2013年考研数学一试题及答案解析(海文版)
2013年考研数一真题答案解析
考点：矩阵分块、等价向量组及逆矩阵的理论．
解 将矩阵 A, C 按列分块，令 A (a1, a2,…, an ),C (c1, c2,…, cn ),
b11, b12 …b1n
由于
AB
C
，故(
a1,
a2
…an
)
b21
,
b22
……
…b2
n
=( c1, c2 …cn )
注：此题如果作为解答题出现，使用洛必达法则来讨论严格地说是错误的．
2.曲面 x2 cos(xy) yz x 0 在点 (0,1, 1) 处的切平面方程为（ ）
A. x y z 2 B. x y z 0 C. x 2y z 3 D. x y z 0
解 当 x 0 时， y 1，将方程两端对 x 求导，有 y '1 (1 y)ex(1y) ，故 y '(0) 1，从而
lim n(
f
(1) 1)
lim
f
(1) n
f
(0)
f
'(0)
y '(0)
1
n
n
n
1
n
典型错误：没有发现 lim n( f (1) 1) f '(0)
n
n
10.已知 y1=e3x –xe2x，y2=ex –xe2x，y3= –xe2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解， 则该方程的通解 y= 。
答： C1ex C2e3x xe2x 考点：线性常微分方程解的结构．
解 由题意， y2 y3 ex 为该二阶常系数非齐次线性微分方程所对应的齐次方程的一个解，
2013年考研数学一真题及答案解析(全国硕士研究生入学统一考试数学一试题)
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）已知极限0arctan limkx x xc x →-=，其中,c k 为常数，且0c ≠，则（ ）（A ）12,2k c ==-（B ）12,2k c ==（C ）13,3k c ==-（D ）13,3k c ==（2）曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（ ） （A ）2x y z -+=- （B ）2x y z ++= （C ）23x y z -+=- （D ）0x y z --=（3）设1()2f x x =-，102()sin (1,2,...)n b f x n xdx n π==⎰，令1()sin n n S x b n x π∞==∑，则9(4S -=（ ） （A ）34 （B ）14（C ）14-（D ）34-（4）设222222221234:1,:2,:22,:22,l x y l x y l x y l x y +=+=+=+=为四条逆时针的平面曲线，记33((2)(1,2,3,4)63ii l y x I y dx x dy i =++-=⎰Ñ，则()i MAX I =( )（A ）1I （B ）2I （C ）3I （D ）3I（5）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价（6）矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为 （A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a（D ）为任意常数b a ,2=（7）设123X X X ，，是随机变量，且22123~N(0,1)~N(~(5,3)X N ，X 0,2），X ,{22}(1,2,3),j j P P X j =-≤≤=则（ ）（A ）123P P P >> （B ）213P P P >> （C ）312P P P >> （D ）132P P P >>（8）设随机变量~(),~(1,),X t n Y F n 给定(00.5),a a <<常数c 满足{}P X c a >=,则2{}P Y c >=（ ） （A ）α （B ）1α-（C ）2α （D ）12α-二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)设函数()f x 由方程(1)x y y x e --=确定，则1lim (()1)n n f n→∞-= ．(10)已知321xx y exe =-，22x x y e xe =-，23x y xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程的通解为y = ．(11)设sin sin cos x t y t t t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），则224t d y dx π== ．(12)21ln (1)xdx x +∞=+⎰．（13）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则（14）设随机变量Y 服从参数为1的指数分布,a 为常数且大于零，则{1|}P Y a Y a ≤+>=________。
2013考研数一真题及解析
【答案】1 − 1 e
【解析】
f
(y)
=
e− y， y > 0， 0， y ≤ 0，
{ { { ∫∫ P
Y
≤ a +1Y
> a} =
P
Y
> P
a,Y Y>
≤a
a}
+
1}
=
a +1
a +∞
f ( y)dy f ( y)dy
=
e−a
− e−(a+1) e−a
=1− 1 e
a
三、解答题：15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证
1
f (x)d
0x
0
x = 2 f (x)
x
1 0
−2
1 0
x f ′(x)dx
= 2 f (1) − 2∫1 ln(x +1) xdx = −2∫1 ln(x +1) dx = −4∫1ln(x +1)d x
0x
0x
0
∫ ∫
= −4 ln(x +1)
x
1 0
−
1
x
dx = −4 ln 2 + 4
【答案】A
【解析】曲面在点 (0,1,-1) 处的法向量为
→
n =(Fx′,Fy′,Fz′) (0,1,-1) =(2x-y sin (xy)+1,-x sin (xy)+z,y) (0,1,-1) =(1,-1,1) 故曲面在点 (0,1,-1) 处的切面方程为 1⋅ (x-0)-(y-1)+(z+1)=0, 即 x − y + z = −2 ，选 A
2013考研数学一(真题及答案)无水印详细解释word版
2013考研数学一真题及答案解析第一部分：数一真题及答案解析1.已知极限0arctan limkx x xc x →-=，其中k ，c 为常数，且0c ≠，则（） A.12,2k c ==-B. 12,2k c ==C. 13,3k c ==-D. 13,3k c ==答案:D解析：用洛必达法则2221121000011arctan 1111limlimlim lim (1)kk k k x x x x x xx x x cx kx kx x k x ---→→→→--+-+====+因此112,k c k -==，即13,3k c ==2.曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（ ） A. 2x y z -+=- B. 0x y z ++= C. 23x y z -+=- D. 0x y z --= 答案:A 解析：法向量(0,1,1)(,,)(2sin()1,sin(),),|(1,1,1)x y z n F F F x y xy x xy z y n -==-+-+=-切平面的方程是：1(0)1(1)1(1)0x y z ---++=，即2x y z -+=-。
3.设1()2f x x =-，102()sin (1,2,)n b f x n xdx n π==⎰ ，令1()s i n n n S x b n x π∞==∑，则（ ）A .34 B. 14 C. 14- D. 34-答案:C解析：根据题意，将函数在[1,1]-展开成傅里叶级数（只含有正弦，不含余弦），因此将函数进行奇延拓：1||,(0,1)2()1||,(1,0)2x x f x x x ⎧-∈⎪⎪=⎨⎪-+∈-⎪⎩，它的傅里叶级数为()s x ，它是以2为周期的，则当(1,1)x ∈-且()f x 在x 处连续时，()()s x f x =。
91111()()()()44444s s s f -=-=-=-=-。
2013考研数学一真题答案
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）已知极限0arctan lim kx x xc x →-=，其中,c k 为常数，且0c ≠，则（ ）（A ）12,2k c ==-（B ）12,2k c ==（C ）13,3k c ==-（D ）13,3k c ==【答案】D【解析】33300011(())arctan 133lim lim lim ,3,3k k k x x x x x x o x xx x c k c x x x →→→--+-===∴== （2）曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（ ） （A ）2x y z -+=- （B ）2x y z ++= （C ）23x y z -+=- （D ）0x y z --= 【答案】A【解析】设2(,,)cos()F x y z x xy yz x =+++， 则(,,)2sin()1(0,1,1)1x x F x y z x y xy F =-+⇒-=；(,,)sin()(0,1,1)1y y F x y z x xy z F =-+⇒-=-；(,,)(0,1,1)1z z F x y z y F =⇒-=，所以该曲面在点(0,1,1)-处的切平面方程为(1)(1)0x y z --++=， 化简得2x y z -+=-，选A20132（3）设()1(),[0,1]2f x x x =-∈，102()sin (1,2,...)n b f x n xdx n π==⎰，令1()sin n n S x b n x π∞==∑，则9()4S -=（ ）（A ）34（B ）14（C ）14-（D ）34-【答案】C【解析】根据题意，将函数在[1,1]-上奇延拓1,012()1,102x x f x x x ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪----<<⎪⎩，它的傅里叶级数为()S x 它是以2为周期的，则当(1,1)x ∈-且()f x 在x 处连续时，()()S x f x =，因此991111()(2)()()()444444S S S S f -=-+=-=-=-=- （4）设222222221234:1,:2,:22,:22,l x y l x y l x y l x y +=+=+=+=为四条逆时针的平面曲线，记33()(2)(1,2,3,4)63ii l y x I y dx x dy i =++-=⎰，则()i MAX I =( )（A ）1I （B ）2I （C ）3I（D ）4I 【答案】D【解析】33()(2)(1,2,3,4)63i i l y x I y dx x dy i =++-=⎰22(1)2iDy x dxdy =--⎰⎰利用二重积分的几何意义，比较积分区域以及函数的正负，在区域14,D D 上函数为正值，则区域大，积分大，所以41I I >，在4D 之外函数值为负，因此4243,I I I I >>，故选D 。
2013年考研数学一真题及答案全集解析
2013考研数学一真题及答案解析目录第一章总论............................................................. 错误!未定义书签。
1.1项目提要........................................................... 错误!未定义书签。
1.2结论与建议....................................................... 错误!未定义书签。
1.3编制依据 .......................................................... 错误!未定义书签。
第二章项目建设背景与必要性............................. 错误!未定义书签。
2.1项目背景........................................................... 错误!未定义书签。
2.2项目建设必要性 .............................................. 错误!未定义书签。
第三章市场与需求预测......................................... 错误!未定义书签。
3.1优质粮食供求形势分析 .................................. 错误!未定义书签。
3.2本区域市场需求预测 ...................................... 错误!未定义书签。
3.3服务功能 .......................................................... 错误!未定义书签。
3.4市场竞争力和市场风险预测与对策.............. 错误!未定义书签。
2013年全国硕士研究生入学考试数学一真题答案及解析
1 a 1 2 0 0 【解析】设 A a b a ，B 0 b 0 ，因为 A与 B 为实对称矩阵， 1 a 1 0 0 0
则 A与B 相似的充要条件是 A 的特征值分别为 2,b, 0 ，
1
A的特征方程 E-A a 1
1 /2 1 2 2 1 1 /2 2 1 3 2 sin d r dr 2 2 4 cos d sin d 0 0 0 0 2 0 4 2 0 4 1!! 1 1 1!! 1 11 . 2 2 4 4 2 2!! 2 4 2 2!! 2 4 2 8 8
/2 1 1 cos 2 d sin 2 d 0 4 4
I 3 I 4 故应选 (D). .
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2013年考研真题
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（5）设 A, B, C 均为 n 阶矩阵，若 AB C ，且 B 可逆，则（ ）. （A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价. （B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价. （C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价. （D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价. 【答案】B. 【解析】将 A, C 按列分块，若 A=(1 ,..., n ),C=( 1 ,..., n ) 由于 AB C ，故
a
1
a
1
b
a
a 0 b a 1 0 2a 2
[( b)( 2) 2a 2 ]
因为 0， 2,b 是 A 的特征值，所以 2a 0，即a 0 .
2
当a 0时
2013年考研数学一真题及参考答案(完整版)
2013数学一硕士研究生入学考试1.已知极限0arctan limk x x xc x→-=，其中k ，c 为常数，且0c ≠，则（ ） A. 12,2k c ==- B. 12,2k c == C. 13,3k c ==- D. 13,3k c ==2.曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（ ） A. 2x y z -+=- B. 0x y z ++= C. 23x y z -+=- D. 0x y z --=3.设1()2f x x =-，102()sin (1,2,)n b f x n xdx n π==⎰ ，令1()sin n n S x b n x π∞==∑，则9()4-=S （ ）A .34 B. 14 C. 14- D. 34- 4.设221:1L x y +=，222:2L x y +=，223:22L x y +=，224:22L x y +=为四条逆时针方向的平面曲线，记33()(2)(1,2,3,4)63ii L y x I y dx x dy i =++-=⎰ ，则{}1234m a x ,,,I I I I =A. 1IB. 2IC. 3I D 4I 5.设A,B,C 均为n 阶矩阵，若AB=C ，且B 可逆，则（ ）A.矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 B 矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 C 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 D 矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价6.矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与20000000b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（ ）A. 0,2a b ==B. 0,a b = 为任意常数C. 2,0a b ==D. 2,a b = 为任意常数7.设123,,X X X 是随机变量，且1(0,1)X N ，22(0,2)X N ，23(5,3)X N ，{}22(1,2,3)=-≤≤=i i P P X i ，则（ ）A. 123P P P >>B. 213P P P >>C. 322P P P >> D 132P P P >>8.设随机变量()X t n ,(1,)Y F n ，给定(00.5)a a <<，常数c 满足{}P X c a >=，则{}2P Y c >=( )9.设函数y=f(x)由方程y-x=e x(1-y) 确定，则01lim [()1]n n f n→-＝ 。
2013年全国硕士研究生入学统一考试(数一)试题及答案
2013年全国硕士研究生入学考试数学一试题1.已知极限0arctan limk x x xc x→-=，其中k ，c 为常数，且0c ≠，则（ ） A. 12,2k c ==- B. 12,2k c == C. 13,3k c ==- D. 13,3k c ==2.曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（ ） A. 2x y z -+=- B. 0x y z ++= C. 23x y z -+=- D. 0x y z --=3.设1()2f x x =-，102()sin (1,2,)n b f x n xdx n π==⎰ ，令1()s i n n n S x b n x π∞==∑，则9()4-=S （ ） A .34 B. 14 C. 14- D. 34- 4.设221:1L x y +=，222:2L x y +=，223:22L x y +=，224:22L x y +=为四条逆时针方向的平面曲线，记33()(2)(1,2,3,4)63ii L y x I y dx x dy i =++-=⎰ ，则{}1234max ,,,I I I I = A. 1I B. 2I C. 3I D 4I 5.设A,B,C 均为n 阶矩阵，若AB=C ，且B 可逆，则（ ）A.矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 B 矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 C 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 D 矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价6.矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与20000000b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（ ）A. 0,2a b ==B. 0,a b = 为任意常数C. 2,0a b ==D. 2,a b = 为任意常数7.设123,,X X X 是随机变量，且1(0,1)X N ，22(0,2)X N ，23(5,3)X N ，{}22(1,2,3)=-≤≤=i i P P X i ，则（ ） A. 123P P P >> B. 213P P P >> C. 322P P P >> D 132P P P >>8.设随机变量()X t n ,(1,)Y F n ，给定(00.5)a a <<，常数c 满足{}P X c a >=，则{}2P Y c >=( )9.设函数y=f(x)由方程y-x=e x(1-y) 确定，则01lim [()1]n n f n→-＝ 。
2013年考研数学一真题及答案解析
2013考研数学一真题及答案解析目录第一章总论........................................................... 错误！未定义书签。
1.1项目提要......................................................... 错误！未定义书签。
1.2结论与建议..................................................... 错误！未定义书签。
1.3编制依据 ........................................................ 错误！未定义书签。
第二章项目建设背景与必要性........................... 错误！未定义书签。
2.1项目背景......................................................... 错误！未定义书签。
2.2项目建设必要性 ............................................ 错误！未定义书签。
第三章市场与需求预测....................................... 错误！未定义书签。
3.1优质粮食供求形势分析 ................................ 错误！未定义书签。
3.2本区域市场需求预测 .................................... 错误！未定义书签。
3.3服务功能 ........................................................ 错误！未定义书签。
3.4市场竞争力和市场风险预测与对策............ 错误！未定义书签。
第四章项目承担单位情况................................... 错误！未定义书签。
2013年考研数学一真题及参考答案(完整版)
2013数学一硕士研究生入学考试1.已知极限0arctan limk x x x c x→-=，其中k ，c 为常数，且0c ≠，则（ ） A. 12,2k c ==- B. 12,2k c == C. 13,3k c ==- D. 13,3k c == 2.曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（ ）A. 2x y z -+=-B. 0x y z ++=C. 23x y z -+=-D. 0x y z --=3.设1()2f x x =-，102()sin (1,2,)n b f x n xdx n π==⎰ ，令1()sin n n S x b n x π∞==∑，则9()4-=S （ ） A .34 B. 14 C. 14- D. 34- 4.设221:1L x y +=，222:2L x y +=，223:22L x y +=，224:22L x y +=为四条逆时针方向的平面曲线，记33()(2)(1,2,3,4)63ii L y x I y dx x dy i =++-=⎰ ，则{}1234max ,,,I I I I = A. 1I B. 2I C. 3I D 4I5.设A,B,C 均为n 阶矩阵，若AB=C ，且B 可逆，则（ ）A.矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价B 矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价C 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价D 矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价6.矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与20000000b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（ ）A. 0,2a b ==B. 0,a b = 为任意常数C. 2,0a b ==D. 2,a b = 为任意常数7.设123,,X X X 是随机变量，且1(0,1)X N ，22(0,2)X N ，23(5,3)X N ，{}22(1,2,3)=-≤≤=i i P P X i ，则（ ） A. 123P P P >> B. 213P P P >> C. 322P P P >> D 132P P P >>8.设随机变量()X t n ,(1,)Y F n ，给定(00.5)a a <<，常数c 满足{}P X c a >=，则{}2P Y c >=( )9.设函数y=f(x)由方程y-x=e x(1-y) 确定，则01lim [()1]n n f n→-＝ 。
2013年考研数学一真题与解析完整版
2013硕士研究生入学考试数学一真题及解析来源：文都教育1. 已知极限0arctan lim k x x xc x→-=，其中k ，c 为常数，且0c ≠，则（） A. 12,2k c ==- B. 12,2k c == C. 13,3k c ==- D. 13,3k c ==答案（D ）解析：用洛必达法则2221121000011arctan 1111limlimlim lim (1)kk k k x x x x x xx x x c x kx kx x k x ---→→→→--+-+====+因此112,k c k-==，即13,3k c ==2.曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（ ） A. 2x y z -+=- B. 0x y z ++= C. 23x y z -+=- D. 0x y z --= 答案（A ）解析：法向量(0,1,1)(,,)(2sin()1,sin(),),|(1,1,1)x y z n F F F x y xy x xy z y n -==-+-+=- 切平面的方程是：1(0)1(1)1(1)0x y z ---++=，即2x y z -+=-。
3.设1()2f x x =-，102()sin (1,2,)n b f x n xdx n π==⎰，令1()sin n n S x b n x π∞==∑，则（ ）A .34 B. 14 C. 14- D. 34- 答案（C ）解析：根据题意，将函数在[1,1]-展开成傅里叶级数（只含有正弦，不含余弦），因此将函数进行奇延拓：1||,(0,1)2()1||,(1,0)2x x f x x x ⎧-∈⎪⎪=⎨⎪-+∈-⎪⎩，它的傅里叶级数为()s x ，它是以2为周期的，则当(1,1)x ∈-且()f x 在x 处连续时，()()s x f x =。
91111()()()()44444s s s f -=-=-=-=-。
2013考研数一真题答案及详细解析
—勹 B = fxy (1,
= e-½'
—勹 C = fyy (1,
= e-½
(1.-f) 因为 A>o,AC — B2 =2e气>O, 所以
是极小值点，极小值为
(-+ !(1, —：片） =
+½)e··½ = -e勹 ．
(18) 证 CI)设F(x)= f(x)-.1::, xE[—1,l].
·; f(x) 是奇函数，:. f(O)=0.
解 记A�[�: �'考察矩阵A的特征值为2,b,O的条件．
首先，显然1At�:, 因L是A的特征值．
其次，矩阵A的迹tr(A) =2 -t-b, 因此如果2是矩阵A的特征值，则b就是矩阵A的另一个 特征值于是 “ 充要条件 ” 为2是A的特征值．由
lzE —Al = — a 2-b —a = — 4a 2 =O气=O.
故应选C.
二、填空题
(9) 1
解 把 X = O代入方程有八0)=1 . 方程y-X = exO-y)两端同时对x求导有 f'(工)-1= e[l-f(x)] [1-f(x)-xf'(x)J.
把 X =O代入上式得厂(0)=2 - f(O)=l.
f 又 lim 釭） － ］-= f'(O)=l,
x-o
厂 +厂 1
O
lnx +x)
2
dx=
_
lnx l+x
+=
1
1
dx
=O+ln
x
+=
1 =O — ln_l= ln2
O+x)x
l+x 1
2
(13) -1
2013年考研数一真题答案解析
一、选择题(1) D解用洛必达法则 1 l—x arctanx 1 + x 2 1 + x 2—11X l im· =l im =l i m =—hm =c #-O ,x 丑X, 一-ok x k -lx-0 k x k -l (1 +X z) k x 勺x k -11因此k -1 =Z, 一-c ,即k=3,c -一故应选D.k3CZ) A解F:=zx-ys i n(xy)+L F:=-xs i n(xy)+z, F:=y曲面x 2+c os(xy) + y z十X =0在点(0'1,—1)处的切平面的法向晕n={l ,-1,1},切平面方程为：1• (x—0)—(y—1) + 1• (z + 1)= 0, 即x—y +z --Z故应选A.(3)C解观察到S(x)是f(x)的正弦函数，对J进行奇延拓，其周期为z 故S(x)f(x). 9 1 1 s (-—) =S(--—s -=- 1 144) (4)1(了）＝勹一故应选C(4)D解由格林公式得I ,-f (y +f )山+(Zx -�) d y =』(1—x 2-f )心d y'其中D 1:x z+y z冬1,D 2:x 2+y 2�z,D3:f +y 2冬1,yD 口x z+��l.z显然在几内有y y l-x 2 -—>O , 在队外有l -x 2-—<O ,z z又如图有D1C D4 ,D4 C D z 由重积分性质知I1>I1,I4>Iz.y 又D4=几+D4\D 5,几=D5+D3\D 5,在D3\D 5上l -x 2--<0,在D4\D5上z1 2 y-x -—z>O ,2013年（数一）真题答案解析故J4=II (1-x 2—f)dxd y + II (1—X 2 --f )dxd y D5D八D s>13=』(1y —x 2勹）dxdy + I I (1—.亢2飞）dxdy. 故应选D.D5D叭D5(5) B解由千A B =C,那么对矩阵A,C按列分块，有，、｀丿，，“` ， ． ． ． ， 2”, ，1”, （ ＿ －－n nn 12…nb b b ��…�22212…”b b b11112…n b b b） ＂＂ ， ． ． ． ，2＂， 1 ＂（ Y1 =b 11a1 +b心＋…+b.1a.,即｛了:,�b ,,a +b 心＋…+b .,a.,r. =b1na1 +b z.az +…+ b n.an. 这说明矩阵C的列向最组r 口rz '…,r. 可由矩阵A的列向量组a1,a2, …, a. 线性表出．又矩阵B可逆，从而A=CB飞那么矩阵A的列向量组也可由矩阵C的列向械组线性表出．由向量组等价的定义可知，应选B .(6) B解记A�[�:�'考察矩阵A的特征值为2,b ,O的条件．首先，显然1At �:,因L是A的特征值．其次，矩阵A的迹t r (A )=2 t -b, 因此如果2是矩阵A的特征值，则b就是矩阵A的另一个特征值于是“充要条件”为2是A的特征值．由lzE—A l=—a 2-b—a =—4a 2 =O 气=O .—l -al因此充要条件为a =O,b为任意实数，故应选B.(7) A解将随机变量义和x3化成标准正态后再比较其大小．P 1 =P {—2�X1�2} =<P (2) -中(—2)'—2X z2Pz=P {-2�X三2}=P {—《—《—}气(1)-<P (-1)'22 2 p3 =P {-2�X3�2} -2—5 x3—5 2-5 =P {3� —3� 2 } =iP (-1)—叶习=<P行）-<P(l )'由右图正态分布曲线下的面积所代表的概率可知P1 > Pz > p 3.故应选A .x7l 3(8)C解当X-t(n)时，X 2-FO,n),又Y-FO,n),故Y与xz同分布．当C > 0时，由t 分布的对称性有P{Y>c 2}=P{X 2>c 2}==P{ X >c}=P{X>cUX<—c}=2P{X>c}=2a.故应选C.二、填空题(9)1解把X =O 代入方程有八0)=1. 方程y -X = e xO -y )两端同时对x 求导有f'(工)-1 = e [l -f(x )] [1-f (x ) -x f'(x ) J . 把X =O 代入上式得厂(0)=2 -f(O) =l.又limf 釭）－］-=f '(O)=l,x-oX1三卢—1]飞巴!(-;;}—l气尸�1nOO)C 1e 立+c z 产-xe红解由常系数非齐次线性微分方程解的性质可得Y 1 -Y 3 = e3x,Y 2 -Y 3 = ex是相应二阶齐次线性微分方程的两个特解．故相应二阶齐次线性微分方程的通解为Y O = C I e 3·x + C 2 e .所以所求非齐次方程的通解可表示为y = C1e x + C 2芒—X e2x•(11)心解•• dxdy· —= cost , -= t c ost ,dt dt. dy tcost•• -= =t,dxcost 叶店）d 2y d dy dt -=--(—)＝—一＝－1 c!x2 dx cl x clxcostc!t心1从而dx 2,-f =亢＝迈．cos—4(12)lnZ解厂l n x2dx = _ l n x += +厂dx =O+l n x1+==O —l n _l =ln 2 1O+x)l+x 1 2 l+x 1 1O+x)x(13) -1解题设条件"a ;;+A ;; = 0 "即A T =—A*'于是A =—[Al'可见A只可能是0或—1.又r(A)= r (A T ) = r (-A *) = r (A 天），则rCA)只可能为3或0.而A为非零矩阵，因此r (A)不能为o ,从而r(A) = 3 , A [ #-0 , [ A [ = -1.或，用特例法．取一个行列式为—1的正交矩阵满足A T=-A勹故应填-1.104)1——e解由于X�E(l),a>O,则由指数分布的分布函数有P{Y冬a+IY>a}=P{Y>a,Y,s;:;a+l } =P{a<Y,s;:;a+l}P {Y >a}1—P{Y冬a}1-e 一(a +])—0-e -")e -a —e -a -1 1 = = =l —e -1 = 1—— l —(1—e -a )-a e e 三、解答题05)解由条件显然有J(l )=O, J'(x)=由分部积分法及换元积分法有『八x)d x =2f J(x)d 左。
2013年考研数学一真题带答案
2013硕士研究生入学考试数学一真题及解析1. 已知极限0arctan lim k x x xc x →-=，其中k ，c 为常数，且0c ≠，则（）A. 12,2k c ==-B. 12,2k c ==C. 13,3k c ==-D. 13,3k c ==答案（D ）解析：用洛必达法则2221121000011arctan 1111lim lim lim lim (1)k k k k x x x x x x x x x c x kx kx x k x ---→→→→--+-+====+ 因此112,k c k -==，即13,3k c ==2.曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（ ） A. 2x y z -+=- B. 0x y z ++= C. 23x y z -+=- D. 0x y z --= 答案（A ）解析：法向量(0,1,1)(,,)(2sin()1,sin(),),|(1,1,1)x y z n F F F x y xy x xy z y n -==-+-+=- 切平面的方程是：1(0)1(1)1(1)0x y z ---++=，即2x y z -+=-。
3.设1()2f x x =-，102()sin (1,2,)n b f x n xdx n π==⎰，令1()s i n n n S x b n x π∞==∑，则（ ） A .34 B. 14 C. 14- D. 34- 答案（C ）解析：根据题意，将函数在[1,1]-展开成傅里叶级数（只含有正弦，不含余弦），因此将函数进行奇延拓：1||,(0,1)2()1||,(1,0)2x x f x x x ⎧-∈⎪⎪=⎨⎪-+∈-⎪⎩，它的傅里叶级数为()s x ，它是以2为周期的，则当(1,1)x ∈-且()f x 在x 处连续时，()()s x f x =。
91111()()()()44444s s s f -=-=-=-=-。