线性方程组的解的结构

证：对A施行初等行变换，将A化为行最 简形阶梯矩阵。不妨设
1 0 0 c11 c1,nr
0
1
0 c21
c2,nr
A
初等行变换
B
0 0
0 0
1 cr1 0 0
cr ,n r 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
B对应齐次线性方程组为
x1
x2
c11xr1 c1,nr xn 0, c21xr1 c2,nr xn 0, xr cr1xr1 cr,nr xn 0.
xn
0 0
1
由同解方程组依次可得：
x1 c11 c12 c1,nr
x2
c21
,
c22
,
,
c2,nr
.
xr
cr1
cr
2
cr
,nr
这样得到AX=0的n-r个解向量
c11
c21
c12
c22
c1,nr
c2,nr
X1
cr1
即： 设X1, X 2 , , X r 是AX 0 的解
向量，如果
(1) X1, X 2, , X r线性无关；
(2) AX 0的任一个解向量可由 X1, X 2, , X r线性表示. 则称X1, X 2, , X r是AX 0的一个基础解系。
定理4.2.3 设A是m×n矩阵，如果 r(A)=r<n,则齐次线性方程组AX=0的 基础解系存在，且每个基础解系中 含n-r个解向量.
1
,
X2
cr2
0
,
,
X nr
cr,nr 0
.
0
1
0
0
0
1
下面证明 X1, X 2 , , X nr 构成齐次线性
方程组AX=0的一个基础解系.
以 X1, X 2 , , X nr 为列向量组构成一个矩阵C
c11 c12 c21 c22
c1,nr
推论1 向量组（B）可由向量组（A） 线性表示。如果向量组（B）线性无 关，则t≤s。
2）.求矩阵A
x 1
1 x
1 1
的秩。
1 1 x
3)
n维单位向量组1,
,
均可由向量组
n
1， ，s线性表示，则s n。对吗？
n 4) Ann且r( A) n,则r( A*) _______
0 r(A) n 2,则r(A*) _______
xr1 xr2 xn 0 的解,即零解.故X Y 0,即
X dr1X1 dr2 X 2 dn X nr ,
这就证明了 X1, X 2 , , X nr是AX 0 的一个基础解系 .
小结:
(1)定理的证明过程提供了求AX=0的基 础解wenku.baidu.com的方法．
(2)自由未知量的选取不是唯一的．实 际上，在BX=0中，任何r个未知量只要它们 的系数行列式不等于零，都可作基本未知 量，其余的n—r个未知量为自由未知量．
即
x1 c11xr1 c1,nr xn ,
x2
c21xr1
c2,nr xn ,
xr cr1xr1 cr,nr xn .
原方程AX＝0与上式同解. 取
xr1, , xn 为自由未知量。
对这n-r个自由未知量分别取
xr1 1 0
0
x
r
2
0, 1,
, 0.
a21x1
a22
x2
a2n xn 0
am1x1 am2 x2 amnxn 0
的矩阵形式
Ax 0 ， 其中：
A [aij ]mn , x [x1, x2 , , xn ]T
它的解有如下性质：
1）如果X
1
,
X
是线性
2
方
程
组的两个解，
则X 1
X
也
2
是
它的解。
2)如
果X
是线
1
性
方
程组的解，则k
c2,nr
C X1,
X2, ,
X nr
cr1 1
0
0
cr2
0 1 0
cr
,nr
0
0
C1 Inr
,
1 m(nr)
因矩阵CI n1r
中的I
n
的列向量组线性无关，故
r
它的接长向量组也线性无关。
或者： 因为C由一个n r阶子式Inr 0， 则r(C) n r,也等于列向量组的秩.
定理3.10
如果
j1，
，
jr
是1，
，
的线性无关
s
部分组，则它是极大无关组
1， ，s中的每一个向量都可由 j1， ， jr 线性
表示。
定义3.8
向量组1，
，
的极大无关组所含向
s
量的个数，称为向量组的秩，记为r(1, ,s ).
1）规定：零向量组的秩为0。
2）矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩；
3）矩阵A的列向量组的秩称为矩阵A的列秩.
d1
d2
c11
c21
c12
c22
c1,nr
c2,nr
X
Y
dr
dr
1
d
r
1
cr1 1
d
r
2
cr 0
2
dn
cr ,n r 0
dr2
0
1
0
dn 0 0
1
X Y中后n r个分量为0,亦即X Y是 AX 0的满足自由未知量
定理3.11 A为m n矩阵，r(A) r
A的列（行）秩为r。
推论 矩阵A的行秩等于矩阵 A的列秩，
即为矩阵 A的秩。
向量组的秩及极大无关组的求法： 将向量组合成矩阵，进行初等行
变换得到阶梯阵，非零行的行数为向 量组的秩，主元所对应的列向量组为 极大线性无关组。
看几个例子：
1）设A和B为同阶矩阵，则: r(A+B)≤r(A)+r(B)
5).向量组(A) α1,α2,…,αs与向量组(B) β1,β2 ,…, βt 的秩分别为r1和r2，向量组 (C)α1,α2,…,αs, β1,β2 ,…, βt 的秩为r，则 r≤r1+r2
§3.4 线性方程组的解的结构
（一）齐次线性方程组解的结构
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
X1也
是它的解, k R。
3)如 果X 1 ,
,
X
都是线性
s
方
程
组的解，
则其线性组合k1X1
k
s
X
也
s
是
它的
解, ki R, i 1, , s。
已经知道：齐次线性方程组有非零解的 充分必要条件是系数矩阵A的秩r(A)<n.
定义3.9 如果X1,…,XS是齐次线性方 程组的解向量组（集合）的一个极大 线性无关组，则称X1,…,XS是方程组 的一个基础解系。
所以X1, X 2 , , X nr线性无关.
再证AX 0的任一解都可由X1, X 2 , , X nr 线性表示。设AX 0的任一解为
X (d1, d2 , , dr , dr1, , dn )T
构造向量 Y dr1X1 dr2 X 2 dn X nr .
由性质知Y是AX 0的解.