实验7 无穷级数与非线性方程求解(MATLAB)
实验七 matlab求解级数有关计算
实验七 matlab 求解级数有关计算1.级数的基本概念常数项级数：称用加号将数列n a 的项连成的式子+++++n a a a a 321为（常数项）无穷级数，简记为∑∞=1n na。
称级数∑∞=1n na前n 项构成的和∑==++++=nk kn n a a a a a S 1321为级数的部分和。
若SS n n =∞→lim ，则称级数∑∞=1n na收敛，其和为S 。
Taylor 级数：设函数)(x f 在包含a x =的区域内具有各阶导数，则称幂级数+-++-+-+=-∑∞=n n n n n a x n a f a x a f a x a f a f a x n a f )(!)()(!2)())((')()(!)()(2)2(0)(为函数)(x f 在a x =的Taylor 级数，当0=a 时称为Maclaurin(麦克劳林)级数。
2．级数的MATLAB 命令MATLAB 中主要用symsum,taylor 求级数的和及进行Taylor 展开。
例1 先用taylor 命令观测函数x y sin =的Maclaurin 展开式的前几项,例如观测前6项, 相应的MA TLAB 代码为：>>clear; syms x;>>taylor(sin(x),0,1) >>taylor(sin(x),0,2) >>taylor(sin(x),0,3) >>taylor(sin(x),0,4) >>taylor(sin(x),0,5) >>taylor(sin(x),0,6)结果为:ans =0 ans =x ans =xans =x-1/6*x^3 ans =x-1/6*x^3ans =x-1/6*x^3+1/120*x^5然后在同一坐标系里作出函数x y sin =和它的Taylor 展开式的前几项构成的多项式函数,,!5!3,!3,533 x x x y x x y x y +-=-==的图形，观测这些多项式函数的图形向x y sin =的图形的逼近的情况。
matlab求解非线性方程组及极值
matlab求解非线性方程组及极值默认分类2010-05-18 15:46:13 阅读1012 评论2 字号：大中小订阅一、概述：求函数零点和极值点：Matlab中三种表示函数的方法: 1. 定义一个m函数文件, 2.使用函数句柄; 3.定义inline函数, 其中第一个要掌握简单函数编写, 二, 三中掌握一个。
函数的'常规'使用有了函数了, 我们怎么用呢, 一种是直接利用函数来计算, 例如: sin(pi), 还有我们提到的mysqr(3)...另一种是函数画图, 例如Plottools中提到的ezplot, ezsurf... 但是这也太小儿科了, 有没有想过定义函数后, 利用它来: 求解零点(即解f(x)=0方程), 最优化(求最值/极值点), 求定积分, 常微分方程求解等. 当然这里由于篇幅有限(空间快满了)以及这个只是'基础教程'的缘故, 只提及一些皮毛知识, 掌握这些后, 如果需要你可以进一步学习.解f(x)=0已知函数求解函数值=0所表示的方程, Matlab中有两个函数可以做到, fzero和fsolve前者只能解一元方程, 后者可以解多元方程组, 不过基本使用形式上差不多:解=fzero(函数, 初值, options)解=fsolve(函数, 初值, options)关于解: fzero给出的是x单值的解, fsolve给出的是解x可能处于的区间, 当然, 这个区间很窄.关于'函数', 还记得前面提到的三种表示方法吧, 在这里都可以用, 记住就是: 如果直接使用函数名, 要用单引号将它括起来, 而函数句柄, inline函数可以直接使用.关于'初值': 电脑比较笨, 它寻找解的办法是尝试不同地x值, 摸索解在哪里, 所以我们一开始就要给它指明从哪里开始下手, 初值这里, 可以只给它一个值, 让它在这个值附近找解, 也可以给它一个区间(区间用[下限,上限]这种方式表示), 它会在这个区间内找解.fzero的一些局限, 如果你给定的初值是区间, 而恰好函数在区间端点处同号, fzero会出错, 而如果你只给一个初值, fezro又有可能'走错方向', 例如给初值2让它解mysqr这个函数方程就出错了, FT!寻找函数极值/最值Matlab中也有两个函数可以做到, 是: fminbnd: 寻找一元函数极小值; fminsearch: 寻找多元函数极小值(当然一元也行). 别问我怎么没有找极大值的Matlab函数, 你把原函数取负数, 寻找它的极小值不就行了. 相关语法:x=fminbnd(函数, 区间起始值, 区间终止值)x=fminsearch(函数, 自变量初值)相关说明: fminbnd中指定要查找极小值的自变量区间, 好像不指定也行, 不过那样的话, 如果函数有多个极小值就可能比较难以预料结果了.fminsearch中要给定一个初值, 这个初值可以是自变量向量(将自变量依次排在一起组成向量)的初值, 也可以是表示向量初值区间的一个矩阵.函数: 那三种形式都适用, 但是记住, 直接使用函数名称需要加单引号!cite from:/qq529312840/blog/item/3687e4c7e7e2d6d9d0006049.html二、实例+讲解（1）非线性方程数值求解：1 单变量非线性方程求解在MATLAB中提供了一个fzero函数，可以用来求单变量非线性方程的根。
MATLAB教学视频：非线性方程(组)在MATLAB中的求解方法
0.6
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1 t
1.2
1.4
1.6
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2
二元方程组的图解法
用图解法，求二元方程组的解，其中 x 和 y 的范围均为 [-5, 5]
2 − xy x =5 e 3 2 2 x+ y x cos x + y + y e = 10 ( )
2
将方程组移项，改写成 f(x, y) = 0 的形式
f(t)
0 -0.1 -0.2
对于非多项式方程，只能求出一个解
-0.3 -0.4 -0.5
0
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solve 函数的局限性
求解一元非线性方程 (超越方程)
f ( x ) = sin ( x ) + cos ( x x ) − 10
对于稍许复杂的方程，求解结果出现很大误差
一元方程的图解法
一个有阻尼的振动系统，振动方程如下，求出 x (t) = 0.1 对应的时刻 t
x ( t ) = 0.8 e −6t sin ( 30t )
根据振动方程，有
x ( t ) = 0.8 e −6t sin ( 30t ) = 0.1
移项，可得
0.8 e −6t sin ( 30t ) − 0.1 = 0
初值 x0 分别设定为0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5 等，求解方程 F 的根，并观察结果
非线性方程 (组) 数值解的一般求法
◼ 使用 fsolve 函数的第二种调用格式，求解方程 F 的根 [x,fval,exitflag] = fsolve(fun,x0,options) ◼ 使用 optimset 函数，设置 options
Matlab中的非线性优化和非线性方程求解技巧
Matlab中的非线性优化和非线性方程求解技巧在科学和工程领域中，我们经常会遇到一些复杂的非线性问题，例如最优化问题和方程求解问题。
解决这些问题的方法主要分为线性和非线性等，其中非线性问题是相对复杂的。
作为一种强大的数值计算工具，Matlab提供了许多专门用于解决非线性优化和非线性方程求解的函数和方法。
本文将介绍一些常用的Matlab中的非线性优化和非线性方程求解技巧。
非线性优化是指在给定一些约束条件下，寻找目标函数的最优解的问题。
在实际应用中，往往需要根据实际情况给出一些约束条件，如等式约束和不等式约束。
Matlab中的fmincon函数可以用于求解具有约束条件的非线性优化问题。
其基本语法如下：[x,fval] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)其中，fun是目标函数，x0是初始值，A、b是不等式约束矩阵和向量，Aeq、beq是等式约束矩阵和向量，lb、ub是变量的上下边界。
x表示最优解，而fval表示最优解对应的目标函数值。
另外，非线性方程求解是指寻找使得方程等式成立的变量值的问题。
Matlab中提供的fsolve函数可以用于求解非线性方程。
其基本语法如下：x = fsolve(fun,x0)其中，fun是方程函数，x0是初始值，x表示方程的解。
除了fmincon和fsolve函数之外，Matlab还提供了一些其他的非线性优化和非线性方程求解函数，例如lsqnonlin、fminunc等，这些函数分别适用于无约束非线性优化问题和带约束非线性方程求解问题。
除了直接调用这些函数外，Matlab还提供了一些可视化工具和辅助函数来帮助我们更好地理解和解决非线性问题。
例如，使用Matlab的优化工具箱可以实现对非线性优化问题的求解过程可视化，从而更直观地观察到优化算法的收敛过程。
此外，Matlab还提供了一些用于计算梯度、雅可比矩阵和海塞矩阵的函数，这些函数在求解非线性问题时非常有用。
Matlab求解线性和非线性,凸函数
实验作业
某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用 原料6千克,工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料 需用原料5千克,工人20名,可获利9万元.今工厂共有 原料60千克,工人150名,又由于其他条件所限甲饮料 产量不超过8百箱.问如何安排生产计划,即两种饮料 各生产多少使获利最大.进一步讨论: 1)若投资0.8万元可增加原料1千克,问应否作这项 投资. 2)若每百箱甲饮料获利可增加1万元,问应否改变生 产计划.
0.02 x 2 0.05 x 5 100 0.03 x 3 0.08 x 6 900 xj 0 j 1,2, 6
解 编写M文件如下： c=[-0.4 -0.28 -0.32 -0.72 -0.64 -0.6]; A=[0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03;0.02 0 0 0.05 0 0;0 0.02 0 0 0.05 0;0 0 0.03 0 0 0.08]; b=[850;700;100;900];
故目标函数为：
max z 7 x1 5x 2
约束条件为：
3 x1 2 x2 90 4 x 6 x 200 1 2 7 x2 210 x1 0, x2 0
问题2线性规划模型：
max z 7 x1 5x 2
3 x1 2 x2 90 4 x 6 x 200 1 2 s.t. 7 x2 210 x1 0, x2 0
f X k ，
* k X X 若满足，则停止迭代，得点 ，否则进行⑷； k k k X S f X S k 进行一维搜索， ⑷ 令 ，从 出发，沿 k k k k k min f X S f X S 即求 使得： ； k
matlab实验 非线性方程(组)求解
数学实验报告Matlab的简单应用——非线性方程（组）求解姓名班级学号学院2013年5月12日一、实验目的1.熟悉MATLAB软件中非线性方程（组）的求解命令及其用法。
2.掌握求非线性方程近似根的常用数值方法——迭代法。
3.了解分叉与混沌概念。
二、实验问题1.利用弦截法编程对方程x^5+x-1=0进行求解实验，并与二分法、牛顿切线法进行比较；2.方程f(x)=x^2+x-4=0在(0,4)内有唯一的实根，现构造以下三种迭代函数：(1)g1(x)=4-x^2,迭代初值x0=4;(2)g2(x)=4/(1+x),迭代初值x0=4;(3)g3(x)=x-(x^2+x-4)/(2x+1),迭代初值x0=4;分别用给出的3种迭代函数构造迭代数列x(k+1)=g1(x(k)),i=1,2,3,观察这些迭代数列是否收敛，若收敛能否收敛到方程f(x)=0的解。
除此之外，你还能构造出其他收敛的迭代吗？4.分别取不同的参数值r，做迭代数列x(n+1)=rx(n)(1-x(n)),n=0,1,2……,观察分叉与混沌现象。
步骤1：首先，分别取参数r为0,0.3,0.6,0.9,1.2,1.5,1.8,2.1,2.4,2.7, 3.0,3.3,3.6,3.9等14个值，按迭代序列迭代150步，分别产生14个迭代序列{x(k)},k=0,1,…,150；其次，分别取这14个迭代序列的后50个迭代值（x100,x101,…,x150），画在以r为横坐标的同一坐标面rox上，每一个r取值对应的迭代值点为一列。
步骤2：对（1）中图进行观察分析，容易发现：（1）当r为0,0.3,0.6,0.9,1.2,1.5,1.8,2.1,2.4,2.7时，每个r对应的50个迭代值凝聚在一点，这说明对这些r的取值所产生的迭代序列是收敛的。
（2）当r为3,3.3时，r对应的50个迭代值凝聚在两个点，这说明这些r值所对应的迭代序列不收敛，但凝聚在两个点附近；同时也说明当r在2.7和3之间取值时，对应的迭代序列从收敛到不收敛，轨道由一只分为两支开始出现分叉现象。
数值分析中求解非线性方程的MATLAB求解程序
数值分析中求解非线性方程的MATLAB求解程序1. fzero函数：fzero函数是MATLAB中最常用的求解非线性方程的函数之一、它使用了割线法、二分法和反复均值法等多种迭代算法来求解方程。
使用fzero函数可以很方便地求解单变量非线性方程和非线性方程组。
例如，要求解方程f(x) = 0，可以使用以下语法：``````2. fsolve函数：fsolve函数是MATLAB中求解多维非线性方程组的函数。
它是基于牛顿法的迭代算法来求解方程组。
使用fsolve函数可以非常方便地求解非线性方程组。
例如，要求解方程组F(x) = 0，可以使用以下语法：``````3. root函数：root函数是MATLAB中求解非线性方程组的函数之一、它采用牛顿法或拟牛顿法来求解方程组。
使用root函数可以非常方便地求解非线性方程组。
例如，要求解方程组F(x) = 0，可以使用以下语法：``````4. vpasolve函数：vpasolve函数是MATLAB中求解符号方程的函数。
它使用符号计算的方法来求解方程，可以得到精确的解。
vpasolve函数可以求解多变量非线性方程组和含有符号参数的非线性方程。
例如，要求解方程组F(x) = 0，可以使用以下语法：```x = vpasolve(F(x) == 0, x)```vpasolve函数会返回方程组的一个精确解x。
5. fsolve和lsqnonlin结合：在MATLAB中，可以将求解非线性方程转化为求解最小二乘问题的形式。
可以使用fsolve函数或lsqnonlin函数来求解最小二乘问题。
例如，要求解方程f(x) = 0，可以将其转化为最小二乘问题g(x) = min，然后使用fsolve或lsqnonlin函数来求解。
具体使用方法可以参考MATLAB官方文档。
6. Newton-Raphson法手动实现：除了使用MATLAB中的函数来求解非线性方程，还可以手动实现Newton-Raphson法来求解。
用matlab对非线性方程求解
非线性方程求解摘要：利用matlab软件编写程序，分别采用二分法、牛顿法和割线法求解非线性方程，0 2= -x ex的根，要求精确到三位有效数字，其中对于二分法，根据首次迭代结果，事先估计迭代次数，比较实际迭代次数与估计值是否吻合。
并将求出的迭代序列用表格表示。
对于牛顿法和割线法，至少取3组不同的初值，比较各自迭代次数。
将每次迭代计算值求出，并列于表中。
关键词：matlab、二分法、牛顿法、割线法。
引言：现实数学物理问题中，很多可以看成是解方程的问题，即f（x）=0的问题，但是除了极少简单方程的根可以简单解析出来。
大多数能表示成解析式的，大多数不便于计算，所以就涉及到算法的问题，算法里面，具体求根时，一般先寻求根的某一个初始近似值，然后再将初始近似值逐步加工成满足精度要求为止，但是，我们知道，人为计算大大的加重了我们的工作量，所以大多用计算机编程，这里有很多可以计算的软件，例如matlab等等。
正文：一、二分法1 二分法原理：对于在区间[，]上连续不断且满足·＜0的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
2 二分法求根步骤：(1)确定区间，，验证·＜0，给定精确度；（2)求区间，的中点；(3)计算。
若=，则就是函数的零点；若·＜0，则令=；若·＜0，则令=。
(4)判断是否达到精确度；即若＜，则得到零点近似值（或）；否则重复步骤2-4．3 二分法具体内容：精度要求为5e-6，,解得实际迭代次数与估计值基本吻合，迭代如下表。
n=2 c=0.000000 fc=-1.000000 n=11 c=-0.705078 fc=0.003065 n=3 c=-0.500000 fc=-0.356531 n=12 c=-0.704102 fc=0.001206 n=4 c=-0.750000 fc=0.090133 n=13 c=-0.703613 fc=0.000277 n=5 c=-0.625000 fc=-0.144636 n=14 c=-0.703369 fc=-0.000187 n=6 c=-0.687500 fc=-0.030175 n=15 c=-0.703491 fc=0.000045 n=7 c=-0.718750 fc=0.029240 n=16 c=-0.703430 fc=-0.000071 n=8 c=-0.703125 fc=-0.000651 n=17 c=-0.703461 fc=-0.000013 n=9 c=-0.710938 fc=0.014249 n=18 c=-0.703476 fc=0.000016n=10 c=-0.707031 fc=0.006787 n=19 c=-0.703468 fc=0.0000024 二分法程序：eps=5e-6;delta=1e-6;a=-1;b=1;fa=f(a);fb=f(b);n=1;while (1)if(fa*fb>0)break;endc=(a+b)/2;fc=f(c);if(abs(fc)<delta)break;else if(fa*fc<0)b=c;fb=fc;elsea=c;fa=fc;endif(b-a<eps)break;endn=n+1;fprintf('n=%d c=%f fc=%f\n',n,c,fc);endEnd(在同一目录下另建文件名为“f”的文件，内容为“function output=f(x)output=x*x-exp(x);”）5 二分法流程图：流程图二：牛顿法1 牛顿迭代法原理：设已知方程0)(=x f 的近似根0x ,则在0x 附近)(x f 可用一阶泰勒多项式))((')()(000x x x f x f x p -+=近似代替.因此, 方程0)(=x f 可近似地表示为0)(=x p .用1x 表示0)(=x p 的根,它与0)(=x f 的根差异不大.设0)('0≠x f ,由于1x 满足,0))((')(0100=-+x x x f x f 解得)(')(0001x f x f x x -=重复这一过程,得到迭代格式)(')(1k k k k x f x f x x -=+2 牛顿法具体内容：近似精度要求为5e-6，带入不同初值结果如下表。
matlab解非线性方程
matlab解非线性方程MATLAB求解非线性方程一、Matlab求解非线性方程的原理1. 非线性方程是指当函数中的变量出现不同的次方数时，得出的方程就是非线性的。
求解非线性方程的准确性决定于得出的解集是否丰富，以及解的精度是否符合要求。
2. Matlab是一款多功能的软件，可以快速求解工程中的数学方程和模型，包括一元非线性方程。
Matlab 具有非线性解析计算能力，可以极大地提高求解效率。
二、Matlab求解非线性方程的方法1. 使用数值解法求解：包括牛顿法、割线法、共轭梯度法、梯度下降法等，可以采用Matlab编写程序，来计算满足一元非线性方程的解。
2. 使用符号解法求解：在Matlab中，可以直接使用solve函数来解决一元非线性方程。
3. Matlab求解非线性方程的技巧：1）定义区间：对非线性方程给出一个精确定义的区间，matlab会将该区间分成若干区间，在这些区间内搜索解；2）多给出初始值：可以给出若干个初始值，令matlab均匀搜索多个解；3）改变算法：可以更改matlab中不同的求解算法；4）换元法：可以通过改变不同的元变量，将非线性方程变成多个简单的线性方程，然后利用matlab求解。
三、Matlab求解非线性方程的特点1. 高效：Matlab求解的方式高效有效，性能优异，可以节省大量的求解时间。
2. 准确：Matlab采用符号解法时，解的准确度精度更高，可以满足大部分要求。
3. 节省资源：Matlab求解非线性方程节省计算机资源，可以很好地利用资源，提高工作效率。
四、 Matlab求解非线性方程的步骤1. 对结构表达式编写程序；2. 设定相应的条件；3. 优化程序；4. 运行程序；5. 分析结果；6. 测试代码；7. 验证学习结果。
五、Matlab求解非线性方程的事例例1：已知一元非线性方程f ( x ) = x^3 - 4x - 9 = 0，求精度范围在[-5，5]之间的实根解法：使用Matlab符号解法求解solX = solve('x^3-4*x-9 = 0','x');输出结果为：solX =3-31运行程序，即可得到由-5到5的实根。
实验7-无穷级数与非线性方程求解(MATLAB)教程文件
3
12
854.452
1
388
4
15
239.527
1
107
5
18
67.0412
1
30.8
6
21
16.7042
1
9.05
7
24
2.42788
1
2.26
8
27
0.032658
0.759511 0.206
9
30
7.03149e-006 0.111927 0.00294
10
33
3.29525e-013 0.00169132 6.36e-007
数学实验
例1) 求
111... 1
23
10
(1) 利用symsum处理 >>syms x >> symsum(1/x,1,10) ans = 7381/2520 >> 7381/2520 ans =
2.9290
(2) 编程建立M文件计算
s=0; %累加变量置初值 for i=1:10
s=s+1/i; end disp('1+1/2+1/3+...+1/10=') s
3、 在Matlab中, solve采用符号解法求非线性方程(组), 调用格式为: solve(f,t) 对f中的符号变量t解方程f=0 (t缺省时设定为x或 最接近x的字母), 该命令为符号计算 solve(‘f=g’,t) 对符号变量t解方程f=g (t缺省时设定为x或 最接近x的字母), 该命令为符号计算
数学实验
1) 解方程 cos2x+sinx=1 (在最小正周期内求解) 先将方程化为cos2x+sinx-1=0
MATLAB求解非线性方程
步骤如下：
(1)建立函数文件funx.m。
function fx=funx(x)
fx=x-10.^x&##39;funx',0.5)
z =
0.3758
**非线性方程组的求解
对于非线性方程组F(X)=0，用fsolve函数求其数值解。fsolve函数的调用格式为：
If FUN is parameterized, you can use anonymous functions to capture the
problem-dependent parameters. Suppose you want to solve the system of
nonlinear equations given in the function myfun, which is parameterized
X=fsolve('fun',X0,option)
其中X为返回的解，fun是用于定义需求解的非线性方程组的函数文件名，X0是求根过程的初值，option为最优化工具箱的选项设定。最优化工具箱提供了20多个选项，用户可以使用optimset命令将它们显示出来。如果想改变其中某个选项，则可以调用optimset()函数来完成。例如，Display选项决定函数调用时中间结果的显示方式，其中‘off’为不显示，‘iter’表示每步都显示，‘final’只显示最终结果。optimset(‘Display’,‘off’)将设定Display选项为‘off’。
-.283
-2.987
y =
1.834-3.301*i
1.834+3.301*i
-.3600
MATLAB应用 求解非线性方程
第7章 求解非线性方程7.1 多项式运算在MATLAB 中的实现一、多项式的表达n 次多项式表达为：n a +⋯⋯++=x a x a x a p(x)1-n 1-n 1n 0，是n+1项之和 在MATLAB 中，n 次多项式可以用n 次多项式系数构成的长度为n+1的行向量表示[a0, a1,……an-1,an]二、多项式的加减运算 设有两个多项式na +⋯⋯++=x a x a x a p1(x)1-n 1-n 1n 0和m b +⋯⋯++=x b x b x b p2(x)1-m 1-m 1m 0。
它们的加减运算实际上就是它们的对应系数的加减运算。
当它们的次数相同时，可以直接对多项式的系数向量进行加减运算。
当它们的次数不同时，应该把次数低的多项式无高次项部分用0系数表示。
例2 计算()()1635223-+++-x x x xa=[1, -2, 5, 3]; b=[0, 0, 6, -1]; c=a+b例 3 设()6572532345++-+-=x x x x x x f ，()3532-+=x x x g ，求f(x)+g(x)f=[3, -5, 2, -7, 5, 6]; g=[3, 5, -3]; g1=[0, 0, 0, g];%为了和f 的次数找齐f+g1, f-g1三、多项式的乘法运算conv(p1,p2)例4 在上例中，求f(x)*g(x)f=[3, -5, 2, -7, 5, 6]; g=[3, 5, -3]; conv(f, g)四、多项式的除法运算[Q, r]=deconv(p1, p2)表示p1除以p2，给出商式Q(x)，余式r(x)。
Q,和r 仍为多项式系数向量 例4 在上例中，求f(x)/g(x)f=[3, -5, 2, -7, 5, 6]; g=[3, 5, -3]; [Q, r]=deconv(f, g) 五、多项式的导函数p=polyder(P)：求多项式P 的导函数 p=polyder(P,Q)：求P ·Q 的导函数[p,q]=polyder(P,Q)：求P/Q 的导函数，导函数的分子存入p ，分母存入q 。
非线性方程组求解及matlab实现讲解
不动点迭代的图形解释
y
y
y=x
y=x
(p1,p1) P y = g(x)
(p0,g(p0))
P (p1,p1) y = g(x) (p0,g(p0))
O
p1
Pp2
p0
x
O
Pp2
p1
p0
x
0 g ' P 1
1 g ' P 0
单调收敛
振荡收敛
不动点迭代的图形解释
y
y = g(x) y=x
非线性方程（组）在化学计算中的作用
• 多组分混合溶液的沸点、饱和蒸气压计算
• 流体在管道中阻力计算
• 多组分多平衡级分离操作模拟计算
• 平衡常数法求解化学平衡问题
• 定态操作的全混流反应器的操作分析
非线性方程
非线性方程包括：高次代数方程、超越方程及其它们 的组合 与线性方程相比，非线性方程求解问题无论从理论上 还是从计算公式上都要复杂得多 对于高次代数方程，当次数>4时，则没有通解公式可 用，对于超越方程既不知有几个根，也没有同样的求 解方式。实际上，对于n≥3代数方程以及超越方程都 采用数值方法求近似根。
非线性方程(组)求解
非线性方程（组）数值求解基本原理
多项式求根函数－roots
非线性方程求解函数－fzero
非线性方程组求解函数－fsolve
复习与练习
按以下要求编写一个函数计算 A y / x sin(45) x 的值，其中x>0时，y= 3 x ; x<0时，y=2/x; x=0时，返 回错误信息（x cann’t be zero) 。 要求：1)主函数名称为excer1，x作为输如变量，A作 为输出变量；2) 主函数中包括一个子函数myfun用于 计算y的值。
用Matlab求解非线性方程组
1.fsolve求解非线性方程组方程：F(x)=0x是一个向量，F(x)是该向量的函数向量，返回向量值2.语法x = fsolve(fun,x0)x = fsolve(fun,x0,options)[x,fval] = fsolve(fun,x0)[x,fval,exitflag] = fsolve(...)[x,fval,exitflag,output] = fsolve(...)[x,fval,exitflag,output,jacobian] = fsolve(...)3.描述fsolve 用于寻找非线性系统方程组的零点。
x = fsolve(fun,xO)以x0为初始值，努力寻找在fun中描述的方程组。
x = fsolve(fun,xO,options)以x0为初始值，按照指定的优化设置“options努力寻找在fun 中描述的方程组。
使用optimset 设置这些选项。
[x,fval] = fsolve(fun,xO)返回在解x处的目标函数fun的值[x,fval,exitflag] = fsolve(...)返回exitflag 表示退出条件。
[x,fval,exitflag,output] = fsolve(...)返回output 结构，该结构包含了优化信息。
[x,fval,exitflag,output,jacobian]二fsolve(…)返回在解x 处的Jacobian 函数。
4.输入参数4.1."fun非线性系统方程。
它是一个函数，以x作为输入，返回向量F。
函数fun可以被指定为一个M 文件函数的函数句柄。
x = fsolve(@myfun,x0)这里的myfun 是一个matlab 函数，形如：function F = myfun(x)F = ...% Compute function values at xfun 也可以是一个异步函数的函数句柄：x = fsolve(@(x)sin(x.*x),x0);若用户定义的值为矩阵，则会被自动转换为向量。
求解非线性方程根的Matlab函数
Solve函数可以得到方程根的解析或数值解, 其命令格式为
Solve(‘eqn1’, ‘eqn2’, …,‘eqnN’) Solve(‘eqn1’, ‘eqn2’, …,‘eqnN’, ‘var1,var2,…,varN’) ‘eqn1’, ‘eqn2’, …,‘eqnN’是方程的表达式; ‘var1,var2,…,varN’是相应的变量.
例3:求解非线性方程组 x2+xy+y=3 X2-4x+3=0 解:输入 [x,y]=solve(‘x^2+x*y+y=3’,’x^2-4*x+3=0) 得到 X= [ 1] [ 3] Y= [ 1] [-3/2]
1.3求出多项式方程的全部根
Solve()函数的另一种功能是求多项式的全部根.
1.1求出方程根的解析表达式
例1:分别求一元二次方程ax2+bx+c=0和三角方程psin(x)=r的根. 解: 输入 x=solve(‘a*x^2+b*x+c’) 得到 X=[1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2)] X=[1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2)] 再输入 x=solve(‘p*sin(x)=r’) 得到 x=asin(r/p) 即 x=arcsin(r/p).
2.Fzero函数
2.1 fzero()函数
fzero()函数是求一维变量的零点，其计算格式为： x= fzero(fun,x0) x= fzero(fun,x0,options) [x,fval]= fzero(…) 其中，x为方程的零点，fval为计算终止时的函数值， fun为方程的函数，x0为初始点，options为选择项， 它包括Display和TolX。
MATLAB教学视频非线性方程在MATLAB中的求解方法
MATLAB教学视频非线性方程在MATLAB中的求解方法非线性方程或非线性方程组在科学与工程中是非常常见的问题。
MATLAB提供了许多强大的工具和算法来解决这些问题。
在本教学视频中，我们将介绍一些常用的非线性方程（组）求解方法。
在MATLAB中，可以通过几种不同的方法来求解非线性方程。
下面是其中一些常用的方法。
1. Bisection Method（二分法）：这是一种基本的迭代求解方法，它假设该方程在一个已知区间内有唯一解。
算法的基本思路是将区间一分为二，然后根据函数在两个子区间的取值来确定解所在的子区间，重复这个过程直到达到预设的精度要求。
MATLAB中的'bisection'函数可以实现这个方法。
2. Newton-Raphson Method（牛顿法）：这是一种迭代求解方法，利用函数的局部线性逼近来逼近方程的解。
算法的基本思路是选择初始近似解，然后使用切线来逼近实际解，再使用这个逼近解更新初始近似解，不断迭代直到收敛。
MATLAB中的'newton'函数可以实现这个方法。
3. Fixed-Point Iteration Method（不动点迭代法）：这是一种简单的迭代法，将非线性方程变为形式上的不动点问题。
通过将方程转化为x = g(x)的形式，然后使用函数g(x)的迭代序列不断逼近解。
MATLAB中的'fixedpoint'函数可以实现这个方法。
4. Secant Method（割线法）：这是一种迭代求解方法，类似于牛顿法，但不需要计算导数。
它根据两点间的直线斜率来逼近解。
算法的基本思路是选择初始近似解，并在每一步使用当前和前一步的逼近解来计算下一步的逼近解。
MATLAB中的'secant'函数可以实现这个方法。
此外，MATLAB还提供了许多更高级的求解方法，例如高斯牛顿法、Levenberg-Marquardt法、拟牛顿法等，这些方法对于复杂的非线性方程或非线性方程组求解非常有用。
数值分析中求解非线性方程的MATLAB求解程序（6种）
数值分析中求解非线性方程的MATLAB求解程序（6种）数值分析中求解非线性方程的MATLAB求解程序（6种）1.求解不动点function [k,p,err,P]=fixpt(g,p0,tol,max1)%求解方程x=g(x) 的近似值，初始值为p0%迭代式为Pn+1=g(Pn)%迭代条件为：在迭代范围内满足|k|<1(根及附近且包含初值)k为斜率P(1)=p0;for k=2:max1P(k)=feval(g,P(k-1));err=abs(P(k)-P(k-1));relerr=err/(abs(P(k))+eps);p=P(k);if (err<tol)|(relerr<tol)< p="">break;endendif k==max1disp('超过了最长的迭代次数')endP=P';2.二分法function [c,err,yc]=bisect(f,a,b,delta)%二分法求解非线性方程ya=feval(f,a);yb=feval(f,b);if ya*yb>0break;max1=1+round((log(b-a)-log(delta))/log(2));for k=1:max1c=(a+b)/2;yc=feval(f,c);if yc==0a=c;b=c;elseif yb*yc>0b=c;yb=yc;elsea=c;ya=yc;endif b-a<delta< p="">break;endendc=(a+b)/2;err=abs(b-a);yc=feval(f,c);3.试值法function [c,err,yc]=regula(f,a,b,delta,epsilon,max1) %试值法求解非线性方程%f(a)和飞(b)异号ya=feval(f,a);yb=feval(f,b);if ya*yb>0disp('Note:f(a)*f(b)>0');for k=1:max1dx=yb*(b-a)/(yb-ya);c=b-dx;ac=c-a;yc=feval(f,c);if yc==0break;elseif yb*yc>0b=c;yb=yc;elsea=c;ya=yc;enddx=min(abs(dx),ac);if abs(dx)<delta|abs(yc)<epsilon< p="">break;endendc;err=abs(b-a)/2;yc=feval(f,c);4.求解非线性方程根的近似位置function R=approot(X,epsilon)%求解根近似位置%为了粗估算方程f(x)=0在区间[a,b]的根的位置，%使用等间隔采样点(xk,f(xk))和如下的评定准则：%f(xk-1)与f(xk)符号相反，%或者|f(xk)|足够小且曲线y=f(x)的斜率在%(xk,f(xk))附近改变符号。
matlab非线性方程的解法(含牛拉解法)
非线性方程的解法(含牛拉解法）1引 言数学物理中的许多问题归结为解函数方程的问题，即,0)(=x f （1.1) 这里，)(x f 可以是代数多项式，也可以是超越函数。
若有数*x 为方程0)(=x f 的根，或称函数)(x f 的零点。
设函数)(x f 在],[b a 内连续，且0)()(<b f a f .根据连续函数的性质知道,方程0)(=x f 在区间],[b a 内至少有一个实根；我们又知道，方程0)(=x f 的根，除了极少简单方程的根可以用解析式表达外，一般方程的根很难用一个式子表达。
即使能表示成解析式的，往往也很复杂，不便计算。
所以,具体求根时，一般先寻求根的某一个初始近似值,然后再将初始近似值逐步加工成满足精度要求为止.如何寻求根的初始值呢？简单述之，为了明确起见，不妨设)(x f 在区间],[b a 内有一个实的单根,且0)(,0)(><b f a f .我们从左端出点a x =0出发,按某一预定的步长h 一步一步地向右跨,每跨一步进行一次根的“搜索”,即检查每一步的起点k x 和1+k x (即，h x k +）的函数值是否同号。
若有：0)(*)(≤+h x f x f k k (1.2) 那么所求的根必在),(h x x k k +内，这时可取k x 或h x k +作为根的初始近似值。
这种方法通常称为“定步长搜索法"。
另外,还是图解法、近似方程法和解析法。
2 迭代法2。
1 迭代法的一般概念迭代法是数值计算中一类典型方法，不仅用于方程求根，而且用于方程组求解，矩阵求特征值等方面。
迭代法的基本思想是一种逐次逼近的方法。
首先取一个精糙的近似值,然后用同一个递推公式，反复校正这个初值,直到满足预先给定的精度要求为止。
对于迭代法，一般需要讨论的基本问题是：迭代法的构造、迭代序列的收敛性天收敛速度以及误差估计。
这里,主要看看解方程迭代式的构造。
对方程（1。
实验七：MATLAB级数与方程符号求解
实验七级数与方程符号求解
一、实验目的
1. 掌握级数求和的方法。
2. 掌握将函数展开为泰勒级数的方法。
3. 掌握微分方程符号求解的方法。
4. 掌握代数方程符号求解的方法。
二、实验内容
要求：命令手工 ( )输入!!!
1. 级数符号求和。
解：M命令：
运行结果：
2. 将lnx 在x=1处按5次多项式展开为泰勒级数。
解：M 命令：
运行结果：
3. 使用图形化的符号函数计算器。
4. 求下列方程的符号解。
22
25
(1)ln(1)2
(2)9110
1sin 1000(3)35sin 78.50(4)3580
x
x x x x
x y xe x x y +−
=++−=+⎧⎪+−=+−=⎨
+−=⎪⎩
解：M 命令：
5. 设计程序，完成两位数的加、减、乘、除四则运算，即输入两个整数，再输入一个运算符号，做相应的运算，并显示相应的结果。
6. 动画制作：使用对象方式产生，一个红色的小球沿着曲线运动的动画。
解：M命令：
常微分方程的知识：
1. 求微分方程初值问题的符号解。
224
290
(0)0,'(0)15d y dy
y dx
dx y y ⎧++=⎪⎨⎪==⎩
2. 求微分方程组的通解。
233453442dx
x y z dt dy
x y z dt dz
x y z dt ⎧=−+⎪⎪⎪=−+⎨⎪⎪=−+⎪⎩
解：M 命令：。
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a
n 1
n
数学实验
例1) 求
1
1 1 1 ... 2 3 10
(1) 利用symsum处理 >>syms x >> symsum(1/x,1,10) ans = 7381/2520 >> 7381/2520 ans = 2.9290
(2) 编程建立M文件计算
s=0; %累加变量置初值 for i=1:10 s=s+1/i; end disp('1+1/2+1/3+...+1/10=') s >> 1+1/2+1/3+...+1/10= s= 2.9290
数学实验
(2) 符号计算 >> syms x >> f=8*x^5-12*x^4-26*x^3-13*x^2+58*x+30; >> s=solve(f) s= [ -1/2] [ 3/2] [ 5/2] [ -1+i] [ -1-i] 所以方程的根为:-1/2,3/2,5/2,-1+i,-1-i.
x0=3*ones(2,1); %另置初始解向量 options = optimset('Display','iter');%设置显示输出中间反复迭代结果 x=fsolve('f710',x0,options)
运行结果
Norm of First-order Trust-region Iteration Func-count f(x) step optimality 0 3 17.4075 3.1 1 6 9.60902 1 2.41 2 9 0.00880582 2.5 0.106 3 12 5.14156e-007 0.0589635 0.000795 4 15 1.76204e-015 0.000457497 4.65e-008
1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
从上图可知,方程的一个根大体在0附近,另一个根大体在1.5附近.
数学实验
第二步：求解 >>z1=fzero('sin(x)-x.^2/2',1.5) z1 = 1.4044 >> z2=fzero('sin(x)-x.^2/2',0.1) z2 = >>options =optimset('Display','iter'); >> z2=fzero('sin(x)-x.^2/2',0.1) 5.8892e-023 >> z2=fzero('sin(x)-x.^2/2',0) z2 = 0
1
1 1 1 1 1 1 1 2.5 2.5 2.5
0.00169132 6.36e-007
Optimization terminated: first-order optimality is less than options.TolFun. x =0.5671 0.5671
数学实验
初值更改后调用情况
x
数学实验
2 代数方程求解 当f(x)为多项式时可用 r=roots(c) 输入多项式c(按降幂排列),输出r为f(x)=0的 全部根(包括复数根),该命令为数值计算 c=poly(r) 输入f(x)=0的全部根r,输出c为多项式的系数 (按降幂排列), 该命令为数值计算 solve(f,t) 对f中的符号变量t解方程f=0(t缺省时设定为 x或最接近x的字母), 该命令为符号计算
3
6 9 12 15 18 21 24 27 30 33
47071.2
12003.4 3147.02 854.452 239.527 67.0412 16.7042 2.42788 0.032658 7.03149e-006 3.29525e-013
2.29e+004
5.75e+003 1.47e+003 388 107 30.8 9.05 2.26 0.206 0.00294
x
说明原方程的解无解析表达式,此时可用double计算其值
>> s=double(s) s= 0.2592 2.5426
数学实验
x 2 xy y 3 4) 解方程组 2 x 4x 3 0
>>syms x y >> [x,y]=solve('x^2+x*y+y=3','x^2-4*x+3=0') x= [ 1] [ 3] y= [ 1] [ -3/2] 所以方程组的解为(1,1),(3,-3/2).
f ( x) 0
求解超越方程不仅没有一般的公式，而且若只依据方程本 身，那么连有没有根、有几个根，也难以判断。
数学实验
利用Matlab的图形功能就能帮助我们判断方程有没有根， 并且确定根的近似位置。
8x5 12 x 4 26 x3 13 x 2 58 x 30 0
5x e 0
数学实验
例2) 求以0.25,-1.5,2+2i,2-2i为根的代数方程 >> r=[0.25 -1 2+3i 2-3i]; >> c=poly(r) c= 1.0000 -3.2500 9.7500 10.7500 -3.2500
数学实验
3、 在Matlab中, solve采用符号解法求非线性方程(组), 调用格式为: solve(f,t) 对f中的符号变量t解方程f=0 (t缺省时设定为x或 最接近x的字母), 该命令为符号计算 solve(‘f=g’,t) 对符号变量t解方程f=g (t缺省时设定为x或 最接近x的字母), 该命令为符号计算
数学实验
5、Matlab中fsolve函数采用非线性最小二乘算法求解非 线性方程组，其调用格式为： x=fsolve(‘fun’,x0) x=fsolve(‘fun’,x0,options) [x,fval]=fsolve(‘fun’,x0,..) 说明：非线性方程的一般描述 f(x)=0,其中x为向量，f(x) 为一个函数向量。 x=fsolve(‘fun’,x0) 非线性方程fun求根，返回解向量x， 方程fun定义在M文件fun.m中，并置初始解向量为x0. 注意：初始值的设置很关键，关系到运行次数和最终结果
数学实验
例1) 解方程f(x)=x3-2x-5=0 >>z=fzero(‘x3-2*x-5’,2) % 第一种方法 z= 2.0946 >>z=fzero(‘x3-2*x-5’,[0 3]) %第二种方法 z= 2.0946 >>z=fzero(‘x3-2*x-5’,2,1e-6) % 第三种方法 z= 2.0946 >>z=fzero(‘x3-2*x-5’,2，1e-6,1) % 第四种方法
数学实验
第一步：编写函数组M文件 function F=f710(x) F=[2*x(1)-x(2)-exp(-x(1));-x(1)+2*x(2)-exp(-x(2))] 第二步：求解
x0=-5*ones(2,1); %置初始解向量 options = optimset(‘Display’,‘iter’);%设置显示输出中间反复(iteration)迭代结果 x=fsolve('f710',x0,options )
数学实验
例2) 求无穷级数
1
1 1 1 ... ... 2 3 n 的收敛性.
>>syms n >> symsum(1/n,n,1,inf) %inf表示正无穷 ans = inf
例3) 求无穷级数
1 1 1 1 ... (1) n1 ... 2 3 n
的收敛性.
>> syms n >> symsum((-1)^(n-1),n,1,inf) ans = log(2)
数学实验
二. 非线性方程
1 基础理论 n n 1 把 an x an1 x ... a1 x a0 0 称为n次代数方程.
5次以上的方程就没有现成的求根公式了，但是总知道, n次方程有n个根,包括复根,当然重根要按重数计算根的 个数. 由其它数学问题归结得到的方程中还常常包含三角函数、 指数函数等超越函数如 sin x, e x , ln x ,称为超越方程， 它与n(≥2)次代数方程一起统称为非线性方程，记作
数学实验
Func evals x f(x) Procedure 1 2 -1 initial 2 1.94343 -1.54667 search 3 2.05657 -0.414934 search 4 1.92 -1.76211 search 5 2.08 -0.161088 search 6 1.88686 -2.05602 search 7 2.11314 0.209619 search Looking for a zero in the interval [1.8869, 2.1131] 8 2.0922 -0.0261891 interpolation 9 2.09453 -0.000272594 interpolation 10 2.09455 6.41518e-009 interpolation 11 2.09455 -4.67499e-005 interpolation z= 2.0946 第四种方法说明经过11次迭代得到一个近似根2.0946
数学实验
1) 解方程 cos2x+sinx=1 (在最小正周期内求解) 先将方程化为cos2x+sinx-1=0