(完整版)Mathematica求解方程(组)、级数
mathematica求解三元方程
mathematica求解三元方程
今天我们来讨论如何使用Mathematica来求解三元方程组。
首先，三元方程组是指包含三个未知量的方程组。
这些未知量通常是x，y和z，但在特殊情况下也可以是其他未知量。
应用三元方程组可以计算出满足方程组条件的未知量值。
使用Mathematica来解决三元方程组，首先我们需要了解Mathematica的相关知识。
Mathematica是一款全功能的数学软件，它可以用来解决所有种类的数学问题。
我们可以在使用Mathematica之前，先阅读一些Mathematica的教程以便能够正确掌握Mathematica的基本功能。
要开始使用Mathematica来求解三元方程组，我们首先要将问题的方程转换为可以用Mathematica正确求解的格式。
Mathematica中，我们可以使用命令Eliminate来求解多元方程，它能够把多个方程转化为一个多项式，我们就可以使用Root命令来求解多项式的根。
最后，我们就可以得到满足条件的未知量值。
Mathematica提供了一个强大的接口，我们可以使用它来求解三元方程组。
只要把问题转换成Mathematica所支持的格式，就可以利用Mathematica来求解三元方程组。
总而言之，使用Mathematica可以方便快捷地解决三元方程组，用它可以节省许多时间。
关于Mathematica命令的使用，我们可以首先阅读一些Mathematica教程中关于三元方程组求解的部分，然后就可以使用Mathematica迅速解决三元方程组了。
用mathematica计算机代数系统求解数理方程
用mathematica计算机代数系统求解数理方
程
要使用Mathematica计算机代数系统来求解数理方程，可以按照以下步骤进行：
1. 打开Mathematica软件。
2. 在计算机代数系统中，数理方程可以通过解方程的函数 `Solve` 或 `Reduce`来求解。
`Solve`函数会给出方程的明确解，而`Reduce`函数会给出方程的一般解。
3. 输入待求解的数理方程，例如：
```mathematica
Solve[x^2 + 2x + 1 == 0, x]
```
或者
```mathematica
Reduce[x^2 + 2x + 1 == 0, x]
```
4. 按下"Shift" + "Enter"执行代码。
5. Mathematica将输出方程的解，例如：
```mathematica
{{x -> -1}}
```
或者
```mathematica
x == -1
```
这表示方程的解为x=-1。
在Mathematica中还有一些其他的函数可以求解数理方程，如`NSolve`用于求解数值解，
`FindRoot`用于求解数值近似解等。
根据具体的数理方程类型和求解需求，可以选择适合的函数来求解数理方程。
整理mathematica数学常用命令大全
整理mathematica数学常⽤命令⼤全Mathematica的内部常数Mathematica的常⽤内部数学函数Mathematica中的数学运算符Mathematica的关系运算符注：上⾯的关系运算符也可从基本输⼊⼯具栏输⼊。
如何⽤mathematica求多项式的最⼤公因式和最⼩公倍式如何⽤mathematica求整数的最⼤公约数和最⼩公倍数如何⽤mathematica进⾏整数的质因数分解如何⽤mathematica求整数的正约数如何⽤mathematica判断⼀个整数是否为质数如何⽤mathematica求第n个质数如何⽤mathematica求阶乘如何⽤mathematica配⽅Mathematica没有提供专门的配⽅命令,但是我们可以⾮常轻松地⾃定义⼀个函数进⾏配⽅。
如何⽤mathematica进⾏多项式运算如何⽤mathematica进⾏分式运算如何⽤Mathematica进⾏因式分解如何⽤Mathematica展开如何⽤Mathematica进⾏化简如何⽤Mathematica合并同类项如何⽤Mathematica进⾏数学式的转换如何⽤Mathematica进⾏变量替换如何⽤mathematica进⾏复数运算如何在mathematica中表⽰集合与数学中表⽰集合的⽅法相同，格式如下：下列命令可以⽣成特殊的集合：如何⽤Mathematica求集合的交集、并集、差集和补集如何mathematica⽤排序如何在Mathematica中解⽅程注：⽅程的等号必须⽤：= =如何在Mathematica中解⽅程组Solve[{⽅程组}，{变元组}]注：⽅程的等号必须⽤：= =如何在Mathematica中解不等式先加载：Algebra`InequalitySolve` ，加载⽅法为：<然后执⾏解不等式的命令InequalitySolve，此命令的使⽤格式如下：<--mstheme-->如何在Mathematica中解不等式组先加载：Algebra`InequalitySolve` ，加载⽅法为：<然后执⾏解不等式组的命令InequalitySolve，此命令的使⽤格式如下：<--mstheme-->如何在Mathematica中解不等式组先加载：Algebra`InequalitySolve` ，加载⽅法为：<<--mstheme-->如何⽤mathematica表⽰分段函数如何⽤mathematica求反函数对系统内部的函数⽣效，但对⾃定义的函数不起任何作⽤，也许是⽅法不对。
用Mathematica进行级数运算
algebra\symboblic.m。 algebra\symboblic.m。 Sum[（ Sum[（-1）^(n+1)*x^n/n,{n,1,Infinity}] 求级数的和，输出结果为Log[1+x] \求级数的和，输出结果为Log[1+x] 还可确定收敛域，只需要执行下列各条命令： 还可确定收敛域，只需要执行下列各条命令： Clear[f,a,b,n] :=（ f[x_] :=（-1）^(n+1)*x^n/n; a[n_]:=（ a[n_]:=（-1）^(n+1) /n; b=Limit[a[n]/a[n+1],nb=Limit[a[n]/a[n+1],n->Infinity]; Print[“R= R=”,Abs[b]] 确定收敛半径为1 Print[ R= ,Abs[b]] \确定收敛半径为1 Sum[f[1],{n,1,Infinity}] \确定原级数在x=1处收 确定原级数在x=1处收 x=1 敛于Log[2] 敛于Log[2] Sum[f[确定原级数在x= x=Sum[f[-1],{n,1,Infinity}] \确定原级数在x=-1处 发散 因而原级数收敛域为（ 因而原级数收敛域为（-1，1]
n =1
xn n
（二）函数展开成幂级数 （1）将 sin x 在 x = 0 处展开到
x 的5次幂
1 处展开到( 1)的 （ 2） 将 在 x = 1 处展开到( x-1)的3次幂 3 x
1 处展开到( 1)的 （ 3） 将 在 x = 1 处展开到( x-1)的3次 x+ y
幂，在 y = 1 处展开到 ( y 1) 的2次幂
边学边做： 边学边做 求和：Sum命令 （一）求和：Sum命令 （1）求有限项的和 ∑ n2
Mathematica的命令大全
Mathematica的命令大全Mathematica的内部常数Pi , 或π(从基本输入工具栏输入, 或“Esc”+“p”+“Esc”）圆周率πE (从基本输入工具栏输入, 或“Esc”+“ee”+“Esc”）自然对数的底数eI (从基本输入工具栏输入, 或“Esc”+“ii”+“Esc”）虚数单位iInfinity, 或∞(从基本输入工具栏输入, 或“Esc”+“inf”+“Esc”）无穷大∞Degree 或°(从基本输入工具栏输入,或“Esc”+“deg”+“Esc”）度Mathematica的常用内部数学函数指数函数Exp[x]以e为底数对数函数Log[x]自然对数，即以e为底数的对数Log[a，x]以a为底数的x的对数开方函数Sqrt[x]表示x的算术平方根绝对值函数Abs[x]表示x的绝对值三角函数（自变量的单位为弧度）Sin[x]正弦函数Cos[x]余弦函数Tan[x]正切函数Cot[x]余切函数Sec[x]正割函数Csc[x]余割函数反三角函数ArcSin[x]反正弦函数ArcCos[x]反余弦函数ArcTan[x]反正切函数ArcCot[x]反余切函数ArcSec[x]反正割函数ArcCsc[x]反余割函数双曲函数Sinh[x]双曲正弦函数Cosh[x]双曲余弦函数Tanh[x]双曲正切函数Coth[x]双曲余切函数Sech[x]双曲正割函数Csch[x]双曲余割函数反双曲函数ArcSinh[x]反双曲正弦函数ArcCosh[x]反双曲余弦函数ArcTanh[x]反双曲正切函数ArcCoth[x]反双曲余切函数ArcSech[x]反双曲正割函数ArcCsch[x]反双曲余割函数求角度函数ArcTan[x，y]以坐标原点为顶点，x轴正半轴为始边，从原点到点（x，y）的射线为终边的角，其单位为弧度数论函数GCD[a,b,c,．．．]最大公约数函数LCM[a,b,c,．．．]最小公倍数函数Mod[m,n]求余函数(表示m除以n的余数)Quotient[m，n]求商函数（表示m除以n的商）Divisors[n]求所有可以整除n的整数FactorInteger[n]因数分解，即把整数分解成质数的乘积Prime[n]求第n个质数PrimeQ[n]判断整数n是否为质数，若是，则结果为True，否则结果为FalseRandom[Integer，{m，n}]随机产生m到n之间的整数排列组合函数Factorial[n]或n！阶乘函数，表示n的阶乘复数函数Re[z]实部函数Im[z]虚部函数Arg(z)辐角函数Abs[z]求复数的模Conjugate[z]求复数的共轭复数Exp[z]复数指数函数求整函数与截尾函数Ceiling[x]表示大于或等于实数x的最小整数Floor[x]表示小于或等于实数x的最大整数Round[x]表示最接近x的整数IntegerPart[x]表示实数x的整数部分FractionalPart[x]表示实数x的小数部分分数与浮点数运算函数N[num]或num//N把精确数num化成浮点数（默认16位有效数字）N[num，n]把精确数num化成具有n个有效数字的浮点数NumberForm[num，n]以n个有效数字表示numRationalize[float]将浮点数float转换成与其相等的分数Rationalize[float，dx]将浮点数float转换成与其近似相等的分数，误差小于dx最大、最小函数Max[a，b，c，．．．]求最大数Min[a，b，c，．．．]求最小数符号函数Sign[x]Mathematica中的数学运算符a+b 加法a-b减法a*b (可用空格键代替*)乘法a/b (输入方法为：“Ctrl ”+ “/ ”) 除法a^b (输入方法为：“Ctrl ”+ “^ ”)乘方-a 负号Mathematica的关系运算符==等于<小于>大于<=小于或等于>=大于或等于!=不等于注：上面的关系运算符也可从基本输入工具栏输入。
汇总mathematica数学常用命令大全
Mathematica的内部常数Mathematica的常用内部数学函数Mathematica中的数学运算符Mathematica的关系运算符注：上面的关系运算符也可从基本输入工具栏输入。
如何用mathematica求多项式的最大公因式和最小公倍式如何用mathematica求整数的最大公约数和最小公倍数如何用mathematica进行整数的质因数分解如何用mathematica求整数的正约数如何用mathematica判断一个整数是否为质数如何用mathematica求第n个质数如何用mathematica求阶乘如何用mathematica配方Mathematica没有提供专门的配方命令,但是我们可以非常轻松地自定义一个函数进行配方。
如何用mathematica进行多项式运算如何用mathematica进行分式运算如何用Mathematica进行因式分解如何用Mathematica展开如何用Mathematica进行化简如何用Mathematica合并同类项如何用Mathematica进行数学式的转换如何用Mathematica进行变量替换如何用mathematica进行复数运算如何在mathematica中表示集合与数学中表示集合的方法相同，格式如下：下列命令可以生成特殊的集合：如何用Mathematica求集合的交集、并集、差集和补集如何mathematica用排序如何在Mathematica中解方程注：方程的等号必须用：= =如何在Mathematica中解方程组Solve[{方程组}，{变元组}]注：方程的等号必须用：= =如何在Mathematica中解不等式先加载：Algebra`InequalitySolve` ，加载方法为：<<Algebra`InequalitySolve`然后执行解不等式的命令InequalitySolve，此命令的使用格式如下：<--mstheme-->如何在Mathematica中解不等式组先加载：Algebra`InequalitySolve` ，加载方法为：<<Algebra`InequalitySolve`然后执行解不等式组的命令InequalitySolve，此命令的使用格式如下：<--mstheme-->如何在Mathematica中解不等式组先加载：Algebra`InequalitySolve` ，加载方法为：<<Algebra`InequalitySolve` 然后执行解不等式组的命令InequalitySolve，此命令的使用格式如下：<--mstheme-->如何用mathematica表示分段函数如何用mathematica求反函数对系统内部的函数生效，但对自定义的函数不起任何作用，也许是方法不对。
Mathematical用法-大全-实用版
Mathematica for Windows 用法一、Mathematica的主要功能Mathematica是美国Wolfram公司开发的一个功能强大的计算机数学系统，提供了范围广泛的数学计算功能，主要包括三个方面：符号演算、数值计算、图形。
例如：多项式的四则运算、展开、因式分解，有理式的各种计算，有理方程、超越方程的解，向量和矩阵的各种计算，求极限、导数、极值、不定积分、定积分、幂级数展开式，求解微分方程，作一元、二元函数的图形等等。
二、Mathematica的基本知识1．输入表达式：直接输入一个表达式（包括算式和命令，长表达式用“Enter”换行）后，按“Shift+Enter”执行，执行后以“Out[命令序号]= ……”形式输出执行结果，输出的结果可在后续的表达式中使用。
若命令后有分号，则不输出执行结果（图形输出与Print命令除外）。
“%”表示上一个输出，“%%”表示倒数第2个输出，“%ｉ”表示第ｉ个命令的输出。
2．运算符：+、-、*、/、^ ，“*”可用空格代替，“^”表示乘方。
如：In[1]:=2^10，输出为“Out[1]= 1024”，其中“In[1]:=”不需要输入。
In[2]:=3+5，Out[2]= 8；In[3]:=%-2，Out[3]= 6；In[4]:=%2+4，Out[4]= 12；In[5]:=1/3-1/4，Out[5]=121；In[6]:=N[%]，Out[6]= 0.0833333；In[7]:=N[%5+12,10]，Out[7]= 12.08333333（注意字母的大小写）3．变量赋值：变量=表达式，“x=.”或Clear[x] 表示清除对x的赋值。
表达式/.t ->c ，将表达式中的t全替换成c。
?x，查x信息。
4．常用的数学常数：Pi (π)、E(e)、Infinity (∞)、I (1-)5．常用的数学函数：Abs, Sin, Cos, T an, Cot, ArcSin, Log (自然对数), Sqrt,Exp如：In[1]:=Sqrt[2]+1；In[2]:=Sin[2]+ArcSin[1]；In[3]:=Exp[2]+%（自变量用［］括，区分大小写，首字母大写）三、常用运算1．多项式运算：In[1]:= (2+4*x^2)*(1-x)^3或In[1]:= t = (2+4*x^2)*(1-x)^3 （将右端表达式赋值给t）；In[2]:=a=t/.x->4 (计算表达式t当x=4时的值，并赋值给变量a )In[3]:=a=.(清除变量a )In[3]:=Expand[t]（展开）；In[4]:=Factor[%]（把上一个结果因式分解）2．解方程：In[1]:=Solve[x^2+3*x = = 2]；In[2]:=N[%]；In[3]:=Solve[a*x-b= = 0, x]；In[4]:=NSolve[{x-2*y= =0,x^2-y= =1},{x,y}]（解方程组并得到数值解）3．自定义函数：In[1]:= f [x_ ]:=x^2+2*x ；In[2]:=f[5]+7；In[3]:=f[a+b]4．求极限：In[1]:=Limit[Sin[x]/x, x ->0]；In[2]:=Limit[(1+1/n)^n, n->Infinity]，Out[2]=E5．求（偏）导数：In[1]:=D[a*x^2+3, x]；In[2]:=D[x^2+y^3-Sin[2*y], y]（对y的偏导数）；In[3]:=D[Log[x], {x,2}] (求对x的二阶导数)；In[4]:=D[Sin[x+y]*Exp[z*y^2],x,y] （求对x、y的二阶混合偏导数）；In[5]:=Simplify[%] (对前一结果化简)；In[6]:=D[Sin[x+y]*Exp[z*y^2],{x,2},{y,3}]6．求不定积分：In[1]:=Integrate[x^2,x]；In[2]:=Integrate[1/(x^2+a^2),x]7．定积分：In[1]:=Integrate[x^2, {x,0,1}]；In[2]:=Integrate[x^2,{x,a,b}]；In[3]:=Integrate[x^2+y^2, {x,0,a},{y,0,b}]；（求矩形域上的二重积分）In[4]:=Integrate[1, {x,-1,1},{y,-Sqrt[1-x^2],Sqrt[1-x^2]}]；Out[4]=Pi（圆面积）8．幂级数展开：In[1]:=Series[Exp[x],{x,0,4}]（在x=0处展开到x的四次幂）9．矩阵的输入和输出：In[1]:= a ={{1,2},{3,4}}（定义一个2x2的矩阵a ，按行写）；In[2]:=MatrixForm[a]（输出为矩阵形式）；In[3]:=Transpose[a]（a的转置）；In[4]:=a[[2]]（a的第2行）；In[5]:=Tanspose[a][[2]]（a的第2列）；In[6]:=Inverse[a]（求a的逆矩阵）；In[7]:=Det[a]（矩阵的行列式）；In[8]:=Eigenvalues[a]（求特征值）；In[9]:=Eigenvectors[a]（求特征向量）；In[10]:=RowReduce[a]（把a化为阶梯形，可用于求矩阵的秩、判断线性相关性）；In[11]:= b ={{5,6,7},{8,9,10}}；In[12]:= a.b（矩阵a与b的乘积）10．解线性方程组：In[1]:= a ={{3,4,5,6},{6,8,10,12},{4,5,6,7},{5,6,7,8}}；（a的秩为2）In[2]:= b ={1,2,3,5}（列向量）；（增广矩阵的秩也为2）In[3]:=LinearSolve[a,b]（求线性方程组ax=b的一个特解）；In[4]:=NullSpace[a]（求线性方程组ax=0的一个基础解系）；In[5]:= x =k1%4[[1]]+k2%4[[2]]+%3（ax=b的全部解，k1、k2为任意常数）11．求和：In[1]:=NSum[Sin[n]/n^3,{n,1,Infinity}]（求级数∑∞=13 sinn nn的和）12．求极小值：In[1]:=FindMinimum[Sin[x]*Cos[x],{x,0.5}]（求函数在0.5附近的极小值）；In[2]:=FindMinimum[Sin[x*y]*Exp[x^2],{x,0.2}, {y,0.3}]（求多元函数极小值）13．求解线性规划问题：Min cx，mx≥b，x≥0，求向量x 。
mathematica引用方程的解
mathematica引用方程的解Mathematica引用方程的解
在Mathematica中,可以使用Solve和DSolve函数分别求解代数方程和微分方程。
1. 求解代数方程
对于代数方程,使用Solve函数。
例如,求解x^2 - 3x + 2 == 0:
```
Solve[x^2 - 3x + 2 == 0, x]
{{x -> 2}, {x -> 1}}
```
输出结果显示方程有两个解,x=2和x=1。
2. 求解微分方程
对于微分方程,使用DSolve函数。
例如,求解y'[x] == y[x]:
```
DSolve[{y'[x] == y[x]}, y[x], x]
{{y[x] -> C[1] E^x}}
```
输出结果给出了微分方程的通解y(x) = C*e^x,其中C是任意常数。
3. 约束条件求解
有时需要给出初始或边界条件,可以将它们作为附加方程一同传递给Solve或DSolve。
例如,对于y''[x] + y[x] == 0, y[0] == 1, y'[0] == 0:
```
sol = DSolve[{y''[x] + y[x] == 0, y[0] == 1, y'[0] == 0}, y[x], x]
{y[x] -> Cos[x]}
```
解包含了满足初始条件的特解y(x) = cos(x)。
Mathematica提供了强大的符号计算能力,可以方便地求解各种复杂的方程。
(完整版)Mathematica——常微分方程、拉氏变换与级数实验
创3.5 常微分方程、拉氏变换与级数实验[学习目标]1. 会用Mathematica 求解微分方程(组)；2. 能用Mathematica 求微分方程(组)的数值解；3. 会利用Mathematica 进行拉氏变换与逆变换；4. 能进行幕级数和傅里叶级数的展开。
一、常微分方程(组)Mathematica 能求常微分方程(组)的准确解，能求解的类型大致覆盖了人工求解的范围， 功能很强。
但不如人灵活(例如在隐函数和隐方程的处理方面)，输出的结果与教材上的答 案可能在形式上不同。
另外，Mathematica 求数值解也很方便，且有利于作出解的图形。
在本 节中，使用Laplace 变换解常微分方程(组)的例子也是十分成功的，过去敬而远之的方法 如今可以轻而易举的实现了。
求准确解的函数调用格式如下： DSolve[eqn ,y[x] ,x] 求方程 eqn 的通解 y(x )，其中自变量是X 。
DSolve[{eqn ，y[x o ]= =y 0}，y[x]，x] 的特解y (x )。
DSolve[｛eqn1，eqn2，—｝，｛y 1 [x]，y 2[x]，…｝，x]求方程组的通解。
DSolve[｛equ1，…，y 1[x 0]= =y 10，…｝，｛y 1[x]，y 2[x]，…｝，x] 求方程组的特解。
说明：应当特别注意，方程及各项参数的表述方式很严格，容易出现输入错误。
微分方 程的表示法只有通过例题才能说清楚。
例1 解下列常微分方程(组)：52(1) y 斗(x 1)2，(2) y - y 3 ，(3)x 1(x x ) y解：In[1]: =DSolve[y ' [x]= =2y[x]/ (x+1) + (x+1) A (5/2)，y[x]，x]Out[1]=y[x] i (1 x)7/2 (1 x)2c[1]In[2]: =DSolve[y ' [x]= = (1+y[xF2 ) /((x+xA3 ) y[x])，y[x]，x]求满足初始条件y ( x o ) = y o(4)的通解及满足初始条件y (0) =0, z (0) =1的特解。
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Mathematica的内部常数Mathematica的常用内部数学函数Mathematica中的数学运算符Mathematica的关系运算符注：上面的关系运算符也可从基本输入工具栏输入。
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(完整版)mathematica命令大全
<< Statistics`DescriptiveStatistics`
或者加载整个统计函数库，加载方法为：
<<Statistics`
求数据data的众数。
数据data的格式为：{ a1,a2,…}
Mode[data]
如何用mathematica求方差和标准差
首先要加载Statistics`DescriptiveStatistics`函数库，加载方法为：
<< Statistics`DescriptiveStatistics`
或者加载整个统计函数库，加载方法为：
<<Statistics`
求数据data的样本方差。
数据data的格式为：{ a1,a2,…} Variance[data]
VarianceMLE[data] 求数据data的母体方差。
数据data的格式为：{ a1,a2,…} StandardDeviation[data] 求数据data的样本标准差。
数据data的格式为：{a1,a2,…} StandardDeviationMLE[data] 求数据data的母体标准差。
数据data的格式为：{ a1,a2,…}
如何用mathematica求协方差和相关系数
首先要加载Statistics`MultiDescriptiveStatistics`函数库，加载方法为：
<< Statistics`MultiDescriptiveStatistics`
或者加载整个统计函数库，加载方法为：
<<Statistics`
求数据data1和data2的样本协方差。
数据的格式为：{a1,a2,…}。
(完整版)Mathematica求解方程(组)、级数
方程（组）与级数的Mathematica 求解[学习目标]1. 能用Mathematica 求各种方程（组）的数值解和近似解；2. 能对常见函数进行幂级数的展开。
一、 求解简单方程（组）数学里的方程是带有变量的等式。
一般地说，一个或一组方程总是对于方程中出现的变量的可能取值范围增加了一些限制。
所谓求解方程就是设法把方程对于变量取值的限制弄清楚，最好的结果是用不含变量的表达式把变量的值表示出来。
在这个系统里，方程也用含有变量的等式表示，要注意的是在这里等号用连续的两个等号(==)表示。
方程的两端可以是任何数学表达式。
用户可以自己操作Mathematica 系统去求解方程，例如使用移项一类的等价变换规则对方程加以变形、对方程的两端进行整理、把函数作用于方程的两端等等。
系统也提供了一些用于求解方程的函数。
1、 求方程的代数解最基本的方程求解函数是Solve ，它可以用于 求解方程(主要是多项式方程)或方程组。
Solve 有两个参数，第一个参数是一个方程，或者是由若干个方程组的表(表示一个方程组);第二个参数是要求解的变量或变量表。
例如，下面的式子对于变量X 求解方程016x x x 234=+--：In[1]:=Solve[x^4-x^3-6x^2+1==0,x]输入了这个表达式，系统立刻就能计算出方程的四个根，求出的解都是精确解(代数根)。
对于一般的多项式，这样得出的解常常是用根式描述的复数。
方程的解被表示成一个表，表中是几个子表，每一个子表的形式都是{x->...}，箭头后面是方程的一个解。
Solve 也可以求解多变量的方程或者方程组:In[2]:=Solve[{x-2y==0,x^2-y==1},{x,y}]这个表达式求解方程组: x y x y -=-=⎧⎨⎩2012.有时求解方程会得到非常复杂的解。
例如将上面的第一个方程稍加变形，所得到的解的表达式就会变得很长:In[3]:=Solve[x^4-x^3-6x^2=2==0,x]这个表达式求出的解的表达式非常长，以至一个计算机屏幕显示不下。
mathematica 解方程
mathematica 解方程Mathematica是一款强大的数学计算软件，它不仅可以进行数学计算，还可以进行数据分析、图像处理等多种功能。
其中，解方程是Mathematica的一个重要功能，本文将介绍Mathematica解方程的基本原理和应用。
一、Mathematica解方程的基本原理Mathematica解方程的基本原理是通过求解方程的根来得到方程的解。
Mathematica可以解决各种类型的方程，包括代数方程、微分方程、偏微分方程等。
在解方程时，Mathematica会自动选择最适合的求解方法，并给出方程的解析解或数值解。
Mathematica解方程的核心功能是Solve、NSolve和DSolve。
其中，Solve和NSolve用于解决代数方程，DSolve用于解决微分方程和偏微分方程。
Solve和NSolve的使用方法类似，它们都是用于解决代数方程的。
Solve可以求解精确解，而NSolve可以求解数值解。
例如，我们要解决方程x^2-3x+2=0，可以使用Solve和NSolve命令：Solve[x^2-3x+2==0,x]NSolve[x^2-3x+2==0,x]执行上述代码后，Mathematica会输出方程的解析解或数值解。
DSolve用于解决微分方程和偏微分方程。
例如，我们要解决微分方程y''+y=0，可以使用DSolve命令：DSolve[y''+y==0,y,x]执行上述代码后，Mathematica会输出微分方程的通解。
二、Mathematica解方程的应用Mathematica解方程的应用非常广泛，主要包括以下几个方面。
1.求解代数方程Mathematica可以求解各种类型的代数方程，包括一元多项式方程、多元多项式方程、代数方程组等。
例如，我们要解决方程组x+y=3，x-y=1，可以使用Solve命令：Solve[{x+y==3,x-y==1},{x,y}]执行上述代码后，Mathematica会输出方程组的解析解。
Mathematica教程5用Mathematica求解线性代数基本问题.ppt
例
• 矩阵的输出默认是数表形式，也可利用 MatrixForm命令将其输出为矩阵想形式。
• 如果要访问一个矩阵的某一个元素，比如
t0的第一行第二列元素，用t0[[1,2]]就代表
该元素。
↓中括号表示指定位置，不能少
例
• 3、利用系统函数生成矩阵
• Mathematica提供了很多生成向量和矩阵的命令， 简述如下表所示。
Tr[A]
计算A的迹(4.0版)
MatrixPower[A, n] 表示An
RowReduce[A]
给出用行初等变换将矩阵A化为规范的 阶梯形矩阵。显然，此运算可求出矩阵 A的秩。此函数也可归属解方程组函数
例
例
例
•例求下列矩阵的秩及行向量组的一个极大无关
组，并将其余行向量表成它的线性组合：
1 1 2 2 1
Switch[expr,forml,value1,form expr与每一个formi相等
2,...]
时，计算valuei
Switch[expr,form1, value1,form2,…，_，def]
用def为系统默认值
ln[1]:=If [1>0,1+2,2+3] Out[1]=3
ln[3]:g=1/:x>0 ln[4]:g=-1/:x<0
用“?”显示用/:condition定义的函数g的完整信息:
ln[5]:=?g Global`g g[x_]:=1/:x>O g[x_]:=-1／:x<O
符号条件
在Mathemahca中,有一种可能的情况就是你给出的 条件结果既不是真也不为假。下面测试的结果既不 是真也不是假,因此If的两个分支保持不变:
Mathematica用法III
对于非多项式函数，Solve也可以进行求解。 用函数Solve也可以求联立方程组的解。
求解方程组时，我们也可以先定义方程组，再用 Solve命令调用已经定义的方程组进行求解。
在上例中，N元的方程组实际被定义为一个包含N个 元素的列表，表中的每个元素是一个方程（逻辑语句）。
Dt[f,x]
计算f的全微商，所有变量依赖于x
D[f,x,Constants->{a}] 计算f的全微商，设a不依赖于x
SetAttributes [a,Constant]
设a为常数
简单举几个例子：
4、积分
在Mathematica中，用函数Integrate求不定积分和
定积分，用NIntegrate求数值积分，格式如下：
函数FindRoot的缺点是，一次运算只能得到距离起 始点最近的一个解；而且，如果选定的起始点位置不合 适，有可能迭代过程不收敛，从而得不出解。比如：
关于如何选点确保迭代收敛的知识，我们会在后续 的课程中详加说明。现在我们的常用做法是，如果要用 FindRoot求解，就先用Plot命令画出函数图线，观察解 的大概位置，然后在附近选择起始点。如下所示：
2、求极限 Mathematica计算极限的命令是Limit，它的用法如下：
Limit[f，x->x0]
当x->x0时求f的极限
Limit[f，x->x0，Direction->1] 当x->x0时求f的左极限
Limit[f，x->x0，Direction->-1] 当x->x0时求f的右极限
趋向的点x0可以是常数，也可以是+∞，-∞，例如：
由图可知，函数在 0至2.2之间和x轴有两 个交点。所以我们在用 FindRoot命令求根时起 始点可以选在交点附近。
利用Mathematica解方程
注： Mathematica中用 中用“ 表示相等关系 表示相等关系， 1）在Mathematica中用“=”表示相等关系，用 ==”表示方程 “== 表示方程 对于高次多项式方程， 2）对于高次多项式方程，有时系统也求不出 精确解这时可直接用DSolve求出它的数值解。 DSolve求出它的数值解 精确解这时可直接用DSolve求出它的数值解。 NSolve[x^5 x^3-6*x^2+1==0,x,20],命令 [x^5例：NSolve[x^5-x^3-6*x^2+1==0,x,20],命令 行中的20 20表示要求方程的解精确到小数点以后 行中的20表示要求方程的解精确到小数点以后 20位 可根据需要输入。 20位，可根据需要输入。
dy 3 9x = y− , y ( 0) = 1 dx 2 2y
二、应用部分 (1) 找出方程 xsinx-xcos2x=0最靠近原点的五个根 找出方程e 最靠近原点的五个根. 最靠近原点的五个根 (2)方程 方程y″+9y=0的一条积分曲线通过点 的一条积分曲线通过点(π,-1),且在该 方程 的一条积分曲线通过点 且在该 点和直线y+1=x-π相切 求这条曲线的方程 相切,求这条曲线的方程 点和直线 相切 求这条曲线的方程. (3)一垂直悬挂的弹簧 其下有一质量为 的重物 平衡 一垂直悬挂的弹簧,其下有一质量为 的重物,平衡 一垂直悬挂的弹簧 其下有一质量为m的重物 位置时弹簧伸长a,如果将物体向下拉开一段距离 如果将物体向下拉开一段距离b, 位置时弹簧伸长 如果将物体向下拉开一段距离 然后放开,物体就在平衡位置上下振动 物体就在平衡位置上下振动,求其运动规 然后放开 物体就在平衡位置上下振动 求其运动规 律x=x(t). (4)一电动机运转后 每秒钟温度升高 一电动机运转后,每秒钟温度升高 一电动机运转后 每秒钟温度升高1°C,设室内温 设室内温 度为15°C,电动机温度的冷却速率和电动机与室 度为 电动机温度的冷却速率和电动机与室 内温差成正比,求电动机的温度与时间的关系 求电动机的温度与时间的关系. 内温差成正比 求电动机的温度与时间的关系
利用Mathematica解方程
此方法的理论依据是解方程的弦截法。
方2020程/4/1 求解情况比较复杂，有时上述方法不能解决，
三、用DSolve解微分方程
1．命令格式
DSolve[{微分方程，初始条件}，未知函数，自变 量]
NDSolve[方程，未知函数，{自变量，a,b}]可求得 微分方程或方程组在自变量指定取值范围内的数值 解
注： 1）在Mathematica中用“=”表示相等关系 ，用“==”表示方程 2）对于高次多项式方程，有时系统也求不出 精确解这时可直接用DSolve求出它的数值解 。例：NSolve[x^5-x^36*x^2+1==0,x,20],命令行中的20表示要求 方程的解精确到小数点以后20位，可根据需要 输入。
，数值解，复数解 1．命令格式 Solve[单个方程,未知元] Solve[｛方程组｝，｛未知元表｝] 2．边学边做 Solve[a*x+b==0,x]； Solve[x^2+x+1==0,x] Solve[x^4-x^3-6*x^2+1==0,x] a=(1+2*x)^3;b=(3+2*x+y)^4; 20S20/o4/1lve[a==0,b==0,{x,y}]
2020/4/1
二、用FindRoot求解一般方程
1．命令格式
FindRoot[方程，{未知元，初值}]或FindRoot[方 程，{未知元，初值1，初值2}]
2．边学边做
FindRoot[Sin[x]*Exp[2*x]Cos[x]==0,{x,0.5}]
初值0.5是方程根的一个近似值，通常通过作图之 后去确定。此方法的理论依据是解方程的牛顿切线 法。
§10 用Mathematica进行级数运算
1371§10 用Mathematica 进行级数运算Mathematica 能把函数展成级数的形式，还能对级数及级数间进行四则运算及能对级数开方或取log 值等。
10.1 级数的展开在Mathematica 系统中，用Series 将一个函数)(x f 展开成为幂级数。
其调用形式有以下两种：（1）Series[f,{x,x 0,n}] 把函数f 在点0x 处展开到x 的n 次幂。
（2）Series[f,{x,x0,n1},{y,y0,n2}] 把二元函数f 在点),(00y x 处展开到x 的1n 次幂,y 的2n 次幂1 幂级数的展开例10.1 将函数x x f arctan )(=在00=x 处展开到x 的10次幂。
解 In[1]:=Series[ArcTan[x],{x,0,10}] Out[1]=119753][9753x O x x x x x ++−+− 要去掉误差可使用命令Normal.In[2]:= Normal.[%] Out[2]= 97539753x x x x x +−+− 2 Taylor 级数的展开例10.2 将函数)1log()(z z f +=在00=z 处展开到z 的7次幂. 解 In[3]:=Series[Log[1+z],{z,0,7}] Out[3]=876532][7654324z O z z z z z z z ++−+−+− 10.2 级数的运算1 Mathematica 对级数的四则运算和微、积分 例10.3 分别将x x x cos ,sin 在点00=x 处展开到x 的5次幂a 和b ，并求其1372和、差、积及a 的微积分。
解 In[1]:=Clear[a,b,x]In[2]:=a=Series[Sin[x],{x,0,5}] Out[2]=653][1206x o x x x ++− In[3]:=b=Series[x*Cos[x],{x,0,5}] Out[3]=653][242x o x x x ++− In[4]:=a+b Out[4]=653][20322x O x x x ++− In[5]:=a-b Out[5]= 653][303x O x x +− In[6]:=a*b Out[6]=7642][15232x O x x x ++− In[7]:=D[a,x] Out[7]=542][2421x O x x ++− In[8]:=Integrate[a,x] Out[8]=7642][720242x O x x x ++− 2 用Mathematica 还有其它一些与级数有关的命令如InverseSeries,ComposeSeries 等。
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方程（组）与级数的Mathematica 求解[学习目标]1. 能用Mathematica 求各种方程（组）的数值解和近似解；2. 能对常见函数进行幂级数的展开。
一、 求解简单方程（组）数学里的方程是带有变量的等式。
一般地说，一个或一组方程总是对于方程中出现的变量的可能取值范围增加了一些限制。
所谓求解方程就是设法把方程对于变量取值的限制弄清楚，最好的结果是用不含变量的表达式把变量的值表示出来。
在这个系统里，方程也用含有变量的等式表示，要注意的是在这里等号用连续的两个等号(==)表示。
方程的两端可以是任何数学表达式。
用户可以自己操作Mathematica 系统去求解方程，例如使用移项一类的等价变换规则对方程加以变形、对方程的两端进行整理、把函数作用于方程的两端等等。
系统也提供了一些用于求解方程的函数。
1、 求方程的代数解最基本的方程求解函数是Solve ，它可以用于 求解方程(主要是多项式方程)或方程组。
Solve 有两个参数，第一个参数是一个方程，或者是由若干个方程组的表(表示一个方程组);第二个参数是要求解的变量或变量表。
例如，下面的式子对于变量X 求解方程016x x x 234=+--：In[1]:=Solve[x^4-x^3-6x^2+1==0,x]输入了这个表达式，系统立刻就能计算出方程的四个根，求出的解都是精确解(代数根)。
对于一般的多项式，这样得出的解常常是用根式描述的复数。
方程的解被表示成一个表，表中是几个子表，每一个子表的形式都是{x->...}，箭头后面是方程的一个解。
Solve 也可以求解多变量的方程或者方程组:In[2]:=Solve[{x-2y==0,x^2-y==1},{x,y}]这个表达式求解方程组: x y x y -=-=⎧⎨⎩2012.有时求解方程会得到非常复杂的解。
例如将上面的第一个方程稍加变形，所得到的解的表达式就会变得很长:In[3]:=Solve[x^4-x^3-6x^2=2==0,x]这个表达式求出的解的表达式非常长，以至一个计算机屏幕显示不下。
使用MS-DOS 系统上的Mathematica 的读者可以用键盘上的PgUP 键和PgDn 键把计算机屏幕上已经卷出的表达式翻回来阅读，附录B 里提供了使用这类计算机的有关操作的更详细的说明。
对于使用图形界面提供的功能去翻阅前面的结果。
在被求解的方程里还可以有其他符号参数，可以要求系统对于这一个或者那一个变量求解方程。
对于Mathematica 系统来说，方程中的符号变量（无论使用什么变量名）都是一样的。
对于处理复杂的方程，MATHEMETICA 系统还提供了例外两个有用的函数。
函数Eliminate用于从方程组消去一个或几个变量，例如下面的表达式消去方程组里的变量Y: IN[4]:=Eliminate[{X^2-2Y= =1,X+2Y= =4},Y]Eliminate 的使用形式与Solve类似，它的第二个参数用于说明希望消去的变量。
另一个函数Reduce用于化简复杂的方程或方程组，它试图用一组比较简单的逻辑关系来描述由原来方程所描述的变量之间的关系。
它的使用形式与Solve, Eliminate一样，这里不举例字了。
2、求方程的数值解理论上已经证明，对于五次以上的多项式方程没有求代数解的一般方法，MATHEMATICA也求不出那些不能分解因式的五次以上的多项式方程的解，例如：IN[5]:=SOLVE[X^5+5X^3-2= =0,X]它返回一个带有函数TORUOES的表达式。
可以把函数N作用到这个结果表达式上，求出方程的数值解：IN[6]:=N[%]可以看到系统同时求出了方程的五个根的时候可以直接用函数N和SOLVE结合完成工作：IN[7]:=N[SOLVE[X^6+4X^2-31= =0,X]]在系统里直接提供了一个函数NSOLVE做这件事。
对于更复杂的方程（或方程组），用SOLVE求不出根，使用函数N也解决不了问题。
对于这样的方程，用户可以使用REDUCE,ELIMINATE等函数去处理，设法把方程描述的变量之间的关系搞清楚。
如果需要的就是方程的根，那么只要用求数值根的函数FINDROOT。
函数FINDROOT求数值根所采用的方法与人们一般用计算机求数值根的方法一样。
但是，由于MA THEMATIC有求导函数的能力，在这里计算有导函数的表达式的数值根就非常简单。
不管表达式多么复杂，系统都能自动的求出它的导函数。
求数值根使用的也是牛顿法，用户必须给FINDROOT提供一个初始值。
下面一个简单的例子：IN[8]:=FINDROOT[SIN[X]EXP[2X]-COS[X]= =0,{X,0.5}]对于求不出导函数的表达式，例如用户自己定义的一个复杂计算函数，使用FindRoot 提供函数值取不同符号（正负号）的两个点（用表的形式放在上面初始值0.5的位置），形式是：IN[9]:= FindRoot [FUN1[X]= =0,{X,{0,1}}]这里假使FUN1是用户定义的一个函数。
使用计算机求数值根的第一个问题是确定初始点，若初始值选取得不好将给求根带来困难。
再一个麻烦是用户要自己求出函数的导函数。
在MA THEMATICA系统里处理的对象是表达式，一个表达式可以服务于不同的用途，可以作为求值的对象，作为画图的对象，也可以作为演算的对象。
当需要求一个表达式的数值根的时候，表达式的这样的多种功能，或者说MA THEMATICA系统对于表达式的多方面的操作能力就表现出很大的优越性。
一个代数表达式，无论多么复杂，MATHEMA TICA系统都可以直接求出它的导函数，可以作出它的图形。
从图形上我们很容易认识这个函数表达式在某一个区间的大致性质，包括它的根的出现和分布情况。
对表达式的这些认识为人们确定如何取初始值、如何求根提供了很有价值的线索。
这样，某些比较难以处理的问题可能就容易解决了。
二、求解常微分方程（组）1、常微分方程（组）的精确解Mathematica能求常微分方程（组）的准确解，能求解的类型大致覆盖了人工求解的范围，功能很强。
但不如人灵活（例如在隐函数和隐方程的处理方面），输出的结果与教材上的答案可能在形式上不同。
另外，Mathematica 求数值解也很方便，且有利于作出解的图形。
求准确解的函数调用格式如下：DSolve[eqn ，y[x]，x] 求方程eqn 的通解y （x ），其中自变量是x 。
DSolve[{eqn ，y[x 0]= =y 0}，y[x]，x] 求满足初始条件y （x 0）= y 0的特解y （x ）。
DSolve[{eqn1，eqn2，…}，{y 1[x]，y 2[x]，…}，x] 求方程组的通解。
DSolve[{equ1，…，y 1[x 0]= =y 10，…}，{y 1[x]，y 2[x]，…}，x] 求方程组的特解。
说明：应当特别注意，方程及各项参数的表述方式很严格，容易出现输入错误。
微分方程的表示法只有通过例题才能说清楚。
例1 解下列常微分方程（组）：（1）25)1(12+++='x x y y ，（2）y x x y y )(132++='， （3） ⎩⎨⎧-='='yz z y ， （4）⎩⎨⎧-='='y z z y 的通解及满足初始条件y （0）=0，z （0）=1的特解。
解：In[1]：=DSolve[y ′[x]= =2y[x]/（x+1）+（x+1）^（5/2），y[x]，x] Out[1]=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++→]1[)1()1(32][22/7c x x x y In[2]：=DSolve[y ′[x]= =（1+y[x]^2）/((x+x^3）y[x])，y[x]，x] Out[2]={{2211]1[11][x c x x y ++---→}， {2211]1[11][xc x x y ++--→}} In[3]：=DSolve[{y ′[x]= =z[x]，z ′[x]= = -y[x]}，{y[x]，z[x]}，x]Out[3]={{y[x]→C[1]Cos[x]+ C[2]Sin[x]，z[x]→C[2]Cos[x]- C[1]Sin[x]}}In[4]：=DSolve[{y ′[x]= =z[x]，z ′[x]= = -y[x]，y[0]= =0，z[0]= =1}， {y[x]，z[x]}，x]Out[4]={{y[x]→Sin[x]，z[x]→Cos[x]}}提示：认真观察上例，可以从中学习输入格式，未知函数总带有自变量，等号用连续键入两个等号表示，这两点由于不习惯会出错！导数符号用键盘上的撇号，连续两撇表示二阶导数，这与习惯相同。
自变量、未知量、初始值的表示法与普通变量相同。
说明：输出结果总是尽量用显式解表出，有时反而会使表达式变得复杂，这与教科书的习惯不同。
当求显式解遇到问题时，会给出提示。
通解中的任意常数用C[1]，C[2]，…表示。
例2 求解下列微分方程：（1）x e x y y y y --=+'+''+''')5(33，（2）1)(22='+y x ，（3）xy y ='。
解：In[1]：=DSolve[][x y '''+3y ″[x] +3y ′[x] + y[x] = =（x - 5）Exp[-x]， y[x]，x] Out[1]={{+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→--3252521][3222x x x e x x x e x y x x ]3[]2[]1[43521243C x e xC e C e x x e x x x x ----+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-}} In[2]：=Simplify[%] Out[2]={{])3[24]2[24]1[2420(241][243C x xC C x x e x y x ++++-→-}} In[3]：=DSolve[x^2 + y ′[x]^2 = = 1，y[x]，x] Out[3]={{]1[2][121][2C x ArcSin x x x y +---→}， {]1[2][121][2C x ArcSin x x x y +--→}} In[4]：=DSolve[Sqrt[y ′[x]] = = x y[x]，y[x]，x] Out[4]={{]1[3][3C x x y --→}} 说明：由以上可以看出对方程的类型并无限制，但是输出的答案未必符合习惯，例如第一个方程的答案需要化简，有时即使化简后也未必与教材上的答案一致。
例3 求微分方程xy ′+ y - e x = 0在初始条件y|x=1 = 2e 下的特解。