电磁场与电磁波课件：静电场和恒定电场

解 以圆筒的轴线为轴线，半径为r作长为L的圆柱面（高 斯面）S，由高斯定律得：
s
E
dS
2
rLE
q
0
式中q是S所包围的电荷量的代数和。
当r<a时，q＝0，故得筒内
E 0，r a
当r≥a时，q 2aLs
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Er
sa 0r
例3.4 设有一电荷均匀分布的无限长细直导线，线密度是ρ。
试求空间各点的电场强度E。
由于电荷分布在有限区域，选无限远为电位参考点，
在r≥a时
(r)
E dl
r
a3dr
r 40r2
a3
40r
在r<a时
(r)
E dl
a r2dr
a3dr
r3
a2
r
r 40a a 40r2 120a 30
E
(E )
电位满足的方程为
2
泊松（Poisson）方程
在无电荷分布的区域
2 0
拉普拉斯（Laplace）方程
例3.5 真空中有一个半径为a的带电球，电荷密度为ρ=r/a， 求带电球内外的电位。
解 由例3.2可知带电球内外的电场为
Er
r 2 ，r
4 0a
a3
4 0r
2
，r
a a
W l F dl q0 l E dl
探测电荷从P到Q由外力做的总功为
Q
WPQ q0 P E dl
如果沿闭合路径移动电荷，则做的功必须为零，即
cE dl 0
E 0
静电场是无旋的或保守的
0
E
Q
Q
WPQ
q0
E
P
dl
q0
P
dl
dl d
Q
Q
WPQ
q0
E
P
dl
q 0
d
P
q0 (Q
P ) q0QP
当外力使正电荷逆着电场的方向运动时，电荷的位能增加。
在考虑电场中任意一点a的电位为
(a)
P
a
E
dl
(
P)
当P点为电位零点，即电位参考点时，
(a)
P
a
E
dl
同一电场，选取不同的电位参考点，电位不同。
在电荷分布在有限区域的情况下，一般选取无限远处作 为电位的参考点；而在电荷分布延伸到无限远的情况下， 必须选取有限区域中的点作为电位的参考点；在工程上， 由于大地电位相对稳定，因此，一般取大地为电位参考点。
是解决一般 电磁场问题 的基础。
静态场的工程应用
含石英硫酸盐矿
硫酸盐矿
石英
选矿器
喷墨打印机工作原理
均匀电场中带电粒子的 轨迹
阴极射线示波器原理
3.1 静电场的基本方程
静电场（Electrostatic Field)基本方程是麦克斯韦方程在各类 场量均不随时间变化时的特殊形式
微分形式： 积分形式：
静电场和恒定电场
3.1 静电场的基本方程 3.2 高斯定律的应用 3.3 电位与电位梯度 3.4 静电场中导体的性质 3.5 导体的电容 3.6 静电场的边界条件 3.7 镜像法 3.8 恒定电场 3.9 分离变量法
电磁场 的传播
电磁场 的辐射
电磁现 象的普 遍规律
静电场
静磁场
静电场的 性质和求 解静电场 问题的各 种方法。
E
E
0
0
例3.1 用高斯定律求孤立点电荷q在任意P点产生的电场强度 E。
解 以电荷为球心，构造一个经过P点半径为R的球形高斯面。 电场方向沿径向，则
E Erer
因为球面上每一点从q所在的球心都是等距的，在r＝R球面 上的每一点，Er应该有相同的值。因而
E s
dS 4 R2Er
被球面包围的总电荷为q，所以P点的电场强度为
s DdS q
s
E
dS
q
s DdS V V dV
例 计算无限大均匀带电平面的场强分布。（电 荷密度为 ）
E
E
解：
S E dS 21 2
2 0 1 ES
S E dS 2ES
qi S
i
2ES S
E
0
2 0
2 是侧面 通量,
1是底面 通量
E
E
0 场强方向指离平面; 0 场强方向指向平面。
Er
q
4 0 R 2
例3.2 真空中有一个半径为a的带电球，电荷密度为ρ＝r/a （r为半径），求带电球内外的电场。
解 由于电荷分布具有球对称性，因此其电场也具有球对称 性，方向为径向。那么，在半径为r的同心球面上，电场的 大小相等，方向与球面的法线一致，则
E dS s
s Er
dS Er
dS
s
4 r2Er
当r<a时，球面内的电荷为
q dV = r r 4 r2dr πr4
V
0a
a
当r≥a时，球面内的电荷为
q dV = a r 4 r2dr a3
V
0a
将以上3式代入静电场的高斯定律可得
Er
r 2 ，r a
4 0a
a3 ，r a
4 0r 2
例3.3 半径为a的无穷长直圆筒面均匀带电，面电荷密度为 s。 试求离轴线为r处的电场强度E。
解 首先使用圆柱坐标系，长细直导线放在z轴上，由电荷分布 特点，可以看出此电场具有轴对称性，即电场强度E只有沿ρ方 向的分量。由于线电荷无限长，场沿长度方向无变化，所以每
个垂直于线电荷平面上的场分布相同。故以细导线为轴的圆柱
面上E值相同，即E与 、z无关。以细直导线为轴作一闭合的圆
柱形高斯面。其半径为r，高度为l。应用高斯定律
〖注〗对于静止电荷的电场，库仑定律和高斯定律等价。
对于运动电荷的电场，库仑定律不再正确， 而高斯定律仍然有效。
3.3 电位与电位梯度
假设电荷q0沿路径C从P到Q移 动，设线元dl处的电场强度为E，
当q0经过dl时，电场力做的功为
Q
dl
E
dW F dl q0 E dl
C
P
在从P到Q的整个路程上，电场力做的总功为
E 0
H 0
D V
电场、磁场相互独立
B 0
l E dl 0
D E
l H dl 0
s DdS V V dV s BdS 0
电荷是电场的
源，静电场是有 源无旋场
3.2 高斯定律的应用 高斯定律（Gauss’s law）说明通过一个封闭面净穿出的电
位移矢量的通量等于该曲面所包围的总电荷，即
E dS ll
s
0
D线皆垂直于导线，呈辐射状态；等r处D值相等； 因为E与上下两底面法向垂直，没有通量穿过两底面，所 以从闭合面内穿出的通量为
E 2rl ll
0
E
l 2 0r
高斯定律的用途：
当电荷分布具有某种对称性时，可用高斯定律求 出该电荷系统的电场的分布。比用库仑定律简便。
当已知场强分布时，可用高斯定律求出任一区域 的电荷、电位分布。 开文迪许就是用高斯定律来证明库仑定律的平方 反比关系。这说明它们不是相互独立的定律，而 是用不同形式表示的电场与场源电荷关系的同一 客观规律。