《信号检测与估计》复习纲要与复习题参考答案
《信号检测与估计》第九章习题解答
T x 2 (t )dt −2 A
0
Tx(t
0
)sin
(ω
0
t
+θ
)dt
+
A
2
T 0
sin
2
(ω
0
t
+θ
)dt
⎟⎞ ⎠
由于 ∫0Tsin 2 (ω0t
+ θ )dt
=
1 2
∫0T(1 − cos 2(ω0t
+ θ ))dt
=
T 2
，得到
( ) ∫ ∫ f
x A,θ
−1
= Fe N0
T x 2 (t )dt 2 A
ω0
ω0
s(t
)
=
⎪ ⎨
A
⎪
⎪ ⎪⎩
A（1
+
cos
ω0t）
− 2mπ < t ≤ 2mπ
ω0 2mπ
<t
≤
(2ωm0 +1)π
ω0
ω0
试证明时延τ
的无偏估计量的方差为
σ
2 τˆ
≥
3 + 4m
(2E / N0 )ω02
。其中 E 为信号能量。
解：略
9.4 接收信号 x(t) = s(t) + n(t)，s(t)的到达有时延τ ，求时延τ 的无偏估计量τˆ 的最小方差。其中 n(t)
⎤ ⎥⎦
∫ ∫ ∫ ∫ [ ] = 4
N
2 0
T / 2 ∂s(t −τ )
−T / 2 ∂τ
T /2
E
−T / 2
n(t )n(u )
∂s(u −τ ) dudt
《信号检测与估计》第十章习题解答
《信号检测与估计》第十章习题解答10.1 设线性滤波器的输入信号为()()()t n t s t x +=，其中()[]0E =t s ，()[]0E =t n ，并且已知()ττ-e =S R ，()ττ-2e=N R ，()0=τsn R ，求因果连续维纳滤波器的传递函数。
解：连续维纳滤波器与离散维纳滤波器的形式是相同的，即()()()()+⎦⎤⎢⎣⎡−⋅⋅=s B s P s B s H xs w112opt σ 因此需要求解()t s 的复功率谱和()t x 的时间信号模型。
考虑到信号与噪声不相关，因此观测数据的功率谱就等于信号的复功率谱加上噪声的复功率谱。
对观测数据的复功率谱进行谱分解，就可以得到()t x 的时间信号模型。
()t s 的复功率谱为()()()20s -10s 1-s --121111e e e e s s s d d d s P S −=−++=+==∫∫∫∞−+∞++∞∞−τττττττ ()t n 的复功率谱为()2s -2-44e es d s P N −==∫+∞∞−τττ因此，观测数据的复功率谱为()()()()()()()()()s s s s ss ss s P s P s P N S X −+−++=−+−=+=2211-226441122 取12=w σ()()()()s s ss B +++=2126()()()()()()()()()s s s s s s s s B s P s B s P N xs +=−==1-2-262-2-1-2612--2令()()()s B s P s F xs -=，()τf 是()s F 的拉普拉斯反变换。
要求()τf 是因果的，可将s 平面右半平面的极点扔掉，()()()[]12e 61,e Re e21-s s +=−==∫τττπτs F s ds s F jf C给()τf 取因果，并做拉普拉斯变换，得到()s d s F +⋅+=⋅⋅+=∫∞++11126e e 1260s --τττ()()()()()()())()()122261112626211112opt +++=+×+×+++×=⎦⎤⎢⎣⎡−⋅⋅=+ss ss s s s B s P s B s H xs wσ10.2 设已知()()()n n n s n x +=，以及()()()z z z G S 4.014.0192.01−−=−，()1=z G N ，()0=z G sn ()n s 和()n n 不相关。
信号检测估计复习资料
信号检测估计复习资料第二章随机信号及其统计描述1.两个随机过程不相关一定独立。
（）2.严格的平稳随机过程不一定是宽平稳随机过程。
（）3.平稳随机过程的功率谱密度与自相关函数是一对傅里叶变换。
（）4.白噪声是一种理想化模型，在实际中是不存在的。
（）5.功率谱密度是样本函数x在单位频带内在1欧姆电阻上的平均功率值。
（）6.加性噪声按功率谱密度分为（）噪声和（）噪声。
7.有色噪声的功率谱密度在频率范围内是均匀分布的。
（）8.对于白噪声下面哪个量是均匀分布的（）。
A.噪声电压B.噪声电流C.噪声功率D.噪声功率谱密度9.在信号检测与估计理论中，通信接收机中的噪声可以近似为平稳随机过程。
（）第三章经典检测理论1.什么是二元检测，其本质是什么？画出其理论模型。
2.二元检测中有两类错误的判决概率，两类正确判决概率。
( )3.下面哪种概率是虚警概率（）。
A．P（D0|H0）B．P（D1|H0）C.P（D1|H1）D. P（D0|H1）4.二元检测中有先验概率和后验概率，P（H0）是（）概率，P （H0|x）是（）概率。
5.下面哪个为后验概率密度函数（）。
A.f(x|H0)B.f(x|H1,a)C.f(a|x)D.f(a)6.经典检测理论中常用的4个检测准则分别为（）、（）、（）和（）。
7.最大后验概率准则和最小错误概率准则判决公式是不同的。
（）8.最大后验概率准则为何称为理想观测者准则？9.极大极小风险准则是在先验概率未知的情况下，使可能出现的最大风险达到极小的判别准则。
（）10.Neyman-Pearson准则规定，在给定( )概率情况下，使得（）概率尽可能大。
11.最大后验估计和最大似然估计的使用条件。
12.下面哪种判决准则是时平均风险最小的准则（）。
A.最大后验概率准则B.最小错误概率准则C.Bayes准则D.Neyman-Pearson准则13.当先验概率未知和代价函数均未知时，使用的判决准则是Neyman-Pearson准则。
信号检测与估计理论(复习题解)-精选文档
a ba 0 图 2. 1 (b)
ab y
2 b y x
2 2 y 4 x
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 例题解答
例 2 . 3 设连续随机信号 x ( t ) a cos( t ), 其振幅 a 和频率 已知 相位 在 [ , ) 范围内均匀分布。分析 该信号的广义平稳 并求其自 差函数 。 解 ： 分析该信号是否满足广 义平稳的条件。 信号的均值 ( t ) E a cos( t ) a cos( t ) p ( ) d x
2 1 ( y b ) / 2 1 x p ( y ) exp 2 2 2 2 2 x x 1 2
2 1 y ( 2 b ) x exp 2 2 8 8 x x 1 2
二. 离散随机信号矢量
1. 概率密度函数描述 。 2. 统计平均量：均值矢量 , 协方差, 协方差矩阵。 3. 各分量之间的互不相关 性和相互统计独立性及 关系。 4. 高斯离散随机信号矢量 的概率密度函数及特 点： x ~ N ( μ , C ), 互不相关等价于相互统 计独立 , 独立同分布 x x
E ( x b ) b
y
2 y
2 2 22 E ( y b ) E ( x b b ) E ( x 0 ) a / 6
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 例题解答
当 a b 2 a 时, p ( y ) 的函数曲线如图 2 . 1 (b)所示 。 p ( x) p( y ) 1/ a 1/ a
第 1章
信号检测与估计概论
信号检测与估计试题及答案
(1). 若 为常数，求 的最大似然估计。
ˆ 1 N ln xiБайду номын сангаасN i 1
(2). 判断 的最大似然估计是否是有效估计？ 因为
ˆ HX B ，其中 H C M N , B C M 1
(1). 用最小均方误差准则确定矩阵 H , B 。 （用 , x 的一阶和二阶统计量表 示。 ）
H cov( , x ) cov1 ( x , x ) B E ( ) cov( , x ) cov 1 ( x , x ) E ( x)
2 ) ，做 H1 判决，反之做 H 0 判决。 ln 2 3
2
4. 求解下列问题 (1). 什么是序贯检测？
A1 , D1 ( x) A0 , D0 other , more obervation
(2). 对二元检测 P D1 H 0 ， P D0 H1 若，推导瓦尔特序贯检测的门
1 (2). 若是线性调频信号， 即 s1 (t ) A1 cos(1t t 2 ) 0 t T , 2 / 1 T ， 2
是常数，再求 Pe 结果相同。
3. 设有两种假设分别为：
H 0 : P0 ( x)
x2 1 exp 2 2 2 1 x A, A 0 H1 : P 1 ( x) 2 A 0 x >A
(2). ˆ 是否无偏
是无偏估计。
7. 求解下列问题。 (1). 什么是卡尔曼滤波，写出卡尔曼滤波的状态方程，观测方程和滤波方程
《信号检测与估计》第十二章习题解答
《信号检测与估计》第十二章习题解答12.1 采用下式给出的有偏自相关函数的定义，并加窗，得到BT 谱估计器：()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧−−−−−=−+=+=∑∗1,,2,11ˆ1,,1,01ˆL L N N m m R N m m n x n x N m R X X ()⎪⎩⎪⎨⎧−≤=其它011N m m W N()()()()∑−−−=−⋅⋅=11e ˆˆN N m m j X N X m R m W G ωω证明该BT 估计器与周期图相同。
解：()()()()()()()()()()()()()()()()()211111111e 1e e 1e e 1e 1e ˆˆωωωωωωωωj N N m n m j nj N N m nj n m j N N m m j N N N m m j X N XX N m n x n x N m n x n x N m n x n x N m W m R m W G =⋅+⋅⋅=⋅⋅+=⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅=⋅⋅=∑∑∑∑∑∑∑−−−=+−−∗−−−=−+−∗−−−=−∗−−−=− 12.2 设自相关函数()3,2,1,0,==m m R m X ρ。
试用Levinson-Durbin 递推法求解AR （3）模型参量。
解： ()()ρ−=−=0111X X R R a 110=a()()221121101ρσ−=⋅−=X R a ()()012211122=+−=σX X R a R a ρ−=⋅+=11221121a a a a ()2212222211ρσσ−=⋅−=a因此模型为一阶 ()()[]()012322222133=⋅+−=σX X X R a R a R a021332232=⋅+=a a a aρ−=⋅+=22332131a a a a()2222332311ρσσ−=⋅−=a 所以模型为()()()n w n x n x +−=1ρ12.3 设5=N 的数据记录为：10=x ，21=x ,32=x ,43=x ,54=x ，AR 模型的阶数3=p 试用Levinson-Durbin 递推法求模型参量。
《信号检测与估计》第四章习题解答
(3sinω0T
−
2sin3ω0T
)
则判决规则变为
H1
I
> <
β
H0
两种错误判决的概率分别为
+∞
∫ P(D1 | H0 ) = β f (I | H0 )dI
《信号检测与估计》习题解答
β
∫ P(D0 | H1) = −∞ f (I | H1)dI
平均错误概率 Pe 为
∫ ∫ Pe
= P(H0 )P(D1 | H0 ) + P(H1)P(D0
T 0
[x(t
)−
B
cos(ω2t
+φ
)]2
dt
《信号检测与估计》习题解答
( ) ( ) ( ) f xH0 =
1
∫ − 1
e N0
T 0
[x
(t
)−
s
0
(t
)]2
dt
=
2π σ k
1
∫ − 1
e N0
T 0
[x
(t
)−
A
cos
ω1t
−
B
cos(ω
2
t
+φ
)]2
dt
2π σ k
根据最小差错概率准则有
0 N0
T 2 s2(τ )dτ = 2a2T
0 N0
N0
输出信号
xo (T
)
=
T
∫0
h(t )x(T
−
t )dt
=
∫Ts(T 0
− t)x(T
−
t )dt
=
T
∫0
2 N0
s(τ
)x(τ
《信号检测与估计》第二章习题解答
E[x]
=
0
，
R(t, t
+τ
)
=
R(τ
)
=
a2 2
cos ω0τ
即数学期望与时间无关，自相关函数仅与时间间隔有关，故 X (t) 为广义平稳随机过程
2.7 设有状态连续，时间离散的随机过程 X (t) = sin(2πAt)，式中， t 只能取正整数，即 t = 1,2,3,L ，
A 为在区间 (0,1) 上均匀分布的随机变量，试讨论 X (t)的平稳性。
cos
t2
+
1 9
sin
t2
cos t1
=
1 9
+
1 9
sin
t1
+
1 9
cos
t1
+
1 9
sin
t2
+
1 9
cos t2
+
1 9
cos(t1
-
t2
)+
1 9
sin(t1
+
t2
)
2.4 随机过程 X (t)为 X (t) = A cosω0t + B sin ω0t
[ ] [ ] 式中，ω0 是常数，A 和 B 是两个相互独立的高斯随机变量，而且 E[A] = E[B] = 0 ，E A2 = E B2 = σ 2 。
1 ↔ e−aτ u(τ )
jω + a
所以
RX (τ ) = ⎜⎜⎝⎛
1 e− 3
3τ −
1e 3
3τ + 1 e− 22
2τ − 1 e 22
2τ ⎟⎟⎠⎞u(τ )
平均功率
信号检测与估计理论
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 内容提要
三. 离散随机信号的函数
1.一维雅可比特变别换是, 简单线性 的函 变数 。 换时 2. N维雅可比变换。
四. 连续随机信号
1任 .tk 时 意刻采 x (tk) 样 (x k ； tk)所 k ( 1 ,2 , 得 ,N )的 样 概 本 率 函数描述。
平均似然 广 比 义 检 似 验 然 ,比-检 皮验 尔和 逊奈 检曼 验的基
和方法。
第3章 信号状态的统计检测理论 例题解答
例3.1 设二元信号检测的模信型号为
H 0： x1n H1： x2n
其中 观,测n噪 服声 从对称三 如3 角 图 .1(a)分 所布 。 示,
若似然 1 ,求 比最 检 图 佳 测 示 判 门 计 判 P ( 决 H 限 算 1|H 0 决 )。 式域
也相互统计独立。
七. 信号模型及统计特性
确知信号 (未和 )知 参随 量机 ； 信 随号 机参量信性 号描 的述 统
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 例题解答
例 2.1设离散x随 服机 从信 对号 称 其 三 概 角 率 分 密 布 度 , 函
p(x)
11|x| a a2
axa (a0)
0
其他
第3章 信号状态的统计检测理论 内容提要
一.信号状态统计检测 的理 基论 本概念
信号状态观 的测 假信 设号 , 的数 概合 ,率理 密判 判 度决 决 函,结果 与判决概最 率佳 , 判决的概 。念
二.二元信号状态统计 的检 三测 个准则
贝叶斯最 检小 测平 准均 则准 错 , 奈 则 误 曼 , 皮 概尔 率逊 检 测准则的概 检 念 验 、 判 似 决 然 为 式 比 最 、简 化判 简决 能 式
《信号检测与估计》总复习
《信号检测与估计》总复习2005.4第一章 绪 论本章提要本章简要介绍了信号检测与估计理论的地位作用、研究对象和发展历程，以及本课程的性能和主要内容等。
第二章 随机信号及其统计描述 本章提要本章简要阐述了随机过程的基本概念、统计描述方法，介绍了高斯噪声和白噪声及其统计特性。
本章小结（1）概率分布函数是描述随机过程统计特性的一个重要参数，既适用于离散随机过程，也适用于连续随机过程。
一维概率分布函数具有如下性质1),(0≤≤t x F X[]0)(),(=-∞<=-∞t X P t F X ；[]1)(),(=+∞<=+∞t X P t F X ；),(),())((1221t x F t x F x t X x P X X -=<≤；若21x x <，则),(),(12t x F t x F X X ≥概率密度函数可以直接给出随机变量取各个可能值的概率大小，仅适用于连续随机变量。
一维概率密度具有如下性质：0),(≥t x f X ；1),(=⎰+∞∞-dx t x f X ；x d t x f t x F x X X ''=⎰∞-),(),(；[]⎰=-=<≤21),(),(),()(1221x x X X X dxt x f t x F t x F x t X x P（2）随机过程的数字特征主要包括数学期望、方差、自相关函数、协方差函数和功率谱密度。
分别描述了随机过程样本函数围绕的中心，偏离中心的程度、样本波形两个不同时刻的相关程度、样本波形起伏量在两个不同时刻的相关程度和平均功率在不同频率上的分布情况。
定义公式分别为：[]dxt x xf t X E t m X X ⎰+∞∞-==),()()([]{}[]dx t x f t m x t m t X E t X X X X ⎰+∞∞--=-=),()()()()(222σ[]212121212121),,,()()(),(dx dx t t x x f x x t X t X E t t R X X ⎰⎰+∞∞-+∞∞-==[][]{}[][]2121212211221121),,,()()()()()()(),(dx dx t t x x f t m x t m xt m t X t m t X E t t C X X X X X X ⎰⎰∞+∞-∞+∞---=--=。
信号检测与估计理论(复习题解)
最大似然估计法具有一致性和渐近无偏性等优点，但在小样本情况下可能存在偏差。此外，该方 法对模型的假设较为敏感，不同的模型假设可能导致不同的估计结果。
最小二乘法
01
原理
最小二乘法是一种基于误差平方和最小的参数估计方法， 它通过最小化预测值与观测值之间的误差平方和来估计模 型参数。
02 03
步骤
首先，构建包含未知参数的预测模型；然后，根据观测数 据计算预测值与观测值之间的误差平方和；接着，对误差 平方和求导并令其为零，得到参数的估计值；最后，通过 求解方程组得到参数的最小二乘估计值。
优缺点
最小二乘法具有计算简单、易于实现等优点，但在处理非 线性问题时可能效果不佳。此外，该方法对异常值和噪声 较为敏感，可能导致估计结果的偏差。
01
小波变换基本原理
小波变换是一种时频分析方法，通过伸缩和平移等运算对信号进行多尺
度细化分析，能够同时提供信号的时域和频域信息。
02
小波变换在信号去噪中的应用
小波变换具有良好的时频局部化特性，可以用于信号的去噪处理。通过
对小波系数进行阈值处理等操作，可以有效去除信号中的噪声成分。
03
小波变换在信号特征提取中的应用
3. 观察相关函数的峰值，判断是否超过预设门限。
实现步骤
2. 将待检测信号与本地参考信号进行相关运算。
优缺点：相关接收法不需要严格的信号同步，但要求参 考信号与待检测信号具有较高的相关性，且容易受到多 径效应和干扰的影响。
能量检测法
原理：能量检测法通过计算接收信号的能量来判断信号 是否存在。在噪声功率已知的情况下，可以通过比较接 收信号的能量与预设门限来判断信号是否存在。 1. 计算接收信号的能量。
经典参数估计方法
信号检测与估计复习纲要与习题参考答案_2012
2011《信号检测与估计》复习纲要“信号检测与估计”理论是现代信息科学的一个重要组成部分，它是把所要处理的问题，归纳为一定的“数学模型”→运用“概率论”、“随机过程”、“数理统计”等数学工具→以普遍化的形式提出，以寻求普遍化的答案和结论，并且理论与工程实践相结合，以雷达系统、通信系统、声纳系统为主要研究对象，主要内容包括：● 随机信号与噪声理论(The Theory of Random Signals and Noise)——分析随机信号与噪声的数学工具● 统计判决（检测）理论(Statistical Decision Theory)——研究在噪声干扰背景中，所关心的信号是属于哪种状态的最佳判决问题(Detection of Signals in Noise)● 参量估计理论(Estimation Theory of Signal Parameters)——研究在噪声干扰背景中，通过对信号的观测，如何构造待估计参数的最佳估计量问题(Estimation of Signal Parameters)● 滤波理论(Filtering Theory)——为了改善信号质量，研究在噪声干扰中所感兴趣信号波形的最佳恢复问题，或离散状态下表征信号在各离散时刻状态的最佳动态估计问题(Estimation of Signal Waveform) 复习重点：信号检测与参量估计 ● 信号检测：根据有限观测，“最佳”区分一个物理系统不同状态的理论 ● 参量估计：根据有限观测，“最佳”找出一个物理系统不同参数的理论如何选择一个估计量&估计量选择的决策过程信号处理否估计量LSE经典方法贝叶斯方法如何选择一个检测器－二元信号检测如何选择一个检测器－多元信号检测*注：ARMA：自回归滑动平均BLUE：最佳线性无偏估计CFAR：恒虚警率CRLB ：Cramer-Rao下限EM：数学期望最大化GLRT：广义似然比检验IID：独立同分布LLR：对数似然比LMMSE：线性最小均方误差LMP：局部最大势LRT：似然比检验LSE：最小二乘估计LSI：线性时不变MAP：最大后验概率MLE：最大似然估计MMSE：最小均方误差估计MVU：最小方差无偏NP：Neyman-Pearson准则PRN：伪随机噪声RBLS：Rao-Blackwell-Lehmann-Scheffe定理ROC:接收机工作特性UMP：一致最大势WGN：白色高斯噪声WSS：广义平稳2011《信号检测与估计》复习参考题参数估计部分：1.基本概念理解：最小方差无偏估计，最佳线性无偏估计，最大似然估计，最小二乘估计，矩方法估计，最小均方误差估计，最大似然估计，线性最小均方误差估计，一般（经典）线性模型和贝叶斯线性模型。
信号检测及估计试题-答案（不完整版）
信号检测及估计试题-答案（不完整版）一、概念：1. 匹配滤波器。
概念：所谓匹配滤波器是指输出判决时刻信噪比最大的最佳线性滤波器。
应用：在数字信号检测和雷达信号的检测中具有特别重要的意义。
在输出信噪比最大准则下设计一个线性滤波器是具有实际意义的。
2. 卡尔曼滤波工作原理及其基本公式(百度百科)首先，我们先要引入一个离散控制过程的系统。
该系统可用一个线性随机微分方程（Linear Stochastic Difference equation）来描述：X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)再加上系统的测量值：Z(k)=H X(k)+V(k)上两式子中，X(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。
A和B是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。
Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。
W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。
他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise)，他们的covariance 分别是Q，R（这里我们假设他们不随系统状态变化而变化）。
对于满足上面的条件(线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声)，卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。
下面我们来用他们结合他们的covariances 来估算系统的最优化输出（类似上一节那个温度的例子）。
首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。
假设现在的系统状态是k，根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在状态：X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) (1)式(1)中，X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果，X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果，U(k)为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。
到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于X(k|k-1)的covariance还没更新。
我们用P表示covariance：P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q (2)式(2)中，P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的covariance，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)对应的covariance，A’表示A的转置矩阵，Q是系统过程的covariance。
《信号检测与估计》第七章习题解答
《信号检测与估计》第七章习题解答7.1 在二元数字通信系统中，两个假设下的观测波形()t x 分别为L ,2,1,1:1=+=i n x H i iL ,2,1,:0==i n x H i i式中，i n 是均值为零、方差为1的高斯白噪声，要求虚警概率410−=α，漏报概率110−=β，且()()5.010==H P H P 。
求：（1）序贯似然比检测的判决门限及判决规则。
（2）序贯似然比检测的平均观测取样数。
（3）若采用常规的固定样本数的似然比检测，求满足检测性能所要求的取样数。
解：（1）单次观测所得随机变量x 的似然函数为2)1(1221)|(−−=x e H x f π 20221)|(x e H x f −=π得到似然必为2101)()()(−==x e H x f H x f x l对应的对数似然比为21ln )(ln 21−==−x e x l x 假定顺序得到取样，则第N 步的对数似然比为 22121ln )](ln[122)1(1212N x e e l N i i x N x N N N i i N i i −=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∑=∑−∑−−==ππx 两个检测门限值分别为303.21ln ln 0−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=αβl 105.91ln ln 1=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=αβl 序贯似然比检测的判决规则如下303.221−≤−∑=N xN i i 0H 假设为真 105.921≥−∑=N xN i i1H 假设为真105.92303.21<−<−∑=N x N i i 增加一次观测转入下一检测阶段 []21211]|)21[(|)(ln 11=−=−=H x E H x l E []21210]|)21[(|)(ln 00−=−=−=H x E H x l E （2）将各参数的取值分别代入1H 假设为真时的平均取样数和0H 假设为真时的平均取样数公式得[]93.15|)(ln ln ln )1(]|[1011=+−=H x l E l l H N E ββ []60.4|)(ln ln )1(ln ]|[0010=−+=H x l E l l H N E αα总的平均取样数为265.10]|[)(]|[)(][1100=+=H N E H P H N E H P N E因此取样数为11就可以达到预期的检测性能。
信号检测与估计简答题集
3一、简答题注释简答题（每题5分，共20分）或（每题4分，共20分）二、第1章简答题1．从系统和信号的角度看，简述信号检测与估计的研究对象。
答：从系统的角度看，信号检测与估计的研究对象是加性噪声情况信息传输系统中的接收设备。
从信号的角度看，信号检测与估计的研究对象是随机信号或随机过程。
2．简述信号检测与估计的基本任务和所依赖的数学基础。
答：解决信息传输系统接收端信号与数据处理中信息恢复与获取问题，或从被噪声及其他干扰污染的信号中提取、恢复所需的信息。
信号检测与估计所依赖的数学基础是数理统计中贝叶斯统计的贝叶斯统计决策理论和方法。
3．概述信号在传输过程中与噪声混叠在一起的类型。
答：信号在传输过程中，噪声与信号混杂在一起的类型有3种：噪声与信号相加，噪声与信号相乘（衰落效应），噪声与信号卷积（多径效应）。
与信号相加的噪声称为加性噪声，与信号相乘的噪声称为乘性噪声，与信号卷积的噪声称为卷积噪声。
加性噪声是最常见的干扰类型，也是最基本的，因为乘性噪声和卷积噪声的情况均可转换为加性噪声的情况。
三、第2章简答题1．简述匹配滤波器概念及其作用。
答：匹配滤波器是在输入为确定信号加平稳噪声的情况下，使输出信噪比达到最大的线性系统。
匹配滤波器的作用：一是使滤波器输出有用信号成分尽可能强；二是抑制噪声，使滤波器输出噪声成分尽可能小，减小噪声对信号处理的影响。
2．根据匹配滤波器传输函数与输入确定信号及噪声的关系，简述匹配滤波器的原理。
答：匹配滤波器传输函数等于输入确定信号频谱的复共轭除以输入平稳噪声的功率谱密度，再附加相位项T ω-，其中T 为输入确定信号的持续时间或观测时间。
由于匹配滤波器传输函数的幅频特性与输入确定信号的幅频特性成正比，与输入噪声的功率谱密度成反比；对于某个频率点，信号越强，该频率点的加权系数越大，噪声越强，加权越小。
从而起到加强信号，抑制噪声的作用。
对于信号，匹配滤波器的相频特性与输入信号的相位谱互补，使输入信号经过匹配滤波器以后，相位谱将全部被补偿掉。
第45章信号检测与估计复习习题
由于两个假设先验等概，因此在最小平均错误概率准则下，判决门限 1
利用一般二元信号检测波形判决表达式，得
所以
3T
0
s1 t xt dt
3T
0
N 0 ln E1 E0 s0 t xt dt 2 2 2 H0
H1
由于 s1 t s0 t
ln d pl H1 dl Q 2 d
ln d d 2 Es P H 0 H1 1 Q 1 Q 1 Q 2 N0 d 2 2 Es Q N 0 2 Es Pe PH 0 PH1 H 0 PH1 PH 0 H1 Q N 0
4.白噪声条件下，正交函数集的任意性
E xk
N0 2
T
0
N0 kj f k t f j t dt 2
在白噪声条件下，可任意选取正交函数集，均可保证展开系数之间是不相 关的。
国家重点实验室
二元波形信号检测归纳(1)
基本检测方法(正交级数展开法)：
首先，利用随机过程的正交级数展开，将随机过程用一组随机变量 来表示；
国家重点实验室
第四章 信号的波形检测复习及习题
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国家重点实验室
匹配滤波器
• 匹配滤波器的定义
• 匹配滤波器的设计 • 匹配滤波器的主要性质
国家重点实验室
随机过程的正交级数展开(1)
• 掌握随机过程的卡亨南-洛维展开
• 理解白噪声条件下，正交函数集的任意性
2021年信号检测与估计各章作业参考答案(1~9章)
其中 是常数， 是 上均匀分布的随机参量； 是高斯白噪声。
(a)求判决公式及最正确接收机结构形式。
(b)如果 ，证明最正确接收机可用 作为检验统计量，并对此加以讨论。
解：〔a〕设 是均值为0、功率谱密度为 的正态白噪声，那么有
由于
所以
按照贝叶斯准那么
或者
两边取对数得到
最正确接
因此 的均值、二阶原点矩和方差分别为
9.假设随机过程 的自相关函数为 ，求 的功率谱密度。
解:自相关函数与功率谱密度函数是一对傅立叶变换对，所以有
利用欧拉公式，可得
11.平稳随机过程 具有如下功率谱密度
求 的相关函数 及平均功率 。
解：
而自相关函数 与功率谱密度 是一对傅立叶变换，
〔b〕不管是否有条件 ，
都可选 作为检验统计量。
当 时，由于
所以判决规那么为
第六章多重信号检测
思考题1：为何要进行多重信号的检测？
答：利用多重信号检测的优势是可以增加检测系统的信噪比，从而增强系统的检测性能。
思考题3：何谓随机相位相干脉冲串信号和随机相位非相干脉冲串信号？
答：通常把多个脉冲信号组成的一串信号称为脉冲串信号，各个脉冲叫做子脉冲，整个信号叫做脉冲串信号。如果脉冲串信号的初相随机，但各个子脉冲信号的相位一致，那么称之为随机相位相干脉冲串信号。如果各子脉冲信号的相位都是随机变化的，且彼此独立变化，那么称之为随机相位非相干脉冲串信号。
〔1〕求 的最大似然估计。
〔2〕假设 的概率密度
求 的最大后验概率估计。
解：〔1〕由题意可写出似然函数
按最大似然估计方程 ，由此解得
〔2〕当 时，可按最大后验概率方程 求解，得到
信号检测与估计理论 (复习题解)
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 内容提要
五. 线性时不变系统对平稳连续随机信号的响应
1. 输入平稳连续随机信号x(t),响应y(t)也是平稳的。
2. 响应y(t)均值 y H (0)x，自相关函数ry ( ) h( ) h( ) rx ( )， 功率谱密度Py () | H () |2 Px ()。
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 内容提要
三. 离散随机信号的函数
1. 一维雅可比变换,特别是简单线性函数时的变换。 2. N维雅可比变换。
四. 连续随机信号
1. 任意tk时刻采样所得样本x(tk ) (xk；tk )(k 1,2, , N )的概率密度 函数描述。
2. 统计平均量：均值,均方值,方差,自相关函数,协方差函数及关系。
图2.1(a)
图2.1(b)
ab y
例2.2
设x ~
N(x
,
2 x
)。若y
2
x
b,
求p(
y)及
y和
2。
y
解：y
2x
b是线性变换,所以y
~
N(
y
,
2 y
)。
反函数 x ( y b) / 2, 雅可比 J d[(y b) / 2]/ dy 1/ 2。所以
p(
y)
1
2
2 x
1
2
exp
(
y
b) / 2
a x a 其他
(a 0)
如图2.1(a )所示。已知x的均值和方差分别为 x
0,
2 x
a2
/ 6。
设y x b,求p( y)及y的均值和方差；当a b 2a时,画出p( y)的函数
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解： 令 S [s[0], s[1],..., s[ N 1]]T ， A ，那么信号模型可以写成如下
1 N 1 x ( n) N n 0 ˆ2 A/ 2 N 1 N 1 1 1 x ( n ) x ( n ) N n 0 N n0
2
8.对于信号模型
A 0 n M 1 s[n] A M n N 1
S T C 1 X 1 S T C 1S N
BLUE 为
x[n]
n 0
N 1
在拉普拉斯分布时，BLUE 并不是最小方差估计量。 ｂ）从题目可以知道， x ~ N ( ,1) 。那么该高斯分布的方差为 var( x ) 1。因此
S I,C I
S T C 1 X 1 BLUE 为 T 1 S C S N
p( x[n] | ) 1 exp 2 ( x[n] ) 2 2 2 1
2
2 在 给定的条件下， x[n] 是相互独立的。均值 具有先验 PDF N ( 0 , 0 )， 2 2 求 的 MMSE 和 MAP 估计量。另外，当 0 0 和 0 时将发生什么情况。
先验已知 P(Hi)，i=0,1,„,M-1 是 代价已知 Cij 是 Cij＝dij 否 数据PDF已知 是 否 指定先验PDF 是 尝试广义 ML准则（15） 否 否 否 否
是
贝叶斯风险 （5） 否 数据PDF已知 是 否 指定先验PDF 是
P(Hi)=1/M
是
MAP（4）
数据PDF已知 是
否
指定先验PDF 是
是
是 信号参数未知 否 LRT（1） 否 LRT（7） 是 噪声参数未知 信号和噪声 参数未知
线性信号模型
只有未知信号
是 GLRT（6）
是
是 是 LRT（16） 否 线性信号模型 高斯噪声 否
高斯噪声 GLRT（8，11） 噪声IID 线性信号模型 否 Rao(10,13) LMP(14) 是 Rao（21） 白高斯噪声
解：高斯分布的一阶矩和二阶矩为
E[ X ] E[ X 2 ] 2 2
那么
ˆ
1 N 1 x ( n) N n 0
1 x ( n) n 0 N
N 1 2
1 ˆ N
2
x ( n) n 0
Nx[n](n 0,1,, N 1) 具有 PDF
n 0
N 1
1 (2 )
2 1/ 2
2 1 exp 2 x[n] A 2
两边求对数，并分别对 A 和 sigma 求导数，可以得到估计参数的 MLE，如下
2 2 1 N 1 1 N 1 1 N 1 [ A, ] x(n), x(n) x(n) N n 0 N n 0 N n 0
Rao(19)
是 MAP（2）
是 数据PDF已知 是 否 指定先验PDF 是 否 GLRT（17）
GLRT（11） Rao(13)
是 GLRT（18）
ML（2）
二元假设检验的最佳贝叶斯方法
二元假设检验的最佳Neyman-Pearson方法
复合二元假设检验的准最佳方法
如何选择一个检测器－多元信号检测
解： 均值 的后验概率为
p( | X )
p( X | ) p( )
p( X | ) p( )d
N
对于分母来说，为定值，一般不作考虑。故而后验
概率可以写成如下形式
p( | X ) p( X | ) p( ) 1 1 exp 2 2 2 2
2011《信号检测与估计》复习参考题
参数估计部分：
1.基本概念理解：最小方差无偏估计，最佳线性无偏估计，最大似然估计，最小 二乘估计，矩方法估计，最小均方误差估计，最大似然估计，线性最小均方误差 估计，一般（经典）线性模型和贝叶斯线性模型。 2.观测数据为 {x[0], x[1],, x[ N 1]} ，其中 x[n] 是独立同分布的且服从 N (0, 2 ) ， 利用下式估计方差 2 ，即
解：从题目可以知道，似然函数为
N
P(T ; ) exp( Tn )
n 1
N exp( Tn )
n 1
N
两边取对数
L(T , ) ln P(T ; ) N ln Tn
n 1
N
求导数
L(T , ) N N Tn 0 n1
2011《信号检测与估计》复习纲要
“信号检测与估计” 理论是现代信息科学的一个重要组成部分， 它是把所要处理的问题， 归纳为一定的“数学模型”→运用“概率论” 、 “随机过程” 、 “数理统计”等数学工具→以普 遍化的形式提出，以寻求普遍化的答案和结论，并且理论与工程实践相结合，以雷达系统、 通信系统、声纳系统为主要研究对象，主要内容包括： 随机信号与噪声理论(The Theory of Random Signals and Noise)——分析随机信号与噪声 的数学工具 统计判决（检测）理论(Statistical Decision Theory)——研究在噪声干扰背景中，所关 心的信号是属于哪种状态的最佳判决问题(Detection of Signals in Noise) 参量估计理论(Estimation Theory of Signal Parameters)——研究在噪声干扰背景中， 通 过 对 信 号 的 观 测 ， 如 何 构 造 待 估 计 参 数 的 最 佳 估 计 量 问 题 (Estimation of Signal Parameters) 滤波理论(Filtering Theory)——为了改善信号质量，研究在噪声干扰中所感兴趣信号波 形的最佳恢复问题，或离散状态下表征信号在各离散时刻状态的最佳动态估计问题 (Estimation of Signal Waveform) 复习重点：信号检测与参量估计 信号检测：根据有限观测， “最佳”区分一个物理系统不同状态的理论 参量估计：根据有限观测， “最佳”找出一个物理系统不同参数的理论
求两种情况下均值 的 BLUE。解释一下 的 MVU 估计。
解 ： a ） 从 题 目 可 以 知 道 ， x ~ Laplace( ,1) 。 那 么 该 拉 普 拉 斯 分 布 的 方 差 为
var( x)
2
2
2 /1 2 。因此 S I , C 2I （S 为比例项，C 为协方差）
1 ( MA ( N M ) A) A N 2 ˆ ) 1 M 2 N M 2 Var ( A N N ˆ) E( A
ˆ ~ N ( A, 由此可见 A
2
N
)。
9.如果 N 个 IID 观测 {x[0], x[1],, x[ N 1]} 服从 N (, 2 ) ，求 [ , 2 ]T 的矩方 法估计量。
S H
其中 H 为观测矩阵，且 H 那么
1M T ， 1M 表示 M 维 [1,1,1...,1] 。 1 N M
( H T H )1 ( M N M )1
1 N
ˆ ˆ ( H T H )1 H T x 则 A
最小 LS 误差为
如何选择一个估计量&估计量选择的决策过程
信号处理 问题
是 是一个多维问题 否 先验知识 否 是 是 先验知识 否 新的数据模型或取 更多的数据 否 是
PDF已知 是 满足CRLB 否 完备充分统计量 存在 否 计算MLE 否 计算矩法估计量 否 是 是
否
噪声中的信号 是
否 PDF已知
否 前二阶矩已知 否 是 MMSE 估计量
否
ML（4）
多元假设检验的最佳贝叶斯方法
*注：
ARMA：自回归滑动平均 BLUE：最佳线性无偏估计 CFAR：恒虚警率 CRLB ：Cramer-Rao 下限 EM：数学期望最大化 GLRT：广义似然比检验 IID：独立同分布 LLR：对数似然比 LMMSE：线性最小均方误差 LMP：局部最大势 LRT：似然比检验 LSE：最小二乘估计 LSI：线性时不变 MAP：最大后验概率 MLE：最大似然估计 MMSE：最小均方误差估计 MVU：最小方差无偏 NP：Neyman-Pearson 准则 PRN：伪随机噪声 RBLS：Rao-Blackwell-Lehmann-Scheffe 定理 ROC:接收机工作特性 UMP：一致最大势 WGN：白色高斯噪声 WSS：广义平稳
N 1 1 M 1 x ( n ) x ( n) N n 0 nM
J min
N 1 1 M 1 x ( n) x ( n) x ( n) N n0 n 0 nM N 1 2
2
下面讨论 LSE 的分布：
那么 的 MLE 为
N
T
n 1
N
n
7.从 PDF N ( A, 2 ) 观测到 N 个 IID 样本，其中 A, 2 皆未知，求 SNR A2 / 2 的 MLE。
解：从题目可以知道，估计参数为 [ A, 2 ] 似然函数可以表示为
P( X ; )
存在请求出它的方差。
4.
解答：
5.观测数据样本 {x[0], x[1],, x[ N 1]} 是 IID 的，服从如下分布： (1)拉普拉斯