第四章符号运算
北师大版七年级上册第四章角体现的数学核心素养
北师大版七年级上册第四章角体现的数学核心素养
在第四章中，角是数学学习中非常重要的概念，它体现了学生的以下数学核心素养：
•空间感觉：通过学习角的概念，学生可以培养对于空间的敏感和感知能力。
•几何思维：角的研究需要学生进行几何思维的发展，培养学生逻辑推理和问题解决的能力。
•符号运算：在角的研究中，学生需要进行符号运算，培养学生的代数思维和运算能力。
•数学语言：在学习角的过程中，学生需要运用准确的数学语言来描述角度的大小和性质。
这一章的学习对于学生培养几何直观、数学逻辑和符号计算能力都有着重要的意义，是数学学习中的重要一环。
第四章数词(思维导图+知识梳理+好题精炼)2022-2023初中英语中考语法归纳
第四章数词思维导图知识梳理一、数词的定义表示数字、数目和顺序的词叫做数词.二、数词的分类数词分为基数词和序数词.基数词表示数量,序数词表示顺序.(一)基数词的表示法1~12 13~19 20~90 100~1,000,000,000One thirteen twenty 百a/one hundredTwo fourteen thirty 千one thousandThree Gfteen forty 万ten thousandFour sixteen fifty 十万one hundred thousand Five seventeen sixty 百万one millionSix eighteen seventy 千万ten millionSeven nineteen eighty 亿one hundred millionEight －ninety 十亿one billion(美)nine －－－ten －－－eleven －－－twelve －－－one 1 two 2 three 3 four 4 five 5 six 6seven 7 eight 8 nine 9 ten 10 eleven 11 twelve 122.从13~19,其中多数是在基数词后加-teen,但应特别注意13,15和18的拼法thirteen 13 fourteen 14 fifteen 15 sixteen 16seventeen 17 eighteen 18 nineteen 193.20~90各整十位数的基数词由2~9加后缀-ty构成twenty 20 thirty 30 forty 40 fifty 50sixty 60 seventy 70 eighty 80 ninety 90注意:twenty, thirty, forty, fifty, eighty的拼写变化.4.21~29的基数词由十位数20加个位数1~9构成,十位数和个位数之间要加连字符号“－”twenty-one 21 twenty-two 22 twenty-three 23 twenty-four 24twenty-five 25 twenty-six 26 twenty-seven 27 twenty-eight 28twenty-nine 29其他的十位数依此类推.thirty-nine 39 forty-eight 48 fifty-seven 57 sixty-six 66seventy-five 75 eighty-four 84 ninety-three 935.101~999的基数词的表达方式为:1~9之间任一基数词＋hundre＋hundred+and+(整十位数＋连字符”－”)＋个位数three hundred and fifty-six 356 six hundred and eight 6086.同汉语一样,英语“百”位数以上的单位是“千”,但“千”位数以上的单位是“百万”.英语中没有“万”这个词,是用“十千”来表示,而“十万”在英语中用“百千”来表示hundred 百thousand 千ten thousand 万one/a hundred thousand 十万million 百万one/a billion(a/one thousand million)十亿点拨hundred, thousand, million, billion表示具体数字时,没有复数形式.如有,则表示不定数目(常与of连用).如:hundreds(thousands, millions) of dollars 成百(成千,成百万)美元thousands and thousands of people 成千上万的人millions of reasons 许许多多的理由第1~第12 第13~第19 第20~第99 1st first 13th thirteenth 20th twentieth2nd second 14th fourteenth 30th thirtieth3rd third 15th fifteenth 40th fortieth4th fourth 16th sixteenth 50th fiftieth5th fifth 17th seventeenth 60th sixtieth6th sixth 18th eighteenth 70th seventieth7th seventh 19th nineteenth 80th eightieth8th eighth －－90th ninetieth9th ninth －－21st Twenty-first 10th tenth －－32nd Thirty-second 11th eleventh －43rd Forty-third 12th twelfth －－54th Fifty-fourth 第100以上第101~第909100th hundredth 101st hundred and first1000th thousandth 202nd two hundred and second 1,000,000th millionth 909th nine hundred and ninth在这些序数词中,fifth, eighth, ninth, twelfth的拼法与基数词有区别2.第20至第90是将基数词词尾y变成i,再加－eth构成,－ieth读／iə0/3.hundred,thousand,million的序数词均在其后加－th构成,即hundredth, thousandth, millionth4.几十几及以上的序数词,其中十位数或百位数、千位数等用基数词,只有个位数才用序数词第21-twenty-first(21st)第99-ninety-ninth(99th)第101-hundred and first(101st)第274-two hundred and seventy-fourth(274th)第1805-one thousand eight hundred and fifth(1805th)三、数词的句法功能数词在句子中有着和形容词或不定代词相类似的功能.因此,数词可作主语、宾语、表语、定语和同位语.(一)作主语The first is yours.第一个是你的.How many of you are making the trip? There are four of us.你们有多少人去旅行?我们有4人.(二)作宾语He was among the first to arrive.他是首批到达的人之一.Give me two.给我两个.(三)作表语Six times six is thirty-six.6乘6等于36.Marx was already fifty when he began to study Russian.马克思开始学俄语时已经50岁了.(四)作定语Now, let's come to the second picture.现在让我们看第二幅图画.There are five different time zones in the United States.在美国有五个不同的时区.(五)作同位语We will have a speech contest on Monday, the 28th of May.我们将于5月28日星期一举行演讲比赛.Is there room for us two?有我们两个人的位置吗?四、分数、小数、百分数和倍数(一)分数分数是由基数词和序数词合成的.分子用基数词,分母用序数词.分子是1时,分母(序数词)用单数形式;分子大于1时,分母用复数形式,序数词加－s,当分数前面带有整数时,要用连词and连接1/3 one/a third 2/3two-thirds 4/5four-fifths点拨1/2通常不读作one second,而用a/one half表示数学中可以都用基数词读,如1/2读作one over two,2/3读作two over three,3/4读作three over four.(二)小数小数的读法是:小数点(point)前的基数词与前面所讲的基数词读法完全相同,小数点后则须将数字一一读出0.25 zero point two five 1.34one point three four“0”的读法有:zero, nought(美),o/əu/.(三)百分数百分数中的百分号“％”读作percent,无复数形式5% five percent 0.8% zero point eight percent100% one hundred percent 45% forty-five percent(四)倍数英语用twice/double表示两倍,两倍以上用基数词加times表示.This room is three times as large as that one.这个房间有那个房间三倍大.He is double my age.他的年龄是我的两倍.五、时间表示法(一)表示“几点钟”用基数词加o'clock,但o'clock常可省略.前面用介词at表示“在几点钟”We get up at six (at six o'clock).我们6点起床.(二)表示“几点过几分”用past,但分钟数须在半小时以内(包括半小时在内)7:05 five past seven7:15 fifteen (a quarter) past seven7:30 half past seven(三)表示“几点差几分”,用介词to,但分钟数须在半小时以上(不包括半小时在内)7:57 three to eight11:46 fourteen to twelve2:40 twenty to three(四)几刻钟一刻钟－a quarter三刻钟－three quarters9点一刻－a quarter past nine.六、星期表示法星期开头第一个字母须大写.表示“在星期几”,用介词on.如:on Sunday.(后附其缩写式)星期日Sunday Sun. 星期一Monday Mon.星期二Tuesday Tues. 星期三Wednesday Wed.星期四Thursday Thurs. 星期五Friday Fri.星期六Saturday Sat.七、月份、日期表示法(一)月份名称月份开头第一个字母须大写.(后附其缩写式;其中,五月无缩写式)一月January Jan. 二月February Feb.三月March Mar. 四月April Apr.五月May 六月June Jun.七月July Jul. 八月August Aug.九月September Sep./Sept. 十月October Oct.十一月November Nov. 十二月December Dec.点拨表示“在某月”用介词in.如:in October在十月.(二)某年某月某日表示某年某月某日,常在年份前加上逗号.表示月、日时既可先写“月”再写“日”,也可先写“日”再写“月”.日期中的“几号”可用基数词,也可用序数词.介词应用on.On 17(th) May,20202020年5月17日On May 17(th),2020年和月连用时,应把月写在前面,年写在后面,中间可以用逗号分开,也可以不用.August 2019 December,2019月和日连用时,可用两种方法来表示.如5月4日可写成May 4(读作May the fourth)或4th May(读作the fourth of May).八、世纪、年代表示法20世纪(in) the 20th century30年代(in) the thirties2020年(in) 2020(twenty twenty)20世纪90年代(in) the 1990s或1990's(nineteen nineties)九、温度计刻度读法用基数词表示:degree表示“度”;centigrade表示“百分度的,摄氏”;minus表示“负的”;point表示“小数点”.－3℃读作:minus three degrees centigrade(或three below zero)－18℃读作:minus eighteen degrees centigrade(或eighteen below zero)20℃读作:twenty degrees centigrade25.3℃读作:twenty-five point three degrees centigrade十、四则运算表示法(一)运算符号＋读作:plus/and －读作:minus/from/take awayx读作:times/multiplied by ÷读作:over/divided by＝读作:equal(s)/is equal to,或is/are,或makes/make(二)算式的读法3+6=9 Three plus six is nine. 5+5=? How much is five plus five?10-5=5 Ten minus five is five. 4x2=8 Four times two is eight.20÷4=5 Twenty divided by four is five. 25-5=? How much is twenty-five minus five?(三)编号表示法编号可用序数词或基数词表示,序数词位于名词之前,并加定冠词;基数词位于名词之后.即“the+序数词＋名词”或“名词＋基数词(首字母常大写)”.第五页:the fifth page或Page 5第二课:the second lesson或Lesson Two(四)年龄表示法1.一般情况下多用“基数词＋year(s)+old”表示年龄,也可以直接用基数词表示年龄.I'm 18 years old when I start to live on my own.我开始独立生活时18岁.He is a student,15,from Anhui.他是一个学生,15岁,来自安徽.2.表示一个人具体的岁数时,可以用“at the age of+基数词＂“at the+基数词”或“at+基数词”He started to learn piano at the age of seven.他在7岁的时候开始学习钢琴.3.“in one's+整十基数词的复数形式”可表示“在某人几十岁时”He went to London in his twenties.他在二十多岁时去了伦敦.(五)hundred, thousand, million等词的用法1.表示确切数目时,用基数词加hundred, thousand, million等The volunteers sent two hundred books to a mountain village school on Children's Day.在儿童节那天,志愿者向一所山村学校寄了两百本书.2.表示不确切的数目时,hundred, thousand, million等后加s且与of连用Do you know that the Earth is home to millions of animals?你知道地球是数百万动物的家园吗?好题精练一、用英语表示下列基数词1.52.83.124.525.766.1087.1,0038.1,5629.13,427 10.3,872,658答案：1.five2.eight3.twelve4.fifty-two5.seventy-six6.one hundred and eight7.one thousand and three 8.one thousand, five hundred and sixty-two9.thirteen thousand, four hundred and twenty-seven10.three million, eight hundred and seventy-two thousand, six hundred and fifty-eight二、写出相应的序数词1.two2.four3.thirteen4.fifteen5.eighteen6.twenty7.twenty five8.fifty four9.hundred 10.two hundred and two 答案：1.second2.fourth3.thirteenth4.fifteenth5.eighteenth6.twentieth7.twenty-fifth8.ffty-fourth9.hundredth 10.two hundred and second三、用英文写出下列词组1.一个半小时2.6点12分3.差5分12点4.第10课5.1949年10月1日6.在1952年7.在3月8日8.15路公共汽车9.第25页答案：1.an hour and a half2.twelve past six3.fve(minutes) to twelve4.Lesson Ten5.October the first,nineteen forty-nine6.in nineteen fifty-two7.on March the eighth8.Bus Number Fifteen/No. 15 bus9.Page Twenty-fine四、完成下列句子1.There are_________ days in a week.2.“M”is the_________ letter in the word “autumn”.3. _________ (第100位)student is the tallest.4.September is_________ month of the year.5.He studies at_________ (第35中学)．答案：1.seven2.fifth3.The hundredth4.the ninth5.No.35 High School。
第四章-§1-对数的概念-§2-对数的概念高中数学必修第一册北师大版
例1-4 ［教材改编P106 A组T2］［多选题］(2024·湖南省长沙市期末)下列说法中正
确的是(
AB
)
A.lg lg 10 = 0
B.lg ln e = 0
C.若10 = lg ,则 = 10
【解析】∵ lg 10 = 1,
∴ lg lg 10 = lg 1 = 0,A正确；
∵ ln e = 1,∴ lg ln e = lg 1 = 0,B正确；
∴
4
4
3
4
= 81,即3 = 34 ,
= 4,即 = 16,故log 4 3 81 = 16.
（3）log
2+ 3
2− 3 .
【解析】设 = log
故log
2+ 3
2+ 3
2 − 3 = log
2 − 3 = −1.
2+ 3
2+ 3
−1
,∴ = −1,
例1-3 (2024·山东省聊城一中月考)对数式log
1
⋅
1
log + log −
=
方法2 当 = 1时，左边=右边= 0.
当 ≠ 1时，左边
=
lg
lg +
+
综上，log
lg
lg −
+
=
lg ⋅lg[ + − ]
lg + ⋅lg −
+ log
−
= 2log
=2
lg
⋅
lg +
例15 设,,是直角三角形的三边长，其中为斜边，且 + ≠ 1, − ≠ 1，求证:
7年级上册数学第四章《代数式1》讲义
第四章《代数式》讲义考点一：代数式的有关概念：（1）代数式：代数式是由运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“<(≤)”“>(≥)”“=”“≠”等符号的不是代数式。
② 书写代数式时，a ×b 通常写作ab ；1÷a 通常写作a1；数字通常写在字母的前面，带分数要先化成 假分数；数字与数字相乘仍用“×”号。
③ 当实际问题中含有单位时，若运算结果是和的形式时，则要把整个的代数式括起来再写单位。
（2）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果p 叫做代数式的值．求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．（3）用代数式表达简单的数量关系：1、应特别注意数学语言中的关键词语。
2、要分清代数式中数量关系的运算层次和顺序，必要时要正确地添加括号。
3、有多种运算关系时，一般按“先读先写”的原则进行列式。
4、分清代数式、等式和不等式。
【典型例题】类型一：若正方形的边长为a ，则4a 表示的实际意义为类型二： ① 甲，乙两地相距15km ，小刚骑自行车从甲地用了t h ，那么他骑车的速度是每小时 千米。
② 某村去年梨的产量是a kg ，今年比去年增产30%，那么今年梨的产量是 千克。
类型三：如图所示，搭一个正方形需要4根火柴棒，按图中方式： ...... n=1 n=2 n=31、搭2个正方形需要 根火柴棒；2、搭3个正方形需要 根火柴棒；3、搭100个正方形需要 根火柴棒；4、若用n 表示所搭正方形的个数，则搭n 个正方形需要 根火柴棒；5、用2011根火柴棒能搭 个正方形 类型四：下列各式中哪些是代数式，哪些不是代数式2x －1 a ＝1 π a 0.5 S ＝πr 0.5>0.3类型五：当的值。
时，求代数式，)23)(32(43n m n m n m +-=-=【课堂练习题】1、某校学生总数是m 人，其中男生占52％，则女生人数为 。
第四章 运算符与表达式
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4.1 运算符
例子： “A”>“B” 结果为“false” “ab”>“ac” 结果为“false” “ab”>“abc” 结果为“false” “ab”<“人” 结果为“true” “ab”>“AB” 结果为“true” “123”>“99” 结果为“false” “123”=“123” 结果为“true” “你们”>“我们” 结果为“true”
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4.2 表达式
运算过程中的溢出错误： 当为数值型变量赋一个超出其表示范围的值 时会出现“溢出错误”。同样，在表达式的 运算过程中，当运算的中间结果超出变量的 表示范围时，也会导致“溢出错误”。 例子： dim int1 as integer, int2 as integer, sng1 as single int1=20000: int2=20000 sng1=int1+int2 ′溢出错误。
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4.2 表达式
1、表达式的求解顺序 在表达式中，先计算优先级高的运算符，再 计算优先级低的运算符。优先级相同时，从 左向右计算。 使用圆括号，可以改变计算顺序，先计算括 号内的 例子： a = 2 + 3 – 3 + 4 b=2–3*3+4/5
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4.2 表达式
2、运算符的优先级 当表达式中运算符不止一种时，优先级如下： 算术运算符 > 比较运算符 > 逻辑运算符 所有比较运算符的优先级都相同，要按它们 出现的顺序从左到右进行计算。 字符连接运算符“&”的优先级位于算术和比 较运算符之间。 算术运算符 > & > 比较运算符 > 逻辑运算符
F or F
F xor T F eqv F T imp F
第四章 符号数学基础1
syms x y f=x/y+y/x;
[n,d]=numden(f)
符号数学基础
6.嵌套
将符号多项式s用嵌套形式表示，即用多层括号的形式 表示。Horner函数可以实现此功能。该函数的格式为：
horner(s) 【例15】将表达式x^3-6*x^2+11*x-6用嵌套形式表示。 syms x horner(x^3-6*x^2+11*x-6) ans = -6+(11+(-6+x)*x)*x
factor(sym('12345678901234567890'))
符号数学基础
2.符号表达式的展开
expand函数的功能为：展开符号表达式 调用格式为：expand(S) 【例12】展开表达式f=(x+1)^5和 f=sin(x+y)。 syms x y f=(x+1)^5;
expand(f)
符号数学基础
例如，数学表达式 f=xn g=sin(at+b) 根据数学式中表示自变量的习惯，默认a,b,c为 符号常数，x为符号变量。 若在MATLAB中表示上述表达式，首先用 syms 函数定义a，b，n，t，x为符号对象。在进 行导数运算时，由于没有指定符号变量，则系统 采用数学习惯来确定表达式中的自变量，默认 a,b,c为符号常数，x，t为符号变量。 即 ： 对函数f求导为：df/dx 对函数g求导为：dg/dt
collect：合并同类项
factor：因式分解
conbert：完成表达式形式的转换
符号数学基础
5.符号表达式的分式通分
也可称为提取分子和分母运算 如果符号表达式是一个有理分式或可以展开为 有理分式，可利用numden函数来提取符号表达 式中的分子或分母。其一般调用格式为： [n,d]=numden(s) 该函数提取符号表达式s的分子和分母，分别将 它们存放在n与d中。
汇编语言学习第4章
不同而不同。
（名字项，常称为标号） 标号是程序设计人员自己定义的表示符号，用来表示本语句的符号地址
（即该指令的偏移地址，也就是该单元与其所处段基址的偏移量）是可有
可无的，只有当需要用符号地址来访问该语句时才需要。 2.operation（操作符）
操作符项可以是指令、伪操作或宏指令的助记符。对于指令，作用是指出
1.等价语句EQU
等价语句的一般使用格式如下： SYMBOL EQU EXPRESSION
作用是用左边的符号名代表右边的表达式。
注意：等价语句不会给符号名分配存储空间，符号名不能与其它符号同名， 也不能被重新定义。
（1）用符号名代表常量或表达式
例4.14 （2）用符号名代表字符串 例4.15 （3）用符号名代表关键字或指令助记符 例4.16
例4.21
2.定义字变量的伪指令为DW
一个变量占一个字空间
例4.22：WORD1 DW DW 89H, 1909H, -1 0ABCDH, ?, 0
上面的定义语句经汇编后所产生出的内存单元分配情况如下：
… 89 00 09 19 FF FF CD AB --00 00 …
例4.23
3.双字变量定义伪指令DD 每个双字变量占用二个连续的字单元(四个字节)。
功能和作用，而不应该只写出指令的动作。
4.2运算符号
4.2.1算术运算符
算术运算符有：+、-、*、/和MOD。 其中： +、-、*、/就是我们算术中常用的加、减、乘、除。 MOD算符是模运算。指除法运算后得到的余数。 例如：5 MOD 2为1。 注意：算术运算符可以用于数字表达式或地址表达式中，但当它用于地址 表达式时，只有当其结果有明确的物理意义时才是有效的。 例如：将两个地址相乘或相除是无意义的。地址可以做加减运算，但也必 须注意物理意义。例如把两个不同段的地址相加减也是无意义的。 例4.1 例4.2
符号计算
第四章符号计算1、选择题1）运行命令a=sym('pi','d')，则对于变量a的描述 A 是正确的。
A. A是符号变量B.a显示为10位的数值C. a显示为32位的数值D. A不存在2）运行下列命令，则变量a的类型是 A 。
Syms aa=sin(2)A. symB. doubleC. charD. int3）运行下列命令，则 D 是正确的描述。
Syms a b c aA=[a b;c d]A. A占用的内存小于100BB. 创建了5个符号变量C. A占用的内存是a、b、c、d之和D. A不存在4）运行下列命令后变量C的值是 A 。
A=sym([5 5;6 6]);B=sym([1 2;3 4]);C=A.*B[5,10] [5 10] [5*1,5*2]A.[18,24]B. [18 24]C. [6*3,6*4]D. 出错5）运行命令“a=double(sym('sin(pi/2)'))”，则变量a是 C 。
A. 符号变量B. 字符串'1'C. Double型1D. 出错6）符号表达式g=sym('sin(a*z)+cos(w*v)')中的自由变量是 C 。
A. a B. z C. w D. v7）将符号表达式化简为嵌套形式，使用 D 函数。
A.collectB.expandC. factorD. hornor8）积分表达式20cos()x dtdxπ⎰⎰的实现使用下面的 B 命令。
A. int(int(cos(x)),0,pi/2)B. int(int(cos(x),'t'),0,pi/2)C. int(int(cos(x)),'t',0,pi/2)D. int(int(cos(x),'t',0,pi/2))9）运行命令y=dsovle('x*D2y-3Dy=x^2','t')求解微分方程，则 B 。
Matlab教学第四章 MATLAB符号运算(Symbolic)
>> y=dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)','x') >> syms x; diff(y)+2*x*y - x*exp(-x^2)
f2=2*(u+2)
ans=14 ans=2*((a+2)+2) f3=2*x+2*y ans=6
符号矩阵
使用 sym 函数直接生成 >> A=sym('[1+x, sin(x); 5, exp(x)]') 将数值矩阵转化成符号矩阵 >> B=[2/3, sqrt(2); 5.2, log(3)]; >> C=sym(B) 符号矩阵中元素的引用和修改 >> A=sym('[1+x, sin(x); 5, exp(x)]'); >> A(1,2) % 引用 >> A(2,2)=sym('cos(x)') % 重新赋值
符号对象的基本运算
基本函数
三角函数与反三角函数、指数函数、对数函数等
sin、cos、tan、cot、sec、csc、… asin、acos、atan、acot、asec、 acsc、…
exp、log、log2、log10、sqrt abs、conj、real、imag
rank、det、inv、eig、lu、qr、svd
How 中记录的为简化过程中使用的方法。
f
2*cos(x)^2sin(x)^2
(x+1)*x*(x-1)
R
HOW
3*cos(x)^2-1 simplify
x^3-x combine(tri g)
数学运算符号表
符号
名称
含义
+
加号
表示加法运算
-
减号
表法运算
/
除号
表示除法运算
%
取模运算符
表示取余数运算
^
乘方运算符
表示幂运算
√
根号
表示开方运算
∑
求和符号
表示求和运算
∏
求积符号
表示求积运算
∫
积分符号
表示积分运算
∂
偏导数符号
表示偏导数运算
Δ
差分符号
表示差分运算
∇
梯度符号
表示梯度运算
⊥
垂直符号
表示两个向量垂直
≤
小于等于符号
表示小于等于关系
≥
大于等于符号
表示大于等于关系
=
等号
表示相等关系
≠
不等号
表示不相等关系
∈
属于符号
表示元素属于集合
⊆
子集符号
表示一个集合是另一个集合的子集
∪
并集符号
表示两个集合的并集
∩
交集符号
表示两个集合的交集
∅
空集符号
表示空集
∀
全称量词
表示对于所有元素都成立
∃
存在量词
表示存在至少一个元素使得成立
这只是一部分常见的数学运算符号，数学中还有很多其他的符号和运算。对于每个具体的符号，需要根据上下文和相关的数学知识来确定其准确的意义和用法。
4.1整式 (课件)人教版(2024)数学七年级上册
综合应用创新
解题通法 先由整式的次数条件判断出相关字母的值，
然后再将字母的值代入相关整式计算即可.
综合应用创新
解：因为多项式－8x2ym＋2－xy3＋x 是关于x，y 的七 次多项式， 所以2＋m＋2=7，易得m=3. 因为关于x，y 的单项式6x2nym＋2 与该多项式的次数 相同， 所以2n＋m＋2=2n＋3＋2=7，易得n=1. 所以(n－m)3= (1－3)3=(－2)3=－8.
综合素养训练
1.[中考·海南]下列整式中，是二次单项式的是( B )
A. x2＋1
B. xy
C. x2y
综合应用创新
解题秘方：A＋B 的次数由A 和B 中次数最高的项决 定，项数最高为A 和B 的项数和.
综合应用创新
解：① A 在第3 行，表示A 中最高次数是3 次，B 在 第4 行，表示B 中最高次数是4 次， 所以A＋B 中最高次数为4 次. 所以A＋B 必在第4 行，故①正确；
综合应用创新
例 7 用整式填空，并指出它们的次数，是多项式的指出各 项，是单项式的指出系数. 解题秘方：根据数量关系式或几何公式建立整式，再 判断是单项式还是多项式.
综合应用创新
(1)真实情境题 体育赛事2024 年4 月21 日，安阳马拉松赛 燃情开跑，为防止选手个人信息泄露，马拉松参赛选手 随身穿戴的计时芯片会把选手参赛号码利用公式加密后 上传，某选手参赛号码为1626，如果加密公式为选手参 赛号码乘以n 再加6，则利用公式加密后上传的数据为 _1_6_2_6_n_＋__6_. 次数为1，项分别是1626n，6
第四章运算符重载
2、对于任意一元运算符α：
(1)成员函数重载运算符
定义
type x::operator α( )
{…}
显式调用
objX.operator α( )
隐式调用
αobjX 或：ojbXα
(2)友元函数重载运算符
定义
type operator α(Xobj)
{…}
显式调用
operatorα(obj X)
隐式调用
友元函数重载运算符时，需要明确给出参数，不会出错。 3、不能用友元函数重载的运算符：
= 、 ( )、［］、- > 4、注意： (1)对THIS所指向的数据的任何改变都会影响到激活运算数函数的对象。 (2)可使用引用参数(指针)来解决重载时的二义性。
4.1.5 重载++和--
一、关于++和- 1、C中的++和- -的两种形式： 前缀：++i； 后缀：i--； 2、在C++中的约定 (显式地区分前缀和后缀) (1)对于前缀方式++i:
例4-1 1、重载“+”、“=”、“++”；读懂几个成员函数； 2、成员函数重载运算符，激活运算符的对象都是由THIS指针隐含传递的。
4.1.4 用友元函数重载运算符
1、成员函数重载可能造成的麻烦：成员函数重载的运算符不具有交换性。 原因：成员函数仅能被一个“实际对象”所调用，如果引起成员函数
调用的是一个值(非一个对象)，成员函数将不能正确工作。 2、可用友元函数解决这一问题：
5、除“=”以外，重载的运算符可以被任何派生类所继承， “=”需要每个类明确定义自己的解释；
6、 重载可能让程序的可读性下降，在使用时应模仿运算符的 习惯用法 。
人教七年级数学上册第四章 去括号
注：(1)要注意括号前面的符号，它是去括号后括号内各项是 否变号的依据；
(2)去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉； (3)括号前是“－”时，括号内的各项均要改变符号； (4)括号前有数字因数时，要将数与括号内的各项分别相乘； (5)遇到多层括号时，一般由里到外，逐层去括号； (6)去括号只是改变式子的形式，不改变式子的值．
4.2 整式的加法与减法
第2课时 去括号
1. 通过类比带括号的有理数的运算，得出去括号时的符号 变化规律，归纳去括号法则，培养学生观察、分析和归 纳的能力．
2．通过具体题目，锻炼学生应用去括号法则化简整式，培 养学生的运算能力．
3．经历运用运算律探究去括号法则，并利用法则化简整式 的过程，培养学生的类比思想和数学建模素养．
旧知回顾 请同学们计算： (1)12×16－23；
(2)12×14＋13.
(1)原式＝－6.
(2)原式＝7
你是依据什么完成计算的？ 乘法分配律
活动导入
同学们，你们知道用火柴棒接连搭正方形时，怎么计算所需要的火柴 棒的根数吗？ 请同学们拿出准备好的火柴棒，自己搭一下，并计算搭x个正方形需 要多少根火柴棒. 老师这里有三种做法，他们的做法都正确吗？你能证明吗？
谁能最快得出这五个同学所报数的和呢？
1. 你能类比数的运算，利用乘法分配律计算＋(a－3)和－(a－3)吗？
(1)＋(a－3) ＝(＋1)(a－3)＝(＋1)×a＋(＋1)×(－3)＝a＋
(－3)＝a－3)(a－3)＝(－1)×a＋(－1)×(－3)＝－a＋3
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号 与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后 原括号内各项的符号与原来的符号相反
第四章 MATLAB符号计算
Ezpolar函数实现极坐标中二维曲 线图象的绘制,它的调用格式:
ezpolar(f,[a,b])
说明: 绘图表达式为rho=f(theta)极坐标曲线,
theta的取值范围为,缺省时为[0,2*pi]
例:p83
4.5.2三维绘图函数
ezplot3是实现三维绘图的函数,它的 调用格式:
ezplot3(x,y,z,[tmin,tmax]) ezplot3(x,y,z,[tmin,tmax ],'animate')
3.符号表达式的提取分子和分母运算
在matlab中可利用numden函数来提取符号表达式 中的分子或分母。其一般调用格式为:
[n,d]=numden(s)
说明:
参数s是符号表达式是一个 有理分式或可以展开为有理
例: s=sym('2/5+3/7')
n= 29
分式,numden函数把有理分 式的分子返回给n,分母返回
dsolve在求常微分方程组时 的调用格式为:
dsolve('eq1,eq2,...','cond1,cond2...','v')
说明: 该函数求解常微分方程组eq1,…,eqn在初值条件或边界 条件为cond1,…,condn下的符号特解，若不给出初值 条件，则求方程组的通解，v为指定的返回值中的变量 表示。
例4-9解超越方程组
sin(x+y)-y*exp(x)=0 x^2-y=2
syms x y
[x,y]=solve('sin(x+y)-y*exp(x)=0','x^2-y=2')
x =-.66870120500236202933135901833637
计算机组成原理课件第四章计算机中的算术运算
结果：
[X*Y]补=0.10001111
Ø
被乘数的符号Ｘ０和乘数的符号Ｙ０ 都参加运算。
Ø 乘数寄存器Ｒ１有附加位Ｙｎ＋１， 其初始状态为“０”。当乘数和部分积每次 右移时，部分积最低为移至Ｒ１的首位位臵， 故Ｒ１必须是具有右移功能的寄存器。 Ø 被乘数寄存器Ｒ２的每一位用原码或 反码经多路开关传送到加法器对应位的一个 输入端，而开关的控制信号由ＹｎＹｎ＋１的 输出译码器产生。当ＹｎＹｎ＋１＝0１时， 送［Ｘ］补；当ＹｎＹｎ＋１＝１０时，送 ［－Ｘ］补，即送Ｒ２的反码且在加法器最 末位加上“１”。 Ø Ｒ０保存部分积，它也是具有右移功 能的移位寄存器，其符号位与加法器符号位 始终一致。 当计数器ｉ＝ｎ＋１时，封锁ＬＤＲ１和Ｌ ＤＲ０控制信号，使最后一步不移位。
Yi-1yi 00
00 01 01
Cj 0
1 0 1
操作 部分积加0，右移两位
部分积加|x|，右移两位 部分积加|x| ，右移两位 部分积加2|x| ，右移两位
[X]补=1. 1 0 0 + [Y]补=1. 0 1 1
1 10. 1 1 1
丢到
两负数相加，结果应为负数，但运 算结果为正数，表明有溢出发生
例: X＝100 ，Y＝-11０，求 X-Y＝？ 解:
[X]补=0 1 0 0 + [-Y]补=0 1 1 0
1 01 0 一个正数减去一个负数，结果为正数，但计算 结果为负数，表明有溢出发生，出错
采用双符号位的判断方法
每个操作数的补码符号用两个二进制数表示，称为 变形补码，用“00”表示正数，“11”表示负数，左边第 一位叫第一符号位，右边第一位称为第二符号位，两个 符号位同时参加运算，如果运算结果两符号位相同，则 没有溢出发生。如果运算结果两符号位不同，则表明产 生了溢出。“10”表示负溢出，说明运算结果为负数， “01”表示正溢出，说明运算结果为正数。
新浙教版七年级上册数学第四章《代数式》知识点及典型例题
新浙教版七年级上册数学第四章?代数式?知识点及典型例题意义：能把数和数量关系一般化地、简明地表示出来用字母表示数代数式举例如用“a+b=b+a〞表示加法的交换律就非常地简洁明了概念：由数、表示数的字母和运算符号组成的数学表达式称为代数式，这里的运算是指加、减、乘、除、乘方和开方。
特别规定：单独一个数或者一个字母也称为代数式意义：代数式可以简明地、具有普遍意义地表示实际问题中的量列代数式：特别注意找规律这种类型的题目直接代入法代数式的值整体代入法定义：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式。
特别规定：单独一个数或一个字母也叫单项式代数式单项式系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的的次数整式多项式定义：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项多项式多项式的次数：次数最高的项的次数就是这个多项式的次数常数项：不含字母的项叫做常数项多项式的命名：几次几项式同类项：多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项合并同类项：把多项式中的同类项合并为一项的过程叫做合并同类项合并同类项合并同类项的法那么：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变去括号法那么：括号前面是“+〞号，把括号和它前面的“+〞号去掉，括号里各项都不变；括号前是“—〞，把括号和它前面的“—〞号去掉，括号里各项都改变符号整式的加减整式加减的步骤：先去括号，再合并同类项关于整式加减的简单应用：如求图形的面积等单项式整式关于代数式分类的拓展代数式有理式多项式分式无理式(被开方数含有字母)1考点一、关于代数式的书写是否正确的问题 考点二、关于去括号的问题考点三、关于代数式中考概念的题目考点四、关于代数式求值的问题，主要有先化简再直接代入、整体代入、稍作变形后再代入〔把整式的加减也归入这一类〕 考点五、用代数式表示实际生活中的问题考点六、用代数式表示图形的长度及面积问题 考点七、用代数式求关于规律性的题目将考点与相应习题联系起来考点一、关于代数式的书写是否正确的问题 1、以下代数式书写标准的是〔 〕A ．51ab2B ．ab ÷cC ．a-cD ．m ·32b2、以下代数式书写标准的是〔〕A ．a ÷3B ．8×aC ．5aD ．21a2考点二、关于去括号的问题1、以下运算正确的选项是〔〕A ．-3(x-1)=-3x-1B ．-3(x-1)=-3x+1C ．-3(x-1)=-3x-3D ．-3(x-1)=-3x+32、以下去括号中错误的选项是〔〕221 221 A ．2x-(x-3y)=2x-x+3y B ．x+(3y -2xy)=3322-2xy+3yC ．a 2-4(-a+1)=a 2-4a-4D ．-(b-2a)-(-a 2+b 2)=-b+2a+a 2-b 2 3、以下去括号，错误的有〔 〕个①x 2+(2x-1)=x 2+2x-1，②a 2-(2a-1)=a2-2a-1，③m-2(n-1)=m-2n-2 ，④a-2(b-c)=a-2b+cA.0B.1C.2D.34、去括号：-[-(1-a)-〔1-b 〕]=考点三、关于代数式中与概念有直接关系的题目1、单项式中-2πa 2b 的系数和次数分别是〔〕7A ．-2，4B ．2，4C ．-2π，3D ．2π，37 7 772.以下代数式中，不是整式的是〔 〕12 121A.a+a+1B.a+C.m+3 2b1 xD.+y220063．以下说法正确的选项是〔〕A.x 2-3x 的项是x 2，3xB.ab是单项式C. 1324、假设m ，n 为自然数，那么多项式 x m -y n -2m+n 的次数是〔，πa ，a 2+1都是整式D.3a 2bc-2是二次二项式〕A.mB.nC.m+nD.m ，n 中较大的数 5、以下各项式子中，是同类项的有〔〕组①-2xy33，③0与1 2 222与-3x 2与5yx ，②-2abc 与5xyz36，④xy 与xy ，⑤-2mn与mn ，⑥3xA.2B.3C.4D.526、假设A 和B 都是三次多项式，那么A+B 一定是〔 〕A.六次多项式B.次数不高于三次的多项式或单项式C.三次多项式D.次数不低于三次的多项式或单项式 0 或27、-6a 9b 4和5a 4m b n 是同类项，那么代数式12m+n-10的值为8、多项式 2b- 1 ab 2-5ab-1中次数最高的项是，这个多项式是次项式2m-543n-222的和是单项式，那么 m9、假设2a b 与mab n=考点四、关于代数式求值的问题，主要有先化简再直接代入、整体代入、稍作变形后再代入〔把 整式的加减也归入这一类〕1、假设代数式x 2+3x-3 的值为9，那么代数式3x 2+9x-2 的值为〔 〕A 、0B 、24C 、34D 、441 2、a-b=2，a-c=2 A 、－3B 、32229 的值为〔〕，那么代数式(b-c)+3(b-c)+4、9C、0D73、假设a+b=3，ab=-2，那么〔4a-5b-3ab 〕-(3a-6b+ab)= 22224、a-ab=15，b-ab=10，那么代数式 3a-3b 的值为-1a-3(2a-22323 12，其中a=-2a)-6(2a+a)-136、先化简，再求值221ab-5a 22 21，b=-1〔1〕3a-5b+-b- 1ab+4a，其中a=1222 2〔2〕5(x-y)32 321-3(x-y) +7(x-y)-5(x-y) +(x-7) -5(x-y)，其中x-y=37、有这样一道题：计算 〔2x 3-3x 2y-2xy 2〕-〔x 3-2xy 2+y 3〕+〔-x 3+3x 2y-y 3〕的值，其中x=1，y=-1，小明把x=12 2错抄成x=-1，但他的计算结果也是正确的，请你帮他找出原因。
【人教A版】数学必修一第四章 4.1.1n次方根与分数指数幂
A.2 2
√7 B. 8
7
C.－ 8
7
解析 因为 7 为奇数，8 的 7 次方根只有一个 8.
7
D.± 8
4
(2)若
2x＋5有意义，则
x
的取值范围是__－__52_，__＋__∞____；
5
若 2x＋5有意义，则 x 的取值范围是____R____.
二、利用根式的性质化简或求值
例2 化简：
4
(1) 3－π4；
第四章 4.1 指 数
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.理解n次方根、n次根式的概念. 2.能正确运用根式运算性质化简、求值. 3.学会根式与分数指数幂之间的相互转化.
知识点一 n次方根、n次根式
1.a的n次方根的定义 一般地，如果 xn＝a ，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2.a的n次方根的表示
一、n次方根的概念
例1 (1)若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝_7_或__－__1_1_.
解析 81的平方根为－9或9， 即a＝－9或9， －8的立方根为－2，即b＝－2， ∴a＋b＝－11或7.
4
(2)若 x－2有意义，求实数 x 的取值范围.
4
解 ∵ x－2有意义，
∴x－2≥0， ∴x≥2， 即x的取值范围是[2，＋∞).
4
解 3－π4＝|3－π|＝π－3.
(2) a－b2(a>b)；
解 ∵a>b，∴ a－b2＝|a－b|＝a－b.
3
(3)( a－1)2＋ 1－a2＋ 1－a3.
解 由题意知a－1≥0，即a≥1. 原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
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2020年2月21日
化简后
功能
g=-6+x^3-
将f按照“符
6*x^2+11*x
号变量”的
g =t^2+(-1-x)*t+x 同次幂合并
g=-6+x^36*x^2+11*x
展开成多项 式和的形式
g=cos(x)*cos(y)+si
n(x)*sin(y)
g=-6+(11+(6+x)*x)*x
例： >> syms x y >> f2=cos(x)^2+sin(x)^2; >> g2=simplify(f2) g2 = 1
2020年2月21日
第25页
练习：
对符号表达式 f cosx sin2 x ，分别使用 collect、expand和simplify函数化简，并与simple 函数的结果比较。
subs(s,old,new) %用new替换符号表达式s中的old 例如：
>> f1=subs(f,'x-y','S')
2020年2月21日
第27页
4.3.4 计算反函数和复合函数
1. 反函数 函数f(x)存在一个反函数g(.)，g(f(x))=x，则g和f互 为反函数 g=finverse(f,v) %对f(v)按指定自变量v求反函数 例4-15： >> syms x y >> f=5*sin(x)+y; >> g=finverse(f) %对默认自由变量求反函数 >> g1=finverse(f,'y') %对y求反函数
%按默认精度计算并显示
q=
1.4142135623730950488016887242097
（2）获得数值型对象
n=double(s)
%将符号对象s转换为双精度数值对象n
2020年2月21日
第18页
（3）不同类型对象转换关系
数值型
double sym
vpa double
有理数型
vpa
2020年2月21日
MATLAB 2015b对应的是Symbolic Math Toolbox 5.4，默认的符号运算引擎就由 Mupad代替了原来的Maple引擎。
符号工具箱能够实现微积分运算、线性代 数、表达式的化简、求解代数方程和微分方 程、不同精度转换和积分变换，符号计算的 结果可以以图形化显示，MATLAB的符号运 算功能十分完整和方便。
%创建符号表达式
f2 =
y^2+y+1
>> f3=sym('sin(z)^2+cos(z)^2=1') %创建符号方程
f3 =
sin(z)^2+cos(z)^2=1
2020年2月21日
第12页
4.1.4 符号矩阵
符号矩阵的元素是符号对象，符号矩阵可 以用sym和syms函数来创建。
>> A=sym('[a,b;c,d]')
3. class函数
s=class(x)
%返回对象x的数据类型
2020年2月21日
第9页
例： >> a=sym(2) %定义数值符号常量 a= 2 >> a1=sym(a) %定义符号变量 a1 = 2 >> b=sym(b) ??? Undefined function or variable 'b'.
2020年2月21日
第28页
2. 复合函数
MATLAB R2010a提供了compose函数可以求出f(x)和g(y) 的复合函数f(g(y))。
>> whos
2020年2月21日
第11页
4.1.3 符号表达式
符号表达式是由符号常量和符号变量等构成的表 达式，使用sym和syms函数来创建。
例4-3 分别使用sym和syms函数创建符号表达式。
>> syms a b c x
>> f1=a*x^2+b*x+c
f1 =
a*x^2+b*x+c
>> f2=sym('y^2+y+1')
例，>> x=sym('x');
2020年2月21日
第8页
2. syms函数
syms(s1,s2,s3,…,参数)
或 syms s1,s2,s3,…,参数%创建多个符号变量
syms与sym的关系是：syms(s1,s2,s3,…,参数)等同 于s1=sym('s1',参数)，s2=sym('s2',参数)……
答案： f=sym('cos(x)+sqrt(-sin(x)^2)') collect(f) expand(f) simple(f) simplify(f)
2020年2月21日
第26页
4.3.3 符号表达式的替换
1. subexpr函数 subexpr函数用来替换符号表达式中重复出现的子 表达式，通过替换子表达式来化简。 2. subs函数 subs函数用来对符号表达式中某个特定符号进行 替换，命令格式如下：
化简成嵌套 的形式
g=(-t+1)*x+(t-1)*t
g=(2)^3*(3)*(5) 进 行 因 式 分
g =(x-1)*(x-2)*(x- 解
3)
32
给出排版形
x - 6 x + 11 x - 6 式 的 输 出 结
果
第24页
6. simplify函数 simplify函数是一个功能强大的函数，利用各种形 式的代数恒等式对符号表达式进行化简，包括求和 、分解、积分、幂、三角、指数、对数、Bessel以及 超越函数等方法来简化表达式。
6. 矩阵代数命令
符号运算中的矩阵代数命令有diag，triu， tril，inv，det，rank，poly，expm，eig和svd 等，它们的用法几乎与数值计算中的情况完 全一样
2020年2月21日
第15页
例4-5：
>> A=sym('[a,b;c,d]'); >> B=sym('[1 2;3 4]'); >> C=A+B C= [ a+1, b+2] [ c+3, d+4]
2020年2月21日
第16页
4.2.2 任意精度的算术运算
1. 符号工具箱的算术运算方式 （1）数值型 运算速度最快，占用内存最少，但结果不精确。
（2）有PA型 任意精度运算，这种运算比较灵活，可以设置任 意有效精度。
例如：sym(‘1/2+1/3’)
（3）“′”，“.′”
2. 关系运算
只有运算符“= =”、“~=”分别对符号对象进行“ 相等”、“不等”的比较。
3. 三角函数、双曲函数和相应的反函数
三角函数包括sin、cos和tan，双曲函数包括sinh
、cosh和tanh
2020年2月21日
第114页
4. 指数和对数函数
5. 复数函数
复数的共轭conj、求实部real、求虚部imag 和求模abs函数与数值计算中的使用方法相同 。没有提供求相角的命令。
A=
[ a, b]
[ c, d]
>> b=[1 2 ;3 4 ] >> B=sym(b) ％sym用来将数值 转换为符号
2020年2月21日
第13页
4.2 符号对象的运算 4.2.1 符号对象的基本运算
1. 算术运算
（1）“＋”，“－”，“*”，“\”，“/”，“^”
（2）“.*”，“./”，“.\”，“.^”
>> b=sym(‘b’) %定义字符串符号常量 b= b
2020年2月21日
第10页
4.1.2 符号常量和符号变量
符号常量是不含变量的符号表达式，用sym 函数来创建；符号变量使用sym和syms函数来 创建。
例4-1 创建符号常量和符号变量。
>> a=sin(2) >> a1=sym(sin(2)) %用数值创建符号常量 >> a2=sym(sin(2),'f')%用十六进制浮点表示 >> a3=sym(sin(2),'e')%用估计误差的有理表示
2020年2月21日
第5页
例如： 计算 a*x^2+b*x+c的根 计算f=sin(ax)+cos(x)的微分
计算 f 2 a r 2 sin 2 drd 00
2020年2月21日
第6页
符号运算的特点：
（1）符号运算以推理解析的方式进行，计 算的结果不受计算累积误差影响；
（2）符号计算可以得出完全正确的封闭解 和任意精度的数值解；
2020年2月21日
第3页
教学内容
4.1 符号对象的创建和使用 4.2 符号对象的运算 4.3 符号表达式的变换 4.4 符号微积分、极限和级数 4.5 符号积分变换 4.6 符号方程的求解 4.7 符号函数的可视化 4.8 综合举例
2020年2月21日
第4页
符号运算的对象是非数值的符号对象，对 于像公式推导和因式分解等抽象的运算都可 以通过符号运算来解决。
exp(-a*result)
2020年2月21日
答案：w y x result