八年级数学上册,第二单元测试卷

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学校:___________姓名：________班级：________考号：________
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绝密★启用前
麻阳新希望八年级数学上册第二单元测试卷
试卷副标题
考试范围：第二单元；考试时间：120分钟；命题人：数学教研组
题号 一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明
评卷人 得 分
一．选择题（共10小题，10*4=40）
1．如图，直线AB ∥CD ，∠A=70°，∠C=40°，则∠E 等于（ ）
A ．30°
B ．40°
C ．60°
D ．70°
2．三条线段a=5，b=3，c 的值为整数，由a 、b 、c 为边可组成三角形（ ） A ．1个 B ．3个 C ．5个 D ．无数个
3．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（ ）
A ．带①去
B ．带②去
C ．带③去
D ．①②③都带去
4．如下图所示，D 为BC 上一点，且AB=AC=BD ，则图中∠1与∠2的关系是（ ）
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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A ．∠1=2∠2
B ．∠1+∠2=180°
C ．∠1+3∠2=180°
D ．3∠1﹣∠2=180°
5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则其顶角为（ ） A ．45° B ．135° C ．45°或67.5° D ．45°或135°
6．如图，已知DE ∥BC ，AB=AC ，∠1=125°，则∠C 的度数是（ ）
A ．55°
B ．45°
C ．35°
D ．65°
7．如图，△ABC 中，AB +BC=10，AC 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 和E ，则△BCD 的周长是（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．无法确定
8．如图，△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线交于O 点，过O 点作EF ∥BC 交AB 、AC 于E 、F ．EF=6，BE=4，则CF 的长为（ ）
A ．6
B ．4
C ．2
D ．5
9．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，如果∠A=50°，那么∠1+∠2的大小为（ ）
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学校:___________姓名：________班级：________考号：________
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A ．130°
B ．180°
C ．230°
D ．260°
10．如图，△ABC 中，∠A=60°，BD ，CD 分别是∠ABC ，∠ACB 的平分线，则
∠BDC 的度数是（ ）
A ．100°
B ．110°
C ．120°
D ．130°
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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第Ⅱ卷（非选择题）
请点击修改第Ⅱ卷的文字说明
评卷人 得 分
二．填空题（共10小题，10*4=40）
11．△ABC 中，已知∠A=100°，∠B=60°，则∠C= ． 12．如图，七星形中∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G= ．
13．一个等腰三角形的两边长分别为3和7，这个三角形的周长是 ． 14．如图，在△ABC 中，AB=20cm ，AC=12cm ，点P 从点B 出发以每秒3cm 速度向点A 运动，点Q 从点A 同时出发以每秒2cm 速度向点C 运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ 是以PQ 为底的等腰三角形时，运动的时间是 秒．
15．如图，在△ABC 中，AB=AC ，点E 在CA 延长线上，EP ⊥BC 于点P ，交AB 于点F ，若AF=2，BF=3，则CE 的长度为 ．
16．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=15°，∠DBC=60°，BC=4，则AD= ．
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17．命题“若a=b ，则a 2=b 2”的逆命题是 ．
18．如图，在△ABC 中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC= ．
19．如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，∠DBC=15°，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，则∠A 的度数是 ．
20．如图，已知△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG=CD ，DF=DE ，则∠E= 度．
评卷人 得 分
三．解答题（共6小题，共70分）
21．如图，已知AB ∥DE ，AB=DE ，BE=CF ，求证：AC ∥DF ．（10分）
22．如图，已知点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB=DF ，AC=DE ，∠A=∠D ．（10分）
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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（1）求证：AC ∥DE ；
（2）若BF=13，EC=5，求BC 的长．
23．如图，在等边△ABC 中，点D ，E 分別在边BC ，AC 上，DE ∥AB ，过点E 作EF 丄DE ，交BC 的延长线于点F ．（12分） （1）求∠F 的度数；
（2）若CD=2，求DF 、EF 的长．
24．如图，已知：在△AFD 和△CEB 中，点A 、E 、F 、C 在同一直线上，AE=CF ，∠B=∠D ，AD ∥BC ．求证：AD=BC ．（12分）
25．如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 在AB 上，点E 在AC 的延长线上，且BD=CE ，DE 交BC 于F ，求证：DF=EF ．（12分）
26．如图，点C 是线段AB 上除点A 、B 外的任意一点，分别以AC 、BC 为边在线段AB 的同旁作等边△ACD 和等边△BCE ，连接AE 交DC 于M ，连接BD
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交CE 于N ，连接MN ．（14分）
（1）求证：AE=BD ；
（2）求证：MN ∥AB ．
2017年11月19日初中数学的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，直线AB∥CD，∠A=70°，∠C=40°，则∠E等于（）
A．30°B．40°C．60°D．70°
【分析】先根据两直线平行，同位角相等求出∠1，再利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求出∠E的度数．
【解答】解：如图，∵AB∥CD，∠A=70°，
∴∠1=∠A=70°，
∵∠1=∠C+∠E，∠C=40°，
∴∠E=∠1﹣∠C=70°﹣40°=30°．
故选：A．
【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解答此题的关键．
2．三条线段a=5，b=3，c的值为整数，由a、b、c为边可组成三角形（）A．1个 B．3个 C．5个 D．无数个
【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边c的范围，根据c的值为整数，即可确定c的值．从而确定三角形的个数．
【解答】解：根据三角形的三边关系知c的取值范围是：2＜c＜8，
又c的值为整数，
因而c的值可以是：3、4、5、6、7共5个数，
因而由a、b、c为边可组成5个三角形．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，解本题的关键是确定出c的值．
3．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（）
A．带①去B．带②去C．带③去D．①②③都带去
【分析】本题就是已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．
【解答】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．
4．如下图所示，D为BC上一点，且AB=AC=BD，则图中∠1与∠2的关系是（）
A．∠1=2∠2 B．∠1+∠2=180°C．∠1+3∠2=180°D．3∠1﹣∠2=180°【分析】由已知AB=AC=BD，结合图形，根据等腰三角形的性质、内角与外角的关系及三角形内角和定理解答．
【解答】解：∵AB=AC=BD，
∴∠1=∠BAD，∠C=∠B，
∠1是△ADC的外角，
∴∠1=∠2+∠C，
∵∠B=180°﹣2∠1，
∴∠1=∠2+180°﹣2∠1
即3∠1﹣∠2=180°．
故选：D．
【点评】主要考查了等腰三角形的性质及三角形的外角、内角和等知识；（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；
（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．
5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则其顶角为（）A．45°B．135°C．45°或67.5°D．45°或135°
【分析】首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为45°．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为135°．
【解答】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD=45°，
∴∠A=45°，
即顶角的度数为45°．
②如图，等腰三角形为钝角三角形，
∵BD⊥AC，∠DBA=45°，
∴∠BAD=45°，
∴∠BAC=135°．
故选D．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解．
6．如图，已知DE∥BC，AB=AC，∠1=125°，则∠C的度数是（）
A．55°B．45°C．35°D．65°
【分析】首先根据∠1=125°，求出∠ADE的度数；然后根据DE∥BC，AB=AC，可得AD=AE，∠C=∠AED，求出∠AED的度数，即可判断出∠C的度数是多少．【解答】解：∵∠1=125°，
∴∠ADE=180°﹣125°=55°，
∵DE∥BC，AB=AC，
∴AD=AE，∠C=∠AED，
∴∠AED=∠ADE=55°，
又∵∠C=∠AED，
∴∠C=55°．
故选：A．
【点评】（1）此题主要考查了等腰三角形的性质和应用，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相等．③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
（2）此题还考查了平行线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两条平行线之间的距离处处相等．
7．如图，△ABC中，AB+BC=10，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D和
E，则△BCD的周长是（）
A．6 B．8 C．10 D．无法确定
【分析】垂直平分线可确定两条边相等，然后再利用线段之间的转化进行求解．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=DC，
△BCD的周长=BC+BD+DC=BC+BD+AD=10
故选C．
【点评】本题主要考查垂直平分线性质和等腰三角形的知识点，熟练掌握等腰三角形的性质．
8．如图，△ABC中，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．EF=6，BE=4，则CF的长为（）
A．6 B．4 C．2 D．5
【分析】如图，证明BE=OE，此为解题的关键性结论；证明CF=OF，即可解决问题．
【解答】解：如图，∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO；
∵EO∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，
∴∠EOB=∠EBO，
∴BE=OE；同理可证CF=OF；
∵EF=6，BE=4，
∴OF=EF﹣OE=EF﹣BE=2，
∴CF=OF=2，
故选C．
【点评】该题以三角形为载体，以考查等腰三角形的判定及其性质、平行线的性质等几何知识点为核心构造而成；牢固掌握等腰三角形的判定及其性质是解题的关键．
9．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果∠A=50°，那么∠1+∠2的大小为（）
A．130°B．180°C．230° D．260°
【分析】根据三角形的外角性质可得∠1=∠A+∠ADE，∠2=∠A+∠AED，再根据已知和三角形内角和等于180°即可求解．
【解答】解：∵∠1=∠A+∠ADE，∠2=∠A+∠AED，
∴∠1+∠2
=∠A+∠ADE+∠A+∠AED
=∠A+（∠ADE+∠A+∠AED）
=50°+180°
=230°．
故选：C．
【点评】考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理：三角形内角和等于180°．
10．如图，△ABC中，∠A=60°，BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，则∠BDC的度数是（）
A．100°B．110°C．120° D．130°
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再由角平分线的性质求出∠DBC+∠DCB的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵△ABC中，∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣60°=120°．
∵BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=×120°=60°，
∴∠BDC=180°﹣（∠DBC+∠DCB）=180°﹣60°=120°．
故选C．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．△ABC中，已知∠A=100°，∠B=60°，则∠C=20°．
【分析】由三角形的内角和定理可得到∠A+∠B+∠C=180°，再把∠A、∠B 代入计算即可．
【解答】解：由三角形的内角和定理可得到∠A+∠B+∠C=180°，
∵∠A=100°，∠B=60°，
∴∠C=180°﹣100°﹣60°=20°，
故答案为：20°．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理，掌握三角形的三个内角和为180°是解题的关键．
12．如图，七星形中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=180°．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解答即可．【解答】解：由三角形的外角性质得，∠1=∠B+∠F+∠C+∠G，
∠2=∠A+∠D，
由三角形的内角和定理得，∠1+∠2+∠E=180°，
所以，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=180°．
故答案为：180°．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．
13．一个等腰三角形的两边长分别为3和7，这个三角形的周长是17．【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：（1）若3为腰长，7为底边长，
由于3+3＜7，则三角形不存在；
（2）若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为7+7+3=17．
故答案为：17．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
14．如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm 速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰
三角形时，运动的时间是4秒．
【分析】设运动的时间为x，则AP=20﹣3x，当APQ是等腰三角形时，AP=AQ，则20﹣3x=2x，解得x即可．
【解答】解：设运动的时间为x，
在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是等腰三角形时，AP=AQ，
AP=20﹣3x，AQ=2x
即20﹣3x=2x，
解得x=4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中档题．
15．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF=2，BF=3，则CE的长度为7．
【分析】根据等边对等角得出∠B=∠C，再根据EP⊥BC，得出∠C+∠E=90°，∠B+∠BFP=90°，从而得出∠D=∠BFP，再根据对顶角相等得出∠E=∠AFE，最后根据等角对等边即可得出答案．
【解答】证明：在△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵EP⊥BC，
∴∠C+∠E=90°，∠B+∠BFP=90°，
∴∠E=∠BFP，
又∵∠BFP=∠AFE，
∴∠E=∠AFE，
∴AF=AE，
∴△AEF是等腰三角形．
又∵AF=2，BF=3，
∴CA=AB=5，AE=2，
∴CE=7．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解题的关键是证明∠E=∠AFE，注意等边对等角，以及等角对等边的使用．
16．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，∠DBC=60°，BC=4，则AD=8．
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠BDC=30°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BD，再求出∠ABC，然后求出∠ABD=15°，从而得到∠ABD=∠A，根据等角对等边可得AD=BD，从而得解．
【解答】解：∵∠DBC=60°，∠C=90°，
∴∠BDC=90°﹣60°=30°，
∴BD=2BC=2×4=8，
∵∠C=90°，∠A=15°，
∴∠ABC=90°﹣15°=75°，
∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=75°﹣60°=15°，
∴∠ABD=∠A，
∴AD=BD=8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，熟记性质熟记解题的关
键．
17．命题“若a=b，则a2=b2”的逆命题是若a2=b2，则a=b．
【分析】如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么把另一个叫做它的逆命题．故只需将命题“若a=b，则a2=b2”的题设和结论互换，变成新的命题即可．
【解答】解：命题“若a=b，则a2=b2”的逆命题是若a2=b2，则a=b．
【点评】写出一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将题设和结论交换．在写逆命题时要用词准确，语句通顺．
18．如图，在△ABC中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=70°．
【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得∠DAC+∠ACF=（∠B+∠B+∠1+∠2）；最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数．
【解答】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，
∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF；
又∵∠B=40°（已知），∠B+∠1+∠2=180°（三角形内角和定理），
∴∠DAC+∠ACF=（∠B+∠2）+（∠B+∠1）=（∠B+∠B+∠1+∠2）=110°（外角定理），
∴∠AEC=180°﹣（∠DAC+∠ACF）=70°．
故答案为：70°．
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，熟练应用
角平分线的性质是解题关键．
19．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC 于点D，则∠A的度数是50°．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角可得∠A=∠ABD，然后表示出∠ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得∠C=∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．
【解答】解：∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∵∠DBC=15°，
∴∠ABC=∠A+15°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=∠A+15°，
∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，
解得∠A=50°．
故答案为：50°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，熟记性质并用∠A表示出△ABC的另两个角，然后列出方程是解题的关键．
20．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=15度．
【分析】根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底
角相等即可得出∠E的度数．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，
∵CG=CD，
∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，
∵DF=DE，
∴∠E=15°．
故答案为：15．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等腰三角形的性质，难度适中．
三．解答题（共6小题）
21．如图，已知AB∥DE，AB=DE，BE=CF，求证：AC∥DF．
【分析】首先由BE=CF可以得到BC=EF，然后利用边角边证明△ABC≌△DEF，最后利用全等三角形的性质和平行线的判定即可解决问题．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠ABC=∠DEF，
又∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
即：BC=EF，
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠ACB=∠DFE，
∴AC∥DF．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，同时也考查了平行线的判定，解题的关键是证明△ABC≌△DEF，此题有一点的综合性，难度不大．
22．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．（1）求证：AC∥DE；
（2）若BF=13，EC=5，求BC的长．
【分析】（1）首先证明△ABC≌△DFE可得∠ACE=∠DEF，进而可得AC∥DE；（2）根据△ABC≌△DFE可得BC=EF，利用等式的性质可得EB=CF，再由BF=13，EC=5进而可得EB的长，然后可得答案．
【解答】（1）证明：在△ABC和△DFE中，
∴△ABC≌△DFE（SAS），
∴∠ACE=∠DEF，
∴AC∥DE；
（2）解：∵△ABC≌△DFE，
∴BC=EF，
∴CB﹣EC=EF﹣EC，
∴EB=CF，
∵BF=13，EC=5，
∴EB==4，
∴CB=4+5=9．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结
合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
23．如图，在等边△ABC中，点D，E分別在边BC，AC上，DE∥AB，过点E 作EF丄DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=2，求DF、EF的长．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求解；
（2）易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；
（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED=DC=2，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=4，
∴EF DE=2．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，熟记30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
24．如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，
∠B=∠D，AD∥BC．求证：AD=BC．
【分析】根据平行线求出∠A=∠C，求出AF=CE，根据AAS证出△ADF≌△CBE 即可．
【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠A=∠C，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
∵在△ADF和△CBE中
，
∴△ADF≌△CBE（AAS），
∴AD=BC．
【点评】本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质和判定的应用，判定两三角形全等的方法有：SAS、ASA、AAS、SSS．
25．如图，△ABC中，AB=AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，DE交BC于F，求证：DF=EF．
【分析】首先过点D作DM∥AC交BC于M，易证得△DMF≌△ECF，继而证得DF=EF．
【解答】证明：过点D作DM∥AC交BC于M，
∴∠DMB=∠ACB，∠FDM=∠E，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠DMB，
∴BD=MD，
∵BD=CE，
∴MD=CE，
在△DMF和△ECF中，
，
∴△DMF≌△ECF（AAS），
∴DF=EF．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
26．如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD 交CE于N，连接MN．
（1）求证：AE=BD；
（2）求证：MN∥AB．
【分析】（1））先由△ACD和△BCE是等边三角形，可知AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°，∠ECB=60°，故可得出∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∠ACE=∠DCB，
根据SAS定理可知△ACE≌△DCB，由全等三角形的性质即可得出结论；（2）由（1）中△ACE≌△DCB，可知∠CAM=∠CDN，再根据∠ACD=∠ECB=60°，A、C、B三点共线可得出∠DCN=60°，由全等三角形的判定定理可知，△ACM ≌△DCN，故MC=NC，再根据∠MCN=60°可知△MCN为等边三角形，故∠NMC=∠DCN=60°故可得出结论．
【解答】证明：（1）∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°，∠ECB=60°，
∵∠DCA=∠ECB=60°，
∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∠ACE=∠DCB，
在△ACE与△DCB中，
∵，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=BD；
（2）∵由（1）得，△ACE≌△DCB，
∴∠CAM=∠CDN，
∵∠ACD=∠ECB=60°，而A、C、B三点共线，
∴∠DCN=60°，
在△ACM与△DCN中，
∵，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴MC=NC，
∵∠MCN=60°，
∴△MCN为等边三角形，
∴∠NMC=∠DCN=60°，
∴∠NMC=∠DCA，
∴MN∥AB．
【点评】本题考查的是等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，根据题意判断出△ACE≌△DCB，△ACM≌△DCN是解答此题的关键．。