MATLAB解方程
使用Matlab进行微分方程求解的方法
使用Matlab进行微分方程求解的方法引言微分方程是数学中非常重要的一部分，广泛应用于物理、经济、工程等领域。
对于大部分微分方程的解析解往往难以求得，而数值解法则成为了一种常用的解决手段。
Matlab作为一种强大的科学计算软件，也提供了丰富的工具和函数用于求解微分方程，本文将介绍一些常见的使用Matlab进行微分方程求解的方法。
一、数值求解方法1. 欧拉方法欧拉方法是最简单的一种数值求解微分方程的方法，它将微分方程的微分项用差分的方式进行近似。
具体的公式为：y(n+1) = y(n) + hf(x(n), y(n))其中，y(n)表示近似解在第n个点的值，h为步长，f(x, y)为微分方程的右端项。
在Matlab中使用欧拉方法进行求解可以使用ode113函数，通过设定不同的步长，可以得到不同精度的数值解。
2. 中点法中点法是较为精确的一种数值求解微分方程的方法，它的计算公式为：k1 = hf(x(n), y(n))k2 = hf(x(n) + h/2, y(n) + k1/2)y(n+1) = y(n) + k2中点法通过计算两个斜率的平均值来得到下一个点的值，相较于欧拉方法，中点法能提供更精确的数值解。
3. 4阶龙格库塔法龙格库塔法是一类高阶数值求解微分方程的方法，其中4阶龙格库塔法是最常用的一种。
它的计算公式为：k1 = hf(x(n), y(n))k2 = hf(x(n) + h/2, y(n) + k1/2)k3 = hf(x(n) + h/2, y(n) + k2/2)k4 = hf(x(n) + h, y(n) + k3)y(n+1) = y(n) + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)/64阶龙格库塔法通过计算多个斜率的加权平均值来得到下一个点的值，相较于欧拉方法和中点法，它的精度更高。
二、Matlab函数和工具除了可以使用以上的数值方法进行微分方程求解之外，Matlab还提供了一些相关的函数和工具，方便用户进行微分方程的建模和求解。
matlab解一元高次方程实数解
matlab解一元高次方程实数解在数学领域中，一元高次方程是常见的问题之一。
解决这类方程通常需要借助计算工具，如MATLAB。
本文将介绍如何使用MATLAB 解一元高次方程并得到实数解。
首先，我们需要了解一元高次方程。
一元高次方程的一般形式为：ax^n + bx^(n-1) + cx^(n-2) + ... + k = 0，其中n为方程的次数，a、b、c、...、k为系数。
解一元高次方程即是要找到方程中x的值，使得方程等式成立。
接下来，我们将通过编写MATLAB代码来解决一元高次方程。
首先，我们需要定义方程的系数。
例如，考虑以下一元高次方程：x^3 + 2x^2 + 3x + 1 = 0在MATLAB中，我们可以使用一个向量表示方程的系数，其中向量的元素从高到低对应各项的系数。
因此，对于上述方程，系数向量为：coeff = [1, 2, 3, 1]接下来，我们使用roots函数来计算方程的根。
roots函数接受一个向量作为参数，并返回方程的所有根。
roots函数的使用方法如下：roots(coeff)将coeff替换为我们定义的系数向量，即可得到方程的根。
在本例中，我们可以在MATLAB命令行中输入以下代码进行计算：coeff = [1, 2, 3, 1]roots(coeff)运行代码后，MATLAB将输出方程的根。
对于这个例子，MATLAB将返回以下结果：ans =-0.6823 + 0.0000i-0.1588 - 0.6130i-0.1588 + 0.6130i在这个例子中，方程有三个根，分别为-0.6823、-0.1588-0.6130i和-0.1588+0.6130i。
其中，-0.1588-0.6130i和-0.1588+0.6130i为复数解，而-0.6823为实数解。
以上就是使用MATLAB解一元高次方程并得到实数解的方法。
通过这个方法，我们可以轻松地求解各种一元高次方程，并得到实数解。
matlab解多项式方程
matlab解多项式方程一、引言多项式方程是数学中常见的一类方程，它包含一个或多个未知数，并且每个未知数的指数都是整数。
解多项式方程是求解这个方程中的未知数的值，对于一般的多项式方程，解的求解是一个复杂的过程。
然而，使用MATLAB这样的数学软件，可以大大简化这个过程，提高求解的效率。
本文将介绍如何使用MATLAB解决多项式方程的问题。
二、MATLAB解多项式方程的方法MATLAB提供了多种方法来解决多项式方程的问题，包括求解代数方程的根、求解多项式方程的特殊解等。
下面将介绍几种常见的方法：1. 使用roots函数求解代数方程的根roots函数是MATLAB中用于求解代数方程的根的函数，对于给定的多项式方程，它可以返回该方程的所有根。
使用方法如下：p = [1, -3, 2];r = roots(p);上述代码中，p是一个向量，表示一个多项式方程的系数，r是一个向量，表示该方程的所有根。
例如，对于多项式方程x^2 - 3x + 2 = 0，p表示的向量是[1, -3, 2]，r表示的向量是[1, 2]，即方程的根是1和2。
2. 使用poly函数求解多项式方程的特殊解poly函数是MATLAB中用于求解多项式方程的特殊解的函数，它可以根据给定的根来返回对应的多项式方程的系数。
使用方法如下：r = [1, 2];p = poly(r);上述代码中，r是一个向量，表示一个多项式方程的根，p是一个向量，表示该方程的系数。
例如，对于多项式方程的根是1和2，r表示的向量是[1, 2]，p表示的向量是[1, -3, 2]，即方程的系数是1、-3、2.三、MATLAB解多项式方程的示例为了更好地理解MATLAB解多项式方程的方法，下面将通过一个示例来演示具体的步骤：1. 求解一元二次方程假设我们要求解方程x^2 - 3x + 2 = 0的根，我们可以使用roots函数来实现：p = [1, -3, 2];r = roots(p);运行上述代码后，我们可以得到方程的根r是[1, 2]。
matlab解带参数的微分方程
matlab解带参数的微分方程要在MATLAB中解带参数的微分方程，你可以使用MATLAB的内置函数`dsolve`。
`dsolve`函数可以用于解析解或数值解微分方程。
首先，你需要定义微分方程，然后使用`dsolve`函数来解方程。
下面我将详细介绍一下这个过程。
首先，假设我们有一个带参数的一阶微分方程，例如：syms y(t) a.eqn = diff(y,t) == ay;这里的`y(t)`是未知函数，`a`是参数，`eqn`是微分方程。
接下来，我们可以使用`dsolve`函数来解这个微分方程。
如果我们要求解的是初值问题，可以通过指定初始条件来解微分方程。
例如，如果我们有初始条件`y(0) = 1`，我们可以这样使用`dsolve`函数：cond = y(0) == 1;ySol(t) = dsolve(eqn,cond);这将给出微分方程的解`ySol(t)`，其中包含参数`a`。
如果你想要数值解而不是解析解，你可以使用`ode45`或其他数值求解器。
例如，如果我们有一个带参数的二阶微分方程：syms y(t) a.eqn = diff(y,t,2) == -ay;我们可以使用`ode45`来求解微分方程：tspan = [0 10];y0 = 1;params = 2;[t,y] = ode45(@(t,y) -paramsy, tspan, y0);在这个例子中，`@(t,y) -paramsy`定义了微分方程的右侧。
参数`params`在这里是带参数微分方程中的参数。
总之，在MATLAB中解带参数的微分方程，你可以使用`dsolve`函数来获得解析解，或者使用数值求解器如`ode45`来获得数值解。
希望这些信息对你有所帮助。
第八章matlab解方程
X
[x,f,h]=fsolve(f,x0)返回一元或者多元函 数f在x0附近的一个零点，其中x0为迭代 初值，f返回f在x0的函数值，应该接近0； h返回值如果大于0，说明计算结果可靠， 否则计算结果不可靠。
例 求函数 y x sin(x2 x 1)在（-2，-0.1）内的零点
>>fun=inline(‘x*sin(x^2-x-1)’,’x’) >>fplot(fun,[-2,-0.1]);grid on >>x1=fzero(fun,[-1,-1.2]),x2=fzero(fun,[-1.2,-0.1]) 或x1=fzero(fun,-1.6),x2=fzero(fun,-0.6) 或[x1,f1,h1]=fsolve(fun,-1.6), [x2,f2,h2]=fsolve(fun,-0.6)
例：>> fzero('sin(x)',10)
>> fzero(@sin,10) >> fzero('x^3-3*x+1',1) >> fzero('x^3-3*x+1',[1,2]) >> fzero('x^3-3*x+1',[-2,0]) >> f=inline('x^3-3*x+1'); >> fzero(f,[-2,0]) >> fzero('x^3-3*x+1=0',1)
非线性方程的根
fzero 的另外一种调用方式
fzero(f,[a,b])
求方程 f=0 在 [a,b] 区间内的根。 方程在 [a,b] 内可能有多个根，但 fzero 只给出一个
Matlab中方程求解的基本命令
Matlab中方程求解的基本命令
Hale Waihona Puke 1.roots(p) %求多项式的根,其中p是多项式向量. 例求 x x +x1=0 的根. 解:>>roots([1,-1,1,-1]) 注: [1,-1,1,-1]在matlab中表示多项式
2 2
4.fsolve(fun,x0) %求非线性方程fun=0在估 计值x0附近的近似解. 例:用fsolve求方程 x = ex 在0附近的根. 解:>>fsolve('x-exp(-x)',0)
5.fzero(fun,x0) %求函数fun在x0附近的零点 例:求方程 x 10x + 2 = 0 在x0=0.5附近的根 解:>>fzero('x-10^x+2',0.5)
�
3 2
x3 x2 + x 1
2.solve(fun)
%求方程fun=0的符号解,如果不 能求得精确的符号解,可以计算可变精度的数值解 例:用solve求方程
x 9 + x 8 + 1 = 0 的根.
解:>>solve('x^9+x^8+1') 给出了方程的数值解(32位有效数字的符号量)
3.solve(fun,var) %对指定变量var求代数方 程fun=0的符号解. 例:解方程 ax + bx + c = 0 解:>>syms a b c x; >>f=a*x^2+b*x+c; >>solve(f) 如果不指明变量,系统默认为x,也可指定自变量,比如指定b 为自变量 >>syms a b c x; >> f=a*x^2+b*x+c; >>solve(f,b)
matlab解ex方程
在MATLAB中解线性方程组或非线性方程（如一阶常微分方程或某些类型的一阶偏微分方程）通常可以使用内建的函数或库来完成。
这里是一些例子。
一、解线性方程组：
假设你有一个方程组Ax=b，其中A是系数矩阵，b是右侧的常数向量。
在MATLAB中，你可以使用`inv()`和`solve()`函数来求解这个方程组。
```matlab
% 定义系数矩阵A和右侧常数向量b
A = [1, 2; 3, 4];
b = [5; 6];
% 使用inv()和solve()函数求解
x = solve(A, b);
```
二、解非线性方程：
MATLAB也提供了内置函数来求解非线性方程。
例如，你可以使用`fzero()`函数来求解方程f(x)=0。
这个函数会使用一种名为"Secant"的迭代方法来寻找根。
```matlab
% 定义一个非线性函数，例如f(x) = x^2 - 4
f = @(x) x^2 - 4;
% 使用fzero()函数求解方程
x = fzero(f, [1, 1]); % 这将寻找一个可能的解，但是不一定是最优解
```
请注意，MATLAB中这些函数可能不适用于所有类型的方程。
在某些情况下，你可能需要使用其他方法或库，如数值积分或数值微分等。
如果你需要解决特定类型的方程，请提供更多详细信息，以便我可以提供更具体的帮助。
matlab解积分方程
matlab解积分方程在数学中，积分方程是包含一个未知函数与它的积分之间的关系的方程。
通常，积分方程经常出现在物理、工程、生物和经济学等各个领域的模型中。
解积分方程可以帮助我们获得未知函数的解析解或数值解，从而帮助我们理解问题的本质和性质。
在MATLAB中，有多种方法可用于解积分方程。
下面将介绍一些常用的方法以及MATLAB中相应的函数和工具。
1. 数值解法：MATLAB中的ode45函数可以用来求解常微分方程组。
而对于一阶线性常微分方程，可以使用ode45、ode23或ode15s等函数。
这些函数可以使用不同的数值方法，如龙格-库塔法和刚性方程处理技术，来求解积分方程的数值解。
2. 递推解法：对于一些特殊类型的积分方程，可以使用递推解法。
例如，对于线性常微分方程，可以使用拉普拉斯变换或傅立叶变换将方程转化为代数方程，并使用MATLAB中的符号计算工具箱求解。
对于线性常微分方程组，可以使用矩阵方法求解。
MATLAB中的'\ '运算符可以用于求解线性方程组。
3. 变换方法：某些积分方程可以通过变换方法转化为更简单的形式。
例如，使用拉普拉斯变换、傅立叶变换或Z变换可以将微分方程转化为代数方程，从而更容易求解。
MATLAB中有相应的函数用于计算这些变换。
4. 近似解法：对于高阶积分方程或非线性积分方程，可以使用近似解法求解。
MATLAB中的fminsearch函数和fsolve函数可以用于求解非线性方程组的近似解。
5. 符号计算：在一些特殊情况下，可以使用MATLAB中的符号计算工具箱求解积分方程的解析解。
符号计算工具箱可以对方程进行代数运算和求解。
例如，可以使用syms命令定义符号变量，并使用dsolve命令求解微分方程。
综上所述，MATLAB提供了多种方法和函数用于求解积分方程。
具体选择哪种方法取决于方程的类型和特性，以及求解的精确度要求。
matlab怎么解不等式方程
matlab怎么解不等式方程
在使用MATLAB解不等式方程时，我们可以使用不等式求解器来找到不等式的解集。
不等式求解器可以帮助我们确定满足给定不等式的变量范围。
下面是一个使用MATLAB解决不等式方程的例子，标题为“求解一元不等式方程”。
让我们考虑以下不等式方程：
5x + 2 > 10
要解决这个不等式方程，我们可以使用MATLAB的符号计算工具箱。
首先，我们需要定义变量x为符号变量，使用符号函数来实现：syms x
然后，我们可以将不等式方程写成符号表达式的形式：
expr = 5*x + 2 > 10
接下来，我们可以使用solve函数来解决这个不等式方程。
solve 函数将返回所有满足不等式的变量范围。
在这个例子中，我们只有一个未知数x，所以我们可以将其作为solve函数的输入参数：
sol = solve(expr, x)
我们可以打印出解集的结果：
disp(sol)
这样，我们就可以得到这个不等式方程的解集。
在这个例子中，不等式方程的解集是x > 1.6。
通过MATLAB的不等式求解器，我们可以轻松地解决各种不等式方程。
无论是一元还是多元的不等式方程，MATLAB都提供了强大的工具来帮助我们求解。
通过使用MATLAB解决不等式方程，我们可以更好地理解和分析不等式的解集。
matlab怎么解含未知数方程
matlab怎么解含未知数方程MATLAB是一个强大的计算工具，可以用于解直接方程、非线性方程以及一些其它更为复杂的数学问题。
其中，含未知数的方程是我们在MATLAB中经常会遇到的问题之一。
下面将简单介绍一下MATLAB中如何解含未知数的方程。
MATLAB解含未知数方程的步骤如下：1. 使用syms 命令定义未知数变量。
例如，如果有一个含有未知数x的方程，可以定义x 为未知数变量，通过输入 syms x 得到：```syms x```2. 将方程转化为MATLAB可以处理的形式。
MATLAB支持解一元方程、多元方程等多种形式。
对于一元方程，MATLAB可以直接使用solve 函数进行求解；对于多元方程，需要使用Solve命令中的变量名输入一个向量。
例如，对于方程x^2 + 3x + 2 = 0，可以输入：```solve(x^2 + 3*x + 2 == 0, x)```输出结果为：-1 -23. 如果你的方程不是一元方程，那么你需要用到符号计算工具箱和 sym 命令，以及求解多个未知数的方程。
如下示例：```syms x y[solx, soly] = solve(x + y == 5, x - y == 1)```输出结果为：solx = 3, soly = 24. 如果方程较为复杂，可以考虑使用 MATLAB 符号工具箱，该工具箱提供了一些解析求解方程的函数，包括simplify、factor、expand等函数，可以对方程式进行化简和因式分解操作。
总结：以上就是MATLAB中如何解含未知数方程的基本方法，当然这只是一个简单的介绍，实际解决问题仍然需要根据具体问题的需要进行相应的调整和处理，只有具备一定的MATLAB知识，才能够更好地运用MATLAB解决实际问题。
matlab求解方程的几种方法
牛顿切线法的MATLAB 主程序function[k,xk,yk,piancha,xdpiancha]=newtonqx(x0,tol,ftol,gxmax)x(1)=x0;for i=1: gxmaxx(i+1)=x(i)-fun(x(i))/(dfun(x(i))+eps);piancha=abs(x(i+1)-x(i));xdpiancha= piancha/( abs(x(i+1))+eps); i=i+1;xk=x(i);yk=fun(x(i)); [(i-1) xk yk piancha xdpiancha]if (abs(yk)<ftol)&((piancha<tol)|(xdpiancha< tol))k=i-1; xk=x(i);[(i-1) xk yk piancha xdpiancha]return ;endendif i>gxmaxdisp('请注意：迭代次数超过给定的最大值gxmax 。
')k=i-1; xk=x(i);[(i-1) xk yk piancha xdpiancha]return ;end[(i-1),xk,yk,piancha,xdpiancha]';例 3 用牛顿切线法求方程013223=+-x x 在9.04.00和-=x 的近似根，要求精度310-=ε.解1）先将上面的主程序作为M 文件保存；2）再保存如下的两个M 文件：function y=fun(x)y=2*x^3-3*x^2+1;function y=dfun(x)y=6*x^2-6*x;3)最后在工作窗口输入命令>> [k,xk,yk,piancha,xdpiancha]=newtonqx(-0.4,0.001, 0.001,100) 运行后输出初始值4.00-=x 和9.00=x 的迭代结果分别为：k =3，xk =-0.5000，yk =-7.7025e-007，piancha =3.5825e-004，xdpiancha =7.1650e-004 k =7，xk =0.9993，yk =1.5903e-006，piancha =7.2896e-004，xdpiancha =7.2949e-0041 高斯消元法及其MATLAB 程序f unction [RA,RB,n,X]=gaus(A,b)B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A);RB=rank(B);zhica=RB-RA;if zhica>0,disp('请注意：因为RA~=RB ，所以此方程组无解.')returnendif RA==RBif RA==ndisp('请注意：因为RA=RB=n ，所以此方程组有唯一解.')X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1);for p= 1:n-1for k=p+1:nm= B(k,p)/ B(p,p);B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1);endendb=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n); X(n)=b(n)/A(n,n); for q=n-1:-1:1X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q); endelsedisp('请注意：因为RA=RB<n ，所以此方程组有无穷多解.') endend例1 用高斯消元法和MATLAB 程序求解下面的非齐次线性方程组。
matlab迭代法解方程的程序
文章标题：使用MATLAB迭代法解方程的程序目录1. 什么是迭代法解方程2. MATLAB中迭代法的实现3. 迭代法解方程的优缺点4. 实例分析：使用MATLAB实现迭代法解方程5. 结语1. 什么是迭代法解方程迭代法是一种数值计算方法，用于逼近方程的根或解。
在实际应用中，经常会遇到无法通过代数方法得到准确解的方程，这时候就需要借助数值计算的方法来求得近似解。
迭代法通过不断逼近解的过程，逐步缩小误差，最终得到一个接近精确解的近似值。
2. MATLAB中迭代法的实现MATLAB作为一种强大的数值计算工具，提供了丰富的数值计算函数和工具箱，其中包括了多种迭代法的实现。
在MATLAB中，常用的迭代法有牛顿法、雅各比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。
这些迭代法都可以通过调用MATLAB内置函数或自行编写程序实现。
在编写迭代法程序时，需要注意选择合适的迭代停止条件、初始化的迭代值、迭代步数等参数。
3. 迭代法解方程的优缺点迭代法解方程具有以下优点：1) 适用范围广：迭代法可以解决各种类型的方程，包括线性方程组、非线性方程、微分方程等；2) 可以得到近似解：即使方程无法通过代数方法求解，迭代法也可以得到一个接近精确解的近似值；3) 数值稳定性：在一定条件下，迭代法能够保证解的稳定性和收敛性。
但迭代法也存在一些缺点：1) 收敛速度慢：一些迭代法可能需要较多的迭代次数才能得到满意的解；2) 初始值敏感：迭代法对初始值的选取比较敏感，选取不当可能导致迭代发散或者收敛到错误的解；3) 复杂度高：一些迭代法的实现比较复杂，需要具备较高的数值计算和编程能力。
4. 实例分析：使用MATLAB实现迭代法解方程接下来，我们将以求解非线性方程x^2-3x+2=0为例，使用MATLAB实现迭代法来求得方程的根。
我们选择使用简单而经典的二分法来进行迭代计算。
```MATLABfunction result = iteration_method()f = @(x) x^2 - 3*x + 2;a = 0;b = 2;tol = 1e-6;if f(a)*f(b) > 0error('The function has the same sign at the endpoints.'); endwhile (b - a) > tolc = (a + b) / 2;if f(c) == 0break;elseif f(a)*f(c) < 0b = c;elsea = c;endresult = c;endend```上述代码中，我们通过定义函数f(x)为方程的表达式，并选择区间[a, b]为[0, 2]作为初始迭代区间。
matlab 解参数方程组
matlab 解参数方程组
在MATLAB中解参数方程组可以通过符号计算工具箱来实现。
首先，我们需要定义参数方程组，然后使用符号计算工具箱中的函数来求解。
以下是一个简单的示例：
假设我们有以下参数方程组：
x = at.
y = bt^2。
其中a和b为参数，t为自变量。
首先，我们需要定义符号变量和参数：
syms t a b.
然后，我们可以定义参数方程组：
eq1 = x == at;
eq2 = y == bt^2;
接下来，我们可以使用solve函数来解参数方程组：
sol = solve([eq1, eq2], [t, a, b]);
最后，我们可以输出解的结果：
sol.t.
sol.a.
sol.b.
这样就可以得到参数方程组的解。
当然，实际情况可能更加复杂，但是这个例子可以帮助你理解如何在MATLAB中解参数方程组。
希望这个回答能够帮助到你。
matlab解字母方程
matlab解字母方程
MATLAB是一种强大的数学软件，可以用它解决各种数学问题，包括解字母方程。
解字母方程的步骤通常是先将方程化简，然后运用代
数知识进行变形，最终得出所求字母的值。
例如，我们考虑解方程“3x+4y=15”，其中x和y为未知量。
首先，我们将方程变形为“y=(15-3x)/4”，然后运用MATLAB中的符号
计算工具，对方程进行求解。
具体步骤如下：
1. 定义符号变量x和y：syms x y
2. 将方程化简为“y = (15-3x)/4”：eqn = 3*x + 4*y == 15; y = solve(eqn, y);
3. 将解得的y表达式代入原方程中，得到x的表达式：x =
solve(subs(eqn, y, y), x);
4. 计算x和y的值：x = double(x); y = double(y);
5. 输出结果：fprintf('x = %f, y = %f\n', x, y);
这样，我们就得到了方程的解：x = 1.000000, y = 3.000000。
除此之外，MATLAB还提供了许多其他的数学函数和工具箱，可以用于解决各种数学问题。
同时，MATLAB也支持编写自己的函数和脚本，方便用户进行自定义计算。
matlab解指数方程
matlab解指数方程一、引言指数方程是高中数学中重要的一类方程，其解法有多种。
本文将介绍如何使用Matlab解指数方程。
二、指数方程的定义指数方程是形如a^x=b的等式，其中a为底数，x为未知数，b为常数。
三、手动解法1. 当底数相同时，可将等式两边取对数得到ln(a^x)=ln(b)，再利用对数的性质化简得到x=ln(b)/ln(a)。
2. 当底数不同时，可将等式两边取对数得到ln(a)/ln(b)*a^x=1，再利用换元法令y=ln(a)/ln(b)*a^x，则原方程化为y=1，即可求得x。
四、Matlab解法1. 使用log函数Matlab中log函数默认以e为底数计算自然对数。
因此可以直接使用log函数求解指数方程。
代码如下：syms x a b;eqn = a^x == b;sol = solve(eqn, x);sol = simplify(sol);disp(sol);其中syms用于定义符号变量，eqn表示原方程，solve函数用于求解方程，并返回所有符合条件的解。
最后使用simplify函数化简结果，并输出结果。
2. 使用log10函数如果需要以10为底进行计算，则可以使用log10函数。
代码如下：syms x a b;eqn = a^x == b;sol = solve(eqn, x);sol = simplify(sol);disp(subs(sol, log(a), log10(a)));其中subs函数用于将log(a)替换为log10(a)，从而得到以10为底的解。
五、示例下面给出一个实际的指数方程求解示例。
假设需要求解3^x=5的解。
则可以使用以下代码：syms x;eqn = 3^x == 5;sol = solve(eqn, x);sol = simplify(sol);disp(sol);运行结果为：(log(5))/(log(3))即x=log(5)/log(3)≈1.46497。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例7-9 求下列非线性方程组在(0.5,0.5) 附近的数值解。 (1) 建立函数文件myfun.m。 function q=myfun(p) x=p(1); y=p(2); q(1)=x-0.6*sin(x)-0.3*cos(y); q(2)=y-0.6*cos(x)+0.3*sin(y); (2) 在给定的初值x0=0.5,y0=0.5下，调用fsolve函数求方程 的根。 x=fsolve('myfun',[0.5,0.5]',optimset('Display','off')) x= 0.6354 0.3734
第7章 MATLAB解方程与函数极值 7.1 线性方程组求解 7.2 非线性方程数值求解 7.3 常微分方程初值问题的数值解法 7.4 函数极值
7.1 线性方程组求解 7.1.1 直接解法 1．利用左除运算符的直接解法 对于线性方程组Ax=b，可以利用左除运算符“\”求解： x=A\b
例7-1 用直接解法求解下列线性方程组。 命令如下： A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4]; b=[13,-9,6,0]'; x=A\b
(3) Cholesky分解 如果矩阵X是对称正定的，则Cholesky分解将矩阵X分解成 一个下三角矩阵和上三角矩阵的乘积。设上三角矩阵为R， 则下三角矩阵为其转置，即X=R'R。MATLAB函数 chol(X)用于对矩阵X进行Cholesky分解，其调用格式为： R=chol(X)：产生一个上三角阵R，使R'R=X。若X为非对称 正定，则输出一个出错信息。 [R,p]=chol(X)：这个命令格式将不输出出错信息。当X为对 称正定的，则p=0，R与上述格式得到的结果相同；否则p 为一个正整数。如果X为满秩矩阵，则R为一个阶数为 q=p-1的上三角阵，且满足R'R=X(1:q,1:q)。 实现Cholesky分解后，线性方程组Ax=b变成R‘Rx=b，所以 x=R\(R’\b)。
例7-6 用Gauss-Serdel迭代法求解下列线性方程组。设迭代 初值为0，迭代精度为10-6。 在命令中调用函数文件gauseidel.m，命令如下： A=[10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10]; b=[9,7,6]'; [x,n]=gauseidel(A,b,[0,0,0]',1.0e-6)
7.1.2 迭代解法 迭代解法非常适合求解大型系数矩阵的方程组。在数值分析 中，迭代解法主要包括 Jacobi迭代法、Gauss-Serdel迭代 法、超松弛迭代法和两步迭代法。 1．Jacobi迭代法 对于线性方程组Ax=b，如果A为非奇异方阵，即 aii≠0(i=1,2,…,n)，则可将A分解为A=D-L-U，其中D为对 角阵，其元素为A的对角元素，L与U为A的下三角阵和上 三角阵，于是Ax=b化为： x=D-1(L+U)x+D-1b 与之对应的迭代公式为： x(k+1)=D-1(L+U)x(k)+D-1b 这就是Jacobi迭代公式。如果序列{x(k+1)}收敛于x，则x必 是方程Ax=b的解。
例7-2 用LU分解求解例7-1中的线性方程组。 命令如下： A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4]; b=[13,-9,6,0]'; [L,U]=lu(A); x=U\(L\b) 或采用LU分解的第2种格式，命令如下： [L,U ,P]=lu(A); x=U\(L\P*b)
例7-11 求解著名的Van der Pol方程。 例7-12 有Lorenz模型的状态方程，试绘制系统相平面图。
7.4 函数极值 MATLAB提供了基于单纯形算法求解函数极值的函数 fmin和fmins，• 们分别用于单变量函数和多变量函数的 它 最小值，其调用格式为： x=fmin('fname',x1,x2) x=fmins('fname',x0) 这两个函数的调用格式相似。其中fmin函数用于求单变量函 数的最小值点。fname是被最小化的目标函数名，x1和x2 限定自变量的取值范围。fmins函数用于求多变量函数的 最小值点，x0是求解的初始值向量。
Jacobi迭代法的MATLAB函数文件Jacobi.m如下： function [y,n]=jacobi(A,b,x0,eps) if nargin==3 eps=1.0e-6; elseif nargin<3 error return end D=diag(diag(A)); %求A的对角矩阵 L=-tril(A,-1); %求A的下三角阵 U=-triu(A,1); %求A的上三角阵 B=D\(L+U); f=D\b; y=B*x0+f; n=1; %迭代次数 while norm(y-x0)>=eps x0=y; y=B*x0+f; n=n+1; end
例7-7 分别用Jacobi迭代和Gauss-Serdel迭代法求解下列线性 方程组，看是否收敛。 命令如下： a=[1,2,-2;1,1,1;2,2,1]; b=[9;7;6]; [x,n]=jacobi(a,b,[0;0;0]) [x,n]=gauseidel(a,b,[0;0;0])
7.2 非线性方程数值求解 7.2.1 单变量非线性方程求解 在MATLAB中提供了一个fzero函数，可以用来求 单变量非线性方程的根。该函数的调用格式为： z=fzero('fname',x0,tol,trace) 其中fname是待求根的函数文件名，x0为搜索的起 点。一个函数可能有多个根，但fzero函数只给出 离x0最近的那个根。tol控制结果的相对精度，缺 省时取tol=eps，trace• 定迭代信息是否在运算中 指 显示，为1时显示，为0时不显示，缺省时取 trace=0。
将求得的解代回原方程，可以检验结果是否正确，命令如下： q=myfun(x) q= 1.0e-009 * 0.2375 0.2957 可见得到了较高精度的结果。
7.3 常微分方程初值问题的数值解法 7.3.1 龙格－库塔法简介 7.3.2 龙格－库塔法的实现 基于龙格－库塔法，MATLAB提供了求常微分方程数值 解的函数，一般调用格式为： [t,y]=ode23('fname',tspan,y0) [t,y]=ode45('fname',tspan,y0) 其中fname是定义f(t,y)的函数文件名，该函数文件必须返回 一个列向量。tspan形式为[t0,tf],表示求解区间。y0是初始 状态列向量。t和y分别给出时间向量和相应的状态向量。
例7-5 用Jacobi迭代法求解下列线性方程组。设迭代初值为0， 迭代精度为10-6。 在命令中调用函数文件Jacobi.m，命令如下： A=[10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10]; b=[9,7,6]'; [x,n]=jacobi(A,b,[0,0,0]',1.0e-6)
2．Gauss-Serdel迭代法 在Jacobi迭代过程中，计算时，已经得到，不必再用，即原 来的迭代公式Dx(k+1)=(L+U)x(k)+b可以改进为 Dx(k+1)=Lx(k+1)+Ux(k)+b，于是得到： x(k+1)=(D-L)-1Ux(k)+(D-L)-1b 该式即为Gauss-Serdel迭代公式。和Jacobi迭代相比， Gauss-Serdel迭代用新分量代替旧分量，精度会高些。
Gauss-Serdel迭代法的MATLAB函数文件gauseidel.m如下： function [y,n]=gauseidel(A,b,x0,eps) if nargin==3 eps=1.0e-6; elseif nargin<3 error return end D=diag(diag(A)); %求A的对角矩阵 L=-tril(A,-1); %求A的下三角阵 U=-triu(A,1); %求A的上三角阵 G=(D-L)\U; f=(D-L)\b; y=G*x0+f; n=1; %迭代次数 while norm(y-x0)>=eps x0=y; y=G*x0+f; n=n+1; end
(2) QR分解 对矩阵X进行QR分解，就是把X分解为一个正交矩阵Q和一 个上三角矩阵R的乘积形式。QR分解只能对方阵进行。 MATLAB的函数qr可用于对矩阵进行QR分解，其调用格 式为： [Q,R]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R， 使之满足X=QR。 [Q,R,E]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q、一个上三角矩阵 R以及一个置换矩阵E，使之满足XE=QR。 实现QR分解后，线性方程组Ax=b的解x=R\(Q\b)或 x=E(R\(Q\b))。
例7-4 用Cholesky分解求解例7-1中的线性方程组。 命令如下： A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4]; b=[13,-9,6,0]'; R=chol(A) ??? Error using ==> chol Matrix must be positive definite 命令执行时，出现错误信息，说明A为非正定矩阵。
2．利用矩阵的分解求解线性方程组 矩阵分解是指根据一定的原理用某种算法将一ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ矩阵分解成 若干个矩阵的乘积。常见的矩阵分解有LU分解、QR分解、 Cholesky分解，以及Schur分解、Hessenberg分解、奇异 分解等。
(1) LU分解 矩阵的LU分解就是将一个矩阵表示为一个交换下三角矩阵 和一个上三角矩阵的乘积形式。线性代数中已经证明，只 要方阵A是非奇异的，LU分解总是可以进行的。 MATLAB提供的lu函数用于对矩阵进行LU分解，其调用格 式为： [L,U]=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个变换形式的下三角 阵L(行交换)，使之满足X=LU。注意，这里的矩阵X必须 是方阵。 [L,U,P]=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个下三角阵L以及 一个置换矩阵P，使之满足PX=LU。当然矩阵X同样必须 是方阵。 实现LU分解后，线性方程组Ax=b的解x=U\(L\b)或 x=U\(L\Pb)，这样可以大大提高运算速度。