齐次线性方程组解的结构(精)培训资料
合集下载
4.5 线性方程组解的结构
0 Ax 0
1
br1
br
,nr
0
0 0
0
0
xn
x1
b11 xr1 b1,nr xn
xr br1 xr1 br ,nr xn
为什么要取下列n-r组数？因为我们要得到线性无关的解
现对 xr1 , , xn 取下列 n r 组数：
xr1 1
B的列向量组只是解向量全体的部分向量组，故
R(B) R 1 2 L s n r
于是有 R(A) R(B) n
例6 设A为n阶方阵，证明(可当结论记住直接用)
n, 当 R A n,
R
A*
1,
当 R A n 1,
0, 当 R A n 1.
证（1）当 R A n时， A 0,
2020/5/6
三、应用-求通解
解：根据非齐次线性方程组的解的结构，可知本题 中 C、E是正确的
例5 证明 当 Amn Bns O时，R(A)+R(B) ≤n
(做题时可直接当结论用)
证明 AB=0，将B按列分块，有：
B 1 2 L s
则B的每一列均是线性方程组Ax=0的解。 若R(A)=r, 解向量的全体为S，则R(S)=n-r.
n R( A)=未知量的个数－系数矩阵的秩
（2）齐次线性方程组基础解系的几个重要特征 基础解系即Ax=0解向量全体的一个最大无关组。 基础解系中的向量共有__n_-_R_(_A_)_个； 基础解系中的向量一定线性_无____关； 基础解系的向量一定是_非__零___向量。 任意n-R(A)个线性无关的满足Ax=0的非零解向量， 都可以构成一个基础解系。
且当 c1, c2 ,L , ck 为任意常数时，
齐次线性方程组解的结构(精)
齐次线性方程组解的结构
在学习齐次线性方程组解的结构之前，我们先来学习一下概念：向量空间.
线性方程组的向量表示
设有齐次线性方程组，记：
,，
则方程组可写成向量形式： Ax=0.
若为此方程组的解，则称为该方程组的解向量.
定义：若S为此线性方程组的全体解向量的集合，可以证明有：
（1）若，则；（2）若，则.
所以集合S是一个向量空间，我们称S为该齐次线性方程组的解空间.
对于齐次线性方程组，其向量方程形式为：Ax=0，
它的解向量可用通式表示为：
=1，
，(其右端的都是解向量：若取k
1
其余的k为0，即可看出ξ
为解向量，...。
)
1
故我们可以说，Ax=0的解向量为某n-r个线性无关的解向量的线性组合。
（注：
对此我们不加证明）
定义：齐次线性方程组的任何n-r个线性无关的解向量都称为此齐次方程组的一组基础解系.
注：这任意n-r个线性无关的解向量是齐次线性方程组解空间中的一个最大线性无关组。
是解空间的一个基。
设为方程组的一个基础解系，则方程组的解可表示为：
，其中k
1，k
2
，...，k
n-r
为任意实数.这个式子称为方
程组的通解。
例：求解方程组：
解：因为，故原方程的解向量可由任意3-2=1个线性无关的解向量的线性组合表示.
通过解方程可知为此方程组的一解向量,故原方程组的通解为：(k为任意实数。
第二十一讲齐次线性方程组解的结构
8
2.基础解系的求法 求解 n元齐次线性方程组 Am×n x=0的基础解系
及通解的步骤（设 R(A)= r<n）：
1. 用初等行变换把 A 化成行最简形矩阵 B；
2. 写出 A的行最简形矩阵 B所对应的方程组 Bx=0；
3. 令 n - r 个自由未知量分别取如下 n-r组值：
1，0，…，0； 0，1，…，0；
? ?
????????????
??am 1x1 ? am 2 x2 ? ? ? amn xn ? 0
（1）
若记
?? a11
A
?
? ?
a21 ?
a12
a22 ?
? ? ?
a1n ??
a2n ?
??,
???am1 am 2 ? amn ???
?? x1 ??
x
?
? ?
x2 ? ??
??? xn ???
3
例1 求齐次线性方程组
? x1 ? x2 ? x 3 ? x 4 ? 0,
? ?
2
x
1
?
5x2 ?
3x3 ?
2 x4
?
0,
?? 7 x1 ? 7 x 2 ? 3 x 3 ? x 4 ? 0
的基础解系与通解 .
解 对系数矩阵 A 作初等行变换 ，变为行最简形 矩阵，有
?1
A
?
???
2 7
1 ?5 ?7
则上述方程组可写成向量方程
Ax ? 0.
(2)
若 x1 ? ?11 , x 2 ? ? 21 ,? , x n ? ? n1 为方程 Ax ? 0 的解，
则
???11 ??
x
?
2.基础解系的求法 求解 n元齐次线性方程组 Am×n x=0的基础解系
及通解的步骤（设 R(A)= r<n）：
1. 用初等行变换把 A 化成行最简形矩阵 B；
2. 写出 A的行最简形矩阵 B所对应的方程组 Bx=0；
3. 令 n - r 个自由未知量分别取如下 n-r组值：
1，0，…，0； 0，1，…，0；
? ?
????????????
??am 1x1 ? am 2 x2 ? ? ? amn xn ? 0
（1）
若记
?? a11
A
?
? ?
a21 ?
a12
a22 ?
? ? ?
a1n ??
a2n ?
??,
???am1 am 2 ? amn ???
?? x1 ??
x
?
? ?
x2 ? ??
??? xn ???
3
例1 求齐次线性方程组
? x1 ? x2 ? x 3 ? x 4 ? 0,
? ?
2
x
1
?
5x2 ?
3x3 ?
2 x4
?
0,
?? 7 x1 ? 7 x 2 ? 3 x 3 ? x 4 ? 0
的基础解系与通解 .
解 对系数矩阵 A 作初等行变换 ，变为行最简形 矩阵，有
?1
A
?
???
2 7
1 ?5 ?7
则上述方程组可写成向量方程
Ax ? 0.
(2)
若 x1 ? ?11 , x 2 ? ? 21 ,? , x n ? ? n1 为方程 Ax ? 0 的解，
则
???11 ??
x
?
线性代数齐次线性方程组解的结构PPT资料(正式版)
x1 b1, r1k1 b1nknr
x2
b2,r1k1 b2nknr
xr br,r1k1 br nknr
xr1 k1
xr2
k2
xn
knr
其中， k1,k2, ,knr 任意取值。
二、基础解系及其求法
1. 基础解系 2. 基础解系的求法
b 1 ,r 1
b 1 ,r 2
即 X k k k , (2) A X = 0 有非零解的充要条件是
只需按前面的求解过程完成即可。 设 A 为 n 阶方阵，且 r ( A ) = n - 1，证明 称之为齐次线性方程组的解空间，
1 12 2 n rn r
由 r ( A ) = n - 1，有
因此 (2) 若 为
一组基础解系，那么 AX0的通解可表示为
x k 11 k 22 k tt,P119
其中 k1,k2, ,knr是任意常数。
二、基础解系及其求法
1. 基础解系 2. 基础解系的求法
设齐次线性方程组的系数矩阵 A 的秩为 r(A )rn,
不妨设 A 的前 r 个列向量线性无关，于是 A 可化为
x1
b1,r 1 xr 1
b1n xn
x2
b2,r1 xr 1 b2n xn
xr
br ,r 1 xr 1 brn xn
其中 xr1,xr2, ,xn是自由未知量，共有 ( n r ) 个。
由此得到方程组 A X = 0 的所有解为：
二、基础解系及其求法
1. 基础解系 2. 基础解系的求法
线性表出。
称 1,2, ,t为方程组 AX0的(一个)基础解系。
二、基础解系及其求法
1. 基础解系 说明 (1) 齐次线性方程组的基础解系就是其解空间的基，
第11讲齐次线性方程组解的结构
(m n)
am1x1 am2 x2 amnxn 0。
它的矩阵形式为
AX 0 ,
其中,
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
x1
a2n
,
amn
X
xxn2
。
也可用向量来表示齐次线性方程组。
a11
a12
a1n
记
1 aam211 , 2 aam222 , , n aam2nn ,
四 解线性方程组的一个应用
本节讨论矩阵的特征值与特征向量
定义 4.1
设 A Rnn , 如果存在数 及 n 维非零向量，使得：
A .
(4.1)
则称 为矩阵 A 的一个特征值, 而 称为矩阵 A 相应 于特征值 的一个特征向量。
由于
A ( A E) 0.
为矩阵 A的一个特征值的充要条件是齐次方程组
2 (1, 1, 0, 1, 0 )T 。
齐次线性方程组的通解
若齐次线性方程组(2*) 的基础解系为
1, 2 , , nr
r(A) r
则(2*) 的通解为
C11 C22 Cnrnr ,
其中, Ci 为任意常数 ( i 1, 2, , n r )。
例 求齐次线性方程组的通解: x1 x2 2x3 2x4 7x5 0 , 2x1 3x2 4x3 5x4 0 , 3x1 5x2 6x3 8x4 0。
就是说 , 方程组(2*) 的任何一个解均可由方程组 (3)中所定义
的 1, 2, , nr 线性表出。于是称方程组(3)中的这一组向
量为齐次线性方程组(2*) 的基础解系。
齐次线性方程组的基础解系
齐次线性方程组解的结构
crn kn 1kr 2 0kn
kn 0kr 1 0kr 2 1kn
于是
k1
k2
M
kr 1 1
kr 22
L
knnr
kn
因此方程组的每一个解向量，都可以由这nr个解向量
ξ1 ,ξ2 ,L ,ξnr 线性表示，
所以
ξ1 ,ξ2 ,L ,ξnr是方程组的基础解系.
a21 x1
a22
x2
L LL
a2n xn
b2 ,
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
（2）
称为非齐次线性方程组(
b1 ,b2 ,L ,bm 不全为0).
如果把它的常数项都换成0，就得到相应的齐次线性方程组，称它为非齐次线性方程组(2)的导出方程组， 简称导出组.
定理 3 （非齐次线性方程组解的结构定理）如果非齐次线性方程组有 解，那么它的一个解与其导出方程组的解之和是非齐次线性方 程组的一个解，非齐次线性方程组的任意解都可以写成它的一 个特解与其导出方程组的解之和。
11
则
x
1
21
称为方程组(1) 的解向量，它也是向量方程的解．
n1
Ax 0.
就是该显方然程齐组次的线一性个方解程，组这总个是解有叫解做，零解，若方程组还x有1其他解0，, x那2么这些0解,L就叫,做x非n零解.0
方程组 Ax 有非0零解的充要条件是
齐次线性方程组的解有如下的性质
。
LL
xr cr ,r1xr 1 L crn xn .
xr1 1 0 0
取
xr 2
0, 1,
, 0,
xn
0 0
1
可得 从而得到(1)的n-r个解
方程组解的结构
x5
0 0
1 0
0 1
所以原方程组的一个基础解系为
2
1
1
1
,
0
0
13
2
0
,
1
0
2
1
3
0
.
0 1
故原方程组的通解为 x k11 k22 k33 .
其中k1 ,k2 ,k3为任意常数.
定理1 n元齐次线性方程组Amn x 0的全体解所 构成的集合S是一个向量空间,当系数矩阵的秩 R( Amn) r时, 解空间S的维数为n r.
2x 73
5 7
x3
x 3
x4
3 7 4 7
x4 x4
2
7
5
7
1
0
x 3
3
7
4
7
0
1
x, 4
2 7
3 7
即得基础解系1
57 1
,
2
47 0
,
0 1
并由此得到通解
x1 2 7 3 7
x2
x x
3 4
c1
57 1 0
c2
47 0 1
A
2
1
1 1
3 3
5 2
5 1
3 1 5 6 7
1
~
0 0
0
1 1 2 2
1 1 2 2
4 3 6 6
3
1
2
2
~
1 0 0 0
0 1 0 0
2 1 0 0
1 3 0 0
2
1
0
0
RA r 2, n 5, n r 3,即方程组有无穷多解，
§3齐次线性方程组解的结构
§3齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组是指系数矩阵为零矩阵的线性方程组。
其一般形式为：a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a₁ₙxₙ=0a₂₁x₁+a₂₂x₂+...+a₂ₙxₙ=0...aₙ₁x₁+aₙ₂x₂+...+aₙₙxₙ=0其中，aₙ(1≤n≤m,1≤i≤n)是方程组的系数。
对于齐次线性方程组，我们可以运用矩阵和向量的线性代数理论来推导其解的结构。
首先，我们将齐次线性方程组的系数矩阵记为A，行向量xT=(x₁,x₂,...,xₙ)，则方程组可表示为Ax=0。
根据矩阵乘法的定义，我们有A·xT=(a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a₁ₙxₙ,a₂₁x₁+a₂₂x₂+...+a₂ₙxₙ,...,aₙ₁x₁+a ₙ₂x₂+...+aₙₙxₙ)=bT其中，bT是m维零向量。
这样，我们可以将齐次线性方程组的解的结构转化为求解矩阵A的零空间结构。
我们知道，零空间是矩阵A对应的齐次方程Ax=0的解的集合，也称为核空间。
零空间可以通过对系数矩阵A进行行变换化简，得到其对应的阶梯形矩阵U，进而求解。
接下来，我们来看零空间的结构。
假设U是矩阵A的阶梯形矩阵，其形式如下：a₁₁a₁₂a₁₃...a₁ₙ...a₁ₙ0a₂₂a₂₃...a₂ₙ...a₂ₙ00a₃₃...a₃ₙ...a₃ₙ...000aₙₙ...aₙₙ0000...aₙₙ其中，aᵢⱼ(1≤i≤p≤m,j>i)是U的主对角元素。
通过行变换，我们可以将U化简为如下形式：100...0...a₁ₙ₋ₙ₊₁a₁ₙ₋ₙ₊₂...a₁ₙ010...0...a₂ₙ₋ₙ₊₁a₂ₙ₋ₙ₊₂...a₂ₙ001...0...a₃ₙ₋ₙ₊₁a₃ₙ₋ₙ₊₂...a₃ₙ...000...1...aₙₙ₋ₙ₊₁aₙₙ₋ₙ₊₂...aₙₙ000...0...00 0其中，aᵢ(p<i≤n)是自由变量。
我们可以看出，自由变量的个数等于未知数的个数减去主元的个数。
§4.4齐次线性方程组解的结构
r 11 r 2 2 n n r
由于 1 , 2 , , n r 是 Ax 0 的解 ,故 也是Ax 0的 解.
下面来证明 .
r 11 r 2 2 n n r
b11 b12 b1 ,n r c1 b b b c r r1 r2 r ,n r r 1 1 r 2 0 n 0 r 1 0 1 0 r2 0 0 1 n
3
b1 x11a1 x 21a 2 x 31a 3 , b2 x12a 1 x 22a 2 x 32a 3，
对矩阵( A B )施行初等行变换，若 A能变为E， 则a1 , a 2 , a 3为R 的一个基，且当 A变为E时，B变为 X A1 B.
2 1 1 4 2 ( A B ) 2 1 2 0 3 1 2 2 4 2
1 0 A~ 0 0
0
1
b11 b1, n r br 1 br , n r 0 0
1 0 Ax 0 0 0
§ 4.4 齐次线性方程组解的结构
一、向量空间的基与维数
定义10 设 V 是向量空间，如果r 个向量 1 , 2 , ，且满足 , r V
(1) 1 , 2 ,, r 线性无关; ( 2) V中任一向量都可由 1 , 2 ,, r 线性表示 .
那末，向量组 1 , 2 , , r 就称为向量 V 的一个
3-4齐次线性方程组解的结构
所谓齐次线性方程组解的结构就是它的基础解系的线 所谓齐次线性方程组解的结构就是它的基础解系的线 齐次线性方程组解的结构 性组合： η = k1η1 + k2η2 + ⋯ + ktηt 性组合：
也即： 也即：基础解系的所有线性组合构成了齐次线性方程组 的解集合（全部解） 的解集合（全部解） 。 的基础解系（ 【注 3】 η1 ,η 2 ,⋯ ,ηt 是 Ax = 0 的基础解系 含有 t 】 若 （
b1,r + 2 ⋯ b1n b2,r + 2 ⋯ b2 n ⋮ ⋮ br ,r + 2 ⋯ brn 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ 0 0 0
信息系 刘康泽
x1 = − b1,r +1k1 − b1, r + 2 k2 − ⋯ − b1n kn − r x = − b k − b k −⋯ − b k 2, r +1 1 2, r + 2 2 2n n−r 2 ⋯⋯⋯ xr = − br ,r +1k1 − br , r + 2 k2 − ⋯ − brn kn − r 即有： 即有： k1 xr +1 = xr + 2 = k2 ⋯⋯⋯ x = kn− r n
设 矩阵， 【定理】 A 是 m × n 矩阵，r ( A) = r < n ， Ax = 0 定理】 则 的基础解系中含有 n − r 个解向量 η1 ,η 2 ,⋯ ,η n − r ，且解的 结构为： 构为：
η = k1η1 + k2η2 + ⋯ + kn − rηn − r 。
上式就是 结构，也叫做 通解。 上式就是 Ax = 0 的解的结构，也叫做 Ax = 0 的通解。
齐次线性方程组解的结构
四、思考与练习
思考题:
设B是一个三阶非零矩阵它，的每一列是 齐次线性方程组
x1 2x2 2x3 0
2x1 2x2 x3 0
3x1 x2 x3 0
的解,求的值和B
解: B0,B的列向量是齐次的 方解 程， 组 则该 方 程 组 有 非 所 零 以 解 。 该 方程组
如果
1 1 ,2 , ,t是 A 0 x 的一 ; 组解
2 1,2, ,t是线 的 ;性无关
3 A 0 的 x 任1 ,一 2 , ,t线 解 .性 都
即
X k 11 k 22 k t t ( ＊ )
(*)式称为方程组的通解公式
定 理4. 4: m n型 齐 设次线 AX 性 0的 方 系 程 数 组
零 .A 解 0 x 有非 R A 零 n 解
例1 求下列齐次方程组的通解。
(1) 2xx11
2x2 4x2
4x3 8x3
x4 x4
0 0
3x1 6x2 2x3
0
解： 1 2 4 1
A
2 3
4 6
8 2
1 0
1 2 4
1
1
2
0
1 5
初 等行 变换
0 0
0 0
b
r
1
r1 1
r2
b
r
2
0
b r ,n r
n 0
cr
r1
0
1
0
r
2
0
0
1 n
由与 于 都是 A 方 x 0 的 程 ,而 解 Ax0又等价于
方程组
x 1 b1 1x r1 b1 ,n rxn xr br1xr1 br,nrxn
数学Ⅱ-李杰课程402齐次线性方程组解的结构
t
1 t 0 1 0 0 (t 1)2 (t 1)2
要使 R(A) 2 即 (t 1)2 0 t 1
2020/9/2
同解线性方程组
x2
x1 x3 x3
x4
线性方程组通解为
1 0
X
k1
1
1 0
k2
1
0 1
k1, k2为任意实数
2020/9/2
例
1,2,3,4 为四维向量组，A (1,2,3,4 )
2 3 0
3 ）
0
7
通解为
X k1X1 k2X2
k1,k2 为任意实数。
2020/9Leabharlann 21 2 1 2例 设 A 0 1 t t
1
t
0
1
AX=0基础解系
含有两个线性无关的解向量，求AX=0的通解。
2020/9/2
解
1 2 1 2 1 0 1 2t
2 2t
A 0 1 t t 0 1 t
一、齐次线性方程组解的性质 二、齐次线性方程组解的结构 三、小结与思考
一、齐次线性方程组解的性质
性质1 若 X1 是齐次线性方程AX=0的解， k为任意实数，则 kX1 也是齐次线性方程 AX=0的解。
性质2 若 X1, X 2 是齐次线性方程组 AX=O的解，则 X X1 X2 也是齐 次线性方程组AX=O的解。
当k 4或 1时, 0，
线性方程组有非零解。
2020/9/2
当 k 1 时，
1 1 1 1 0 1 2 A 1 1 1 0 1 3 2
1 1 2 0 0 0
此时，
x1 1 x2 3
2x3 2x3
取 x3 2 得基础解系为
齐次线性方程组解的结构
都是向量组 () 的极大无关组.
故1,2 ,L ,nr与 1,2,L ,nr等价. 推论1得证.
5 齐次线性方程组解的结构
若 1,2,L ,t 为齐次线性方程组（1）的一个
基础解系，则（1）的一般解（或通解）为
k11 …… ktt , k1,k2,L ,kt P
令 W k11 L ktt | ki P, i 1,L ,t,
1 (c11,c12 ,L ,c1r ,1,0,L ,0) 2 (c21,c22,L,c2r,0,1,L ,0) n-r (cn-r,1,cn-r,2 ,L ,cn-r,r ,0,0,L ,1)
且 1,2 ,L ,n-r 满足： ① 1,2,L ,n-r 线性无关.
事实上，若 k11 k22 L kn-rn-r 0, 即 k11 k22 …… knrnr
c2n L
crn 0 L 0
第二步：写出方程组(1)的一般解：
x1 c1,r1 xr1 L c1n xn
x2 xr
c2,r1 xr1 L c2n xn LLLLLL
cr ,r1 xr1 L crn xn
推论2 若齐次线性方程组(1)的系数矩阵的秩为 r , 则(1)的任意 n－r 个线性无关的解向量都是(1)的 基础解系．
证： 设 1,2 ,L ,nr , 为(1)的一个基础解系， 1,2 ,L ,nr 为(1)的 n－r 个线性无关的解向量， 考察向量组 1,2 ,L ,n1,1,2 ,L ,nr () 知 () 的秩为n－r . 1,2 ,L ,nr 与 1,2,L ,nr
一、 齐次线性方程组解的结构
a11 x1 a12 x 2 L a2n xn LLLLLLLLLL
as1 x1 as2 x2 L asn xn
故1,2 ,L ,nr与 1,2,L ,nr等价. 推论1得证.
5 齐次线性方程组解的结构
若 1,2,L ,t 为齐次线性方程组（1）的一个
基础解系，则（1）的一般解（或通解）为
k11 …… ktt , k1,k2,L ,kt P
令 W k11 L ktt | ki P, i 1,L ,t,
1 (c11,c12 ,L ,c1r ,1,0,L ,0) 2 (c21,c22,L,c2r,0,1,L ,0) n-r (cn-r,1,cn-r,2 ,L ,cn-r,r ,0,0,L ,1)
且 1,2 ,L ,n-r 满足： ① 1,2,L ,n-r 线性无关.
事实上，若 k11 k22 L kn-rn-r 0, 即 k11 k22 …… knrnr
c2n L
crn 0 L 0
第二步：写出方程组(1)的一般解：
x1 c1,r1 xr1 L c1n xn
x2 xr
c2,r1 xr1 L c2n xn LLLLLL
cr ,r1 xr1 L crn xn
推论2 若齐次线性方程组(1)的系数矩阵的秩为 r , 则(1)的任意 n－r 个线性无关的解向量都是(1)的 基础解系．
证： 设 1,2 ,L ,nr , 为(1)的一个基础解系， 1,2 ,L ,nr 为(1)的 n－r 个线性无关的解向量， 考察向量组 1,2 ,L ,n1,1,2 ,L ,nr () 知 () 的秩为n－r . 1,2 ,L ,nr 与 1,2,L ,nr
一、 齐次线性方程组解的结构
a11 x1 a12 x 2 L a2n xn LLLLLLLLLL
as1 x1 as2 x2 L asn xn
线性代数 齐次线性方程组解的结构
18
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 四 章 线 性 方 程 组
x3 令自由未知量 x 5
分别
1 0 , , 0 6
得到方程组的一个基础解系为
7 1 5 1 1 1 , 2 0 . 2 0 6 0
1 2 2 1 r3 r2 r1 2r2 0 1 2 4 / 3 r2 (3) 0 0 0 0
1 0 2 5 / 3 2 4 / 3 0 1 0 0 0 0
14
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 四 章 线 性 方 程 组
由于 n r ( A) 5 2 3 , 故方程组有无穷多解， 其基础解系中有三个线性无关的解向量。 16
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 四 章 线 性 方 程 组
x3 令自由未知量 x 4 x 5
分别
1 0 , 0
x r 1 k 1 xr 2 k2 xn
其中，
k1 , k 2 , , k n r
k n r
任意取值。
10
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 二、基础解系及其求法 四 1. 基础解系 章 2. 基础解系的求法 线 性 b1,r 1 b1,r 2 b1n 方 程 b b b 组 r ,r 1 r ,r 2 rn 令 1 1 , 2 0 , , n r 0 , 0 1 0 0 0 1
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 二、基础解系及其求法 四 1. 基础解系 章 2. 基础解系的求法 线 相应地，齐次线性方程组 A X 0 等价(或同解)变形为 性 方 程 组
齐次线性方程组解的结构
且 1 ,2 ,
,n-r 满足：
① 1 ,2 , ,n-r 线性无关.
§3.6 线性方程组解的结构
事实上，若 k11 k22 即
(, , , , k1 , k2 ,
kn-rn-r 0,
k11 k22 …… kn rnr
, kn r ) (0,0,
§3.6 线性方程组解的结构
4 基础解系的存在性
定理7 在齐次线性方程组有非零解的情况下， 它有基础解系，并且基础解系所含解向量的个数
r R( A) . 等于 n r，其中n是未知量的个数，
§3.6 线性方程组解的结构
证： 若 R( A) r n ， 不妨设
a11 a12 ……a1r a21 a22 ……a2r 0, ……………… ar 1 ar2 ……arr
且 i 可由 1 ,2 , 所以 i也为（1）的解向量 ( i 1,2,
任取（1）的一个解向量 ，则 可由 1，2， ，t 线性表出， 从而 可由 1 , 2 , , t 线性表出.
1 , 2 , , t 也是（1）的基础解系.
§3.6 线性方程组解的结构
§3.6 线性方程组解的结构
1 1 1 7 5 4 14 10 8 3 2 0 7 7 5 4 1 7 7 0 0 0
原方程组的解为
2 3 x1 7 x3 7 x4 5 4 x 2 x 3 x4 7 7
2 5 ( x 1, x 0, 令 3 得 1 7 , 7 ,1,0) 4 3 4 ( 令 x3 0, x4 1, 得 1 7 , 7 ,1,0)
cr 11 …… cnn r 也为（1）的解，即 cr 11 cnnr (, , , , cr 1 , , cn )
,n-r 满足：
① 1 ,2 , ,n-r 线性无关.
§3.6 线性方程组解的结构
事实上，若 k11 k22 即
(, , , , k1 , k2 ,
kn-rn-r 0,
k11 k22 …… kn rnr
, kn r ) (0,0,
§3.6 线性方程组解的结构
4 基础解系的存在性
定理7 在齐次线性方程组有非零解的情况下， 它有基础解系，并且基础解系所含解向量的个数
r R( A) . 等于 n r，其中n是未知量的个数，
§3.6 线性方程组解的结构
证： 若 R( A) r n ， 不妨设
a11 a12 ……a1r a21 a22 ……a2r 0, ……………… ar 1 ar2 ……arr
且 i 可由 1 ,2 , 所以 i也为（1）的解向量 ( i 1,2,
任取（1）的一个解向量 ，则 可由 1，2， ，t 线性表出， 从而 可由 1 , 2 , , t 线性表出.
1 , 2 , , t 也是（1）的基础解系.
§3.6 线性方程组解的结构
§3.6 线性方程组解的结构
1 1 1 7 5 4 14 10 8 3 2 0 7 7 5 4 1 7 7 0 0 0
原方程组的解为
2 3 x1 7 x3 7 x4 5 4 x 2 x 3 x4 7 7
2 5 ( x 1, x 0, 令 3 得 1 7 , 7 ,1,0) 4 3 4 ( 令 x3 0, x4 1, 得 1 7 , 7 ,1,0)
cr 11 …… cnn r 也为（1）的解，即 cr 11 cnnr (, , , , cr 1 , , cn )
齐次线性方程组解的结构
§6.2齐次线性方程组解的结构
一. 齐次线性方程组解的结构
1. 解向量 齐次线性方程组 Ax0,
若 x 1 1 , x 2 1 2 , , 1 x n n 1 为方程A x0的解，则
11
x
1
21
n 1
称为方程组的解向量.
2
（1）若 x1,x2为 A x0的解，则
x12
也是 Ax0的解.
A 1 2 A 1 A 2 0
（2）若 x1 为A x0的解，k为实数，则
xk1也是 A x0的解． A k 1 k 1 A k 0 0 .
推广： 齐次线性方程组的解的线性组合
k 1 1 k 2 2 k n n
都是方程组的解 3
2. 基础解系
1 A2
1
2 1 -1
2 -2 -4
1 -2 -3
r2 -2r1 r3 - r1
1 0 0
2 -3 -3
2 -6 -6
1 - 4 - 4
1 2 2 1
1 0 - 2 -5/ 3
r3 -r2 r2(-3)
0 0
1 0
2 0
4 / 3
r1 -2r2
0
0
0
1 0
2 0
4/ 3
0
(2) 由标准阶梯形得到方程组为 x x12- 22xx33- ((54//33))xx44 00,.
简化 阶梯形矩阵
方程组有无穷多解 可写出一般解 自由未知 量适当取值 基础解系
是
线性组合
方程组有唯一零解
写出全部解
14
习题4.6 3(2)
( 2 )A 0 x 的任1 一 ,2 , ,t线 解. 性 都
即方程组的通解就是
一. 齐次线性方程组解的结构
1. 解向量 齐次线性方程组 Ax0,
若 x 1 1 , x 2 1 2 , , 1 x n n 1 为方程A x0的解，则
11
x
1
21
n 1
称为方程组的解向量.
2
（1）若 x1,x2为 A x0的解，则
x12
也是 Ax0的解.
A 1 2 A 1 A 2 0
（2）若 x1 为A x0的解，k为实数，则
xk1也是 A x0的解． A k 1 k 1 A k 0 0 .
推广： 齐次线性方程组的解的线性组合
k 1 1 k 2 2 k n n
都是方程组的解 3
2. 基础解系
1 A2
1
2 1 -1
2 -2 -4
1 -2 -3
r2 -2r1 r3 - r1
1 0 0
2 -3 -3
2 -6 -6
1 - 4 - 4
1 2 2 1
1 0 - 2 -5/ 3
r3 -r2 r2(-3)
0 0
1 0
2 0
4 / 3
r1 -2r2
0
0
0
1 0
2 0
4/ 3
0
(2) 由标准阶梯形得到方程组为 x x12- 22xx33- ((54//33))xx44 00,.
简化 阶梯形矩阵
方程组有无穷多解 可写出一般解 自由未知 量适当取值 基础解系
是
线性组合
方程组有唯一零解
写出全部解
14
习题4.6 3(2)
( 2 )A 0 x 的任1 一 ,2 , ,t线 解. 性 都
即方程组的通解就是
§3齐次线性方程组解的结构
在实际求解时，我们尽量不做交换列的初等变换. 例如在例2中，当把A用初等行变换变为矩阵
时，即可写出与之对应的方程组：
所以可以让x2,x4为自由未知量，让 依次取 ， 即可求出原方程组的一个基础解系：
1＝ ,2＝ .
例3设1＝(1, 2, 1, 0),2＝(－1, 1, 1, 1)，
1＝(2, －1, 0, 1)，2＝(1, －1, 3, 7)；
教学环节
一、数域 上的 元齐次线性方程组有非零解的充要条件
定理6.3.1齐次线性方程组(1)有非零解的充分且必要条件是系数矩阵A的秩小于n.
证由定理6.1.2知, 当r(A)＝n时，(1)有唯一解，那只能是零解；当r(A)<n时，(1)有无穷多个解，即除零解外还有非零解. □
推论6.3.2如果m<n，那么齐次线性方程组(1)有非零解.
证当m<n时，r(A)≤min{m,n}＝m<n.所以由定理6.3.1即知(1)有非零解.
二、数域 上的 元齐次线性方程组在 上的所有解向量构成 的一个子空间
下面我们考虑齐次线性方程组(1)的解的结构. 先将(1)写成矩阵形式
AX＝0, 其中A是系数矩阵，
X＝ .
(1)的每一个解都可以看成是一个n维列向量，叫做方程组(1)的一个解向量. (1)的解向量有以下的性质.
例2求出齐次线性方程组
的一个基础解系.
对系数矩阵施行行初等变换和第一种列初等变换，得
，
这里我们交换了矩阵的2、3两个列. 与上述最后一个矩阵相对应
的齐次线性方程组是
(5)
依次取 为 , 即可求出(5)的两个解
, .
再把i的第2、第3两个坐标互换，(i＝1,2),即得
1＝ ,2＝ .
时，即可写出与之对应的方程组：
所以可以让x2,x4为自由未知量，让 依次取 ， 即可求出原方程组的一个基础解系：
1＝ ,2＝ .
例3设1＝(1, 2, 1, 0),2＝(－1, 1, 1, 1)，
1＝(2, －1, 0, 1)，2＝(1, －1, 3, 7)；
教学环节
一、数域 上的 元齐次线性方程组有非零解的充要条件
定理6.3.1齐次线性方程组(1)有非零解的充分且必要条件是系数矩阵A的秩小于n.
证由定理6.1.2知, 当r(A)＝n时，(1)有唯一解，那只能是零解；当r(A)<n时，(1)有无穷多个解，即除零解外还有非零解. □
推论6.3.2如果m<n，那么齐次线性方程组(1)有非零解.
证当m<n时，r(A)≤min{m,n}＝m<n.所以由定理6.3.1即知(1)有非零解.
二、数域 上的 元齐次线性方程组在 上的所有解向量构成 的一个子空间
下面我们考虑齐次线性方程组(1)的解的结构. 先将(1)写成矩阵形式
AX＝0, 其中A是系数矩阵，
X＝ .
(1)的每一个解都可以看成是一个n维列向量，叫做方程组(1)的一个解向量. (1)的解向量有以下的性质.
例2求出齐次线性方程组
的一个基础解系.
对系数矩阵施行行初等变换和第一种列初等变换，得
，
这里我们交换了矩阵的2、3两个列. 与上述最后一个矩阵相对应
的齐次线性方程组是
(5)
依次取 为 , 即可求出(5)的两个解
, .
再把i的第2、第3两个坐标互换，(i＝1,2),即得
1＝ ,2＝ .
线性代数第三章线性方程组3.5齐次线性方程组解得结构
1
12
由定理3.10可得求解齐次线性方程组通解的步骤 （1）对矩阵 A 进行初等行变换，将其化为行最简形阶
梯矩阵；
（2）将其行最简形阶梯矩阵转化为同解的阶梯形方
程组； （3）由同解的阶梯形方程组写出方程组的一个
基础解系 1 ,2 , ,nr ；
b11
1
br
1
1
,
0
0
b12
2
1
0
B
(1 ,
2
,
3
,
4
,
5
)
0
0
0
0
0
1
18
1 , 2 是B的列向量组的一个极大线性无关组，且有
3 21 2 , 4 1 32 , 5 21 2
21 2 3 0 4 0 5 0
1
32
0
3
4
0
5
0
2
1
2
0
3
0
4
5
0
1
19
1 ,2 是A的列向量组的一个极大线性无关组，且有
xn
1
2
则上述方程组（ 3.12 ）可写成矩阵方程
AX O 性质1 若 1 ,2 是齐次线性方程组（ 3.12 ）的解，则 1 2也是它的解.
证 因为 1 ,2是方程组（ 3.12 ）的解，故
A1 O, A2 O
A1 2 A1 A2 O
故1 2 也是AX O的解.
性质2 若 是齐次线性方程组（ 3.12 ）的解，则对任意
x1 2x2 2x1 3x2
3x3 5x3
0, 0,
x1 x2 ax3 0,
(I
)和
§45齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构(精)
线性表示，故(III)为AX=0的一个基础解系.
此外，与AX=0一个基础解系等价的任意线 性无关向量组也是AX=0的基础解系.
例2 设A为s n型矩阵，B为n m型，
AB 0,则 rB rA n. 分析: n-rA是齐次线性方程组AX=0的基础 解系所含向量个数，故可考虑利用齐次线
性方程组的解的问题来证明.
kr,r2 0
,
...,
X nr
krn 0
0 1
0
0
0
1
为AX 0的一组线性无关的解，要证明它正 好为AX 0的一个基础解系，只需证明AX=0 的任意解即BX=0的任意解可用X1 , X2 , , Xnr 线性表示.
设X=(c1, , cr , cr+1, , cnr )为AX=0(BX=0)的 任意解，则
x2 x3 x4 3x5 0
2x2 x3 2x4 8x5 0
解 对系数矩阵进行初等行变换化为Jordan
阶梯形矩阵
1 3 2 2 1
1 0 5 110
A
0
1
1
1
3
初等行变换
0
1
1
1
3
0 2 12 8
0 0 1 0 2
1 0 0 1 20
初等行变换
0
1
0
1
Jordan阶梯形 0 0 1 0
设X= c1 c2 c3 k1 k2 T 为BX=0的任意
解，则X-k1 X1 k2 X2 d1 d2 d3 0 0T
也是BX 0的解，
这就推出d1 d2 d3 0,于是
X k1 X1 k2 X 2 .
证毕.
定理2 设A是s n型矩阵，rA r n,则齐次
此外，与AX=0一个基础解系等价的任意线 性无关向量组也是AX=0的基础解系.
例2 设A为s n型矩阵，B为n m型，
AB 0,则 rB rA n. 分析: n-rA是齐次线性方程组AX=0的基础 解系所含向量个数，故可考虑利用齐次线
性方程组的解的问题来证明.
kr,r2 0
,
...,
X nr
krn 0
0 1
0
0
0
1
为AX 0的一组线性无关的解，要证明它正 好为AX 0的一个基础解系，只需证明AX=0 的任意解即BX=0的任意解可用X1 , X2 , , Xnr 线性表示.
设X=(c1, , cr , cr+1, , cnr )为AX=0(BX=0)的 任意解，则
x2 x3 x4 3x5 0
2x2 x3 2x4 8x5 0
解 对系数矩阵进行初等行变换化为Jordan
阶梯形矩阵
1 3 2 2 1
1 0 5 110
A
0
1
1
1
3
初等行变换
0
1
1
1
3
0 2 12 8
0 0 1 0 2
1 0 0 1 20
初等行变换
0
1
0
1
Jordan阶梯形 0 0 1 0
设X= c1 c2 c3 k1 k2 T 为BX=0的任意
解，则X-k1 X1 k2 X2 d1 d2 d3 0 0T
也是BX 0的解，
这就推出d1 d2 d3 0,于是
X k1 X1 k2 X 2 .
证毕.
定理2 设A是s n型矩阵，rA r n,则齐次
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
齐次线性方程组解的
结构(精)
齐次线性方程组解的结构
在学习齐次线性方程组解的结构之前，我们先来学习一下概念：向量空间.
线性方程组的向量表示
设有齐次线性方程组，记：,，则方程组可写成向量形式： Ax=0.
若为此方程组的解，则称为该方程组的解向量.
定义：若S为此线性方程组的全体解向量的集合，可以证明有：
（1）若，则；（2）若，则.
所以集合S是一个向量空间，我们称S为该齐次线性方程组的解空间.
对于齐次线性方程组，其向量方程形式为：Ax=0，
它的解向量可用通式表示为：
=1，其余的k
，(其右端的都是解向量：若取k
1
为0，即可看出ξ
1
为解向量，...。
)
故我们可以说，Ax=0的解向量为某n-r个线性无关的解向量的线性组合。
（注：对此我们不加证明）
定义：齐次线性方程组的任何n-r个线性无关的解向量都称为此齐次方程组的一组基础解系.
注：这任意n-r个线性无关的解向量是齐次线性方程组解空间中的一个最大线性无关组。
是解空间的一个基。
设为方程组的一个基础解系，则方程组的解可表示为：
，其中k
1，k
2
，...，k
n-r
为任意实数.这个式子称为方程组的通
解。
例：求解方程组：
解：因为，故原方程的解向量可由任意3-2=1个线性无关的解向量的线性组合表示.
通过解方程可知为此方程组的一解向量,故原方程组的通解为：(k为任意实数。