【精选】概率论与数理统计 1.2 基本事件空间和随机事件
概率论与数理统计的基本概念和原理简介
概率论与数理统计的基本概念和原理简介概率论和数理统计是数学中重要的分支学科，它们在现代科学和生活中扮演着重要角色。
本文将对概率论和数理统计的基本概念和原理进行简要介绍。
一、概率论的基本概念和原理1. 随机试验随机试验是指具有以下特点的试验：在相同条件下可以重复进行，每次试验的结果不确定，但所有可能结果都是事先确定的且互不相容。
2. 随机事件与样本空间试验的每个可能结果称为基本事件，基本事件的集合称为样本空间。
样本空间中的子集称为随机事件。
3. 概率的定义一般来说，事件发生的概率是指该事件发生的可能性大小。
概率的定义可以通过频率的概念来解释：事件A发生的概率等于在多次重复试验中，事件A发生的频率趋近于一个常数。
4. 概率的性质概率具有以下性质：- 0 ≤ P(A) ≤ 1，概率值的取值范围在0到1之间。
- P(Ω) = 1，样本空间发生的概率为1。
- 对于任意的事件序列 {Ai}，若相互不相容，则有 P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An)。
5. 概率的计算方法计算概率的常用方法有古典概型法、几何概率法、频率概率法和叠加原理等。
二、数理统计的基本概念和原理1. 总体与样本总体是指研究对象的全体，样本是从总体中抽取的一部分个体。
通过对样本的统计分析，可以推断总体的性质。
2. 统计量统计量是样本的函数，用于刻画样本的某种性质。
常见的统计量有样本均值、样本方差等。
3. 参数估计参数估计是通过样本统计量推断总体参数的值。
常用的参数估计方法有点估计和区间估计。
4. 假设检验假设检验是指对于总体参数提出一个假设，并通过对样本进行统计推断来判断是否拒绝假设。
假设检验分为单侧检验和双侧检验。
5. 相关与回归分析相关分析用于刻画两个变量之间的线性关系，回归分析用于建立一个变量与其他变量之间的函数关系。
三、概率论与数理统计的应用领域概率论和数理统计广泛应用于各个领域：1. 金融风险管理概率论和数理统计对金融领域的风险管理起着关键作用，可以通过建立数学模型对金融市场进行预测和评估。
概率论与数理统计：1.2样本空间、随机事件
一、样本空间、样本点 二、随机事件的概念 三、随机事件间的关系及运算
一、样本空间、样本点
问题 随机试验的结果?
定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合 称为E 的样本空间, 记为S.
样本空间的元素 ,即试验E 的每一个结果, 称为 样本点.
实例1 抛掷一枚硬币,观察字面,花面出现的情况.
记号
概率论
集合论
S 样本空间,必然事件
空间
不可能事件
e
基本事件
A
随机事件
空集 元素
子集
A
A的对立事件
A的补集
A B A出现必然导致B出现
A是B的子集
A B 事件A与事件B相等 A集合与B集合相等
A B 事件A与事件B的和 A集合与B集合的并集
AB 事件A与B的积事件 A集合与B集合的交集
A B 事件A与事件B的差 A与B两集合的差集
2. 同一试验,若试验目的不同, 对应的样本空间 也不同. 例如 对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三次”.
若观察正面H、反面T出现的情况 ,则样本空间
为
S
HHH，HHT，HTH，THH，
HTT， THT， TTH， TTT
若观察出现正面的次数 , 则样本空间为
S 0, 1, 2, 3
3. 建立样本空间 , 事实上就是建立随机现象的 数学模型. 因此 ,一个样本空间可以概括许多内 容大不相同的实际问题.
若事件A的出现必然导致事件B不出现,B出现也 必然导致A不出现,则称事件A与B互不相容,即
A B AB . 实例 抛掷一枚硬币,“出现花面”与“出现字面” 是互不相容的两个事件.
“骰子出现1点” 互斥 “骰子出现2点”
《概率论与数理统计》课程教案
最基本的数学模型：首个非常重要的概念，是研究概率的重要的基础性工具。
自然界和社会上发生的现象是多种多样的，在观察、分析、研究各种现象时，通常我们将它们分为两类：
(1)可事前预言的，即在准确地重复某些条件下，它的结果总是肯定的，或者根据它过去的状况，在相同条件下完全可以预言将来的发展，称这一类现象为确定性现象或必然现象。
具备以上三个特点（简而言之：过程的可重复性、可能结果的确定性、实际结果的不确定性）的试验，称为随机试验
随机试验的作用：通过随机试验来研究随机现象
第三部分：样本空间，随机事件，随机事件的关系与事件运算（40分钟）
（一）样本空间
由随机试验的3个特点可知，每次试验的所有可能结果是已知的。
样本空间：将随机试验E的所有可能结果组成一个集合，称为E的样本空间，记为S (space)。
随机试验的任一种可能结果构成一个基本事件，比如A＝{s5}
基本事件的总数：等于集合S的基数
注意区别：样本点和基本事件，是元素和集合的关系
2)必然事件(Certain Event)：样本空间S作为一个子集，S S，它作为事件时总会发生
3)不可能事件(Impossible Event)：用空集Φ表示，不包含任何样本点，也有Φ S，每次试验都不发生
样本点：样本空间中的元素，即E的每个结果。
例：设前述试验E1～E7的样本空间S1～S7如下：(保留)
S1:{H，T}
S2:{HHH，HHT，HTH，HTT，THH，THT，TTH，TTT}
S3:{0，1，2，3}
S4:{1，2，3，4，5，6}
S5:{0，1，2，3，…}
S6:{t|t≥0}
S7:{(x,y)|T0≤x≤y≤T1,T0表示该地区最低温，T1表示最高温}
概率论与数理统计知识点总结
概率论与数理统计知识点总结概率论和数理统计是现代科学领域中广泛应用的数学分支。
它们研究和揭示了随机现象背后的规律和规则，为科学研究和决策提供了重要的工具。
本文将对概率论和数理统计的一些基本知识点进行总结和概述。
一、概率论概率论是研究随机试验和随机现象的理论。
在概率论中，我们关注的是事件发生的可能性大小，用概率来描述事件的可能性大小。
1.1 事件与样本空间在概率论中，我们首先要确定一个随机试验的所有可能结果构成的集合，这个集合称为样本空间。
样本空间通常用S表示。
当我们关注一个或一组特定的结果时，我们将其称为事件。
1.2 概率概率是描述事件发生可能性的数值，它的取值范围在0到1之间。
当一个事件发生的可能性接近1时，我们说该事件具有很高的概率；反之，当事件发生的可能性接近0时，我们说该事件具有很低的概率。
1.3 基本概率公式在概率论中，我们可以采用不同的方法来计算事件的概率。
基本概率公式是最基本的计算概率的方法。
它表达了事件A在样本空间中所有可能结果的比率。
其计算公式为：P(A) = m/n其中，m表示事件A发生的次数，n表示样本空间中可能结果的总数。
1.4 条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
其计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
二、数理统计数理统计是研究如何从样本中推断总体特征的一门学科。
在数理统计中，我们通过对样本数据的搜集和分析，得出总体的统计特征，并对总体做出推论。
2.1 总体和样本在数理统计中，我们关注的是统计总体，它是我们所要研究的对象的全体。
当我们从总体中抽取一部分个体进行研究时，这部分个体称为样本。
通过对样本的分析，我们可以推断出总体的一些特征。
2.2 抽样方法在数理统计中，我们需要选择合适的抽样方法来获得样本数据。
常用的抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样、系统抽样等。
概率论与数理统计复习资料
自考04183概率论与数理统计(经管类)笔记-自考概率论与数理统§1.1 随机事件1.随机现象：确定现象：太阳从东方升起，重感冒会发烧等；不确定现象：随机现象：相同条件下掷骰子出现的点数：在装有红、白球的口袋里摸某种球出现的可能性等；其他不确定现象：在某人群中找到的一个人是否漂亮等。
结论：随机现象是不确定现象之一。
2.随机试验和样本空间随机试验举例：E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。
E2：掷一枚骰子，观察出现的点数。
E3：记录110报警台一天接到的报警次数。
E4：在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命。
E5：记录某物理量（长度、直径等）的测量误差。
E6：在区间[0，1]上任取一点，记录它的坐标。
随机试验的特点：①试验的可重复性；②全部结果的可知性；③一次试验结果的随机性，满足这些条件的试验称为随机试验，简称试验。
样本空间：试验中出现的每一个不可分的结果，称为一个样本点，记作。
所有样本点的集合称为样本空间，记作。
举例：掷骰子：＝{1，2，3，4，5，6},＝1，2，3，4，5，6；非样本点：“大于2点”，“小于4点”等。
3.随机事件：样本空间的子集，称为随机事件，简称事件，用A,B,C,…表示。
只包含一个样本点的单点子集{}称为基本事件。
必然事件：一定发生的事件，记作不可能事件：永远不能发生的事件，记作4.随机事件的关系和运算由于随机事件是样本空间的子集，所以，随机事件及其运算自然可以用集合的有关运算来处理，并且可以用表示集合的文氏图来直观描述。
（1）事件的包含和相等包含：设A，B为二事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含事件A，或事A包含于事件B，记作，或。
性质：例：掷骰子，A：“出现3点”，B：“出现奇数点”，则。
注：与集合包含的区别。
相等：若且，则称事件A与事件B相等，记作A＝B。
（2）和事件概念：称事件“A与B至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件，或称为事件A与事件B的并，记作或A＋B。
概率论与数理统计知识点总结(免费超详细版)
《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 A B 则称事件 B 包含事件 A ，指事件 A 发生必然导致事件 B 发生A B {x x A或x B} 称为事件 A 与事件 B 的和事件，指当且仅当 A ，B 中至少有一个发生时，事件 A B 发生A B {x x A且x B} 称为事件 A 与事件 B 的积事件，指当A，B 同时发生时，事件A B 发生A—B {x x A且x B} 称为事件A 与事件 B 的差事件，指当且仅当 A 发生、B 不发生时，事件 A — B 发生A B ，则称事件 A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件 A 与事件 B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的A B S A B ，则称事件 A 与事件 B 互为逆事件，又称事件 A 与事件 B 互为且对立事件2．运算规则交换律 A B B A A B B A结合律(A B) C A (B C) ( A B)C A(B C)分配律 A （B C）(A B) ( A C)A (B C)(A B)( A C)—徳摩根律 A B A B A B A B§3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件 A 发生的次数n称为事件AA 发生的频数，比值n nA 称为事件 A 发生的频率概率：设E是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件的概率1．概率P( A)满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件 A 0 P( A) 1（2）规范性：对于必然事件S P (S) 11（3）可列可加性：设A1, A2 , ,A是两两互不相容的事件，有nn nP A k ) P( A) ( （n可kk 1 k 1以取）2．概率的一些重要性质：（i ）P( ) 0（ii ）若A1, A2 , ,A是两两互不相容的事件，则有n Pn n( （n可以取）A k ) P( A )kk 1 k 1（iii ）设A，B 是两个事件若 A B ，则P(B A) P( B) P( A) ，P( B) P(A) （iv）对于任意事件A，P(A) 1（v）P( A) 1 P(A) （逆事件的概率）（vi）对于任意事件A，B 有P(A B) P( A) P( B) P( A B)§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若事件 A 包含k 个基本事件，即{e i } {e } {e }A ，里1 i i k] 2，k是，中某个不同的数，则有i1 i 2, ，i k 1,2 nP( A)j k1P { eij}knA包含的基本事件数S中基本事件的总数§5．条件概率（1）定义：设A,B 是两个事件，且P( A) 0 ，称P( A B)P(B | A) 为事件 A 发生的条P(A)件下事件 B 发生的条件概率（2）条件概率符合概率定义中的三个条件。
概率论与数理统计(完整版)
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(二) 乘法公式:
由条件概 ,立率 即P 定 可 (A 义 0 得 )则 , 有 P(AP B()A)|A P)(.B
33
例3. r只红球○ t只白球○
每次任取一只球观 察颜色后, 放回, 再 放回a只同色球
在袋中连续取球4次, 试求第一、二次取到红球且 第三、四次取到白球的概率.
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(三) 全概率公式和贝叶斯公式:
1. 样本空间的划分
定义 : 若B1,B2,,Bn一组事件 : 满足
(iB i) B j φ ,i ji,j, 12,.,.n .,,
(1) 样本空间中的元素只有有限个;
(2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同.
例如:掷一颗骰子,观察出现的点数.
概率的古典定义:
对于古典概型, 样本空间S＝{1, 2, … , n}, 设事件A包 含S的 k 个样本点，则事件A的概率定义为
A中 的 基 本 事k件 数 P(A)S中的基本事n件总数 15
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即 10 对于每一 B有 个 , 1 事 P(件 |B A)0.
20 P (|SA) 1.
30 设B1,B2,两两互不,相 则容
P(Bi |A)P(Bi |A.)
i1
k1
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的
积，即事件A与BA同时发生. A B 可简记为AB.
概率论-1-2随机事件间的关系及运算
若事件 A 的出现必然导致事件 B 不出现, B 出现也必然导致 A不出现,则称事件 A与B互不相
容, 即
A B AB .
实例 抛掷一枚硬币, “出现正面” 与 “出现反面” 是互不相容的两个事件.
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数 . “骰子出现1点”互斥 “骰子出现2点”
图示 A 与 B 互斥.
四、小结
1. 随机试验、样本空间与随机事件的关系
随机试验
样本空间 子集 随机事件
基本事件，复合事件，必然事件， 不可能事件都是随机事件
学习了事件的运算及运算律，运算的 目的是什么？
用简单事件表示复合事件（复合事件分解 成简单事件）
(*)2. 概率论与集合
S 样本空间，必然事件
互为对立事件
二、随机事件间的关系及运算
事件是集合，就可以用集合间的关系和运 算来处理,我们结合 p4 图来学习：
设试验 E 的样本空间为S, 而 A, B, Ak (k 1,2,)是 S 的子集.
二、随机事件间的关系及运算（续）
1. 包含关系 子事件 A B.
实例 “长度不合格” 必然导致 “产品不合格” 所以B=“产品不合格”包含A=“长度不合格”. 图示 B 包含 A.
(2) 三个事件都出现;
(3)三个事件至少有一个出现;
(4) 不多于一个事件出现; (5) A, B 至少有一个出现, C 不出现; (6) A, B, C 中恰好有两个出现.
解(1) ABC; (2) ABC; (3) A B C;
(4) ABC ABC ABC ABC;
(5) ( A B) C; (6) ABC ABC ABC.
复合事件—由若干个基本事件组合而成的事件.
概率论及数理统计
概率论及数理统计1. 概率论的基本概念概率论是数学中一个重要的分支，研究随机现象的规律性和不确定性。
它涉及到随机事件、样本空间、概率以及概率分布等内容。
1.1 随机事件随机事件是指在一次试验中可能发生也可能不发生的事件。
例如，掷骰子时出现点数6的事件就是一个随机事件。
1.2 样本空间样本空间是指一次试验可能出现的所有结果构成的集合。
用S表示样本空间，例如掷骰子时，样本空间为S={1,2,3,4,5,6}。
1.3 概率概率是对随机事件发生可能性大小的度量。
用P(A)表示事件A发生的概率。
概率的取值范围在0到1之间，其中0表示不可能发生，1表示肯定会发生。
1.4 概率分布概率分布描述了随机变量各个取值与其对应概率之间的关系。
常见的概率分布有离散型和连续型两种。
2. 数理统计的基本方法数理统计是利用数学方法对收集到的数据进行整理、分析和推断的过程。
它包括描述统计和推断统计两个方面。
2.1 描述统计描述统计是通过对数据的整理、汇总和图表展示，来描述数据的分布特征。
常见的描述统计方法有频数分布表、直方图、饼图等。
2.2 推断统计推断统计是通过对样本数据进行分析，得出关于总体特征的结论。
常见的推断统计方法有参数估计和假设检验。
2.2.1 参数估计参数估计是根据样本数据来估计总体参数值。
常用的参数估计方法有点估计和区间估计。
点估计是根据样本数据得到一个具体值作为总体参数的估计值，而区间估计是根据样本数据得到一个区间作为总体参数的估计范围。
2.2.2 假设检验假设检验是对总体特征提出一个假设，并根据样本数据来判断该假设是否成立。
常见的假设检验方法有单样本检验、双样本检验和方差分析等。
3. 概率论与数理统计在实际问题中的应用概率论与数理统计在各个领域中都有广泛的应用，下面以几个具体的实际问题为例进行说明。
3.1 投资决策在投资决策中，概率论和数理统计可以帮助我们评估不同投资方案的风险和收益。
通过对历史数据的分析，可以得到不同投资方案的预期收益率和风险指标，从而做出合理的决策。
概率论与数理统计总复习-
一. 二维离散型r.v.
概率统计-总复习-13
1. 联合分布律（2个性质）
P(Xxi,Yyj)pij,
2.联合分布函数（5个性质）
F ( x , y ) P X x , Y y
3.联合分布律与联合分布函数关系
F(x,y)pij, xixyjy
4. 边缘分布律与边缘分布函数
n
Xi
n
E( Xi )
i1 i1
D
n
Xi
n
D( Xi )
i1 i1
X1,,Xn 相互独立
常见离散r.v.的期望与方差
概率统计-总复习-27
分布 概率分布
期望 方差
参数p的 0-1分布
P (X 1 )p ,P (X 0) q
2. 联合分布函数（5个性质）
xy
F(x,y) p(u,v)dvdu
3.联合密度与联合分布函数关系 2F( x,y) p( x,y)
xy
4.边缘密度与边缘分布函数
p (x) p( x,y)dy p ( y) p( x,y)dx
X
Y
FX( x) F(x, ) FY ( y ) F(, y)
5.全概率公式：分解 P(B) P(Ai)P(B|Ai),B
i1
6.贝叶斯公式
P(Aj |B)
P(Aj )P(B| Aj )
,j
P(Ai )P(B|Ai )
i1
四. 概率模型
概率统计-总复习-6
1.古典概型： 摸球、放球、随机取数、配对
2. n重伯努利概型：
概率论与数理统计整理(一二章)
一、随机事件和概率考试内容：随机事件(可能发生可能不发生的事情)与样本空间(包括所有的样本点) 事件的关系(包含相等和积差互斥对立)与运算(交换分配结合德摸根对差事件文氏图) 完全事件组(所有基本事件的集合) 概率的概念概率的基本性质(非负性规范性可列可加性) 古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验考试要求：1．了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系与运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率(弄清几何意义)，掌握概率的加法公式(PAUB=PA+PB--PAB)、减法公式(P(A--B)=PA--PAB)、乘法公式(PAB=PA*PB|A)、全概率公式(关键是对S进行正确的划分)，以及贝叶斯公式．3．理解事件的独立性(PAB=PA*PB)的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．整理重点：1. 随机事件：可能发生也可能给不发生的事件。
0<概率<1。
2. 样本空间：实验中的结果的每一个可能发生的事件叫做实验的样本点，实验的所有样本点构成的集合叫做样本空间，大写字母S表示。
3. 事件的关系：（1）包含：事件A发生必然导致事件B发生，称事件B包含事件A。
（2）相等：事件A包含事件B且事件B包含事件A。
（3）和：事件的并，记为A∪B。
（4）差：A-B称为A与B的差，A发生而B不发生，A-B=A-AB。
（5）积：事件的交，事件A与B都发生，记为AB或A∩B。
（6）互斥：事件A与事件B不能同时发生，AB=空集。
（7）对立：A∪B=S。
4. 集合的运算：（1）交换律：A∪B=B∪A AB=BA (2结合律：（A∪B）∪C=A∪(B∪C) (AB)C=A（B C） (3)分配率：A (B∪C)=AB∪AC A∪(BC)=(A∪B)(A∪C) (4)德*摩根定律5. 完全事件组：如果n个事件中至少有一个事件一定发生，则称这n个事件构成完全事件组（特别地：互不相容的完全事件组）。
(完整版)概率论与数理统计知识点总结(免费超详细版)
《概率论与数理统计》第一章 概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件2．运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（ ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂ 徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===nk kn k kA P A P 11)()( （n 可以取∞）2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP（ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P（v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率）（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件，即}{}{}{2]1k i i i e e e A =，里个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑= §5．条件概率（1） 定义：设A,B 是两个事件，且0)(>A P ，称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件1。
概率论与数理统计1-2(已讲)
Ω
显然
A ⊂ Ω, 规定
Φ ⊂ A.
(2) A等于 等于B 若 A ⊂ B, B ⊂ A 则称事件 A 与事 等于 相等， 件 B 相等，记作 A=B. (3) 事件 A 与 B 和(并)事件 事件 A U B = { x x ∈ A 或 x ∈ B }称为事件 A 与
事件B 事件B的和事件 .
A和B至少有一个发生
注: 1、只要做试验,就会产生一个结果,即的的的间 、只要做试验,就会产生一个结果, 中就会有一个点(的的点ω 出现。 Ω中就会有一个点(的的点ω)出现。
当结果ω∈A 称事件A发生。 当结果ω∈A时, 称事件A发生。 ω∈
2、 (1).由于的的的间 包含了所有的的的点, 由于的的的间Ω (1).由于的的的间Ω包含了所有的的的点,且是 自身的一个子集。故在每次试验中Ω总 Ω自身的一个子集。故在每次试验中 总 是发生。因此, 必然事件。 是发生。因此, 称Ω必然事件。 (2).的集Φ不包含任何的的点， (2).的集Φ不包含任何的的点，但它也是的的的 的集 的一个子集, 间Ω的一个子集,由于它在每次试验中肯定 的一个子集 不发生，所以称Φ 不可能事件。 不发生，所以称Φ为不可能事件。
例如
只包含两个的的点的的的的间
Ω = {H , T }
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的 它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的 正面或出现反面 也可以作为产品检验中合格 不合格的模 合格与 模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的模 有人排队与 又能用于排队现象中有人排队 无人排队的 型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的 模型等. 模型等
试验不同, 对应的的的的间也不同. 说明 1. 试验不同 对应的的的的间也不同 2. 同一试验 , 若试验目的不同 则对应的的 若试验目的不同,则对应的的 间也不同. 的的 间也不同 对于同一试验: 例如 对于同一试验 “将一枚硬币抛掷三 次”. 若观察正面 H、反面 T 出现的情况 ,则的的的间 H、 ,则的的的间 为
人工智能必备数学基础：概率论与数理统计（1）
⼈⼯智能必备数学基础：概率论与数理统计（1）如果需要⼩编其他数学基础博客，请移步⼩编的GitHub地址 传送门： 这⾥我打算再补充⼀下关于概率论与数理统计的基础。
（注意：⽬前⾃⼰补充到的所有知识点，均按照⾃⼰⽹课视频中⽼师课程知识点⾛的，同时⼀些公式是⽹友⾟⾟苦苦敲的，这⾥⽤到那个博客均在⽂末补充地址，不过这⾥⾸先表⽰感谢！！）1，基本概念1.1 随机试验的概念 在⾃然界的现象中，分为必然现象和随机现象。
随机现象在相同的条件下，⼤量重复试验中呈现出的规律性称为统计规律性。
随机试验：对随机现象所作的观察，测量等试验统称为随机试验，简称试验，⽤E表⽰。
随机试验有如下特点：1，可以在相同条件下重复进⾏2，所有可能结果不⽌⼀个，且事先已知3，每次试验总是出现可能结果之⼀，但出现哪⼀个，试验前还不能确定1.2 样本点，样本空间，随机事件的概念 基本事件（⼜称样本点）：指随机试验的每⼀个可能结果，⽤ e 表⽰。
样本空间：基本事件或样本点的全体构成的集合，⽤ S 表⽰。
样本点与样本空间的关系： 这⾥需要注意的是，条件概率的样本空间： 随机事件：样本空间 S 的某个⼦集A，称为随机事件，简称事件 A。
当且仅当 A 中某个样本点出现，称为 A 发⽣。
事件 A 可以⽤语⾔表⽰，也可以⽤集合表⽰。
必然事件：样本空间 S 包含所有的基本事件，故在每次试验中都发⽣，因此称为必然事件。
不可能事件：Ø 不包含任何基本事件，故在每次试验中不发⽣因此称为不可能事件。
下⾯举个例⼦1.3 概率与频率 概率论中，频率和概率的概念是很重要的，两者既有联系也有本质的不同，有必要专门区分⼀下。
对于⼀个不确定事件发⽣的可能性⼤⼩，我们希望找到⼀个合适的数来表征它。
⽽为了引出这个表⽰不确定事件可能性⼤⼩的数，我们引⼊频率来给概念。
简单来说就是引⼊频率来引出概率。
频率：描述的是事件发⽣的频繁程度。
严格的定义是：在相同的条件下，进⾏ n 次试验，事件 A 发⽣的次数Na 称为事件 A 的频数，⽐值 Na/n 称为事件 A 发⽣的频率。
概率论与数理统计高教版第四版课后习题答案
定义1.2 若试验结果一共由n个基本事件E1,E2,…,En组成， 并且这些事件的出现具有相同的可能性，而事件A由其中的 某m个基本事件E1/,E2/,…,En/组成，则事件A的概率可用下式 计算：
有利于A的基本事件数 m P( A) = = 试验的基本事件总数 n (1.1)
这里E1,E2,…,En构成一个等概率完备事件组。 （三）计算概率的例题 例1 袋内有5个白球，3个黑球，从中任取两个位球，计算 取出的两个球都是白球的概率。 例2 一批产品共200个，有6个废品，求：（1）这些产品的 废品率；（2）任取3个恰有一个是废品的概率；（3）任取3个
12
数值p，即（P(A)）就是在一次试验中对事件A发生可能 性的大小的数量描述。 如上所说，频率的稳定性是概率的经验基础，但并不是 说概率决定于试验。一个事件发生的概率完全决定于事件本 身的结构，是先于试验而客观存在的。 概率的统计定义仅仅指出了事件的概率是客观存在的 但 并不能用这个定义计算P(A)。实际上，人们是采用一次大量 实验的频率或一系列频率的平均值作为P(A)的近似值。 这就是说，概率的统计定义还不是真正意义上的数学定 义。 （二）概率的古典定义 直接计算某一事件的概率有时是非常困难的，甚至是不 可能的。仅在某些情况下，才可以直接计算事件的概率。
5
个事件发生。记作
å
¥
Ai 或
¥
Ai
i= 1
i= 1
4. 事件的交（积） 两个事件A与B同时发生，即“A且B” ，是一个事件，称为 A与B的交（积），它是由既属于A又属于B的所有公共样本点 构成的集合，记作 AB或A∩B 5.事件的差 事件A发生而事件B不发生，是一个事件，称为事件A与事 件B的差。它是由属于A但不属于B的样本点构成的集合。记作 A-B. 6. 互不相容事件
高校统计学专业概率论与数理统计知识点整理
高校统计学专业概率论与数理统计知识点整理概率论是统计学中的基础学科，它研究的是随机现象的数量规律性。
而数理统计则是应用概率论的数学统计方法来进行数据分析、推断和决策的学科。
在高校统计学专业中，概率论与数理统计是学生必须掌握的重要知识点。
本文将对这些知识点进行整理，以帮助学生更好地理解和掌握。
一、概率论1. 随机事件与样本空间随机事件是指在一次试验中可能发生的结果，样本空间是指所有可能结果的集合。
样本空间可以用集合论的概念表示，包括必然事件、不可能事件和其他事件。
2. 事件的概率事件的概率是指该事件发生的可能性大小，可以用频率或理论方法计算。
概率的性质包括非负性、规范性、可列可加性等。
3. 随机变量与概率分布随机变量是指根据随机事件取值而变动的变量，可以是离散型或连续型。
概率分布则是随机变量取值的可能性分布情况，分为离散型分布和连续型分布两种。
4. 期望值与方差期望值是随机变量取值的平均值，可以用来衡量随机事件的中心趋势。
方差是对随机变量取值的分散情况进行度量，方差越大表示随机变量的取值越分散。
5. 常见概率分布常见的离散型概率分布包括伯努利分布、二项分布和泊松分布；常见的连续型概率分布则包括均匀分布、正态分布和指数分布等。
二、数理统计1. 参数估计参数估计是利用样本数据推断总体参数的过程，包括点估计和区间估计两种方法。
点估计是用单个值来估计总体参数，区间估计则是用一个区间来估计总体参数。
2. 假设检验假设检验是通过对样本数据进行统计推断，判断总体参数是否满足某种假设。
其中包括提出原假设和备择假设、选择显著性水平、计算检验统计量和判断拒绝域等步骤。
3. 方差分析方差分析是通过对多个总体的均值进行比较，判断它们是否存在显著差异的统计方法。
方差分析可以用于比较不同处理组之间的平均差异。
4. 回归分析回归分析是建立反映变量间关系的数学模型，利用样本数据对总体模型进行推断和预测的方法。
常用的回归模型包括一元线性回归和多元线性回归。
概率论与数理统计知识点总结
概率论与数理统计知识点总结1. 概率论基础- 随机事件：一个事件是随机的，如果它可能发生也可能不发生。
- 样本空间：所有可能事件发生的集合。
- 事件的概率：事件发生的可能性的度量，满足0≤P(A)≤1。
- 条件概率：在另一个事件发生的条件下，一个事件发生的概率。
- 贝叶斯定理：描述了随机事件A和B的条件概率和边缘概率之间的关系。
- 独立事件：两个事件A和B是独立的，如果P(A∩B) = P(A)P(B)。
- 互斥事件：两个事件A和B是互斥的，如果它们不能同时发生，即P(A∩B) = 0。
2. 随机变量及其分布- 随机变量：将随机事件映射到实数的函数。
- 离散随机变量：取值为有限或可数无限的随机变量。
- 连续随机变量：可以在某个区间内取任意值的随机变量。
- 概率分布函数：描述随机变量取值的概率。
- 概率密度函数：连续随机变量的概率分布函数的导数。
- 累积分布函数：随机变量取小于或等于某个值的概率。
- 期望值：随机变量的长期平均值。
- 方差：衡量随机变量取值的离散程度。
3. 多维随机变量及其分布- 联合分布：描述两个或多个随机变量同时取特定值的概率。
- 边缘分布：通过联合分布求得的单个随机变量的分布。
- 条件分布：给定一个随机变量的值时，另一个随机变量的分布。
- 协方差：衡量两个随机变量之间的线性关系。
- 相关系数：协方差标准化后的值，表示变量间的线性相关程度。
4. 大数定律和中心极限定理- 大数定律：随着试验次数的增加，样本均值以概率1收敛于总体均值。
- 中心极限定理：独立同分布的随机变量之和，在适当的标准化后，其分布趋近于正态分布。
5. 数理统计基础- 样本：从总体中抽取的一部分个体。
- 总体：研究对象的全体。
- 参数估计：用样本统计量来估计总体参数。
- 点估计：给出总体参数的一个具体估计值。
- 区间估计：给出一个包含总体参数可能值的区间。
- 假设检验：对总体分布的某些假设进行检验。
- 显著性水平：拒绝正确假设的最大概率。
概率论与数理统计 1.2 基本事件空间和随机事件
A
1
i
积事件Intersection
积事件AB发生 事件Ａ和事件 Ｂ同时发生 由事件Ａ和事件Ｂ的公共样本点组成
ＡＢ
B
A
A1 A2 An Ai
1 n
Ａ∩Ｂ
多个事件的积
A1 A2 An ... Ai
1
互斥事件 (互不相容事件) Exclusive
事件A与事件B互斥 AB=Φ
第二节 基本事件空间与随机事件
一.基本事件与样本空间
1.基本事件/样本点 Sample Point 随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为这 个试验的一个 样本点 ，记作 i ． 2.基本事件空间 （样本空间）Sample Space 全体样本点组成的集合称为这个试验的基本事件空 间，记作Ω．即 , ,..., ,... 3.随机事件: 仅含一个样本点的随机事件称为基本事件． 含有多个样本点的随机事件称为复合事件． 不同的基本事件不能同时发生.
基本事件空间 Ω={H，T}．
随机事件
Ω={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT} A=“正面出现两次” ={HHT,HTH,THH} B=“反面出现三次” ={TTT} C=“正反次数相等” = Φ D=“正反次数不等” =Ω
试验：掷一枚硬币三次，观察它出现正面或反面的情况
A1 A2 A3 A1 A2 A3
例题:若 AB A 则 A, B 之间是什么关系?
由题设 AB A 且 A AB ,而 AB B ,所以
A B.
若
( A B) A B 呢?
A B, 故 AB .
因为 B ( A B) A AA BA BA BA 所以,
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全集
空集Φ
子事件 A⊂B
和事件 A∪B
子集A⊂B
并集A∪B
积事件 A∩B
差事件 A-B 对立事件
交集A∩B
差集A-B 补集
A
A
2.事件之间的运算律
交换律
A BB
A AB BA
结合律
分配律
( A B) C A ( B C )
A( B C ) ( AB) ( AC )
A U ( BC ) ( A U B)( A U C )
1 2 n
写出下列试验的基本事件空间
E1: 掷一颗匀质骰子，观察骰子出现的点数
Ω={1，2，3，4，5，6} 点数：一维离散型随机变量
E2: 射手向一目标射击，直到击中目标为止，射击
次数 Ω={1,2,…}
射击次数：一维离散型随机变量
E3: 从四张扑克牌J,Q,K,A任意抽取两张。
Ω={(J,Q),…(Q,A)}
A
1
i
积事件Intersection
积事件AB发生 事件Ａ和事件 Ｂ同时发生 由事件Ａ和事件Ｂ的公共样本点组成
B
ＡＢ Ａ∩Ｂ
n
A
A1 A2 An Ai
1
多个事件的积
A1 A2 An ... Ai
1
互斥事件 (互不相容事件) Exclusive
事件A与事件B互斥 AB=Φ
第二节 基本事件空间与随机事件
一.基本事件与样本空间
1.基本事件/样本点 Sample Point 随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为这 个试验的一个 样本点 ，记作 i ． 2.基本事件空间 （样本空间）Sample Space 全体样本点组成的集合称为这个试验的基本事件空 间，记作Ω．即 , ,..., ,... 3.随机事件: 仅含一个样本点的随机事件称为基本事件． 含有多个样本点的随机事件称为复合事件． 不同的基本事件不能同时发生.
摩根律
AB A U B
AUB A B
Venn图演示集合的关系与运算
A
特例—必然事件Certainty
必然事件 ——记作Ω
Events
•样本空间Ω也是其自身的一个子集 •Ω也是一个“随机”事件 •每次试验中必定有Ω中的一个样本点出现 •必然发生
例
• “抛掷一颗骰子，出现的点数不超过6”
为
必然事件。
特例—不可能事件Impossible Event
不可能事件 ——记作Φ
事件A与事件B不能同时发生 事件A与事件B没有公共的样本点
A
B
对立事件 Contrary
事件A不发生
是由所有不属于A的样本点组成
记作
A
性质
A
A
AA
A A
( A) A
差事件 Difference
差事件A-B发生 事件A发生且事件B 不发生 由属于事件A但不属于事件B的样本点组成
基本事件空间 Ω={H，T}．
随机事件
Ω={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT} A=“正面出现两次” ={HHT,HTH,THH} B=“反面出现三次” ={TTT} C=“正反次数相等” = Φ D=“正反次数不等” =Ω
试验：掷一枚硬币三次，观察它出现正面或反面的情况
二维离散型随机变量
E4: 在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命
Ω={ｔ| 0≤ｔ≤ T}
寿命：一维连续型随机变量
4.随机事件（Random Events)发生 在随机试验中，随机事件一般是由若干个基本 事件组成的． 例如，抛掷一颗骰子，观察出现的点数，那么 “出现1点”、“出现2点”、...、“出现6 点” 为该试验的基本事件． A =｛出现奇数点｝是由三个基本事件 “出现1点”、“出现3点” 、 “出现5 点” 组合而成的随机事件． 基本事件空间Ω的任一子集A称为随机事件 属于事件A的样本点出现，则称事件A发生。 事件A发生A包含的基本事件中的一个发生.
例如：在投掷一颗骰子的试验中，事件“出现偶数点”
与事件“出现2，4或6点”是相等事件。
和事件 Union
和事件A∪B发生 A发生或B发生
事件A与事件B至少有一个发生 由事件A与事件B所有样本点组成
B
A
A B
A1 A2 ... An = Ai
1 n
多个事件的和
A1 A2 ... An ... =
•空集Φ也是样本空间的一个子集
•Φ也是一个特殊的“随机”事件
•不包含任何样本点 •不可能发生
例
• “抛掷一颗骰子，出现的点数大于6”是 不可能事件
随机试验：抛掷硬币
Tossing a coin
随机试验 掷一枚均匀的硬币，观察它出现正面或反面的情况 试验的样本点和基本事件
• H：“正面向上” • T ：“反面向上”
B
A
Ａ－Ｂ 性质
A B A B,
A B A AB
完备事件组
完备事件组 A 1 , A2 ,..., An
（） 1 A1, A2 ,..., An 互不相容
（ 2） A1 U A2 U... U An
A1
A3
A2
A4
概率论
集合论
样本空间（必然事件） Ω
不可能事件 Φ
随机试验：抛掷两颗骰子
Rolling two die 随机试验 抛掷两颗骰子，观察出现的点数 试验的样本点和基本事件
样本空间 Ω＝｛（1，1），（1，2）,（1，3），（1，4）， （1，5），（1，6），...，（6，1），（6， 2），...，的点数
A=“点数之和等于3” ={（1，2），（2，1）}
B=“点数之和大于11” ={6，6} C=“点数之和不小于2”=Ω D=“点数之和大于12” = Φ
二.事件的关系与运算
事件 事件之间的关系与事件的运算
集合
集合之间的关系与集合的运算
1.给定一个随机试验，设Ω为其样本空间，事件Ａ， Ｂ，Ak ( k =1 , 2 , 3 , ... ) 都是Ω的子集．
子事件 (事件的包含Contain ）
事件Ａ是事件Ｂ的子事件
事件Ａ发生必然导致事件Ｂ发生 事件Ａ的样本点都是事件Ｂ的样本点
A 例如
B
记作
A B
BA
抛掷两颗骰子，观察出现的点数
A={出现1点}
B={出现奇数点}
A B
相等事件（Equal）
B A且 A B
A=B
B A 事件A与事件B含有相同的样本点