河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考
衡水中学2019届高三第一次摸底考试数学(理)试卷 及答案
衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D2.已知全集U=R，则A. B.C. D.【答案】C3.某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：2015年高考数据统计 2018年高考数据统计则下列结论正确的是A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C. 与2015年相比，2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加【答案】D4.已知等差数列的公差为2，前项和为，且，则的值为A. 11B. 12C. 13D. 14【答案】C5.已知是定义在上的奇函数，若时，，则时，A. B. C. D.【答案】B6.已知椭圆和直线，若过的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】A7.如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则A. B.C. D.【答案】C8.某几何体的三视图如图所示，则此几何体( )A. 有四个两两全等的面B. 有两对相互全等的面C. 只有一对相互全等的面D. 所有面均不全等【答案】B9.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形内部（含边界）随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ）A. B. C. D.【答案】A 10.已知函数（为自然对数的底数），若关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是 A.B.C.D.【答案】C11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为A. B.C.D.【答案】A 12.如图，在正方体中，点，分别为棱，的中点，点为上底面的中心，过，，三点的平面把正方体分为两部分，其中含的部分为，不含的部分为，连结和的任一点，设与平面所成角为，则的最大值为A. B.C. D.【答案】B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考英语试卷
绝密★启用前河北省衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考英语试卷本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位遛。
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0.5 mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题;每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍.例：How much is the shirt?A. £ 19.15.B. £ 9.18.C. £ 9.15.答案是C。
1. What will the man do?A. Study with his brother.B. Take a math exam.C. Turn down the music.2. How many new words should the woman learn a week?A. 10. 20. C. 30.3. What is the probable relationship between the speakers?A. Father and son.B. Teacher and student.C. Colleagues.4. What does Mary like to do?A. Hide something.B. Speak out whatever she hopes to.C. Say what others want her to.5. What day is it today?A. Monday.B. Friday.C. Saturday.第二节（共15小题;每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
衡水中学2019届高三第一次摸底考试数学(理)试题(原卷版)
河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知全集U=R，则A. B.C. D.3.某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：2015年高考数据统计 2018年高考数据统计则下列结论正确的是A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C. 与2015年相比，2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加4.已知等差数列的公差为2，前项和为，且，则的值为A. 11B. 12C. 13D. 145.已知是定义在上的奇函数，若时，，则时，A. B. C. D.6.已知椭圆和直线，若过的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆的离心率为A. B. C. D.7.如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则A. B.C. D.8.某几何体的三视图如图所示，则此几何体( )A. 有四个两两全等的面B. 有两对相互全等的面C. 只有一对相互全等的面D. 所有面均不全等9.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形内部（含边界）随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（）A. B. C. D.10.已知函数（为自然对数的底数），若关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是A. B. C. D.11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为A. B. C. D.12.如图，在正方体中，点，分别为棱，的中点，点为上底面的中心，过，，三点的平面把正方体分为两部分，其中含的部分为，不含的部分为，连结和的任一点，设与平面所成角为，则的最大值为A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考理科数学
绝密★启用前河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考理科数学本试卷4页，23小题，满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上的相应位置。
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0.5mm 黑色笔记签字笔写在答题卡上。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数(34)z i i =--在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集U R =，2{|2}M x x x =-≥，则U M =ðA ．{|20}x x -<<B ．{|20}x x -≤≤C ．{|20}x x x <->或D ．{|20}x x x ≤-≥或3．某所高中2018年高考考生人数是2015年考生人数的1.5倍．为了更好的对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考各层次的达线率，得到如下柱状图则下列结论正确的是A ．与2015年相比，2018年一本达线人数减少B ．与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C ．与2015年相比，2018年艺体达线人数不变D ．与2015年相比，2018年未达线人数有所增加4．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且10100S =，则7a =A ．11B ．12C ．13D ．145．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若0x >时，()ln f x x x =，则0x <时，()f x =A ．ln x xB ．ln()x x -C ．ln x x -D ．ln()x x --6．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>和直线l ：143x y +=，若过椭圆C 的左焦点和下顶点的直线与直线l 平行，则椭圆C 的离心率为A ．45B ．35C ．34 D ．157．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =，则ED =A ．1233AD AB -B ．2133AD AB + C ．2133AD AB - D ．1233AD AB + 8．某几何体的三视图如图所示，则此几何体A ．有四个两两全等的面B ．有两个互相全等的面C ．只有一对互相全等的面D ．所有面都不全等9．赵爽是我国古代的数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可类似的构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成了一个大等边三角形．设22DF AF ==，若在大等边三角形中随即取一点，则此点来自小等边三角形的概率是A ．413BC ．926D 10．已知函数,0()ln ,0x e x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩（e 为自然对数的底数），若关于x 的方程()0f x a +=有两个不等的实根，则a 的取值范围是A ．1a >-B ．11a -<<C ．01a <≤D ．1a <11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 作圆222x y a +=的切线，交双曲线的右支于点M ，若1245F MF ∠=︒，则双曲线的渐近线方程为A ．y =B ．y =C ．y x =±D ．2y x =±12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是棱11,BB CC 的中点，点O 为上底面的中心，过,,E F O 三点的平面分别把正方体分为两部分，其中含有1A 的部分为几何体1V ，不含1A 的部分为几何体2V ，已知M 为几何体2V 中（内部与表面）的任意一点，设1A M 与平面1111A B C D 所成的角为α，则sin α的最大值为A ．BC ．5D ．6 二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数,x y 满足约束条件102400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为________．14．已知数列{}n a ，若数列1{3}n n a -的前n 项和11655n n T =⨯-，则5a =________． 15．由数字0，1组成的一串数字代码，其中恰好由7个1，3个0，则这样的不同数字代码共有______个．16．已知函数()sin()|2|(||)32f x x x ππϕϕ=-++-<的图像关于直线2x =对称，当[1,2]x ∈-时，()f x 的最大值为________． 三．解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题12分）如图，在ABC ∆中，P 是边BC 上一点，60APC ∠=︒，AB =4AP PB +=．（1）求BP 的长；（2）若AC =，求cos ACP ∠的值．18．（本小题12分）在ABC ∆中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，22AB BC CD ==，如图1．以DE 为轴将ADE ∆翻折，使点A 到达点P 的位置，如图2．（1）证明：平面BCP ⊥平面CEP ；（2）若平面DEP ⊥平面BCED ，求直线DP 与平面BCP 所成角的正弦值．19．（本小题12分）某高校为了对2018年录取的大一理工科新生有针对性地进行教学，从大一理工科新生中随机抽取40名，对他们2018年高考的数学分数进行分析，研究发现这40名新生的数学分数x 在[100,150)内，且其频率y 满足1020n y a =-（其中1010(1)n x n ≤<+，n N +∈） （1）求a 的值；（2）请画出这40名新生高考数学分数的频率的分布直方图，并估计这40名新生的高考数学分数的平均数（同一组中的数据用该组的中间值代替）（3）将此样本的频率估计为总体的太绿，随机调查4名该校的大一理工科新生，记调查的4名新生中“高考数学分数不低于130分”的人数为随机变量ξ，求ξ的数学期望．20．（本小题12分）已知抛物线E ：22(0)x py p =>的焦点为F ，0(2,)A y 是E 上一点，且||2AF =．（1）求E 的方程；（2）设点B 是E 上异于点A 的一点，直线AB 与直线3y x =-交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交E 于点M ，求证：直线BM 过定点．21．（本小题12分）已知函数()1()ax f x e x a R =--∈．（1）当1a =时，求证：()0f x ≥；（2）讨论函数()f x 的零点个数．请考生在22、23两题中任选一题作答，注意，只能做所选定的题目，如果多做则按所做的第一道题记分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题10分）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos (0)a a ρθθ=+>；直线l的参数方程为222x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于,M N 两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若点P 的极坐标为(2,)π，||||PM PN +=，求a 的值．23．[选修4—5：不等式选讲]（本小题10分）已知函数()|2|f x x =-．（1）求不等式(1)(3)f x xf x +<+的解集；（2）若函数2()log [(3)()2]g x f x f x a =++-的值域为R ，求实数a 的取值范围．。
河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考历史试题【答案见同名文件】
河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考历史本试卷8页，26小题，满分100分。
考试时间90分钟。
注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。
2. 全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。
3. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0.5 mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共20小题，每小题2分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 春秋时期，齐桓公并国三十;晋献公并国十七，服国三十八;楚庄王并国二十六;秦穆公并国十二;到战国初期,西周初年的将近一百个国家仅余十几个。
由此可知,诸侯争霸A.阻碍了社会经济进步B.导致了井田制的瓦解C.促进了国家局部统一D.推动了边疆地区开发2. 战国时代存在一种分封体制，其封君有在封邑征税的特权,但其相往往由国君从中央派遣到封邑，并由相主管治理和掌握兵权。
这表明战国时期A.传统分封体制基本延续B.管理体制呈现多元化C.封建割据经济基础强化D.周王室权力日渐衰微3. 北魏孝文帝推行均田制，主要内容：男丁授露田四十亩，桑田二十亩；妇人授露田二十亩。
奴婢和耕牛也相应授田。
据此可知，均田制A.加速了少数民族生产方式转变B.抑制了土地兼并现象C.导致了中原地区租佃关系盛行D.限制了官僚贵族利益4. 史载，唐代的公主中改嫁者即有27人，其中有2人甚至3嫁。
皇室如此，民间更为普遍,如大儒生韩愈的女儿就曾改嫁。
这一现象说明该时期A.打破儒家的伦理规范B.封建统治思想得不到认可C.儒家思想受佛道冲击D.社会风气开放和民族融合5. 宋代,城市中出现了专门的宠物市场。
宋人孟元老的《东京梦华录》中说，开封府的大相国寺,“每月五次开放,万姓交易，大三门上皆是飞禽猫犬之类，珍禽奇兽,无所不有”。
河北衡水中学2019届全国高三第一次(摸底)联考英语试题(附答案)
河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）1. What will the man do? A. Study with his brother. B. Take a math exam. C. Turn down the music.2. How many new words should the woman learn a week? A. 10. B. 20. C. 30.3. What is the probable relationship between the speakers?A. Father and son.B. Teacher and student.C. Colleagues.4. What does Mary like to do?A. Hide something.B. Speak out whatever she hopes to.C. Say what others want her to.5. What day is it today? A. Monday. B. Friday. C. Saturday.听第6段材料，回答第6、7题。
6. What does the woman decide to do?A. Stay at home and study hard all day.B. Study first and then go to the beach.C. Go to the beach now and study later.7. What did the woman do? A. Studied for a test. B. Put the test off. C. Delayed her study.听第7段材料，回答第8至10题。
8. Why does the woman ask the man for help?A. She was absent from school.B. She doesn’t study hard at school.C. She doesn’t believe what Sarah said.9. Why does the man refuse to lend his notes to Jessica?A. He wants to review them himself.B. He thinks she should read her own.C. He doesn’t want to share with others.10. What does the man suggest the woman do?A. Borrow Sarah’s notes.B. Go over her lessons herself.C. Invite him to lunch.听第8段材料，回答第11至13题。
河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试数学(理)试题(精品解析)
河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】直接由复数的乘法运算化简，求出z对应点的坐标，则答案可求．【详解】复数.对应的点为，位于第四象限.故选D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.已知全集U=R，则A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解二次不等式求出集合M，进而根据集合补集运算的定义，可得答案．【详解】∵全集U=R，M={x|x2＜2x}={x|0＜x＜2}，∴∁U M={x|x≤0或x≥2}，故选：C．【点睛】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，熟练掌握并正确理解集合运算的定义是解答的关键．3.某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：2015年高考数据统计 2018年高考数据统计则下列结论正确的是A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C. 与2015年相比，2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加【答案】D【解析】【分析】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.对于选项A.2015年一本达线人数为.2018年一本达线人数为，可见一本达线人数增加了，故选项A错误；对于选项B，2015年二本达线人数为，2018年二本达线人数为，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B错误；对于选项C，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C错误；对于选项D，2015年不上线人数为.2018年不上线人数为.不达线人数有所增加.故选D. 【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．4.已知等差数列的公差为2，前项和为，且，则的值为A. 11B. 12C. 13D. 14【答案】C【解析】【分析】由及公差为2.代入前项和公示，求出，得到挺喜欢上，即可求出的值.【详解】由及公差为2.得.所以，故.故选C.【点睛】本题考查等差数列的基本量计算，属基础题.5.已知是定义在上的奇函数，若时，，则时，A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，则由奇函数的性质f（-x）=-f（x），求出函数f（x）的解析式，【详解】设，则，所以.又因为是定义在上的奇函数，所以，所以.故选B.【点睛】本题考查函数的奇偶性的综合运用，属基础题.6.已知椭圆和直线，若过的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直线的斜率为，因为过的左焦点和下顶点的直线与平行，，由此可求椭圆的离心率.【详解】直线的斜率为，过的左焦点和下顶点的直线与平行，所以，又，所以，故选A.【点睛】本题考查椭圆的离心率求法，属基础题.7.如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量加法法则结合图像特点运算即可.【详解】.故选C.【点睛】本题考查向量的线性运算，属基础题.8.某几何体的三视图如图所示，则此几何体( )A. 有四个两两全等的面B. 有两对相互全等的面C. 只有一对相互全等的面D. 所有面均不全等【答案】B【解析】【分析】由三视图得到几何体的直观图，由三视图给出的几何量证明即可..【详解】几何体的直观图为四棱锥.如图.因为，，.所以≌.因为平面，所以.同理，.因为，，，所以≌.又与不全等.故选B.【点睛】本题考查三视图原原几何体，以及线面关系的有关证明，属中档题.9.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形内部（含边界）随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可．【详解】在中，，，，由余弦定理，得，所以.所以所求概率为.故选A.【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．10.已知函数（为自然对数的底数），若关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出函数的图像，利用数形结合法可求的取值范围，【详解】画出函数的图像如图所示，若关于的方程有两个不相等的实根，则函数与直线有两个不同交点，由图可知，所以.故选C.【点睛】本题考查方程的根个数的求参数的范围，考查数形结合思想方法，属于中档题．11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由双曲线的定义可得，结合条件可得，运用勾股定理，结合a，b，c的关系，可得，进而得到渐近线的斜率．【详解】如图，作于点.于点.因为与圆相切，，所以，，，.又点在双曲线上.所以.整理，得.所以.所以双曲线的渐近线方程为.故选A.【点睛】本题考查双曲线的渐近线的斜率，注意运用圆的切线的性质，结合双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．12.如图，在正方体中，点，分别为棱，的中点，点为上底面的中心，过，，三点的平面把正方体分为两部分，其中含的部分为，不含的部分为，连结和的任一点，设与平面所成角为，则的最大值为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】连结.可证平行四边形即为截面. 五棱柱为，三棱柱为，设点为的任一点，过点作底面的垂线，垂足为，连结，则即为与平面所成的角，所以.进而得到的最大值.【详解】连结.因为平面.所以过的平面与平面的交线一定是过点且与平行的直线.过点作交于点，交于点，则，连结，.则平行四边形即为截面.则五棱柱为，三棱柱为，设点为的任一点，过点作底面的垂线，垂足为，连结，则即为与平面所成的角，所以.因为，要使的正弦值最大，必须最大，最小，当点与点重合时符合题意.故.故选B.【点睛】本题考查了空间中的平行关系与平面公理的应用问题，考查线面角的求法，属中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019届河北衡水中学高三摸底联考(全国卷)数学(文)试卷【含答案及解析】
2019届河北衡水中学高三摸底联考（全国卷）数学（文）试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知集合，则如图所示阴影部分表示的集合为（）A．________ B．________ C．________ D．2. 已知向量，且，则实数的值为（）A．________ B．________ C．或________ D．3. 设复数满足为虚数单位），则复数对应的点位于复平面内（）A．第一象限________ B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4. 已知张卡片上分别写着数字，甲、乙两人等可能地从这张卡片中选择张，则他们选择同一张卡片的概率为（）A．________ B．________ C．________ D．5. 若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（）A．________ B．至多有一个________ C．________ D．6. 在四面体中，，则该四面体外接球的表面积是（）A．________ B．________ C．________ D．7. 已知为等差数列，为其前项和，公差为，若，则的值为（）A．________ B．________ C．________ D．8. 若函数的部分图象如图所示，则关于的描述中正确的是（）A．在上是减函数___________________________________B．在上是减函数______________________________C．在上是增函数___________________________________D．在上是增减函数9. 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）A. B. C. D.10. 函数的图象经过四个象限的一个充分必要条件是（）A． B．______________________________C． D．11. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．________ B．________ C．________ D．12. 已知函数，则关于的方程，当时实根个数为（）A．个________ B．个________ C．个 D．个二、填空题13. 中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为 _________ ．14. 曲线在处的切线方程为 _________ ．15. 某大型家电商场为了使每月销售和两种产品获得的总利润达到最大，对某月即将出售的和进行了相关调查，得出下表：如果该商场根据调查得来的数据，月总利润的最大值为 _________ 元．16. 如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字出现在第行；数字出现在第行；数字（从左至右）出现在第行；数字出现在第行，依此类推，則第行从左至右的第个数字应是_________ ．三、解答题17. 已知顶点在单位圆上的中,角、、所对的边分别为、、，且 .（1）求角的大小；（2）若 ,求的面积.18. 如图，三棱柱中, .（1）证明: ；（2）若 ,求三棱住的体积.19. 某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出盒该产品获利润元；未售出的产品，每盒亏损元 . 根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示，该同学为这个开学季购进了盒该产品，以（单位：盒，）表示这个开学季内的市场需求量，（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润 .（ 1 ）根据直方图估计这个开学季内市场需求量的中位数；（ 2 ）将表示为的函数；（ 3 ）根据直方图估计利润不少于元的概率 .20. 在平面直角坐标系中,过点的直线与抛物线相交于两点, .（1）求证: 为定值；（2）是否存在平行于轴的定直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求该直线方程和弦长；如果不存在，说明理由.21. 已知函数 .（1）当时,求函数在上的最大值和最小值；（2）设 ,且对于任意的 ,试比较与的大小.22. 如图, 四点在同一个圆上，与的延长线交于点 ,点在的延长线上.（1）若 ,求的值；（2）若 ,证明: .23. 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴非负半轴重合，直线的参数方程为:为参数） ,曲线的极坐标方程为: .（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;（2）设直线与曲线相交于两点,求的值.24. 已知函数 .（1）解不等式；（2）若对任意 ,都有 ,使得成立,求实数的取值范围.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。
【全国百强校】河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试数学(文)试题
河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底考试文科数学试卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}3,1,0,1,3A =--，{}2|30B x x x =+=，则AB =（ ）A.{}3,0,3-B.{}3,0-C.{}0,3D.{}3,1,0,1,3--2.在复平面内，复数32iz i-+=（i 为虚数单位）对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.某地某高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015和2018年高考情况，得到如下饼图：2018年与2015年比较，下列结论正确的是（ ） A.一本达线人数减少 B.二本达线人数增加了0.5倍C.艺体达线人数相同D.不上线的人数有所增加4.如图，在等腰梯形ABCD 中，1,2DC AB BC CD DA ===，DE AC ⊥于点E ，则DE =（ ）A.1122AB AC - B.1122AB AC +C.1124AB AC - D.1124AB AC + 5.将一个圆柱形钢锭切割成一个棱长为4的正方体零件，则所需圆柱形钢锭的体积的最小值为（ ）A.16πB.32πC.128πD.6.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x >时，()3f x x x =-，则函数()f x 的图像在点()()1,1f --处的切线方程是（ ）A.20x y +-=B.0x y +=C.10x y ++=D.20x y ++=7.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，直线x =C 交于,A B 两点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥，则椭圆的方程为（ ）A.2212x y +=B.22142x y +=C.22184x y += D.22163x y += 8.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半圆弧且点E 为下底面半圆弧上一点（异于点,B C ），则关于该几何体的说法正确的是（ ）A.BE AC ⊥B.DE AE ⊥C.CE ⊥平面ABED.BD ⊥平面ACE9.若将函数()()sin cos 06f x x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的图像向左平移6π个单位长度后的图像关于y 轴对称，则当ω取最小整数时，函数()f x 的图像的一个对称中心是（ ） A.4,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.5,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭C.,03π⎛⎫⎪⎝⎭D.2,03π⎛⎫-⎪⎝⎭10.如图所示，在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB =，4BC =，O 为底面ABCD 两条对角线的交点，1AO 与平面11CDD C 所成的角为30︒，则该长方体的表面积为（ ）A.16B.C.D.1611.已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在α的始边上有点A ，终边上有点()(),20B m m m ->，满足OA OB =，若OAB θ∠=，则2sin 22sin 1cos 2θθθ+=+（ ） A.12B.2C.4D.112.已知函数()2017,2019,312020,2019,2018x m x f x m x x -⎧≥⎪=⎨⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎩数列{}n a 满足：(),n a f n n N *=∈，且{}n a 是单调递增函数，则实数m 的取值范围是（ ） A.(]1,2B.()1,2C.()2,+∞D.()1,+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.3415log log 9lg 2lg 222∙++=________. 14.已知实数,x y 满足约束条件0,10,10,y x x y y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =+的最大值为________.15.已知直线)1y x =-被圆2220x y x k +++=截得的弦长为2，则k =________.16.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4c =，a A =，且C 为锐角，则ABC ∆面积的最大值为________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.17.已知数列{}n a 满足11a =，123n n a a +-=，设1n n b a =+. （1）求123,,b b b ；（2）证明：数列{}n b 为等比数列； （3）求{}n a 的通项公式.18.在平行四边形ABCD 中，3AB =，2BC =，过A 点作CD 的垂线，交CD 的延长线于点E，AE =连结EB ，交AD 于点F ，如图1，将ADE ∆沿AD 折起，使得点E 到达点P 的位置，如图2.（1）证明：平面BFP ⊥平面BCP ；（2）若G 为PB 的中点，H 为CD 的中点，且平面ADP ⊥平面ABCD ，求三棱锥G BCD -的体积. 19.某高校数学学院为了对2018年录取的大一新生有针对性地进行教学.从大一新生中随机抽取40名，对他们在2018年高考的数学成绩进行调查，统计发现40名新生的数学分数x 分布在[)100,150内.当())10,101,x n n n N *∈+∈⎡⎣时，其频率1020ny a =-.（1）求a 的值；（2）请在答题卡中画出这40名新生高考数学分数的频率分布直方图，并估计这40名新生的高考数学分数的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）.（3）若高考数学分数不低于120分的为优秀，低于120分的为不优秀，则按高考成绩优秀与否从这40名新生中用分层抽样的方法抽取4名学生，再从这4名学生中随机抽取2名，求这2名学生的高考成绩均为优秀的概率.20.已知直线l 交抛物线2:4C x y =于两点，过点,A B 分别作抛物线C 的切线，若两条切线互相垂直且交于点M .（1）证明：直线l 恒过定点；（2）若直线l 的斜率为1，求点M 的坐标. 21.已知函数()ln ,,f x x ax b a b R =++∈. （1）讨论)(x f 的单调性；（2）当0a =,12,x x 为两个不相等的正数，证明：()()1212122f x f x x x x x -->+.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中,以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2sin 2cos 0a a ρθθ=+>；直线l的参数方程为22x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.直线l 与曲线C 分别交于,M N 两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若点P 的极坐标为()2,π，PM PN +=a 的值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()2f x x =-.（1）求不等式()1f x x x <++的解集；（2）若函数()()()2log 32f x f x f x a =++-⎡⎤⎣⎦的定义域为R ,求实数a 的取值范围.河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底考试文科数学试卷参考答案一、选择题1.B 【解析】{}3,0B =-，则{}3,0A B =-.2.C 【解析】复数3212iz i i-+==--，则z 对应的点为()1,2--，位于第三象限. 3.D 【解析】不妨设2015年的高考人数为100，则2018年的高考人数为150.2015年一本达线人数为28,2018年一本达线人数为36，可见一本达线人数增加了，故选项A 错误；2015年二本达线人数为32，2018年二本达线人数为60，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B 错误；艺体达线比例没变，但是高考人数是不相同的，故选项C 错误；2015年不上线人数为32,2018年不上线人数为42，不上线人数有所增加，故选项D 正确. 4.A 【解析】由题意得，()11111112222222DE DA DC DC CA DC DC AC AB AC =+=++=-=-，故选A .5.B 【解析】由题意知，当正方体为圆柱的内接正方体，且正方体的两个面位于圆柱体上、下底面时，圆柱形钢锭体积最小，此时圆柱的底面半径是正方体面对角线的一半，即为4，故圆柱形钢锭的体积为(2432ππ⨯⨯=.6.C 【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时，0x ->，()()2f x f x x x =-=+，()21f x x '=+，则()11f '-=-.因为()10f -=，所以函数()f x 的图像在点()()1,1f --处的切线方程是10x y ++=. 7.D【解析】设直线x =)0Ay ，因为OA OB ⊥，所以0yA，由22222221,2a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩可得26a =，23b =，故所求椭圆的方程为22163x y +=. 8.C 【解析】若BE AC ⊥，因为BE AB ⊥，AB AC A =，所以BE ⊥平面ABC ，又因为BC ⊂平面ABC ，所以BE AC ⊥，不成立，所以A 不正确；因为22222222212DE AE CE BE AD +=+++=≠，因此90AED ∠≠︒，即DE 与AE 不垂直，所以B 不正确； 因为BC 为半圆的直径，所以BE CE ⊥，又因为CE AB ⊥，ABBE B =，所以CE ⊥平面ABE ，所以C 正确；假设BD ⊥平面ACE ，则B D C E ⊥，又C E D C ⊥，BDDC D =，所以CE ⊥平面ABCD ，所以CE BC ⊥，与90CEB ∠=︒矛盾，所以D 不正确. 9.B 【解析】因为()sin cos 6f x x x πωω⎛⎫=++⎪⎝⎭1sin sin 2x x x ωωω=+-1sin 2x x ωω=+ sin 3x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又将函数()f x 的图像向左平移6π个单位长度后的图像关于y 轴对称，所以函数()f x 的图像关于直线6x π=对称，则()632k k Z πππωπ+=+∈，即()61k k Z ω=+∈.因为0ω>，所以min 1ω=，此时()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()3x k k Z ππ+=∈，得()3x k k Z ππ=-∈，易知B 正确.10.A 【解析】因为平面11//CDD C 平面11ABB A ，所以1AO 与平面11CDD C 所成的角等于1AO 与平面11ABB A 所成的角，均为30︒.如图，过底面ABCD 的对角线交点O 作OE AB ⊥交AB 于点E ，则12OE BC =，又因为OE ⊂平面ABCD ，平面11ABB A 平面ABCD AB =，所以OE ⊥平面11ABB A .连结1A E ，则130OA E ∠=︒.在1Rt A EO ∆中，2OE =，130OA E ∠=︒，所以1A E =在1Rt A AE ∆中，1AE =，所以1A A =故长方体的表面积为16.11.D 【解析】根据题意知()22k k Z αθππ+=+∈，所以()tan2tan 2tan 2k θππαα=+-=-=，即22tan 21tan θθ=-.整理得2tan tan 1θθ+=，所以2222sin 22sin 2cos 2sin tan tan 11cos 22cos θθθθθθθθ++==+=+. 12.C 【解析】因为{}n a 是单调递增数列，()2017,2019,312020,2019,2018n n m n a f n m n n -⎧≥⎪==⎨⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎩ 所以1m >，3102018m +>，且2019201731201820202018m m -⎛⎫+⨯-< ⎪⎝⎭，解得2m >. 二、填空题13.0【解析】3415lg 2lg95log log 9lg 2lg 2lg 411022lg3lg 42-⎛⎫∙++=∙+⨯=-+= ⎪⎝⎭. 14.5【解析】可行域如图所示，作出直线3y x z =-+，可知z 要取最大值，即直线经过点C .解方程组10,10,x y y +-==⎧⎨+=⎩得()2,1C -，所以()min 3215z =⨯+-=.15.-3【解析】圆2220x y x k +++=化为标准方程为()2211x y k ++=-，圆心坐标为()1,0-，)1r k =<，圆心到直线)1y x =-的距离d ==所以221rd -=，即221-=，解得3k =-.16.4+4c =，又sin sin c a C A ==，所以sin 2C =，又C 为锐角，所以4C π=.因为(222222cos 2c a b ab C a b ab =+-=+≥，所以(82ab ≤=+，当且仅当a b ==即1sin 424ABC S ab C ∆==≤+即当a b ==ABC∆面积的最大值为4+ 三、解答题17.（1）解：由123n n a a +-=，得132n n a a +=+. 因为11a =，所以2132325,3217a a a a =+==+=. 所以12b =，26b =，318b =. （2）证明：因为11133311n n n n n n b a a b a a ++++===++， 所以{}n b 是首项为2，公比为3的等比数列. （3）解：由（2）得1231n n b -=⨯-， 而1n n b a =+，所以1231n n a -=⨯-.18.（1）证明：如题图1，在Rt BAE ∆中，3AB=，AE =60AEB ∠=︒. 在Rt AED ∆中，2AD =，所以30DAE ∠=︒. 所以BE AD ⊥.如题图2，PF AD ⊥，BF AD ⊥.又因为//AD BC ，所以PF BC ⊥，BF BC ⊥，PF BF F =，所以BC ⊥平面BFP ，又因为BC ⊂平面BCP ，所以平面BFP ⊥平面BCP . （2）解法一：因为平面ADP ⊥平面ABCD ， 平面ADP平面ABCD AD =，PF ⊂平面ADP ，PF AD ⊥，所以PF ⊥平面ABCD .取BF 的中点为O ，连结GO ，则//GO PF ，所以GO ⊥平面ABCD . 即GO 为三棱锥G BCH -的高.且11sin 3022GO PF PA ==⨯︒=因为，三棱锥G BCH -的体积为11113=332616BCH BCD G BCH V S GO S ∆∆-∙=⨯==三棱锥.解法二：因为平面ADP ⊥平面ABCD ，平面ADP 平面ABCD AD =，PF ⊂平面ADP ，，所以PF ⊥平面ABCD . 因为G 为PB 的中点. 所以三棱锥G BCH -的高等于12PF . 因为H 为CD 的中点，所以BCH ∆的面积是四边形ABCD 的面积的14，从而三棱锥G BCH -的体积是四棱锥P ABCD -的体积的18.面113332P ABCD ABCDV S PF -=⨯∙=⨯=， 所以三棱锥G BCH -的体积为316.19.解：（1）由题意知，n 的取值为10,11,12,13,14. 把n 的取值分别代入1020ny a =-，可得 ()()()()()0.5100.55100.6100.65100.7101a a a a a -+-+-+-+-=.解得0.04a =.（2）频率分布直方图如图，这40名新生的高考数学分数的平均数为1050.101150.151250.201350.251450.30130⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）这40名新生的高考数学分数在[)100,120的频率为0.10.150.25+=，所以高考数学成绩不优秀和优秀的频率比0.25:0.751:3=.按高考数学成绩优秀与否分层抽样的方法从40名学生中抽取的4名学生中有3名学生高考成绩优秀，记,,,A B C D 为4名学生，其中,,B C D 为3名高考数学成绩优秀的学生. 从4名学生中随机抽取2名学生的基本事件为,,,,,AB AC AD BC BD CD ，共个， 2名学生高考数学成绩均优秀的事件为,,BC BD CD ，共3个， 故所求的概率为3162=. 20.（1）证明：易知直线l 的斜率存在，设直线:l y kx b =+，211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫⎪⎝⎭.由2,4y kx b x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx b --=，所以124x x k +=，124x x b =-.由24x y =，得24x y =，所以2x y '=，所以直线AM 的斜率为12AM x k =，直线的斜率为22BM xk =.因为MA MB ⊥，所以12121224AM BM x x x x k k =∙==-，即124x x =-， 所以44b -=-，得1b =，所以直线:1l y kx =+，故直线l 恒过定点()0,1.（2）解：由（1）得直线l 的斜率为1时，124x x +=，124x x =-.直线AM 的方程为()211242x x y x x -=-，即21124x x y x =-， 同理直线BM 的方程为()222242x x y x x -=-，即22224x x y x =-， 上面两式联立得122x x x +=，124x x y =，所以点M 的坐标为1212,24x x x x +⎛⎫⎪⎝⎭，即()2,1M -.21.（1）解：函数)(x f 的定义域为()0,+∞，11()axf x a x x+'=+=. 若0a ≥，1()0axf x x+'=>，则)(x f 在区间()0,+∞内为增函数； 若0a <，令1()0ax f x x +'==，得10x a =->.则当10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，)(x f 在区间10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭内为增函数；当1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，)(x f 在区间1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭内为减函数. （2）证明：当0a =时，()ln f x x b =+.不妨设120x x >>，则原不等式等价于11212211ln 21x x x x x x ->+，令12x x x =，则原不等式也等价于()()21ln 11x x x x ->>+，即()4ln 2011x x x +->>+. 下面证明当()1x >时，4ln 201x x +->+恒成立. 设()4ln 21h x x x =+-+，则()()()()222114h 011x x x x x x -'=-=>++， 故()h x 在区间()1,+∞内为增函数，()()10h x h >=，即4ln 201x x +->+，所以()()1212122f x f x x x x x -->+. 22.解：（1）由()2sin 2cos 0a a ρθθ=+>，得()22sin 2cos 0a a ρρθρθ=+>，所以曲线C 的直角坐标方程为2222x y y ax +=+，即()()22211x a y a -+-=+.由直线l 的参数方程得直线l 的普通方程为2y x =+.（2）将直线l的参数方程22x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2222x y y ax +=+，化简并整理，得()2440t t a -++=.因为直线l 与曲线C 分别交于,M N两点，所以()()24440a ∆=-+>，解得1a ≠、由一元二次方程根与系数的关系，得12t t +=，1244t t a =+.又因为0a >，所以120t t >.因为点P 的直角坐标为()2,0-，且在直线l 上，所以12PM PN t t +=+== 解得2a =，此时满足0a >，且1a ≠， 故2a =.23.解：（1）由已知不等式()1f x x x <++，得21x x x -<++，当2x >时，绝对值不等式可化为21x x x -<++，解得3x >-，所以2x >； 当12x -≤≤时，绝对值不等式可化为21x x x -<++，解得13x >，所以123x <≤； 当1x <-时，由21x x x -<--得3x >，此时无解.综上可得所求不等式的解集为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）要使函数()()()2log 32f x f x f x a =++-⎡⎤⎣⎦的定义域为R ， 只要()()()32g x f x f x a =++-的最小值大于0即可.又()12232g x x x a a =++--≥-，当且仅当[]1,2x ∈-时取等号. 所以只需320a ->，即32a <. 所以实数a 的取值范围是3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.。
河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试数学(理)试题(解析版)
河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】直接由复数的乘法运算化简，求出z对应点的坐标，则答案可求．【详解】复数.对应的点为，位于第四象限.故选D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.已知全集U=R，则A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解二次不等式求出集合M，进而根据集合补集运算的定义，可得答案．【详解】∵全集U=R，M={x|x2＜2x}={x|0＜x＜2}，∴∁U M={x|x≤0或x≥2}，故选：C．【点睛】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，熟练掌握并正确理解集合运算的定义是解答的关键．3.某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：2015年高考数据统计 2018年高考数据统计则下列结论正确的是A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C. 与2015年相比，2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加【答案】D【解析】【分析】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.对于选项A.2015年一本达线人数为.2018年一本达线人数为，可见一本达线人数增加了，故选项A错误；对于选项B，2015年二本达线人数为，2018年二本达线人数为，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B错误；对于选项C，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C错误；对于选项D，2015年不上线人数为.2018年不上线人数为.不达线人数有所增加.故选D. 【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．4.已知等差数列的公差为2，前项和为，且，则的值为A. 11B. 12C. 13D. 14【答案】C【解析】【分析】由及公差为2.代入前项和公示，求出，得到挺喜欢上，即可求出的值.【详解】由及公差为2.得.所以，故.故选C.【点睛】本题考查等差数列的基本量计算，属基础题.5.已知是定义在上的奇函数，若时，，则时，A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，则由奇函数的性质f（-x）=-f（x），求出函数f（x）的解析式，【详解】设，则，所以.又因为是定义在上的奇函数，所以，所以.故选B.【点睛】本题考查函数的奇偶性的综合运用，属基础题.6.已知椭圆和直线，若过的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直线的斜率为，因为过的左焦点和下顶点的直线与平行，，由此可求椭圆的离心率.【详解】直线的斜率为，过的左焦点和下顶点的直线与平行，所以，又，所以，故选A.【点睛】本题考查椭圆的离心率求法，属基础题.7.如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量加法法则结合图像特点运算即可.【详解】.故选C.【点睛】本题考查向量的线性运算，属基础题.8.某几何体的三视图如图所示，则此几何体( )A. 有四个两两全等的面B. 有两对相互全等的面C. 只有一对相互全等的面D. 所有面均不全等【答案】B【解析】【分析】由三视图得到几何体的直观图，由三视图给出的几何量证明即可..【详解】几何体的直观图为四棱锥.如图.因为，，.所以≌.因为平面，所以.同理，.因为，，，所以≌.又与不全等.故选B.【点睛】本题考查三视图原原几何体，以及线面关系的有关证明，属中档题.9.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形内部（含边界）随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可．【详解】在中，，，，由余弦定理，得，所以.所以所求概率为.故选A.【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．10.已知函数（为自然对数的底数），若关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出函数的图像，利用数形结合法可求的取值范围，【详解】画出函数的图像如图所示，若关于的方程有两个不相等的实根，则函数与直线有两个不同交点，由图可知，所以.故选C.【点睛】本题考查方程的根个数的求参数的范围，考查数形结合思想方法，属于中档题．11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由双曲线的定义可得，结合条件可得，运用勾股定理，结合a，b，c的关系，可得，进而得到渐近线的斜率．【详解】如图，作于点.于点.因为与圆相切，，所以，，，.又点在双曲线上.所以.整理，得.所以.所以双曲线的渐近线方程为.故选A.【点睛】本题考查双曲线的渐近线的斜率，注意运用圆的切线的性质，结合双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．12.如图，在正方体中，点，分别为棱，的中点，点为上底面的中心，过，，三点的平面把正方体分为两部分，其中含的部分为，不含的部分为，连结和的任一点，设与平面所成角为，则的最大值为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】连结.可证平行四边形即为截面. 五棱柱为，三棱柱为，设点为的任一点，过点作底面的垂线，垂足为，连结，则即为与平面所成的角，所以.进而得到的最大值.【详解】连结.因为平面.所以过的平面与平面的交线一定是过点且与平行的直线.过点作交于点，交于点，则，连结，.则平行四边形即为截面.则五棱柱为，三棱柱为，设点为的任一点，过点作底面的垂线，垂足为，连结，则即为与平面所成的角，所以.因为，要使的正弦值最大，必须最大，最小，当点与点重合时符合题意.故.故选B.【点睛】本题考查了空间中的平行关系与平面公理的应用问题，考查线面角的求法，属中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北衡水中学2019年度届全国高三第一次摸底联考理科数学
绝密★启用前河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考理科数学本试卷4页，23小题，满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上的相应位置。
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0.5mm 黑色笔记签字笔写在答题卡上。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数(34)z i i =--在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集U R =，2{|2}M x x x =-≥，则U M =ðA ．{|20}x x -<<B ．{|20}x x -≤≤C ．{|20}x x x <->或D ．{|20}x x x ≤-≥或3．某所高中2018年高考考生人数是2015年考生人数的1.5倍．为了更好的对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考各层次的达线率，得到如下柱状图则下列结论正确的是A ．与2015年相比，2018年一本达线人数减少B ．与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C ．与2015年相比，2018年艺体达线人数不变D ．与2015年相比，2018年未达线人数有所增加4．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且10100S =，则7a =A ．11B ．12C ．13D ．14 5．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若0x >时，()ln f x x x =，则0x <时，()f x =A ．ln x xB ．ln()x x -C ．ln x x -D ．ln()x x --6．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>和直线l ：143x y +=，若过椭圆C 的左焦点和下顶点的直线与直线l 平行，则椭圆C 的离心率为A ．45 B ．35C ．34D ．157．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =u u u r u u u r ，则ED =u u u rA ．1233AD AB -u u ur u u u rB ．2133AD AB +u u ur u u u rC ．2133AD AB -u u ur u u u rD ．1233AD AB +u u ur u u u r8．某几何体的三视图如图所示，则此几何体 A ．有四个两两全等的面 B ．有两个互相全等的面 C ．只有一对互相全等的面 D ．所有面都不全等9．赵爽是我国古代的数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可类似的构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成了一个大等边三角形．设22DF AF ==，若在大等边三角形中随即取一点，则此点来自小等边三角形的概率是A ．413B ．213C ．926D ．31310．已知函数,0()ln ,0x e x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩（e 为自然对数的底数），若关于x 的方程()0f x a +=有两个不等的实根，则a 的取值范围是A ．1a >-B ．11a -<<C ．01a <≤D ．1a <11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 作圆222x y a +=的切线，交双曲线的右支于点M ，若1245F MF ∠=︒，则双曲线的渐近线方程为A ．2y x =±B ．3y x =±C ．y x =±D ．2y x =±12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是棱11,BB CC 的中点，点O 为上底面的中心，过,,E F O 三点的平面分别把正方体分为两部分，其中含有1A 的部分为几何体1V ，不含1A 的部分为几何体2V ，已知M 为几何体2V 中（内部与表面）的任意一点，设1A M 与平面1111A B C D 所成的角为α，则sin α的最大值为A ．22 B ．25C ．265D ．266二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数,x y 满足约束条件102400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为________．14．已知数列{}n a ，若数列1{3}n n a -的前n 项和11655n n T =⨯-，则5a =________．15．由数字0，1组成的一串数字代码，其中恰好由7个1，3个0，则这样的不同数字代码共有______个． 16．已知函数()sin()|2|(||)32f x x x ππϕϕ=-++-<的图像关于直线2x =对称，当[1,2]x ∈-时，()f x 的最大值为________．三．解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题12分）如图，在ABC ∆中，P 是边BC 上一点，60APC ∠=︒，AB =4AP PB +=．（1）求BP 的长； （2）若AC =，求cos ACP ∠的值．18．（本小题12分）在ABC ∆中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，22AB BC CD ==，如图1．以DE 为轴将ADE ∆翻折，使点A 到达点P 的位置，如图2．（1）证明：平面BCP ⊥平面CEP ；（2）若平面DEP ⊥平面BCED ，求直线DP 与平面BCP 所成角的正弦值． 19．（本小题12分）某高校为了对2018年录取的大一理工科新生有针对性地进行教学，从大一理工科新生中随机抽取40名，对他们2018年高考的数学分数进行分析，研究发现这40名新生的数学分数x 在[100,150)内，且其频率y 满足1020ny a =-（其中1010(1)n x n ≤<+，n N +∈） （1）求a 的值；（2）请画出这40名新生高考数学分数的频率的分布直方图，并估计这40名新生的高考数学分数的平均数（同一组中的数据用该组的中间值代替）（3）将此样本的频率估计为总体的太绿，随机调查4名该校的大一理工科新生，记调查的4名新生中“高考数学分数不低于130分”的人数为随机变量ξ，求ξ的数学期望． 20．（本小题12分） 已知抛物线E ：22(0)x py p =>的焦点为F ，0(2,)A y 是E 上一点，且||2AF =． （1）求E 的方程；（2）设点B 是E 上异于点A 的一点，直线AB 与直线3y x =-交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交E 于点M ，求证：直线BM 过定点． 21．（本小题12分）已知函数()1()axf x e x a R =--∈．（1）当1a =时，求证：()0f x ≥； （2）讨论函数()f x 的零点个数．请考生在22、23两题中任选一题作答，注意，只能做所选定的题目，如果多做则按所做的第一道题记分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题10分）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos (0)a a ρθθ=+>；直线l的参数方程为222x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于,M N 两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若点P 的极坐标为(2,)π，||||PM PN +=，求a 的值．23．[选修4—5：不等式选讲]（本小题10分） 已知函数()|2|f x x =-．（1）求不等式(1)(3)f x xf x +<+的解集；（2）若函数2()log [(3)()2]g x f x f x a =++-的值域为R ，求实数a 的取值范围．。
河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试数学(理)试题(精品解析)
河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】直接由复数的乘法运算化简，求出z对应点的坐标，则答案可求．【详解】复数.对应的点为，位于第四象限.故选D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.已知全集U=R，则A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解二次不等式求出集合M，进而根据集合补集运算的定义，可得答案．【详解】∵全集U=R，M={x|x2＜2x}={x|0＜x＜2}，∴∁U M={x|x≤0或x≥2}，故选：C．【点睛】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，熟练掌握并正确理解集合运算的定义是解答的关键．3.某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：2015年高考数据统计 2018年高考数据统计则下列结论正确的是A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C. 与2015年相比，2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加【答案】D【解析】【分析】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.对于选项A.2015年一本达线人数为.2018年一本达线人数为，可见一本达线人数增加了，故选项A错误；对于选项B，2015年二本达线人数为，2018年二本达线人数为，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B错误；对于选项C，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C错误；对于选项D，2015年不上线人数为.2018年不上线人数为.不达线人数有所增加.故选D. 【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．4.已知等差数列的公差为2，前项和为，且，则的值为A. 11B. 12C. 13D. 14【答案】C【解析】【分析】由及公差为2.代入前项和公示，求出，得到挺喜欢上，即可求出的值.【详解】由及公差为2.得.所以，故.故选C.【点睛】本题考查等差数列的基本量计算，属基础题.5.已知是定义在上的奇函数，若时，，则时，A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，则由奇函数的性质f（-x）=-f（x），求出函数f（x）的解析式，【详解】设，则，所以.又因为是定义在上的奇函数，所以，所以.故选B.【点睛】本题考查函数的奇偶性的综合运用，属基础题.6.已知椭圆和直线，若过的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直线的斜率为，因为过的左焦点和下顶点的直线与平行，，由此可求椭圆的离心率.【详解】直线的斜率为，过的左焦点和下顶点的直线与平行，所以，又，所以，故选A.【点睛】本题考查椭圆的离心率求法，属基础题.7.如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量加法法则结合图像特点运算即可.【详解】.故选C.【点睛】本题考查向量的线性运算，属基础题.8.某几何体的三视图如图所示，则此几何体( )A. 有四个两两全等的面B. 有两对相互全等的面C. 只有一对相互全等的面D. 所有面均不全等【答案】B【解析】【分析】由三视图得到几何体的直观图，由三视图给出的几何量证明即可..【详解】几何体的直观图为四棱锥.如图.因为，，.所以≌.因为平面，所以.同理，.因为，，，所以≌.又与不全等.故选B.【点睛】本题考查三视图原原几何体，以及线面关系的有关证明，属中档题.9.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形内部（含边界）随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可．【详解】在中，，，，由余弦定理，得，所以.所以所求概率为.故选A.【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．10.已知函数（为自然对数的底数），若关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出函数的图像，利用数形结合法可求的取值范围，【详解】画出函数的图像如图所示，若关于的方程有两个不相等的实根，则函数与直线有两个不同交点，由图可知，所以.故选C.【点睛】本题考查方程的根个数的求参数的范围，考查数形结合思想方法，属于中档题．11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由双曲线的定义可得，结合条件可得，运用勾股定理，结合a，b，c的关系，可得，进而得到渐近线的斜率．【详解】如图，作于点.于点.因为与圆相切，，所以，，，.又点在双曲线上.所以.整理，得.所以.所以双曲线的渐近线方程为.故选A.【点睛】本题考查双曲线的渐近线的斜率，注意运用圆的切线的性质，结合双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．12.如图，在正方体中，点，分别为棱，的中点，点为上底面的中心，过，，三点的平面把正方体分为两部分，其中含的部分为，不含的部分为，连结和的任一点，设与平面所成角为，则的最大值为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】连结.可证平行四边形即为截面. 五棱柱为，三棱柱为，设点为的任一点，过点作底面的垂线，垂足为，连结，则即为与平面所成的角，所以.进而得到的最大值.【详解】连结.因为平面.所以过的平面与平面的交线一定是过点且与平行的直线.过点作交于点，交于点，则，连结，.则平行四边形即为截面.则五棱柱为，三棱柱为，设点为的任一点，过点作底面的垂线，垂足为，连结，则即为与平面所成的角，所以.因为，要使的正弦值最大，必须最大，最小，当点与点重合时符合题意.故.故选B.【点睛】本题考查了空间中的平行关系与平面公理的应用问题，考查线面角的求法，属中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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某某某某中学2019届全国高三第一次摸底联考理科数学本试卷4页，23小题，总分为150分。
考试时间120分钟。
须知事项：1.答题前，考生务必将自己的某某、某某号填写在答题卡上相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3.回答选择题时，选出每一小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0.5mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试完毕后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：此题共12小题，每一小题5分，共60分。
在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
()34z i i =--在复平面内对应的点位于R ，22x x -≥，如此A.{}20x x -<< B.{}20x x -≤≤ C.{}20x x x <->或 D.{}20x x x ≤-≥或3.某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地比照该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：2015年高考数据统计2018年高考数据统计 如此如下结论正确的答案是A.与2015年相比，2018年一本达线人数减少C.与2015年相比，2018年艺体达线人数一样D.与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且10100S =，如此7a 的值为()f x 是定义在R 上的奇函数，假如0x >时，()ln f x x x =，如此0x <时，()f x =A.ln x xB.()ln x x -C.ln x x -D.()ln x x --()2222:10x y C a b a b+=>>和直线:143x y l +=，假如过C 的左焦点和下顶点的直线与平行，如此椭圆C 的离心率为A.45B.35C.34D.157.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =，如此ED =A.1233AD AB - B.2133AD AB + C.2133AD AB - D.1233AD AB + 8.某几何体的三视图如下列图，如此此几何体9.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图〞，亦称“赵爽弦图〞〔以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的〕.类比“赵爽弦图〞，可类似地构造如下列图的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设22DF AF ==，假如在大等边三角形中随机取一点，如此此点取自小等边亚角形的概率是A.413B.21313C.926D.31326 (),0,ln ,0x e x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩〔e 为自然对数的底数〕，假如关于x 的方程()0f x a +=有两个不相等的实根，如此a 的取值X 围是A.1a >-B.11a -<<C.01a <≤D.1a <()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作圆222x y a +=的切线，交双曲线右支于点M ，假如1245F MF ∠=︒，如此双曲线的渐近线方程为A.2y =±B.3y x =±C.y x =±D.2y x =±12.如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别为棱1BB ，1CC 的中点，点O 为上底面的中心，过E ，F ，O 三点的平面把正方体分为两局部，其中含1A 的局部为1V ，不含1A 的局部为2V ，连结1A 和2V 的任一点M ，设1A M 与平面1111A B C D 所成角为α，如此sin α的最大值为A.22252626 二、填空题：此题共4小题，每一小题5分，共20分。
x ，y 满足约束条件10,240,0,x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，如此2z x y =-的最小值为________.{}n a ，假如数列{}13n n a -的前n 项和11655n nT =⨯-，如此5a 的值为________. 15.由数字0，1组成的一串数字代码，其中恰好有7个1，3个0，如此这样的不同数字代码共有____________个.16函数()sin 232f x x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=-++-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图像关于直线2x =对称，当[]1,2x ∈-时，()f x 的最大值为____________.三、解答题：共70分。
解答应写出文学说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个考试都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
〔一〕必考题：60分。
17.〔12分〕如图，在ABC ∆中，P 是BC 边上的一点，60APC ∠=︒，23AB =，4AP PB +=. 〔1〕求BP 的长； 〔2〕假如534AC =，求cos ACP ∠的值.18.〔12分〕在ABC ∆中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，22AB BC CD ==DE 为折痕将ADE ∆折起，使点A 到达点P 的位置，如图2.〔1〕证明：平面BCP ⊥平面CEP ；〔2〕假如平面DEP ⊥平面BCED ，求直线DP 与平面BCP 所成角的正弦值。
如图1如图219.〔12分〕某高校为了对2018年录取的大一理工科新生有针对性地进展教学，从大一理工科新生中随机抽取40名，对他们2018年高考的数学分数进展分析，研究发现这40名新生的数学分数x 在[]100,150内，且其频率y 满足1020ny a =-〔其中()10101n x n ≤<+，*n N ∈〕.〔1〕求a 的值；〔2〕请画出这20名新生高考数学分数的频率分布直方图，并估计这40名新生的高考数学分数的平均数〔同一组中的数据用该组区间的中点值作代表〕；〔3〕将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查4名该校的大一理工科新生，记调查的4名大一理工科新生中“高考数学分数不低于130分〞的人数为随机变量，求的数学期望.20.(12分〕抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，()02,A y 是E 上一点，且2AF =. 〔1〕求E 的方程；〔2〕设点B 是上异于点A 的一点，直线AB 与直线3y x =-交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交E 于点M ，证明：直线BM 过定点.21.(12分〕函数()()1ax f x e x a R =--∈. 〔1〕当1a =时，求证：()0f x ≥； 〔2〕讨论函数()f x 的零点的个数。
〔二〕选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，如此按所做的第一题计分。
22.［选修4-4：坐标系与参数方程］〔10分〕在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为()2sin 2cos 0a a ρθθ=+>；直线l的参数方程为2,2x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩〔t 为参数〕，直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点.〔1〕写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；〔2〕假如点P 的极坐标为()2,π，PM PN +=，求a 的值. 23.［选修4-5：不等式选讲］〔10分〕 函数()2f x x =-.〔1〕求不等式()()13f x xf x +<+的解集；〔2〕假如函数()()()2log 32g x f x f x a =++-⎡⎤⎣⎦的值域为R ，某某数a 的取值X 围.参考答案与解析某某某某中学2019届全国高三第一次摸底联考·理科数学一、选择题1.D 【解析】复数()3443z i i i =--=-.对应的点为()4,3-，位于第四象限.应当选D.2.C 【解析】由22x x -≥，得220x x +≤，解得20x -≤≤.所以.应当选C.3.D 【解析】设2015年该校参加高考的人数为S ，如此2018年该校参加高考的人数为1.5S 0.28S .2018年一本达线人数为0.24 1.50.36S S ⨯=，可见一本达线人数增加了，应当选项A 错误；对于选项B ，2015年二本达线人数为0.32S ，2018年二本达线人数为0.4 1.50.6S S ⨯=，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，应当选项B 错误；对于选项C ，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不一样的，应当选项C 错误；对于选项D ，2015年不上线人数为0.32S .2018年不上线人数为0.28 1.50.42S S ⨯=.不达线人数有所增加.应当选D.4.C 【解析】由10100S =11a =.所以21n a n =-，故713a =.应当选C.5.B 【解析】设0x <，如此0x ->，所以()()ln f x x x -=--.又因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()ln f x x x =-.应当选B.6.A 【解析】直线l 的斜率为34-，所以34b c =，又222b c a +=，所以45c e a ==，应当选A.7.C 【解析】()11213333ED EA AD AC AD AD AB AD AD AB =+=-+=-++=-.应当选C.8.B 【解析】几何体的直观图为四棱锥P ABCD -AD AB =，PA PA =，90BAP DAP ∠=∠=︒.所以ABP ∆≌ADP ∆.因为BC ⊥平面ABP ，所以BC BP ⊥.同理，CD DP ⊥.因为BP DP =，CD BC =，CP CP =，所以BCP ∆≌DCP ∆.又ABP ∆与BCP ∆不全等.应当选B.9.A 【解析】在ABD ∆中，3AD =，1BD =，120ADB ∠=︒，由余弦定理，得222cos12013AB AD BD AD BD =+-⋅︒=，所以213DF AB =. 所以所求概率为2241313DEF ABC S S ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭.应当选A.10.C 【解析】画出函数()f x 的图像如下列图，由图可知10a -≤-<，所以01a <≤.应当选C.11.A 【解析】如图，作1OA F M ⊥于点A .21F B F M ⊥于点B .因为1F M 与圆222x y a +=相切，1245F MF ∠=︒，所以OA a =，22F B BM a ==，222F M a =，12F B b =.又点M 1222222F M F M a b a a -=+-=.整理，得2b a =.所以2ba=.所以双曲线的渐近线方程为2y x =±。