计算机原理 第四章 运算方法与运算器

4.1 运算方法及其实现
判断“溢出”的两种检测方法： (1)变形码操作检测方法。 变形码操作检测方法是对每个操作数在运算时 都采用两个符号位，正数用 00 表示，负数用 1l 表示， 两个符号位与码值位一起参加运算。 可以证明：若运算结果的两个符号位的代码不 一致时表示溢出；两个符号位的代码一致时，表示 没有溢出。 【举例】:0.1010+0.1101。 -0.1011+(-0.1100)
4.1 运算方法及其实现
4.1 运算方法及其实现
【 例 】x=0.1101,y=0.1011, 求=? 部分积z 乘数y 说明 00.0000 y 1011 z0=0 +00.1101 y4=1,+x 00.1101 >00.0110 1y 101 右移得z1 +00.1101 y3=1,+x 01.0011 >00.1001 11y 10 右移得z2 部分积z 乘数y 说明 +00.0000 y2=0,+0 00.1001 >00.0100 111y 1 右移得z3 +00.1101 y1=1,+x 01.0001 >00.1000 1111y 右移得z4
4.1 运算方法及其实现
运算器的核心是运算方法及其实现，在计算机 中的基本运算有算术运算和逻辑运算。算术运算主 要是加、减、乘、除四则运算；由于计算机中的数 有定点和浮点两种表示方法，所以运算方法也分为 定点数的四则运算和浮点数的四则运算（简称定点 运算和浮点运算）。 逻辑运算包括逻辑加、逻辑乘、按位加等。 在计算机中加工处理的数据和文字等也要化成 最基本的运算方法实现。
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4.1.2 定点乘法运算及其实现[重点]
运算器的基本功能只能完成数码传送、加法和 移位，并不能直接完成两数的乘除法运算等。但在 计算机处理实际问题时，乘除法是基本运算之一。 学习如何实现乘除法运算的方法非常重要。目前的 计算机一般对乘除法运算的实现分为三种情况： ①采用软件实现乘除法运算。一般采用基本运 算指令来编制乘、除法运算的子程序的方法。这种 方法在早期的小型机、微型机么采用的比较多。
4.1 运算方法及其实现
4.1 运算方法及其实现
其中寄存器A存放加数，B存放被加数的,A、B寄 存器均为移位寄存器。实现时，将 A 、 B 寄存器的两 数右移，并把移出的位送至全加器中，第一次是把 最低位送至全加器，经过相加后得到“和”与“进 位”。其中“和”送到移位寄存器A中的最高位保存 ( 因为寄存器中的数右移，最高位“空” ) 。而进位 则寄存在一个触发器中，该进位将参加下一位的全 加过程。如此按位由低向高顺序进行。串行相加使 用的设备最少，但是速度很慢，目前计算机中很少 采用。
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4.1.1 定点加减法运算及其实现
在计算机中“数据的表示形式为机器数 （即用带符号的数来表示正数和负数），主 要有原码、补码和反码三种编码形式表示。 现代计算机运算器一般都采用补码加法 运算。重点介绍补码的加减法运算（采用定 点纯小数的形式）。
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1. 补码加法运算 两个数进行补码加法运算可以把符号位与数位 同等处理，只要结果不超出机器的表示范围，运算 后取模，即可得到结果。其补码的运算规则为：任 意两个数的补码之和等于该两数和的补码的。 【举例】: 0.1001+0.0011 0.1010+(-0.0101) -0.1001+(-0.0101)
4.1 运算方法及其实现
4.1 运算方法及其实现
如图所示：高位相加必须在低位相加完 成之后才能进行，即必须在低位的进位形成 之后才能得到正确的输入。电子线路实现过 程中是有延时的，每一位全加器的输入到输 出之间都有一段时间延迟，如果一位全加器 延迟 10ns ，四位全加器的相加过程实际上是 串行进行，当最高位形成“和”与“进位” 时就约需40ns。当位数n比较大的时，这种加 法就很费时间。
4.1 运算方运算的两数的每一位同时进行相加运算的 方式就是并行相加。其主要部件是一个并行加法器。 如果数的二进制位数是n位，则并行加法器由n个一 位全加器(FA)组成。图为字长n=4的并行加法器。图 中加法器的进位是低位的输出连接到高位的进位输 人，而相加两数的同一位 Ai 、 Bi 送到相应位的全加 器的输入端，相加时低位所产生的进位逐位传送到 高位中，这种进位的方法称为行波进位。
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4. 定点加减法的实现 计算机中所进行的算术四则运算主要是 以加法运算为基础。实现两个数的加减法运 算必须要有一个加法器，配合必要的门龟路 和控制方式。考虑电路的延迟时间，才能完 成加减法的运算。 计算机的运算结构有多种，但基本上有 两类：串行相加和并行相加。 相加运算最基本电路是全加器。
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4.1.3 定点除法运算及其实现
除法运算的方法有很多种，本节只介绍 原码除法（原码一位除法）运算的方法。 用原码实现定点除法很方便，商的符号 由两数的符号按位相加求得，商的数值部分 由两数的数值部分相除求得。
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原码一位除法： 商的符号：运算与原码乘法一样，用模2求和得 到。商的数值部分的运算：由于定点数的绝对值小 于1，如果被除数大于或等于除数，则商就大于或等 于1，因而会产生溢出，是不允许的。因此在执行除 法以前，先要判别是否有溢出，不溢出时才执行除 法运算，否则不进行，该功能由程序进行处理。判 别溢出的方法是被除数减去除数，若差为正，即最 高位有进位输出表示溢出。 （手工实现方法说明。）
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【例】假设被乘数为X=0.1101，乘数为Y=0.1011，习 惯方法求其乘积，其过程如下： 0.1101(X) × 0.1011(Y) 1101 1101 0000 ＋ 1101 ＋0.10001111
流程图中 i 为计数 器。在此算法中，每次 相加的只有两个数：部 分积 Zi 和位积 x ，位积 实际上就是被乘数x （或0)，而且每次只对 n 位数进行相加，不需 要2n位的加法器，显然 两个 n 位数相乘，需要 重复进行 n 次“加”及 “右移”操作 , 才能得 到最后乘积。这是实现 原码一位乘法的规则。
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重复②③步，当计数器 i=n 时，计数器 i 的溢 出信号使控制触发器R端低电平，控制触发器 Cx置“0”，关闭时序脉冲T(“与门1”关闭) 。乘法操作结束。 把寄存器R0和R1连接起来，乘法结束时乘积的 高n位部分在R0，低n位部分在R1。原来的乘数 y因为右移而全部丢失，乘积为2n+1位，其中 包括1位符号位。
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一位全加 器 (FA) 有 两 个 操作数的对应 位 Ai 、 Bi 和一个 低位进位Ci作为 输入，进行相 加运算，产生 一个“和”Si输 出，以及该位 “进位” Ci+1 输 出。
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(1)两数串行相加的方式：
串行相加的操作方法是从最低位开始， 逐位进行相加。在－个脉冲时钟的作用下， 每次只完成一位数的运算。将其“和”及进 位记下后，再进行第二位的相加操作。
计算机原理
第四章 运算方法及运算器
第四章 运算方法及运算器
运算器是计算机加工与处理数据的功能 部件。它主要由算术逻辑单元（ALU）、累加 器（ AC ）、各种通用寄存器和若干控制门电 路组成。 运算器根据不同的运算方法，可实现算 术运算和逻辑运算。本章主要讨论： 算术和逻辑运算的具体算法及其实现； 运算器结构及其工作原理。
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溢出有正溢出和负之分：[重要] 当两个符号代码为01，表示正溢出 当两个符号代码为10，表示负溢出 当使用两个符号位表示时，最高符号位 将正确表示结果的符号。
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(2)单符号位操作检测方法
单符号位操作检测方法是当操作数中的 加数与被加数符号相同时，若运算结果的符 号与操作数的符号不一致，表示溢出。否则， 表示没有溢出。而当加数和被加数符号不同 时，相加运算的结果是绝对不会溢出的。 【举例】:0.1001+0.1110 0.0011+0.0100
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2. 补码减法运算 补码的减法运算是将其化为补码的加法 运算来做的一种方法，它利用了补码的性质， 使得减法运算和常规的加法运算使用同一加 法器电路，从而简化了计算机的硬件设计。 【举例】: 0.1101-0.0110 -0.1101-(-0.0101)
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4.1 运算方法及其实现
上图中左边表示单符号位操作检测逻辑。从前面 分析可知，当最高有效位产生进位而符号位无进位 时，产生正溢出；当最高有效位无进位而符号位有 进位时，产生负溢出。故溢出逻辑表达式为： V= Cn Cn-1 其中： Cn 为符号位， Cn-1 为最高有效位产生的进 位，V为溢出状态。此逻辑表达式可用异或门实现。 当 Cn=Cn-1 时，运算无溢出；而当 Cn≠Cn-1 时，运算有 溢出，经异或门产生溢出信号。
4.1 运算方法及其实现
原码一位乘法： 采用原码方式作乘法运算比较方便，因为，当 两数相乘时．乘积的符号就是两数符号的按位加（ 按位加就是不要进位的加法，记作 。有 1 1 ＝ 0) 之和，其数值部分则为两数绝对值之积。所以，原 码的乘法实质上就是两正数相乘的方法。 乘积符号的运算法则是同号相乘为正，异号相 乘为负。由于被乘数和乘数的符号组合只有四种情 况 (Xfyf=00,01,10,11) ，因此积的符号可按异或 ( 按 位加）运算得到。 数值部分的运算法则：与十进制小数乘法类似。
4.1 运算方法及其实现
②在原有运算器基础上增加一些硬件设备来实 现乘、除法运算的操作。 ③设置专用的乘、除法器，使运算处理设备专 用化，目的是加快运算速度。一般适用于大、中型 计算机。 采用硬件支持的乘除法运算方式速度快，但并 不是所有的计算机都必须配置硬件方式，但是所有 的计算机都能做乘除法运算。以下主要讨论原码 （原码一位乘法）形式下，在计算机上实现乘法运 算的基本算法及基本硬件配置。 注：还有补码一位乘法(Booth算法)等方法。