(完整版)人教版八年级数学上册第十五章分式知识点总结和题型归纳(无答案)

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新人教版八年级上数学《第十五章分式》考点复习小结

新人教版八年级上数学《第十五章分式》复习小结考点题型题型1、分式的概念的考查1.下列各式中是分式的（填序号）（） ①－x 3 ②53x ③ 21 ④ m s 72- ⑤－x 1＋２ ⑥ｂ＋3b 题型2、分式有意义的条件 2.当a 取时，分式a a 3334--无意义。

3.当x 时，分式912-x 有意义。

题型3、分式值为零的条件4.当x = 时，分式122--x x 的值为零；5.当x = 时，分式6292--x x =0 6.当分式||33x x -+的值为零时,x 的值为( ). A.0 B.3 C.-3 D.±3 题型4、分式的符号法则7.填上使等式成立的符号：－321+-x x =（）321+-x x =( )321---x x 题型5、约分8.计算22()ab a b-的结果是（）A ．a B ．b C ．1 D ．－b 9.化简222a b a ab -+的结果为（）A ．b a - B ．a b a - C ．a b a + D ．b -10.化简：2222444m mn n m n -+-= ．题型6、通分11.把下列各题中的分式通分:)4(2+m n = ，1652--m mn = 题型7、分式的运算 12.化简：2111x x x x -+=++ ． 13.化简：224442x x x x x ++-=-- ． 14.化简ba a ab a -⋅-)(2的结果是（） A ．b a - B ．b a + C ．b a -1 D ．b a +1 15.计算21111a a a ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭= 16.化简a a a a a a 2422-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--的结果是（）A ．－4 B ．4 C ．2a D ．－2a 17.化简11y x x y ⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的结果是（）A ．y x - B ． x y - C ． x yD ．y x18.分式111(1)a a a +++的计算结果是（）A ．11a + B ．1a a + C ．1a D ．1a a + 19.化简22424422x x x x x x x ⎛⎫--+÷ ⎪-++-⎝⎭，其结果是（） A ．82x -- B ．82x - C ．82x -+ D ．82x + 20.①化简：xx x x x 2)242(2-÷+-+ ②化简：1a b a b b a ++--21.①化简:35(2)482y y y y -÷+---②化简：2414a ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭·2a a +．22计算：2228224a a a a a a +-⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭23化简求值：211122x x x -⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭，其中2x =．题型8、解分式方程25.①32-x x +x 235-=4 ②224xx -=21+x -1题型9、增根的用法26.已知x =-2是分式方程21+x -42-x m =1的增根，则m= 27.当m = 时，关于x 的分式方程213x m x +=--无解。

人教版八年级上册第十五章分式知识点期末总复习

分式期末总复习一、分式的判定（分母含有未知量的式子）1、下列式子中，y x +15、8a 2b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、y x +3、m a 1+中分式的个数为（）（A ） 6 （B ） 7 （C ） 4 (D) 52、下列各式中是分式的是( )A. B. C. D.3、在有理式，，，，中属于分式的有________．4、下列各式中，属于分式的是（）A 、2312--x xB 、187923-+-x xC 、11+x D 、xy y x 312133-二、分式有意义1、分式有意义？满足什么条件时，下列x（1）35-x（2）12-m（3）312++x x（4）)4)(2(2+--x x x（5）x x x-2（6）x x -+212（7）)3)(1(2-+-x x x2、无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（）A ．122+x x B.12+x xC.133+x xD.25x x -三、分式的约分（1）=-2264xy yx ；（2）92-x = ；（3）22444a a a -++＝；（4）=y x xy2164 ；（5）=++)()(b a b b a a ；（6） =--2)(y x yx ；（7）=-+22y x ay ax ；（8）=++-1681622x x x ；（9）=+-6292x x（10）23314___________21a bc a bc -= （11）=+--96922x x x _______。

（12）．四、分式的通分1、通分：（1）z y x yz x 23324365和（2） 1111-+x x 和（3）222;33;y x x cx y b y x a +---2、通分：⑴ 3x y 与245xy ；⑵ ,36a a -与22(2)a a -；（4）⑶22y x y -与222yx xy y -+；⑷ 2386xy x +与21(43)y x +；五、分式的乘除1、计算（﹣a ）2•的结果为（）A ．bB ．﹣bC ．abD． 2、化简,其结果是( )A. B. 2C. D.六、分式的加减1.化简的结果是( )A. B. C. D.2、化简：xx y--yx y+，结果正确的是（）A．1B．2222x yx y+-C．x yx y-+D．22x y+3、化简的结果为（）A．B．a﹣1 C．a D．14、计算的结果为.5、．七、分式的化简求值1、先化简，再选取一个既使原式有意义，又是你喜欢的数代入求值．2、给定三个分式：、、．请你任选其中的两个构造一个分式，并化简该分式．3、请你从、、中任选两个．将其中一个作为分子，另一个作为分母组成一个分式，并将这个分式进行化简，再求当时分式的值．4、先化简，再求值221x x x ++÷1(1)1x -+，其中x ＝3．八、分式方程的计算1、解下列的分式方程；x x 3152=+3911332-=-+x x xxx x 2412x 32+=++23121--=--x x x9442313212-=-++x x x x九、分式的实际应用题应用题1、我市某校为了创建书香校园，去年购进一批图书。

人教版八年级数学上册第十五章分式知识点总结和典型题型

.
12 xy
（ 1） 2 3 1x 1 y 34
0.2a 0.03b （2）
0.04a b
题型二：分数的系数变号
【例 2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号
.
（ 1） x y xy
（ 2）
a
ab
（3） a b
题型三：化简求值题
【例 3】已知： 1 1 5 ，求 2x 3xy 2 y 的值 .
b
:
c
bc a
0
aa a
2. 异分母加减法则
b
:
d
bc da
bc
da a
0, c
0;
a c ac ac ac
【例 3】当 x 取何值时，下列分式的值为 0.
（1） x 1 x3
|x| 2 （ 2） x2 4
x2 2x 3 （ 3） x2 5x 6
题型四：考查分式的值为正、负的条件
【例 4】（ 1）当 x 为何值时，分式 4 为正； 8x
“实际问题 ———
【例 1】下列代数式中：
x1
a b x2
, x y,
,
y2 x ,
y ，是分式的有：
.
2
ab x y x y
分式方程模型 ——— 求解 ——— 解释解的合理性 ”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对
题型二：考查分式有意义的条件
培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法
式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程
（一）、分式定义及有关题型
的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等．

人教版八年级数学上册第十五章分式知识点总结和题型归纳(无答案)

分式知识点总结和题型归纳第一部分分式的运算（一）分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义：A一般地，如果 A ，B 表示两个整数，并且 B 中含有字母，那么式子 A 叫做分式，A 为分子,BB 为分母。

i-y ，是分式的有: x y题型二：考查分式有意义的条件分式有意义：分母不为 0（ B 0）分式无意义：分母为 0（ B 0）【例1】当x 有何值时，下列分式有意义（1）—（2）-3^ （ 3）（4）（ 5）丄x4x 22 x 21| x| 3x1x题型三：考查分式的值为 0的条件分式值为0:分子为0且分母不为0 （ A 0）B 0【例1】当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）Jx 3（2）|x| 2 x 242（3） x 22x 3x 5x 6【例2】当x 为何值时，下列分式的值为零:题型四：考查分式的值为正、负的条件分式值为正或大于 0:分子分母冋号（A或A 0 ）B 0B 0【例1】下列代数式中:（1）5 |x 1 | x 4（2） 2^5 xx 6x 5x 1 -，2x分式值为负或小于0：分子分母异号（A °或八°）B 0 B0【例"（1）当x为何值时，分式为正;（3）当x为何值时，分式工为非负数.【例2】解下列不等式（1）1古 °（2）U题型五：考查分式的值为1，-1的条件分式值为1 :分子分母值相等（A=B）分式值为-1 :分子分母值互为相反数（A+B=°）【例1】若也L上的值为1,-1，则x的取值分别为________________________ x 2思维拓展练习题：a b1、若a>b>0, a2+ b2—6ab=0,则一a b2、一组按规律排列的分式：b2 b5 b8b11,2 , 3, 4 , L L ( ab 0),则第n个分式为a a a a（2）当x为何值时，分式5 x23 (x 1)2为负;A3、已知x23x 1 0,求X2 -2的值。

(完整版)第十五章分式知识点归纳与整理

第十五章分式知识点归纳与整理§15.1分式1.分式的概念形如BA(A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母整式和分式统称有理式。

特别注意：1π不是分式。

2.分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

MB MA MB M A B A ÷÷=••=（其中0,0≠≠B M ，且M B A ,,均表示的是整式）【分式的约分】首先要找出分子与分母的公因式，再把分子与分母的公因式约去。

【分式的通分】通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母（叫做最简公分母）。

§15.2 分式的运算1.分式的乘除【乘法法则】分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

注意：如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简。

【除法法则】分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

2.分式的加减法同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式想加减，先通分，变为同分母的分式，再把分子相加减。

3.分式的乘方【乘方法则】n n nb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛【零指数幂】任何不等于零的数的零次幂都等于1。

【负整指数幂】任何不等于零的数的－N （N 为正整数）次幂，等于这个数的N 次幂的倒数。

【正整数指数幂运算性质】注意：这些性质在整数指数幂中同样适用。

4.科学记数法：把一个数表示成的形式10n a ⨯（其中101<≤a ，n 是整数）的记数方法叫做科学记数法。

（1）用科学记数法表示绝对值大于1的数时，应当表示为10n a ⨯的形式, 其中1≤︱a ︱＜10,n 为原整数部分的位数减1；（2）用科学记数法表示绝对值小于1的数时,则可表示为10n a -⨯的形式，其中n 为原数第1个不为0的数字前面所有0的个数(包括小数点前面的那个0)，1≤︱a ︱＜10。

人教版八年级上册数学第十五章分式方程知识点及考点

第十五章分式方程知识点及考点一、知识点1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．易错提醒：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．3．增根在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．温馨提示：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．4．分式方程的应用（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝工作量工作效率，时间＝路程速度等．（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．二、考试方向（一）解分式方程分式方程的解法：①能化简的应先化简；②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； ③解整式方程；④验根．例题：1、解分式方程：312242x x x -=--．【解析】去分母得：6-x =x -2，解得：x =4，经检验x =4是分式方程的解．【名师点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．2、方程33122x x x-+=--的解为_______________．【答案】1x =【解析】方程两边同乘以(2)x -，得(32)3x x -+-=-，解得1x =，检验：1x =时，20x -≠，所以1x =是原分式方程的解．故填1x =．【名师点睛】分式方程的解题步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．同时应注意分式方程必须检验．（二）分式方程的解（1）求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.（2）验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根；否则这个根就是原分式方程的根，若解出的根都是增根，则原方程无解.（3）如果分式本身约分了，也要代入进去检验.（4）一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.例题：3、若关于x 的方程3111ax x x -=++的解为整数解，则满足条件的所有整数a 的和是 A ．6 B ．0 C ．1 D ．9【答案】D【解析】分式方程去分母得：ax -1-x =3，解得：x =41a -，由分式方程的解为整数解，得到a -1=±1，a -1=±2，a -1=±4，解得：a =2，0，3，-1，5，-3（舍去），则满足条件的所有整数a 的和是9，故选D ．【名师点睛】此题考查了分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4、若关于x 的分式方程121k x -=+的解为负数，则k 的取值范围为_______________．【答案】3k <且1k ≠【解析】分式方程去分母转化为整式方程，去分母得122k x -=+，解得32x k =-，由分式方程的解为负数，可得203k -<且10x +≠，即213k -≠-，解得3k <且1k ≠．（三）分式方程的应用分式方程解实际问题的求解步骤：审题、设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案，检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行．例题：5、某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x 个，根据题意可列分式方程为A ．2010154x x +=+ B ．2010154x x -=+ C ．201015x x += D ．201015x x -= 【答案】A 【解析】由题意可知原计划每天生产x 个零件，则实际每天生产了(4)x +个零件，实际15天共生产了(200)1x +个零件，因此根据题意可列分式方程为2010154x x +=+．故选A ． 6、元旦假期即将来临，某旅游景点超市用700元购进甲、乙两种商品260个，其中甲种商品比乙种商品少用100元，已知甲种商品单价比乙种商品单价高20%，那么乙种商品单价是A ．2元B ．2.5元C ．3元D ．5元【答案】B【解析】设乙种商品单价为x 元，则甲种商品单价为(1)20%x +元，由题易得，甲种商品花费300元，乙种商品花费400 解得 2.5x =元．故选B ．。

(完整版)八年级上册第十五章分式知识点总结及练习,推荐文档

第十五章分式一、知识概念：1.分式：形如A ，A、B 是整式，B 中含有字母且B 不等于 0 的整式叫B做分式.其中 A 叫做分式的分子， B 叫做分式的分母.2.分式有意义的条件：分母不等于 0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为 1 的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为： a ±b =a ±bc c c⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a ±c =ad ±cbb d bd⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分12⑹ a = 子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为： a ⨯ c = acb d bd⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为： a ÷ c= a ⨯ d= adb db cbc⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：⎛ a ⎫n⎪ ⎝ b ⎭ = a n bn8. 整数指数幂：⑴ a m ⨯ a n = a m +n （ m 、n 是正整数）⑵ (am)n⑶ (ab )n= a mn （ m 、n 是正整数）= a n b n （ n 是正整数）⑷ a m ÷ a n ⎛ a ⎫n= a m -n （ a ≠ 0 ， m 、n 是正整数， m > n ）a n⑸ ⎪ ⎝ b ⎭= b n （ n 是正整数）- n1an （ a ≠ 0 ，n 是正整数）9. 分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程 .10. 分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母 ,将分式方程化为整式方程 );②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根 ,因为在把分式方程化为整式方程的过程中 ,扩大了未知数的取值范围 ,可能产生增根).分式常考例题精选21.若分式+ 1有意义，则a 的取值范围是( )A.a=0B.a=1C.a≠-1D.a≠02 12.把分式方程+ 4= 转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以 ( )3A.xB.2xC.x+4D.x(x+4)12 2 13.分式方程x2 ‒ 9-x‒ 3=x + 3的解为 ( )A.3B.-3C.无解D.3 或-34.今年我省荔枝喜获丰收，有甲、乙两块面积相同的荔枝园，分别收获荔枝 8 600kg 和9 800kg，甲荔枝园比乙荔枝园平均每亩少60kg，问甲荔枝园平均每亩收获荔枝多少kg?设甲荔枝园平均每亩收获荔枝xkg，根据题意，可得方程( )8 600A.9 800= +608 600B.9 800= x‒ 608 600C.x‒ 60 =9 800 8 600D. + 60=9 8005.若分式2x‒ 1 有意义，则x 的取值范围是.6.若代数式2x‒ 1 -1 的值为零，则x= .x 37.若关于x 的分式方程x‒ 1=2x‒ 2-2 有非负数解，则a 的取值范围是.4( )a ‒1 a2 ‒ 2a + 18. 化简：a÷a.56( ) () 9. 先化简，再求值：1‒ 1 m 2 ‒ 2mn + n 2mn÷mn，其中 m=-3，n=5.10. 某车队要把 4000t 货物运到雅安地震灾区(方案定后，每天的运量不变).(1) 从运输开始，每天运输的货物吨数 n(单位：t)与运输时间 t(单位：天)之间有怎样的函数关系式?(2) 因地震，到灾区的道路受阻，实际每天比原计划少运 20%，则推迟 1 天完成任务，求原计划完成任务的天数.x+ 2x ‒ 111. 先化简，再求值：负整数x‒ 4 2解 . x ‒ 2÷x‒ 4x+4，其中x 是不等式3x+7>1的712.某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球.回校后，王老师和李老师编写了一道题：请求出篮球和排球的单价各是多少元?11.分式x－1有意义，则x 的取值范围是( )A．x>1 B．x≠1 C．x<1 D．一切实数b2.下列各分式与a相等的是( )b2 A.a2b＋2B.a＋2abC.a2a＋bD.2a3.下列分式的运算正确的是( )1 2 3 a＋b a2＋b2A.a＋b＝a＋b B．( c )2＝c2a2＋b2 3－a 1 C. a＋b ＝a＋b D.a2－6a＋9＝3－a83a－4 14．化简(a＋a－3 )(1－a－2)的结果等于( )a－2 A．a－2c B．a＋2 C.a－3a－3 D.a－2a－2 15.若x＝3 是分式方程x －x－2＝0 的根，则a 的值是( )A．5 B．－5 C．3 D．－3m 36.已知关于x 的分式方程x－1＋1－x＝1 的解是非负数，则m 的取值范围是( )A．m>2 B．m≥2C．m≥2 且m≠3 D．m>2 且m≠37.小明上月在某文具店正好用20 元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜1 元，结果小明只比上次多用了4 元钱，却比上次多买了2 本．若设他上月买了x 本笔记本，则根据题意可列方程( )24 20 20 24 24 20 20 24A.x＋2－x ＝1B. x －x＋2＝1C. x －x＋2＝1D.x＋2－x ＝1x－b 2x－b8.当x＝1 时，分式x＋a无意义；当x＝2 时，分式3x＋a的值为0，则a＋b＝．95 79.方程x＝x－2的解是x＝．3x 2x 110．若(x－y－2)2＋|xy＋3|＝0，则(x－y－x－y)÷y的值是．m 111.关于x 的分式方程x2－4－x＋2＝0 无解，则m＝．12.计算或化简：2x 1(1)3 8－2－1＋| 2－1|；(2)x2－4－x－2；103－a 5(3)2a－4÷(a＋2－a－2)．13.解分式方程：1 x－2 1 13 (1)x－x ＝1; (2)2x－1＝2－4x－2.114．先化简(1＋x－2) ÷数作为x 的值，代入求值；x－1x2－4x＋4，再从1，2，3 三个数中选一个合适的1115．小明去离家2.4 km 的体育馆看球赛，进场时，发现门票还放在家中，此时离比赛还有45 min，于是他立即步行(匀速)回家取票，在家取票用时2 min，取到票后，他马上骑自行车(匀速)赶往体育馆．已知小明骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少20 min，骑自行车的速度是步行速度的3 倍．(1)小明步行的速度是多少？(2)小明能否在球赛开始前赶到体育馆？1213“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。

人教版数学八年级上第十五章《分式》精品讲义

所以 x2 y2 z2 (x y z) x y z, yz zx xy
所以 x2 y2 z2 0. yz zx xy
【解读策略】条件分式的求值，如需把已知条件或所示条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能到事半功倍的效果，条件分式的求值问题体现了整体的数学思想和转化的数学思想.
所以 (x
xyz y)( y z)(x
z）
2k k 3k 3k 4k 5k
6k 3 60k 3
1 10
.
例6 已知 x a, z c, 且 abc o ,求 a b c 的值.
yz xy
a 1 b1 c 1
解: 由已知得 1 y z , ax
所以 1 1 y z 1 x y z , 即 a 1 x y z ,
同分母分式，再进行相加减.在通分时，先确定最简公分母，然后将各分式的分
子、分母都乘以分母与最简公分母所差的因式.运算的结果应根据分式的基本性
质化为最简形式.
专题 2 有关求分式值的问题
【专题解读】对于一个分式，如果给出其中字母的值，可以先将分式进行化
简，然后将字母的值代入，求出分式的值.但对于分式的求值问题,却没有直接给
知识网络结构图
分式的概念
分式的概念分式的意义、无意义的条件
分式的值为 0 的条件
分式的基本性质
分式的基本性质分式的约分
分式的通分
分式的乘法规则
分式的除法规则
分式
同分母分式的加减法法则
分式的运算分式的加减法法则
异分母分式的加减法法则
运算性质
负正数指数幂
科学记数法
公式方程的概念
解分式方程的步骤
分式方程分式方程中使最简公分母为 0 的解

人教版八年级数学上册第15章分式小结与复习

因为 ( 3)2 ( 3)2 3，所以小玲的计算结果也正确.
例4
解析：本题若先求出 a 的值，再代入求值，显
然比较复杂；但是如果将分式
的分子、
分母颠倒过来，即求
的值，
再利用完全平方公式变形求解就简单多了．
归纳总结利用 A 和 1 互为倒数的关系，构造已知
A
条件与所求式子的关系，并运用整体代换，可使一些分式求值问题的思路豁然开朗，简化解题过程．
第十五章分式
小结与复习
一、分式 1. 分式的概念：
一般地，如果 A、B 都表示整式，且 B 中含有
字母，那么称为分式. 其中 A 叫做分式的分子，
B 叫做分式的分母. 2. 分式有意义的条件：
对于分式：当__B_≠__0__时分式有意义；当__B__=_0__时分式无意义.
3. 分式值为零的条件：当 A = 0 且 B≠0 时，分式
的值为零.
4. 分式的基本性质：
A A C ， A A C（C 0）. B BC B BC
5. 分式的约分：约分的定义
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母
的公因式约去，叫做分式的约分．
最简分式的定义分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.
注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.
此方法是在众多未知元之中选取某一元为主元，其余视为辅元，并将辅元用含有主元的式子表示，从而达到减元的目的，最终实现化繁为简，化难为易.
针对训练
9.
已知
x y
2 3
，求
x2
x2 y2 2xy
y2
xy 2x2
y2 2xy

八年级上册第十五章-分式知识梳理

八年级数学第十五章--分式知识梳理知识点一、分式1、一般地，如果A,B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫做分式。

分式中，A 叫做分子，B 叫做分母。

2、分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义。

3、分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。

即：其中A,B,C 是整式。

4、根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约分，叫做分式的约分。

经过约分后的分式，分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。

5、根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

6、通分时，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母知识点二、分式的运算7、分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母即 8、分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

即 9、分式乘方要把分子、分母分别乘方。

即 10、同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

即 cb ac b c a ±=± 11、异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。

即 12、一般地，当n 是正整数时，B A B A B A CB C A B A ⋅⋅=)0(≠÷÷=C C B C A B A db c a d c b a ⋅⋅=⋅cb d acd b a d c b a ⋅⋅=⨯=÷n n n b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛bdbc ad bd bc bd ad d c b a +=±=±)0(1≠=-a a a n n nn b a a b )(=-）（知识点三、分式方程13、分母中含有未知数的方程叫做分式方程14、解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母。

(人教版)八年级上册第十五章分式知识点总结及练习【精美版】

第十五章分式一、知识概念： 1.分式：形如AB，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母. 2.分式有意义的条件：分母不等于0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a bccc±±=⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a c ad cbbdbd±±=⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a cac b dbd⨯=⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a d ad bdb cbc÷=⨯=⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭8.整数指数幂：⑴m n m na a a +⨯=（m n 、是正整数）⑵()nm mn aa =（m n 、是正整数） ⑶()nn n ab a b =（n 是正整数）⑷mnm na a a-÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >）⑸nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 是正整数）⑹1nn a a-=（0a ≠，n 是正整数）9. 分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).分式常考例题精选1.若分式2a+1有意义，则a 的取值范围是 ( ) A.a=0 B.a=1 C.a ≠-1D.a ≠02.把分式方程2x+4=1x 转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以 ( ) A.xB.2xC.x+4D.x(x+4)3.分式方程12x −9-2x−3=1x+3的解为 ( ) A.3B.-3C.无解D.3或-34.今年我省荔枝喜获丰收，有甲、乙两块面积相同的荔枝园，分别收获荔枝8 600kg 和9 800kg ，甲荔枝园比乙荔枝园平均每亩少60kg ，问甲荔枝园平均每亩收获荔枝多少kg?设甲荔枝园平均每亩收获荔枝xkg ，根据题意，可得方程 ( )A.8 600x= 9 800x+60B.8 600x= 9 800x−60C.8 600x−60=9 800xD.8 600x+60=9 800x5.若分式 2x−1 有意义，则x 的取值范围是 .6.若代数式 2x−1 -1的值为零，则x= ________.7.若关于x 的分式方程xx−1=3a2x−2-2有非负数解，则a 的取值范围是 .8.化简：(a −1a)÷a 2−2a+1a.9.先化简，再求值：(1m −1n )÷m 2−2mn+n 2mn，其中m=-3，n=5.10.某车队要把4000t 货物运到雅安地震灾区(方案定后，每天的运量不变). (1)从运输开始，每天运输的货物吨数n(单位：t)与运输时间t(单位：天)之间有怎样的函数关系式?(2)因地震，到灾区的道路受阻，实际每天比原计划少运20%，则推迟1天完成任务，求原计划完成任务的天数.11.先化简，再求值：(x+2x−x−1x−2)÷x−4x −4x+4，其中x 是不等式3x+7>1的负整数解.12.某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球.回校后，王老师和李老师编写了一道题：请求出篮球和排球的单价各是多少元?1．分式1x －1有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x>1 B ．x ≠1 C ．x<1 D ．一切实数2．下列各分式与ba 相等的是( ) A .b 2a 2 B .b ＋2a ＋2 C .aba 2 D .a ＋b 2a3．下列分式的运算正确的是( ) A .1a ＋2b ＝3a ＋bB ．(a ＋b c )2＝a 2＋b 2c 2C .a 2＋b 2a ＋b ＝a ＋bD .3－a a 2－6a ＋9＝13－a4．化简(a ＋3a －4a －3)(1－1a －2)的结果等于( ) A ．a －2c B ．a ＋2 C .a －2a －3 D .a －3a －25．若x ＝3是分式方程a －2x －1x －2＝0的根，则a 的值是( )A ．5B ．－5C ．3D ．－36．已知关于x 的分式方程m x －1＋31－x ＝1的解是非负数，则m 的取值范围是( )A ．m>2B ．m ≥2C ．m ≥2且m ≠3D ．m>2且m ≠37．小明上月在某文具店正好用20元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜1元，结果小明只比上次多用了4元钱，却比上次多买了2本．若设他上月买了x 本笔记本，则根据题意可列方程( )A .24x ＋2－20x ＝1B .20x －24x ＋2＝1C .24x －20x ＋2＝1D .20x ＋2－24x ＝18．当x ＝1时，分式x －b x ＋a 无意义；当x ＝2时，分式2x －b3x ＋a 的值为0，则a ＋b＝．9．方程5x ＝7x －2的解是x ＝．10．若(x －y －2)2＋|xy ＋3|＝0，则(3x x －y －2x x －y )÷1y的值是．11.关于x 的分式方程m x 2－4－1x ＋2＝0无解，则m ＝．12．计算或化简：(1)38－2－1＋|2－1|；(2)2xx2－4－1x－2；(3)3－a2a－4÷(a＋2－5a－2)．13．解分式方程：(1)1x－x－2x＝1; (2)12x－1＝12－34x－2.14．先化简(1＋1x－2) ÷x－1x2－4x＋4，再从1，2，3三个数中选一个合适的数作为x的值，代入求值；15．小明去离家2.4 km的体育馆看球赛，进场时，发现门票还放在家中，此时离比赛还有45 min，于是他立即步行(匀速)回家取票，在家取票用时2 min，取到票后，他马上骑自行车(匀速)赶往体育馆．已知小明骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少20 min，骑自行车的速度是步行速度的3倍．(1)小明步行的速度是多少？(2)小明能否在球赛开始前赶到体育馆？第1节探究电流与电压、电阻的关系实验(建议时间：20分钟)1. (2019铜仁)小李为了探究“电流与电压的关系”，请你与他合作并完成以下实验步骤．(1)请你在虚线框中设计出相应的电路图．第1题图(2)小李在探究电流与电压的关系时，要控制________不变．通过实验探究，得到以下数据，在进行数据分析时，小李发现表格中有一组错误的数据，请你找出第________组数据是错误的．序号 1 2 3 4 5电压U/V 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4电流I/A 0.16 0.24 0.32 0.44 0.48(3)为了分析电流与电压的定量关系，请你利用正确的数据，在坐标中绘制出电流与电压关系的图像．2. (2019巴中)同学们想探究“导体中电流跟导体两端电压的关系”：(1)小明同学通过学习知道了________是形成电流的原因，因此做出了如下三种猜想：A. 电流跟电压成反比B. 电流跟电压成正比C. 电流跟电压无关(2)为了验证猜想，小明设计了如图甲所示的电路图，其中电源为三节新干电池，电阻R为10 Ω，滑动变阻器R标有“50 Ω 1 A”字样，电压表电流表均完好．第2题图实验次数 1 2 3电压U/V 2 2.6 3电流I/A 0.20 0.26 0.30第2题图丙①根据甲电路图将乙图实物电路连接完整；②闭合开关前，小明应将滑动变阻器滑片移到________阻值处(选填“最大”或“最小”)；③他检查电路时发现电压表、电流表位置互换了，若闭合开关电流表________(选填“会”或“不会”)被烧坏；④排除故障后小明进行了实验，得到表格中的实验数据．分析数据，可得出的正确结论是：电阻一定时，________________________________．(3)小明还想用这个电路测量小灯泡的额定功率，于是他将电阻R换成一只额定电压是4 V 的小灯泡(阻值约为13 Ω)，电阻一定时，并将电压表量程更换为15 V，闭合开关S后，调节滑片至电压表示数为4.0 V时，电流表示数如图丙所示为______A，小灯泡的额定功率为________W.3. (2019临沂)在“探究电流与电阻关系”的实验中，小明依次选用阻值为5 Ω、10 Ω、20 Ω的定值电阻进行实验．第3题图(1)图甲是实验的实物连线图，其中有一条导线连接错误，请在该导线上打“×”并画出正确连线．(2)改正错误后闭合开关，电流表有示数而电压表无示数，电路故障可能是________．(3)排除故障后闭合开关，移动滑动变阻器的滑片至某一位置，电流表的示数如图乙所示，此时电路中的电流为________A.(4)断开开关，将5 Ω的定值电阻换成10 Ω的并闭合开关，此时应将滑动变阻器的滑片向______(选填“左”或“右”)端移动，这一过程中眼睛要一直观察________表示数的变化．(5)下表是实验中记录的数据，分析数据可知：①10 Ω定值电阻的功率为________W.②当导体两端的电压一定时，通过导体的电流与导体的电阻成________比．参考答案第十五章欧姆定律第1节探究电流与电压、电阻的关系实验1. (1)如答图甲所示第1题答图甲(2)电阻 4 (3)如答图乙所示第1题答图乙2. (1)电压(2)①如答图所示②最大③不会④导体中的电流与它两端的电压成正比(3)0.3 1.2第2题答图3. (1)如答图所示(2)R短路 (3)0.4 (4)右电压(5)①0.4 ②反第3题答图第十五章电流和电路摩擦起电：摩擦过的物体具有吸引轻小物体的现象——带电体==本质：电荷的转移正电荷：被丝绸摩擦过的玻璃棒带的电荷种类电荷负电荷：被毛皮摩擦过的橡胶棒带的电荷性质：同种电荷互相排斥，异种电荷互相排斥检验：验电器——原理：同种电荷互相排斥电量：q 单位：库伦简称：库符号：CC元电荷：最小电荷：e=1.6×1019组成：电源、开关、导线、用电器电源：提供电能开关：控制电路通断作用用电器：消耗电能导线：传输电能的路径导体：金属、人体、食盐水两种材料绝缘体：橡胶、玻璃、塑料电流产生条件①电路闭合②保持通路定义：正电荷移动的方向电路电流的方向在电源中电源的正极→用电器→电源的负极1617单位：A −→−310mA −→−310A μ 工具：电流表 ○A测量使用方法 ①电流表必须和被测的用电器串联电流的大小（I ） ②看清量程、分度值，不准超过电流表的量程 ③必须正入负出④任何情况下都不能直接连到电源的两极电路的连接：先串后并，就近连线，弄清首尾通路：接通的电路三种状态断路：断开的电路短路：电流不经过用电器直接回到电源的负极两种类型：一、电荷1、物体有了吸引轻小物体的性质，我们就说物体带了电荷；换句话说，带电体具有吸引轻小物体的性质。