2020年湖南省长沙市一中高三第五次月考(文)
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2020年湖南省长沙市一中高三第五次月考
数学试题(文科)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.函数2
2log (1)y x =-的定义域为( )
A .{|1x x >或1}x <-
B .{|11}x x -<<
C .{|1}x x >
D .{|11}x x -≤≤
2.已知m ,n 是两条不同直线,α、β、r 是三个不同平面,下列命题中正确的是( )
A .若//m α,//n α,则//m n
B .若r α⊥,r β⊥,则//αβ
C .若//m α,//m β,则//αβ
D .若m α⊥,n α⊥,则//m n
3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且35715a a a ++=,则9S =( ) A .18
B .3
C .45
D .60
4.函数sin(2)6
y x π
=+的对称轴可能是( )
A .12x π
=-
B .512
x π
=
C .43x π=
D .6
x π=
5.已知ABC ∆是等腰三角形,90C ∠=o
,4AB =,则AB BC ⋅u u u r u u u r 等于( )
A .-8
B
.- C .8
D
.6.设点(,)P x y 满足不等式组1100x y x y y +≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
,则10z x y =+-的最大值和最小值分别
为( )
A .-9,-11
B
.--9
C
.-
,- D
.,-11
7.若奇函数()f x 在区间(0,)+∞上是减函数,且(1)0f -=,则不等式()
0f x x
>的解集为( )
A .(,1)(1,)-∞-+∞U
B .(,1)(0,1)-∞-U
C .(1,0)(1,)-+∞U
D .(1,0)(0,1)-U
8.已知ABC ∆中满足||2AB AC AB AC ⋅=-=u u u r u u u r u u u r u u u r
,则ABC ∆面积的最大值是( )
A .22
B .2
C .3
D .1
二、填空题(每小题5分,共35分)
9.在ABC ∆中,,,A B C ∠∠∠所对边长分别为,,a b c ,若2sin b a B =,则A ∠大小为 。
10.已知函数()2x
f x a =-的图象经过原点,则不等式3
()4
f x >
的解集为 。 11.(3,4)a =r (5,10)b =r
,则与a r 方向相同的单位向量是 ,b r 在a r 上投影是 .
12.如图,三棱柱EFD HIG -底EFD 是正三角形,侧棱HE 垂直于底面EFD ,将此三棱柱截去三个角,(如图1所示A 、B 、C 分别是GHI ∆三边的中点)得到几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为 。
13.{}n a 是公比为实数q 的等比数列,若457,a a a +,6a 成等差数列,则q 等于 . 14.已知区域{(,)||2||2|2,,}M x y x y x y R =-+-≤∈,则区域M 内的点到坐标原点的距离不超过2的概率是 .
15.若函数()y f x =x D ∈同时满足下列条件:(1)在D 内为单调函数;(2)[,]
a b ∃使[,]x a b ∈时,()f x 的值域为[,]a b ,则称此函数为D 内可等射函数,若3()ln x a a f x a
+-=
为可等射函数,则实数a 的取值范围为 。
三、解答题:
16.(本题满分12分)已知()cos()tan sin 3
f x x x π
α=+-,且3
()6f π=
。 (1)求tan α的值; (2)当[0,
]2
x π
∈时,求函数()f x 的值域。
17.(本题满分共12分)某流感病研究中心对温差与甲型H 1N 1病毒感染数之间的相关关系进行研究,他们每天将实验室放入数量相同的甲型H 1N 1病毒和100头猪,然后分别记录了4月1日至4月5日每天昼夜温差与实验室里100头猪的感染数,得到如下资料:
日期 4月1日 4月2日 4月3日 4月4日 4月5日
温差 10 13 11 12 7 感染数
23
32
24
29
17
(1)求这5天的平均感染数;
(2)从4月1日至4月5日中任取2天,记感染数分别为,x y 用(,)x y 的形式列出所有的基本事件, 其中(,)(,)x y y x 和视为同一事件,并求||9x y -≥的事件A 的概率。
18.(本题满分共12分)如图,在ABC ∆中,BD 为AC 边上高,1BD =,2BC AD ==,沿BD 将ABD ∆翻折,使得30ADC ︒
∠=,得到几何体B ACD -。
(1)求证:AC BD ⊥;
(2)求AB 与平面BCD 成角的正切值。
19.为了美化环境,构建两型社会,市城建局打算在广场上建造一个绚丽多彩的矩形花园,中间有三个完全一样的矩形花坛,每个花坛....面积均为294平方米,花坛四周的过道均为2米,如图所示,设矩形花坛的长为x ,宽为y ,整个矩形花园面积为S 。
(1)试用,x y 表示S ;
(2)为了节约用地,当矩形花坛的长为多少米时,新建矩形花园占地最少,占地多少平米?
20.(本题满分共13分)已知函数2
1()(1)ln 4(0)2
f x x a x a x a =
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