝ 1(a>b>0) ，其焦点为F1， F2，离心率为2，若点 P 2 ，2知足12|PF| ＋ |PF | ＝ 2a.(1)求椭圆 C的方程；(2)若直线 l ：y＝ kx ＋ m(k，m∈ R) 与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，△AOB的重心→→5G知足： F1G· F2G＝－9，务实数 m的取值范围．22.( 本小题满分12 分)设函数 f ( x)＝ln( x＋a)＋ x2.(1) 若f ( x) 为定义域上的单一函数，务实数 a 的取值范围；x 2(2)若 g( x)＝e＋ x － f ( x)，当 a≤2时，证明： g( x)>0.炎德·英才大 考湖南 大附中2018 年春天高二期末考 2019 届高三摸底考数学 ( 理科 ) 参照答案一、2－i（2－i ）（ 2－i ） 3 41． D 【分析】由 ( 2＋ i ) z ＝ 2－ i ，得 z ＝2＋i ＝（2＋i ）（ 2－i ）＝5－5i ，故 D.2． C 【分析】解 x 2－ 5x ＋ 4＜ 0，即 ( x － 1)( x －4) ＜ 0，得 1＜x ＜ 4，故 P ＝( 1，4) ．Q 表 示函数 y ＝ 4－2x 的定 域 ，所以 4－2x ≥ 0，所以 x ∈ ( －∞ ，2] ，即 Q ＝ ( － ∞ ，2] ．故 P ∩ Q＝(1 ，2] ．故 C.3．B 【分析】因 本数据 { x 1，x 2，⋯ ，x n } 的均匀数 h ，{ y 1，y 2，⋯ ，y m } 的均匀数 k ，所以第一 数据和，第二 数据和 ，所以把两 数据归并成一 此后， 本nhmknh ＋mk的均匀数m ＋n ，故 B. 4．B 【分析】 由等比数列的性 可得 a 5a 6＝ a 4a 7＝－ 8，又 a 4＋ a 7＝2，解得 a 4＝－ 2，a 7＝4 或 a 7＝－ 2，a 4＝ 4，因 a 7＝ a 1q 6>0，所以 a 4 ＝－ 2， a 7＝ 4，a 7＝ a 4q 3＝－ 2q 3＝ 4，所以 q 3＝－a43＝－ 8，所以a1＋ 4＋ 7＋ 10＝－ 5，故 B.2，所以 1＝ ＝1， 10＝ 7aq3a a qaaa5． B 【分析】将睁开 原 几何体 ( 如 ) ，因 E ，F 分 PA ， PD 的中点，所以EF ∥ AD ∥ BC ，即直 BE 与 CF 共面，① ；因 B ?平面 PAD ， E ∈平面 PAD ，E ?AF ，所以 BE 与AF 是异面直 ， ②正确； 因 EF ∥ AD ∥ BC ，EF 平面 PBC ，BC 平面 PBC ，所以 EF ∥平面 PBC ，③正确；平面 PAD 与平面 BCE 不必定垂直，④ ．故 B.6．A【分析】由 意可知，双曲 x2 － y2 ＝1(＞ 0， ＞ 0) 的 近 的 斜角30° 或a2b2abb3cc2 a2＋b2 b22 360° ， k ＝ a ， ∴ k ＝ 3或 3 ， e ＝ a ， ∴ e ＝ a2＝a2 ＝1＋a2＝ 2 或 3 .7． D【分析】 f ( x ) ＝ sin ( 2x ＋ φ)( 0≤ φ≤ π ) 像向右平移π6 个 位后获得的函数是ππππg ( x ) ＝ si n 2x － 3 ＋φ ，又 g ( 0) ＝ sin － 3 ＋φ ＝ ±1，得 φ－ 3 ＝ k π ＋ 2 ( k ∈ Z) ，∴ φ＝5πk π ＋ 6 ( k ∈Z) ，故 D.8．A 【分析】 足条件的正三角形ABC 如 所示：2，此中正三角形 ABC 的面S △3ABC 的 点 A ，B ，C 的距离起码有一个小于1 的平面区＝ 4 ×4＝ 3. 足到正三角形ABC1域如 中暗影部分所示，其加起来是一个半径1 的半 ， S 暗影 ＝2π ， 使取到的点到三个 点 A ， B ， C 的距离大于 1 的概率 P ＝1－3π6 ，故 A.9．D【分析】 设四棱锥为 P － ABCD ，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形， PA ＝ PB ＝ PC ＝PD ＝1 的外接球的半径为 R ，过 P 作 PO ⊥ 底面 ABCD ，垂足 O 为正方形 ABCD 的对角线 AC ，BD 的交点 ，11222 设球心为 O ，连结 AO ，因为 AO ＝ PO ＝ R ，AO 1＝ PO 1＝ 2 ，OO 1＝ 2 － R ，在 Rt △ AOO 1中， 2 －R2222 24342 3 2π＋ 2＝ R ，解得 R ＝ 2 ， V 球＝ 3π R ＝ 3π2＝ 3.110． A 【分析】设直线 l ： 2x ＋ y － 4＝ 0. 因为 | OC |＝2| AB | ＝ d 1，此中 d 1 为点 C 到直线 l1 1 4的距离 ，所以圆心 C 的轨迹为以 O 为焦点 ，l 为准线的抛物线 ．圆 C 半径最小值为2d 2＝ 2×5＝222＝4π.应选 A.，此中 d 2 为点 O 到直线 l 的距离 ，圆 C 面积的最小值为 π5 5511．B 【分析】因为 F ( x ) ＝ f ( x ) － x －1，且函数 F ( x ) 有 2 个零点，即 f ( x ) － x － 1＝0 有2 个实数根 ，所以当 x ≤ 0 时，令 e x －x － 1＝ 0，解得 x ＝ 0，此时只有一个实数根 ，当 x ＞ 0 时， 令 f ( x ) －x － 1＝ 0，即 x 2＋ ( a － 1) x ＝ 0，即 x [ x － ( 1－ a )] ＝ 0，此时解得 x ＝ 1－ a ，要使得函数F ( x ) 有 2 个零点，则 1－ a ＞ 0，所以 a ＜1，应选 B.12． D 【分析】当 x ∈Z 时， [ x ) ＝x ＋ 1， f ( x ) ＝ [ x ) － x ＝ x ＋ 1－x ＝ 1；当 x Z 时，令 [)x ＝ n ＋ a n Z a ∈ ( 0 ， 1) ，则 [ x ) n 1 ， f ( x )＝ [ x )－ x ＝ 1 a ( 0， 1) ，所以 f ( x )＝ x ， ∈ ， ＝ ＋－ ∈－ x 的值域是 ( 0，1 ； 0.9 ， ， 1.1 是等差数列 ，但 [ 0.9 ) ＝ ， [ 1 ) ＝ ， [ 1.1 ) ＝ 2 不行等 差] 1 1 2数列； 0.5 ，1，2 是等比数列 ，但 [ 0.5 ) ＝ 1，[ 1) ＝ 2，[ 2) ＝ 3 不行等比数列；由前剖析可得 当 x ∈Z 时， f ( x ) ＝1；当 x Z ， ＝ ＋ ， ∈Z ， ∈ (0 ，1) 时， f ( x ) ＝1－ a ＝1－( － ) ＝ ＋ 1) x n a n x a1 ( 1 x n n1 x ，所以 f ( x ＋ ＝ f ( x ) ，即 f ( x ) ＝ [ ) － 是周期为 的函数 ，因为 x ∈ ，2) 时 f ( x ) ＝ － x1 312－ x ＝ 2，x ＝ 2，即一个周期内有一个根，所以若 x ∈ ( 1， 2 018) ，则方程 [ x ) － x ＝ 2有 2 017个根．①④正确，应选 D.二、填空题313. 5【分析】 从 3 名男同学和2 名女同学中任选 2 名参加体能测试 ，则恰有 1 名男同学C13C123参加体能测试的概率为C25＝5.21214．3【分析】圆柱体体积公式V ＝π r h ，而由题意有 V ＝12× ( 2π r ) × h ，所以 π ＝3.15．30 【分析】 因为 1＋1( 1＋ ) 6＝ 1·( 1＋ ) 6＋ 1 ·( 1＋ ) 6，则 ( 1＋ ) 6 睁开式中含x2 xxx2x x22216214 2 2x 的项为 1·C62x ＝ 15x ， x2·( 1＋ x ) 睁开式中含 x 的项为 x2·C64x ＝ 15x ，故 x 的系数为 15＋ 15＝ 30.16．5 【分析】令正三角形边长为3，则 →＝ ( 1，0) ，→＝33，设直线与OBOA－2，2AB OC→ → →P 在 C 点时，x ＋y 有最大的交点为点 D ，若OD ＝ xOA ＋ yOB ，则 x ＋y ＝ 1. 又由线性规划知识知当值，此时 →＝ 5→，故 x ＋ y 的最大值是 5.OP OD三、解答17．【分析】 ( 1) 由 △是等 三角形 ，得 β ＝α ＋π，ABC3ππ3sinπ0≤ α≤ 3 ，故 2cos α－ cosβ ＝2cos α－cos α＋ 3 ＝ α＋ 3 ，π故当 α＝ 6 ，即 D BC 中点 ，原式取最大3.5分1 4 3( 2) 由 cos β＝ 7，得 sin β ＝ 7，πππ 3 3故 sin α＝ sinβ－3 ＝sinβcos3 － cos βsin3＝14 ， 7 分由正弦定理AB＝ sin BD，sin ∠ADB ∠BAD4 3故 AB ＝ sin β BD ＝ 7 ×1＝ 8 ， 9 分sin α33 314△ ABD11 8 323 .11 分故 S＝ 2AB · BD · sin B ＝ 2× 3×1× 2 ＝3 34 57 534 5 1343a5 a518．【分析】 ( 1) 依 意 ，a ＋ a ＋ a ＝ 16，6a＝ a ＋ a ， a＝16，a ＋ a ＝ 8，得 q2＋ q ＝38，21 1 11即 6q － q － 1＝ 0，解得 q ＝ 2或 q ＝－ 3( 舍 ) ，所以 q ＝ 2，a＝ 1，∴数列 { an } 的通 公式 a n ＝1 n －1分2.5 ( 2)c n ＝ ( b n ＋ 1－ b n ) · a n ，数列 { cn } 的前n 和S n ，S n ＝ 2n 2 ＋ n ，所以 c n ＝S1 （ n ＝1），Sn －Sn －1 （n ≥2）解得 c n ＝ 4n －1.7 分nnn － 1nnn － 2b所以 b ＋1－ b＝ ( 4n － 1)·2 ，故 b－b － 1＝( 4n － 5) ·2 ， n ≥ 2，b1＝()＋ (bn －1－bn －2 )＋⋯ ＋() ＋ ()n － bn －bn －1 b3－b2 b2－b1n － 2 n － 3 1分＝(4 －5)·2 ＋(4 －9) ·2 ＋⋯＋7·2＋3，9n1nn －3n －2n＋，T ＝3＋7·2＋ ⋯ ＋( 4n － 9) ·2( 4n － 5) ·22 n ＝ 3·2＋2n －2 ＋ ( 4n －1，7·2＋⋯ ＋(4 －9)·2－5) ·2Tnn1n － 3n －2－n －1，所以 ，－ T n ＝ 3＋ 4·2＋ ⋯＋ 4·2 ＋ 4·2( 4n － 5) ·2所以 T n ＝ ( 4n －n －19) ·2 ＋ 5，n ≥ 2，又 b 1＝ 1，n分所以 b n ＝( 4n － 9) ·2－ 1＋ 6.11 19．【分析】 (1) 明：∵ 几何体的正 矩形， 等腰直角三角形，俯 直角梯形 ， ∴ ， ， 1 两两垂直 ．且 ＝ 4， ＝ 4， 1＝ 8， ＝ 4，BA BC BBBCBABBAN以 BA ， BB 1， BC 分 x ， y ， z 成立空 直角坐 系，如则 N ( 4， 4，0) ， B 1( 0，8， 0) ，C 1( 0， 8， 4) ， C ( 0，0， 4) ，∴ M ( 2， 0，0) ．BP 12＝ (， ， ) 为平面1的一个法向∵ ＝ ，∴ ( 0，0，1) ，则→＝ ( － 2， 0，1) ，设n xPC 3PMPy z NCB量，→（x ， y ，z ）·（ 4，4，－4）＝ 0 x ＋y － z ＝0，n2·CN ＝0则（x ， y ，z ）·（－ 4，4，0）＝ 0 －x ＋y ＝0，→n2·NB1＝→取 n ＝ ( 1，1，2) ，∴MP · n ＝ ( － 2，0，1) ·( 1，1，2) ＝ 0，又 PM 平面 CNB ，∴ MP ∥平221面16 分CNB( 2) 由 ( 1) 可知平面 ΒC Β的一个法向量为 BA ＝ ( 4，0，0) ，平面 C Β Ν的法向量为 n ＝( 1，1→1 21，2) ，→（4，0，0）·（1，1，2）630BA ·n2， ∴ sin θ ＝分则 cos θ＝ →＝＝66.12|BA||n2|4× 6【注】此题只给出向量法，其余方法请参照标准酌情给分．20．【分析】 (1) 每家餐饮店一定整顿的概率是1－0.5＝ 0.5 ，且每家餐饮店能否整顿是相互独立的． 所以恰巧有两家餐饮店一定整顿的概率是P 1＝C52× ( 1－0.5 ) 2× 0.5 3＝ 5.4 分16 (2) 由题知，一定整顿的餐饮店数 ξ 听从二项散布 B (5 ， 0.5) ．进而 ξ 的数学希望是E ξ＝5×0.5 ＝ 2.5 ，即均匀有 2.5 家餐饮店一定整顿 .8 分(3) 某餐饮店被封闭，即该餐饮店第一次检查不合格，整顿后经复查仍不合格，所以该餐饮店被封闭的概率是 P 2＝ ( 1－0.5 ) × ( 1－ 0.8 ) ＝0.1 ，进而该餐饮店不被封闭的概率是 0.9. 由题意 ，每家餐 饮店能否被封闭是互相独立的 ，所以起码封闭一家餐饮店的概率是 3＝ 1－ 0.9 5≈P分21．【分析】 ( 1) 由 ＝ 2C 的方程为 x2 2y2，可设椭圆＋＝ 1，e2a2 a2点 P231322，2知足PF ＋ PF ＝2a ，等价于点 P 在椭圆上 ，∴2a2＋ 2a2＝1，∴ a＝ 2，12x22所以椭 圆 C 的方程为 2 ＋ y＝1.5 分(2)设 ( 1， y 1)， (2， y 2) ，联立得 方程组 y ＝kx ＋m ，A xB xx2＋2y2－ 2＝0，2 22消去 y 并整理得 ( 1＋2k ) x ＋ 4kmx ＋ 2m － 2＝ 0，则错误!①.7分→→52 24设 △ AOB 的重心为 G ( x ， y ) ，由 F1G ·F2G ＝－ 9，可得 x ＋ y ＝ 9. ②由重心公式可得G x1＋x2 y1＋y2，代入 ② 式，3 ， 3整理可得 ( x 1＋ x 2) 2＋ ( y 1＋ 2) 2＝4 ( x 1＋ x 2)2＋[ k ( 1＋ 2)＋2 ] 2＝4， ③yxxm2 （1＋2k2） 2 分将 ① 式代入③式并整理 ，得 m ＝ 1＋4k2 ，102（1＋2k2）24k4412则 m ＝1＋4k2 ＝ 1＋1＋4k2＝ 1＋ 41.又由>0 可知 k ≠0， 令 t ＝ k2>0，∴ t＋k2＋k44 >0，2t∪ (1，＋∞) .12分∴ m >1， ∴ m ∈ ( － ∞ ，－ 1)22．【分析】 ( 1) 解法 1： f ( x ) 的定义域为 ( － a ，＋ ∞) ， f ′ ( x ) ＝2x2＋ 2ax ＋1x ＋a方程 2x 2＋ 2ax ＋ 1＝0 的鉴别式 ＝ 4a 2－ 8.(ⅰ)若<0，即－< <2 ，在 f ( ) 的定义域内 f ′ ( x ) >0，故 f ( x ) 单一递加 ．2 ax( ⅱ ) 若 ＝ 0，则 a ＝ 2或 a ＝－ 2.若 ＝ 2 ， x ∈( －2 ，＋∞)，′ (x （ 2x ＋1）2) ＝.afx ＋ 2222当 x ＝－2 时，f ′( x ) ＝ 0，当 x ∈－ 2，－ 2∪ － 2 ，＋∞ 时，f ′ ( x ) >0，所以 f ( x )单一递加． 若 a ＝－2， x ∈ ( 2，＋ ∞ ) ，f ′ ( x ) ＝ （ 2x －1）2x － 2>0，f ( x ) 单一递加 ．(ⅲ)若 >0，即 >2 或 a <－2 ，a则2＋ 2ax ＋1＝ 0 有两个不一样的实根 x 1＝ －a － a2－2 －a ＋ a2－22x2 ， x 2＝2.当 a <－ 2时，x 1<－ a ，x 2<－ a ，进而 f ′( x ) 在 f ( x ) 的定义域内没有零点，故 f ( x ) 单一递增．当 a > 2 时， x >－ ， x >－ ， f ′ ( x ) 在 f ( ) 的定义域内有两个不一样的零点 ，12即 f ( x ) 在定义域上不但一 ． 综上：实数 a 的取值范围为 a ≤ 2.6 分解法 2：很明显 f ′ ( x ) 不行能有连续零点，若 f ( x ) 为定义域上的单一函数，1则 f ′( x ) ≤0或 f ′ ( x ) ≥0恒成立 ，又 f ′ ( x ) ＝ x ＋a ＋ 2x ，因为 x ＋a >0，所以 f ′ ( x )<0 不行能恒成立， 所以 f ( x ) 为定义域上的单一函数时，只可能 f ′ ( x ) ≥0恒成立，1111即 x ＋ a ＋ 2x ≥0恒成立 ，即 x ＋a ＋ 2( x ＋a ) － 2a ≥0，即 2a ≤ x ＋a ＋ 2( x ＋ a ) ，而 x ＋ a ＋ 2( x＋ a ) ≥2 2，所以 2a ≤2 2，a ≤2，即实数 a 的取值范围为 a ≤ 2.12x2＋2ax ＋1解法 3：由解法 2 可知 x ∈( － a ，＋ ∞) ，x ＋a ＋ 2x ≥0恒成 立，得x ＋a≥0恒成立 ，2aa即 2x＋ 2ax ＋ 1≥0恒成立 ，( ⅰ )当 a ≤0时 ， － a － －2 ＝－ 2≥0，所以 2x 2＋ 2ax ＋ 1>2a 2－ 2a 2＋ 1＝1，所以当 a ≤0时 2x 2＋ 2ax ＋1≥0恒成立；(ⅱ)当 a >0 时， － － －a ＝－ a <0，所以 ( 2 x 2＋2 ＋ 1) min ＝－ a2＋ 1，a22ax2a22所以－2 ＋1≥0时 2x ＋ 2ax ＋1≥0恒成立 ，解得 0<a ≤2，综上：实数 a 的取值范围为a ≤ 2.( 2) 因为 g ( x ) ＝e x ＋ x 2－ f ( x ) ＝ e x － ln ( x ＋a ) ， 当 a ≤2， x ∈ ( － a ，＋∞ ) 时， ln( x ＋ a ) ≤ln( x ＋ 2) ，故只要证明当 a ＝2 时， g ( x )>0.当 a ＝ 2 时，函数 ′( x ) ＝ e x －1在(－2，＋∞) 上单一递加 ， g x ＋2又 g ′ ( －1) <0， g ′( 0) >0，故 g ′ ( x ) ＝ 0 在 ( － 2，＋ ∞ ) 上有独一 实根 x 0，且 x 0∈ ( － 1，0) ，当 x ∈ ( －2，x 0) 时，g ′ ( x ) <0，当 x ∈ ( x 0，＋ ∞ ) 时，g ′ ( x ) >0，进而当 x ＝ x 0 时， g ( x ) 取得最小值 g ( x 0) ．1由 g ′( x 0) ＝ 0 得 e x 0＝ x0＋2， ln ( x 0＋ 2) ＝－ x 0，1x20＋ 2x0＋ 1（x0＋1）2故 g( x0)＝e x0－ln ( x0＋2)＝x0＋2＋ x0＝x0＋2＝x0＋2>0，所以g( x) ≥g( x0 ) >0.综上，当a≤2时， g( x)>0.12分。
2019届湖南师范大学附属中学高三第二次高考模拟数学(理)试题(解析版)
2019届湖南师范大学附属中学高三第二次高考模拟数学（理）试题一、单选题1．已知集合1|,42k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1|,24k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．M N = B ．M NC ．N MD ．M N ⋂=∅【答案】C【解析】化简集合2|,4k M x x k Z +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，21|,4k N x x k Z +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，结合2()k k Z +∈为和22()k k Z +∈的关系，即可求解.【详解】由题意，集合12|,|,424k k M x x k Z x x k Z +⎧⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 121|,|,244k k N x x k Z x x k Z +⎧⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，因为2()k k Z +∈为所有的整数，而22()k k Z +∈为奇数， 所以集合,M N 的关系为N M . 故选：C . 【点睛】本题主要考查了集合与集合的关系的判定，其中解答准确合理化简集合的形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2．复数(1)(2)z ai a i =-+在复平面内对应的点在第一象限，其中a R ∈，i 为虚数单位，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．)+∞C ．(,-∞D ．(【答案】A【解析】利用复数代数形式的乘除运算、化简，再由实部与虚部均大于0，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，复数2(1)(2)3(2)z ai a i a a i =-+=+-在复平面内对应的点在第一象限，所以23020a a >⎧⎨->⎩，解得0a <<，即实数a 的取值范围是. 故选：A . 【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算，以及复数的代数表示法及其几何意义的应用，着重考查了推理与运算能力.3．如果等差数列128,,,a a a L 的各项都大于零，公差0d ≠，则正确的关系为（ ） A ．1845a a a a > B ．1845a a a a < C ．1845a a a a +>+ D ．1845a a a a =【答案】B【解析】先根据等差中项的性质，可排除C ，再利用作差比较，即可得到答案. 【详解】根据等差数列的性质，可得1845a a a a +=+，所以C 不正确；又由218451111(7)(3)(4)120a a a a a a d a d a d d -=+-++=-<，所以1845a a a a <.故选B . 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的通项公式，以及作差比较法的应用，着重考查了推理与运算能力.4．已知等差数列{}n a 的前13项和为52，则68(2)a a +-=（ ）A ．256B ．256-C ．32D ．32-【答案】B【解析】根据题设条件，求得113a a +的值，进而得出68a a +的值，再利用指数幂的运算，即可求解. 【详解】由题意，等差数列{}n a 的前13项和为52， 可得1131313()522a a S +==，解得1138a a +=，又由等差数列的性质，可得681138a a a a +=+=，所以688(2)(2)256a a +-=-=.故选：A .【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质和等差数列的求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力.5．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[)50,60的同学有30人，则n 的值为（ ）A ．100B ．1000C ．90D ．900【答案】A【解析】根据频率分布直方图得到支出在[)50,60的同学的频率，利用频数除以频率得到n . 【详解】由频率分布直方图可知，支出在[)50,60的同学的频率为：0.03100.3⨯=301000.3n ∴== 本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算频率、频数和总数的问题，属于基础题.6．已知一个几何体的三视图如图所示（正方形边长为1），则该几何体的体积为（ ）A．34B．78C．1516D．2324【答案】B【解析】【详解】由三视图可知：该几何体为正方体挖去了一个四棱锥A BCDE-，该几何体的体积为11117 11132228⎛⎫-⨯⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭故选B点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.7．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（）A．112B．115C．118D．114【答案】D【解析】先得到随机抽取两个不同的数共有28种，再得出选取两个不同的数，其和等于20的共有2中，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，在不超过20的素数有：2,3,5,7,11,13,17,19，共有8个数，随机选取两个不同的数，共有2828C =种，其中随机选取的两个不同的数，其和为20的有31720,71320+=+=，共有2种， 所以概率为212814P ==. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中利用组合数的公式求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 8．下列图象可以作为函数()2xf x x a=+的图象的有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】当a <0时,如取a =−4,则()24xf x x =- 其定义域为：{x |x ≠±2}，它是奇函数，图象是③，所以③选项是正确的；当a >0时，如取a =1，其定义域为R ，它是奇函数，图象是②。
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炎德·英才大联考湖南师大附中2018年春季高二期末考试暨2019届高三摸底考试数 学(理科)命题：贺仁亮 朱修龙 周艳军 刘伟才审题：高二数学备课组时量：120分钟 满分：150分得分：______________第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足(2＋i )z ＝2－i (i 为虚数单位)，则z 等于A ．3＋4iB ．3－4iC .35＋45iD .35－45i 2．已知P ＝{x|x 2－5x ＋4＜0}，Q ＝{}x|y ＝4－2x ，则P ∩Q 等于A ．(1，4)B ．[2，4)C ．(1，2]D ．(－∞，2]3．已知两组样本数据{x 1，x 2，…，x n }、{y 1，y 2，…，y m }的平均数分别为h 和k ，则把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为A .h ＋k 2B .nh ＋mk m ＋nC .mh ＋nk m ＋nD .h ＋k m ＋n4．已知{a n }为等比数列，a 1>0，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 4＋a 7＋a 10等于A ．－7B ．－5C ．5D ．75．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为PA ，PD 的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：①直线BE 与直线CF 异面；②直线BE 与直线AF 异面；③直线EF ∥平面PBC ；④平面BCE ⊥平面PAD.其中正确的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)以及双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线将第一象限三等分，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为 A ．2或233 B .6或233 C ．2或 3 D .3或 67．函数f(x)＝sin (2x ＋φ)(0≤φ≤π)图像向右平移π6个单位后关于y 轴对称，则φ的值是 A ．0 B .π6 C .π3 D .5π68．在正三角形ABC 内任取一点P ，则点P 到A ，B ，C 的距离都大于该三角形边长一半的概率为A ．1－3π6B ．1－3π12C ．1－3π9D ．1－3π189．底面是边长为1的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为A .22π3B .3π3C .23π3D .2π310．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为A .4π5B .3π4C ．(6－25)πD .5π411．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧e x ，x ≤0，x 2＋ax ＋1，x ＞0，F(x)＝f(x)－x －1，且函数F(x)有2个零点，则实数a 的取值范围为A ．(－∞，0]B ．(－∞，1)C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)12．已知[)x 表示大于x 的最小整数，例如[)3＝4，[)－1.3＝－1，下列命题中正确的是①函数f(x)＝[)x －x 的值域是(]0，1；②若{a n }是等差数列，则{}[)a n 也是等差数列；③若{a n }是等比数列，则{}[)a n 也是等比数列；④若x ∈(1，2 018)，则方程[)x －x ＝12有2 017个根．A ．②④B ．③④C ．①③D ．①④选择题答题卡 题 号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得 分 答 案二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．13．从3名男同学和2名女同学中任选2名参加体能测试，则恰有1名男同学参加体能测试的概率为________．(结果用最简分数表示)14．《九章算术》是我国古代内容较为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡壔(圆柱体)的体积V ＝112×(底面的圆周长的平方×高)，则该问题中圆周率π的取值为________．(注：一丈＝10尺)15.⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x)6展开式中x 2的系数为________．(结果用数字表示) 16．如图2，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O 且三组对边分别平行．点A ，B 是“六芒星”(如图1)的两个顶点，动点P 在“六芒星”上(内部以及边界)，若OP →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的最大值是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分11分)如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 边上的动点(含端点)，记∠BAD ＝α，∠ADC ＝β.(1)求2cos α－cos β的最大值；(2)若BD ＝1，cos β＝17，求△ABD 的面积．已知正项等比数列{}a n 的公比为q ，且a 3＋a 4＋a 5＝716，3a 5是a 3，a 4的等差中项．数列{}b n 满足b 1＝1，数列{}()b n ＋1－b n ·a n 的前n 项和为2n 2＋n.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)求数列{b n }的通项公式．已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．(1)设Μ为ΑΒ中点，若BP →＝13PC →.求证：ΜΡ∥平面CΝΒ1； (2)设二面角Β－CΒ1－Ν大小为θ，求sin θ的值．某卫生监督检查部门对5家餐饮店进行卫生检查，若检查不合格，则必须整改．若整改后经复查仍不合格，则强制关闭．设每家餐饮店检查是否合格是相互独立的，且每家餐饮店整改前合格的概率是0.5，整改后复查合格的概率是0.8.计算：(1)恰好有两家餐饮店必须整改的概率；(2)平均有多少家餐饮店必须整改；(3)至少关闭一家餐饮店的概率．(精确到0.01)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，其焦点为F 1，F 2，离心率为22，若点P ⎝⎛⎭⎫22，32满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m(k ，m ∈R )与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，△AOB 的重心G 满足：F 1G →·F 2G →＝－59，求实数m 的取值范围．设函数f(x)＝ln(x＋a)＋x2.(1)若f(x)为定义域上的单调函数，求实数a的取值范围；(2)若g(x)＝e x＋x2－f(x)，当a≤2时，证明：g(x)>0.炎德·英才大联考湖南师大附中2018年春季高二期末考试暨2019届高三摸底考试数学(理科)参考答案一、选择题1．D 【解析】由(2＋i)z ＝2－i ，得z ＝2－i 2＋i ＝（2－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝35－45i ，故选D. 2．C 【解析】解x 2－5x ＋4＜0，即(x －1)(x －4)＜0，得1＜x ＜4，故P ＝(1，4)．Q 表示函数y ＝4－2x 的定义域，所以4－2x ≥0，所以x ∈(－∞，2]，即Q ＝(－∞，2]．故P ∩Q ＝(1，2]．故选C.3．B 【解析】因为样本数据{x 1，x 2，…，x n }的平均数为h ，{y 1，y 2，…，y m }的平均数为k ，所以第一组数据和为nh ，第二组数据和为mk ，因此把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为nh ＋mk m ＋n，故选B. 4．B 【解析】由等比数列的性质可得a 5a 6＝a 4a 7＝－8，又a 4＋a 7＝2，解得a 4＝－2，a 7＝4或a 7＝－2，a 4＝4，因为a 7＝a 1q 6>0，所以a 4＝－2，a 7＝4，a 7＝a 4q 3＝－2q 3＝4，所以q 3＝－2，所以a 1＝a 4q3＝1，a 10＝a 7q 3＝－8，所以a 1＋a 4＋a 7＋a 10＝－5，故选B. 5．B 【解析】将展开图还原为几何体(如图)，因为E ，F 分别为P A ，PD 的中点，所以EF ∥AD ∥BC ，即直线BE 与CF 共面，①错；因为B ∉平面P AD ，E ∈平面P AD ，E ∉AF ，所以BE 与AF 是异面直线，②正确；因为EF ∥AD ∥BC ，EF 平面PBC ，BC 平面PBC ，所以EF ∥平面PBC ，③正确；平面P AD 与平面BCE 不一定垂直，④错．故选B.6．A 【解析】由题意可知，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线的倾斜角为30°或60°，则k ＝b a ，∴k ＝3或33，则e ＝c a ，∴e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝2或233. 7．D 【解析】f (x )＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)图像向右平移π6个单位后得到的函数是g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，又g (0)＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋φ＝±1，得φ－π3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋5π6(k ∈Z )，故选D.8．A 【解析】满足条件的正三角形ABC 如图所示：设边长为2，其中正三角形ABC 的面积S△ABC ＝34×4＝ 3.满足到正三角形ABC 的顶点A ，B ，C 的距离至少有一个小于1的平面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为1的半圆，则S 阴影＝12π，则使取到的点到三个顶点A ，B ，C的距离大于1的概率P ＝1－3π6，故选A. 9．D 【解析】设四棱锥为P －ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，P A ＝PB ＝PC ＝PD ＝1的外接球的半径为R ，过P 作PO 1⊥底面ABCD ，垂足O 1为正方形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，设球心为O ，连接AO ，由于AO ＝PO ＝R ，AO 1＝PO 1＝22，OO 1＝22－R ，在Rt △AOO 1中，⎝⎛⎭⎫22－R 2＋⎝⎛⎭⎫222＝R 2，解得R ＝22，V 球＝43πR 3＝43π⎝⎛⎭⎫223＝2π3.10．A 【解析】设直线l ：2x ＋y －4＝0.因为|OC |＝12|AB |＝d 1，其中d 1为点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线．圆C 半径最小值为12d 2＝12×45＝25，其中d 2为点O 到直线l 的距离，圆C 面积的最小值为π⎝⎛⎭⎫252＝4π5.故选A.11．B 【解析】因为F (x )＝f (x )－x －1，且函数F (x )有2个零点，即f (x )－x －1＝0有2个实数根，所以当x ≤0时，令e x －x －1＝0，解得x ＝0，此时只有一个实数根，当x ＞0时，令f (x )－x －1＝0，即x 2＋(a －1)x ＝0，即x [x －(1－a )]＝0，此时解得x ＝1－a ，要使得函数F (x )有2个零点，则1－a ＞0，所以a ＜1，故选B.12．D 【解析】当x ∈Z 时，[)x ＝x ＋1，f (x )＝[)x －x ＝x ＋1－x ＝1；当x Z 时，令x ＝n ＋a ，n ∈Z ，a ∈(0，1)，则[)x ＝n ＋1，f (x )＝[)x －x ＝1－a ∈(0，1)，因此f (x )＝[)x －x 的值域是(]0，1；0.9，1，1.1是等差数列，但[)0.9＝1，[)1＝2，[)1.1＝2不成等差数列；0.5，1，2是等比数列，但[)0.5＝1，[)1＝2，[)2＝3不成等比数列；由前分析可得当x ∈Z 时，f (x )＝1；当x Z ，x ＝n ＋a ，n ∈Z ，a ∈(0，1)时，f (x )＝1－a ＝1－(x －n )＝n ＋1－x ，所以f (x ＋1)＝f (x )，即f (x )＝[)x －x 是周期为1的函数，由于x ∈(1，2)时f (x )＝2－x ＝12，x ＝32，即一个周期内有一个根，所以若x ∈(1，2 018)，则方程[)x －x ＝12有2 017个根．①④正确，故选D. 二、填空题 13.35【解析】从3名男同学和2名女同学中任选2名参加体能测试，则恰有1名男同学参加体能测试的概率为C 13C 12C 25＝35.14．3 【解析】圆柱体体积公式V ＝πr 2h ，而由题意有V ＝112×(2πr )2×h ，所以π＝3.15．30 【解析】因为⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6＝1·(1＋x )6＋1x 2·(1＋x )6，则(1＋x )6展开式中含x 2的项为1·C 26x 2＝15x 2，1x 2·(1＋x )6展开式中含x 2的项为1x 2·C 46x 4＝15x 2，故x 2的系数为15＋15＝30.16．5 【解析】令正三角形边长为3，则OB →＝(1，0)，OA →＝⎝⎛⎭⎫－32，32，设直线AB 与OC 的交点为点D ，若OD →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y ＝1.又由线性规划知识知当P 在C 点时，x ＋y 有最大值，此时OP →＝5OD →，故x ＋y 的最大值是5.三、解答题17．【解析】(1)由△ABC 是等边三角形，得β＝α＋π3，0≤α≤π3，故2cos α－cos β＝2cos α－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3，故当α＝π6，即D 为BC 中点时，原式取最大值 3.5分(2)由cos β＝17，得sin β＝437，故sin α＝sin ⎝⎛⎭⎫β－π3＝sin βcos π3－cos βsin π3＝3314，7分由正弦定理AB sin ∠ADB ＝BDsin ∠BAD，故AB ＝sin βsin αBD ＝4373314×1＝83，9分故S △ABD ＝12AB ·BD ·sin B ＝12×83×1×32＝233.11分18．【解析】(1)依题意，a 3＋a 4＋a 5＝716，6a 5＝a 3＋a 4，则a 5＝116，a 3＋a 4＝38，得a 5q 2＋a 5q ＝38，即6q 2－q －1＝0，解得q ＝12或q ＝－13(舍)，所以q ＝12，a 1＝1，∴数列{}a n 的通项公式为a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1.5分(2)设c n ＝(b n ＋1－b n )·a n ，数列{}c n 的前n 项和为S n ，则S n ＝2n 2＋n ，所以c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 （n ＝1）S n －S n －1（n ≥2），解得c n ＝4n －1.7分所以b n ＋1－b n ＝(4n －1)·2n －1，故b n －b n －1＝(4n －5)·2n －2，n ≥2， b n －b 1＝()b n －b n －1＋()b n －1－b n －2＋…＋()b 3－b 2＋()b 2－b 1＝(4n －5)·2n －2＋(4n －9)·2n －3＋…＋7·21＋3，9分设T n ＝3＋7·21＋…＋(4n －9)·2n －3＋(4n －5)·2n －2，2T n ＝3·2＋7·22＋…＋(4n －9)·2n －2＋(4n －5)·2n －1，所以，－T n ＝3＋4·21＋…＋4·2n －3＋4·2n －2－(4n －5)·2n －1，因此T n ＝(4n －9)·2n －1＋5，n ≥2，又b 1＝1，所以b n ＝(4n －9)·2n －1＋6.11分 19．【解析】(1)证明：∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，∴BA ，BC ，BB 1两两垂直．且BC ＝4，BA ＝4，BB 1＝8，AN ＝4， 以BA ，BB 1，BC 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图则N (4，4，0)，B 1(0，8，0)，C 1(0，8，4)，C (0，0，4)，∴M (2，0，0)． ∵BP PC ＝13，∴P (0，0，1)，则MP →＝(－2，0，1)，设n 2＝(x ，y ，z )为平面NCB 1的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·CN →＝0n 2·NB 1→＝0⎩⎨⎧（x ，y ，z ）·（4，4，－4）＝0（x ，y ，z ）·（－4，4，0）＝0⎩⎨⎧x ＋y －z ＝0，－x ＋y ＝0， 取n 2＝(1，1，2)，∴MP →·n 2＝(－2，0，1)·(1，1，2)＝0，又PM 平面CNB 1，∴MP ∥平面CNB 16分(2)由(1)可知平面ΒCΒ1的一个法向量为BA →＝(4，0，0)，平面CΒ1Ν的法向量为n 2＝(1，1，2)，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA →·n 2|BA →||n 2|＝（4，0，0）·（1，1，2）4×6＝66，∴sin θ＝306.12分 【注】本题只给出向量法，其他方法请参照标准酌情给分． 20．【解析】(1)每家餐饮店必须整改的概率是1－0.5＝0.5，且每家餐饮店是否整改是相互独立的．所以恰好有两家餐饮店必须整改的概率是P 1＝C 25×(1－0.5)2×0.53＝516.4分 (2)由题知，必须整改的餐饮店数ξ服从二项分布B (5，0.5)．从而ξ的数学期望是 E ξ＝5×0.5＝2.5，即平均有2.5家餐饮店必须整改.8分(3)某餐饮店被关闭，即该餐饮店第一次检查不合格，整改后经复查仍不合格，所以该餐饮店被关闭的概率是P 2＝(1－0.5)×(1－0.8)＝0.1，从而该餐饮店不被关闭的概率是0.9.由题意，每家餐饮店是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家餐饮店的概率是P 3＝1－0.95≈0.41.12分21．【解析】(1)由e ＝22，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋2y 2a2＝1，点P ⎝⎛⎭⎫22，32满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，等价于点P 在椭圆上，∴12a 2＋32a 2＝1，∴a 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.5分(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立得方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋2y 2－2＝0，消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ>01＋2k 2>m 2x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2x 1x 2＝2m 2－21＋2k2①.7分设△AOB 的重心为G (x ，y )，由F 1G →·F 2G →＝－59，可得x 2＋y 2＝49.②由重心公式可得G ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 23，y 1＋y 23，代入②式，整理可得(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2＝4(x 1＋x 2)2＋[k (x 1＋x 2)＋2m ]2＝4，③将①式代入③式并整理，得m 2＝（1＋2k 2）21＋4k 2，10分则m 2＝（1＋2k 2）21＋4k 2＝1＋4k 41＋4k 2＝1＋44k 2＋1k 4.又由Δ>0可知k ≠0，令t ＝1k 2>0，∴t 2＋4t >0，∴m 2>1，∴m ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞).12分22．【解析】(1)解法1：f (x )的定义域为(－a ，＋∞)，f ′(x )＝2x 2＋2ax ＋1x ＋a方程2x 2＋2ax ＋1＝0的判别式Δ＝4a 2－8.(ⅰ)若Δ<0，即－2<a <2，在f (x )的定义域内f ′(x )>0，故f (x )单调递增． (ⅱ)若Δ＝0，则a ＝2或a ＝－ 2.若a ＝2，x ∈(－2，＋∞)，f ′(x )＝（2x ＋1）2x ＋2.当x ＝－22时，f ′(x )＝0，当x ∈⎝⎛⎭⎫－2，－22∪⎝⎛⎭⎫－22，＋∞时，f ′(x )>0，所以f (x )单调递增．若a ＝－2，x ∈(2，＋∞)，f ′(x )＝（2x －1）2x －2>0，f (x )单调递增．(ⅲ)若Δ>0，即a >2或a <－2， 则2x 2＋2ax ＋1＝0有两个不同的实根x 1＝－a －a 2－22，x 2＝－a ＋a 2－22.当a <－2时，x 1<－a ，x 2<－a ，从而f ′(x )在f (x )的定义域内没有零点，故f (x )单调递增． 当a >2时，x 1>－a ，x 2>－a ，f ′(x )在f (x )的定义域内有两个不同的零点， 即f (x )在定义域上不单调．综上：实数a 的取值范围为a ≤ 2.6分解法2：很显然f ′(x )不可能有连续零点，若f (x )为定义域上的单调函数，则f ′(x )≤0或f ′(x )≥0恒成立，又f ′(x )＝1x ＋a＋2x ，因为x ＋a >0，所以f ′(x )<0不可能恒成立，所以f (x )为定义域上的单调函数时，只可能f ′(x )≥0恒成立，即1x ＋a ＋2x ≥0恒成立，即1x ＋a ＋2(x ＋a )－2a ≥0，即2a ≤1x ＋a ＋2(x ＋a )，而1x ＋a ＋2(x ＋a )≥22， 所以2a ≤22，a ≤2，即实数a 的取值范围为a ≤ 2.解法3：由解法2可知x ∈(－a ，＋∞)，1x ＋a ＋2x ≥0恒成立，得2x 2＋2ax ＋1x ＋a≥0恒成立，即2x 2＋2ax ＋1≥0恒成立，(ⅰ)当a ≤0时，－a －⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a2≥0， 所以2x 2＋2ax ＋1>2a 2－2a 2＋1＝1，所以当a ≤0时2x 2＋2ax ＋1≥0恒成立；(ⅱ)当a >0时，－a －⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a 2<0，所以(2x 2＋2ax ＋1)min ＝－a 22＋1，所以－a22＋1≥0时2x 2＋2ax ＋1≥0恒成立，解得0<a ≤2，综上：实数a 的取值范围为a ≤ 2.(2)因为g (x )＝e x ＋x 2－f (x )＝e x －ln(x ＋a )，当a ≤2，x ∈(－a ，＋∞)时，ln(x ＋a )≤ln(x ＋2)，故只需证明当a ＝2时，g (x )>0.当a ＝2时，函数g ′(x )＝e x －1x ＋2在(－2，＋∞)上单调递增，又g ′(－1)<0，g ′(0)>0，故g ′(x )＝0在(－2，＋∞)上有唯一实根x 0，且x 0∈(－1，0)，当x ∈(－2，x 0)时，g ′(x )<0，当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )>0，从而当x ＝x 0时，g (x )取得最小值g (x 0)．由g ′(x 0)＝0得e x 0＝1x 0＋2，ln(x 0＋2)＝－x 0，故g (x 0)＝e x 0－ln(x 0＋2)＝1x 0＋2＋x 0＝x 20＋2x 0＋1x 0＋2＝（x 0＋1）2x 0＋2>0，所以g (x )≥g (x 0)>0.综上，当a≤2时，g(x)>0.12分。