2020年湖南省长沙市一中高三第五次月考(文)

2020年湖南省长沙市一中高三第五次月考
数学试题（文科）
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．函数2
2log (1)y x =-的定义域为（ ）
A ．{|1x x >或1}x <-
B ．{|11}x x -<<
C ．{|1}x x >
D ．{|11}x x -≤≤
2．已知m ，n 是两条不同直线，α、β、r 是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A ．若//m α，//n α，则//m n
B ．若r α⊥，r β⊥，则//αβ
C ．若//m α，//m β，则//αβ
D ．若m α⊥，n α⊥，则//m n
3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且35715a a a ++=，则9S =（ ） A ．18
B ．3
C ．45
D ．60
4．函数sin(2)6
y x π
=+的对称轴可能是（ ）
A ．12x π
=-
B ．512
x π
=
C ．43x π=
D ．6
x π=
5．已知ABC ∆是等腰三角形，90C ∠=o
，4AB =，则AB BC ⋅u u u r u u u r 等于（ ）
A ．-8
B
．- C ．8
D
．6．设点(,)P x y 满足不等式组1100x y x y y +≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
，则10z x y =+-的最大值和最小值分别
为（ ）
A ．-9，-11
B
．--9
C
．-
，- D
．，-11
7．若奇函数()f x 在区间(0,)+∞上是减函数，且(1)0f -=，则不等式()
0f x x
>的解集为（ ）
A ．(,1)(1,)-∞-+∞U
B ．(,1)(0,1)-∞-U
C ．(1,0)(1,)-+∞U
D ．(1,0)(0,1)-U
8．已知ABC ∆中满足||2AB AC AB AC ⋅=-=u u u r u u u r u u u r u u u r
，则ABC ∆面积的最大值是（ ）
A ．22
B ．2
C ．3
D ．1
二、填空题（每小题5分，共35分）
9．在ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对边长分别为,,a b c ，若2sin b a B =，则A ∠大小为 。

10．已知函数()2x
f x a =-的图象经过原点，则不等式3
()4
f x >
的解集为 。

11．(3,4)a =r (5,10)b =r
，则与a r 方向相同的单位向量是 ,b r 在a r 上投影是 .
12．如图，三棱柱EFD HIG -底EFD 是正三角形，侧棱HE 垂直于底面EFD ，将此三棱柱截去三个角，（如图1所示A 、B 、C 分别是GHI ∆三边的中点）得到几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为 。

13．{}n a 是公比为实数q 的等比数列，若457,a a a +，6a 成等差数列，则q 等于 . 14．已知区域{(,)||2||2|2,,}M x y x y x y R =-+-≤∈，则区域M 内的点到坐标原点的距离不超过2的概率是 .
15．若函数()y f x =x D ∈同时满足下列条件：（1）在D 内为单调函数；（2）[,]
a b ∃使[,]x a b ∈时，()f x 的值域为[,]a b ，则称此函数为D 内可等射函数，若3()ln x a a f x a
+-=
为可等射函数，则实数a 的取值范围为 。

三、解答题：
16．（本题满分12分）已知()cos()tan sin 3
f x x x π
α=+-，且3
()6f π=。

（1）求tan α的值； （2）当[0,
]2
x π
∈时，求函数()f x 的值域。

17．（本题满分共12分）某流感病研究中心对温差与甲型H 1N 1病毒感染数之间的相关关系进行研究，他们每天将实验室放入数量相同的甲型H 1N 1病毒和100头猪，然后分别记录了4月1日至4月5日每天昼夜温差与实验室里100头猪的感染数，得到如下资料：
日期 4月1日 4月2日 4月3日 4月4日 4月5日
温差 10 13 11 12 7 感染数
23
32
24
29
17
（1）求这5天的平均感染数；
（2）从4月1日至4月5日中任取2天，记感染数分别为,x y 用(,)x y 的形式列出所有的基本事件， 其中(,)(,)x y y x 和视为同一事件,并求||9x y -≥的事件A 的概率。

18．（本题满分共12分）如图，在ABC ∆中，BD 为AC 边上高，1BD =，2BC AD ==，沿BD 将ABD ∆翻折，使得30ADC ︒
∠=，得到几何体B ACD -。

（1）求证：AC BD ⊥；
（2）求AB 与平面BCD 成角的正切值。

19．为了美化环境，构建两型社会，市城建局打算在广场上建造一个绚丽多彩的矩形花园，中间有三个完全一样的矩形花坛，每个花坛．．．．面积均为294平方米，花坛四周的过道均为2米，如图所示，设矩形花坛的长为x ，宽为y ，整个矩形花园面积为S 。

（1）试用,x y 表示S ；
（2）为了节约用地，当矩形花坛的长为多少米时，新建矩形花园占地最少，占地多少平米？
20．（本题满分共13分）已知函数2
1()(1)ln 4(0)2
f x x a x a x a =
-+++>
（1）求函数()f x 的单调递减区间；
（2）当2a =时，函数()y f x =在[)()n
e n z +∞∈有零点，求n 的最大值。

21．（本题满分共13分）已知正项数列112a =
，函数2()1x
f x x
=+。

（1）若正项数列{}n a 满足1()n n a f a +=（1n ≥且*
N n ∈），试求出234,,a a a 由此归纳
出通项n a ，并证明之．．．
； （2）若正项数列{}n a 满足1()n n a f a +≤（1n ≥且N n ∈），数列{}n b 满足21
n
n n
a b =+，其和为n T ，求证11
212n n
T ≤
-
+。