线性方程组解的判定
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第四节 线性方程组解的判定
从本节开始，讨论含有n 个未知量、m 个方程的线性方程组的解。
11112211211222
22
11
22n n n n
m m mn n m
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+
++=
⎪⎨⎪⎪+++=⎩
（13—2）
主要问题是要判断出方程组（13-2）何时有解？何时无解？有解时解有多少？如何求出方程组的解。 线性方程组有没有解，以及有怎样的解，完全决定于方程组的系数和常数项。因此，将线性方程组写成矩阵形式或向量形式，以矩阵或向量作为讨论线性方程组的工具，将带来极大的方便。
方程组（13-2）中各未知量的系数组成的矩阵11121212221
2
n n m m mn a a a a a a A a a a ⎡
⎤⎢
⎥
⎢
⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎣
⎦
称为方程组（13-2）的系数矩阵。由各系数与常数项组成的矩阵，称为增广矩阵，记作A ，即
11121121
222212
n n
m m mn
m a a a b a a a b A a a a b ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢
⎥⎣⎦
方程组（13-2）中的未知量组成一个n 行、1列的矩阵（或列向量），记作X;常数项组成一个m 行、1
列的矩阵(或列向量），记作b ，即12n x x X x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ,12
m b b b b ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
由矩阵运算，方程组(13-2)实际上是如下关系111212122212
n n m m mn a a a a a a a a a ⎡
⎤⎢
⎥
⎢
⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣
⎦
12n x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ =12m b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
即 AX=b
如果令112111m a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，122222m a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，…，12n n n mn a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
则方程组（13-2）的向量形式为11
22n n
a x a x a x
b +++=
定理1 （有解判定定理）方程级（13-2）有解的充分必要条件是：秩（A ）=秩（A ） 推论1 线性方程组（13-2）有惟一的充分必要条件是r(A)=r(A )=n. 推论2 线性方程组（13-2）有无穷多解的充分必要条件是r(A)=r(A ) （1） 1 231 2312331334591x x x x x x x x x + -=⎧⎪--=⎨⎪+-=⎩ （2）12 31 2312331334590x x x x x x x x x + -=⎧⎪--=⎨⎪+-=⎩ （3）12 31 231 2 3 31334580 x x x x x x x x x + -=⎧⎪--=⎨⎪+-=⎩ 解 （1）113111311131313404610461159104600001A ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 所以秩(A )=3，秩(A)=2；秩(A)≠秩（A ），故方程组无解。 （2）113111313134046115900000A --⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥=--→→-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 秩(A )=秩(A ）=2 （3）113111313134046115800010A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--→→-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 秩(A )=秩(A)=3=n ，故方程组有惟一解。 方程组（13-2）12,,,m b b b 全为零时，称为齐次线性方程组。即 1111221211222 211 22000 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+ ++ =⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （13-3） 其矩阵形式为AX=0 对齐次线性方程组（13-3）而言，显然，其增广矩阵A 的秩与系数矩阵A 的秩相等，即秩（A ）=秩（A ），由定理1可知它总是有解的。比如120n x x x ==== 就是方程组（13-3）的一个解，常称之为零解。但所关心的是方程组（13-3）在何条件下有非零解。 将推论1及推论2应用到齐次线性方程组（13-3）上，得到以下结论。 推论3 齐次线性方程组（13-3）只有零解的充分必要条件是r(A)=n. 推论4 齐次线性方程组（13-3）有非零解的充分必要条件是r(A) 例2 试问线性方程组123123123 200x x x x x x x x x λ++=⎧⎪ ++=⎨⎪++=⎩ 当λ取何值时有非零解。 解 方程组为齐次线性方程组，对其系数矩阵进行初等变换，化成阶梯形矩阵 12111 112101011001A λλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 当λ－1=0,即λ=1时, r(A)=2 学生板演巩固练习：1.2.3.4. 总结归纳：通过本节的学习，能对线性方程组解的的情况作出准确判定。 课外作业：习题1.2.3