湖南省长沙一中2016届高三第六次月考(理)数学试题 Word版
湖南省长沙一中2016届高三上学期第二次月考数学试卷(文科) 含解析
2015—2016学年湖南省长沙一中高三(上）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A=｛（x，y）|y=e x｝,B={(x,y)｜y=a}，若A∩B=∅,则实数a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤1 C．a＜0 D．a≤02．设命题p:函数f(x）=x3在R上为增函数；命题q：函数f（x）=cosx为奇函数．则下列命题中真命题是（）A．p∧q B．p∧(￢q）C．（￢p）∧（￢q) D．（￢p）∨q3．已知向量=（2,4），=(﹣1，1)，则2﹣=（）A．（3，7) B．(3,9）C．（5，7) D．（5，9）4．函数f（x)=log2（x2+5x﹣6）的定义域是（）A．［﹣2，3]B．（﹣6，1］C．（﹣∞，﹣1）∪（6，+∞）D．（﹣∞,﹣6)∪（1，+∞) 5．执行如图所示的程序框图，则输出s的值为(）A．B．C．D．6．将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍,所得图象的一条对称轴方程可能是（）A．B．C．D．7．设a=log36,b=2﹣2，c=log2,则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b8．已知向量,满足|+｜=｜|=|｜，则向量与+夹角的余弦值为（）A．B．﹣C．0 D．19．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a=c且满足cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0,则△ABC是（）A．钝角三角形B．等边三角形C．直角三角形D．不能确定10．设函数f（x）=，若f[f(）]=4，则b=（）A．1 B．﹣C．﹣或1 D．﹣111．若点P是函数f（x）=x2﹣lnx上任意一点,则点P到直线x﹣y﹣2=0的最小距离为（）A．B．C．D．312．已知P(2，）在双曲线﹣=1上，其左、右焦点分别为F1、F2，三角形PF1F2的内切圆切x轴于点M，则•的值为（）A．2﹣1 B．2+1 C．2﹣2 D．2﹣二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分．）13．已知复数z1=1+i，z2=1﹣i，若z=,则｜z｜=．14．已知数列｛a n｝满足a1=1,（2n﹣1）a n+1=2（2n+1)a n，则a6=．15．如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点．以A为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F．若P为劣弧上的动点，则的最小值为．16．直线y=m与y=2x﹣3及曲线y=x+e x分别交于A、B两点，则AB的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在等差数列{a n｝中,a1=1，其前n项和为S n=n2．(1）求数列｛a n}的通项公式a n;（2）若b n=，求数列{b n}中的最小项及取得最小项时n的值．18．已知向量=（sin2x+2，cosx），=（1，2cosx），设函数f（x）=•．（1)求f（x)的最小正周期与[0,2π］上函数的单调递减区间；(2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若A=，b=1,△ABC的面积为,求a的值．19．已知函数f（x)=x2﹣4x+2a+3，a∈R．（1）若函数f（x）在[﹣1,1］上有零点，求a的取值范围;（2）设函数g(x）=mx﹣2m，m∈R,当a=0时，∀x1∈［1,4]，总存在x2∈［1,4］，使f（x1）=g（x2），求m的取值范围．20．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b,c,已知A=，a=bcosC．(Ⅰ）求角C的大小；(Ⅱ)如图，在△ABC的外角∠ACD内取一点P，使PC=2，过点P作PM⊥CA于M，PN⊥CD于N，设线段PM，PN的长分别为m,n，∠PCM=x,且，求f（x）=mn的最大值及相应x的值．21．已知椭圆=1(a＞b＞0)的中心为O,它的一个顶点为（0，1)，离心率为,过其右焦点的直线交该椭圆于A，B两点．（1)求这个椭圆的方程；(2)若OA⊥OB,求△OAB的面积．22．已知函数f（x)=alnx﹣x+2，其中a≠0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意的x1∈［1，e]，总存在x2∈［1，e］,使得f（x1）+f（x2）=4，求实数a值．2015-2016学年湖南省长沙一中高三(上）第二次月考数学试卷(文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A={(x，y）|y=e x｝，B={（x，y）|y=a｝，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是(）A．a＜1 B．a≤1 C．a＜0 D．a≤0【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．【分析】根据A∩B=∅，结合曲线x=a与y=y=e x的位置关系，即可得到结论．【解答】解：集合A对应的图象为y=e x,要使A∩B=∅，则直线x=a，与y=e x没有交点,∵y=e x的值域为（0，+∞），∴要使A∩B=∅，则a≤0，故选:D．【点评】本题考查集合的运算,考查学生的计算能力，属于基础题．2．设命题p:函数f（x）=x3在R上为增函数；命题q：函数f（x）=cosx为奇函数．则下列命题中真命题是（)A．p∧q B．p∧（￢q）C．(￢p）∧（￢q）D．(￢p）∨q【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】先判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．【解答】解：命题p：函数f(x）=x3在R上为增函数，是真命题，命题q：函数f（x）=cosx为奇函数，是假命题,故p∧（￢q）是真命题，故选：B．【点评】本题考查了复合命题的判断，考查考查函数的奇偶性和单调性，是一道基础题．3．已知向量=（2，4)，=(﹣1,1），则2﹣=(）A．（3，7) B．（3，9） C．（5，7) D．（5，9）【考点】平面向量的坐标运算．【专题】平面向量及应用．【分析】直接利用向量的坐标运算求解即可．【解答】解:向量=（2，4），=（﹣1，1），则2﹣=2（2，4）﹣（﹣1，1）=(5，7）．故选:C．【点评】本题考查向量的坐标运算，考查计算能力．4．函数f(x)=log2（x2+5x﹣6)的定义域是（)A．［﹣2,3］B．（﹣6,1］C．（﹣∞,﹣1）∪（6，+∞）D．（﹣∞,﹣6)∪(1,+∞)【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】由x2+5x﹣6＞0，解得x范围即可得出函数f（x)的定义域．【解答】解：由x2+5x﹣6＞0，解得x＞1或x＜﹣6．∴函数f（x）=log2（x2+5x﹣6）的定义域是（﹣∞，﹣6）∪（1,+∞）．故选：D．【点评】本题考查了函数的定义域的求法、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．执行如图所示的程序框图,则输出s的值为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】根据已知的框图，可知程序的功能是利用循环累加循环变量的值到累加变量S，并在循环变量k值大于等于8时，输出累加结果．【解答】解:模拟执行程序框图,可得s=0，k=0满足条件k＜8,k=2,s=,满足条件k＜8,k=4，s=+，满足条件k＜8，k=6，s=++，满足条件k＜8,k=8，s=+++=，不满足条件k＜8,退出循环，输出s的值为．故选：A．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多时,我们多采用模拟程序运行的方法得到程序的运行结果．6．将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是（)A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据三角函数的图象变换关系进行求解即可．【解答】解：将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=sin（)，由=+kπ,即+2kπ,k∈Z，∴当k=0时，函数的对称轴为，故选:D．【点评】本题主要考查三角函数的图象变换关系以及三角函数对称轴的计算，求出函数的解析式是解决本题的关键．7．设a=log36，b=2﹣2，c=log2，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b【考点】对数值大小的比较．【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解:∵a=log36＞1，0＜b=2﹣2＜1，c=log2＜0，∴a＞b＞c，故选:A．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．已知向量，满足｜+|=|｜=｜|，则向量与+夹角的余弦值为（) A．B．﹣C．0 D．1【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意可得，即，再由已知||=｜|，可得向量与+夹角为，夹角的余弦值为．【解答】解：由｜+｜=||=｜|,得：,即，解得：,∵|｜=||，且，∴向量与+夹角为，夹角的余弦值为．故选：A．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，关键是对数量积公式的记忆与运用,是基础题．9．在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a=c且满足cosC+(cosA﹣sinA）cosB=0,则△ABC是（）A．钝角三角形B．等边三角形C．直角三角形D．不能确定【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinAsinB=sinAcosB，由sinA≠0，可解得tanB=，结合范围B∈（0，π），可求B=，由a=c及三角形内角和定理可得A=B=C=,从而得解．【解答】解:∵cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0，⇒﹣cos（A+B）+cosAcosB﹣sinAcosB=0,⇒﹣cosAcosB+sinAsinB+cosAcosB=sinAcosB,⇒sinAsinB=sinAcosB，（sinA≠0）⇒sinB=cosB，⇒tanB=,又∵B∈（0，π），∴解得：B=．又∵a=c，即A=C，且A+B+C=π，∴解得：A=B=C=．三角形是等边三角形．故选:B．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了三角形内角和定理的应用,三角形形状的判定，属于基本知识的考查．10．设函数f（x）=，若f［f（)］=4,则b=（）A．1 B．﹣C．﹣或1 D．﹣1【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数，通过解方程求解函数值即可．【解答】解：函数f（x）=，若f[f（）]=4，f（1﹣b）=4．当1﹣b＜1即b＞0时,3（1﹣b）﹣b=4，解得b=﹣,（舍去)；当b≤0时，21﹣b=4，解得b=﹣1．故选：D．【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点以及方程根的关系，考查计算能力．11．若点P是函数f（x）=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线x﹣y﹣2=0的最小距离为（）A．B．C．D．3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;点到直线的距离公式．【专题】转化思想；导数的综合应用．【分析】由题意知，当曲线上过点P的切线和直线x﹣y﹣2=0平行时,点P到直线x﹣y﹣2=0的距离最小,求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1,可得且点的坐标，此切点到直线x﹣y﹣2=0的距离即为所求．【解答】解:点P是曲线f（x）=x2﹣lnx上任意一点，当过点P的切线和直线x﹣y﹣2=0平行时，点P到直线x﹣y﹣2=0的距离最小．直线x﹣y﹣2=0的斜率等于1，由f（x）=x2﹣lnx,得f′（x）=2x﹣=1，解得:x=1，或x=﹣（舍去)，故曲线f（x）=x2﹣lnx上和直线x﹣y﹣2=0平行的切线经过的切点坐标（1，1），点(1，1）到直线x﹣y﹣2=0的距离等于,故点P到直线x﹣y﹣2=0的最小距离为．故选:A．【点评】本题考查点到直线的距离公式的应用,函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化的数学思想，是中档题．12．已知P（2,）在双曲线﹣=1上，其左、右焦点分别为F1、F2，三角形PF1F2的内切圆切x轴于点M，则•的值为（）A．2﹣1 B．2+1 C．2﹣2 D．2﹣【考点】双曲线的简单性质．【专题】综合题；数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，利用切线长定理，再利用双曲线的定义，把｜PF1|﹣｜PF2|=4，转化为｜AF1｜﹣|HF2｜=4，从而求得点M的横坐标，即可得出结论．【解答】解：P(2，）在双曲线﹣=1上，可得b=，∴F1（﹣3，0）、F2（3，0)，如图，设M(x，0），内切圆与x轴的切点是点M，PF1、PF2与内切圆的切点分别为N、H，∵由双曲线的定义可得|PF1｜﹣|PF2|=2a=4，由圆的切线长定理知，|PN｜=|PH｜，故｜NF1｜﹣｜HF2 |=8，即｜MF1|﹣｜HF2｜=4，设内切圆的圆心横坐标为x,则点M的横坐标为x，故（x+3）﹣（3﹣x）=4，∴x=2．∴•=（2﹣2，）•（3﹣2,0)=2﹣2，故选：C．【点评】本题考查双曲线的定义、切线长定理，体现了转化的数学思想以及数形结合的数学思想，正确运用双曲线的定义是关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分．）13．已知复数z1=1+i，z2=1﹣i，若z=,则|z｜=1．【考点】复数求模；复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：z=====i,则|z|=1．故答案为：1．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力,属于基础题．14．已知数列{a n}满足a1=1，（2n﹣1）a n+1=2（2n+1）a n，则a6=352．【考点】数列递推式．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】根据数列的递推公式，利用累积法即可得到结论．【解答】解：由（2n﹣1）a n+1=2（2n+1）a n,得，∴，，…，则==25×11=352．故答案为：352．【点评】本题主要考查数列的递推公式的应用,利用累积法是解决本题的关键,考查学生的计算能力，是中档题．15．如图，已知正方形ABCD的边长为2,点E为AB的中点．以A为圆心，AE为半径，作弧交AD 于点F．若P为劣弧上的动点，则的最小值为5﹣2．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】首先以A为原点，直线AB，AD分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，可设P(cosθ，sinθ），从而可表示出,根据两角和的正弦公式即可得到=5﹣2sin（θ+φ），从而可求出的最小值．【解答】解:如图，以A为原点，边AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则：A（0，0），C(2，2)，D(0，2），设P（cosθ，sinθ）；∴•（﹣cosθ，2﹣sinθ）=(2﹣cosθ）（﹣cosθ)+（2﹣sinθ)2=5﹣2（cosθ+2sinθ）=sin（θ+φ)，tanφ=；∴sin（θ+φ)=1时，取最小值．故答案为:5﹣2．【点评】考查建立平面直角坐标系，利用向量的坐标解决向量问题的方法，由点的坐标求向量坐标，以及数量积的坐标运算，两角和的正弦公式．16．直线y=m与y=2x﹣3及曲线y=x+e x分别交于A、B两点,则AB的最小值为2．【考点】两点间的距离公式．【专题】函数的性质及应用．【分析】设A（x1，a），B（x2，a)，则2x1﹣3=x2+e x2，表示出x1，求出|AB|，利用导数求出｜AB|的最小值【解答】解：设A（x1，a），B（x2，a），则2x1﹣3=x2+e x2,∴x1=（x2+e x2+3),∴｜AB|=|x2﹣x1｜=|(x2﹣e x2﹣3）｜，令y=（x﹣e x﹣3）,则y′=（1﹣e x),∴函数在（0，+∞）上单调递减，在(﹣∞，0)上单调递增，∴x=0时，函数y的最大值为﹣2，即有|AB｜的最小值为2．故答案为:2．【点评】本题考查导数知识的运用,考查学生分析解决问题的能力，正确求导确定函数的单调性是关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在等差数列{a n｝中，a1=1，其前n项和为S n=n2．（1）求数列{a n}的通项公式a n;（2)若b n=，求数列｛b n}中的最小项及取得最小项时n的值．【考点】数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．，即可得出a n．【分析】（1)由S n=n2，可得当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1（2）b n===，可得当n≤12时，数列｛b n}单调递减；当n≥13时，数列｛b n}单调递增．即可得出．=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1．【解答】解：（1）∵S n=n2，∴当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1当n=1时，上式也成立．∴a n=2n﹣1．(2）b n===，当n≤12时，数列{b n}单调递减；当n≥13时，数列{b n}单调递增．而b12==b13．∴当n=12或13时，数列{b n｝取得最小项．【点评】本题考查了递推关系的应用、数列的单调性,考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．已知向量=（sin2x+2，cosx），=（1，2cosx）,设函数f（x）=•．(1）求f（x）的最小正周期与[0，2π]上函数的单调递减区间；（2）在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边，若A=,b=1，△ABC的面积为,求a的值．【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数的周期性及其求法．【专题】三角函数的图像与性质；解三角形；平面向量及应用．【分析】（1）利用平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用化简可求f(x）=2sin（2x+）+3,由周期公式可求T，由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z,解得f（x）的在[0,2π］上函数的单调递减区间．（2)利用三角形面积公式可求c，根据余弦定理即可求得a的值．【解答】（本题满分为12分）解：(1）∵=（sin2x+2，cosx），=（1，2cosx），∴f（x）=•===2sin（2x+）+3．∴T=，∴由2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,解得：k，k∈Z，∴f（x）的在［0，2π]上函数的单调递减区间为：［，]，［，］…6分（2）∵b=1，△ABC的面积为，∴,解得c=2,∴a2=b2+c2﹣2bccosA=4+1﹣2×=3，∴解得：a=…12分【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，三角形面积公式，余弦定理的应用，属于基本知识的考查．19．已知函数f（x)=x2﹣4x+2a+3，a∈R．（1）若函数f（x）在[﹣1,1］上有零点，求a的取值范围;(2）设函数g（x）=mx﹣2m，m∈R，当a=0时，∀x1∈［1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）=g（x2),求m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】(1）由题意结合二次函数的性质可得，由此求得a的范围；（2)求出a=0时函数f（x）的值域A，然后分m＞0和m＜0求出函数g（x）的值域B，由题意可得A⊆B,然后利用两集合端点值间的关系列不等式组得答案．【解答】解：（1)由已知得，，即，解得﹣4≤a≤0;（2）当a=0时，函数f(x）在[1,4］上的值域为A=［﹣1,3]．当m＞0时，函数g(x）在［1，4］上的值域B=[﹣m，2m]．当m＜0时，函数g（x）在［1，4］上的值域B=［2m，﹣m］．由已知可得A⊆B，∴当m＞0时，,解得m；当m＜0时，，解得m≤﹣3．综上可知，m或m≤﹣3．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查了二次函数的性质,考查数学转化思想方法，是中档题．20．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A=，a=bcosC．(Ⅰ）求角C的大小;（Ⅱ)如图，在△ABC的外角∠ACD内取一点P，使PC=2,过点P作PM⊥CA于M，PN⊥CD于N，设线段PM，PN的长分别为m,n，∠PCM=x,且，求f（x）=mn的最大值及相应x的值．【考点】三角形中的几何计算;两角和与差的正弦函数；三角函数的最值．【专题】三角函数的求值;三角函数的图像与性质;解三角形．【分析】（Ⅰ)用正弦定理把a=bcosC化为sinA=sinBcosC,再用三角形的内角和定理与三角恒等变换，求出C的值;（Ⅱ）根据直角三角形中的边角关系，求出m、n，写出f（x)的解析式，利用三角函数求出f（x）的最大值以及对应的x的值．【解答】解:（Ⅰ）△ABC中,A=，a=bcosC，∴sinA=sinBcosC,即sin（B+C）=sinBcosC，∴sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC，∴cosBsinC=0;又B、C∈（0，π），∴sinC≠0，cosB=0，∴B=，C=；（Ⅱ）△ABC的外角∠ACD=π﹣=，PC=2，且PM⊥CA，PN⊥CD，PM=m，PN=n，∠PCM=x，；∴m=2sinx，n=2sin（﹣x），∴f（x）=mn=4sinxsin（﹣x)=4sinx（sin cosx﹣cos sinx）=2sinxcosx+2sin2x=sin2x+(1﹣cos2x）=sin2x﹣cos2x+1=2sin（2x﹣)+1；∵＜x＜,∴＜2x＜π,∴＜2x﹣＜，∴sin(2x﹣）≤1，∴f（x）≤2+1=3,当2x﹣=，即x=时，f(x)取得最大值3．【点评】本题考查了三角形中的边角关系的应用问题，也考查了三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．21．已知椭圆=1（a＞b＞0）的中心为O,它的一个顶点为（0，1），离心率为,过其右焦点的直线交该椭圆于A，B两点．（1）求这个椭圆的方程；(2）若OA⊥OB，求△OAB的面积．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）通过离心率,结合椭圆的几何量的关系,求解即可得到椭圆的方程．（2）判断直线AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k,写出直线AB的方程为y=k（x﹣1）与椭圆联立，设A(x1，y1），B(x2，y2），线段AB的中点为M(x0，y0)，利用韦达定理结合OA⊥OB求出k的值，求出｜AB|,求出直角△OAB斜边高为点O到直线AB的距离d，然后求解面积．【解答】解：（1）∵∴，…依题意b=1，∴a2﹣c2=1,…∴∴a2=2，…∴椭圆的方程为；…（2）椭圆的右焦点为(1，0）,当直线AB与x轴垂直时，A,B的坐标为, 此时∴直线AB与x轴不垂直，…设直线AB的斜率为k,则直线AB的方程为y=k（x﹣1），与联立得(2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0,…设A（x1,y1），B（x2，y2）,线段AB的中点为M（x0,y0）,∴，．…∵OA⊥OB，∴k OA×k OB=0，∴x1x2+y1y2=0，∴x1x2+k（x1﹣1）k（x2﹣1）=,∴,∴k2=2∴，…∴|AB|2=4|OM|2=，∴．…直角△OAB斜边高为点O到直线AB的距离d=，…∴△OAB的面积为．…【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的综合应用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力．22．已知函数f（x）=alnx﹣x+2，其中a≠0．(Ⅰ）求f（x)的单调区间；(Ⅱ）若对任意的x1∈[1，e]，总存在x2∈［1，e],使得f（x1）+f（x2）=4,求实数a值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）先求出函数f(x)的导数，通过讨论①当a＜0时，②当a＞0时的情况，从而求出函数的单调区间;（Ⅱ）通过讨论a的范围，结合函数的单调性找到函数的最值，从而求出a的值．【解答】解：（Ⅰ），当a＜0时,对∀x∈(0,+∞）,f′(x）＜0，所以f（x）的单调递减区间为(0,+∞）;当a＞0时，令f′（x）=0,得x=a，因为x∈（0，a）时,f′（x）＞0；x∈（a，+∞）时,f′（x)＜0，所以f（x）的单调递增区间为(0，a）,单调递减区间为（a，+∞)．（Ⅱ）用f（x）max,f（x)min分别表示函数f（x）在[1，e］上的最大值，最小值，当a≤1且a≠0时,由（Ⅰ）知：在[1，e]上，f（x）是减函数，所以f（x）max=f(1）=1;因为对任意的x1∈[1，e]，x2∈［1,e],f（x1）+f(x2）≤2f(1）=2＜4,所以对任意的x1∈[1，e］,不存在x2∈［1，e],使得f（x1）+f(x2）=4；当1＜a＜e时，由（Ⅰ)知：在［1，a］上，f(x）是增函数，在［a，e]上,f（x）是减函数，所以f(x）max=f（a）=alna﹣a+2；因为对x1=1，∀x2∈［1，e］，f(1）+f（x2)≤f（1）+f（a)=1+alna﹣a+2=a(lna﹣1)+3＜3，所以对x1=1∈[1,e］，不存在x2∈[1，e],使得f（x1）+f（x2）=4;当a≥e时，令g(x)=4﹣f(x)（x∈[1,e]），由(Ⅰ）知：在［1，e]上，f（x)是增函数,进而知g（x）是减函数，所以f（x）min=f(1）=1，f（x)max=f（e)=a﹣e+2，g（x）max=g(1)=4﹣f（1），g（x）min=g（e)=4﹣f（e）；因为对任意的x1∈[1，e］，总存在x2∈［1,e]，使得f（x1）+f（x2)=4，即f（x1）=g(x2），所以即，所以f（1）+f（e）=a﹣e+3=4，解得a=e+1，综上所述，实数a的值为e+1．【点评】本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道难题．。
湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高三上学期月考(一)数学试题(解析版)
【解析】
【详解】当E,F排在前三位时， =24,当E,F排后三位时， =72，当E,F排3，4位时， =24，N=120种，选D.
6.函数 （ 且 ）在一个周期内的图象如图所示，将函数 图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则 （）
A. B.1C.－1D.
参考数据：
参考时间轴：
A.宋B.唐C.汉D.战国
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件可得函数关系 ，取 即可计算得解.
【详解】依题意，当 时， ，而 与死亡年数 之间的函数关系式为 ，
则有 ，解得 ，于是得 ，
当 时， ，于是得： ，解得 ，
由 得，对应朝代为战国，
所以可推断该文物属于战国.
故选：D
（1）记 ，写出 ，并求出数列 的通项公式；
（2）求数列 的前2022项和 .
【答案】（1） ， ，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据 的定义求得 ，求出 ，由等比数列通项公式可得结论；
（2）由 得 ， ，然后用并项求和法结合等比数列前 项和公式计算．
【小问1详解】
，
又
【小问2详解】
，则
18.如图， 为 中点，曲线 上任一点到 点的距离相等， 在曲线 上且关于 对称.
长沙市一中2023届高三月考试卷（一）
数学
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数不等式及分式不等式的解法求出集合 ，结合集合的补集及交集的定义即可求解.
湖南省长沙市一中高三数学第六次月考(理) 新人教版【会员独享】
湖南省长沙市一中高三第六次月考理科数学一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，每小题的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．已知集合A = {x |–1≤x ≤1，x ∈N}，B = {–1，0，1}，集合C 满足A ∪C = B ，则集合C 的个数是（ ） A ．1B ．4C ．7D ．82.直线l:ax +y -2-a =0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是（ ）A.1B.-1C.-2或-1D. -2或1 3.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是（ ）A.3B.25C.2D. 234．已知等比数列中{a n }中，a 1 + a 3 = 101，前4项和为1111，令b n = lg a n ，则b 2009 = （ ） A ．2008B ．2009C ．2010D ．22225．10名同学合影，站成了前排3人，后排7人．现摄影师要从后排7人中抽2个站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为（ ） A ．2575C AB ．2272C AC ．2275C AD ．2375C A6.直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，∠BCA =90°，D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成角θ的余弦值是（ ） A.1030 B.21 C. 1530 D. 10157．①点P 在△ABC 所在的平面内，且(),()AP AB AC BP BA BC λμ=+=+；②点P 为△ABC 内的一点，且使得222AP BP CP ++取得最小值；③点P 是△ABC 所在平面内一点，且0PA PB PC ++=，上述三个点P 中，是△ABC 的重心的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．设函数y = f (x )是定义域为R 的奇函数，且满足f (x – 2) = – f (x )对一切x ∈R 恒成立，当–1≤x ≤1时，f (x ) = x 3，则下列四个命题：①f (x )是以4为周期的周期函数；②f (x )在[1，3]上的解析式为f (x ) = (2 – x )3；③f (x )在33(,())22f 处的切线方程为3x + 4y – 5 = 0；④f (x )的图象的对称轴中，有x = ±1，其中正确的命题是（ ） A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②③④二、填空题（本大题共7个小题，每小题5分，共35分）1．直线l 1：y = mx + 1，直线l 2的方向向量为a = (1，2)，且l 1⊥l 2，则m = ．2．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是A 1B 1的中点，则点E 到平面ABC 1D 1的距离是 ．3．若关于x ，y 的不等式组1212x y x y ax y -≤⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是 ．4．若不等式x 2 + |2x – 6|≥a 对于一切实数x 均成立，则实数a 的最大值是 ． 5．在11的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为10,x αα⎰则dx = ． 6．已知m 、n 是两条不重合的直线，,,αβγ是三个互不重合的平面，给出下列命题①若m ∥β，n ∥β，m ，n ⊂α，则α∥β ②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β= m ，n ⊂γ，则m ⊥n ③若m ⊥α,α⊥β，m ∥n ，则n ∥β ④若n ∥α，n ∥β，α∩β= m ，那么m ∥n 其中正确命题的序号是 ．7．某计算机程序每运行一次都随机出现一个二进制的6位数N = …… ，其中N 的各位数字中，n 1 = n 6 = 1，n k (k = 2，3，4，5)出现0的概率为25，出现1的概率为35，记126.n n n ξξ=+++问= 4时的概率为 ，ξ的数学期望是 ．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（12分）6个大小相同的小球分别标有数字1,1,1,2,2,2，把它们放在一个盒子里，从中任意摸出两个小球，它们所标有的数字分别为x ，y ，记x y ξ=+． （1）求随机变量ξ分布列及数学期望；（2）设“函数f (x )=x 2–ξx –1在区间(2, 3)上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率．n 2 n 5 n 1 n 617．（12分）已知函数f (x ) = 2cos 2x +x cos x ．（1）求函数f (x )定义在[,]63ππ-上的值域；（2）在△ABC 中，若f (C ) = 2, 2sin B = cos(A – C ) – cos(A + C )，求tan A 的值．18．（13分）如图，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为1的正方形，PA ⊥CD ，PA =1，PD =2，E 为PD 上一点，PE =2ED ．（1）求证：PA ⊥平面ABCD ； （2）求二面角D —AC —E 的正切值；（3）在侧棱PC 上是否存在一点F ，使得BF ∥平面AEC ，若存在，指出F 点位置，并证明，若不存在，说明理由．19 题(13分)已知以点C (t ,2t)（t ∈R ），t ≠0）为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为坐标原点． （1）求证：△OAB 的面积为定值；（2）设直线y = –2x +4与圆C 交于点M ，N 若|OM |=|ON |，求圆C 的方程．（3）若t ＞0，当圆C 的半径最小且时，圆C 上至少有三个不同的点到直线l ：y(3k x =-的距离为12，求直线l 的斜率k 的取值范围．20．（13分）某旅游景区的观景台P 位于高（山顶到山脚水平面M 的垂直高度PO ）为2Km 的PEDCBA山峰上，山脚下有一段位于水平线上笔直的公路AB，山坡面可近似地看作平面PAB,且△PAB 为等腰三角形。
湖南省长沙一中2015届高三月考试卷(一)数学(理)
湖南省长沙一中2015届高三月考试卷（一） 数学（理）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1、若集合M ={}1,2，N ={}1,2,3，P ={},,x x ab a M b N =∈∈，则集合P 的元素个数为（ ）C A 、3 B 、4 C 、5 D 、62、在南京青运会体操跳马比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次。
设命题p 是“甲落地站稳”，q 是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员没有站稳”可表示为（ ）DA 、p q ∨ Ｂ、()p q ∨⌝ C 、()()p q ⌝∧⌝ D 、()()p q ⌝∨⌝3、如右图所示方格纸中有定点O 、P 、Q 、E 、F 、G 、H ，则OP OQ + 等于（ ）DA 、OGB 、OHC 、EOD 、FO【解析】如图，以O 为坐标原点建立直角坐标系，则OP OQ +()()()2,24,12,3=--+-=-=FO 。
4、复数()()32m i i +-+（m R ∈，i 为虚数单位）在复平面内对应的点不可能位于（ ）B A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限5、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入某个正整数n 后， 输出的()31,72S ∈，则n 的值为（ ）BA 、5B 、6C 、7D 、8 6、若()112xf x x⎛⎫=+⎪⎝⎭，0x 是()0f x =的一个实根，()10,x x ∈-∞， ()20,0x x ∈，则（ ）AA 、()10f x >，()20f x <B 、()10f x >，()20f x >C 、()10f x <，()20f x >D 、()10f x <，()20f x <7、若将函数()sin 2cos2f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位得到()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（ ）CA 、8πB ．4π C 、38π D 、34π8、设,x y R ∈，p ：x y >，q ：()sin 0x y x y -+->，则p 是q 的（ ）CA 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件【解析】构造函数()sin f x x x =+，则()1cos 0f x x =+≥＇恒成立，于是()f x 在R 上单调递增； 而()00f =，所以()00f x x >⇔>。
湖南省长沙市长郡中学2016届高三第六次月考理数试题解析01 含解析
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设复数2()1a i iω+=+，其中a 为实数，若ω的实部为2,则ω的虚部为（ )A ．32- B ．12- C ．12D ．32【答案】A考点：复数概念与运算2。
设13log 2a =，2log 3b =，0.31()2c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．b c a >> 【答案】D 【解析】试题分析：因为13log 20a =<，2log31,b =>0.31()(0,1)2c =∈,所以b c a >>,选D 。
考点：比较大小3。
函数()2cos()(0)3f x x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，要得到函数()2sin g x x ω=的图象,只需将函数()f x 的图象（ ）A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度C ．向右平移512π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度【答案】C【解析】试题分析：由题意得：2222T T Tπππω=⇒=⇒==,所以5()2cos(2)2sin(2)2sin(2)3326f x x x x ππππ=+=++=+因此向右平移556212ππ=个单位长度，选C 。
考点：三角函数图像变换，三角函数性质【思路点睛】三角函数的图象变换,提倡“先平移,后伸缩”,但“先伸缩,后平移”也常出现在题目中,所以也必须熟练掌握。
无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数y ＝Asin （ωx＋φ），x∈R是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；函数y ＝Asin （ωx＋φ），x∈R 是偶函数⇔φ＝kπ＋错误!(k∈Z)；函数y ＝Acos （ωx＋φ)，x∈R 是奇函数⇔φ＝k π＋错误!（k∈Z)；函数y ＝Acos(ωx＋φ），x∈R 是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z）.4。
湖南省长沙市一中2008届高三第六次月考数学试题(文科)
湖南省长沙市一中2008届高三第六次月考数学试题（文科）命题：长沙市一中高三数学备课组 时量：120分钟 满分：150分得分：一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．︒︒165cos 15sin 的值等于（ ）A ．41B ．41-C ．21D ．21-2．下列函数中既是奇函数，又在区间（0，1）上单调递增的是（ ）A ．xy )21(=B ．x y 21log =C ．y=sinxD ．y=x1 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若173a a +=10，则S 19的值为（ ）A ．95B ．100C ．115D ．1254．若点P 分有向线段AB 所成的比为1：3，则点B 分有向线段AP 所成的比为（ ）A ．43 B ．34C ．43-D ．34-5．已知a ),2,1(=b )2,3(-=，若ka+b 与a －3b 共线，则k 的值为（ ）A ．31B ．31-C ．－3D ．36．函数331)(x x x f -+=有（ ）A ．极小值－2，极大值2B ．极小值－2，极大值3C ．极小值－1，极大值1D ．极小值－1，极大值37．下列命题中，m,n 表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面.①若n;m ,//,⊥⊥则ααn m ②若γβγ⊥⊥,a ，则βα//；③若α//,//n a m ，则n m //；④若γαγββα⊥⊥m ,,//,//则m .正确的命题是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④8．从a 、b 、c 、d 、e 五人中选1名组长，1名副组长，但a 不能当组长，b 不能当副组长，不同选法总数为（ ）A ．12B ．13C ．16D ．209．已知n n x b x b b x x x x n +++=++++++++ 1032)1()1()1()1(且+++321b b b …57=+n b ，则自然数n 等于（ ）A ．3B ．4C ．5D ．610．已知A 、B 是两个定点，|AB|=4，点P 到A 、B 两点的距离之比为2，则点P 的轨迹是（ ）A ．半径为23的圆 B ．半径为2的圆 C ．半径为25的圆D ．半径为38的圆 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
湖南省长沙市第一中学2016届高三上学期月考(五)(文)数学试题
炎德˙英才大联考长沙市一中2016届高三月考试卷（五）数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 是集合A到对应的集合B的映射，若，则等于（）A. B. C. D.2.已知复数z=(2-i)(1+3i)，其中i是虚数单位，则复数z在复平面上对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.某学生在一门功课的22次考试中，所得分数如下茎叶图所示，此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为（）A.117B.118C.118.5D.119.54. 下列选项叙述错误的是（）A. 命题“若x≠1，则”的逆否命题是“若，则x=1”B. 若为真命题，则p，q均为真命题C. 若命题，则D. “x>2”是“”的充分不必要条件5. 若如下框图所给的程序运行结果为S=35，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）A. k=7B.C.k<6D.k>66. 等边三角形ABC的边长为1，，那么等于（）A.3B.-3C.D.7. 已知等差数列的公差为2，若前17项和为，则的值为（）A. -10B.8C.4D.128. 如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.9. 已知曲线在点P(1,4)处的切线与直线l平行且距离为，则直线l的方程为（）A.4x-y+9=0或4x-y+25=0B.4x-y+9=0C.4x+y+9=0或4x+y-25=0D.以上都不对10. 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角为，，此时气球的高度是60m，则河流的宽度BC等于（）A. B. C. D.11. 若圆C：关于直线对称，则由点(a,b)向圆所作的切线长的最小值是（）A.2B.3C.4D.612. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就卓著，以其名命名的函数被称为狄利克雷函数，则关于函数f(x)有如下四个命题：①；②函数f(x)是偶函数；③任何一个不为零的有理数T，f(x+T)=f(x)对任意的恒成立；④存在三个点，使得△ABC为等边三角形.其中证明题的个数是A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为_______.14. 设x，y满足约束条件，则的最大值为_______.15. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，定点.若射线FA与抛物线C相交于点M，与抛物线C的准线相交于点N，则FM：MN 的值是_____.16. 设函数，则函数f(x)的各极大值之和为_____.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）近两年来，各大电视台都推出了由明星参与的游戏竞技类节目。
湖南省长沙市第一中学2025届高三上学期月考卷(一)化学答案
长沙市一中2025届高三月考试卷（一）化学参考答案一、选择题（本题共14小题，每小题3分，共42分。
每小题只有一项符合题目要求）题号1234567891011121314答案BAABCCDDCDCACC1．B 【解析】B ．25P O 吸水后的产物有毒，不能用作食品干燥剂。
2．A 【解析】A ．乙醚的结构简式为3223CH CH OCH CH 。
4．B 【解析】B ．用水吸收会产生NO 。
6．C 【解析】C ．电解苛性钠溶液制高铁酸盐的阳极反应：242 Fe 6e 8OH FeO 4H O ----+=+。
11．C 【解析】具有催化活性的是Ni ，图②中没有Ni 原子，则催化活性：①>②，故A 正确；镍酸镧电催化剂立方晶胞中含有1个Ni ，11234⨯=个O ，1818⨯=个La ，镍酸镧晶体的化学式为3LaNiO ，故B 正确；由晶胞结构可知，La 在晶胞的体心，O 在晶胞的棱心，则La 周围紧邻的O 有12个，故C 错误；由晶胞结构可知，La 和Ni 的最短距离为体对角线的一半，为32a ，故D 正确。
14．C 【解析】恒温恒容条件下，气体的压强之比等于气体物质的量之比，故起始时实验②与实验③的压强相等，实验①的压强是实验②与实验③的3倍，则曲线Ⅰ对应实验①，且3m p =，故A 正确；实验①与实验②的温度相等，根据等效平衡可知，实验①与实验②最终会达到相同的平衡状态，故曲线Ⅱ对应实验②，则曲线Ⅲ对应实验③，实验②与实验③充入的Z 一样多，实验③比实验②达到平衡所用的时间长，则Z 的分解反应是吸热反应，随反应的进行，实验③温度降低，反应速率减慢，故正反应是放热反应，故B 正确；根据pV nRT =，c 、d 两点的压强相同，V 相同，由于反应吸热，c 点的温度比d 点低，则c 点的气体物质的量更多，故气体的总物质的量：c d n n >，故C 错误；正反应是放热反应，温度越低，平衡常数越大，故b 点平衡常数小于c 点，故D 正确。
湖南省长沙一中2016届高三第六次月考(文)数学试题含答案
炎德∙英才大联考长沙市一中201届高三月考试卷（六）数学（文科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}022>-=x x x A ，{}0,2>==x y y B x，R 是实数集，则B A C R )(等于（）A.]2,1[B.),1(+∞C.]2,1(D.),0[+∞2.如果复数i a z 2+=满足条件5<z ，那么实数a 的取值范围是（） A.)22,22(- B.)2,2(- C.)1,1(- D.)3,3(-3.下列说法中，正确的是（）A.“10≤≤m ”是“函数1cos )(-+=m x x f 有零点”的充分不必要条件B.命题“若22bm am <，则b a <”的逆命题是真命题C.命题“q p ∨”为真命题，则“命题p ”和“命题q ”均为真命题D.命题“0,2≥+∈∀x x R x “的否定是”0,2000≥+∈∃x x R x 4.若按如图的算法流程图运行，输入的N 的值为5，则输出S 值为（）A.4B.65 C.54D.5 5.焦点为)5,0(F ，渐进线方程为034=±y x 的双曲线的方程是（）A.116922=-y xB. 191622=-x yC.1643622=-x yD.1366422=-y x6.已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+011y y x y x ，所表示的平面区域为D ，若直线2-=kx y 与平面区域D 有公共点，则k 的取值范围是（）A.),21[]21,(+∞--∞B.]2,2[-C.]21,21[-D.),2[]2,(+∞--∞ 7.一个体积为316的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧（左）视图的面积为（） A.36 B.8 C.38 D.128.设向量，均为非零向量，⊥-)2(，⊥-)2(，则与的夹角为（） A.6π B.3π C.32π D.65π9.在ABC ∆中，三内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，面积为S ，若22)(c b a S +=+，则Aco s 等于（）A.54 B.54- C.1715 D.1715- 10.已知数列{}n a 的通项公式)(1log 2*∈+=N n n na n ，设其前n 项和为n S ，则使4->n S 成立的自然数n 有（）A.最大值14B.最小值14C.最大值15D.最小值1511.已知关于y x 、的方程组⎩⎨⎧=-=+ky kx k y x 22222仅有一组实验解，则符合条件的实数k 的个数是（）A.1B.2C.3D.412.设{}R y x y x y x S ∈-=，是奇数，22),(，{}R y x y x y x y x T ∈-=-=,),2cos()2cos()2sin()2sin(),(2222ππππ，则T S ,的关系是（）A.T S ≠⊂ B.S T ≠⊂ C.T S = D.φ=T S第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在区间]2,2[-上任取一个实数，则该数是不等式12<x 的解的概率为_______.15.三棱锥ABC O -中，OC OB OA ,,两两互相垂直，y OB x OA OC ===,,1，若4=+y x ，则三棱锥ABC O -外接球的球面积的最小值是______.16.设实数b a ,满足8,0≤≤b a ，且2216a b +=，则a b -的最大值与最小值之和为_______. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）某高校在2015年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组)80,75[，第2组)85,80[，第3组)90,85[，第4组)95,90[，第5组]100,95[，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上（含85分）的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格.（1）求出第4组的频率，并补全频率分布直方图； （2）根据样本频率分布直方图估计样本的众数；（3）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？18.（本小题满分12分）在四棱锥ABCD F -中，底面ABCD 是平行四边形，4=AB ，8=AD ， 60=∠BAD ，⊥FA 平面ABCD 且12=FA ，点E 在FA 上，∥FC 平面BED ， （1）求AEFE的值； （2）求A 到平面BED 的距离.19.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且20,10204==a S . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1+=n nm a a b ，是否存在),,(*∈>N m k m k k m 、，使得k m b b b 、、1成等差数列. 20.已知函数4)(23-+-=ax x x f . （1）若)(x f 在34=x 处取得极值，求实数a 的值； （2）在（1）的条件下，若关于x 的方程m x f =)(在]1,1[-上恰有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围；（3）若存在),0(0+∞∈x ，使得不等式0)(0>x f 成立，求实数a 的取值范围. 21.（本小题满分12分）已知动圆P 与定圆0352:22=-++x y x B 内切，且动圆经过一定点)0,1(A . （1）求动圆圆心P 的轨迹方程；（2）过点B （圆心）的直线与点P 的轨迹交于N M ,两点，求AMN ∆面积的最大值. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知点C 是以AB 为直径的圆O 上一点，CG 垂直于AB ，垂足为G ，过B 点做圆O 的切线，交直线AC 于点D ，点E 是CG 的中点，连接并延长AE 交BD 于点F ，求证： （1）AF CE DF AE ⋅=⋅； （2）CF 是圆O 的切线.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标xOy 中，t t y tx C (5:1⎩⎨⎧+==为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线03sin 2:2222=-+θρρC . （1）求1C 的普通方程与2C 的参数方程；（2）根据（1）中你得到的方程，求曲线2C 上任意一点P 到1C 的最短距离，并确定取得最短距离时P 点的直角坐标.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知0,0>>b a ，且1822=+b a . （1）若m b a ≤+恒成立，求m 的最小值；（2）若b a x x +≥+-12对任意的b a ,恒成立，求实数x 的取值范围.文科参考答案1-5DCABB 6-10DCBDA 11-12CA 13.2114.8 15.π9 16.3412- 17.【解析】（1）其它组的频率和为8.05)02.006.007.001.0(=⨯+++， 所以第四组的频率为2.0，频率分布直方图如图：..........................4分（2）样本的众数为5.82. . ....................................................7分（3）依题意良好的人数为164.040=⨯人，优秀的人数为246.040=⨯人.优秀与良好的人数比为2:3，所以采用分层抽样抽取的5人中有优秀3人，良好2人， 记从这5人中选2人至少有1人是优秀为事件M ，将考试成绩优秀的三名学生记为C B A ,,，考试成绩良好的两名学生记为b a ,，18.【解析】（1）∵∥FC 平面BED ，平面 FCA 平面AC EO BED (=与BD 交于点O )，EO FC ∥∴，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 的中点，∴E 是FA 的中点，1=AEFE. .............6分 （2）∵4=AB ，8=AD ，60=∠BAD ，由余弦定理有34=BD ， ..................8分且AB BD ⊥，又因为A AB FA FA BD =⊥ ,，所以⊥BD 平面FAB ，所以BE BD ⊥，记A 到平面BED 的距离为h ，132,621,3860sin 842122=+====⨯⨯⨯=∴∆AB AE BE AF AE S ABD ，由ABD E BED A V V --=得AE S h S ABD BED ⋅=⋅∆∆3131，即613831132342131⨯⨯=⨯⨯⨯⨯h ，解得131312=h . .......................12分 19.【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则d n n na S n 2)1(1-+=. 由已知，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=⨯+201910234411d a d a ，解得⎩⎨⎧==.1,11d a .........................3分 所以)()1(1*∈=-+=N n n d n a a n . .....................................6分 （2）假设存在),,(*∈>N m k m k k m 、，使得k m b b b 、、1成等差数列， 则k m b b b +=12，因为11+==+n na ab n n m ，所以211=b ，1+=m m b m ，1+=k k b k . 所以12112++=+k km m . ....................8分 整理，得mm k --=313，因为0>k ，所以03>-m .解得31<≤m .因为若1,1==k m 舍去，所以2=m ，此时5=k .故存在5,2==k m ，使得k m b b b 、、1成等差数列. ..........................12分20.【解析】（1）ax x x f 23)(2+-='，由题意得0)34(='f ，解得2=a ，经检验满足条件. ........4分（2）由（1）知42)(23-+-=x x x f ，x x x f 43)(2+-='， ......................5分令0)(='x f ，则34,021==x x （舍去）.)(),(x f x f '的变化情况如下表：∴)(x f 在)0,1(-上单调递减，在)1,0(上单调递增，∴4)0()(-==f x f 极小值，函数)(x f 在]1,1[-上的简图，如图所示.又关于x 的方程m x f =)(在]1,1[-上恰有两个不同的实数根，则34-≤<-m ，即m 的取值范围是]3,4(--. ....................8分 （3）解法一：因存在),0(0+∞∈x ，使得不等式0)(0>x f 成立， 故只需要)(x f 的最大值0)(max >x f 即可， ∵)32(323)(,4)(223a x x ax x x f ax x x f --=+-='∴-+-=. .......................9分①若0≤a ，则当0>x 时，0)(<'x f ，∴)(x f 在),0(+∞单调递减. ∵04)0(<-=f ，∴当0>x 时，04)(<-<x f ，∴当0≤a 时，不存在),0(0+∞∈x ，使得不等式0)(0>x f 成立. ②当0>a 时，)(),(x f x f '随x 的变化情况如下表：∴当),0(+∞∈x 时，4274)32()(2max -==a a f x f ，由042742>-a 得3>a . 综上得3>a ，即a 的取值范围是),3(+∞. ...........................12分 解法二：根据题意，只需要不等式0)(>x f 在),0(+∞上有解即可，即0423>-+-ax x 在),0(+∞上有解，即不等式24x x a +>在),0(+∞上有解即可. ...............9分 令24)(xx x g +=，只需要min )(x g a >， 而342234224)(3222=⋅⋅≥++=+=xx x x x x x x x g ，当且仅当242x x =，即2=x 时“=”成立. 故3>a ，即a 的取值范围是),3(+∞. .................12分21.【解析】（1）定圆B 的圆心为)0,1(-B ，半径6=r ，因为动圆P 与定圆B 内切，且动圆P 过定点)0,1(A ，所以6=+PB PA .所以动圆圆心P 的轨迹是以B 、A 为焦点，长轴长为6的椭圆.∴所求椭圆的方程为18922=+y x . ....................5分 （2）由题设直线l 的方程为1+=x my ，与点P 的轨迹方程为18922=+y x ，联立得06416)98(22=--+my y m ， .............7分设),(),,(2211y x N y x M ，则,9864,9816221221+-=+=+m y y m m y y 222221221221)98()1(484)()(++=-+=-∴m m y y y y y y ， .....................9分 981482212221++=-⋅⋅=∴∆m m y y c S AMN，令112≥=+t m ，则122-=t m ， tt t t S AMN 184818482+=+=∴∆， ∵tt 18+在),1[+∞上是单调递增的，∴918≥+tt （当且仅当1=t 时取“=”）316≤∴∆AMN S （当直线l 与x 轴垂直时取“=”），所以AMN ∆面积的最大值为316. ..........12分 22.【解析】（1）由题知ADF ~ACE DB CG AB CG AB DB ∆∆∴⊥⊥，∥,,，有DFCEAF AE =，即AF CE DF AE ⋅=⋅. ........................5分 （2）连接OC 和CB ，由（1）知FBEGDF CE AF AE ==，又EG CE =，所以FB DF =， ................7分在DCB RT ∆中，F 为BD 中点，FB FC =， 所以FBC FCB ∠=∠，又 90,=∠+∠∠=∠OBC FBC OBC OCB ，所以90=∠+∠OCB FCB ， 即CF 是圆O 的切线. ..................... 10分23.【解析】（1）05:1=+-y x C ， .................2分ααα(sin cos 3:2⎩⎨⎧==y x C 为参数). ......................5分（2）设))2,0[)(sin ,cos 3(πααα∈P ，点P 到直线05=+-y x 的距离2232325)6cos(225sin cos 3=≥++=+-=παααd ， ..................8分当65,1)6cos(παπα=-=+时，即)21,23(-P 时，最短距离为223. ....................10分 24.【解析】（1）)(2)(222b a b a +≤+，即有6≤+b a ， .................3分 当且仅当3==b a 时等号成立，又要求m b a ≤+恒成立，6≥∴m ， 故m 的最小值为6. ....................6分（2）要使b a x x +≥+-12恒成立，只需612≥+-x x . ..................8分⎩⎨⎧≥+->⎩⎨⎧≥++-≤<⎩⎨⎧≥-+-≤∴6221622106220x x x x x x x x x 或或，解得3834≥-≤x x 或. .....................10分。
湖南省长沙一中2015-2016学年高三下学期月考数学试卷(文科)(七) 含解析
2015—2016学年湖南省长沙一中高三（下）月考数学试卷(文科）（七)一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A={(x,y）｜y=lnx｝，B=｛（x,y）｜y=1﹣x｝，则集合A∩B中元素的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．无数个2．下列命题中正确的是（）A．任意两个复数均不能比较大小B．复数z为实数的充要条件是C．复数z=3+2i在复平面上对应的点在第二象限D．复数i+3的共轭复数为i﹣33．某学校高一、高二、高三年级的人数依次是750人，x人，500人，先要用分层抽样的方法从这些学生抽取一个容量为80的样本，其中高三年级应抽取的人数为20人，则x的值为（）A．650 B．700 C．750 D．8004．已知向量，当向量与向量共线，（m,n≠0）,则直线mx+ny+1=0的斜率为(）A．B．C．D．5．若执行如图的程序框图,则输出的k值是（）A．4 B．5 C．6 D．76．在等比数列｛a n}中，a5a11=3,a3+a13=4,则=（)A．3 B．﹣C．3或D．﹣3或﹣7．已知x，y满足，则z=2x﹣y的最大值为（）A．B．C．D．8．已知点E、F、G分别为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB、BC、的中点，如图,则下列命题为假命题的是()A．点P在直线FG上一定，总有AP⊥DEB．点Q在直线BC1上运动时，三棱锥A﹣D1QC的体积为定值C．点M是正方体面A1B1C1D1内的点到点D和点C1距离相等的点，则M的轨迹是一条直线D．过F，D1，G的截面是正方形9．已知定义域为R的奇函数f(x）的导函数为f′（x）,当x≠0时，f′(x）+＞0，若a=f （），b=﹣2f（﹣2），c=(ln）f（ln）,则a,b，c的大小关系正确的是（)A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b10．已知a，b,c为锐角三角形ABC中角A，B，C所对的边,若，则的取值范围为（）A．(﹣2,2) B．（﹣2，1）C．（﹣1，1) D．(﹣1，2）11．已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1,m）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM垂直，则实数a=（)A．B．2 C．D．12．设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f(2﹣x），当x∈[﹣2，0）时，f（x)=﹣1,若在区间（﹣2，6）内的关于x的方程f(x)﹣log a(x+2）=0（a＞0且a≠1）恰有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（，1）B．（1，4）C．（1，8）D．(8,+∞）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．。
湖南省长沙一中2015届高三月考(一)数学(理)试题 Word版含答案
炎德英才大联考〃长沙一中2015届高三月考试卷（一）数学（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1、若集合M ={}1,2，N ={}1,2,3，P ={},,x x ab a M b N =∈∈，则集合P 的元素个数为（ ）CA 、3B 、4C 、5D 、62、在南京青运会体操跳马比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次。
设命题p 是“甲落地站稳”，q 是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员没有站稳”可表示为（ ）DA 、p q ∨ Ｂ、()p q ∨⌝ C 、()()p q ⌝∧⌝ D 、()()p q ⌝∨⌝3、如右图所示方格纸中有定点O 、P 、Q 、E 、F 、G 、H ，则OP OQ + 等于（ ）DA 、OGB 、OHC 、EOD 、FO【解析】如图，以O 为坐标原点建立直角坐标系， 则OP OQ +()()()2,24,12,3=--+-=-=FO 。
4、复数()()32m i i +-+（m R ∈，i 为虚数单位）在复平面内对应的点不可能位于（ ）BA 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限5、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入某个正整数n 后， 输出的()31,72S ∈，则n 的值为（ ）BA 、5B 、6C 、7D 、86、若()112xf x x⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0x 是()0f x =的一个实根，()10,x x ∈-∞，()20,0x x ∈，则（ ）AA 、()10f x >，()20f x <B 、()10f x >，()20f x >C 、()10f x <，()20f x >D 、()10f x <，()20f x <7、若将函数()sin 2cos2f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位得到()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（ ）CA 、8πB ．4π C 、38π D 、34π8、设,x y R ∈，p ：x y >，q ：()sin 0x y x y -+->，则p 是q 的（ ）CA 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件【解析】构造函数()sin f x x x =+，则()1cos 0f x x =+≥＇恒成立，于是()f x 在R 上单调递增；而()00f =，所以()00f x x >⇔>。
湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高三上学期月考(一)地理试题
大联考长沙市一中2025届高三月考试卷(一)地 理得分 本试题卷分选择题和非选择题两部分，共8页。
时量75分钟，满分100分。
第Ⅰ卷 选择题(共48分)一 选择题：本大题共16小题，每小题3分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
区域人口迁移通常经历单核心向多核心演化的过程。
下图为我国长三角不同时期人口迁移的空间演化过程示意图。
据此完成1~2题。
1.与单核心阶段相比，多核心阶段人口迁移的特点是A.人口迁移的通道较少B.人口迁移的规模更小C.人口仅在小城镇阿流动D.人口迁移的频次更高2.在多核心阶段，若次级城市吸引力增强，可能带来的影响有①疏导核心城市的人口压力 ②加剧核心城市的逆城市化③降低核心城市的行政级别 ④促进区域经济一体化发展A.①②B.②③C.①④D.③④甘肃西接阿尔金山和祁连山，是我国西北地区重要的生态安全屏障。
为规范国土空间开发，实现区域的协调发展，甘肃将全省划分为3个主体功能区：城镇化发展区、农产品主产区、重点生态功能区(图1)。
图2示意2021年县域碳排放网络空间关联关系图(节点的大小表示在网络关系中的重要程度，节点间线的长度和粗细表示联系的频繁程度)。
据此完成3~5题。
3.甲、乙、丙分别表示A.城镇化发展区、农产品主产区、重点生态功能区B.城镇化发展区、重点生态功能区、农产品主产区C.农产品主产区、重点生态功能区、城镇化发展区D 重点生态功能区、城镇化发展区、农产品主产区关于甘肃省碳排放的说法，正确的是①陇中地区的碳排放强度最小②陇东南地区碳中和压力最大③河西地区因受地形的影响县域间碳排放网络空间联系弱④县域碳排放网络空间紧密度由中小县．域向周边县域递减A.①②B.①④C.②③D.③④5.关于城关区的发展方向，下列规划合理的是A.积极推进农创产业及新型农业发展B.积极创新推动低碳试点，发挥低碳引领导向C.积极发展生态经济和文化旅游经济D.积极优化产业结构，停止高耗能产业的发展风和水是干旱地区的两种主要作用力。
湖南省长沙市第一中学2024届高三下学期月考(七) 数学试题
长沙市一中2024届高三月考试卷（七）数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．样本数据15、13、12、31、29、23、43、19、17、38的中位数为（）A ．19B ．23C ．21D ．182．已知集合{}22e 1x xA x -=≤，{}1,0,1B =-，则集合A B 的非空子集个数为（）A ．4B ．3C ．8D ．73．已知实部为3的复数z 满足()12i z ⋅-为纯虚数，则z =（）A ．2B ．32C ．352D 4．已知数列{}n a 满足()*3,n a n b n b =-∈∈N R ，则“3b <”是“{}n a 是递增数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知tan 2θ=，则22sin 22cos 4sin θθθ=+（）A ．13B ．2C ．1D ．296．过抛物线()2:20E y px p =>的焦点F 的直线交E 于点A ，B ，交E 的准线l 于点C ，AD l ⊥，点D 为垂足．若F 是AC 的中点，且3AF =，则AB =（）A ．4B ．C ．D ．37．已知双曲线22:1C kx y -=的左焦点为F ，()()3,40P m m m ->为C 上一点，且P 与F 关于C 的一条渐近线对称，则C 的离心率为（）A ．2B ．C ．2D 8．已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()34f x f x +-=，()f x 的导函数为()g x ，函数()1y g x =-的图象关于点()2,1中心对称，则()320242f g ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．3B ．3-C ．1D ．1-二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()11cos 2sin 222f x x x =+，则（）A ．函数8f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭关于原点对称B ．曲线()y f x =的对称轴为122k x ππ=+，k ∈Z C ．()f x 在区间5,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减D ．曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为2210x y -+=10．已知二面角A —CD —B 的大小为23π，AC CD ⊥，BD CD ⊥，且1CD =，2AC BD +=，则（）A ．ABC △是钝角三角形B ．异面直线AD 与BC 可能垂直C ．线段AB 长度的取值范围是⎡⎣D ．四面体A —BCD 体积的最大值为411．甲、乙两同学参加普法知识对抗赛，规则是每人每次从题库中随机抽取一题回答．若回答正确，得1分，答题继续；若回答错误，得0分，同时换成对方进行下一轮答题．据经验统计，甲、乙每次答题正确的概率分别是12和23，且第1题的顺序由抛掷硬币决定．设第i 次答题者是甲的概率为i P ，第i 次回答问题结束后中甲的得分是i K ，则（）A ．214P =B ．()25124PK ==C ．11163i i P P +=+D ．()()1122i i i EK P K i -=+≥三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．()()83x y x y +-的展开式中36x y 的系数为______．13．已知动点P 在圆()()22:11M x m y m -++-=上，动点Q 在曲线ln y x =上．若对任意的m ∈R ，PQ n ≥恒成立，则n 的最大值是______．14．已知正六棱锥的高是底面边长的倍，侧棱长为，正六棱柱内接于正六棱锥，即正六棱柱的所有顶点均在正六棱锥的侧棱或底面上，则该正六棱柱的外接球表面积的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．盒中有形状、大小均相同的卡片6张，卡片依次标记数字1，2，2，3，3，3．（1）若随机一次取出两张卡片，求这两张卡片标记数字之差为1的概率；（2）若每次随机取出两张卡片后不放回，直到将所有标记数字为2的卡片全部取出，记此时盒中剩余的卡片数量X ，求X 的分布列和()E X ．16．如图三棱锥P —ABC 中，PA BC =，AB PC =，AC PB ⊥．（1）证明：AB BC =；（2）若平面PAC ⊥平面ABC ，AC =，求二面角A —PB —C 的余弦值．17．已知定义在()0,π上的函数()2cos sin f x x x =+．（1）求()f x 的极大值点；（2）证明：对任意()0,1x ∈，()42114f x x x >-+．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的上、下顶点分别为()0,1A ，()0,1B -，其右焦点为F ，且FA BA FA FB ⋅=⋅．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点()2,1P -，在直线BP 上存在两个不同的点1P ，2P 满足212PP PP PB ⋅= ．若直线1AP 与直线2AP 分别交C 于点M ，N （异于点A ），证明：P ，M ，N 三点共线．19．定义ABC △三边长分别为a ，b ，c ，则称三元无序数组(),,a b c 为三角形数．记D 为三角形数的全集，即(),,a b c D ∈．（1）证明：“(),,a b c D ∈”是“D ∈”的充分不必要条件；（2）若锐角ABC △内接于圆O ，且0xOA yOB zOC ++=，设()(),,,,0I x y z x y z =>．①若()3,4,5I =，求:AOB AOC S S △△；②证明：I D ∈．长沙市一中2024届高三月考试卷（七）数学参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案CBCADADA1．C 【解析】将这10个数据从小到大排列为12，13，15，17，19，23，29，31，38，43，所以这组数据的中位数是1923212+=．故选：C ．2．B 【解析】因为{}{}22002A x x x x x =-≤=≤≤，{}1,0,1B =-，因此{}0,1A B = ．故该集合的非空子集个数为2213-=个，故选：B ．3．C 【解析】由题意可设3i z b =+，则()()()()12i 3i 12i 326i z b b b ⋅-=+⋅-=++-，所以320,60,b b +=⎧⎨-≠⎩解得32b =-，故2z ==，故选：C ．4．A 【解析】当3b <时，30n a n b =->，则330n a n b n b =-=->，所以{}n a 是递增的等差数列；反之，数列{}n a 递增，则20a >，且12a a <，解得92b <．所以“3b <”是“{}n a 是递增数列”的充分不必要条件．故选A ．5．D 【解析】由题意可得tan 2θ=，所以22222sin 22sin cos 2tan 422cos 4sin 2cos 4sin 24tan 2449θθθθθθθθθ====++++⨯，故选D ．6．A 【解析】如图，设准线l 与x 轴交于点M ．由抛物线的定义知3AD AF ==．因为F 是线段AC 的中点，所以22AD MF p ==，所以23p =，解得32p =，所以抛物线E 的方程为23y x =．由112cos 2AD AFx AF ∠==，得60AFx ∠=︒．直线AF的方程为34y x ⎫=-⎪⎭，将此方程与23y x =联立后消去y 并整理，得2164090xx -+=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1252x x +=，所以1253422AB x x p =++=+=．故选A．7．D 【解析】双曲线C 的方程可设为22221x y a b-=，222a b c +=，0a >，0b >，0c >，左焦点为F ，O 为坐标原点，连接OP ．因为双曲线221kx y -=上的一点()()3,40P m m m ->与C 的左焦点F 关于C的一条渐近线对称，所以5OP OF c m ===，则()5,0F m -．又直线PF 的斜率为()41352m m m -=---，直线PF 与渐近线垂直，所以该条渐近线的斜率为2b a =，所以2224c a a -=，则225c a=，所以C的离心率c e a ==．故选D ．8．A 【解析】因为()()34f x f x +-=，则函数()f x 的图象关于点3,22⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，且322f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．由()()30f x f x ''--=，()()f x g x '=，得()()3g x g x =-，所以函数()g x 的图象关于32x =对称，()()12g g =．根据图象变换的规律，由()1y g x =-的图象关于点()2,1中心对称，得()g x 的图象关于点()1,1中心对称，()11g =，则()g x 的周期为34122T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，()()()2024211g g g ===，故()320242132f g ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭．故选A ．二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ACDACBCD9．ACD 【解析】由题意可得()11cos 2sin 2sin 22224f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．对于选项A ：sin 2sin 282442f x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为奇函数，关于原点对称，故A 正确；对于选项B ：令242x k πππ+=+，k ∈Z ，得82k x ππ=+，k ∈Z ，故B 错误；对于选项C ：对于()sin 224f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令24t x π=+，则sin 2y t =，因为5,88x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以32,422t x πππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，而sin 2y t =在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以函数()f x 在区间5,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故C 正确；对于选项D ：易得()102f =，()24f x x π⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，()01f '=，故曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为2210x y -+=，故D 正确，故选：ACD ．10．AC 【解析】因为()2cos 03DA DB DC CA DB CA DB CA DB π⋅=+⋅=⋅=< ，所以ADB ∠是钝角，则ABD △是钝角三角形，故A 正确；因为()()22cos 103AD BC AC CD BD CD AC BD CD AC BD π⋅=+⋅-=⋅-=-< ，所以异面直线AD 与BC 不可能垂直，故B 错误；()222222221AB AC CD DBAC CD DB AC DB AC DB AC DB =++=+++⋅=+++ ()21AC DBAC DB =+-+．设AC x =，由2AC BD +=，得2BD x =-，其中02x <<，所以()2222514AB x x x =-+=-+，则线段AB 长度的取值范围是⎡⎣，故C 正确；四面体A －BCD 的体积为211sin 3231212212AC BD CD BD AC AC BD π+⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯=⋅≤⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当1AC BD ==时，等号成立，故D 错误．故选AC ．11．BCD 【解析】设“第i 次答题者是甲，且甲答对”为事件i A ，“第i 次答题者是乙，且乙答对”为事件i B ，第2次答题是甲分两类：①第一次是甲，且甲回答正确；②第一次是乙，且乙回答错误，所以()()21111115222312P A P A B =+=⨯+⨯=，故A 错误；()()212121111115122223224P K P A A B A =+=⨯⨯+⨯⨯=，故B 正确；第1i +次答题者是甲包含两种情况：①甲第i 次回答，且回答正确；②乙第i 次回答，且回答错误，所以()1111112363i i i i P P P P +=⋅+-⋅=+，故C 正确；第i 次答题结束后，甲得分可分为两种情况：①第i 次答题后甲的得分加上1分，则第i 次必由甲答题且得1分；②第i 次答题后甲的得分加上0分，则第i 次由甲答题且不得分或第i 次由乙答题，所以()()11111111222i i i i i i i i E K P K P P K P K ---⎛⎫=+++-=+ ⎪⎝⎭，其中2i ≥，故D 正确．故选BCD ．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．140-【解析】()8x y -的展开式的通项为()88C rrrxy --，所以原式的展开式中含36x y 的项为()()65625388C 3C x x y y x y ⋅-+⋅-，所以36x y 的系数为()56588C 3C 1140+-=-．131-【解析】由题意可知M 的圆心()1,M m m -在直线1y x =+上，曲线ln y x =在1x =处的切线与之平行，故曲线ln y x =上的动点Q 到直线1y x =+，因此min 1PQ =，故n 1-．14．3π【解析】设正六棱锥为P —ABCDEF ，底面中心为2O ，正六棱柱为111111222222A B C D E F A B C D E F -，其中与底面重合的面为222222A B C D E F ，面111111A B C D E F 的中心为1O ，外接球球心为O ，由题意得，面222222A B C D E F 的中心为2O ，面111111A B C D E F 的边均在正六棱锥的侧棱上．作截面PAD 的平面图，由题意得，2AP ===，所以21AO =，2PO =．设22A O x =，21AA x =-，由题意得tan A =，故)1221A A x ==-，)212112OO A A x ==-，外接球半径的平方222222222233463444R A O A O OO x x x ⎛⎫==+=-+=-+ ⎪⎝⎭，当且仅当34x =时取得最小值34，此时外接球表面积243SR ππ==，故正六棱柱的外接球表面积的最小值为3π．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．【解析】（1）若取出的两张卡片标记数字分别为1和2，此时126122C 15P ⨯==，若取出的两张卡片标记数字分别为2和3，此时226232C 5P ⨯==，故这两张卡片标记数字之差为1的概率12815P P P =+=；（2）由题意可得X 所有可能取值为0，2，4，其中()26114C 15PX ===，()2422226464C 1241312C C C C 3P X ⨯⨯==⨯+⨯=，()()()301425P X P X P X ==-=-==，故X 的分布列为X 024P3513115()31114024531515E X =⨯+⨯+⨯=．16．【解析】（1）作PO AC ⊥，O 为垂足，由AC PB ⊥，AC PO ⊥，PB PO P = ，PB PBO ⊂平面，PO PBO ⊂平面得，AC PBO ⊥平面，∴AC BO ⊥，又PA BC =，PC BA =，AC AC =，∴PAC BCA ≌△△，∴PO BO =，AO CO ===，∴O 为AC 中点，∴PA PC =，BA BC =；（2）由（1）BO AC ⊥，又平面PAC ABC AC = 平面，BO ABC ⊂平面，∴BO APC ⊥平面，∴BO PO ⊥，∴PO ，BO ，AC 两两垂直．由AC =，AB BC =，得222cos 02AB BC AC ABC AB BC+-∠==⋅，∴2ABCπ∠=，以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设2AC =，则()0,1,0A -，()1,0,0B ，()0,1,0C ，()0,0,1P ，()1,0,1PB =- ，()0,1,1PA =-- ，()0,1,1PC =-，令(),,m x y z = ，(),,n d l s =分别为平面APB ，平面PBC 的法向量，则0,0,m PB m PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,0,x z y z -=⎧⎨+=⎩令1x =得()1,1,1m =-为平面PAB 的一个法向量．0,0,n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,0,d s l s -=⎧⎨-=⎩令1d =得()1,1,1n =为平面PBC 的一个法向量．设θ为二面角A —PB —C 的平面角，则111cos cos ,3m n m n m n θ⋅===⋅，由图观察可得二面角所成角为钝角，故二面角A —PB —C 的余弦值为13-．17．【解析】（1）()()2sin cos cos cos 12sin f x x x x x x '=-+=-，x0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭6π,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭2π5,26ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭56π5,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x '＋0－0＋0－单调性↗极大值↘极小值↗极大值↘故()f x 有两个极值点，为6x π=和56x π=；（2）令()()42114h x f x x x =-+-，()()()22cos 12sin h x x x x x '=-+-，①当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，因为1026x π<≤<，所以1sin 2x <，()0h x '>成立，令()32r x x x =-+，则()232r x x '=-+，令()0r x '=，解得63x =（负值舍去），故()r x 在0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，,13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减；②当1,23x ⎛∈ ⎝⎦时，()()7cos 12sin 8h x x x '>+-，令()sin F x x x =-，则()1cos 0F x x '=-≥恒成立，故()()00F x F >=，进一步()()715cos 122088h x x x x '>+->->；③当,13x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()()1cos 12sin 220h x x x x '>+->->，综上所述，()0h x '>在()0,1x ∈上恒成立，则()()00h x h >=，也即()42114f x x x >-+成立．【评分细则】1．第一问不用列出表格，只要求导后单调性和最终极值点分析正确即可满分2．第二问用其他方法证明出来也可以，根据具体方法酌情给分18．【解析】（1）由题意知1b =，由FA BA FA FB ⋅=⋅ ，得()0FA BA FB ⋅-=，即()()220BA FB BA FB BA FB +⋅-=-= ，所以AB BF =．又BF a =，所以22a b ==，故椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）证明：因为点()2,1P -，所以2124PP PP PB ⋅== ．设()11,1P x -，()22,1P x -，则()()12224x x --=，即()()12122*x x x x =+．显然，直线MN 的斜率一定存在，设直线MN 的方程为y kx m =+，()33,M x y ，()44,N x y ，联立221,4x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222148440k x kmx m +++-=．则()()()222222641614116410k m k m k m ∆=-+-=-+>，且342814km x x k +=-+，23424414m x x k-=+．因为直线AM 过点()11,1P x -，所以31312y x x -=--，解得331332211x x x y kx m ==---+，同理可得42421x x kx m =--+．代入（*）式，得()()()3434121k x x m x x +=-+，所以()()()2124481k m km m +-=--．因为M ，N 异于点A ，所以1m ≠，从而()()1212k m km ++=，所以210k m ++=，则直线MN 的方程为21y kx k =--，恒过点()2,1P -，因此，P ，M ，N 三点共线．19．【解析】（1）(),,a b c D ∈，则a b c +>，即22+->，∴22+>+>D ∈成立，若D ∈+>a b c ++>，又因为a b +≥，则()2c a b <+，不能证明a b c +>．∴“(),,a b c D ∈”是“D ∈”的充分不必要条件．（2）①()3,4,5I =，则3450OA OB OC ++= ，∴2222222591624cos ,1692530cos ,OC OA OB OA OB AOB OB OA OC OA OC AOC ⎧=++⋅⋅∠⎪⎨⎪=++⋅⋅∠⎩又因为OA OB OC ==，∴cos 0,3cos 5AOB AOC ∠=⎧⎪⎨∠=-⎪⎩∴sin 1,4sin 5AOB AOC ∠=⎧⎪⎨∠=⎪⎩记R OA =，∴2211:sin :sin 5:422AOB AOC S S R AOB R AOC ⎛⎫⎛⎫=⋅∠⋅∠= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△；②由zOC xOA yOB -=+ ，∴()222222cos z R x y xy AOB R ⋅=++∠⋅，∴222cos 2z x y AOB xy --∠=，∵()0,AOB π∠∈，即222112z x y xy---<<，∴()()222x y z x y -<<+，在∴x y z x y -<<+，同理得y z x y z -<<+，x z y x z -<<+，∴x ，y ，z 可组成三角形，∴I D ∈．。
长沙市一中2012届高三月考试卷(六)及答案
考试次数排 名 长沙市一中2012届高三月考试卷(六)数学(文科)分值:150分 时量:120分钟 考试日期:2012-4-21一、选择题:本大题共9个小题,每小题5分,共45分. 1.已知集合{|(2)0,}A x x x x R =->∈,集合{|B x y ==,则A B = ( )A ．{|2}x x >B ．{|02}x x <<C ．{|0}x x >D ．{|12}x x ≤< 2.已知b 是实数,i 是虚数单位.若复数(1)(2)bi i ++是实数,则b 等于( ) A ．12-B ．12C ．2-D ．23.已知数列{}n a 的通项7(1)212(2)n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩,则5S =( )A ．27-B ．15-C ．20-D ．904.在ABC ∆中,已知,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,且4,30a b A ==∠=,则B 等于( )A ．30B ．30 或150C ．60D ．60 或1205.如图,12,e e 为互相垂直的单位向量,向量a b -可表示为( )A ．213e e -B ． 1224e e --C ．123e e -D ．123e e -6.如图,是甲乙两同学高中以来十次考试成绩在班上排名情况,则甲乙两同学这十次的平均排名和排名的标准差,s s 乙甲的大小关系应为( )A ．,x x s s =<甲乙乙甲B ．,x x s s =>甲乙乙甲C ．,x x s s ><甲乙乙甲D ．,x x s s >>甲乙乙甲7.函数()f x 的部分图象如图右,则()f x 的解析式可能是( )A ．()sin f x x x =+B ．cos ()xf x x=C ．()cos f x x x =D ．3()()()22f x x x x ππ=--8.如图,四棱锥P ABC D -的体积为2的正方形,P O ⊥底面ABC D ,E 为侧棱P C 中点,则PA 与BE 所成的角为( )A ．π B ．π C ．π D ．π(二)必做题(12〜16题)12.若向量,a b 满足||1,||2==a b ,且a 与b 的夹角为3π,则||+=b a .13.已知点(,)x y 满足00,1x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则u y x =-的取值范围是 .14.如图,正方体1111ABCD A B C D -,点P 是上底面1111A B C D 内一动点,则 三棱锥P ABC -的主视图与左视图的面积的比值为 .15.函数()cos ((,3))2f x x x π=∈π,若()f x m =有三个不同的实数根,且从小到大依次成等比数列,则m 的值为 .16.已知定义在*N 上的函数()()()()2n n f n n f n ⎧⎪=⎨⎪⎩奇偶为数为数,(1)(2)(3)(2)n n a f f f f =++++ ,则(1)4a 的值是 ; (2)n a = .PDEOBABCA 1B 1C 1D 1PD 主视左视三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知函数2()22sinf x x x=-.(Ⅰ)若点(1,P在角α的终边上(始边为x轴的正半轴),求()fα的值;(Ⅱ)若A是ABC∆的最小内角,求()f A的取值范围.18.(本小题满分12分)袋中有若干个大小与形状完全相同的小球,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球n个.已知从中任意抽取1个小球,取到2号小球的概率为1 2 .(Ⅰ)求n的值;(Ⅱ)从袋中有放回．．．地随机抽取2个小球,记第一次取出的小球标号为a,第二次取出的小球标号为b.记“2a b+=”为事件A,求事件A的概率.19.(本小题满分12分)在如图所示的多面体中,下部ABC D A B C D''''-为正方体,点P在D D'的延长线上,且PD D D''=,,M N分别为P A B''∆和P B C''∆的重心.(Ⅰ)已知R为棱PD上任意一点,求证:M N 平面R A C; (Ⅱ)当R为棱D D'的中点时,求二面角R A C D--的平面角的正切值.'20.(本小题满分13分)2012年,国家为应对当前的经济危机,通过拉动内需,刺激经济增长.某品牌汽车集团公司计划投资20亿美元发展该品牌,据专家预测,2012年销售量为2万辆,并从2013年起,该公司汽车的销售量每年比上一年增加1万辆(假设2012年为第一年),销售利润按照每辆每年比上一年减少10%(2012年销售利润为2万美元/辆). (Ⅰ)第n 年的销售利润为多少?(Ⅱ)求到2016年年底,该公司能否实现盈利(即销售利润超过总投资,509059⋅≈⋅).21.(本小题满分13分)已知椭圆C 的焦点在x 轴上,短轴长离心率为2e =.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)若M 点坐标为,过M 点作直线,M A M B 交椭圆C 于,A B 两点,且直线,M A M B 斜率分别为12,k k ,123k k +=.求证:直线AB 过定点.22.(本小题满分13分) 已知函数1()ln sin g x x x θ=+在[1,)+∞上为增函数,且1(0,),()ln ,m f x m x x m R xθ-∈π=--∈.(Ⅰ)求θ的值;(Ⅱ)若函数()()y f x g x =-在[1,)+∞上为单调函数,求m 的取值范围. (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设2()e h x x=,若在[1,]e 上至少存在一个0x ,使得000()()()f x g x h x ->成立,求m 的取值范围.长沙市一中2012届高三月考(六)参考答案一.选择题6.【解】由图知,243028242226272629242610x +++++++++==甲,242625262427282628262610x +++++++++==甲,故x x =甲乙,排除,C D,又由散点图可知,甲同学的成绩比乙同学的成绩更分散,故s s >乙甲,即选B. 7.【解】由于函数图象关于原点对称,可知()f x 为奇函数,排除D;又图象过原点,排除B;又()02f π=排除A.故选C.8.【解】如图右,连接O E ,则O E P A,所以BEO ∠为所求的角(或其补角), 在正方形ABC D 中,AB =易知2O B =,3ABC DS=正方形, 又2P A B C D V -=所以2PO =,PA ==所以2O E =,易证O B ⊥平面P A C ,所以R t B O E ∆中,tan 3O B BEO BEO O Eπ∠==∠=,故选C.9.【解】由题知2a ab S a b ba b≥⎧=⊕=⎨<⎩,所以当[2,2]x ∈-时,有3221212x x y x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩,不难求出最大值为6,故选C.二.填空题10. 6 11. 15+ 12. 13. [-1,1] 14. 1 15.1-16.(1) 86 ,(2)42n+10.至多做6次试验.〖二法〗或者按照教材的经验来看,7612021111F F +=-=-=-,所以用分数法安排试验时,最多只需做6次试验就能找到其中的最佳点.15.【解】如图右,作出函数()y f x =与直线y m =的图象,可知0m <,设三个交点,,A B C 的横坐标依次为123x x x <<,由图象对称可知,12232,4x x x x +=π⎧⎨+=π⎩ PDEOCB所以12322,4x x x x =π-=π-,又由于221322(2)(4)x x x x x ==π-π-,得243x π=,也所以有41cos32y m π===-,即求.16.【解】(1)由4(1)(2)(3)(16)a f f f f =++++所以4(13515)(2)(4)(6)(16)a f f f f =+++++++++ 又(16)(8)(4)(2)(1)1f f f f f =====;(14)(7)7,(12)(3)3,(10)(5)5,(6)(3)3f f f f f f f f ========所以4644735386a =+++++=. (2)特殊到一般法,由1(1)(2)1(1)2a f f f =+=+=,2(1)(2)(3)(4)11316a f f f f =+++=+++=,32(5)(6)(7)(8)6(5371)22a a f f f f =++++=++++=,又486a =,所以2132434,16,64a a a a a a -=-=-=,于是猜想114(2)n n n a a n ---=≥; 那么由累加法得11122114(14)42()()()2(2)143n nn n n n n a a a a a a a a n -----+=-+-++-+=+=≥-显然1n =时,12a =也适合,故423nn a +=.三.解答题17.【解】(Ⅰ)因为点(1,P 在角α的终边上,所以1sin cos 22αα==…………………2分所以221()cos 2sin (2(3222f αααα=-=⨯-⨯=-………………6分(Ⅱ)由于()2(1cos 2)2cos 212sin(2)16f x x x x x x π=--=+-=+-………………9分因为A 是ABC ∆的最小内角,所以(0,]3A π∈,…………………………………………………10分 所以52(,]666A πππ+∈,即1sin(2)[,1]62A π+∈……………………………………………………11分 所以2sin(2)1[0,1]6x π+-∈,故所求的()f A 的取值范围是[0,1]………………………………12分18. 【解】(Ⅰ)由题知,从袋子中任取一个小球的所有基本事件数为2n +个,其中取到2号小球的基本事件数为n 个,所以由古典概型知:122n n =+,得2n =……………………………………………………………………………4分(Ⅱ)有放回的抽取2个小球的基本事件如右表所示,共计有16种,…………………………………………8分其中事件A 发生包含了其中4种,如加方框的.…10分 所以5()16P A =……………………………………12分19.【解】(Ⅰ) 连接PM 并延长交A B ''于点E ,连接P N 并延长交B C ''于点F .则易知,,E F 分别为,A B B C ''''的中点, 连接EF .则由23PM PN PEPF==,知M N E F ,………2分而EF A C '' ,所以MN A C '' ………………………3分 且在正方体ABC D A B C D ''''-中,AA CC '' ,所以A C AC '' …4分 即有M N A C ,且M N ⊄平面,R A C A C ⊂平面R A C ,所以M N 平面R A C ;……………6分(Ⅱ)设正方体的棱长为2(0)a a >,所以R D a =,连接,BD BD AC O = ,正方体ABC D A B C D ''''-中,易知RD ⊥平面ABC D ,………7分 所以RD AC ⊥;又D O AC ⊥,且RD DO D = ,所以A C ⊥平面R D O ,………………………………………………………………………9分 故AC RO ⊥,RO D ∠为二面角R A C D --的平面角.…………………………………10分又12D O BD ==,所以tan 2RD RO D D O∠==,即二面角R A C D --2…………………………………………12分20.【解】(Ⅰ)依题意,汽车的销售量构成了首项为2万,公差为1的等差数列{}n a ,且1n a n =+………………………………………………………………………………………2分 又每辆汽车的销售利润构成了首项为2,公比为110%09-=⋅的等比数列{}n b ,1209n n b -=⨯⋅……………………………………………………………………………………4分若第n 年的销售利润记为n c ,则12(1)09n n n n c a b n -=⨯=+⋅(亿元)…………………………6分 (Ⅱ)设到2016年底该公司的总销售利润为S ,则12342(2309409509609)S =+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅……①…………………………………8分23450.92(20.9309409509609)S =⨯+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅……②①-②式得23450.12(20.90.90.90.960.9)S =++++-⨯A'即4550.9(10.9)0.142120.922320.910.9S -=+-⨯=-⨯-………………………………………11分所以10(22320.59)31.220S ≈-⨯=>所以到2016年该公司能实现盈利.……………………………………………………………13分 21.【解】(Ⅰ)由题设椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>………………………………………………1分则2b =,b =3分又2e =,得222112b e a==-,所以24a =…………………………………………………5分即椭圆22:142xyC +=为所求.………………………………………………………………6分(Ⅱ)证明:如图,设1122(,),(,)A x y B x y ,则123k k +=得,12123y y x x --+=……………………7分①直线:AB y kx t =+(k 存在时),则上可化为,12122(3x x k t x x ++-=………(※)……8分又联立2224y kx t x y =+⎧⎨+=⎩,得222(21)42(2)0k x ktx t +++-=所以2222148(21)(2)0k t k t ∆=-+->,得2224t k <+212122242(2),0(2121kt t x x x x t k k --+==≠≠++,……………………………………………9分代入(※)式得,242(32kt k t t -+-=-,解得3t =-所以直线:(3A B y kx t k x =+=+-过定点(3N -.…………………10分②当A B x ⊥轴时,由12123y y x x --+=结合1212,0x x y y =+=得,123x x ==-,即直线:3A B x =也过定点(3N -.……………………………………………12分综上①②可知,直线AB过定点(3N .………………………………………………13分22.【解】(Ⅰ)2211sin 1()0sin sin x g x x x x θθθ-'=-+=≥对[1,)x ∈+∞恒成立,…………………………2分又因为(0,)θ∈π时,0sin θ<≤1,所以化简得1sin xθ≥,又101x<≤,所以sin 1θ≥比较得sin 1θ=,即2θπ=……………………………………………………………………4分(Ⅱ)由2ln (1)m y m x x x x =--≥ 所以22222(1)mm x x my x x xxx-+'=+-=≥,依题意0y '≥或0y '≤恒成立;…………………5分也即221xm x ≥+或221x m x ≤+对1x ≥恒成立又因为函数2221(111x y x x x x==≤==++时取等号),且0y >………………………7分所以(0,1]y ∈, 也所以m ax 22)11x m x ≥(=+或m in 22)1x m x ≤(+,得0m ≤所以m 的取值范围为1m ≥或0m ≤.…………………………………………………………8分 (Ⅲ)①当0m ≤时,由(Ⅱ)知函数()()y f x g x =-在[1,]x e ∈上单调递减,所以max (1)(1)0y f g =-= 而函数2()e h x x=在[1,]x e ∈上是减函数,所以min ()()2h x h e ==,所以不存在0[1,]x e ∈上满足题意;……………………………………………………………10分 ②当1m ≥时,由(Ⅱ)知函数()()y f x g x =-在[1,]x e ∈上单调递增, 所以()()()y f x g x h x =--也是[1,]x e ∈上增函数,依题意只须()()()0y f x g x h x =-->在[1,]x e ∈上有解,即max 0y >, 所以x e =时,220m m e e --->,解得241e m e >-综上①②可知24(,)1e m e ∈+∞-为所求取值范围.…………………………………………………13分。
湖南省长沙市第一中学2024届高三上学期月考(二)数学试题
湖南省长沙市第一中学2024届高三上学期月考（二）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．26336-C ．2366+4．设向量a 与b的夹角为θ，定义则a b ⊕=（）A ．()34，B ．(-5．血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，浓度达到峰值，此后每经过2浓度的40%，当血药浓度为峰值的A ．11小时B ．136．对于一些不太容易比较大小的实数，我们常常用构造函数的方法来进行，如，已知ln 56a =，ln 47b =，ln 38c =，要比较()ln ln(11)f x x x =-来进行比较，通过计算，你认为下列关系正确的一项是（A ．52C ．1968．定义在R 上的不恒为零的偶函数()()5122k f k f k =⎡⎤+-=⎣⎦∑（A ．30B ．60二、多选题9．气象意义上从春季进入夏季的标志为乙、丙三地连续5天的日平均温度（单位①甲地：5个数据的中位数为②乙地：5个数据的中位数为③丙地：5个数据中有一个数据是则肯定进入夏季的地区有（A ．一个都没有C ．乙地10．点P 是直线3y =上的一个动点，过点则（）A ．存在点P ，使得APB ∠A ．AC 与平面BPQ 有可能平行B ．11B D 与平面BPQ 有可能平行C ．三角形BPQ 周长的最小值为D ．三棱锥A BPQ -的体积为定值12．设正整数010199n a a =⋅+⋅+⋅⋅⋅{}(0,1,2,3,4,5,6,7,80,1,2,i a i ∈=⋅⋅⋅A ．()113ω=C ．()()9101n n ωω+=+三、填空题13．()()5211x x ++的展开式中4x 14．写出一个同时具有下列两个性质的函数①()f x 的值域为(),2-∞；②当x 15．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>足1290F MF ∠=︒，12F MF △的内切圆与16．已知正四面体A BCD -的外接球半径为四、解答题(1)证明：平面POB ⊥平面PBC ；(2)若6PB =，试判断线段PB 上是否存在一点Q （不含端点），使得直线所成角的正弦值为155，若存在，求三棱锥P AQE -的体积，若不存在，说明理由19．ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，点O 为ABC OAC ，OAB 的面积分别为1S ，2S ，3S ，已知22213132S S S S S +-=(1)在①cos cos 1a C c A +=；②4sin sin cos21B A A +=；③12cos sin A A -+个作为条件，判断ABC 是否存在，若存在，求出ABC 的周长，若不存在，说明理由（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）(2)若ABC 为锐角三角形，求ABC 面积的取值范围.20．已知函数ln ()e xxf x a=-.上是减函数，求实数a 的最大值；2ln aa+.．新高考数学试卷中有多项选择题，每道多项选择题有A ，B ，个选项中仅有两个或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得已知测试过程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是某次多项选择题专项训练中，共有(k k ∈N(1)求椭圆C的方程；(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为线AM，BM分别交椭圆于两点P（i）证明：点B在以PQ为直径的圆内；（ii）求四边形APBQ面积的最大值。
湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高三上学期月考(二)数学试题(解析版)
故答案为：
15.用符号 表示不超过 的最大整数（称为 的整数部分），如 ，已知函数 有两个不同的零点 ，若 ，则实数 的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】函数 有两个不同的零点即函数 与函数 的图象有两个不同交点，分类讨论数形结合可得结果.
【详解】函数 有两个不同的零点 ，
即函数 与函数 的图象有两个不同交点，
故选：ABD
10.已知函数 ，则（）
A.函数 的最小正周期为 B. 为函数 的一条对称轴
C.函数 的最小值为1，最大值为2D.函数 在 上单调递减
【答案】BC
【解析】
【分析】根据给定条件利用周期定义、对称性性质判断选项A，B；换元借助二次函数最值判断选项C；利用复合函数单调性判断选项D作答.
【详解】因为 ，所以 ，A错误；
且 ，
由 知 且 ，故 的充要条件是 为纯虚数，
故选：D．
4.如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为 ，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点 到容器底部的距离分别是10和16，则容器内液体的体积是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用补体法可求液体的体积.
同理可得其余各点坐标， ， ， ， ， ，
对于A中， ，故A正确；
对于B中， ，故B正确；
对于C中， ， ， ，
所以 ，故C错误；
对于D中， ， ，所以 在 方向上的投影为 ，
又因为 ，所以 在 方向上的投影，向量为 ，故D正确.
故选：C.
6.已知函数 的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为 ，将 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象.若函 的图象在区间 上是增函数，则 的取值范围为（）
2022-2023学年湖南省长沙市第一中学高三下学期2月月考(六)数学试卷含逐题详解
长沙市一中2023届高三月考试卷（六）数学时量：120分钟满分：150分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合{}32,Z M x x n n ==-∈，{}2,1,0,1,2N =--，则M N ⋂=（）A.{}2,1- B.{}1,2- C.{}1,1- D.{}2,0,2-2.已知复数z 满足()1i 1i z -=+，i 为虚数单位，则z =（）A.iB.2222+ C.11i 22+ D.1i+3.已知()30A -,，()3,0B ，()0,3C ，一束光线从点()1,0F -出发经AC 反射后，再经BC 上点D 反射，落到点()1,0E 上．则点D 的坐标为（）A.15,22⎛⎫⎪⎝⎭B.33,22⎛⎫⎪⎝⎭C.()1,2 D.()2,14.若ππ,24α⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，且23π1cos cos 222αα⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，则tan α=（）A.B.2- C.3- D.-5.据一组样本数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅，求得经验回归方程为 1.20.4y x =+，且3x =．现发现这组样本数据中有两个样本点()1.2,0.5和()4.8,7.5误差较大，去除后重新求得的经验回归直线l 的斜率为1.1，则（）A.去除两个误差较大的样本点后，y 的估计值增加速度变快B.去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程对应直线一定过点()3,5C.去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程为 1.10.7y x =+D.去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点()2,2.7的残差为0.16.在四面体PABC 中，PA AB ⊥，PA AC ⊥，120BAC ∠=︒，2AB AC AP ===，则该四面体的外接球的表面积为（）A.12πB.16πC.18πD.20π7.已知圆O 的半径为1，A 为圆内一点，12OA =，B ，C 为圆O 上任意两点，则AC BC ⋅ 的最小值是（）A.18-B.116-C.116D.188.设()f x 是定义在R 上的函数，若()2f x x +是奇函数，()f x x -是偶函数，函数()()[]()(),0,121,1,f x x g x g x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩，若对任意的[]0,x m ∈，()3g x ≤恒成立，则实数m 的最大值为（）A.133B.174C.92D.143二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.已知函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[]0,π上有且仅有3条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（）A.ω的取值范围是913,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.()f x 在区间()0,π上有且仅有3个不同的零点C.()f x 的最小正周期可能是4π5D.()f x 在区间π0,15⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增10.已知抛物线C ：22x y =的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是C 上异于点O 的两点，O 为坐标原点，则（）A.l 的方程为12x =-B.若32AF =，则AOF 的面积为4C.若0OA OB ⋅=，则9OA OB ⋅≥D.若120AFB ∠=︒，过AB 的中点D 作DE l ⊥于点E ，则ABDE11.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，顶点1,,B C A 到α的距离分别为1,2,3，则（）A.BD 平面αB.平面1A AC ⊥平面αC.直线1AB 与α所成角比直线1AA 与α所成角大D.12.已知a ，b 为正实数，且26ab a b ++=，则（）A.ab 的最大值为2B.2a b +的最小值为5C.1211a b +++的最小值为98D.()0,3a b -∈三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.设直线10x y ++=是曲线ln y a x =-的一条切线，则=a _________．14.楼道里有8盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，则关灯方案有_________种．15.过双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>右焦点F 作直线l ，且直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为A ，直线l 与另一条渐近线交于点B ．且点A ，B 位于x 轴的异侧，O 为坐标原点，若OAB 的内切圆的半径为23b，则双曲线C 的离心率为__________．16.小说《三体》中，一个“水滴”摧毁了人类整个太空舰队，当全世界第一次看到“水滴”的影像时，所有人都陶醉于它那绝美的外形．这东西真的是太美了，像梦之海中跃出的一只镜面海豚，仿佛每时每刻都在宇宙之夜中没有尽头地滴落着．有科幻爱好者为“水滴”的轴截面设计了二维数学图形，已知集合()()(){}22,cos sin 4,0P x y x y θθθπ=-++=≤≤．由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分就如美丽的“水滴”．则图中“水滴”外部阴影部分的面积为_________．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.记n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，已知1n a +是4与n S 的等比中项．（1）求{}n a 的通项分式；（2）证明：2222123111154n a a a a +++⋅⋅⋅+<．18.已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C的对边，且cos sin a C C b c +=+．（1）求A ；（2）已知ABC 的面积为334，设M 为BC的中点，且AM =，BAC ∠的平分线交BC 于N ，求线段AN 的长度．19.近日，某芯片研发团队表示已自主研发成功多维先进封装技术XDFOI，可以实现4nm 手机SOC 芯片的封装，这是中国芯片技术的又一个重大突破，对中国芯片的发展具有极为重要的意义．可以说国产4nm 先进封装技术的突破，激发了中国芯片的潜力，证明了知名院士倪光南所说的先进技术是买不来的、求不来的，自主研发才是最终的出路．研发团队准备在国内某著名大学招募人才，准备了3道测试题，答对两道就可以被录用，甲、乙两人报名参加测试，他们通过每道试题的概率均为()01p p <<，且相互独立，若甲选择了全部3道试题，乙随机选择了其中2道试题，试回答下列问题．（所选的题全部答完后再判断是否被录用）（1）求甲和乙各自被录用的概率；（2）设甲和乙中被录用的人数为ξ，请判断是否存在唯一的p 值0p ，使得() 1.5E ξ=？并说明理由．20.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，2PA PB ==．（1）证明：PAD PBC ∠=∠；（2）当直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值最大时，求此时二面角P AB C --的大小．21.已知()1,0F -，D 是圆C ：()22116x y -+=上的任意一点，线段DF 的垂直平分线交DC 于点P ．（1）求动点P 的轨迹Γ的方程：（2）过点(),0M t 的直线l 与曲线Γ相交于A ，B 两点，点B 关于x 轴的对称点为B '，直线AB '交x 轴于点N ，证明：OM ON ⋅为定值．22.已知函数()1e ln axf x x x-=+，a ∈R ．（1）当1a =时，求函数()f x x -的最小值；（2）若函数()f x x 的最小值为a ，求a 的最大值．长沙市一中2023届高三月考试卷（六）数学时量：120分钟满分：150分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合{}32,Z M x x n n ==-∈，{}2,1,0,1,2N =--，则M N ⋂=（）A.{}2,1- B.{}1,2- C.{}1,1- D.{}2,0,2-【答案】A【分析】利用列举法及交集的定义即可求解.【详解】{}}{32,Z ...,5,2,1,4,7,M x x n n ==-∈=-- ,所以{}2,1M N =- .故选：A.2.已知复数z 满足()1i 1i z -=+，i 为虚数单位，则z =（）A.iB.2222+ C.11i 22+ D.1i+【答案】B【分析】根据向量的除法和向量模的求法，变形的1i 22(1i)=1i1i (1i)(1i)z ++==---+，即可求解.【详解】1i 1122(1i)2(1i)22===i 1i 1i 1i (1i)(1i)222z +++===+----+，故选：B3.已知()30A -,，()3,0B ，()0,3C ，一束光线从点()1,0F -出发经AC 反射后，再经BC 上点D 反射，落到点()1,0E 上．则点D 的坐标为（）A.15,22⎛⎫⎪⎝⎭B.33,22⎛⎫⎪⎝⎭C.()1,2 D.()2,1【答案】C【分析】根据入射光线与反射光线的性质可知GH 方程，由GH 与BC 的交点可得D ，求坐标即可.【详解】根据入射光线与反射光线关系可知，分别作出,F E 关于,AC BC 的对称点,G H ,连接GH ，交BC 于D ，则D 点即为所求，如图，因为AC 所在直线方程为3y x =+，(1,0)F -，设()G x y ,，则132211y x y x -⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪+⎩，解得3,2x y =-=，即(3,2)G -，由BC 所在直线方程为3y x =-+，(1,0)E ，同理可得(3,2)H ，所以直线GH 方程为2y =，由32y x y =-+⎧⎨=⎩解得(1,2)D ，故选：C 4.若ππ,24α⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，且23π1cos cos 222αα⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，则tan α=（）A.3B.2- C.3- D.3-【答案】C【分析】利用三角函数的诱导公式及二倍角的正弦公式，结合三角函数的齐次式法即可求解.【详解】因为ππ,24α⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以tan 1α<-，由23π1cos cos 222αα⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，得21cos sin 22αα+=-，即222cos 2sin cos 1cos sin 2ααααα+=-+，所以212tan 11tan 2αα+=-+，即2tan 4tan 30αα++=，解得tan 3α=-或tan 1α=-(舍).故选：C.5.据一组样本数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅，求得经验回归方程为 1.20.4y x =+，且3x =．现发现这组样本数据中有两个样本点()1.2,0.5和()4.8,7.5误差较大，去除后重新求得的经验回归直线l 的斜率为1.1，则（）A.去除两个误差较大的样本点后，y 的估计值增加速度变快B.去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程对应直线一定过点()3,5C.去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程为 1.10.7y x =+D.去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点()2,2.7的残差为0.1【答案】C【分析】根据直线l 的斜率大小判断A ；求出y 判断B ；再求出经验回归方程判断C ；计算残差判断D 作答.【详解】对于A ，因为去除两个误差较大的样本点后，经验回归直线l 的斜率变小，则y 的估计值增加速度变慢，A 错误；对于B ，由 1.20.4y x =+及3x =得：4y =，因为去除的两个样本点()1.2,0.5和()4.8,7.5，并且1.2 4.80.57.53,422++==，因此去除两个样本点后，样本的中心点仍为(3,4)，因此重新求得的回归方程对应直线一定过点(3,4)，B 错误；对于C ，设去除后重新求得的经验回归直线l 的方程为 ˆ1.1y x a=+，由选项B 知，ˆ4 1.13a =⨯+，解得ˆ0.7a =，所以重新求得的回归方程为 1.10.7y x =+，C 正确；对于D ，由选项C 知， 1.10.7y x =+，当2x =时， 1.120.7 2.9y =⨯+=，则2.7 2.90.2-=-，因此去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点()2,2.7的残差为0.2-，D 错误.故选：C6.在四面体PABC 中，PA AB ⊥，PA AC ⊥，120BAC ∠=︒，2AB AC AP ===，则该四面体的外接球的表面积为（）A.12πB.16πC.18πD.20π【答案】D【分析】由线面垂直的判定定理可得PA ⊥平面ABC ，设底面ABC 的外心为G ，外接球的球心为O ，D 为PA 的中点，可得四边形ODAG 为平行四边形，所以1OG =，在ABC 中，由余弦定理及正弦定理可求AG ，故可求外接球的半径，根据球的表面积公式即可求解.【详解】因为PA AB ⊥，PA AC ⊥，,,AB AC A AB AC =⊂ 平面ABC ,所以PA ⊥平面ABC .设底面ABC 的外心为G ，外接球的球心为O ，则OG ⊥平面ABC ，所以//PA OG .设D 为PA 的中点，因为OP OA =，所以DO PA ⊥.因为PA ⊥平面ABC ，AG ⊂平面ABC ,所以PA ⊥AG ，所以//OD AG .因此四边形ODAG 为平行四边形，所以112OG AD PA ===.因为120BAC ∠=︒，2AB AC ==，所以BC=,由正弦定理，得24232AG AG==⇒=.所以该外接球的半径R满足()()2225R OG AG=+=,故该外接球的表面积为24π20πS R==.故选:D.7.已知圆O的半径为1，A为圆内一点，12OA=，B，C为圆O上任意两点，则AC BC⋅的最小值是（）A.18- B.116- C.116 D.18【答案】A【详解】首先设OA与BC所成角为θ，根据题意得到()1cos cos2AC BC OC OA BC OC BC OA BC BC BCO BCθ⋅=-⋅=⋅-⋅=∠-，再根据221111cos2222BC BC BC BCθ-≥-求解即可.【点睛】如图所示：设OA与BC所成角为θ，因为()1cos cos2AC BC OC OA BC OC BC OA BC BC BCO BCθ⋅=-⋅=⋅-⋅=∠-，因为112cos2BCBCO BCOC∠==，所以211cos22AC BC BC BCθ⋅=-因为221111cos2222BC BC BC BCθ-≥-，当0θ= 时，等号成立.因为02BC≤≤，所以当12BC=时，21122BC BC-取得最小值为18-，所以当12BC = 时，AC BC ⋅ 取得最小值为18-.故选：A8.设()f x 是定义在R 上的函数，若()2f x x +是奇函数，()f x x -是偶函数，函数()()[]()(),0,121,1,f x x g x g x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩，若对任意的[]0,x m ∈，()3g x ≤恒成立，则实数m 的最大值为（）A.133B.174C.92D.143【答案】B【分析】由()2f x x +是奇函数，()f x x -是偶函数，求出()2f x x x =-，再根据()()[]()(),0,121,1,f x x g x g x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩，作出函数()g x 的图象即可求解.【详解】因为()2f x x +是奇函数，()f x x -是偶函数，所以()()()()()22f x x f x x f x x f x x⎧-+-=--⎪⎨-+=-⎪⎩，解得()2f x x x =-，由()()[]()(),0,121,1,f x x g x g x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩，当()1,2x ∈时，则()10,1x -∈，所以()()()2121g x g x f x =-=-，同理：当()2,3x ∈时，()()()()214242gx g x g x f x =-=-=-，以此类推，可以得到()g x 的图象如下：由此可得，当()4,5x ∈时，()()164g x f x =-，由()3g x ≤，得()()16453x x --≤，解得174x ≤或194x ≥，又因为对任意的[]0,x m ∈，()3g x ≤恒成立，所以1704m <≤，所以实数m 的最大值为174.故选：B.【点睛】本题考查了奇函数与偶函数的性质，抽象函数的周期性，通过递推关系分析出每一个区间的解析式是本题的关键，数形结合是解题中必须熟练掌握一种数学思想，将抽象转化为形象，有助于分析解决抽象函数的相关问题.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.已知函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[]0,π上有且仅有3条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（）A.ω的取值范围是913,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.()f x 在区间()0,π上有且仅有3个不同的零点C.()f x 的最小正周期可能是4π5D.()f x 在区间π0,15⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】ACD【分析】由[]0,πx ∈，得πππ,π444x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，再根据函数()f x 在区间[]0,π上有且仅有3条对称轴，可得5ππ7ππ242ω≤+<，可求出ω的取值范围判断A ，再利用三角函数的性质可依次判断BCD ．【详解】由[]0,πx ∈，得πππ,π444x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，因为函数()f x 在区间[]0,π上有且仅有3条对称轴，所以5ππ7ππ242ω≤+<，解得91344ω≤<，故A 正确；对于B ，(0,π)x ∈ ，∴πππ,π444x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，∴π5π7ππ,422ω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，当π5π,3π42x ω⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦时，()f x 在区间(0,π)上有且仅有2个不同的零点；当π7π3π,42x ω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭时，()f x 在区间(0,π)上有且仅有3个不同的零点，故B 错误；对于C ，周期2πT ω=，由91344ω≤<，则414139ω<≤，∴8π8π139T <≤，又84ππ58π,139⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以()f x 的最小正周期可能是4π5，故C 正确；对于D ， π0,15x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ππππ,44154x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，又91344ω≤<，∴ππ2π7ππ,0,1545152ω⎡⎫⎛⎫+∈⊆⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，所以()f x 在区间π0,15⎛⎫ ⎪⎝⎭上一定单调递增，故D 正确．故选：ACD.10.已知抛物线C ：22x y =的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是C 上异于点O 的两点，O 为坐标原点，则（）A.l 的方程为12x =-B.若32AF =，则AOF 的面积为24C.若0OA OB ⋅= ，则9OA OB ⋅≥D.若120AFB ∠=︒，过AB 的中点D 作DE l ⊥于点E ，则ABDE 【答案】BD【分析】A 选项，由抛物线方程得到准线方程，A 错误；由焦半径公式得到1A y =，进而求出A x =到AOF 的面积，B 正确；由0OA OB ⋅= 得到4A B x x =-，4A B y y =，表达出()2222232A B A B OA OB x y y x ⋅=++，结合基本不等式求出最值，C 错误；作出辅助线，设,AF a BF b ==，由焦半径公式得到2a b DE +=，结合余弦定理，基本不等式得到AB DE 的最小值.【详解】22x y =的焦点为10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为12y =-，故A 错误；由焦半径公式可知：1322A AF y =+=，解得1A y =，故222A A x y ==，故A x =所以AOF 的面积为11122224A OF x ⋅=⨯=，B 正确；若0OA OB ⋅= ，则0A B A B x x y y +=，即22104A B A B x x x x +=，解得：4A B x x =-，则4A B y y =，故()()()2222222223232A A B B AB A B OA OB x y x y x y y x ⋅=++=++≥+32264A B A B x x y y =+⋅=，故8OA OB ⋅≥，当且仅当A B A B x y y x =时，等号成立，C 错误；过点A 作1AA ⊥l 于点1A ，过点B 作1BB ⊥l 于点1B ，设,AF a BF b ==，所以2a b DE +=，因为()2222222cos AB a b ab AFB a b ab a b ab=+-∠=++=+-()()22223342a b a b a b DE ++⎛⎫≥+-== ⎪⎝⎭，所以AB ≥，AB DE .故选：BD【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．11.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，顶点1,,B C A 到α的距离分别为1,2,3，则（）A.BD 平面αB.平面1A AC ⊥平面αC.直线1AB 与α所成角比直线1AA 与α所成角大D.【答案】ABD【分析】根据点到面的距离的性质，结合线面垂直的判定定理、线面角的定义、面面相交的性质进行求解判断即可.【详解】解：设,AC BD 的交点为O ，显然O 是AC 、BD 的中点，因为平面ABCD A α= ，C 到平面α的距离为2，所以O 到平面α的距离为1，又B 到平面α的距离为1，所以//BO 平面α，即//BD 平面α，即A 正确；设平面ABCD l α= ，所以//BD l ，因为ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，又因为1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥，因为11,,AA AC A AA AC ⋂=⊂平面1A AC ，所以BD ⊥平面1A AC ，因此有l ⊥平面1A AC ，而l ⊂α，所以平面1A AC ⊥平面α，因此选项B 正确；设1B 到平面α的距离为d ，因为平面11AA B B A α= ，11AA B B 是正方形，点1A ，B 到α的距离分别为3，1，所以有31422d d +=⇒=，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a，设直线1AB 与α所成角为β，所以1422sin AB a β===，设直线1AA 与α所成角为γ，所以133sin AA aγ==，因为3>sin sin βγβγ<⇒<，因此选项C 不正确；因为平面1A AC ⊥平面α，平面1A AC ⋂平面A α=，所以1,C A 在平面α的射影,E F 与A 共线，显然1112,3,,,CE A F AC AA a AA AC ====⊥，如图所示：由11ECA CAE CAE A AF ECA A AF ∠+∠=∠+∠⇒∠=∠，111cos ,sin A F CE ECA A AF AC AA ∠=∠=，由2212249cos sin 112ECA A AF a a a∠+∠=⇒+=⇒=，因此选项D 正确，故选：ABD 12.已知a ，b 为正实数，且26ab a b ++=，则（）A.ab 的最大值为2B.2a b +的最小值为5C.1211a b +++的最小值为98D.()0,3a b -∈【答案】AC【分析】由已知条件结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可求解.【详解】依题意，对于A ：因为26ab a b ++=，所以62ab a b ab =++≥+，当且仅当2a b =时取等号，令0t =>，则有260t +-≤，解得t -≤≤，又因为0t =>，所以0t <≤，即0<≤ab 的最大值为2，故A 选项正确；对于B ：因为26ab a b ++=，所以()221162222224a b ab a b ab a b a b +=++=⨯++≤+，当且仅当2a b =时取等号，令20t a b =+>，则有28480t t +-≥，解得4t ≥或t 12≤-（舍去），即24a b +≥，所以2a b +的最小值为4，故B 选项错误；对于C ：因为26ab a b ++=，所以12111888b b a ++==++，所以81221119888111a b b b +++≥=+++=++，当且仅当2118b b +=+，即3b =时等式成立，所以1211a b +++的最小值为98，故C 选项正确；对于D ：当14a =，225b =时，()4.150,3a b -=∉，所以D 选项错误；故选：AC.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.设直线10x y ++=是曲线ln y a x =-的一条切线，则=a _________．【答案】2-【分析】设切点为()00,x y ，根据导数的几何意义求出切点的横坐标，再根据切点即在曲线上又在切线上即可得解.【详解】设切点为()00,x y ，1y x '=-，则0011x x y x ==-=-'，所以01x =，所以切点为()1,a ，又切线为10x y ++=，所以110a ++=，解得2a =-.故答案为：2-.14.楼道里有8盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，则关灯方案有_________种．【答案】20【分析】根据题意，原问题等价于在5盏亮灯的6个空隙中插入3盏不亮的灯，由组合公式计算即可求解.【详解】依题意，原问题等价于在5盏亮灯的6个空隙中插入3盏不亮的灯，则有36C 20=种方案.故答案为：20.15.过双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>右焦点F 作直线l ，且直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为A ，直线l 与另一条渐近线交于点B ．且点A ，B 位于x 轴的异侧，O 为坐标原点，若OAB 的内切圆的半径为23b ，则双曲线C 的离心率为__________．【答案】【分析】作出图象，设OAB 的内切圆的圆心为M ，易知M 在AOB ∠的平分线Ox 上，过M 分别作MN OA ⊥于N ，MT AB ⊥于T ，则有四边形MTAN 为正方形，则2||||3b NA MN ==，2||3b ON a =-，由tan MNb AOF ON a ∠==，可得2a b =，由斜率公式即可得答案.【详解】解：如图所示：设A 在第一象限，由题意可知22bc AF d b a b ===+，其中d 为点(c,0)F 到渐近线b y x a =的距离，||OF c =，所以2222||||||OA OF AF c b a =-=-，设OAB 的内切圆的圆心为M ，则M 在AOB ∠的平分线Ox 上，过M 分别作MN OA ⊥于N ，MT AB ⊥于T ，又因为FA OA ⊥于A ，所以四边形MTAN 为正方形，所以2||||3b NA MN ==，所以2||||||3b ON OA NA a =-=-，又因为2||3tan 2||3b MN b AOF b ON a a ∠===-，所以2233a b a =-，2a b =，所以22225c a b b =+=，所以5c b =，所以5522c b e a b ===.故答案为：52.16.小说《三体》中，一个“水滴”摧毁了人类整个太空舰队，当全世界第一次看到“水滴”的影像时，所有人都陶醉于它那绝美的外形．这东西真的是太美了，像梦之海中跃出的一只镜面海豚，仿佛每时每刻都在宇宙之夜中没有尽头地滴落着．有科幻爱好者为“水滴”的轴截面设计了二维数学图形，已知集合()()(){}22,cos sin 4,0P x y x y θθθπ=-++=≤≤．由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分就如美丽的“水滴”．则图中“水滴”外部阴影部分的面积为_________．【答案】16π33+【分析】根据图形与()()(){}22,cos sin 4,0πP x y x y θθθ=-+-=≤≤，建立直角坐标系，画出图形，求出相应的坐标，先求第一、二象限的阴影面积，再求第三象限的阴影面积，再求和即可求解.【详解】根据题意，建立直角坐标系，如图所示：在方程()()22cos sin 4x y θθ-+-=，0πθ≤≤中，令0x =，则有222cos 2sin sin 4y y θθθ+-+=，所以12sin y yθ=-，其中0πθ≤≤，所以[]sin 0,1θ∈，所以[]12sin 0,2y y θ=-∈，解得3,13,3y ⎡⎤⎤∈-⎣⎦⎦ ，所以(3A ，()0,3E ，()0,1G -，(0,3D ，令0θ=，则有()2214x y -+=，所以()1,0C ，()3,0N ，令πθ=，则有()2214x y ++=，所以()1,0B -，()3,0M -.由()3,0M -，()3,0N ，()0,3E 易得 MEN与线段MN 组成的图形为229x y +=的上半圆，由此可知，在第一、第二象限中的阴影面积是由229x y +=的上半圆减去()2214x y -+=上半圆与()2214x y ++=上半圆相交的部分形成，即 BAC与线段BC 组成的面积，设为S 水滴上部.由(A ，()1,0B -，()1,0C 三点易得ABC 为边长为2的等边三角形，所以212ππ263ABC AnC S S =⨯⨯-=- 弓形所以4π23ABC AnC S S S =+=弓形水滴上部，设第一、二象限的阴影面积为1S ，则19π9π4π19π2236S S =-=-++水滴上部.由()1,0B -，()1,0C ，()0,1G -易得 BGC与线段BC 组成的图形为221x y +=的下半圆，设在第三象限中的阴影面积为2S ，则有2π4MOD MpD S S S =+-弓形，由图知11333222MOD S MO OD =⨯⨯=⨯=11222MBD S MB OD =⨯⨯=⨯⨯ ，2π3MBD ∠=，所以214ππ233MBD MpD S S =⨯⨯-=- 弓形，所以2π4ππ13π4234122MOD MpD S S S =+-=-=+ 弓形，所以图中“水滴”外部阴影部分的面积为：1219π13π316π2261223S S S ⎛=+=+⨯+=+ ⎝⎭故答案为：16π3+.【点睛】本题考查了圆与三角函数综合的知识点，可以根据图形的对称性建立直角坐标系，将图形转化为实际的数据，割补法是求阴影面积常用的方法，需要考生有一定的分析转化能力.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.记n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，已知1n a +是4与n S 的等比中项．（1）求{}n a 的通项分式；（2）证明：2222123111154n a a a a +++⋅⋅⋅+<．【答案】（1）21n a n =-（2）证明见解析【分析】(1)由等比中项得()214n n a S +=，进而由递推式计算出11a =，并得到12n n a a --=，得数列{}n a 是等差数列，进而可求解；(2)由()22111114121n a n n n ⎛⎫=<- ⎪-⎝⎭-，从第二项开始放缩即可证明.【小问1详解】∵1n a +是4与n S 的等比中项，∴()214n n a S +=①．当1n =时，()2111144a S a +==，∴11a =．当2n ≥时，()21114n n a S --+=②，由①-②得，()()()22111144n n n n n a a S S a --+-+=-=，∴()()1120n n n n a a a a ----+=，∵0n a >，∴12n n a a --=，∴数列{}n a 是首项为l ，公差为2的等差数列，∴{}n a 的通项公式21n a n =-．【小问2详解】由（1）得2111a =，当2n ≥时，()22221111111441444121n a n n n n n n n ⎛⎫==<=- ⎪-+--⎝⎭-，∴22222221232311111111n na a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+1111111115151114122314444n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-+⋅⋅⋅+-=+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦18.已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C的对边，且cos sin a C C b c +=+．（1）求A ；（2）已知ABC 的面积为334，设M 为BC的中点，且AM =，BAC ∠的平分线交BC 于N ，求线段AN 的长度．【答案】（1）π3A =（2）5AN =【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化将原式化简，再结合三角恒等变换即可求得结果；（2）根据题意，可得()22222242AM AB AC AB AB AC AC c b bc =+=+⋅+=++ ，再结合三角形的面积公式，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】由题意知ABC 中，cos sin a C C b c +=+，由正弦定理边角关系得：则sin cos sin A C A C ()sin sin sin sin sin cos cos sin sin B C A C C A C A C C =+=++=++，sin cos sin sin A C A C C =+，∵()0,πC ∈，∴sin 0C ≠cos 1A A -=，∴π2sin 16A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又()0,πA ∈，ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以ππ=66A -，即π3A =．【小问2详解】如下图所示，在ABC 中，AM 为中线，∴2AM AB AC =+，∴()22222242AM AB AC AB AB AC AC c b bc =+=+⋅+=++ ，∴2212b c bc ++=．∵334ABC S =△，∴1sin 244bc A ==，3bc =，∴b c +==，∵ABC ABN ACN S S S =+△△△，∴()331π15sin 4264b c AN AN =+=，∴355AN =．19.近日，某芯片研发团队表示已自主研发成功多维先进封装技术XDFOI，可以实现4nm 手机SOC 芯片的封装，这是中国芯片技术的又一个重大突破，对中国芯片的发展具有极为重要的意义．可以说国产4nm 先进封装技术的突破，激发了中国芯片的潜力，证明了知名院士倪光南所说的先进技术是买不来的、求不来的，自主研发才是最终的出路．研发团队准备在国内某著名大学招募人才，准备了3道测试题，答对两道就可以被录用，甲、乙两人报名参加测试，他们通过每道试题的概率均为()01p p <<，且相互独立，若甲选择了全部3道试题，乙随机选择了其中2道试题，试回答下列问题．（所选的题全部答完后再判断是否被录用）（1）求甲和乙各自被录用的概率；（2）设甲和乙中被录用的人数为ξ，请判断是否存在唯一的p 值0p ，使得() 1.5E ξ=？并说明理由．【答案】（1）甲被录用的概率为2332p p -，乙被录用的概率为2333p p -（2）不存在；理由见解析【分析】(1)分析已知，甲被录用符合二项分布，乙被录用符合组合排列，分别利用对应求概率公式计算即可.(2)先分析ξ的可能取值，然后分别求解对应概率，再利用离散型数学期望的公式表示出数学期望，然后构造函数，利用求导分析函数单调性，进而判断即可.【小问1详解】由题意，设甲答对题目的个数为X ，得()~3,X B p ，则甲被录用的概率为()2232313C 132P p p p p p =-+=-，乙被录用的概率为()222332C 133P p p p p =-=-．【小问2详解】ξ的可能取值为0，1，2，则()()()12011P P P ξ==--，()()()1212111P P P P P ξ==-+-，()122P PP ξ==，∴()()()()()121212*********E P P P P P P PPξ=⨯--+⨯-+-+⨯⎡⎤⎣⎦23232312323365 1.5P P p p p p p p =+=-+-=-=，32101230p p ∴-+=，设()()321101230f p p p p +=<<-，则()23024f p p p '=-．∴当405p <<时，()f p 单调递减，当415p <<时，()f p 单调递增，又()03f =，()11f =，4110525f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以不存在p 的值0p ，使得()00f p =.20.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，2PA PB ==．（1）证明：PAD PBC ∠=∠；（2）当直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值最大时，求此时二面角P AB C --的大小．【答案】（1）证明见解析（2）6π【分析】(1)分别取AB ，CD 的中点E ，F ，连接PE ，EF ，PF ，证明出PC PD =，可得PAD PBC ≌△△，由此可证得结论成立；(2)先根据条件推出PEF ∠为二面角P AB C --的平面角，设PEF α∠=，建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合基本不等式求出直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值的最大值，求出对应的角的值，即可求解.【小问1详解】分别取AB ，CD 的中点E ，F ，连接PE ，EF ，PF ，∵PA PB =，E 为AB 的中点，∴PE AB ⊥．∵四边形ABCD 为正方形，则AB CD ∥且AB CD =，∴CD PE ⊥．∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点，∴EF AD ∥，∴EFCD ⊥，∵EF PE E ⋂=，∴CD ⊥平面PEF ．∵PF ⊂平面PEF ，∴CD PF ⊥．在PCD 中，∵F 为CD 的中点，CD PF ⊥，∴PC PD =．又∵PA PB =，AD BC =，∴PAD PBC ≌△△，从而可得PAD PBC ∠=∠．【小问2详解】由（1）可知PE AB ⊥，EF AB ⊥，∴PEF ∠为二面角P AB C --的平面角，且223PE PA AE =-=，以点E 为坐标原点，EB ，EF 所在直线分别为x ，y 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设PEF α∠=，其中0απ<<，则()1,0,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()1,2,0D -，()0,2,0F，(),P αα，()AP αα= ，()2,0,0DC =uuu r，()FP αα=- ．设平面PCD 的法向量为(),,n x y z = ，由00n DC n FP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即202)0x y z αα=⎧⎪⎨-⋅=⎪⎩，取y α=，则2z α=-，0x =，∴(),2n αα=- ，cos ,n AP n AP n AP ⋅<>==⋅=令(77t α-=∈-+，则cos α=，则cos ,2n AP <>= ，当且仅当1t =时，即当3cos 2α=时，即当6πα=时，等号成立．所以当直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值最大时，二面角P AB C --为6π．21.已知()1,0F -，D 是圆C ：()22116x y -+=上的任意一点，线段DF 的垂直平分线交DC 于点P ．（1）求动点P 的轨迹Γ的方程：（2）过点(),0M t 的直线l 与曲线Γ相交于A ，B 两点，点B 关于x 轴的对称点为B '，直线AB '交x 轴于点N ，证明：OM ON ⋅为定值．【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【分析】（1）由中垂线性质，可知42PC PF PC PD DC FC +=+==>=，得动点P 的轨迹以C ，F 为焦点的椭圆；（2）将直线l 与曲线Γ方程联立，利用韦达定理及题目条件表示出点N 坐标，后可得答案.【小问1详解】圆C ：()22116x y -+=，圆心为()1,0，半径为4，因为线段DF 的垂直平分线交DC 于P 点，所以PD PF =，所以42PC PF PC PD DC FC +=+==>=，所以由椭圆定义知，P 的轨迹是以C ，F 为焦点的椭圆，则242a a =⇒=，221c c =⇒=，2223b a c =-=.故轨迹方程为：22143x y +=．【小问2详解】依题意，直线l 不垂直于坐标轴，设直线l 的方程为()0x my t m =+≠，将其与Γ方程联立：22143x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()2223463120m y mty t +++-=.方程判别式()2248430m t +->，设()11,A x y ，()22,B x y ，则()22,B x y '-，由韦达定理有122634mt y y m -+=+，212231234t y y m -=+，则直线AB '的方程为()121112y y y y x x x x +-=--，令()1212211212N 121212202my y t y y x y x y y y y x m t y y y y y y +++=⇒===⋅++++2312426t m t mt t -=⋅+=-，则40,N t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，得()400,，,OM t ON t ⎛⎫== ⎪⎝⎭.∴44OM ON t t⋅=⋅= ．即OM ON ⋅ 为定值4．22.已知函数()1e ln ax f x x x-=+，a ∈R ．（1）当1a =时，求函数()f x x -的最小值；（2）若函数()f x x的最小值为a ，求a 的最大值．【答案】（1）0（2）1【分析】（1）当1a =时，令()()F x f x x =-，求得()()()121e x x x x F x --=-'，根据()F x '在不同区间的符号判断()F x 的单调性，由单调性即可求出()()F x f x x =-的最小值；（2）将()≥f x a x 等价变换为()0f x ax -≥，借助第（1）问中判断()()()121e x x x x F x --=-'的符号时构造的()1e x g x x -=-在1x =时取最小值，取()ln g ax x -，将问题转化为ln 1ax x -=有解问题即可.【小问1详解】当1a =时，令()()1e ln x x x F xf x x x-+=--=，()0,x ∈∞，则()()()()()11112221e e 11e e 11x x x x x x x x x x x xF x x x ------+-'==-⋅-+-=，令()1e x g x x -=-，x ∈R ，则()1e 1x g x -'=-，易知()g x '在R 上单调递增，且()10g '=，∴当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 在区间()0,1上单调递减，且()()110e x g x x g -=->=，当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在区间()1,+∞上单调递增，且()()110ex g x x g -=->=，∴当()0,1x ∈时，()()()121e 0x x x F x x --'=-<，()F x 在区间()0,1上单调递减，当()1,x ∈+∞时，()()()121e 0x x x F x x --'=->，()F x 在区间()1,+∞上单调递增，当1x =时，()F x 取得极小值，也是最小值，()()11min e 1ln1101F x F -==+-=，∴当1a =时，函数()f x x -的最小值为0.【小问2详解】由已知，()f x 的定义域为()0,∞+，若函数()f x x 的最小值为a ，则有()≥f x a x，∴()f x ax ≥，()0f x ax -≥，令()()h x f x ax =-，即()()1e ln ax x ax h x x ax xf -+=--=的最小值为0，由第（1）问知，当且仅当1x =时，()1e xg x x -=-取最小值()10g =，∴当且仅当ln 1ax x -=时，()ln g ax x -取得最小值0，又∵()()()l 1l 1n 1n n e e ln l ln ln e e ax ax ax x x g ax x ax x x ax x ax h x x-----=--=+-=-=，∴只需令ln 1ax x -=有解，即ln 1x a x +=有解，令()ln 1x H x x +=，()0,x ∈+∞，则()()221ln 1ln x x x x H x x x ⋅-+'==-，当()0,1x ∈时，()2ln 0x H x x'=->，()H x 在区间()0,1上单调递增，当()1,x ∈+∞时，()2ln 0x H x x '=-<，()H x 在区间()1,+∞上单调递减，∴()()ln 111x a H x H x+==≤=，综上所述，若函数()f xx的最小值为a，则a的最大值为1.【点睛】在导数压轴题中，常常会使用前问的结论或某一步构造的函数，解决后面的问题.本题第（2）问中直接求导分析()()1e lnaxx axh x x axxf-+=--=的单调性较为困难，这里使用了换元思想，借助第（1）问构造的()1e xg x x-=-，使()()lng ax x h x-=，以达到简化运算的目的.。
湖南省长沙一中2016届高三下学期月考数学试卷(理科)(七) 含解析
2015-2016学年湖南省长沙一中高三（下)月考数学试卷（理科）（七）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合U=R，A={x｜0≤x≤2}，B={y｜y=2x，x∈R},则（∁U A）∩B=（) A．（﹣∞，0) B．（0,1）C．（1,2］D．（2，+∞)2．“（m﹣1）(a﹣1）＞0”是“log a m＞0”的一个（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．若复数z满足z2+2z=﹣10，则｜z|=(）A．B． C．3 D．4．执行如图所示的程序框图,如果输入n=3，则输出的S=（)A．B．C．D．5．展开式中除常数项外的其余项的系数之和为（）A．5377 B．﹣5377 C．5375 D．﹣53756．已知函数f（x）=x+，g(x）=2x+a，若∀x1∈[，1]，∃x2∈［2，3］，使得f（x1）≥g(x2)，则实数a的取值范围是（）A．a≤1 B．a≥1 C．a≤2 D．a≥27．将函数向右平移个单位，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍,得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x)与,,x 轴围成的图形面积为（）A ．B ．C ．D ．8．已知不等式组表示平面区域Ω,过区域Ω中的任意一个点P ，作圆x 2+y 2=1的两条切线且切点分别为A 、B ，当∠APB 最大时，•的值为（ ） A ．2 B ． C ．D ．3 9．已知向量满足：，则在上的投影长度的取值范围是( ）A ．B ．C ．D ．10．已知双曲线C 与椭圆+=1有相同的焦点F 1、F 2，点P 为双曲线C 与椭圆的一个交点，且满足｜PF 1|=2｜PF 2|,则双曲线C 的渐近线方程是( )A ．y=±xB ．y=±xC ．y=±xD ．y=±x11．已知函数y=f （x ）是R 上的可导函数,当x ≠0时,有，则函数的零点个数是( ）A ．0B ．1C ．2D ．312．已知数列｛a n }是等差数列，数列{b n }是等比数列，公比为q,数列{c n ｝中，c n =a n b n ，S n 是数列｛c n }的前n 项和，若S m =7，S 2m =﹣201(m 为正偶数),则S 4m 的值为（ ） A ．﹣1601 B ．﹣1801 C ．﹣2001 D ．﹣2201二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．。
湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高三上学期月考(五)化学试题及答案
长沙市一中2024届高三月考试卷（五）化学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.可能用到的相对原子质量：H ～1Li ～7C ～12N ～14O ～16Cl ～35.5K ～39Zn~65第Ⅰ卷（选择题共42分）一、选择题（本题共14小题，每小题3分，共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.“绿水青山，就是金山银山”.近年来我国的环境保护工作取得了长足进步，人们的生活环境得到了极大改善，下列说法错误的是（）A.使用聚乳酸可降解餐具可减少白色垃圾B.水泥厂和冶金厂常用高压直流电除去大量烟尘，减少对空气的污染C.乙醇汽油的广泛使用不能减少汽车尾气中NO x 的排放D.燃煤时鼓入过量的空气可以减少酸雨的产生2.下列化学用语表示正确的是（）A 乙二酸的实验式：224C H O B.基态C 原子的轨道表示式：C.()3232CH CH CH CH 的名称：3-甲基戊烷D.聚丙烯的链节：222CH CH CH ----3.设A N 为阿伏加德罗常数的值，下列说法不正确的是（）A.37Na ClO 与35H Cl 反应每产生271gCl ，转移电子的数目小于A NB.含240.2molH SO 的浓硫酸与足量的镁反应，转移的电子数大于A 0.2NC.264.6gC H O 完全燃烧，可能有A 0.6N 个C H -断裂D.30.1molAlCl 受热熔融时电离得到的离子数目为A 0.4N 4.下列有关实验仪器（或装置）的使用正确的是（）A.图①：除去苯中混有的苯酚B.图②：排出盛有4KMnO 溶液的滴定管尖嘴内的气泡C.图③：分离碘和氯化钠混合物D.图④：吸收HCl 制盐酸5.滑雪镜的制作材料是一种高分子材料—聚碳酸酯（简称PC ），其合成方法和分子结构如图所示，下列说法正确的是（）A.反应物Ⅰ的分子式为1514C H OB.反应物Ⅱ分子中所有原子可能共平面C.向反应后的混合物中加入3FeCl 溶液检验反应物Ⅰ是否完全反应D.PC 有很好的光学性能，且耐强碱6.表示下列反应的离子方程式正确的是（）A.用过量23Na CO 溶液吸收废气中的2SO ：22322332CO SO H O SO 2HCO ---++=+B.在氨水中加入少量4CuSO 溶液：23224Cu2NH H O Cu(OH)2NH +++⋅=↓+C.向碘化亚铁溶液中滴加少量桸硝酸：23323Fe4H NO 3Fe 2H O NO ++-+++=++↑D.向()32Mg HCO 溶液中加入过量的NaOH 溶液：2332Mg2HCO 2OH MgCO 2H O+--++=↓+7.某化合物通过界面埋入可以实现钙钛矿太阳能电池的高稳定性，其结构如图.X 、Y 、Z 、W 、M 是原子序数依次增大的前四周期主族元素，X 与Z 的原子序数之和与W 的原子序数相等.下列说法正确的是（）A.分子极性：33XZ WY > B.简单氢化物的沸点：Z ＞Y ＞XC.2YZ 和2WY 的VSEPR 模型名称相同D.与M 原子最外层电子数相同的同周期元素还有1种8.雄黄（44As S ，）与雌黄（23As S ，，）是古代重要的药物和染料，二者可发生如图转化：雄黄2H O2333As O H AsO −−−→Ⅱ（三元弱酸）雌黄，A N 表示阿伏加德罗常数的值.下列说法正确的是（）A.0.5mol 雄黄中含有A N 个S S-B.反应Ⅰ中，氧化剂与还原剂的物质的量之比为7:1C.230.1mol /LNaH AsO 溶液中的离子浓度存在如下关系：()()()()()2333H Na OH 2HAsO 3AsO c c c c c ++---+=++D.雌黄分子中As 原子的杂化方式为3sp ，S 原子的杂化方式为2sp 9.过氧硫酸氢根()5HSO -参与烯烃的不对称环氧化反应的机理如图，下列说法不正确的是（）A.该反应有水生成B.利用此反应可将乙烯氧化为环氧乙烷C.过氧硫酸氢根是该反应的催化剂D.5HSO -、均有较强的氧化性10.下列实验操作、现象、实验结论均正确的是（）选实验操作现象结论项A向等浓度等体积的22H O 中分别加入等浓度等体积的4KMnO 溶液和4CuSO 溶液前者产生气泡速率快4KMnO 的催化效果比4CuSO 好B向NaCl 、NaI 的混合溶液中滴入少量稀3AgNO 溶液有黄色沉淀生成()()sp sp AgCl AgI K K >C取A 、B 两支试管，各加入4mL0.01mol /L 的224H C O 溶液，然后向A 试管中加入2mL0.01mol/L 酸性高锰酸钾溶液，同时向B 试管中加入2mL0.02 mol/L 酸性高锰酸钾溶液B 试管褪色时间短其他条件不变时，增大反应物的浓度，反应速率加快D取5mL0.1mol /LKI 溶液于试管中，加入31mL0.1mol /LFeCl 溶液，充分反应后滴入5滴15%KSCN溶液溶液变红3Fe +与I -的反应有一定限度11.我国科研团队设计了一种表面锂掺杂的锡纳米粒子催化剂s SnLi -，可提高电催化制甲酸盐的产率，同时释放电能，实验原理如图1所示，图2为使用不同催化剂时反应过程中的相对能量的变化.下列说法错误的是（）图1图2A.2O 、2CO 均为非极性分子B.充电时，阳极发生反应：224OH 4e O 2H O---=+C.使用催化剂Sn 或s SnLi -均能有效提高甲酸盐的选择性D.放电时，当Zn 电极质量减少6.5g 时，电解质溶液增重6.5g12.2N O 是常见的环境污染性气体.一定温度下，向三个容积不等的恒容密闭容器中分别投入21molN O ，发生反应：()()()2222N O g 2N g O g + .反应相同时间内，三个容器中2N O 的转化率如图中A 、B 、C 三点.下列叙述正确的是（）A.A 点的v 正小于C 点的v 逆B.C 点加入适当催化剂，不能提高2N O 的转化率C.若B 点为平衡点，在该温度下，反应的平衡常数 6.4K =D.在恒温恒容下，向A 点平衡体系中再充入一定量的2N O ，与原平衡相比，2N O 的平衡转化率减小13.2Mg Fe 是目前储氢密度最高的材料之一，其晶胞结构如图所示，晶胞边长为pm a .Mg 原子占据Fe 形成的所有四面体空隙，储氢后，2H 分子占据Fe 形成的八面体空隙，化学式为()22Mg Fe H x .下列说法正确的是（）A.2Mg Fe 晶胞中，存在的化学键类型为金属键和离子键B.氢气储满后晶体的化学式为()222Mg Fe HC.氢气储满后，2H 和2H的最短距离为pm 2a D.晶胞中Fe 与Mg 的配位数均为414.常温下，向一定浓度224H C O 溶液中加入()KOH s ，保持溶液体积和温度不变，测得pH 与lgX -［X 为()224H C O c 、()224C Oc -、()()22424C O HC O c c --］变化如图所示.下列说法错误的是（）A.常温下，224H C O 的 2.3al 10K -=B.a 点溶液中：()()()()()24224KOH HC O 2H C O H c c c c c +--+-=+-C.24KHC O 溶液中：()()()22424224HC O C O H C O c c c -->>D.b 点溶液中：()()24K3HC O c c +-<第Ⅱ卷（非选择题共58分）二、非选择题（本题共4小题，共58分.）15.（14分）乙酰苯胺是一种白色结晶粉末，可用作止痛剂、退热剂、防腐剂和染料中间体.已知：物质苯胺冰醋酸乙酰苯胺熔点-6.2℃16.6℃113℃沸点184℃117.9℃304℃其他性质微溶于水，易被氧化而变色—白色晶体，难溶于水，易溶于乙醇等有机溶剂Ⅰ.粗乙酰苯胺的制备：制备原理：实验装置：如图所示（加热、夹持装置略）实验步骤：①向仪器a 中加入11.4mL （约0.2mol ）冰醋酸、9.1mL （约0.1mol ）无水苯胺、0.1g 锌粉；②组装好仪器，对仪器a 加热，当温度计读数达到100℃左右时有液体馏出，维持温度在100～105℃之间反应60min ；③反应结束后，在搅拌下趁热将反应液倒入盛有冷水的烧杯中，析出固体，将混合物抽滤得到乙酰苯胺粗品.（1）仪器a 的名称是__________.仪器a 的最适宜规格为__________（填标号）.a.25mLb.50mLc.150mLd.200mL（2）步骤②中锥形瓶中的馏出液主要成分是__________（填物质名称），锥形瓶中实际收集的液体远多于理论量，可能的原因为_________________________.（3）为探究锌粉用量对乙酰苯胺产率的影响，实验小组做了对比实验，实验数据如下表，试合理推测加入锌粉的作用是______________，第二组实验中锌粉用量最多但乙酰苯胺产率反而降低的原因可能是__________________.组别第一组第二组第三组苯胺（mL ）9.19.19.1冰醋酸（mL ）15.615.615.6锌粉（g ） 1.625 3.250产量（g ） 3.4 2.26 1.27产率（%）4130.117.1Ⅱ.乙酰苯胺的提纯：将上述制得的粗乙酰苯胺粗产品移入500mL 烧杯中，加入100mL 热水，加热至沸腾，待粗乙酰苯胺完全溶解后，再补加少量蒸馏水.稍冷后，加入少量活性炭吸附色素等杂质，在搅拌下微沸5min ，趁热过滤.待滤液冷却至室温，有晶体析出，称量产品为10.8g.（4）上述提纯乙酰苯胺的方法是__________.（5）该实验中乙酰苯胺的产率是_________（保留两位有效数字）.16.（15分）随着新能源汽车销量的猛增，动力电池退役高峰将至，磷酸铁锂（LFP ）是目前使用最多的动力电池材料，困此回收磷酸铁锂具有重要意义.一种从废旧磷酸铁锂正极片（4LiFePO 、导电石墨、铝箔）中回收锂的工艺流程如下：已知：23Li CO 在水中的溶解度随温度升高而降低.回答下列问题：（1）旧电池拆解前进行放电处理有利于锂在正极的回收，其原因是______________.（2）“碱浸”时，为加快浸出速率，可采取的措施是___________（答出一点即可）.（3）“氧化浸出”时，实际生产中氧化剂选用22H O ，不选用3NaClO 的原因是__________.“氧化浸出”时生成了难溶的4FePO ，该反应的离子方程式为___________________.（4）“沉锂”过程中使用水浴加热保持温度在95℃，“一系列操作”具体包括_________、_________、干燥.（5）滤液Ⅲ中()1Li2.0mol Lc +-=⋅，“沉锂”结束时溶液中()23CO c -为12.1mol L-⋅，则“沉锂”过程中，锂的沉降率为__________％［已知：浸出液在沉锂过程中溶液体积不变，()4sp 23Li CO 8.410K -=⨯］.（6）某锂电池的负极材料晶体是锂原子嵌入石墨烯层间形成的，晶胞结构（底面为平行四边形）如图所示.该晶体的化学式为_________，该晶体中最近的两个碳原子核间距离为pm a ，石墨烯层间距离为pm b ，则该晶体的密度为_________3g cm -⋅（列出计算式，用A N 表示阿伏加德罗常数）.17.（14分）绿色能源是未来能源发展的方向，积极发展氢能，是实现“碳达峰”、“碳中和”的重要举措.回答下列问题：（1）利用生物质可再生资源乙醇制备氢气具有良好的开发前景.乙醇在Ni MgO -催化下，制取氢气有如下方法：方法a ：水蒸气催化重整()()()()132221CH CH OH g H O g 4H g 2CO g Δ257kJ mol H -++=+⋅ 11111Δ459J mol K Δ120.2kJ mol S G ---=+⋅⋅=+⋅方法b ：部分催化重整()()()()322221CH CH OH g O g 3H g 2CO g Δ2H ++ 1122ΔS 400J mol K ΔG --=+⋅⋅已知：298K 时，相关物质的相对能量如图1.图1①依据图1数据，计算方法b 反应的2ΔH =________1KJ mol -⋅.②已知体系自由能变化：ΔΔΔS G H T =-，Δ0G <时反应自发进行.298K 时，请根据ΔG 的计算结果分析方法a 、b 哪个更有利？_________________________________.（2）甲烷水蒸气重整制氢的逆反应为()()()()2423H g CO g CH g H O g ++ .若将2H 与CO 按物质的量之比3:1加入反应装置，在不同条件下达到平衡时甲烷的物质的量分数为()4CH x ，在250t =℃条件下()4CH x 与p 的关系，在5510Pa p ⨯=条件下()4CH x 与t 的关系如图2所示.当CO 的平衡转化率为653时，反应条件可能是__________图2中能表示相同状态下，相同平衡状态的点是__________（填标号）.210℃时，甲烷水蒸气重整制氢反应在该温度下，反应的标准平衡常数K θ=（已知：分压＝总压×该组分物质的量分数，对于反应()()()()D g E g G g H g d e g h ++ ，对于反应，G H D E ghd e P P p p K P P p p θθθθθ⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中100kPa p θ=，G p 、H p 、D p 、E p 为各组分的平衡分压）.图2（3）大量研究表明12Pt Ni 、12Sn Ni 、12Cu Ni 三种双金属合金团簇均可用于催化DRM 反应()422CH CO 2CO 2H ++，在催化剂表面涉及多个基元反应，其中甲烷逐步脱氢过程的能量变化如图3所示（吸附在催化剂表面上的物种用＊标注，TS1、TS2、TS3，TS4分别表示过渡态1、过渡态2、过渡态3、过渡态4）.图3①12Pt Ni 、12Sn Ni 、12Cu Ni 催化甲烷逐步脱氢过程的速率分别为1v 、2v 、3v ，则脱氢过程的速率由大到小的关系为___________.②12Sn Ni 催化剂催化甲烷逐步脱氢过程中，决定速率快慢的反应步骤是：________（用化学方程式表示）.18.（15分）2，5-二羟基对苯二甲酸（DHTA ）是一种重要的化工原料，广泛用于合成高性能有机颜料及光敏聚合物.利用生物质资源合成DHTA 的路线如下：已知：①②回答下列问题：（1）A →B 的反应类型为___________.（2）C 的结构简式为___________.（3）D 的化学名称为___________.（4）G →H 的化学方程式为______________________（5）含有氨基的物质的碱性随着N.原子电子云密度的增大而增强，则3NH 、32CH NH 、2NH OH 的碱性由强到弱的顺序为___________（6）写出一种能同时满足下列条件的G 的同分异构体的结构简式：___________（a ）核磁共振氢谱有两组峰，且峰面积比为3:2；（b ）红外光谱中存在C ＝O 、C-O 吸收峰，但没有O-H 、O-O 吸收峰；（c ）可与NaOH 水溶液反应，反应液酸化后可与3FeCl 溶液发生显色反应.（7）阿伏苯宗是防晒霜的添加剂之一.试以碘甲烷()3CH I 、对羟基苯乙酮（）和对叔丁基甲苯［］为原料，设计阿伏苯宗的合成路线（无机试剂和三个碳以下的有机试剂任选）.长沙市一中2024届高三月考试卷（五）化学参考答案一、选择题（本题共14小题，每小题3分，共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）题号1234567891011121314答案DCDCBAABCDDDCA1.D 【解析】燃煤时鼓入足量空气，只能使燃料燃烧充分，不能减少二氧化硫的排放，则不能减少酸雨发生，燃煤时加CaO 脱硫，可减少酸雨的发生，D 错误.3.D 【解析】373522ClO Cl 2H Cl H O --+++=↑+，产生的2Cl 为3735Cl Cl -，71g 该氯气的物质的量小于1mol ，转移电子数小于A N ，A 正确；浓硫酸与足量的镁反应，若生成4MgSO 、2SO ，则240.2molH SO 转移0.2mole -，若生成4MgSO 和2H ，则240.2molH SO 转移0.4mole -，因此含240.2molH SO 的浓硫酸转移的电子数大于A 0.2N ，B 正确；334.6gCH OCH 完全燃烧，有A 0.6N 个C H -断裂，C 正确；3AlCl 是共价化合物，受热熔融时不电离，D 错误.5.B 【解析】由结构简式可知，反应物Ⅰ的分子式为15162C H O ，A 错误；由结构简式可知，反应物Ⅱ分子中的苯环和酯基都是平面结构，由单键可以旋转可知，分子中所有原子可能共平面，B 正确；由结构简式可知，反应物Ⅰ与反应物Ⅱ发生缩聚反应生成聚碳酸酯和苯酚，则不能用氯化铁溶液检验反应后的混合物中反应物Ⅰ是否完全反应，C 错误；由结构简式可知，聚碳酸酯分子中含有酯基，碱性条件下能发生水解反应，则PC 不具有耐强碱的性质，D 错误.7.A 【解析】Y 可以形成两个共价键，所以Y 应为第ⅥA 元素，所以Y 可能为O 元素或S 元素；W 可以形成六个共价键，所以W 应为S 元素；若W 为S 元素，则Y 只能为O 元素；由于M 可以形成＋1价阳离子且原子序数大于W ，所以M 为K 元素；又由于Z 可形成一个共价键，且原子序数小于W ，所以Z 为F 元素；又由于X 与Z 的原子序数之和与W 的原子序数相等，所以X 为N 元素；所以X 、Y 、Z 、W 、M 分别为N 元素、O 元素、F 元素、S 元素、K 元素.根据分析，3XZ 为3NF ，3WY 为3SO ，根据价层电子互斥模型，3NF 的价电子对为3＋1，为三角锥形，是极性分子；3SO 的价电子对为3＋0，为平面三角形，是非极性分子，所以极性：33NF SO >，A 正确；常温下，水为液体，氟化氢和氨气为气态，所以水的沸点最高，即Y 的简单氢化物沸点最高，B 错误；2YZ 为2OF ，中心原子价电子对数为224+=，VSEPR 模型名称为四面体形，2WY 为2SO ，中心原子价电子对数为213+=，VSEPR 模型名称为平面三角形，C 错误；与K 原子最外层电子数相同的同周期元素还有Cr 和Cu 两种，D 错误.8.B 【解析】图中黑球代表As 原子，白球代表S 原子，所以雄黄中不含S-S ，A 错误；根据图示的反应历程知，反应Ⅰ的方程为442223As S 7O 4SO 2As O +=+，氧化剂与还原剂物质的量之比为7:1，B 正确；0.1mol /L 的23NaH AsO 溶液中离子浓度存在关系：()()()()()()233323H Na OH 2HAsO 3AsO H AsO c c c c c c ++----+=+++，C 错误；由图知雄黄分子中S 上有2个σ键，由于S 的最外层有6个电子，故应该还有两个孤电子对，因此，S 原子的杂化方式为3sp ，D 错误.9.C 【解析】由图像分析，在碱性()OH-条件下反应步骤有2H O 生成，A 正确；利用题给机理，22CHCH =与进一步得到环氧乙烷，B 正确；通过图像流程分析，5HSO -参与反应最终转化为24SO -，不是催化剂，C 错误；5HSO -中含有过氧键，中也含有过氧键，因此均有较强的氧化性，D 正确.11.D【解析】2O 分子中只含非极性键，2O 是非极性分子，2CO 是直线形分子，结构对称，2CO 为非极性分子，A 正确；放电时，Zn 失电子生成[]24Zn(OH)-，Zn 是负极，因此由图可知充电时，阳极发生反应224OH 4e O 2H O ---=+，B 正确；使用催化剂Sn 或s SnLi -均能降低生成甲酸的活化能，有效提高甲酸盐的选择性，C 正确；放电时，负极发生反应[]24Zn 2e 4OH Zn(OH)----+=、正极发生反应22CO 2e H O HCOO OH ---++=+，当Zn 电极质量减少6.5g 时，电路中转移0.2mol 电子，正极吸收20.1molCO ，电解质溶液增重6.5g 4.4g 10.9g +=，D 错误.12.D 【解析】A 点体积小，压强大，反应速率快，A 错误；由题干图像可知，容器的容积依次增大，反应速率依次减小可知，C 点未达到平衡状态，使用催化剂可加快反应速率，提高2N O 的转化率，B 错误；B 点对应的体系为L b ，因此平衡常数 6.4K b=，C 错误；在恒温恒容下，向A 点平衡体系中充入一定量的2N O ，等效于加压，平衡逆向移动，2N O 的平衡转化率减小，D 正确.13.C 【解析】构成该晶体的元素均为金属元素，所以存在的化学键类型为金属键，A 错误；Fe 原子形成的八面体空隙在晶胞的棱心和体心，所以每个晶胞中含有4个Fe 和8个Mg ，16142⨯+=个2H ，因此氢气储满后晶体的化学式为22Mg FeH ，B 错误；2H 和2H的最短距离为面对角线的二分之一，为pm 2a ，C 正确；根据晶胞结构示意图可知，距离Mg 原子最近且等距的Fe 原子有4个，即Mg 的配位数为4，而该晶体的化学式为2Mg Fe ，所以Fe 的配位数为8，D 错误.14.A 【解析】向一定浓度224H C O 溶液中加入KOH 固体，随着pH 增大，()Hc +减小，()224H C O c 减小，()224C O c -增大，则()224lg H C O c -增大，()224lg C O c --减小，()()()224a 24C O HC O H c Kc c --+=增大，则()()22424C O lgHC O c c ---减小，则曲线M 表示()224lg H C O c -，曲线N 表示()224lg C O c --，曲线L 表示()()22424C O lg HC O c c ---.由()()22424C O lg 0HC O c c ---=时溶液pH 4.3=可得()()()2244.3a 224C O H 10HC O c c K c -+--⋅==.a 点时，()()224224C O H C O c c -=，()()()()222425.6ala 2224C O H H 10H C O c c K K c c -++-⋅⨯===，则 5.61.3a14.3101010K ---==，A 错误；a 点时，()()224224C O H C O c c -=，由电荷守恒有()()()()()22424K H OH HC O 2C O c c c c c ++---+=++，则()()()()()24224KOH HC O 2H C O H c c c c c +--+-=+-，B 正确；1412.7w h2a21.3a1101010K KK K ---===<，即24HC O -的电离程度大于其水解程度，则24KHC O 溶液中()()224224C O H C O c c ->，C 正确；b 点时，溶液pH 4.3=，溶液呈酸性，()()H OH c c +->且()()22424HC O C O c c --=，则由电荷守恒()()()()()22424K H OH HC O 2C O c c c c c ++---+=++得()()24K 3HC O c c +-<，D 正确.二、非选择题（本题共4小题，共58分.）15.（14分）（1）圆底烧瓶（1分）b （1分）（2）水（2分）乙酸挥发进入锥形瓶（2分）（3）用作还原剂，防止苯胺被氧化（2分）锌粉的用量过多会与冰醋酸反应造成原料损耗（2分）（4）重结晶（2分）（5）80%（2分）16.（15分）（1）放电有利于Li +向正极移动并进入正极材料（2分）（2）升温、粉碎、增大NaOH 的浓度（1分，任答一点）（3）盐酸和氯酸钠反应生成的氯气会污染空气（2分）422422LiFePO H O 2H 2Li 2FePO 2H O ++++=++（2分）（4）过滤（或趁热过滤）热水洗涤（共2分）（5）99（2分）（6）6LiC （2A 2[A 2]（2分）【解析】（1）放电时Li +移向正极，正极可以得到更多Li +，所以放电有利于Li +向正极移动并进入正极材料.（2）升温、粉碎、增大NaOH 的浓度等可加快浸出速率.（3）氯酸钠具有强氧化性，能与盐酸发生氧化还原反应生成有毒的氯气，污染空气，所以氧化浸出时选用过氧化氢做氧化剂，不选用氯酸钠；“氧化浸出”时生成了难溶的4FePO ，该反应的离子方程式为422422LiFePO H O 2H 2Li 2FePO 2H O ++++=++.（4）由于23Li CO 在水中的溶解度随温度升高而降低，因此“一系列操作”具体包括趁热过滤、热水洗涤、干燥.（5）()4sp 23Li CO 8.410K -=⨯，“沉锂”结束时溶液中()23CO c -为12.1mol L-⋅，则()21Li2.010mol L c +--==⨯⋅，若所得浸出液中()1Li 2.0mol L c +-=⋅，则锂的沉降率为2112.010mol L 1100%99%2.0mol L---⨯⋅-⨯=⋅.（6）由图可知，Li 原子位于顶点，个数为11441126⨯+⨯=，C 原子位于面上和体内，个数为18262⨯+=，则化学式为6LiC ；该晶体中最近的两个碳原子核间距离为pm a ，则底边边长为3pm a ，石，墨烯层间距离为pm b ，又底边为平行四边形，顶角为60°，设晶胞的密度为3g /cm ρ，晶胞质量为A7126g N +⨯，晶胞体积为2303(3)10cm 2a b -⨯⨯⨯，结合密度公式m V ρ=，得3/cm ρ=.17.（14分）（1）①+15（2分）②在298K 下，11Δ120.2kJ mol 0G -=+⋅>，方法a 不自发；12Δ104.2kJ mol 0G -=-⋅<，方法b 自发，则在298K 下方法b 更有利（2分）（2）250℃、5310Pa ⨯（或280℃、5510Pa ⨯）（2分）BC （2分）108（2分）（3）①132v v v >>（2分）②***32CH CH H =+（或****32CH H CH 2H +=+）（2分）【解析】（1）①反应()()()()322221CH CH OH g O g 3H g 2CO g Δ2H ++= 生成物的总能量-反应物的总能量()111110kJ mol 2235kJ mol 15kJ mol---=-⋅⨯--⋅=+⋅；②在298K 下，11Δ120.2kJ mol0G -=+⋅>，方法a 不自发；12Δ104.2kJ mol0G -=-⋅<，方法b 自发，则在298K 下方法b 更有利.（2）对于反应()()()()2423H g CO g CH g H O g ++ ，设2H 与CO 按物质的量分别为3mol 、1mol ，反应达平衡时，CO 的平衡转化率为653，则平衡时2H 、CO 、4CH 、2H O 的物质的量分别为14153、4753、653、653，则平衡时()4653CH 0.03141476653535353x ==+++.对于反应()()()()2423H g CO g CH g H O g ++ ，升高温度，平衡逆向移动，4CH 的体积分数减小，增大压强，平衡正向移动，4CH 的体积分数增大，则a 曲线表示()4CH x 随压强变化曲线，b 曲线表示()4CH x 随温度变化曲线，所以反应条件可能是：250℃、5310Pa ⨯或280℃、5510Pa ⨯；图2中，B 、C 两点的温度相同，()4CH x 相同，则能表示相同状态下，相同平衡状态的点是BC.210℃时，甲烷水蒸气重整制氢反应为()()()()422CH g H O g 3H g CO g ++ ，在该温度下达平衡，()4CH 0.10x =、()2H O 0.10x =、()2H 0.60x =、()CO 0.20x =，反应的标准平衡常数30.20500kPa 0.60500kPa 100kPa 100kPa 1080.10500kPa 0.10500kPa100kPa 100kPaK θ⨯⨯⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭==⨯⨯⨯.（3）①催化剂能够降低反应的活化能，活化能越低，则化学反应速率越大，所以132v v v >>；②活化能最大的过程为反应的决速步骤，由图可知，过渡态为TS2的反应为决速步骤，对应的方程式为***32CH CH H =+或****32CH H CH 2H +=+.18.（15分）（1）加成反应（或还原反应）（2分）（2）322CH OOCCH CH COOH （2分）（3）丁二酸二甲酯（2分）（4）（2分）（5）3232CH NH NH NH OH >>（2分）（6）（2分）（7）（3分）。
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炎德∙英才大联考长沙市一中2016届高三月考试卷（六）数学（理科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集R U =，集合{}21≤-=x x M ，则=M C U （）A.{}31<<-x xB.{}31≤≤-x x C.{}31>-<x x x 或 D.{}31≥-≤x x x 或2.已知随机变量),2(:2σN X ，若32.0)(=<a x P ，则=->)4(a x P （） A.32.0 B.36.0 C.64.0 D.68.03.在等比数列{}n a 中，531=+a a ，前4项和为15，则数列{}n a 的公比是（） A.21 B.31C.2D.3 4.在空间中，下列命题正确的是（） A.垂直于同一平面的两个平面平行 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两条直线平行 D.平行直线的在同一平面上的投影相互平行5.执行下图所示的程序框图，如果输入正整数m ，n ，满足m n ≥，那么输出的p 等于（）A.1-m n CB.1-m n AC.m n CD.m n A6.5)12)((xx x a x -+的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（） A.40- B.20- C.20 D.40 7.已知函数]67,0[),62sin(2ππ∈+=x x y 的图象与直线m y =有三个交点的横坐标分别为)(,,321321x x x x x x <<，那么3212x x x ++的值是（）A.43π B.34π C.35π D.23π9.六名大四学生（其中4名男生、2名女生）被安排到A ，B ，C 三所学校实习，每所学校2人，且2名女生不能到同一学校，也不能到C 学校，男生甲不能到A 学校，则不同的安排方法为（）A.24B.36C.16D.1810.已知球的直径4=SC ，A ，B 是该球球面上的两点，3=AB ， 30=∠=∠BSC ASC ，则棱锥ABC S -的体积为（）A.33B.32C.3D.1 11.设向量a ，b ，c 满足1==b a ，21-=⋅b a ，若向量c a -与c b -的夹角等于 60，则c 的最大值为（）A.3B.2C.2D.112.已知函数ax x x x f +-=ln )(在),0(e 上是增函数，函数2)(2a a e x g x+-=，当]3ln ,0[∈x 时，函数)(x g 的最大值M 与最小值m 的差为23，则=a （）A.25B.2C.23D.1 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若C B A cos sin sin -==，则角=C ______14.已知盒中装有3个红球，2个白球，5个黑球，它们除颜色外完全相同，小明需要一个红球，若他每次从中任取一个球且取出的球不再放回，则他在第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为_____-.15.设1>m ，在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥1y x m x y xy 下，目标函数my x z +=的最大值小于2，则m 的取值范围是_____.16.若定义在]2010,2010[-上的函数)(x f 满足：对任意]2010,2010[,21-∈x x ，有2009)()()(2121-+=+x f x f x x f ，且0>x 时，有2009)(>x f ，)(x f 的最大值、最小值分别为N M ,，则=+N M ______.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，)1,()12(2≥∈+-=*n N n a nS n n .（1）求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 是等比数列； （2）设数列{}n n a 2的前n 项和为n T ，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n T 1前n 项和n A . 18.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为等腰梯形，CD AB ∥，BD AC ⊥于H ，PH是四棱锥ABCD P -的高，E 为AD 的中点. （1）证明：BC PE ⊥；（2）若60=∠=∠ADB APB ，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值.19.（本小题满分12分）某校高一（1）班的课外生物研究小组通过互联网上获知，某种珍稀植物的种子在一定条件下发芽成功率为31，小组依据网上介绍的方法分小组进行验证性实验（每次实验相互独立）. （1）第一小组共做了5次种子发芽实验（每次均种下一粒种子），求5次实验至少有3次成功的概率；（2）第二小组在老师的带领下做了若干次实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中，种子发芽成功则停止实验；否则将继续进行下去，直到种子发芽成功为止，而该小组能供实验的种子只有n 颗),5(*∈≥N n n .求第二小组所做的实验次数ξ的概率分布列和数学期望. 20.（本题满分12分）已知动点M 到点)1,0(F 的距离与到直线4=y 的距离之和为5. （1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）若动直线m x y l +=:与轨迹E 有两个不同的公共点B A 、； （3）在（2）的条件下，求弦长AB 的最大值. 21.（本小题满分12分）给出定义在),0(+∞上的三个函数，x x f ln )(=，)()(2x af x x g -=，x a x x h -=)(，已知)(x g 在1=x 处取得极值. （1）确定函数)(x h 的单调性；（2）求证：当21e x <<时，恒有)(2)(2x f x f x -+<成立；（3）把函数)(x h 的图象向上平移6个单位长度得到)(1x h 的图象，试确定函数)()(1x h x g y -=的零点个数，并说明理由.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是O ⊙的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直于BA 的延长线于点F .（1）求证：DFA DEA ∠=∠；（2）若30=∠EBA ，3=EF ，AC EA 2=，求AF 的长. 23.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为)4cos(22πθρ+=，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+-==t y t x 221（t 为参数），直线l 与曲线C 交于B A ,两点，P 是曲线C 上不同B A ,的任意一点. （1）求曲线C 的圆心的极坐标； （2）求PAB ∆面积的最大值.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知：正数y x ,.（1）求证：x y y x y x 2233+≥+； （2）若)11(222yx m x y y x +≥+恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案1-5CACCD 6-10DCDDC 11-12BA7.【解析】由函数)62sin(2π+=x y 的图象在区间]67,0[π上的对称轴分别为32,6ππ==x x ，得322,623221ππ⨯=+⨯=+x x x x ，所以352321π=++x x x ，故选C.11.【解析】如图，设a OA =，b OB =，c OC =，则c a CA -=，因为1==b a 。
故1==OB OA ，又21-=⋅b a ，∴21cos -=∠AOB ，即120=∠AOB ，又 60,>=--<c b c a ，故B C A O ,,,四点共圆，∴当OC 为圆的直径时，c 最大，此时90=∠=∠OBC OAC ，即BOC RT AOC RT △△≅，故 30=∠=∠BCO ACO ，即OC OA 21=，∴2=c .12.因为函数ax x x x f +-=ln )(在),0(e 上是增函数，所以0ln 1)(≥--='x a x f 在),0(e 上恒成立，即02≥-a ，即2≥a ；因为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-≤≤+-=+-=a x a e a x a e a a e x g xxx ln ,21ln 0,221)(222，若3ln ln ≥a ，即3≥a 时，)(x g 在]3ln ,0[单调递减，则2)3(ln )0(=-=-g g m M （舍），当3ln ln <a ，即32<≤a 时，函数)(x g 在]ln ,0[a 上递减，在]3ln ,[ln a 上递增，且042)3(ln )0(≥-=-a g g ，所以23)(ln )0(=-=-a g g m M ，即2312)21(22=-=-+-a a a a ，解得25=a .13.32π【解析】由C B A cos sin sin -==，又),0(,,π∈C B A ， ∴A C B A C B A 2,),,2(),2,0(,-==∈∈ππππ， 又01sin sin 22cos sin cos sin 2=-+⇒=⇒-=A A A A C A ， 得：32,6,21sin ππ===∴=C B A A . 14.31 【解析】法一：:A 拿到白球，则15193102)(,51102)(=⋅===AB P A P ，故31)()()(==A P AB P A B P .法二：632)(,1892)(=⨯==⨯=ΩA n n ，则31186)(==A B P . 15.211+<<m 【解析】m zm x y m m m A y x mx y +-=++⇒⎩⎨⎧=+=),1,11(1点在点A 处取得最大值， 故1111122max++=+++=m m m m m z .由题意可知：21112112+<<><++m m m m 得且. 16.4018 【解析】令021==x x ，则2009)0(=f ，令x x x x -==21,，则2009)()()0(--+=x f x f f ，∴2009)()(2009--+=x f x f ，∴]2009)([2009)(--=--x f x f ，∴2009)()(-=x f x F 为奇函数，即)(x f 关于点)2009,0(对称；又2010201021≤<≤-x x ，不妨设2009)(),0(12>>+=h f h h x x ，则)(2009)()()(112x f h f x f x f >-+=，∴)(x f 在]2010,2010[-上是单调递增函数，401820092)2009()2009(=⨯=-+=+f f N M .17.【解析】（1）由21,321111=∴-==a a S a ； 由n n a n S )12(2+-=，当2≥n 时，11)112(2--+--=n n a n S ， ∴两式作差得：n n n a na n a )12()112(1+-+-=-. 整理得：)2(1211≥-⨯=-n n a n a n n ，所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 是首项和公比均为21的等比数列. ..................6分 （2）由（1）得：n n n a )21(=，∴2)1(,2+=∴=n n T n a n n n ， )111(2)1(21+-=+=∴n n n n T n ， 12)1113121211(2+=+-+⋅⋅⋅+-+-=n n n n A n . ...................12分18.【解析】以H 为原点，HP HB HA 、、分别为z y x 、、轴建立直角坐标系，设1=HA ，则)0,1,0(),0,0,1(B A . ............................1分 设)0,0)(,0,0(),0,0,(><n m n P m C ， 则)0,2,21(),0,,0(mE m D ， ∴)0,1,(),,2,21(-=-=m BC n mPE ， 00221=+-=⋅∴mm BC PE ，BC PE ⊥∴. ..........................5分（2）在ADH RT ∆中，)0,0,33(),0,33,0(,3360tan 1--∴==C D DH， )0,63,21(),1,0,0(,1,2,,60-∴=∴==∴==∠E P PH PB PA PB PA APB ，设平面PEH 的法向量为),,(z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧==-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0,0632100z y x HP n HE n ，令)1,0,1(),0,3,1(,1-==∴=PA n x ， 42,cos =⋅⋅=><∴nPA n PA n PA . ∴直线PA 与面PEH 所成角的正弦值为42. ..........................12分 19.【解析】（1）由题设可知这5次实验即为5次独立重复实验，则至少3次成功的概率8117)31()311()31()311()31(5554452335=+-+-=C C C P . ............4分（2）ξ的可能取值为n ,,3,2,1⋅⋅⋅，其分布列为122)32(31)32()1(31)32(331322311--⋅+⋅⋅-+⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯⨯+⨯=n n n n E ξ122)32(])32()1()32(33221[31--⋅+⋅-+⋅⋅⋅+⨯+⨯+=n n n n 令22)32()1(31)32(33221-⋅-+⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯+=n n n S则122)32()1()32()2()32(232132--⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⨯+⨯=n n n n n S ， 两式相减得122)32()1()32()32(32131--⋅--+⋅⋅⋅+++=n n n n S111)32()2(3)32()1(321)32(1---⋅+-=⋅----=n n n n n ，所以1)32()2(39-⋅+-=n n n S ，故1111)32(23)32()32()2(3)32(31-----=⋅+⋅+-=⋅+=n n n n n n n n S E ξ. ...........12分20.【解析】（1）设),(y x M ，由题设知：54)1(22=-+-+y y x ，①当4≥y 时，)5(162--=y x 即)44(5162≤≤-+-=x x y ，其轨迹为2E ， ②当4<y 时，y x 42=即)44(412≤≤-=x x y ，其轨迹为1E ，①和②均为E 的轨迹方程.（2）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=451622x y x y 解得)4,4(),4,4(D C -， 当l 过点C 时，8=m ， 当l 与241x y =相切于),(00y x P 时，12,20=∴='x xy ，解得1,200==y x ，∴切点1),1,2(-=∴m P .综上：)8,1(-∈m . ...................8分（3）①当01≤<-m 时，l 与E 的两个交点均在1E 上.240=≤<∴OD AB .②当80<<m 时，l 与E 的两个交点A 在1E 上，B 在2E 上， 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=42x y m x y 解得：m x m x A +-=∴+±=122,122， 由⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=5162x y m x y 解得：m x m x B -+-=∴-±-=948,948， )5921(222)()(22--++=-=-+-=∴m m x x y y x x AB A B B A B A 令)80(921)(<<-++=m m m m f .mm m m m m m f -⋅++--=--+='∴91212991121)()129(912)1(5m m m m m ++--⋅+-= 令0)(='m f ，解得1=m ，∴当,0)(),8,1(,0)(),1,0(<'∈>'∈m f m m f m,2421020,25)1()(max max >-=∴==AB f m f 综上：21020max -=AB . ................................12分21.【解析】（1）由题设，x a x x g ln )(2-=，则xa x x g -=')(， 由0)1(='g ，即202=⇒=-a a .x x x h 2)(-=∴，则xx h 11)(-='. )(,0)(),1,0(x h x h x ∴<'∈在)1,0(是减函数，)(,0)(),,1(x h x h x ∴>'+∞∈在),1(+∞是增函数. ...........................3分（2）当21e x <<时，2)(0,2ln 0<<∴<<x f x . 欲证：)(2)(2x f x f x -+<，只需证：)(2)](2[x f x f x +<-，即证：1)1(2)(+->x x x f . ...............5分 设1)1(2ln 1)1(2)()(+--=+--=x x x x x x f x ϕ， 222)1()1()1()1(2)1(21)(+-=+--+-='∴x x x x x x x x ϕ， 当21e x <<时，)(,0)(x x ϕϕ∴>'∴在),1(2e 上为增函数， 当21e x <<时，)1()(ϕϕ>x ，即)(2)(2x f x f x -+<. （3）由已知得62)(1+-=x x x h ，令0)()(1=-=x h x g y ， 即0)62(ln 22=+---x x x x ， 令62ln 2)(2-+--=x x x x x Fx x x x x x x x x x xx x x F )222)(1(221122)(2+++-=+--=+--='与1-x 同号，当)1,0(∈x 时0)(<'x F ，)(x F 单调递减，当),1(+∞∈x 时0)(>'x F ，)(x F 单调递增，0→x 时，+∞→)(x F ，而)(x F 的最小值∴><-=,0)4(,04)1(F F 函数)()(1x h x g y -=有2个零点.22.【解析】（1）连接BC AD ,，AB 是O ⊙的直径， 90=∠=∠=∠∴EFA ACB ADB ， F E D A 、、、∴四点共圆，∴DFA DEA ∠=∠. .....................4分（2）在EFA RT ∆和BCA RT ∆中，CAB EAF ∠=∠ ，BCA EFA ∆∆∴~，ACAF AB EA =∴. 在EFA RT ∆中，222AE EF AF =+，设a AF =，又3=EF ， 30=∠EBA ，3=∴BF ，则a AB -=3，又221EA AC EA AB AF =⋅=⋅， )3(21)3(2a a a +=-∴，解得：1=a ，∴AF 的长为1. ..............10分 23.【解析】（1）曲线C 的普通方程为02222=+-+y x y x ，即2)1()1(22=++-y x . ∴圆心的直角坐标为)1,1(-，其极坐标为)47,2(π. ....................5分 （2）直线l 的普通方程为：0122=--y x ，圆心到直线l 的距离32231122=-+=d . 31029822=-=∴AB . P ∴到AB 距离的最大值为3253222=+=+d r ， 9510325310221max =⨯⨯=∴S . ...........................10分 24.【解析】（1）证明：2222233))(()()(y x y x y x y y x x x y y x y x -+=---=--+. 223322332,0)(,0)(,0xy y x y x xy y x y x y x y x +≥+∴≥+-+∴≥->+ . .............5分（2）xyy xy x y x xy y x m y x m x y y x 223322)(2)11(2+-=++≤⇔+≥+， y x xyxy xy xy y xy x ==-≥+-(1222 时取等号) 2≤≤m x ,]2,(-∞∈∴m . .............................10分。